自动检测技术(第二版)课后题答案

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公式和图的带黄色的编号不用管他
1.1 什么是检测装置的静态特性？其主要技术指标有哪些？ 答：静态特性是指检测系统在被测量各值处于稳定状态时，输出量与输入量之间的关系特性。

静态特性的主要技术指标有：线性度、精度、灵敏度、迟滞、重复性、分辨力、稳定性、可靠性等。

1.2 什么是检测装置的动态特性？其主要技术指标有哪些？
答：动态特性是指动态测量时，输出量与随时间变化的输入量之间的关系。

动态特性的主要技术指标有：动态误差、响应时间及频率特性等。

1.3 不失真测试对测量系统动态特性有什么要求？
答：①输入信号中各频率分量的幅值通过装置时，均应放大或缩小相同的倍数，既幅频特性是平行于横轴的直线；
②输入信号各频率分量的相角在通过装置时作与频率成正比的滞后移动，即各频率分量通过装置后均延迟相同的时间t ，其相频率特性为一过原点并有负斜率的斜线。

1.4 测量系统动态参数测定常采用的方法有哪些？ 答：动态特性参数测定方法常因测量系统的形式不同而不完全相同，从原理上一般可分为正弦信号响应法、阶跃信号响应法、脉冲信号响应法和随机信号响应法等。

1.5 某位移传感器，在输入位移变化1mm 时，输出电压变化300mv ，求其灵敏度？ 答：灵敏度可采用输出信号与输入信号增量比表示，即
3001
300==∆∆=
x u k mv/mm
1.6 用标准压力表来校准工业压力表时，应如何选用标准压力表精度等级？可否用一台0.2级，量程0～25MPa 的标准表来检验一台1.5级，量程0～
2.5MPa 的压力表?为什么？ 解：选择标准压力表来校准工业用压力表时，首先两者的量程要相近，并且标准表的精度等级要高于被校表精度等级，至少要高一个等级。

题中若标准表是0.2级，量程0～25MPa ，则该标准表可能产生的最大绝对误差为
2.0)025(1max ⨯-=∆％＝0.05MPa
被校表是1.5等级，量程0～2.5MPa ，其可能产生的最大绝对误差为
5.1)05.2(2max ⨯-=∆％＝0.0375MPa
显然1max ∆>2max
∆，这种选择是错误的，因为虽然标准表精度等级较高，但是它的量程太大，故不符合选择的原则。

1.7 某一阶系统，在t ＝0时，输出10mv ；t ∞→时，输出为100mv ；在t ＝5s 时，输出为50mv ，试求该系统的时间常数τ＝？ 答：对一阶系统在阶跃响应曲线后，输出值达到阶跃值为63.2％所用时间为一阶测量系统的时间常数τ。

但这样确定τ值没有涉及响应全过程，为此采用如下方法，可以获得较为可靠的τ值。

由一阶系统的阶跃响应曲线表达式
x e k t y t
)1()(τ-
-=
可得出 τt
e kx
t y -=-)
(1 令 τ
t
z -
=
则))
(1ln(kx
t y z -
= 由以上分析可以看出z 与t 成线性关系，此处设静态灵敏度系数k ＝1，输入阶跃信号为
x ＝ 0
（t<0
）
100mv (t 0≥)
由题意给出的y （t ）值，可以计算作出
z －t 直线如题图1.5(1.7)所示
t ＝0s ，z ＝－0.1053 t ＝5s ，z ＝-0.6931
则τ值为z －t 直线的斜率，即
s z t 5.85878
.05=--=∆∆-
=τ
1.8 某二阶系统力传感器，已知系统固有频率100=f kHz ，阻尼比6.0=ξ，如果要求其幅值误差小于10％，求其可测信号频率范围？
答：讨论系统动态特性时，常用无量纲幅值比A （ω）。

20
2220)(4])(
1[)(ωω
ξωωω+-=
k
A
令：静态灵敏度系统k ＝1，由题意要求幅值误差小于10％，则要满足
101)(-≥ωA ％＝90％
故得 20
2220)(4])(
1[)(ωωξωωω+-=
k
A ＝0.9
将k=1和6.0=ξ代入上式解出方程式的解
我的计算结果为0.84
我的计算结果为0.9165 k f f 6.91096.096.00=⨯=⨯=Hz
所以可测频率最高达9.6kHz
1.9 已知某测量系统静态特性方程为x
e Y =, 试分别用端基法、最小二乘法，在0<x<1范围内拟合刻度直线方程，并求出相应线性度？
答：（1）端基法：在测量两端点间连直线为拟合直线①KX a Y +=0。

