数学二历年真题答案解析
2021考研数学二考试历年真题及答案详解
2021考研数学二考试历年真题及答案详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.当x→0时，是x7的（）。
A．低阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．同阶但非等价无穷小【答案】C【考点】常用等价无穷小；【解析】因为当x→0时，，所以是x7的高阶无穷小，故选C项。
2.函数，在x＝0处（）。
A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。
因为故f′（0）＝1/2，故选D项。
3.有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，－3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（）。
A．125πcm3/s，40πcm3/sB．125πcm3/s，－40πcm3/sC．－100πcm3/s，40πcm3/sD．－100πcm3/s，－40πcm3/s【答案】C【考点】复合函数求导；【解析】由题意知，dr/dt＝2，dh/dt＝－3，有V＝πr2h，S＝2πrh＋2πr2，则当r＝10，h ＝5时，dV/dt＝－100π，dS/dt＝40π，故选C项。
4.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。
A．（e，＋∞）B．（0，e）C．（0，1/e）D．（1/e，＋∞）【答案】A【考点】函数单调性及极值；【解析】函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得：在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。
即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个零点，则f（b/a）＝a·b/a－bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则ξ2／x2=( )A．1。
B．2／3。
C．1／2。
D．1／3。
正确答案：D解析：故选D。
知识模块：函数、极限与连续2．设an=3／2∫0n／(n+1)xn－1dx，则极限nan等于( )A．(1+e)3／2+1。
B．(1+e－1)3／2－1。
C．(1+e－1)3／2+1。
D．(1+e)3／2－1。
正确答案：B解析：因为=1／n(1+xn)3／2|0n／(n+1)=1／n{[1+()n]3／2－1}，所以=(1+e －1)3／2－1。
知识模块：函数、极限与连续3．A．∫12ln2xdx。
B．2∫12lnxdx。
C．2∫12ln(1+x)dx。
D．∫12ln2(1+x)dx。
正确答案：B解析：由题干可知，=2∫01ln(1+x)dx2∫12lntdt=2∫12lnxdx。
故选B。
知识模块：函数、极限与连续4．A．∫01dx∫0xdy。
B．∫01dx∫0xdy。
C．∫01dx∫01dy。
D．∫01dx∫01dy。
正确答案：D解析：=∫01dx∫01dy。
知识模块：函数、极限与连续填空题5．正确答案：－1／6解析：方法一：本题为0／0未定型极限的求解，利用洛必达法则即可。
方法二：泰勒公式。
知识模块：函数、极限与连续6．正确答案：解析：由于因此原式=eln2／2= 知识模块：函数、极限与连续7．正确答案：e1／2解析：因此原式=e1／2。
知识模块：函数、极限与连续8．正确答案：解析：知识模块：函数、极限与连续9．正确答案：π／4解析：=arctanx|01=π／4。
知识模块：函数、极限与连续10．正确答案：sin1－cos1解析：由定积分的定义=∫01xsinxdx=sin1－cos1。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：计算该行列式可以有多种方法．例如，为了便于降阶，先把第1列的(一1)倍分别加到第2、3、4列，得故方程f(x)=0的根为x=0和x=1，于是知(B)正确．2．行列式A．(ad一bc)2B．一(ad 一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad (ad 一bc)+bc(ad 一bc)=一(ad 一bc)2.3．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=A．kA*B．kn一1A*C．k一1A*D．k一1A*正确答案：B解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n一1阶行列式，故|kA|的每个元素的代数余子式等于|A|的对应元素的代数余子式的kn一1倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn一1倍，即(kA)*=kn 一1A*．4．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的k倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有AE(1，2)=B，BE(3，2(1))=C，故有AE(1，2)E(3，2(1))=C于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1))=所以只有选项(D)正确．5．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得一B*．D．交换A*的第1行与第2行得一B*．正确答案：C解析：用排除法，以2阶方阵为例，设由此可见，交换A*的第1列与第2列得一B*，而其它选项均不对，故只有(C)正确．记P为交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等方阵，则由题设条件有B=PA，且|B|=一|A|，P一1=P．由A可逆知B可逆，利用B一1=|B|一1B*，得B*=|B|一1=一|A|(PA)一1=一(|A|A 一1)一1=一A*P或A*P=一B*因为用P右乘矩阵A*，等价于交换A*的第1列与第2列，故知选项(C)正确．也可利用B*=(PA)*=A*P*，及P*=|P|P一1=一P，得B*=一A*P．6．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加到第2列得C，记P=则A．C=P一1AP，B．C=PAP一1C．C=PTAP．D．C=PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA．令矩阵则将E的第1列的一1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C=BQ，从而有C=PAQ．由于P一1=所以，C=PAQ=PAP一1，只有选项(B)正确．7．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则A．E一A不可逆，E+A不可逆．B．E一A不可逆，E+A可逆．C．E一A可逆，E+A可逆．D．E一A可逆，E+A不可逆．正确答案：C解析：由于(E一A)(E+A+A2)=E一A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：E一A和E+A均是可逆的．8．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为A．B．C．D．正确答案：B解析：记矩阵并记|C|的(i，j)元素的代数余子式为Aij(i，j=1，2，3，4)，则计算可得：A11=0，A21=0，A31=|A|h，A41=一A|f，A12=0，A22=0，A32=一|A| g，A42=|A|e，A13=|B|d，A23=一|B|b，A33=0，A43=0，A14=一|B|c，A24=|B|a，A34=0，A44=0．于是由伴随矩阵的定义(C*的(i，j)元为Aji)，得因此选(B)．9．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=A．B．C．D．正确答案：A解析：由于Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]所以故只有选项(A)正确．10．设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记P1=，则A=A．P1P2．B．P1一1P2．C．P2P1．D．P2P1一1．正确答案：D解析：由题设条件有P2AP1=I，两端左乘P2一1，两端右乘P1一1，得A=P2一1P2一1，因P2一1= P2，而P1一1≠P1，故只有(D)正确．11．设区域D由曲线y=sinx，x=±，y=1围成，则(xy5一1)dxdy=A．π．B．2．C．一2．D．一π．正确答案：B解析：已知A(α1+α2，α2，α3)=(α1+α2，α2，α3)(Aα1+Aα2，A α2，α3)=(α1+α2，α2，2α3)Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=2α3A(α1+α2)=A α1+Aα2=α1+α2AQ=A(α1+α2，α2，α3)=(A(α1+α2)，Aα2，Aα3)=(α1+α2，α2 ，2α3)=(α1+α2，α2，α3)两端左乘Q一1，得Q一1AQ=．由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知α1+α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．α1+α2≠0(否则α1，α2线性相关，与α1+α2，α2，α3线性无关矛盾)，且A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2，因此α1+α2是A的属于特征值1的一个特征向量．从而知α1+α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出(α1+α2，α2，α3)一1A(α1+α2，α2，α3)=diag(1，1，2)，即Q一1AQ=diag(1，1，2)．因此选(B)．填空题12．设E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)一1(E—A)，则(E+B)一1=________．正确答案：解析：由题设等式得E+B=E+(E+A)一1(E 一A)用(E+A)左乘上式两端，得(E+A)(E+B)=E+A+E一A=2E13．设α为3维列向量，αT是α的转置，若ααT=，则αTα=________．正确答案：3．解析：于是有a2=1，b2=1，c2=1，从而得αTα= [a b c]=a2+b2+c2=1+1+1=3．14．设三阶方阵A、B满足A2B一A一B=E，其中E为三阶单位矩阵，A=，则|B|=________．正确答案：解析：由题设方程移项得A2B一B=A+E，(A2一E)B=A+E，(A+E)(A—E)B=A+E，注意A+E=可逆，用(A+E)一1左乘上式两端，得(A 一E)B=E两端取行列式，得|A一E||B|=115．设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*是A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|=________．正确答案：解析：由于A*A=|A| E，而|A|=3，所以A*A=3E．用矩阵A右乘题设方程两端，可得3AB=6B+A，或3(A 一2E)B=A，两端取行列式，得33|A一2E||B|=|A|，由于|A一2E|=故有27|B|=3，所以|B|=16．设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A =(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)．如果|A|=1，那么|B|=________．正确答案：2．解析：对行列式|B|依次作等值变形(用c1+ kcj表示第i列加上第j列的k倍)c2 一c1，c3 一c1，得|B|=|α1|+α2+α3，α2+3α3，2α2+8α3|再作等值变形c3一2c2，得|B| =| α1+α2+α3，α2+3α3，2α3|=2|α1+α2+α3，α2+3α3，α3|=2 |α1+α2，α2，α3|=2 |α1，α2，α3|=2 |A|=2．17．设矩阵A=E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=________．正确答案：2．解析：由给定矩阵方程得BA 一B=2E B(A 一E)=2E两端取行列式，得|B ||A一E|=|2E因|A一E|==2，|2E|= 22|E|=4所以有 2 |B|=4，从而得|B|=2．18．设矩阵A=则A3的秩为________．正确答案：1．解析：利用矩阵乘法，容易计算得A3=由于A3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A3)=1．19．设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A一1+B|=2，则|A+B一1|=________．正确答案：3．解析：由于A+B一1=(AB+E)B一1=A(B+A一1)B一1=A(A一1+B)B一1，两端取行列式，并利用|ABC|=|A||B||C|及|B一1|=|B|一1，得|A+B一1|=|A|．|A一1+B|．|B一1}=3×2×=3．20．设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|=________．正确答案：一27．解析：由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知|B|=一3．再利用|A*|=|A|n一1|A|2=9，得|BA*|=|B||A*|=一27．记交换3阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等矩阵为E12，则B=E12A，由于AA*=|A|E=3E，得BA*=E12AA*=E12(3E)=3E12，注意|E12|=一1，所以|BA*|=|3E12|= 33|E|12=一27．21．设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=________．正确答案：一1．解析：由A≠0，不妨设a11≠0，由已知的Aij=一aij(i，j=1，2，3)，得及A=一(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵，以下有两种方法：方法1：用AT右乘A=一(A*)T的两端，得AA*=一(A*)AT=一(AA*)T=一(|A|I)T，其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得|A|2=(一1)3|A|3，或|A|2(1+|A|)=0，因|A|≠0，所以|A|=一1．方法2：从A=一(A*)T两端取行列式，并利用|A*|= |A|2，得|A|= (一1)3 |A*|=一|A|2，或|A| (1+|A|)=0，因|A|≠0，所以|A|=一1．22．设矩阵等价，则a=________．正确答案：2．解析：由知矩阵B的秩为2，由于矩阵与矩阵B相似，所以A的秩也为2，因此A的行列式为零，由得a=一1，或a=2．