专题4 电场强度的几种求解方法-2021年高考物理静电场

静电场考点突破微专题4 电场强度的几种计算方法一 知能掌握1.基本公式法：定义式法、点电荷电场强度公式法、匀强电场公式法.场强有三个公式：E ＝F q 、E ＝k Q r 2、E ＝U d，在一般情况下可由上述公式直接计算场强， 2.矢量叠加法：电场强度是矢量，叠加时应遵从平行四边形定则，分析电场的叠加问题的一般步骤是：(1)确定分析计算场强的空间位置；(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；(3)依次利用平行四边形定则求出矢量和．在求解带电圆环、带电平面、带电球面等一些特殊带电体产生的场强时，上述公式无法直接应用．这时，如果转换思维角度，灵活运用补偿法、对称法、微元法、极限法、等效法等巧妙方法，可以化难为易．3.对称法：对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。

利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．（1）场源分段对称例如：如图1，均匀带电的34球壳在O 点产生的场强，等效为弧BC 产生的场强，弧BC 产生的场强方向，又等效为弧的中点M 在O 点产生的场强方向.图1（2）电场空间对称例如等量同种、等量异种电场强度的对称性4.微元法：微元法就是将研究对象分割成若干微小的的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。

将带电圆环、带电平面等带电体分成许多微元电荷，每个微元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个微元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．5.等效法：“等效替代”方法，是指在效果相同的前提下，从A事实出发，用另外的B事实来代替，必要时再由B而C……直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应联系，得以用有关规律解之。

如以模型代实物，以合力（合运动）替代数个分力（分运动）；等效电阻、等效电源等。

（1）割补法等效求解物理问题，要根据问题给出的条件建立起物理模型。

但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。

这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题。

如图2将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．图2 图3（2）类比法等效在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图3甲、乙所示．（3）平衡法等效：利用处于静电平衡中的导体求解电场强度6.极值法：极限法是把某个物理量的变化推向极端，从而做出科学的推理分析，给出判断或导出一般结论．用极限法分析某些物理过程时，可以使问题化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果．该方法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况．物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。

物理型主要依据物理概念、定理求解。

数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。

如图4所示，两带电量均为+Q的点电荷相距2L，MN是两电荷连线的中垂线，分析MN上场强的变化。

图4时可以用极值法讨论：无限远处场强为零，中点处场强为零，所以从总店向外先变大后变小二探索提升题型一基本公式法求电场强度【典例1】(多选)把a、b两个完全相同的导体小球分别用长为l的绝缘细线拴接，小球质量均为m。

先让a球带上＋q的电荷量并悬挂于O点，如图5所示。

现将不带电的小球b也悬挂于O点(图中未画出)，两球接触后由于静电斥力分开，平衡时两球相距l。

已知重力加速度为g，静电力常量为k，带电小球可视为点电荷。

关于a球所受的静电力大小F及O点处的场强大小E，下列正确的是()图5A.F＝33mg B.F＝3mg C.E＝3kql2D.E＝3kq2l2【答案】AD【解析】对平衡时的a球受力分析如图6所示，由正交分解法可得F T sin 60°＝mg，F T cos 60°＝F，联立解得F＝33mg，选项A正确，B错误；两小球接触后电荷量会平分，则每个小球的电荷量都为＋q2，由点电荷的场强公式可得两球分别在O点产生的场强为E a＝E b＝kq2l2＝kq2l2，由平行四边形定则可得E＝2E a cos 30°＝3kq2l2，选项C错误，D正确。

