绝对值的题型归类

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含绝对值的三角函数题型归纳

含绝对值的三角函数题型归纳1.sin .y x =的图象2.cos cos y x y x ==与的图象.3.tan y x =的图象.4.sin y x y x ==与的图象.5.tan y x y x ==与的图象.题型一：含绝对值的三角函数判断与应用1．关于三角函数的图像，有下列说法：①sin ||y x =与sin y x =的图像相同；②cos()y x =-与cos ||y x =的图像相同；③|sin |y x =与sin()y x =-图像关于x 轴对称；④cos y x =与cos()y x =-图像关于y 轴对称.其中正确的是__________.（写出所有正确说法的序号）【答案】②④【解析】对于②，()cos cos ,cos ||cos y x x y x x =-===，故其图像相同；对于④，()coscos y x x =-=，故其图像关于y 轴对称；由函数图像可知①③均不正确.故正确的说法是②④.故填②④2.图中的曲线对应的函数解析式是（）A．|sin |y x =B．sin ||y x =C．sin ||y x =-D．|sin |y x =-【答案】C【解析】当x>0,所以y=-sinx,又因为此函数为偶函数，所以y=－sin|x|.3（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对称B.函数sin y x =是最小正周期为π的周期函数C.θ为第二象限的角，且cos tan θθ>，则sin cos θθ>.D.函数2cos sin y x x =+的最小值为1-答案AD 解：对于A：函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对称，故A 正确；对于B：函数sin y x ==sin ,0sin ,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错误；对于C：由为第二象限的角,得tan sin θθ>,由cos tan θθ>,得sin cos θθ<,故C 错误;对于D：函数22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭当sin 1x =-时，函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD．3．函数sin sin y x x =-的值域是（）A.0B.[]1,1- C.[]0,1D.[]2,0-【答案】D【解析】：00y sinx sinx 20sinx sinx sinx >⎧=-=⎨<⎩，，，由此值域为[]y 2,0∈-4．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是（）A.3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.53,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.57,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A，【解析】∵sin cos x x >，∴sin 0x >，∴()0,x π∈.在同一坐标系中画出sin y x =，()0,x π∈与cos y x =，()0,x π∈的图像，如图.观察图像易得使sin cos x x >成立的3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选A.5.已知函数()sin cos f x x x =，则（D ）A.()f x 的值域为[]1,1- B.()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调C.π为()f x 的周期D.,02π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心6.（多选）.已知函数()[]sin cos f x x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大正数部分），则（AB）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 是偶函数C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的值域为[]sin1,sin1-.题型二：方程零点与函数交点问题1．（2022·全国课时练）方程cos x x =在(),-∞+∞内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根【答案】C【解析】在同一坐标系中作出函数y x =及函数cos y x =的图象，如图所示．发现有2个交点，所以方程cos x x =有2个根．2．方程3sin ([2,2])xx x ππ=∈-的实数解有_______________个.【答案】2.【解析】在区间[]2π,2π-上，分别画出3x y =和sin y x =的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像在区间[]2π,2π-上有两个交点，也即3sin ([2,2])x x x ππ=∈-的实数解有2个.故填：2.3．函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内的零点个数为__________．【答案】6.【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数lg y x =和cos y x =的图像如图，结合图像的对称性可以看出两函数lg y x =和cos y x =的图像应有六个交点，即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有六个零点，应填答案6。

绝对值的八种题型

以下是关于绝对值的八种题型：
1. 已知一个数，求其绝对值。

例如：求-5的绝对值。

解：绝对值是一个数到原点的距离，所以|-5|=5。

2. 已知一个数的绝对值，求这个数。

例如：若|x|=3，求x的值。

解：绝对值等于3的数有两个，即x=3或x=-3。

3. 绝对值范围内的整数问题。

例如：求绝对值小于3的非负整数。

解：非负整数就是正整数或0，所以绝对值小于3的非负整数有0、1、2。

4. 含有绝对值的方程求解。

例如：求解方程|x-2|=3。

解：将绝对值拆开，得到两个方程x-2=3和x-2=-3，解得x=5或x=-1。

5. 含有绝对值的不等式求解。

例如：求解不等式|x-1|>2。

解：将绝对值拆开，得到两个不等式x-1>2和x-1<-2，解得x>3或x<-1。

6. 绝对值的最小值问题。

例如：求几个绝对值和的最小值。

解：根据绝对值的性质，求最小值只需记住口诀：奇点求中间，偶点求中段。

7. 绝对值的最大值问题。

例如：求几个绝对值和的最大值。

解：先确定零点，画出数轴，标出零点，分三种情况讨论比较大小即可。

8. 绝对值的应用题。

例如：在数轴上，已知点A的坐标为3，点B的坐标为-5，求线段AB的长度。

解：线段AB的长度就是点A和点B之间的距离，即|3-(-5)|=8。

通过掌握这八种题型，可以帮助我们更好地理解和解决与绝对值相关的问题。

1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法(新教材,重难点分层培优提升)(解析版)