则
718.10
11
,10=--=
=e K a 。

得端基法刻度直线方程为X Y 718.11+=。

由
0)]
718.11([=+-dX
X e d X 解得X ＝0.5413处存在最大偏差 2118.0)
718.11(5413
.0max =+-=∆=X X X e Y
得端基法线性度
100max ⨯∆=
•S F L Y Y δ％＝1001
2118
.0⨯-e ％＝12.3％ （2）最小二乘法：求拟合刻度直线②。

根据计算公式测量范围分成6等取n ＝6，列表如
下：
分别计算
2.2,43
3.6,479.10,32
====∑∑∑∑X
XY Y X 。

由公式得
894.02
.2632
.2479.103433.6)(2
2
2
2
=⨯-⨯-⨯=
-•-•=
∑∑∑∑∑∑X
n X X Y X XY a K ＝
705.12
.263433
.66479.103)(22
2
=⨯-⨯-⨯=
-•-•∑∑∑∑∑X
n X Y X n Y X
得最小二乘法拟合直线方程为X Y 705.1894.0+=。

由
0)]
705.1894.0([=+-dX
X e d X 解出X ＝0.5335。

故 0987.0)
705.1894.0(5335
.0max =+-=∆=X X X e Y
得最小二乘法线性度
=
L δ1001
0987
.0⨯-e ％＝5.75％ 此题计算结果表明用最小二乘法拟合的刻度直线L δ值最小，因而此法拟合精度最高，在计算过程中若n 取值愈大，则其拟合刻度直线L δ值愈小。

用两种方法拟合刻度直线如题图1.6(1.9)所示。

0.8
1.01.21.41.61.8
2.02.22.42.62.8
图1-9
1.10 某玻璃水银温度计微分方程式为i Q Q dt
dQ 300
10224
-⨯=+，式中，0Q 为水银柱高度（m ）;i Q 为被测温度（℃）。

试确定该温度计的时间常数和静态灵敏度系数。

答：该温度计为一阶传感器，其微分方程基本型式为X b Y a dt
dY
a 001=+，此式与已知微分方程比较可得时间常数与静态灵敏度系数，即
s a a 22
4
01===
τ 33
00102
102--=⨯==a b K m/℃
1.11 某压电式加速度计动态特性可用下述微分方程描述
a q dt dq dt
dq 101032
2100.111025.2100.3⨯=⨯+⨯+式中，q 为输出电荷（pC ）；a 为输入加速度（m/s 2）。

试确定该测量装置的固有振荡频率0ω，阻尼系数ξ、静态灵敏度系数K 的值。

答：该加速度计为二阶传感器，其微分方程基本型式为
X b Y a dt dY a dt
Y d a 001222=++
此式与已知微分方程式比较可得：
静态灵敏度系数K ＝89.410
25.2100.1110
10
00=⨯⨯=a b pC/（m/s 2） 固有振荡频率510
2
0105.11
1025.2⨯=⨯==
a a ωrad/s
阻尼比01.01
1025.22100.3210
32
01=⨯⨯⨯=
=
a a a ξ
（以下习题来自“自动检测技术”第三章）
3.1 什么是测量系统的可靠性与不可靠性？二者有什么关系？ 答：可靠性是指在确定时期内和确定的外界条件下，元件或系统工作在允许的性能水平的概率。

用R(t)表示。

不可靠性是指在确定时间内和确定条件下，元件（或系统）不能工作在允许的性能水平的概率。

用F(t)表示。

二者关系为可靠性和不可靠性之和必须是1，即
R(t)+F(t)=1
3.2 什么是设备的故障率λ？它与R(t)和F(t)有何关系？
答：故障率是每个设备在单位时间内平均故障次数。

若有N 个一样的元件或系统，在T 时间内失效总次数为F N ,则故障率可表示为:NT
N F
=
λ 故障率λ与可靠性R(t)和不可靠性F(t)的关系如下，即
t e t R λ-=)(和t e t F λ--=1)(
3.3 简述改进系统可靠性的方法有哪些？
答：最简单有效的方法是选择好的材料和部件，使他们能耐受恶劣环境。