若a=一1，则A=的秩为1，不合题意；若a=2，则的秩为2，符合题意，因此a=2．23．已知向量组α1=(1，2，一1，1)，α2=(2，0，t，0)，α3=(0，一4，5，一2)的秩为2，则t=________．正确答案：3．解析：以α1，α2，α3为行作成矩阵A，并对A作初等变换：由此可知当且仅当f=3时，矩阵A的秩、也即向量组α1，α2，α3的秩等于2．由于α1，α3线性无关，故向量组α1，α2，α3的秩为2当且仅当α2可由α1，α3线性表出，即存在常数x1，x2，使得x1α1+x2α3=α2，亦即由此解得t=3．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数y=C1ex+C2e一2x+xex满足的一个微分方程是A．y”一y’一2y=3xex．B．y”一y’一2y=3ex．C．y”+y’一2y=3xex．D．y”+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：由y=C1ex+C2e一2x+xex知，齐次方程的两个特征根分别为1和一2，所以只有(C)和(D)可能是正确的选项，将y=xex代入(D)中方程知其满足该方程，则应选(D)．2．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(p一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故应选(D)．3．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=g(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1+μy2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，则(λy1+py2)’+p(x) (λy1+μy2)=q(x)即λ(y1+p(x)y1)+μ(y2’+p(x)y2)=q(x)λq(x)+μp(x)=q(x)λ+μ=1由于λy1一μy2为方程y’+p(x)y=0的解，则(λy1一μy2)’+p(x) (λy1一μy2)=0λ(y1’+p(x)y1)一μ(y2’+p(x)y2)=0λq(x)一μq(x)=0λ一μ=0由(1)式和(2)式解得λ=μ=．4．微分方程y”一λ2y=eλx+e一λx(λ＞0)的特解形式为A．a(eλx+e一λx)．B．ax(eλx+ e一λx)．C．x(aeλx+be一λx)．D．x2(aeλx+be一λx)．正确答案：C解析：方程y”一λ2y=0的特征方程为r2一λ2=1r1=λ，r2=一λ方程y”一λ2y=eλx的特解形式为ax eλx方程y”一λ2y=e一λx的特解形式为bx e一λx则原方程的特解形式为y=x(axeλx+bxe一λx)故应选(C)．填空题5．微分方程y’=的通解是________．正确答案：y=Cxe一x．解析：由则ln|y|= ln|x|一x=ln|x|+ln e一x= ln(|x| e一x)y=Cxe一x．6．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2一4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+ C2e3x设非齐方程特解为=Ae2x，代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．7．微分方程(y+x2e一x)dx一xdy=0的通解是y=________．正确答案：y=x(C一e一x)．解析：方程(y+x2e一x)dx一xdy=0可改写为=x[∫e一xdx+C]=x(一e一x+C)=x(C一x).8．3阶常系数线性齐次微分方程y”‘一2y”+y’一2y=0的通解为y=________．正确答案：y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx.解析：方程y”‘一2y”+ y’一2y=0的特征方程为r3—2r2+r一2=0即r2(r 一2)+(r一2)=0(r一2)(r2+1)=0r1=2，r2，3=±l’则原方程通解为y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx．9．微分方程y’+y=e一xcosx满足条件y(0)=0的解为y=________．正确答案：e一x sinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e一∫dx[∫e一xcosx．e∫dxdx+C]=e 一x[∫cosxdx+C]=e一x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e一xsinx．10．微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=________．正确答案：解析：由ydx+(x一3y2)dy=0得这是一阶线性微分方程，由通解公式得又因为y=1时，x=1，解得C=0，故x=y2．y=．11．已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y’|x=0=1的解为y=________．正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x解析：由题设知y1一y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+ C2e3x—xe2x．12．设函数y=y(x)是微分方程y”+y’一2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=________．正确答案：2ex+e一2x．解析：原方程的特征方程为λ2+λ一2=0特征根为λ1=1，λ2=一2原方程的通解为y=C1ex+ C2e一2x由y(0)=3，y’(0)=0得则C1= 2，C2=1，y =2ex+e 一2x．13．以y=x2一ex和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为________．正确答案：y’一y=2x一x2解析：设所求的一阶非齐次线性方程为y’+p(x)y=q(x)则y=x2与y=x2一ex 的差ex应是方程y’+p(x)y=0的解，将y=ex代入以上方程得p(x)=一1，再把y=x2代入方程y’一y=q(x)得q(x)=2x一x2，则所求方程为y’一y=2x一x2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年] 行列式==( )．A．(ad—bc)2B．一(ad一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：待计算的行列式为数字型行列式，且元素排列有一定规律，应利用行列式性质将其变形化为能直接使用非零元素仅在主、次对角线上的2n阶或2n 一1阶行列式计算：=(a1a2n一b1b2n)(a2a2n-1—b2b2n-1)…(anan+1—bnbn+1)，=an(an-1an+1一bn-1bn+1)(an-2an+2一bn-2bn+2)…(a2n-1a1一b2n-1一b1)．解一令.此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，由式(2．1．1．5)，即得∣A∣=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．解二将∣A∣按第1行展开，然后可利用式(2．1．1．6)直接写出结果：∣A∣=(一a)=(一a)d(ad一bc)+bc(ad —bc)=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．知识模块：行列式2．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：利用行列式性质将f(x)化为含零子块的四分块矩阵的行列式或三角形行列式计算．(式(2．1．1．6))=5x(x－1)．由此可知f(x)=0的根有2个．仅(B)入选．知识模块：行列式3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式∣AB∣≠0B．当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0C．当n＞m时，必有行列式∣AB∣≠0D．当n＞m时，必有行列式∣AB∣=0正确答案：B解析：证秩(AB)＜m或证ABX=0有非零解(利用命题2．1．2．7)证之．解一利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到：(1)当m＞n时，有秩(A)≤min{m，n)=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m；(2)秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故∣AB∣=0．仅(B)入选．解二因BX=0的解必是ABX=0的解．而BX=0是n个方程m 个未知数的齐次线性方程组．当m＞n时，BX=0有非零解，从而ABX=0有非零解，故∣AB∣=0．仅(B)入选．知识模块：行列式4．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=.若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：注意到Q的列向量为α1，α2，α3的线性组合，首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式，再代入Q-1AQ中进行运算，即可求得正确选项．解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]因而Q-1AQ=，故仅(B)入选．解二用初等矩阵表示，有Q=PE12：(1)，由E12-1(1)=E12(一1)得到Q-1AQ=[PE12(1)]-1APE12(1)=E12-1(1)P-1APE12(1)=E12(一1)P-1APE12(1)=仅(B)入选．知识模块：矩阵5．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：利用命题2．2．1．4及命题2．1．2．6求之．解一易求得(E —A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E－A+A2)=E+A3=E．由命题2．2．1．4知E一A可逆，E+A也可逆．仅(C)入选．解二由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值，由命题2．1．2．6知，它们均可逆．仅(C)入选．知识模块：矩阵6．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．√3／3B．3C．1／3D．√3正确答案：A解析：出现第l行3个相等的元素，自然想到用行列式展开定理．用a11的表达式表示∣A∣，再利用命题2．1．2．8即可求出a11解一显然矩阵A满足命题2．1．2．8中的三个条件，因而由该命题即得∣A∣=1．将∣A∣按第1行展开得到1=∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故以a11=√3／3．仅(A)入选．解二由A*=AT，即，其中Aij为∣A∣中元素aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，得aij=Aij(i，j=l，2，3)．将∣A∣按第1行展开，得∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到∣A*∣=∣A∣3-1=∣AT∣=∣A∣，即∣A∣(∣A∣一1)=0，而∣A∣＞0，故∣A∣一1=0，即∣A∣=1，则3a112=1，因a11＞0，故a11==√3／3．仅(A)入选．知识模块：矩阵填空题7．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量．记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如果∣A∣=1，那么∣B∣=_________．正确答案：将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式，再在等式两边取行列式；也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系，从而求出∣B∣．解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC，其中C=为三阶范德蒙行列式，则∣C∣=2，故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2．解二用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数，找出∣A ∣与∣B∣的关系，求出∣B∣．∣B∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，2α3∣∣α1+α2+α3，α2，2α3∣=2∣α1+α2+α3，α2，α3∣2∣α1，α2，α3∣=2∣A∣=2．涉及知识点：行列式8．[2006年] 设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则∣B∣=_________．正确答案：可用上述法一或法二求之．解一由BA=B+2E得∣B(A—E)∣=∣2E∣=22=4，故∣[B∣∣A—E∣=4，∣B∣=4／∣A—E∣=4／2=2．解二由BA=B+2E得B(A—E)=2E，则B=2(A—E)-1=2，故∣B∣=2．涉及知识点：行列式9．[2003年] 设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则∣B∣=_________．正确答案：注意到所给矩阵方程A2B—A—B=E含单位矩阵E的加项，左端又出现矩阵A的平方，应将它们结合在一起，因式分解，将方程化成矩阵乘积形式，再取行列式求解．题设等式化为(A2一E)B=A+E，即(A+E)(A—E)B=A+E．易求得∣A+E∣=18≠0，故A+E可逆．在上式两端左乘(A+E)-1，得到(A—E)B=E．再在两边取行列式，得∣A—B∣∣B∣=1．因∣A—E∣==2，故∣B∣=／2．涉及知识点：行列式10．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式∣2A∣=一48，则λ=________．正确答案：先利用命题2．1．2．2求出行列式∣A∣，再利用命题2．1．2．4即可求出参数λ．由命题2．1．2．2得∣2A∣=23∣A∣=一48，解得∣A ∣=一6．又由命题2．1．2．4得到∣A∣=一6=λ·2·3，故λ=一1．涉及知识点：行列式11．[2012年] 设A为三阶矩阵，∣A∣=3．A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则∣BA*∣=_________．正确答案：先将矩阵B用初等变换E12与A表示．为利用AA*=∣A∣E，将所得表示式右乘A*．再取行列式．计算行列式时，要正确计算出初等矩阵的行列式∣E12∣．由题设有B=E12A，两边右乘A*得到BA*=E12AA*=∣A ∣E12E=∣A∣E12，则∣BA*∣=∣∣A∣∣E12∣=∣A∣3∣E12∣=33(一1)=一27．