1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法（新教材，重难点分层培优提升）类型一、绝对值的有关概念1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（）A．0B．1-C．2-D．1【答案】C【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键．先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可．=-=-==，【详解】解：∵|0|0,|1|1,|2|2,|1|1而210>>，∴->-=>，|2||1||1|0故选：C．-，那么a=．2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是0.74【答案】0.74【分析】本题主要考查了绝对值和相反数的知识，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；互为相反数3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：(1)34--；(2)()0.5-+-⎡⎤⎣⎦；(3)6217⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(4)()2-+．4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（）A ．2-B ．1-C ．3D ．05．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数m 在数轴上的位置如图所示，则化简3m m ++结果是．6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知|2||1|6a a ++-=，则=a ；7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知3535x x -=-，则x 的取值范围是．8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果0a b c ++=且c b a >>．则下列说法中可能成立的是（）A ．a 、b 为正数，c 为负数B ．a 、c 为正数，b 为负数C ．b 、c 为正数，a 为负数D ．a 、b 、c 为正数9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：76-65--．11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小：①1-与0.01-；②2--与0；③0.3-与13-；12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：4.5+，142--，0， 2.5-，6，5-，()3+-．(1)负数集合：{．．．．．．}；(2)用“<”把它们连接起来是；(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可；13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知|3||5|0x y -++=，求||x y +的值．15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a ＋2）2＋|b ﹣3|＝0，c 是最大的负整数，求a 3＋a 2bc ﹣12a 的值．二、填空题16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若12x <<，求代数式2121x x xx x x---+=．17．（23-24·上海杨浦·期末）12345x x x x x -+-+-+-+-的最小值为．18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知112x -<<，化简|||2|3x x ---=．三、解答题19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b c =．(1)确定符号：a ______0，b ______0，c _____0，b c +_____0，a c -______0；(2)化简：a c b +-；(3)化简：a a c --．20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．【答案】(1)>，<，>(2)322a c --21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为．22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．例1：解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2：解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程53x -=的解为______；(2)解不等式2219x ++<；(3)若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；故答案为：8x =或2x =．（2）2219x ++<（3）123x x -++=，表示到1的点与到2-的点距离和为3，故答案为：21x -£<．23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为．(2)若34x +=，则x =．(3)32x x --+最大值为，最小值为．24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，a 可以理解为0a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A ，B ，分别用数a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离为AB a b =-，反过来，式子a b -的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是_________．(2)数轴上点A 用数a 表示，则①若35a -=，那么a 的值是_________．②36a a -++有最小值，最小值是_________；③求123202*********a a a a a a ++++++++++++ 的最小值．25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：8+，6-，3+，4-，8+，4-，5+，3-．(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？(2)若出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元，不超过5千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A 站，东至L 站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：5,3,4,5,8,2,1,3,4,1+-+-+-+--+．(1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？(3)已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的1170，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？一、单选题1．（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，在下列结论中：①0a b ->；②0ab <；③a b a b +=--；④()0b a c ->，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．0ab >B ．4b a ->C ．2a b a b +=D ．()()230a b +-<3．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则b a b c a c --+--的化简结果为（）A ．2c-B ．2a C ．2b D ．22b c+4．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）A ．a b +B ．a b -C ．abD ．a b -5．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合|5||3|8a a ++-=的整数a 的值有（）A ．5个B ．7个C ．8个D ．9个二、填空题6．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a 、b 为整数，202320a b +--=，且b a <，则a 的最小值为．7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；8．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知x a b ，，为互不相等的三个有理数，且a b >，若式子||||x a x b -+-的最小值为2，则2023a b +-的值为．三、解答题9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：(单位：千米)15+，3-，13+，11-，10+，12-，4+，15-，16+，19-(1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？(2)若汽车耗油量为a 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？(3)出租车油箱内原有5升油，请问：当0.05a =时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由．10．（23-24七年级下·四川资阳·期末）（1）【阅读理解】“a ”的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离，所以“2a ≥”可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“2a <”可理解为：；我们定义：形如“x m ≤，≥x m ，x m <，x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．例如：315x x -≤+我们将x 作为一个整体，整理得：315x x -≤+3x ≤再根据绝对值的几何意义：表示数x 在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为33x -≤≤仿照上述方法，解下列绝对值不等式：①254x x -<-②1312313x x -+<-．11．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|25|3-=；数轴上表示数3和1-的两点距离为|3(1)|4--=；由此可知|63|+的意义可理解为数轴上表示数6和3-这两点的距离；|4|x +的意义可理解为数轴上表示数x 和4-这两点的距离；(1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小？(2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A B C ，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往三个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小？(3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A B C D ，，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往四个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小？(4)①|3||4|x x ++-的最小值是_________，此时x 的范围是_________；②|6||3||2|x x x ++++-的最小值是_________，此时x 的值为_________；③|7||4||2||5|x x x x ++++-+-的最小值是_________，此时x 的范围是_________．（3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案．【详解】（1）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PA PA AB PA AB +=++=+，当点P 在A 、B 之间时，PA PB AB +=，当点P 点点B 的右边时，2PA PB AB PB PB AB PB +=++=+，∴当点P 在A 、B 之间时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小；（2）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PC PA PA AC PB PA PB AC ++=+++=++，当点P 在A 、B 之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在B 点时，PA PB PC AC ++=，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在点C 的右边时，2PA PB PC PC PB AC ++=++，∴当点P 在B 点时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小（3）解：当点P 在点A 左边时，42PA PB PC PD PA AB CB AD +++=+++，当点P 在A 、B 之间时，2PA PB PC PD PB CB AD +++=++，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PD BC AD +++=+，当点P 在C D 、之间时，2PA PB PC PD BC AD PC +++=++，当点P 在点D 的右边时，24PA PB PC PD BC AD DC PD +++=+++，∴当点P 在B C 、之间时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小；（4）解：①由（1）可得：当34x -≤≤时，有最小值，最小值为()437--=，∴|3||4|x x ++-的最小值7，此时x 的范围是34x -≤≤；②由（2）可得：这是在求点x 到6-，3-，2三点的最小距离，∴当3x =-时，有最小值，最小值为|6||3||2||36||33||32|8x x x ++++-=-++-++--=；③由（3）可得：这是在求点x 到7-，4-，2，5四点的最小距离，∴当42x -≤≤时，由最小值，最小值为|7||4||2||5|742518x x x x x x x x ++++-+-=++++-+-=．12．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）有数a b c 、、在数轴上的大致位置如图所示：(1)a c +__________0，b c -__________0，a b -__________0（用“＞”、“<”、“=”）；(2)化简||||||a c b c a b ++---．13．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点A ，B ，C 所对应的数分别为a ，b ，c ．其中点A 、点B 两点间的距离AB 的长是2021，点B 、点C 两点间的距离BC 的长是1000．(1)若以点C 为原点，直接写出点A ，B 所对应的数；(2)若原点O 在A ，B 两点之间，求a b b c ++-的值；(3)若O 是原点，且18OB =，求a b c +-的值．【答案】(1)点A 所对应的数a 为3021-，点B 所对应的数b 为1000-(2)3021(3)a b c +-的值为3003-或3039-【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解答本题的关键．（1）根据题意先求解AC 的长，结合数轴的定义可求解点A ，B 所对应的数；（2）根据数轴上点的特征可得a<0，0b >，0c >，0b c -<，结合绝对值的性质化简可求解；，14．（22-23七年级上·北京·期中）已知a ，b 在数轴上的位置如图所示：(1)用“>”、“<”或“=”填空：____0a ，____0a b +，____0b a -；(2)化简：||||2||a b a a b +--+；(3)若21a b =-=，，x 为数轴上任意一点所对应的数，则代数式||||x a x b -+-的最小值是______；此时x 的取值范围是______．。