其次是设计系统时采用多余度的方式，可进一步改善可靠性，但是这会提高价格和增加复杂性。

3.4 一个热电偶测量系统如题图1.7(3.4)所示。

其中各部分的失效率4
110
27.1-⨯=λ/h ，
521016.1-⨯=λ/h ，531016.1-⨯=λ/h ，试计算该系统的平均无故障工作时间MTBF 即工
作半年（4320h ）时的可靠度？
解：由图可知该串联系统的失效率λ为
4321105.1-⨯=++=λλλλ/h
平均无故障率工作时间MTBF 为 MTBF ＝
66671
=λ
h
工作半年（t ＝4320h ）后的可靠度为 R(t)=R(4320)=523.04320
10
5.14
==⨯⨯---e e
t
λ
3.5 某厂仪表组负责维修40台变送器、30台调节器、25台记录仪，它们的平均无故障时间MTBF 分别为5000h 、3000h 、8000h ，试估计一年内维修组的工作任务？ 解：根据MTBF ＝
F
N NT
公式可求出有故障机器数F N ，设一年工作时间T ＝8640h ，则维修组工作任务分别计算如下：
变送器：401=N 台，MTBF 1＝5000h 得 695000
8640
40111===
MTBF T N N F 台
调节器： 302=N 台，MTBF 2＝3000h
图1.7题(3.4)
863000
8640
30
2==F N 台 记录仪 253=N 台，MTBF 3＝8000h
我的计算结果为27
3.6 已知某产品失效率为常数λ，且要求在使用1000h 后的可靠度仍在80％以上，问此产品失效率必须低于多少才能满足要求？ 解：根据可靠度t
e t R λ-=)(可求出λ
R(1000)＝801000
=•-λe
％
解出 λ＝2.234
10-⨯/h
故失效率λ<2.234
10-⨯/h 才可以满足要求。

3.7 一个由孔板（λ＝0.75/年）、差压变送器（λ＝1.0/年）、开方器（λ＝0.1/年）和记录仪（λ＝0.1/年）组成的流量测量系统。

在以下三种情况下计算经过0.5年后流量测量失效的概率。

设系统所有器件开始均校验且工作完好。

（1）单个流量测量系统。

（2）三个并联的同样流量测量系统。

（3）系统有三个孔板，三个差压变送器和一个选择器（λ＝0.1/年），其输出经过一个开方器和记录仪。

解：（1）单个系统
=+++=4321λλλλλsyst 0.75＋1.0＋0.1＋0.1＝1.95/年 623.011)5.0(5.095.1=-=-=⨯-•-e e
F t
syst syst λ
孔板 变送器 开方器 记录仪 图1.8 单个系统 图1.9三个系统并联
242.0)5.0(3
3===syst syst overall F F F
（3）并串联系统
三路并联部分=+=21λλλ 1.75/年 0.5年其失效概率1983.0)1(3
5.075.11=-=⨯-e
F
可靠性111F R -=＝0.8017
其它元件可靠性951.05.01.0430=====⨯--e e
R R R t
λ 全系统 6895.09351.08017.0)5.0(4301=⨯==R R R R R overall 故系统失效概率310.0)5.0(1)5.0(=-=overall overall R F
（以下习题来自“自动检测技术”第二章）
2.1 什么是标准误差？它的大小对概率分布函数有何影响？
答：标准误差不是误差的具体值，而是按一定置信概率（P ＝68.3％）给出的随机误差变化范围（置信限）的一个评定参数。

标准误差的大小不同，概率密度函数形状不同。

标准误差作为误差的评价，表示随机误差不大于标准误差的置信度，其对应的置信区间为],[σσ-。

在此置信度下，高精度的测量得到较小的σ±置信区间；低精度的测量具有较大的σ±置信区间。

2.2 有限次测量为什么要用测量平均值估计被测量真值？
答：因为用测定子样平均值对被测量真值进行估计时，总希望这种估计值具有协调性、无偏性和有效性。

数理统计理论表明：一般情况下，若协调估计值和最有效估计值存在，则最大似然估计将是协调的和最有效的。

由于测定子样平均值的数学期望恰好就是被测量的真值，即
u u n x E n x n E x E n
i n i i n i i ====∑∑∑===1
111)(1)1()(
图1.10并串联系统
按无偏性定义，用x 估计u 具有无偏性。

因此测定子样的x 是被测量真值u 的最佳估计值。

2.3 试述小子样误差分布——t 分布与正态分布的差异？
答：t 分布的概率密度函数以t ＝0为对称，当其自由度（1-=n γ）趋于无穷大时，t 分布趋于正态分布函数。

因此t 分布主要用于小子样推断。

因为由t 分布曲线可知，当子样容量n 很小时，t 分布中心值较小，分散度大。

这从另一方面说明，当用正态分布来对小子样进行估计时，往往得到“太乐观”的结果，夸大了测量结果的精密度。

2.4 试述非等精度的测量结果真值的估计方法？
答：在非等精度测量中，各测量值的精密度不同，可靠程度不同，在求测量值的真值估计值时，显然不应取它们的算术平均值，而应权衡轻重。

精密度高的测定值i x 应受重视的程度。

i p 成为加权。

在非等精度测量中，被测量的真值估计值是测定值的加权平均值。

可表示为：
∑∑===n
i i
n
i i
i p
x
p 1
1
ˆμ
2.5 测量不确定度和误差有何区别? 答：测量不确定度和误差它们都是评价测量结果质量高低的重要指标，都可以作为测量结果的精度评定参数，但它们又有明显的区别。

