学习笔记-最小均方(LMS)自适应滤波

最小均方（LMS）自适应滤波

自适应滤波器实际上是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳滤波器，在设计时不需要预先知道关于输入信号和噪声的统计特性，它能够在工作过程中逐步“了解”或估计出所需的统计特性，并以此为依据自动调整自身的参数，以达到最佳滤波效果

图 2.1 自适应滤波器的原理图

自适应滤波器的特性变化是由自适应算法通过调整可编程滤波器系数来实现的。一般而言，自适应滤波器由可编程滤波器（滤波部分）和自适应算法（控制部分）两部分组成。

自适应滤波器可以构成自适应的噪声抵消器，它可以消除叠加在信号上的，在同一频段内的不相关的噪声。自适应噪声抵消器模型，如图 2.2 所示。

图 2.2 自适应噪声抵消器模型

最小均方（LMS ）算法是基于最小均方误差（MMSE ）准则的维纳滤波器和最陡下降法的基础上，由 Widrow 和 Hoff 于 1960 年提出的。固定步长最小均方（LMS ）自适应算法也常称为标准 LMS 算法，它以期望响应和滤波输出信号之间误差的均方值最小为目标，它依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数以达到最优的自适应迭代算法。

下面以横截型结构的自适应 FIR 滤波器为例，进行最小均方算法的公式推导。

图 2.3 自适应横截型滤波器结构框图

设滤波器系数矢量为()()()()T M n w n w n w n w ][121-= ，滤波器抽头输入信号矢量为()()()()T M n x n x n x n x ]11[+--= ，自适应横截型滤波器结构框图，如图 3.1 所示。滤波器输出信号()n y 为：

()()()()()i n x n w n x n w n y M i i T

-=*=∑-=1

0 上式中“T ”表示转置，n 为时间指针，M 为滤波器长度。那么滤波器误差信号 e(n)表示为：

()()()()()()n x n w n d n y n d n e T *-=-=

基于 Widrow Hoff 的 LMS 算法，即随机梯度法，采用瞬时()()n x n e 2-来替代上式()()[]n x n e E 2-的估计运算，则有迭代公式：

()()()()n x n e n w n w **+=+μ21

其中 µ 是步长因子。基于最小均方误差准则的最小均方（LMS ）算法设计流程为:

（1）自适应滤波算法的参数初始化:N(自适应滤波器长度)、 µ (步长因子，LMS 算法稳定的收敛条件为:0 <µ <1/λmax ，λmax 是输入信号自相关矩阵的最大特

征值)；

（2）设置初始条件： w(0) =0 或由先验知识确定；

（3）自适应信号处理：取得 x(n) ， d(n) ，对每一时刻 n=1,2,…进行迭代计算

滤波：)()()(n x n w n y T =

误差估计：)()()(n y n d n e -=

权向量更新：)()(2)()1(n x n e n w n w μ+=+

要使 LMS 算法权向量收敛于均值，步长因子 µ 需满足下面条件:

max 10λμ<<

式中λmax 是输入信号自相关矩阵 R 的最大特征值，且 λmax 不可能大于 R

的轨迹（R 的对角元素之和），由于 tr[R]正好是(M+1)倍输入信号功率，M 为滤波器长度。权向量均值的收敛条件可定义为：

输入信号功率)1(1

0+<

LMS 算法的收敛速度，主要取决于输入信号的特性。其特征值的分散程度可以通过输入信号的最大和最小谱幅度的比率估计。对于具有相对平坦的幅频特性的信号，例如白噪声，它可以得到较快的收敛速度。但是对于一些其他信号，如语音信号，由于它们包含有一些功率差异比较大的信号成分，因而其特征值比较分散，从而导致算法的收敛速度比较慢。