绝对值题型归纳总结

...... .绝对值题型归纳总结一、知识梳理模块一绝对值的基本概念模块二零点分段法（目的：去无围限定的绝对值题型）模块三几何意义...z例题分析题型一绝对值代数意义及化简【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =- ⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( )A ．a b >B ．a ＞bC ．a b <D a ＜b ⑶ 下列式子中正确的是 ( )A ．a a >-B ．a a <-C ．a a ≤-D ．a a ≥- ⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( )A ．1||m m -≥B ．1||m m -≤C ．1||1m m --≥D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值围．【解析】 ⑴ 选择D ．⑵ 选择B ．. ..... ... .z⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D ．⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C ． ⑸ ()22x x -=--，所以20x -≤，即2x ≤．【变1】已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【解析】因为55a a ==±，，因为22b b ==±，，又因为a b <，所以22a b =-=±，即52a b =-=，或52a b =-=-，⑵由非负性可知12a b =-=，【例2】设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值【解析】因为a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=，原式2=【例3】（1）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．（2）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +<（3）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---． a-ba+b【解析】（1）容易判断出，当1999x =时，24590x x -+>，2220x x ++>，所以 224594223710819982x x x x x x -+-++++=-+=- 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想．（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠，若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足．（3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<，所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【变2】若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【解析】211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【变3】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++-135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-1(32)(54)(19971996)=+-+-++-111999=+++=法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++---111999=+++=【点评】解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例4】已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为【解析】 ()()20202040y x b x x b x b x b x =-+--+---=--++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当20x =，y 的最小值为20【例5】若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值围.【解析】要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，. ..... ... .z原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【例6】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是．【解析】当a b c d e <<<≤时，a b b c c d d e e a -+-+-+-=-，当9e =，1a =时取最大值8当a b c d <<<，且a e >时，2a b b c c d d e d a e -+-+-+-=--，当9d =，1a =，0e =时取得最大值17．所以a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是17．【例7】设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【变4】已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--．【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a b a b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++--∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 题型二关于a a的探讨应用【例8】已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例9】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【解析】因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=-- 【解析】【变5】三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bc a b c x a b c ab ac bc=+++++，求321ax bx cx +++的值.【解析】 a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1.【变6】 a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？【解析】由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a bb cc aa b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-；若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a ⋅+⋅+⋅=--=-．综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【变7】如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭值等于（）A ．1B ．1-C ．0D ．3【解析】易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A【例10】如果20a b +=，求12a ab b-+-的值．【解析】由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a a b a a a ===⋅--⋅，122a a ab a a==-⋅-. ..... .. . .z若0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=，若0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=．【例11】设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b cx a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b=+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______．【解析】由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b ca b c ---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例12】有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？【解析】由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=【变8】有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【解析】由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【变9】已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a-当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例13】若有理数m 、n 、p 满足1m n p mnp++=，求23mnpmnp的值．【解析】由1m n p mnp++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-，222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-．