涉及知识点：行列式12．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=__________．正确答案：利用A*=(Aij)及∣A∣=∣A∣3-1求之．由a=一A，则(a)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=一(Aij)，故AT=一A*，从而∣A∣=∣AT∣=∣—A*∣=(一1)3∣A∣3-1=一∣A∣2，即∣A∣2+∣A∣=∣A∣(∣A∣+1)=0，故∣A∣=0或∣A∣=一1．若∣A∣=0，则由∣A∣=ai1Ai1+ai1Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到a=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾，故∣A∣=一1．涉及知识点：行列式13．[20l0年] 设A，B为三阶矩阵，且∣A ∣=3，∣B∣=2，∣A-1+B∣=2，则∣A+B-1∣=_________．正确答案：∣A+B-1∣=∣A+B-1∣，常用单位矩阵E将其恒等变形为∣A+B-1∣=∣A+B-1E∣而求之，也可在A+B-1的左和(或)右边乘以适当矩阵化为其行列式已知的矩阵而求之．解一∣A+B-1∣=∣EA+B-1E∣=∣(B-1B)A+B-1(A-1A)∣=∣B-1(BA+A-1A)∣=∣B-1(B+A-1)A∣=∣B-1∣∣B+A-1∣A∣=1．2．3=3．解二A-1(B-1+A)B=A-1B-1B+A-1AB=A-1+B，故∣A-1∣∣B-1+A∣∣B∣=∣A-1+B∣=2，即∣B-1+A∣=2∣A∣／∣B ∣=6／2=3．涉及知识点：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是_________．正确答案：利用命题2．1．3．1(1)寻找λ满足的条件．因方程个数与未知数的个数相等，又该方程组只有零解，由命题2．1．3．1(1)知∣A∣≠0，从而∣A∣==(λ—1)2．于是当λ≠1时，∣A∣≠0，即该方程组只有零解．涉及知识点：行列式15．[2003年] 设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=则αTα=_________．正确答案：由命题2．2．1．2知，αTα为ααT的主对角线元素之和．另一种思路是利用向量运算规律求出α，再求αTα．解一由命题2．1．1．2知，αTα为ααT的主对角线上的元素之和，即αTα=1+1+1=3．解二由ααT=[1，一1，1]知α=，于是αTα=3．涉及知识点：矩阵16．设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．正确答案：求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之．解一先求出n=2，3时，A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A,A3=A2．A=2A·A=2A2=2．2A=22A，设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak．A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1．2A=2kA．因而对任何自然数，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1．A－2·2n-2A=0．解二由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由∣λE－A∣=λ(λ－2)2得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是A=PΛP-1，An=PΛnP-1，2An-1=P(2Λn-1)P-1=PΛnP-1，故An一2An-1=0．涉及知识点：矩阵17．设A=，其中ai≠0(i=1，2，…，n)，则A-1=_________．正确答案：把A看作是A=的分块矩阵，利用分块矩阵的求逆公式(命题2．2．1．5(3))易求得A-1也可用初等行变换求之．涉及知识点：矩阵18．设A=,A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．正确答案：直接利用式(2．2．2．1)求之．由式(2．2．2．1)得到(A*)-1= 涉及知识点：矩阵19．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________．正确答案：解一因A的秩为2，较其阶数4小2，由命题2．2．2．1知秩(A*)=0．解二由题设知A的秩为2，因而A的所有三阶子式等于0．于是A 的所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故秩(A*)=0．涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A3=O，则( )A．E—A不可逆，E＋A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E—A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：利用单位矩阵E，将A3=O变形为E—A3=E和A3+E=E，进一步分解为(E—A)(E＋A＋A2)=E一A3=E，(E＋A)(E—A＋A2)=E+A3=E，则E—A，E+A均可逆。
2．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )A．交换A*的第1列与第2列得B*。
B．交换A*的第1行与第2行得B*。
C．交换A*的第1列与第2列得一B*。
D．交换A*的第1行与第2行得一B*。
正确答案：C解析：由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A=B，由于A可逆，可知B也可逆，故B*=(E12A)*一｜E12A｜(E12A)－1=一｜A｜A－1E12－1=一A*E12－1，即A*E12=－B*，故选C。
3．设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P－1AP=。
若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－1AQ=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：4．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。
B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。
D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。
正确答案：D5．设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( ) A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。
考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2010年)设函数z＝z(χ，y)由方程F()＝0确定，其中F为可微函数，且F′2≠0，则【】A．χ．B．z．C．－χ．D．－z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得知识模块：多元函数微积分2．(2010年) 【】A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：多元函数微积分3．(2011年)设函数f(χ)，g(χ)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f′(0)＝g′(0)＝0，则函数z＝f(χ)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是【】A．f〞(0)＜0，g〞(0)＞0．B．f〞(0)＜0，g〞(0)＜0．C．f〞(0)＞0，g〞(0)＞0．D．f〞(0)＞0，g〞(0)＜0．正确答案：A解析：则AC＝B2＞0 故z＝f(χ)g(y)在(0，0)点取极小值．应选A．知识模块：多元函数微积分4．(2012年)设函数f(χ，y)可微，且对任意χ，y都有型＜0，则使不等式f(χ1，y1)＜f(χ2，y2)成立的一个充分条件是【】A．χ1＞χ2，y1＜y2B．χ1＞χ2，y1＞y2C．χ1＜χ2，y1＜y2D．χ1＜χ2，y1＞y2正确答案：D解析：由于偏导数本质上就是一元函数导数，则由型可知，f(χ，y)关于变量χ是单调增的，关于变量y是单调减的．因此，当χ1＜χ2，y1＞y2时，f(χ1，y1)＜f(χ2，y1)，f(χ2，y1)＜f(χ2，y2) 则f(χ1，y1)＜f(χ2，y2) 故应选D．知识模块：多元函数微积分5．(2012年)设区域D由曲线y＝sinχ＝±，y＝1围成，则(χy5－1)dχdy ＝【】A．πB．2C．－2D．－π正确答案：D解析：作辅助线y＝－sinχ(－≤χ≤0)．如图，将区域D分为两部分D1和D2，其中D1关于χ轴对称，D2关于y轴对称，而χy5分别关于变量χ和y 都是奇函数，则知识模块：多元函数微积分6．(2013年)设z＝f(χy)，其中函数f可微，则【】A．2yf′(χy)．B．－2yf′(χy)．C．f(χy)．D．－f(χy)．正确答案：A解析：知识模块：多元函数微积分7．(2013年)设Dk是圆域D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1)在第k象限的部分，记IK＝(y－χ)dχdy(k＝1，2，3，4)，则【】A．I1＞0．B．I2＞0．C．I3＞0．D．I4＞0．正确答案：B解析：由于D1和D3关于直线y＝χ对称，则而在D2上，y－χ＞0，在D4上y－χ＜0，则I2＞0，I4＜0 故应选B．知识模块：多元函数微积分8．(2014年)设函数u(χ，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足≠0及＝0，则【】A．u(χ，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得B．u(χ，y)的最大值和最小值都在D的内部取得C．u(χ，y)的最大值在D的内部取得，最小值都在D的边界上取得D．u(χ，y)的最小值在D的内部取得，最大值都在D的边界上取得正确答案：A解析：由题设可知，B≠0，A＋C＝0，则AC－B2＜0 故函数u(χ，y)在区域D内无极值点，因此，u(χ，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．故应选A．知识模块：多元函数微积分9．(2015年)设函数f(u，v)满足f(χ＋y，)＝χ2－y2，则依次是【】A．，0B．0，C．－，0D．0，－正确答案：D解析：故应选D．知识模块：多元函数微积分10．(2015年)设D是第一象限中由曲线2χy＝1，4χy＝1与直线y＝χ，y＝χ围成的平面区域，函数f(χ，y)在D上连续，则(χ，y)dχdy＝【】A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设知积分域D如图所示，曲线2χy＝1，4χy＝1在极坐标下方程分别为2r2cosθsinθ＝1，4r2cosθsinθ＝1 即，直线y＝χ，y ＝χ在极坐标下的方程为，则故应选B．知识模块：多元函数微积分填空题11．(2014年)设z＝z(χ，y)是由方程e2yz＋χ＋y2＋z＝确定的函数，则dz＝_______．正确答案：－(dχ＋dy)．解析：将χ＝y＝代入e2yz＋χ＋y2＋z＝得知识模块：多元函数微积分12．(2015年)若函数z＝z(χ，y)由方程eχ＋2y＋3z＋χyz＝1确定，则dz｜(0，0)＝________．正确答案：－(dχ＋2dy)．解析：将χ＝0，y＝0代入eχ＋2y＋3z＋χyz＝1中得e3z＝1，则z＝0 方程eχ＋2y＋3z＋χyz＝1两端微分得eχ＋2y＋3z(dχ＋2dy＋3dz)＋yzdχ＋χzdy＋χydz＝0 将χ＝0，y＝0，z＝0代入上式得dχ＋2dy＋3dz＝0 则dz｜(1，0)＝－(dχ＋2dy)．知识模块：多元函数微积分13．(2011年)设平面区域D由直线y＝χ，圆χ2＋y2＝2y及y轴所围成，则二重积分χydσ＝_______．正确答案：解析：知识模块：多元函数微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(11)设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D解析：首先，4元齐次线性方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-r(A*)，其中r(A*)为A*的秩，因此求r(A*)是一个关键．其次，由Ax=0的基础解系只含1个向量，即4-r(A)=1，得r(A)=3，于是由r(A*)与r(A)的关系，知r(A*)=1，因此，方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-r(A*)=3，故选项(A)、(B)不对．再次．由(1，0，1，0)T是方程组Ax=0或x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的解，知α1+α3=0，故α1与α3线性相关，于是只有选项(D)正确．知识模块：线性方程组2．(15)设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为A．B．C．D．正确答案：D解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a-1)(a-2)=0，即a=1或a=2，此时系数矩阵的秩为2，由有解判定定理知，当且仅当a∈Ω且d∈Ω，所以选(D)．知识模块：线性方程组3．(05分)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是A．λ1≠0B．λ2≠0C．λ1=0D．λ2=0正确答案：B解析：由λ1≠λ2及特征值的性质知α1，α2线性无关．显然，向量组{α1，A(α1+α2)}={α1，λ1α1+λ2α2}等价于向量组{α1，λ2α2}．当λ2≠0时，它线性无关，当λ2=0时，它线性相关，故α1，A(α1+α2)线性无关λ2≠0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题4．(01)设方程组有无穷多个解，则a=______．正确答案：-2解析：对方程组的增广矩阵作初等行变换：由此可见：(1)当a≠1且a ≠-2时，r(A)==3，方程组有唯一解；(2)当a=1时，r(A)=1，=2，方程组无解；(3)当a=-2时，r(A)==2＜3，方程组有无穷多解．故当且仅当a=-2时方程组有无穷多解．知识模块：线性方程组5．(02)矩阵A=的非零特征值是______．正确答案：4解析：由A的特征方程=λ(λ-4)=λ2(λ-4)=0 知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．记行列式为f(x)，则方程f(x)＝0的根的个数为A．1．B．2C．3D．