其主要区别是①误差是以真值和约定真值为中心，而测量不确定度是以被测量的估计值为中心，因此误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量；而测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，可以定量评定的。

②在分类上，误差按自身特性和性质可分为随机误差，系统误差和粗大误差，但各类误差之间并不存在绝对界限，故对分类计算和判别时不易准确掌握；测量不确定度不按性质分类，而是按评定方法分类，分为A 类评定和B 类评定，可按情况加以选择使用。

这就无需考虑其影响因素及来源，只考虑影响结果的评定方法，从而简化了分类、便于评定和计算。

2.6 在有机分析中，测得某化合物含氢百分比为：
2.75，2.76，2.79，2.78，2.76，2.78，2.74，2.76，2.74，试给出测量结果的最佳表达式？并用t 分布估计精度参数？ 解：含氢量百分比平均值为
762.2919
1
==∑=i i x x
测量列精度参数由贝塞尔公式可计算如下
018.0)(191ˆ9
1
2=--=∑x x i σ 平均值的标准误差
006.09
ˆ==
σσx
故得氢含量百分比的最佳表达式为
006.0762.2ˆ±=±=x x σ
μ％ 若按t 分布表示，其自由度81=-=n γ
当置信概率P ＝0.99时查表得36.3)8()(==p p t t γ则氢含量百分比可表示为
020.0762.2ˆ±=±=x p t x σ
μ％ 若取P ＝0.95时查表得31.2)8(=p t ，则为
014.0762.2±=μ％
2.7 两实验人员对同一水箱温度进行测量，各自独立地获得一组等精度测量数据如下（单位℃）
实验者A ：91.3，92.1，91.4，91.5，92.1，92.8，90.9，92.0 实验者B ：90.3，91.1，92.4，92.5，91.1，90.8，91.9，91.1 试求水箱的温度（测量结果的误差采用标准误差）。

解：①求两列测量结果结果的算术平均值（n ＝8）
76.91818
1==∑=i Ai A x x
40.91818
1
==∑=i Bi B x x
②求两列测量结果的标准误差估计值
③求两列测量结果的加权平均值
我的计算结果为91.63
④求加权算术平均值的标准误差
我的计算结果为0.48
水箱温度测量结果为＝91.67±0.03（℃）我的计算结果为91.63±0.48
2.8 在等精度条件下，对管道内压力进行了8次测量，数据如下（单位MPa ）。

0.665，0.666，0.678，0.698，0.600，0.661，0.672，0.664
试对其进行必要的分析和处理，并写出用不确定度表示的结果。

解：①按格拉布斯准则判断测量列中是否存在粗大误差。

按大小顺序将测量列重新排列如下：
0.600，0.661，0.664，0.665，0.666，0.672，0.678，0.698 计算子样算术平均值x 和标准误差估计值σ
ˆ 663.0818
1
==∑=i i x x 028.0)(181ˆ81
2=--=∑=i i x x σ 选危险率α＝5％查格拉布斯准则临界值表得
当n ＝8 5,8(),(00g n g =α％）＝2.03
计算测量中最大和最小测定值的残差，并用格拉布斯准则判定
v （1）＝-0.063 v(8)=0.035
因为 5,8(|)1(|0g v >％）σ
ˆ⋅＝0.057 故x(1)=0.600为在危险率5％时被判定为坏值，应删除。

②去掉x （1）后再重新计算余下测量值的算术平均值x '和标准误差估计值σ
ˆ'。

此时n ＝7 672.0717
1
=='∑=i i x x
我的计算结果为0.013 再次查表按α＝5％，n ＝7 得g(7,5％)=1.94
余下测量值残余误差
v （1）＝-0.011 v(8)=0.026
而g(7,5％)σ
ˆ'⋅=0.031我的计算结果为0.025 显然)1(v 和)7(v 均小于0.031故不存在坏值。

由于σ
ˆ'⋅< v(8)，说明还有坏值。

这样一下
所以用不确定度表示的测量结果为
2.9 重复多次测量某混合气体中氧含量，得到读数平均值为11.75％，有68.3％的测量值的误差在±0.5％以内，若该误差服从正态分布，问测量值在多大的置信区间内，其出现的概率是99.7％？
解：在75.11=x ％时，当测量误差服从正态分布
若其误差在±0.5％以内时出现的概率为68.3％
则该测量列的标准误差5.0±=σ％。

若出现概率为99.7％，此时属于极限误差范围，其置信区间应为±3σ＝±1.5％。

故得此时置信区为[11.75％－1.5％，11.75％＋1.5％]，即[10.25％，13.25％]。