【变10】有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd=-，求a b c d a b c d+++的值．【解析】由1abcd abcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则2a b c d a b c d+++=；若含有3个负数，则2a b c d a b c d+++=-．题型三零点分段讨论法【例14】化简523x x ++-．【解析】先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段．当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-；当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．【变11】化简：121x x --++.【解析】先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．. ..... .. . .z【变12】求12m m m +-+-的值．【解析】先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥．当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+；当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+；当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例15】已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．【解析】法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5；当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．【变13】已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于．【解析】（法1）：我们可以利用零点，将a 的围分为3段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5；（2）当23a <≤时，231a a -+-=（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5（法2）：我们可以利用零点，将a 的围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很容易发现答案：当0a =时达到最大值5．【变14】如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值【解析】当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-题型四绝对值非负性【例16】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋. 【解析】 3m =-，72n =，12p =，3232p n m +=-＋. 【变15】已知a 、b 、c 都是负数，并且0x a y b z c -+-+-=，则 0xyz ．【解析】根据绝对值的非负性可知x a =，x b =，z c =，所以0xyz abc =<．【变16】已知非零实数a 、b 、c 满足a b c ++()2420a b c +-+=，那么a bb c+=- 【解析】由非负性可得到0a b c ++=①，且420a b c -+=②，①+②得到530a c +=，所以35a c =-，代入①可得到：25b c =-．所以32555275c ca b b c c c --+==---．【例17】已知a为实数，且满足200a a -=，求2200a -的值【解析】由题意可知：201a ≥，所以可得200a a -，即200=，所以2201200a -=，所以原式的值为201【变17】a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ．【解析】因为|1|1b b ++≥，而完全平方式非负，所以20a b -=，且1b +非负．又因为|3|0a b +-=，所以30a b +-=，观察可知2a =，1b =，所以2ab =．【例18】若a 、b 、c 为整数，且19951a bc a-+-=，求c a a b b c -+-+-的值．【解析】法一：根据题意：19a b -，95c a -为非负整数，分类讨论：①若0a b -=，1c a -=，则1b c a c -=-=，此时原式＝2； ②若1a b -=，0c a -=，则1b c b a -=-=，此时原式＝2．法二：从总体考虑，a b -、c a -一个为0，一个为1，也就是a 、b 、c 有两个相同，另一个和他们相差1．故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以2c a a b b c -+-+-=．. ..... ... .z【例19】求满足1ab a b ++=的所有整数对()a b ，【解析】因为1ab a b ++=，且00ab a b +≥，≥，a b ，均为整数所以可得01ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑴或者10ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑵，由⑴可得01ab a b =⎧⎨+=⎩或01ab a b =⎧⎨+=-⎩又因为a b ，均为整数，所以3124123400111010a a a a b b b b ====-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=⎩⎩⎩⎩，，，由⑵得10ab a b =⎧⎨+=⎩或10ab a b =-⎧⎨+=⎩，所以56561111a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，综上可得：共有6对，分别是：()()()()()()011001101111----，，，，，，，，，，，【变18】若,,x y z 为整数，且20032003||||1x y z x -+-=，则||||||z x x y y z -+-+-的值是多少?【解析】 2003||0,||0x y x y -≥-≥,同理2003||0z x -≥，所以一个为0，一个为1，也就是说,,x y z 有两个相同，另一个和他们相差1.故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以||||||z x x y y z -+-+-=2. 当然也可以分类讨论，更利于学生接受.【例20】设a 、b 是有理数，则9a b ++有最小值还是最大值？其值是多少？【解析】根据绝对值的非负性可以知道0a b +≥，则99a b ++≥，有最小值9.教师可在此多多拓展形式！【变19】代数式24()a b -+最大值为，取最大值时，a 与b 的关系是____________ 【解析】 4，互为相反数；【例21】已知210ab a +++=，求()()()()()()111...112219941994a b a b a b +++-+-+-+的值【解析】由210ab a +++=得12a b =-=，所以()()()()()()111...112219941994a b a b a b +++-+-+-+111 (233419951996)=----⨯⨯⨯9971996=-【例22】若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求2x yx y+-的值【解析】根据相反数的意义，我们可以知道：319990x y x y -+++-=所以必然有30x y -+=且19990x y +-=，解方程组可得： 19991001x y y +==，所以原式21999100110003x y x y y x y x y ++++====---- 利用绝对值几何意义求两点间距离a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例23】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴x 的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离；->，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；⑶3x -几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间距离，若31x -=，则x = ．⑷2x +的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若22x +=，则x =⑸当1x =-时，则22x x -++= ．：【解析】 ⑴ x ，原点；=；⑵1；⑶x ，3，2或4；⑷x ，2-，0或4-；⑸4【变20】（1）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p ，q ，r ，s ．若10p r -=，12p s -=，9q s -=，sr qp. ..... .. . .z则q r -= ．（2）不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么点A ，B ，C 在数轴上的位置关系是（）A ．点A 在点B ，C 之间 B ．点B 在点A ，C 之间 C ．点C 在点A ，B 之间D ．以上三种情况均有可能【解析】（1）7；（2）B【变21】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示的数是a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，特别地，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，则0AB OB b a b ==-=-；当A 、B 两点都不在原点时：如图2，点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；如图3，点A 、B 都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-.如图4，点A 、B 在原点的两边，AB OA OB a b a b a b =+=+=-=-。