4正确答案：B解析：[分析] 本题实质上是考查四阶行列式的计算问题，可利用行列式的性质进行计算，得到f(x)后，即可确定其根的个数．[详解] 因为由此可知f(x)＝0的根的个数为2，故应选(B)．[评注] 由于数学二只要求考查线性代数初步，相对内容较少，行列式的计算问题基本上每年出一题，因此利用行列式的定义、性质和按行或列展开定理进行计算应熟练掌握．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0．B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜＝0．C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0．D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜＝0．正确答案：B解析：[分析] 四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断AB是否满秩即可．[详解] 因为AB为m 阶方阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n)，当m＞n时，由上式可知，r(AB)≤n＜m，即AB不是满秩的，故有行列式｜AB｜＝0．故应选(B)．[评注] 本题不知矩阵AB的具体元素，因此直接应用行列式的有关计算方法进行求解是困难的．对于此类抽象矩阵行列式的计算往往可考虑转换为利用：1．矩阵的秩(判断行列式是否为零)；2．行(列)向量组的线性相关性；3．方程组解的判定；4．特征值和相似矩阵的性质等进行计算．知识模块：行列式3．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ—c的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：[分析] 本题考查初等矩阵的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为这两个初等矩阵的乘积．[详解] 由题设，有，于是，故应选(D)．知识模块：矩阵4．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得－B*．D．交换A*的第1行与第2行得－B*．正确答案：C解析：[分析] 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可．[详解] 由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A＝B，于是B*＝(E12A)*＝A*E12*＝A*｜E12｜.E12－1＝－A*E12，即A*E12＝－B*，故应选(C)．[评注] 注意伴随矩阵的运算性质：AA*＝A*A＝＝｜A｜E，当A可逆时，A*＝｜A｜A－1，(AB)*＝B*A*．知识模块：矩阵5．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则A．C＝P－1AP．B．C＝PAP－1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：由题设可得，而，则有C＝PAP－1．故应选(B)．知识模块：矩阵6．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP＝．若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则QTAQ为A．B．C．D．正确答案：A解析：因为Q＝P．于是．即(A)正确．知识模块：矩阵7．设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记，则A＝A．P1P2．B．P1－1P2．C．2P1．D．2P1－1．正确答案：D解析：由已知条件有P2AP1E得A＝P2－1EP1－1＝P2P1－1．故应选(D)．知识模块：矩阵8．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P－1AP＝若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝A．B．C．D．正确答案：B解析：由已知条件有Q＝P，因此故应选(B)．知识模块：矩阵9．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于A．kA*．B．kn－1A*．C．knA*．D．k－1A*．正确答案：B解析：[分析] 利用伴随矩阵的定义讨论即可．若加强条件，则可令A可逆．[详解1] 采用加强条件的技巧，设A可逆，则由AA*＝A*A＝｜A｜E，知A*＝｜A｜A－1，于是(kA)*＝｜kA｜(kA)－1＝kn｜＝kn－1｜A｜A－1＝kn－1A*．故应选(B)．题设k≠0，±1，n≥3，主要是为了做到四个选项只有一个是正确的．[详解2] 由A*的定义，设A＝(aij)n ×n，其元素aij的代数余子式记作Aij，则矩阵kA＝(kaij)n×n，若其元素的代数余子式记作△ij(i，j＝1，2，…，n)，由行列式性质有△ij＝kn－1Aij(i，j＝1，2，…，n)．从而(kA)*＝kn－1A*．[评注] 涉及与A*有关的题目，一般利用A*的定义和公式AA*＝｜A｜E．知识模块：矩阵10．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜＝2，｜B｜＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为A．B．C．D．正确答案：B解析：利用伴随矩阵的公式，有。
考研数学历年真题2017年2018年2019年真题和答案(数学二)
目录2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (1)2018年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (8)2019年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (15)2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定的括号内。
）1.若函数10,(), 0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩0x =在处连续，则（ ） A.12ab =B.12ab =-C.0ab =D.2ab =2.设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1,0,f f f f x ''=-==->且（）则（ ）. A.1-1()0f x dx >⎰B.1-1()0f x dx <⎰C.11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ D.110()()f x dx f x dx -<⎰⎰3.设数列{}n x 收敛，则（ ）.A.n n limsin 0lim 0n n x x →∞→∞==当时，B.(lim 0lim 0n n n n x x →∞→∞==当时，C.()2lim 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时，D.()lim sin 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时， 4.微分方程()24+81cos2xy y y e x '''-=+的特解可设为*y =（）.A.()22cos2sin 2xx Ae e B x C x ++ B.()22cos2sin 2xx Axee B x C x ++ C.()22cos2sin 2xx Aexe B x C x ++D.()22cos2sin 2xx Axexe B x C x ++5.设(),f x y 具有一阶偏导数，且任意的(),x y 都有()(),,0,0,f x y f x y x y∂∂><∂∂则（ ）.A.()()0,01,1f f >B.()()0,01,1f f <C.()()0,11,0f f >D.()()0,11,0f f <6.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)，图中，实践表示甲的速度曲线()1v v t =（单位m/s ）,虚线表示乙的速度曲线 ()2,v v t = 三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追甲的时刻为0t (单位:s),则（ ）.A.010t =B.01520t <<C.025t =D.025t >7.设A 为3阶矩阵, ()123,,P ααα= 为可逆矩阵，使得1000010,002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则()123A ααα++=（ ）.A.12+ααB.13+2ααC.23+ααD.13+2αα8.已知矩阵200210100021020020001001002A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则（ ）.A. A C B C 与相似，与相似B. A C B C 与相似，与不相似C. A C B C 与不相似，与相似D. A C B C 与不相似，与不相似二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A．一2f’(0).B．一f’(0).C．f’(0).D．0正确答案：B解析：2．函数f(x)=ln|(x一1)（x一2)(x一3)|的驻点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：令3x2—12x+11=0由于△= 122一12x+11＞0，则该方程有两个实根，f(x)有两个驻点．3．曲线y=渐近线的条数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由于=1，则该曲线有水平渐近线y=1．又=∞，则x=1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选(C)．4．设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…（enx一n），其中n为正整数，则f’(0)= A．（一1)n一1（n一1）!．B．（一1）n（n一1）!．C．（一1）n1n!．D．（一1）nn!．正确答案：A解析：排除法：当n=2时，f(x)=(ex一1)(e2x一2)f’(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)f’(0)=一1显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)．5．设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=1确定，则A．2B．1C．一1D．一2正确答案：A解析：由方程cos(xy)+lny一x=1知，当x=0时，y=1，即f(0)=1，以上方程两端对x求导得将x=0，y=1代入上式得y’|x=0=1，即f’(0)=1，6．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sinD．y=x2+sin正确答案：C解析：由于所以曲线y=x+有斜渐近线y=x，故应选(C)．7．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(z)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x) 故应选(D)．8．曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．正确答案：C解析：故应选(C)．9．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则A．B．C．D．正确答案：D解析：由f(x)= arctanx，及f(x)=xf’(ξ)得故应选(D)．10．设函数f(x)=(α＞0，β＞0)．若f’(x)在x=0处连续，则A．α一β＞1．B．0＜α一β≤1．C．α一β＞2．D．0＜α一β≤2．正确答案：A解析：f一’(0)=0，f+’(0)=该极限存在当且仅当α一1＞0，即α＞1．此时，α＞1，f+’(0)=0，f’(0)=0．当x＞0时，f’(x)=axα一1+βxα一β一1cos要使上式的极限存在且为0，当且仅当α一β一1＞0．则α一β＞1．故应选(A)．11．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x)存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点，而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故应选(C)．12．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．正确答案：B解析：x1，x3，x5为驻点，而在x1和x3两侧一阶导数f’(x)变号，则为极值点，在x5两侧一阶导数f’(x)不变号，则不是极值点，在x2处一阶导数不存在，但在x2两侧f’(x)不变号，则不是极值点．在x2处二阶导数不存在，在x4和x5处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选(B)．13．设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有A．f1(x)≤f2(x)≤g(x)．B．f2(x)≤f1(x)≤g(x)．C．f1(x)≤g(x)≤f2(x)．D．f2(x)≤g(x)≤f1(x)．正确答案：A解析：由函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)可知，在x0某邻域内曲线y =fi(x)(i=1，2)是凸的，而两曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处有公共切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某邻域内三条曲线如图所示，故在x0点的该邻域内f1(x)≤f2(x)≤g(x)故应选(A)．填空题14．曲线y=的渐近线方程为________．正确答案：y=2x．解析：显然曲线y=无水平渐近线和垂直渐近线，则原曲线有斜渐近线y=2x．15．函数y=ln(1一2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．正确答案：一2n(n一1)!.解析：利用ln(l+x)的麦克劳林展开式16．已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽ω以3 cm/s的速率增加，则当l=12 cm，ω=5 cm时，它的对角线增加的速率为________．正确答案：3．解析：设l=x(t)，ω=y(t)，其对角线长为z(t)，则z2(t)=x2(t)+y2(t)，2z(t)z’(t)=2x(t)x’(t)+2y(t)y’(t)将x(t)=12，y(t)=5，x’(t)=2，y’(t)=3，z(t)==13代入上式得z’(t)=3．17．