图6题型二矢量叠加法求电场强度：【典例2】图7中a、b 是两个点电荷，它们的电量分别是Q1、Q2，MN是ab连线的中垂线，P是中垂线上的一点．下列哪种情况能使P点场强方向指向MN的左侧？（）图7A.Q1、Q2都是正电荷，且Q1<Q2B.Q1、Q2都是负电荷，且|Q1|>|Q2|C.Q1是负电荷，Q2是正电荷，且|Q1|<Q2D.Q1是正电荷，Q2是负电荷，且Q1>|Q2|【答案】AD【解析】利用在该点正电荷所受电场力方向为电场强度方向来确定各自电场强度方向．然后两点电荷在同一点的场强是由各自电场强度矢量叠加而成的．正点电荷在某点的电场强度方向是这两点的连线且背离正电荷，而负点电荷在某点的电场强度方向是这两点的连线且指向负电荷．A、当两点电荷均为正电荷时，若电荷量相等，则它们在P点的电场强度方向沿MN背离N方向．当Q1＜Q2时，则b点电荷在P点的电场强度比a点强，所以电场强度合成后，方向偏左．当Q1＞Q2时，则b点电荷在P点的电场强度比a点弱，所以电场强度合成后，方向偏右．故A正确；BD、当Q1、Q2是负电荷时，b点电荷在P点的电场强度方向沿bP连线指向b点，而a点电荷在P点的电场强度方向沿aP连线指向a点，由于|Q1|＞|Q2|，则合电场强度方向偏左．故B错误，D正确；C、当Q1是负电荷，Q2是正电荷时，b点电荷在P点的电场强度方向沿bP连线指向b点，而a点电荷在P点的电场强度方向沿aP连线背离a点，则合电场强度方向偏左．不论它们的电量大小关系，仍偏左．故C错误；故选：AD．题型三对称法求电场强度1.场源分段对称【典例3】如图8所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度等于E0．两个平面通过同一条直径，夹角为α，从半球中分出一部分球面，则所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O处的电场强度为（）图8A 、E=E0sin αB 、E=E0cos αC 、E=E0sin α/2D 、E=E0cos α/2 【答案】 C【解析】本题解题关键是抓住对称性，作出两部分球面上电荷产生的电场分布图．半球的中心O 处电场强度E0是部分球面上电荷产生的电场叠加的结果，根据对称性，作出球面上的电荷在O 点产生的电场分布，由平行四边形定则求解“小瓣”球面上的电荷在O 处的电场强度．根据对称性，作出球面上的电荷在O 点产生的电场分布，如图8所示，由平行四边形定则得到“小瓣”球面上的电荷在O 处的电场强度E=E0sin α/2 ，故选C图92、场空间对称【典例4】 (2019年辽宁抚顺一中模拟)如图10所示，一半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷量为Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a 、b 、d 三个点，a 和b 、b 和c 、c 和d 间的距离均为R ，在a 点处有一电荷量为q (q >0)的固定点电荷，已知b 点处的场强为零，则d 点处场强的大小为(k 为静电力常量)( )图10A ．k 3q R2 B ．k 10q 9R 2 C ．k Q ＋q R 2 D ．k 9Q ＋q 9R 2 【答案】 B【解析】 a 处电荷量为q 的点电荷在b 点处产生电场强度为E ＝k q R 2，由于q 与Q 在b 点处的合场强为零，则圆盘在b 处产生电场强度为E ＝k q R 2.由对称性知，圆盘在d 点处产生电场强度也为E ′＝k q R 2.而a 点处电荷量为q 的点电荷在d 点处产生电场强度为E ″＝k q（3R ）2，由于a 点处的点电荷与圆盘在d 点处产生的电场强度方向相同，所以两者在d 点处产生的合场强为E 合＝E ′＋E ″＝k 10q 9R 2，故B 对． 【典例5】如图所示,在正方形四个顶点分别放置一个点电荷,所带电荷量已在图中标出,则下列四个选项中,正方形中心处场强最大的是( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】A 、根据点电荷电场强度公式2r KQ E ,结合矢量合成法则,两个负电荷在正方形中心处场强为零,两个正点电荷在中心处电场强度为零,故A 错误;B 、同理,正方形对角线异种电荷的电场强度,即为各自点电荷在中心处相加,因此此处的电场强度大小为222rKQ ,所以B 选项是正确的;C 、同理,正方形对角线的两负电荷的电场强度在中心处相互抵消,而正点电荷在中心处,叠加后电场强度大小为2rKQ ,故C 错误; D 、根据点电荷电场强度公式,结合叠加原理,则有在中心处的电场强度大小22r KQ ,故D 错误. 所以B 选项是正确的.题型四 微元法【典例6】如图11所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q ，半径为R ，圆心为O ，P 为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP ＝L ，试求P 点的场强。

图11【答案】k QL（R 2＋L 2）32 【解析】严格的说，微分法是利用微积分的思想处理物理问题的一种思想方法，对考生来说有一定的难度，但是在高考题中也时而出现，所以，在复习过程中要进行该方法的思维训练，以适应高考的要求。

如图所示，设想将圆环看成由n 个小段组成，当n 相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量Q ′＝Q n ，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在P 处产生的场强为E ＝kQ nr 2＝kQ n （R 2＋L 2）。

由对称性知，各小段带电体在P 处场强E 的垂直于中心轴的分量E y 相互抵消，而其轴向分量E x 之和即为带电环在P处的场强E P，E P＝nE x＝nkQ n（R2＋L2）cos θ＝kQL（R2＋L2）32。

图12题型五等效法求电场强度1.割补法等效【典例7】如图13所示，用长为L的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d远远小于r，将电量为Q的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。

图13【答案】K Q＇/r2,背向圆心向左【解析】中学物理只讲到有关点电荷强的计算公式和匀强电场场强的计算方法以，本题是求一个规则带电体所产生的电场，没有现成公式直接可用，需变换思维角度。

假设将这个圆环缺口补上，并且已补缺部分的电荷密度与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相应点的点电荷，它们在圆心O处产生的电场叠加后合场强为零。