绝对值题型归纳总结

绝对值题型归纳总结一、知识梳理模块一绝对值的基本概念模块二零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型）模块三几何意义例题分析题型一绝对值代数意义及化简【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =- ⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( )A ．a b >B ．a ＞bC ．a b <D a ＜b ⑶ 下列式子中正确的是 ( )A ．a a >-B ．a a <-C ．a a ≤-D ．a a ≥- ⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( )A ．1||m m -≥B ．1||m m -≤C ．1||1m m --≥D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值范围．【解析】 ⑴ 选择D ．⑵ 选择B ．⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D ．⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C ． ⑸ ()22x x -=--，所以20x -≤，即2x ≤．【变1】已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【解析】因为55a a ==±，，因为22b b ==±，，又因为a b <，所以22a b =-=±，即52a b =-=，或52a b =-=-，⑵由非负性可知12a b =-=，【例2】设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值【解析】因为a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=，原式2=【例3】（1）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．（2）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +<（3）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---． a-ba+b【解析】（1）容易判断出，当1999x =时，24590x x -+>，2220x x ++>，所以 224594223710819982x x x x x x -+-++++=-+=- 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想．（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠，若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足．（3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<，所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【变2】若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【解析】211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【变3】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++-135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-1(32)(54)(19971996)=+-+-++-111999=+++=法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++---111999=+++=【点评】解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例4】已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为【解析】 ()()20202040y x b x x b x b x b x =-+--+---=--++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当20x =，y 的最小值为20【例5】若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【例6】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是．【解析】当a b c d e <<<≤时，a b b c c d d e e a -+-+-+-=-，当9e =，1a =时取最大值8当a b c d <<<，且a e >时，2a b b c c d d e d a e -+-+-+-=--，当9d =，1a =，0e =时取得最大值17．所以a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是17．【例7】设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【变4】已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--．【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a b a b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++-- ∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 题型二关于a a的探讨应用【例8】已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例9】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【解析】因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=-- 【解析】【变5】三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bc a b c x a b c ab ac bc=+++++，求321ax bx cx +++的值.【解析】a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1.【变6】 a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？【解析】由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a bb cc aa b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-；若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a ⋅+⋅+⋅=--=-．综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【变7】如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭值等于（）A ．1B ．1-C ．0D ．3【解析】易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A【例10】如果20a b +=，求12a ab b-+-的值．【解析】由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a a b a a a ===⋅--⋅，122a a ab a a==-⋅- 若0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=，若0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=．【例11】设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b cx a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b=+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______．【解析】由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b ca b c---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例12】有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？【解析】由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=【变8】有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【解析】由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【变9】已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a-当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例13】若有理数m 、n 、p 满足1m n p m n p ++=，求23mnpmnp的值．【解析】由1m n p mnp++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-，222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-．【变10】有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd=-，求a b c d a b c d+++的值．