设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则|x=0=________．正确答案：1．解析：在方程x2一y+1=ey中令x=0，得y=0，该方程两端对x求导得2x 一y’=eyy’将x=0，y=0代入上式得y’(0)=0，上式再对x求导2一y”=eyy’2+eyy”将x=0，y=0，y’(0)代入上式得y”(0)=1．18．曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________．正确答案：(一1，0)．解析：由y=x2+x得，y’=2x+1，y”=2，代入曲率计算公式得由K=得(2x+1)2=1解得x=0或x=一1，又x＜0，则x=一1，这时y=0，故所求点的坐标为(一1，0)．19．曲线上对应于t=1的点处的法线方程为________．正确答案：y+x=解析：而t=1时，x=则t=1处的法线方程为20．设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x 一1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1．解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1．21．曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程是________．正确答案：解析：22．=________．正确答案：48．解析：23．函数f(x)=x22x在x=0处的竹阶导数f(n)(0)=________．正确答案：n(n一1)(ln2)n一2．解析：24．曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为________．正确答案：y=x+解析：则该曲线的斜渐近线方程为y=x+25．已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．正确答案：5．2n一1．解析：等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf (t)dt两边对x求导得f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f’(0)=2+2f(0)=4f”(x)=2+2f’(x)，f”(0)=2+2f’(0)=10f”‘(x)=2f”(x)f(n)(x)=2f(n一1)(x)=22f(n一2)(x)=…=2n一2f”(x) (n＞2)f(n)(0)=2n一22f”(0) (n＞2)= 2n一2．10=2n一1．5.26．已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是________．正确答案：解析：由题设知解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(微分方程)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知函数y＝y(x)在任意点x处的增量，其中α是△x(Ax→0)的高阶无穷小，且y(0)＝π，则y(1)等于A．．B．2π．C．π．D．．正确答案：A解析：[分析] 由题设可知函数y＝y(x)在点x处可微，根据微分与导数的关系，可得，解此可分离变量方程．[详解] 根据微分的定义，可知函数y＝y(x)在点x处可微，且由微分与导数的关系，得，此为可分离变量方程，分离变量得业，两边积分得lny＝arctanx＋lnC，即y＝Cearctanx，代入y(0)＝π，得C ＝π，于是y＝πearctanx，，故应选(A)．[评注] 由，根据导数定义得．另外，从本题可知，由函数在任意点x处的微分或导数的定义，可构造微分方程．这样可将微分或导数的定义与微分方程结合起来构造综合题型．知识模块：微分方程2．已知是微分方程的解，则的表达式为A．B．C．D．正确答案：A解析：[分析] 将代入微分方程，再令ψ的中间变量为u，求出ψ(u)的表达式，进而可求出．[详解] 将代入微分方程，得令lnx＝u，有。
故应选(A)．[评注] 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性．但问题本身并不复杂，只要仔细计算就可以找到正确选项．知识模块：微分方程3．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’＋p(x)y＝q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是对应的齐次方程的解，则A．B．C．D．正确答案：A解析：[分析] 此题主要考查线性微分方程解的性质和结构．[详解] 因λy1－μy12是方程y’＋p(x)y＝0的解，所以(λy1－μy2)’＋p(x)(λy1－μy2)＝0，即λ[y’1＋p(x)y1]－μ[y’2＋p(x)y2]＝0．由已知得(λ－μ)q(x)＝0，因为q(x)≠0，所以λ－μ＝0，又λy1＋μy21是非齐次方程y’＋p(x)y＝q(x)的解，故(λy1＋μy2)’＋p(x)(λy1＋μy2)＝g(x)．即λ[y’1＋p(x)y1]－μ[y’2＋p(x)y2]＝q(x)．由已知得(λ＋μ)q(x)＝g(x)．因为q(x)≠0，所以λ＋u＝1，解得[评注] 此题属反问题，题目构造较新颖．知识模块：微分方程4．具有特解y1＝e－x，y2＝2xe－x，y3＝3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是A．y’’’－y”—y’＋y＝0．B．y’’’＋y”—y’－y＝0．C．y’’’－6y”＋11y’－6y＝0．D．y’’’－2y”－y’＋2y＝0．正确答案：B解析：[分析] 由于常系数线性齐次微分方程由其特征方程唯一确定，因此可先由齐次方程的解得到对应的特征根，再由根与系数的关系确定特征方程，从而得到齐次微分方程．[详解] 由特解的形式可知，对应特征方程的根为λ1＝λ2＝－1，λ3＝1，于是特征方程为(λ＋1)2(λ－1)＝λ3＋λ3－λ－1＝0，故所求方程为y’’’＋y”－y’－y＝0，故应选(B)．[评注] 已知齐次微分方程的特解，求微分方程，关键在于掌握特征根与对应特解之间的关系，包括实单根、重根和复数根所对应的特解形式．知识模块：微分方程5．微分方程y”＋y＝x2＋1＋sinx的特解形式可设为A．y*＝ax2＋bx＋c＋x(Asinx＋Bcosc)．B．y*＝x(ax2＋bx＋c＋Asinx＋Bcosx)．C．y*＝ax2＋bx＋c＋Asinx．D．y*＝ax2＋bx＋c＋Acosx．正确答案：A解析：[分析] 本题应注意方程的右端为两项之和，因此由叠加原理，方程y”＋y＝x2＋1＋sinx的特解为方程y”＋y＝x2＋1的特解与方程y”＋y＝sinx的特解之和．[详解] 方程y”＋y—＝x2＋1＋sinx对应的齐次方程的特征方程为λ2＋1＝0，特征根为λ1，2＝±i，由于a＝0不是特征根，于是方程y”＋y＝x2＋1的特解可设为y*1＝ax2＋bx＋c，而λ＝±i是特征方程的根，于是方程y”＋y＝sinx的特解可设为y*1＝x(Asinx＋cosx)，所以，由叠加原理得原方程的特解可设为y*＝ax2＋bx＋c＋x(Asinx＋Bcosx)．故应选(A)．知识模块：微分方程6．函数y＝C1ex＋C2e－2x＋xex 满足的一个微分方程是A．y”－y”－2y＝3xex ．B．y”－y’－2y＝3ex ．C．y”＋y’－2y＝3xex ．D．y”＋y’－2y＝3ex ．正确答案：D解析：[分析] 考虑到本题的四个选项都是二阶方程，可先由y＝C1ex＋C2e －2x＋xex求出y’，y”，再从y，y’，y”中消去C1，C2，即可得到所求的二阶方程．[详解] 由y＝C1e＋C2e－2x＋xex，得y’＝C1ex－2C2e－2x＋(x ＋1)ex，y”＝C1ex＋4C2e2x＋(x＋2)ex，从y，y’，y”中消去C1，C2，得y”＋y’－2y＝3xx，故应选(D)．知识模块：微分方程7．在下列微分方程中，以y＝C1ex＋C22cos2x＋C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘＋y”－4y’－4y＝0．B．y”‘＋y”＋4y’＋4y＝0．C．y”‘－y”－4y’＋4y＝0．D．y”‘－y”＋4y’－4y＝0．正确答案：D解析：[详解] 由通解表达式y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x可知其特征根为λ1＝1，λ2，3＝±2i．可见对应特征方程为(λ－1)(λ2＋4)＝λ3－λ2＋4λ－4，故对应微分方程为y”‘－y”＋4y’－4y＝0，应选(D)．[评注] 对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程，同样应该掌握其特征方程与对应解之间的关系．知识模块：微分方程8．微分方程y”－λ2y＝eλx＋e－λx(λ＞0)的特解形式为A．a(eλx＋e－λx)．B．ax(eλx＋e－λx)．C．x(aeλx＋be－λx)．D．x2(aeλx＋be－λx)．正确答案：C解析：[分析]分别把自由项为eλx及e－λx的特解相加．[详解] ±λ均是特征方程r2－λ2＝0的根．自由项为eλx及e－λx如的特解形式分别为x(aeλx)及x(be－λx)，所以微分方程y”－λ2y＝eλx＋e－λx(λ＞0)的特解形式为x(aeλx＋be－λx)．故应选(C)．[评注]此题主要考查线性微分方程解的结构．知识模块：微分方程填空题9．过点且满足的曲线方程为_______．正确答案：应填。
2016考研数学二真题及答案
2016考研数学二真题及答案【篇一：2003-2016年考研数学二真题及解析】t>一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1１．当x?0时，若ln(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围是??（）（a）(2,??)（b）(1,2)（c）(,1)（d）(0,) 2．下列曲线有渐近线的是（a）y?x?sinx（b）y?x2?sinx（c）y?x?sin（d）y?x?12121x21 x【详解】对于y?x?sin，可知x??1xy1?1且lim(y?x)?lim?0，所以有斜渐近线y?xx??x??xx应该选（c）3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（）（a）当f(x)?0时，f(x)?g(x)（b）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （c）当f??(x)?0时，f(x)?g(x)（d）当f??(x)?0时，f(x)?g(x)?x?t2?7,4．曲线?上对应于t?1的点处的曲率半径是（） 2?y?t?4t?1（Ａ）（Ｂ） (Ｃ）（Ｄ）5 501005．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf(?)，则x?0?2x2?（）（Ａ）1（Ｂ）121（Ｃ）（Ｄ）332?2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0及?x?y?2u?2u． ?2?0，则（）2?x?y（a）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；（b）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；（c）u(x,y)的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；（d）u(x,y)的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．7．行列式0aa0b00b0cd0c00d等于22（a）(ad?bc)（b）?(ad?bc) （c）a2d2?b2c2（d）?a2d2?b2c2 8．设?1,?2,?3是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．?1??1dx?．x2?2x?510．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f(x)?2(x?1),x?0,2，则f(7)?． 11．设z?z(x,y)是由方程e2yz???x?y2?z?7确定的函数，则dz|?11??．?,?4?22?12．曲线l的极坐标方程为r??，则l在点(r,?)??????,?处的切线方程为． 22??13．一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上，若其线密度?(x)??x2?2x?1，则该细棒的质心坐标x?．2214．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是．??三、解答题15．（本题满分10分）1t?求极限limx???x1(t2(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．16．（本题满分10分）已知函数y?y(x)满足微分方程x?yy?1?y，且y(2)?0，求y(x)的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）22xsin(?x2?y2)dxdy 设平面区域d?(x,y)|1?x?y?4,x?0.y?0．计算??x?yd?22?18．（本题满分10分）?2z?2zx2x设函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(ecosy)满足．若??(4z?ecosy)e?x2?y2xf(0)?0,f(0)?0，求f(u)的表达式．19．（本题满分10分）设函数f(x),g(x)在区间a.b上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明：（1） 0?（2）???bxag(t)dt?x?a,x??a,b?；f(x)dx??f(x)g(x)dx．ab?a??ag(t)dta20．（本题满分11分）设函数f(x)?x,x??0,1?，定义函数列 1?xf1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，?,fn(x)?f(fn?1(x)),?设sn是曲线y?fn(x)，直线x?1,y?0所围图形的面积．求极限limnsn．n??21．（本题满分11分）已知函数f(x,y)满足?f?2(y?1)，且f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny，求曲线f(x,y)?0所?y成的图形绕直线y??1旋转所成的旋转体的体积． 22．（本题满分11分）?1?23?4???设a??01?11?，e为三阶单位矩阵．?1203???（1）求方程组ax?0的一个基础解系；（2）求满足ab?e的所有矩阵．23．（本题满分11分）?1??1证明n阶矩阵????1?1?1??0?01????1?1??0?02?与?相似． ????????????1?1??0?0n??2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、选择题:1?8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)下列反常积分收敛的是()(a)???2(b) ???2lnx(c)??1dxdx(d) ?2xxlnxx2sint???2xdx xe(2) 函数f?x??lim(1?t?0x在(??,??)