【解析】由1abcd abcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则2a b c d abcd+++=；若含有3个负数，则2a b c d abcd+++=-．题型三零点分段讨论法【例14】化简523x x ++-．【解析】先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段．当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-；当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．【变11】化简：121x x --++.【解析】先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．【变12】求12m m m +-+-的值．【解析】先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥．当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+；当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+；当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例15】已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．【解析】法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5；当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．【变13】已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于．【解析】（法1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5；（2）当23a <≤时，231a a -+-=（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5（法2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很容易发现答案：当0a =时达到最大值5．【变14】如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值【解析】当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤ 综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-题型四绝对值非负性【例16】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋. 【解析】 3m =-，72n =，12p =，3232p n m +=-＋. 【变15】已知a 、b 、c 都是负数，并且0x a y b z c -+-+-=，则 0xyz ．【解析】根据绝对值的非负性可知x a =，x b =，z c =，所以0xyz abc =<．【变16】已知非零实数a 、b 、c 满足a b c ++()2420a b c +-+=，那么a bb c+=- 【解析】由非负性可得到0a b c ++=①，且420a b c -+=②，①+②得到530a c +=，所以35a c =-，代入①可得到：25b c =-．所以32555275c ca b b c c c --+==---．【例17】已知a为实数，且满足200a a -=，求2200a -的值【解析】由题意可知：201a ≥，所以可得200a a -=，即200=，所以2201200a -=，所以原式的值为201【变17】a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ．【解析】因为|1|1b b ++≥，而完全平方式非负，所以20a b -=，且1b +非负．又因为|3|0a b +-=，所以30a b +-=，观察可知2a =，1b =，所以2ab =．【例18】若a 、b 、c 为整数，且19951a bc a-+-=，求c a a b b c -+-+-的值．【解析】法一：根据题意：19a b -，95c a -为非负整数，分类讨论：①若0a b -=，1c a -=，则1b c a c -=-=，此时原式＝2； ②若1a b -=，0c a -=，则1b c b a -=-=，此时原式＝2．法二：从总体考虑，a b -、c a -一个为0，一个为1，也就是a 、b 、c 有两个相同，另一个和他们相差1．故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以2c a a b b c -+-+-=．【例19】求满足1ab a b ++=的所有整数对()a b ，【解析】因为1ab a b ++=，且00ab a b +≥，≥，a b ，均为整数所以可得01ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑴或者10ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑵，由⑴可得01ab a b =⎧⎨+=⎩或01ab a b =⎧⎨+=-⎩又因为a b ，均为整数，所以3124123400111010a a a a b b b b ====-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=⎩⎩⎩⎩，，，由⑵得10ab a b =⎧⎨+=⎩或10ab a b =-⎧⎨+=⎩，所以56561111a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，综上可得：共有6对，分别是：()()()()()()011001101111----，，，，，，，，，，，【变18】若,,x y z 为整数，且20032003||||1x y z x -+-=，则||||||z x x y y z -+-+-的值是多少?【解析】 2003||0,||0x y x y -≥-≥,同理2003||0z x -≥，所以一个为0，一个为1，也就是说,,x y z 有两个相同，另一个和他们相差1.故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以||||||z x x y y z -+-+-=2. 当然也可以分类讨论，更利于学生接受.【例20】设a 、b 是有理数，则9a b ++有最小值还是最大值？其值是多少？【解析】根据绝对值的非负性可以知道0a b +≥，则99a b ++≥，有最小值9.教师可在此多多拓展形式！【变19】代数式24()a b -+最大值为，取最大值时，a 与b 的关系是____________ 【解析】 4，互为相反数；【例21】已知210ab a +++=，求()()()()()()111...112219941994a b a b a b +++-+-+-+的值【解析】由210ab a +++=得12a b =-=，所以()()()()()()111...112219941994a b a b a b +++-+-+-+111...233419951996=----⨯⨯⨯ 9971996=-【例22】若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求2x yx y+-的值【解析】根据相反数的意义，我们可以知道：319990x y x y -+++-=所以必然有30x y -+=且19990x y +-=，解方程组可得： 19991001x y y +==，所以原式21999100110003x y x y y x y x y ++++====---- 利用绝对值几何意义求两点间距离a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例23】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴x 的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离；->，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；⑶3x -几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间距离，若31x -=，则x = ．⑷2x +的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若22x +=，则x =⑸当1x =-时，则22x x -++= ．：【解析】 ⑴ x ，原点；=；⑵1；⑶x ，3，2或4；⑷x ，2-，0或4-；⑸4【变20】（1）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p ，q ，r ，s ．若10p r -=，12p s -=，9q s -=，则q r -= ．（2）不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么点A ，B ，C 在数轴上的位置关系是（）A ．点A 在点B ，C 之间 B ．点B 在点A ，C 之间 C ．点C 在点A ，B 之间D ．以上三种情况均有可能【解析】（1）7；（2）B【变21】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示的数是a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，特别地，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，则0AB OB b a b ==-=-；当A 、B 两点都不在原点时：如图2，点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；如图3，点A 、B 都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-.如图4，点A 、B 在原点的两边，AB OA OB a b a b a b =+=+=-=-。

七年级数学绝对值分类讨论重点题型

七年级数学的绝对值，是一种让很多同学感到头疼的数学概念。

在七年级数学课程中，涉及到绝对值的分类讨论也是一个重要的内容，影响着同学们对数学的理解和学习。

今天，我们就来深入探讨七年级数学中关于绝对值分类讨论的重点题型，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

1. 绝对值概念的理解我们需要对绝对值的概念进行深入理解。

在七年级数学中，绝对值代表着一个数距离零点的距离，它是一个非负数。

具体地，对于任意实数a，其绝对值记作|a|，如果a大于等于0，则|a|等于a；如果a小于0，则|a|等于-a。

2. 绝对值分类讨论的基本原理在七年级数学中，针对绝对值的讨论通常涉及到正数、负数以及零的情况。

我们需要明确地理解在各种情况下绝对值的计算方法和特点，从而能够准确地解决问题。

3. 绝对值分类讨论的重点题型在七年级数学中，绝对值分类讨论的重点题型包括但不限于以下几种： - 绝对值不等式的求解- 绝对值方程的解法- 含绝对值的复合运算- 实际问题中的应用4. 绝对值不等式的求解对于绝对值不等式的求解，我们需要分情况讨论。

当|a|小于b时，a 和-b之间的数都满足不等式；当|a|大于b时，求解得到两个区间，分别讨论各区间内的情况。

这种分类讨论的方法在解决绝对值不等式时非常重要。

5. 绝对值方程的解法解决绝对值方程时，我们同样需要进行分类讨论。

针对|a|=b和|a|=-b 两种情况，分别求解得到不同的结果。

同学们需要注意分类讨论方法的灵活运用，才能准确地解决绝对值方程的问题。

6. 含绝对值的复合运算在七年级数学中，我们还会遇到含绝对值的复合运算题型，可能涉及加减乘除等多种运算符号。

这时，同学们需要将复合运算的每一步分类讨论，确保在每一种情况下都能准确地应用绝对值的概念和性质。

7. 实际问题中的应用绝对值的分类讨论在解决实际问题时也非常重要。

同学们需要理解绝对值在表示距离、温度差、误差等方面的应用，从而能够准确地将数学知识应用到实际生活中去。

绝对值题型分类专项

绝对值一、绝对值意义1．a、b是有理数，下列各式中成立的是（）A．若a≠b，则|a|≠|b|B．若|a|≠|b|，则a≠bC．若a＞b，则a2＞b2D．若a2＞b2，则a＞b2．下列说法中正确的是（）A．﹣4＜8B．如果a＞b，那么|b﹣a|＝b﹣aC．﹣|﹣（+0.8）|＝0.8D．有最小的正有理数3．已知|2x﹣1|＝7，则x的值为（）A．x＝4或x＝﹣3B．x＝4C．x＝3或﹣4D．x＝﹣34．若1＜x＜2，则的值是（）A．﹣3B．﹣1C．2D．15．下列说法中，正确的是（）A．若a＞|b|，则a＞b B．若a≠b，则a2≠b2C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若|a|＞|b|，则a＞b6．下列有理数中，比0小的数是（）A．﹣2B．1C．2D．37．|﹣3|的值是（）A．±3B．﹣3C．3D．8．在0，﹣，﹣，0.05这四个数中，最大的数是（）A．0B．﹣C．﹣D．0.059．下列各组数中，相等的是（）A．﹣9和﹣B．﹣|﹣9|和﹣（﹣9）C．9和|﹣9|D．﹣9和|﹣9|10．在数轴上表示下列四个数中，在0和﹣1之间的数是（）A．﹣1B．﹣C．D．111．下列各数中最大的负数是（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣312．﹣1绝对值的相反数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．113．下列说法不正确的是（）A．0既不是正数，也不是负数B．绝对值最小的数是0C．绝对值等于自身的数只有0和1D．平方等于自身的数只有0和114．下列结论成立的是（）A．若|a|＝a，则a＞0B．若|a|＝|b|，则a＝±bC．若|a|＞a，则a≤0D．若|a|＞|b|，则a＞b．15．大于﹣1且小于等于2的正数有个．16．比较大小：﹣﹣．17．用“＜”或“＞”填空：31082144．18．写出一个比﹣2小的有理数：．19.比较大小：﹣﹣3（填“＞”“＜”或“＝”）20.．已知|x|＝3，|y|＝7，且xy＜0，则x+y的值等于．21.．若|m|＝m+1，则（4m+1）2019＝．22.．数轴上顺次有不重合的A，B，C三点，若A，B，C三点对应的数分别为a，﹣1，b，试比较大小：（a+1）（b+1）0（填“＞”或“＜”或“＝”）23.．如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称|b﹣a|为绝对误差，为相对误差．现有一零件实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，则本次测量的相对误差是．24．若|﹣m|＝2018，则m＝．二、绝对值的非负性1．数﹣是（）A．正数B．负数C．负数或零D．正数或零2．若1＜x＜2，则的值是（）A．﹣3B．﹣1C．2D．13．下列各组数中，相等的是（）A．﹣9和﹣B．﹣|﹣9|和﹣（﹣9）C．9和|﹣9|D．﹣9和|﹣9|4．已知实数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＜0，x＝++，则x2019的值为（）A．1B．﹣1C．32019D．﹣320195．若|﹣x|＝4，则x═；若|x﹣3|＝0，则x＝；若|x﹣3|＝1，则x＝．