内()(a) 连续 (b) 有可去间断点 (c)有跳跃间断点 (d) 有无穷间断点1??xcos,x?0?x(??0,??0),若f?x?在x?0处连续则:( ) (3) 设函数f?x?????0,x?0(a)????0 (b)0?????1 (c)????2(d)0?????2(4)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线y?f(x)的拐点的个数为()(a) 0(b) 1 (c)2(d) 3(5) 设函数f?u,v?满足f?x?y,??x2?y2，则??(a)?y??fu?1与v?1?fu?1v?1依次是 ()1111,0 (b) 0,(c)?,0 (d) 0,?22224xy?1与直线y?x，y?围成的平面区域，(6)设d是第一象限由曲线2xy?1，函数f?x,y?在d上连续，则??f?x,y?dxdy? ()d?(a)??d?341sin212sin2?f?rcos?,rsin??rdr(b)??34d?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??dr?(c)??d??34?(d)?d?34f?rcos?,rsin??dr【篇二：2016年考研数学二真题与解析】txt>一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1１．当x?0时，若ln(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围是（）（a）(2,??)（b）(1,2) （c）(,1) （d）(0,)??1212???1?【详解】ln?(1?2x)~2?x?，是?阶无穷小，(1?cosx)?~1x?是阶无穷小，由题意可知?2??1?2???1122所以?的可能取值范围是(1,2)，应该选（b）． 2．下列曲线有渐近线的是（a）y?x?sinx （b）y?x2?sinx（c）y?x?sin（d）y?x?1x21 x【详解】对于y?x?sin，可知x??1xy1?1且lim(y?x)?limsin?0，所以有斜渐近线y?xx??x??xx应该选（c）3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（）（a）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （b）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （c）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （d）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程．故当f??(x)?0时，曲线是凹的，也就是f(x)?g(x)，应该选（d）【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令 f(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则f(0)?f(1)?0，且f(x)?f(x)，故当f??(x)?0时，曲线是凹的，从而f(x)?f(0)?f(1)?0，即f(x)?f(x)?g(x)?0，也就是f(x)?g(x)，应该选（d）?x?t2?7,4．曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是（） 2?y?t?4t?1（Ａ）（Ｂ） (Ｃ）（Ｄ）5 50100y(1?y2)32【详解】曲线在点(x,f(x))处的曲率公式k?，曲率半径r?1． k22dxdydy2t?42dy1?2t,?2t?4，所以??1?，2?本题中??3，dtdtdx2tt2tdxt?对应于t?1的点处y?3,y??1，所以k?应该选（c）5．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf(?)，则x?0y(1?y2)3?110，曲率半径r?1?10． k?2x2?（）（Ａ）1（Ｂ）211 （Ｃ）（Ｄ） 323【详解】注意（1）f(x)?1133x?0时,arctanx?x?x?o(x)．，（2）2由于f(x)?xf(?)．所以可知f(?)?1f(x)arctanxx?arctanx2，， ????xx1??2(arctanx)213x)?o(x3)1?． 3x3x?0?2x2?x?0x?arxtanx?x(arctanx)2x?0x?(x??2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0及?x?y?2u?2u． ?2?0，则（）2?x?y（a）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；（b）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；（c）u(x,y)的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；（d）u(x,y)的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域d上连续，所以u(x,y)在d内必然有最大值和最小值．并且如果在?2u?2u?2u?2u?u?u内部存在驻点(x0,y0)，也就是，由??0，在这个点处a?2,c?2,b?? ?x?y?x?y?y?x?x?y条件，显然ac?b?0，显然u(x,y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上．所以应该选（a）．2a7．行列式0cab000bcd000d22222222（a）(ad?bc)2（b）?(ad?bc)2 （c）ad?bc （d）?ad?bc 【详解】0a0cab0a0ba0b00babab??a0d0?b0c0??ad?bc??(ad?bc)2cd0cdcdc0dc0d00d应该选（b）．8．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件【详解】若向量?1,?2,?3线性无关，则?10???（?1?k?3，?2?l?3）?(?1,?2,?3)?01??(?1,?2,?3)k，对任意的常数k,l，矩阵k的秩都等?kl???于2，所以向量?1?k?3，?2?l?3一定线性无关．?1??0??0???????而当?1??0?,?2??1?,?3??0?时，对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关，但?0??0??0???????． ?1,?2,?3线性相关；故选择（a）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1dx? 2x?2x?511dx1x?11dx??|??????x2?2x?5???(x?1)2?42219．?1??【详解】1????3?． ??(?)??2?42?810．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f(x)?2(x?1),x??0,2?，则f(7)?．【详解】当x??0,2?时，f(x)??2(x?1)dx?x2?2x?c，由f(0)?0可知c?0，即f(x)?x2?2x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7)?f(?1)?f(1)?1．11．设z?z(x,y)是由方程e2yz?x?y2?z?7确定的函数，则dz|?11??．?,?4?22?【详解】设f(x,y,z)?e2yz71?x?y2?z?，fx?1,fy?2ze2yz?2y,fz?2ye2yz?1，当x?y?42时，z?0，fyf11?z1?z1??x??，????，所以dz|?11???dx?dy．?,?22?xfz2?yfz2?22?????,?处的切线方程为 22??2．曲线l的极坐标方程为r??，则l在点(r,?)??【详解】先把曲线方程化为参数方程??x?r(?)cos???cos???，于是在??处，x?0,y?，22?y?r(?)sin???sin??2dysin???cos?2????|??|???，则l在点(r,?)??,?处的切线方程为y???(x?0)，即2?dx2cos???sin?2??22?y??2x??2?.213．一根长为1的细棒位于x轴的区间?0,1?上，若其线密度?(x)??x?2x?1，则该细棒的质心坐标x?11(?x?2x?x)dx?11?00【详解】质心坐标x?1． ?1??25?0?(x)dx?0(?x?2x?1)dx3201x?(x)dx1322214．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是．【详解】由配方法可知2f(x1,x2,x3)?x12?x2?2ax1x3?4x2x32?(x1?ax3)2?(x2?2x3)2?(4?a2)x3由于负惯性指数为1，故必须要求4?a?0，所以a的取值范围是??2,2?．2三、解答题15．（本题满分10分）?求极限limx???x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．21t【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】x????limx1(t(e?1)?t)dtx2ln(1?1)x21t??limx???x1(t(e?1)?t)dtx21t?lim(x2(e?1)?x)x??1x111??1?lim?x2(??o()?x??22x??x2xx??216．（本题满分10分）已知函数y?y(x)满足微分方程x2?y2y?1?y，且y(2)?0，求y(x)的极大值和极小值．【详解】解：把方程化为标准形式得到(1?y)2dy?1?x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分dx 可得方程通解为：1312y?y?x?x3?c，由y(2)?0得c?， 333即1312y?y?x?x3?． 333dy1?x2d2y?2x(1?y2)2?2y(1?x2)2 令；??0，得x??1，且可知2? dx1?y2dx(1?y2)3当x?1时，可解得y?1，y??1?0，函数取得极大值y?1；当x??1时，可解得y?0，y?2?0，函数取得极小值y?0． 17．（本题满分10分）【篇三：考研数二历年真题(2016-2003)】t>一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1１．当x?0时，若ln?(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围?是（）（a）(2,??)（b）(1,2) （c）(,1) （d）(0,) 2．下列曲线有渐近线的是（a）y?x?sinx （b）y?x2?sinx（c）y?x?（d）y?x?12121x21 x3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（）（a）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （b）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （c）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （d）当f??(x)?0时，f(x)?g(x)?x?t2?7,4．曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是（） 2?y?t?4t?1（Ａ）（Ｂ） (Ｃ）（Ｄ）5 501005．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf(?)，则x?0?2x2?（）（Ａ）1（Ｂ）121（Ｃ）（Ｄ）332?2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0?x?y?2u?2u及． ?2?0，则（）2?x?y（a）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；（b）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；（c）u(x,y)的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；（d）u(x,y)的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．7．行列式0aa0b00b0cd0c00d等于22（a）(ad?bc)（b）?(ad?bc) （c）ad?bc （d）?ad?bc222222228．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．?1??1dx? 2x?2x?510．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f(x)?2(x?1),x??0,2?，则f(7)?11．设z?z(x,y)是由方程e2yz?x?y2?z?7确定的函数，则dz|?11??．?,?4?22?12．曲线l的极坐标方程为r??，则l在点(r,?)??????,?处的切线方程为．22??213．一根长为1的细棒位于x轴的区间?0,1?上，若其线密度?(x)??x?2x?1，则该细棒的质心坐标x?．2214．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是．三、解答题 15．（本题满分10分）?求极限limx???x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．21t16．（本题满分10分）已知函数y?y(x)满足微分方程x2?y2y?1?y，且y(2)?0，求y(x)的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）22xsin(?x?y)22dxdy 设平面区域d?(x,y)|1?x?y?4,x?0.y?0．计算??x?yd??18．（本题满分10分）?2z?2z设函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(ecosy)满足?2?(4z?excosy)e2x．若2?x?yxf(0)?0,f(0)?0，求f(u)的表达式．19．（本题满分10分）设函数f(x),g(x)在区间?a.b?上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明：（1） 0?（2）?bxag(t)dt?x?a,x??a,b?；f(x)dx??f(x)g(x)dx．ab?a??ag(t)dta20．（本题满分11分）设函数f(x)?x,x??0,1?，定义函数列 1?xf1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，?,fn(x)?f(fn?1(x)),?设sn是曲线y?fn(x)，直线x?1,y?0所围图形的面积．求极限limnsn．n??21．（本题满分11分）已知函数f(x,y)满足?f且f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny，求曲线f(x,y)?0?2(y?1)，?y所成的图形绕直线y??1旋转所成的旋转体的体积． 22．（本题满分11分）?1?23?4???设a??01?11?，e为三阶单位矩阵．?1203???（1）求方程组ax?0的一个基础解系；（2）求满足ab?e的所有矩阵．23．（本题满分11分）?1??1证明n阶矩阵????1?1?1??0?01????1?1??0?02?与?相似． ????????????1?1??0?0n??2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、下列反常积分中收敛的是（）??（a）?2（b）???2lnx(c)xx2t???21(d)xlnx???2x xe2、函数f(x)?lim(1?t?0sint)在(??,??)内（） x（a）连续（b）有可去间断点（c）有跳跃间断点 (d)有无穷间断点1???xcos?,x?0(??0,??0)，若f?(x)在x?0处连续，则（） 3、设函数f(x)??x?0,x?0?（a）????1 (b)0?????1 (c)????2 (d)0?????24、设函数f(x)在(??,??)连续，其二阶导函数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)的拐点个数为（）（a）0 (b)1 (c)2 (d)35、设函数f(u，v)满足f(x?y,)?x?y，则yx22?f?f与依次是（） ?uu?1?vu?1v?1v?1（a）1111,0(b)0，（c）-,0(d)0 ,- 22226、设d是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y围成的平面区域，函数f(x,y)在d上连续，则???f(x,y)dxdy=（）d（a）?d?241sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr（b）?2d?4f(rcos?,rsin?)dr?（c）?34d?1sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr（d）?3d?4f(rcos?,rsin?)dr?111??1??????14a2??d2?????分必要条件为（）（a）a??,d?? (b)a??,d?? (c)a??,d?? (d) a??,d??2228、设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?py下的标准形为2y1?y2?y3,其中p=(e1,e2,e3)，若q?(e1,e3,?e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换x?py下的标准形为（） 222222222222(a)2y1 (b) 2y1(c) 2y1(d)2y1 ?y2?y3?y2?y3?y2?y3?y2?y3二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编29(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编29(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：米)处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分的面积的数值依次为10，20，3。
计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10。
B．15＜t0＜20。
C．t0=25。
D．t0＞25。
正确答案：C解析：从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为v1(t)dt和v2(t)dt。
要使乙追上甲，则需[v2(t)－v1(t)]dt=10。
由定积分的几何意义可知∫025[v2(t)－v1(t)]dt=20－10=10，则t0=25。
故选C。
知识模块：一元函数积分学2．设f(x)=x2(x－1)(x－2)，则f’(x)的零点个数为( )A．0。
B．1。
C．2。
D．3。
正确答案：D解析：因为f(0)=f(1)=f(2)=0，由罗尔定理知有ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)使f’(ξ1)=f’(ξ2)=0，所以f’(x)至少有两个零点。
又f’(x)中含有因子x，故x=0也是f’(x)的零点，D正确。
知识模块：中值定理填空题3．一根长为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x)=－x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=_______。
正确答案：11／20解析：质心横坐标其中∫01xρ(x)dx=∫01x(－x2+2x+1)dx=(－)|01=11／12，∫01ρ(x)dx=∫01(－x2+2x+1)dx=(－+x2+x)|01=5／3，所以得知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4．设函数f(x)=，x∈[0，1]，定义函数列：f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，…，fn(x)=f[fn－1(x)]，…。
考研数学二(线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型)历年
考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A＝(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)T是线性方程组Ax：O的一个基础解系，则A”x：0的基础解系可为A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D解析：[详解] 因为(1，0，1，0)T为方程组Ax＝0的一个基础解系，故r(A)＝3，r(A*)＝1．于是A*x＝0的基础解系含线性无关向量个数为3．又(1，0，1，0)T为Ax＝0的解，从而α1＋α3＝0．由A*A＝｜A｜E＝0得α1，α2，α3，α4均为A*x＝0的解．故α2，α3，α4可作为A*x＝0的基础解系．故应选(D)．知识模块：线性方程组2．设有齐次线性方程组Ax＝0和Ax＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax＝0的解均是Ax＝0的解，则r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解；③若Ax＝0与Bx＝0同解，则r(A)＝r(B)；④若r(A)＝r(B)，则Ax＝0与Bx＝0同解．以上命题正确的是A．①②．B．①③．C．②④．D．③④．正确答案：B解析：[分析] 本题也可找反例用排除法进行分析，但①和②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项．[详解] 若Ax＝0与Bx＝0同解，则n－r(A)＝n－r(B)，即r(A)＝r(B)，命题③成立，可排除(A)，(C)；但反过来，若r(A)＝r(B)，则不能推出Ax＝0与Ax＝0同解，如，则r(A)＝r(B)＝1，但Ax＝0与Bx＝0与Bx＝0不同解，可见命题④不成立，排除(D)，故应选(B)．[评注] Ax＝0与Bx＝0同解的充要条件是A，B的行向量组等价．知识模块：线性方程组3．设A为4阶实对称矩阵，且A2＋A＝0，若A的秩为3，则A与A相似于B．C．D．正确答案：D解析：[详解]设λ为A的特征值，由A2＋A＝0，知特征方程为λ2＋λ＝0，所以λ＝－1或0．由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A～A，r(A)＝r(A)＝3，因此，应选(D)．[评注1]若A可对角化，则r(A)＝矩阵A 的非零特征值的个数．[评注2]本题由A2＋A＝0即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉．知识模块：矩阵的特征值与特征向量4．矩阵相似的充分必要条件为A．a＝0，b＝2．B．a＝0，b为任意常数．C．a＝2，b＝0．D．a≠0，b为任意常数．正确答案：B解析：[分析]利用结论：两个可对角化的矩阵相似的充：分必要条件是有相同的特征值．[详解]记矩阵．显然，矩阵B的特征值为2，b，0，而矩阵A与B 相似的充分必要条件是有相同的特征值，所以｜2E—A｜＝[2513*]＝－4a2＝0，得a＝0．当a＝0时，由｜2E—A｜＝｜λE－A｜＝，得矩阵A的特征值为2，b，0．故当a＝0时，对任意常数b，矩阵A与B相似，且反之亦成立．故选(B)．[评注]对于不可以对角化的两矩阵，特征值相同不能推出相似．知识模块：矩阵的特征值与特征向量5．设矩阵，则A与BA．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正确答案：B解析：[详解] 由｜λE－A｜＝0得A的特征值为0，3，3，而B的特征值为0，1，1，从而A与B不相似．又r(A)＝r(B)＝2，且A、B有相同的正惯性指数，因此A与B合同．故应选(B)．[评注1] 若A与B相似，则｜A｜＝｜B｜；r(A)＝r(B)；tr(A)＝tr(B)；A与B有相同的特征值．[评注2]若A、B为实对称矩阵，则A与B合同r(A)＝r(B)，且A、B有相同的止惯性指数．[评注3]二次型对数学二来说，2007年是首次要求考查的内容．知识模块：二次型6．设，则在实数域上与A合同的矩阵为A．C．D．正确答案：D解析：[分析]两个实对称矩阵合同的充要条件是其秩相同且有相同的正惯性指数或者说其正、负特征值的个数分别相同．[详解] 记于是A与D为实对称矩阵，且特征多项式相同，故A与D相似，从而A与D合同．[评注](1)若A、B为实对称矩阵，则A与B相似A与B有相同的特征值．(2)若A、B 为实对称矩阵，则A与B相似→与B合同．但反之不一定成立．知识模块：二次型填空题7．设方程有无穷多个解，则a＝_______．正确答案：应填－2．解析：[分析] 先化增广矩阵为阶梯形，再由系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于3求a．[详解] 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形，有可见，只有当a＝－2时才有，对应方程组有无穷多个解．[评注] 本题也可按下述方式求参数a：当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解，因此满足题设条件的a一定使系数行列式为零，即有解得n＝－2或a＝1．由于答案有两个，此时应将其代回原方程进行检验．显然，当a＝1时，原方程无解，因此只能是a＝－2．知识模块：线性方程组8．矩阵的非零特征值是_______．正确答案：应填4．解析：[分析] 本题属基本题，直接按定义求非零特征值即可．[详解] 因为｜λE－A｜＝＝λ2(λ－4)＝0，所以非零特征值为λ＝4．知识模块：矩阵的特征值与特征向量9．设A为n阶矩阵，｜A｜≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值λ，则(A*)2＋E必有特征值________．正确答案：应填．解析：[分析] 从特征值、特征向量的定义Ax＝λx，x≠0进行推导即可．[详解] 设Ax＝λx，x≠0，则A－1x＝λ－1x→｜A｜A－1x＝，x≠0．即，从而有E(A*)2＋E]x＝，x≠0，可见(A*)2＋E必有特征值．知识模块：矩阵的特征值与特征向量10．设3阶矩阵A的特征值是2，3，λ．若行列式｜2A｜＝－48，则λ＝_______．正确答案：应填－1．解析：[分析] 利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩阵的行列式即得．[详解] 因A的特征值的乘积等于｜A｜，又A为3阶矩阵，所以｜2A｜＝23｜A｜＝23×2×3×λ＝－48，故λ＝－1．知识模块：矩阵的特征值与特征向量11．若二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋x32＋2x1x2＋2x1x3＋2x2x3，则f的正惯性指数为_______．正确答案：应填2．解析：[分析]正惯性指数就是二次型的标准形中正项的个数，可用特征值或配方法求解。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编31(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编31(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(u)连续，区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，则f(xy)dxdy等于( ) A．∫－11dxf(xy)dy。
B．2∫02dyf(xy)dx。
C．∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)dr。
D．∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr。
正确答案：D解析：积分区域如图所示。
在直角坐标系下，故应排除A，B。
在极坐标系下，则f(xy)dxdy=∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr，故应选D。
知识模块：二重积分2．设f(x，y)为连续函数，则∫0π／4dθ∫01f(rcosθ，rsinθ)rdr等于( ) A．B．C．D．正确答案：C解析：先还原出积分区域，由于r的取值范围为0到1，可知积分区域在圆x2+y2=1的内部；又由于θ的取值范围为0到π／4，可知积分区域为x的正半轴和射线θ=π／4之间的部分。
如图所示：由积分区域的形状可知，应该先对x 积分，可得原式=f(x，y)dx。
知识模块：二重积分3．设函数f连续，若F(u，v)=dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则=( )A．vf(u2)。
B．v／uf(u2)。
C．vf(u)。
D．v／uf(u)。
正确答案：A解析：图中所示区域用极坐标表示为0≤θ≤v，1≤r≤u。
因此可知F(u，v)=dxdy=∫0vdθ∫1uf(r2)／rrdr=v∫1uf(r2)dr，根据变限积分求导可得=vf(u2)。
知识模块：二重积分4．设D是第一象限由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，y=x围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则f(x，y)dxdy=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：先作出积分区域的图形，如下图：可知θ的取值范围为π／4≤θ≤π／3，r的取值范围为，另外需要注意极坐标和直角坐标之间的变换公式为dxdy=rdθdr。
考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2012年试题，一)设(k=1，2，3)，则有( )．A．l1先比较l1，l2，由于l2-l1=因此l2＜l1．再比较l2，l3，l3一l2=ξ2＞0，ξ2∈(2π，3π)．因此l3＞l2最后比较l1，l3．l2一l1=令t=x一2π，则l3一l1因此l3＞l1，综上有l3＞l1＞l2，选D．知识模块：一元函数积分学2．(2003年试题，二)设则极限等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设，所以由于所以选B．[评注]考查定积分的计算和求数列极限．知识模块：一元函数积分学3．(2002年试题，二)设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，逐一分析4个选项，设f1(x)=则,因此f(x)为奇函数．设f2(x)=则由于f(x)的奇偶性未给定，所以f2(x)的奇偶性不确定，设f3(x)=，则因此f(x)为奇函数．设f4(x)=则,因此f4(x)为偶函数，综上，选D．[评注]的奇偶性与f(x)奇偶性的关系是：若f(x)为奇函数，则为偶函数；若f(x)为偶函数，则为奇函数．知识模块：一元函数积分学4．(1999年试题，二)设则当x→0时，α(x)是β(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但不等价的无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：由题设，因此当x→0时，α(x)是β(x)的同阶但不等价无穷小，选C．[评注]考查无穷小量的比较及极限的计算．知识模块：一元函数积分学5．(1997年试题，二)设则F(x)( )．A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：由题设，被积函数f(x)=esinx.sinx具有周期2π，所以[评注]判定F(x)是否为常数，看F’(x)是否恒为0即可，然后再取特殊值即可判定F(x)是正常数，还是负常数或恒为0等．知识模块：一元函数积分学6．(2010年试题，4)设m，n是正整数，则反常积分的收敛性( )．A．仅与m的取值有关B．仅与n有关C．与mn取值都有关D．与m，n取值都无关正确答案：D解析：无界函数的反常积分有两个瑕点x=0和x=1，同理，x→0+时，In2(1一x)一x2，设q为一个常数，则又因为m，n是正整数，所以则必然存在q∈(0，1)，使得极限存在．同理，因x→1-时，对于任意小的δ∈(0，1)，有所以，根据无界函数的反常积分的审敛法2可知，该反常积分始终是收敛的，即它的敛散性与m，n均无关，故正确答案为D．知识模块：一元函数积分学7．(2009年试题，一)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形如图1—3—4所示，则函数的图形为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由定积分的性质可知y=f(x)的图像与x轴、y轴及x=x所围图形面积的代数和为所求函数F(x)，观察图形可得出如下结论：(I)当x∈[一1，0]时，F(x)≤0，为线性函数，且单调递增，从而排除A,C选项；(Ⅱ)当x∈[0，1]时，F(x)≤0且单调递减；(Ⅲ)当x∈[1，2]时，F(x)单调递增；(Ⅳ)当x∈[23]时，F(x)为常数函数，且连续，从而排除B选项．综上可知，正确选项为D. 知识模块：一元函数积分学8．(2008年试题，一)如图1—3—5所示，设图中曲线方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续导数，则定积分表示( )．A．曲边梯形ABOD的面积B．梯形ABOD的面积C．曲边三角形ACD的面积D．三角形ACD的面积正确答案：C解析：定积分因为af(a)是矩形ABOG的面积是曲边梯形ABOD的面积，二者之差就是曲边三角形ACD的面积．故应选C．知识模块：一元函数积分学9．(2007年试题，一)如图1—3—6所示，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周．设则下列结论正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：的大小跟曲线y=f(x)与x轴所围面积大小有关．因为F(3)故应选C．[评注]应用定积分的几何意义做本题较为简便，若直接去计算定积分，则十分复杂．知识模块：一元函数积分学填空题10．(2001年试题，一)_________.正确答案：解析：已知f(x)为连续函数，若f(x)为奇函数，则若f(x)为偶函数，则知识模块：一元函数积分学11．(1999年试题，一)函数在区间上的平均值为__________.正确答案：由平均值的定义知解析：理解平均值的概念，像曲率、弧长等概念也值得注意．知识模块：一元函数积分学12．(2009年试题，二)已知，则k=_________．正确答案：因为，所以极限存在．故k从而k=一2．涉及知识点：一元函数积分学13．(2010年试题，12)当0≤0≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为__________.正确答案：题设曲线的弧长涉及知识点：一元函数积分学14．(2003年试题，一)设曲线的极坐标方程为p=eπθ(a>0)，则该曲线上相应于θ，从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________．正确答案：由已知p=eπθ，则由极坐标下平面图形的面积公式知所求图形面积为解析：考查极坐标下平面图形的面积计算，极坐标下的面积微元为参数方程定义的曲线面积微元为dS=y(θ)x’(θ)dθ．知识模块：一元函数积分学15．(2002年试题，一)位于曲线y=xe-x(0≤x解析：无界图形的面积可由广义积分计算．知识模块：一元函数积分学16．(1998年试题，一)曲线y=一x3+x2+2x与x轴围成的图形的面积(不考虑负面积)S=__________．正确答案：先由已知y=一x3+x2+2x可得其与戈轴的三个交点，x1=一1，x2=0，x3=2，作出草图(见图1——11)可有助于用定积分表示面积S，因此涉及知识点：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1999年试题，二)记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：由题设，利用行列式的性质，由第2，3，4各列减第一列并将第2列加到第4列上得则由此不难求得x=0和x=1是f(x)=0的两个根，所以选B．[评注]行列式的基本计算方法一般有三种，第一种：根据行列式的概念进行完全展开，即n阶行列式对于阶数比较低的行列式常用这种方法；第二种：行列式的性质和行列式的按行(列)展开定理；第三种：先用行列式的性质化出尽可能多的零元素，然后再用行(列)展开定理降阶，化为低阶行列式进行计算．知识模块：行列式填空题2．(2010年试题，14)设A，B为三阶矩阵，且｜A｜=3，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1｜=__________．正确答案：因为A(A-1+B)B-1=(E+AB)B-1=A+B-1，所以｜A+B-1｜=A-1+B)B-1｜=｜A｜｜A-1+B｜｜B-1｜=又｜A｜=3，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，故｜A+B-1｜涉及知识点：行列式3．(2006年试题，一)设矩阵单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E则｜B｜=_________．正确答案：由已知BA=B+2E有B(A—E)=2E，两边取行列式得｜B｜．｜A —B｜=4因为所以｜B｜=2 涉及知识点：行列式4．(2005年试题，一)设a1，a2，a3均为三维列向量，记矩阵A=(a1，a2，a3)，B=(a1+a2+a3，a1+2a2+4a3，a1+3a2+9a3)如果｜A｜=1，那么｜B｜=__________正确答案：由题意，我们对矩阵B分块得于是有所以｜B｜=2解析：本题作为填空题，可用特殊值法，令A=E即可很快求出｜B｜=2．实际上，很显然矩阵B=[β1，β2，β3]的行列向量可由矩阵A的列向量线性表示，即β1=α1+α2+α2β2=-α1+2α2+4α3β3=α1+3α2+9α3所以B=[β1，β2，β3]=[α1，α2,α3] 知识模块：行列式5．(2004年试题，一)设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=__________.正确答案：由题设，，则｜A｜=3≠0，从而由公式AA*=A*A=｜A｜E知A*=｜A｜A-1=3A-1，则｜A*｜=33.3-1=9，将ABA*=2BA*+E变形为(A一2E)BA*=E，则｜A一2E｜｜B｜｜A*｜=｜E｜，其中所以解析：本题含有A的伴随矩阵A*，可利用伴随矩阵的性质A*A=AA*=｜A｜E，以后在解题过程中，关于A*的问题，通常会用到A*A=AA*=｜A｜E．知识模块：行列式6．(2003年试题，一)设三阶方阵A*B满足A2B一A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若则｜B｜=__________.正确答案：由题设所给方程A2B一A—B=E，得(A2一e)B=A+E，即(A+E)(A —E)B=A+E又由已知则且｜A一E｜2≠0，于是B=(A一E)-1(A+E)-1(A+E)=(A 一E)-1，因此解析：考查了矩阵的运算和行列式的计算，这类题一般用方程的思想来解决，要先化简再计算．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2022-2023学年辽宁省鞍山市成考专升本高等数学二自考真题(含答案带解析)
2022-2023学年辽宁省鞍山市成考专升本高等数学二自考真题(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.A.A.B.C.D.2.（）。
A.0B.1C.2D.43.（）。
A.-3B.0C.1D.34.（）。
A.B.C.D.5.6.（）。
A.B.C.D.7.8.9.10.11.12.【】A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.周期函数13.14.设函数f(x)在x=1处可导，且f(1)=0，若f"(1)＞0，则f(1)是（）。
A.极大值B.极小值C.不是极值D.是拐点15.（）A.无定义B.不连续C.连续但是不可导D.可导16.17.（）。
A.1/2B.1C.2D.318.19.函数y=lnx在(0,1)内（）。
A.严格单调增加且有界B.严格单调增加且无界C.严格单调减少且有界D.严格单调减少且无界20.21.【】A.(4,2)B.x=4C.y=2D.(2,4)22.23.下列命题正确的是（）。
A.函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点B.若x0为函数f(x)的驻点，则x0必为f(x)的极值点C.若函数f(x)在点x0处有极值，且f'(x0)存在，则必有f'(x0)=0D.若函数f(x)在点XO处连续，则f'(x0)一定存在24.25.（）。
A. B. C. D.26.27.A.A.B.C.D.28.A.A.B.C.D.29.设u=u(x)，v=v(x)是可微的函数，则有d(uv)=A.A.udu+vdvB.u'dv+v'duC.udv+vduD.udv-vdu30.二、填空题(30题)31.32.33.34.设函数y=e2x，则y"(0)=_____．35.36.37.38.设y=excosx，则y"=__________.39.y=(x)由方程xy=e y-x确定，则dy=__________.40.41.当x→0时，1-cos戈与xk是同阶无穷小量，则k= __________．42.43. 设函数y=1+2x，则y'(1)=_______。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学二历年真题答案解析
导言：
数学是一门抽象但却无处不在的学科，它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
无论是在物理学、工程学、经济学还是计算机科学中，数学都是不可或缺的基础。
因此，对于数学二这门课程来说，历年真题的学习和解析对我们的考试准备非常重要。
本文将通过对数学二历年真题的解析，帮助读者更好地理解和掌握这门学科。
第一部分：选择题解析
在数学二的考试中，选择题是占据大部分分值的题型，因此正确解析选择题可以为我们积累许多分数。
首先，我们来解析一道典型的选择题：
题目：已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 2，求f'(1)的值。
A. -1
B. 5
C. 9
D. 11
解析：我们可以通过求导的方法来解决这个问题。
首先，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的导函数f'(x) = 2ax + b。
根据
这个规律，我们对题目中的函数f(x)进行求导，得到f'(x) = 4x + 3。
然后，我们代入x=1，即f'(1) = 4(1) + 3 = 7。
由此可见，选
项A、B、C和D都不符合题目要求。
因此，正确答案应该是“E. 无正
确选项”。
通过这道例题的解析，我们可以看出，在选择题中，正确地运用
所学的数学规则和公式是解题的关键。
同时，我们还需要注意审题的
准确性和细节的处理，以避免由于粗心而导致错误的选择。
第二部分：解答题解析
在数学二的考试中，除了选择题，我们还需要解答一些较为复杂
的数学问题。
下面，我将为大家解析一道解答题的例子。
题目：已知函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x，求f"(1)的值。
解析：要求该函数在x=1处的二阶导数。
首先，我们需要求出
f'(x)，即一阶导数。
根据求导的方法，我们对函数f(x) = 3x^3 +
2x^2 - 5x进行求导，得到f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。
然后，我们对一阶导数f'(x)进行再次求导，得到二阶导数f"(x) = 18x + 4。
最后，我们将x=1代入二阶导数f"(x)中，即f"(1) = 18(1) +
4 = 22。
因此，题目的答案是22。
通过这个例题的解析，我们可以看出，在解答题中，我们需要运
用一系列的求导规则，并注意求导的次序和细致的计算过程。
只有正
确地运用这些方法，才能得到最终的答案。
第三部分：解答题与选择题之间的联系
解答题和选择题在数学二考试中都是非常重要的题型。
虽然它们的形式不同，但在解题的过程中，它们之间存在着一定的联系。
首先，解答题可以帮助我们更深入地理解和应用数学规则。
通过解答一道复杂的问题，我们需要综合运用所学的各种数学知识，从而更好地理解这些知识点。
其次，选择题则考察了我们对这些数学规则的理解程度。
通过选择题，我们可以检验自己对所学知识的掌握情况。
同时，选择题在一定程度上也是对解答题的简化和提炼，题目更加直接，解答起来也相对容易一些。
综上所述，解答题和选择题在数学二考试中都起着重要的作用。
通过正确解析这些题目，我们可以更好地理解数学的应用和运用，提高我们的解题能力。
结语：
数学二历年真题的答案解析对我们复习准备考试非常重要。
通过正确解析选择题和解答题，我们可以更好地掌握数学规则和技巧，提高我们的解题能力。
相信通过合理的学习和准确的解析，我们一定能够在数学二考试中取得好的成绩。
最后，希望大家都能在数学的世界中享受到学习的乐趣。