6．|﹣2020|＝．7．下列四组有理数的比较大小：①﹣1＜﹣2，②﹣（﹣1）＞﹣（﹣2），③+（﹣）＜﹣|﹣|，④|﹣|＜|﹣|，正确的序号是．8．3的相反数与﹣2的绝对值的和为．9．已知|x|＝3，|y|＝7，且xy＜0，则x+y的值等于．10．若|﹣m|＝2018，则m＝．11．若|a|＝﹣a，则a的取值范围是．12．若|m|＝3，|n|＝2且m＞n，则2m﹣n＝．13．若x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，用“＜”把x，﹣x，y，﹣y连接起来：．14．已知|a﹣1|＝5，|b|＝4，且a+b＝|a|+|b|，则a﹣b＝．15．已知整数a，b满足|a﹣3|﹣|b﹣8|＝0，则|a+b|的值为．16．若|m|＝m+1，则（4m+1）2019＝．17．已知a，m，n均为有理数，且满足|a﹣m|＝6，|n﹣a|＝4，那么|m﹣n|的最大值为．18．若|﹣a|＝3，则a的相反数是．19．若|x|＝5，|y|＝9，则x+y＝，x﹣y＝．三、化简问题1．如果|a|＝4，|b|＝2，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值是．2．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a+b|﹣2|a﹣b|的结果为．3．如图，数轴上的有理数a，b满足|3a﹣b|﹣|a+2b|＝|a|，则＝．4．化简|π﹣4|+|3﹣π|＝．5．如图所示，a、b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b﹣a|化简的结果为．6．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|＝．7．如图所示，化简|a﹣c|+|a﹣b|+|c|＝．8．若|a|＝|﹣2|，那么a＝．9．当y满足时，|y﹣3|＝3﹣y成立．10．已知|﹣x|＝|﹣8|，x＝．11．写出一个x值，使|x﹣2|＝x﹣2，你写出的x值为．12．如果a•b＜0，那么＝．13．若|a|＝﹣a，则a是；若|x|＝|﹣5|，则x＝．14．若有理数a、b满足ab＞0，则+＝．15．若m，n都是不为零的有理数，那么+的值是．16．若a，b都是不为零的有理数，那么+的值是．四、数轴动点问题1．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，①A、B之间的距离可用含x的式子表示为；②若该两点之间的距离为2，那么x值为．（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为，此时x的取值是；（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值和最小值．2．已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C 在数轴上对应的数．（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于12，请求出所有点M 对应的数．3．已知A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，例如图1中，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离为2，到点B的距离为1，则点C是（A，B）的奇异点，但不是（B，A）的奇异点．（1）在图1中，直接说出点D是（A，B）还是（B，C）的奇异点；（2）如图2，若数轴上M、N两点表示的数分别为﹣2和4，①若（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是；②若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，请求出K点表示的数．（3）如图3，A、B在数轴上表示的数分别为﹣20和40，现有一点P从点B出发，向左运动．若点P到达点A停止，则当点P表示的数为多少时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点？4．如图所示，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上向点B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止．设运动时间为t（单位：秒）．（1）求t＝1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）；（4）当点P表示的有理数与原点的距离是a个单位长度时（其中0＜a＜4），直接写出所有满足条件的t值（用含a的代数式表示）．5．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2．（1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是；写出【N，M】美好点H所表示的数是．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？6．如图，数轴的单位长度为1．（1）如果点A，D表示的数互为相反数，那么点B表示的数是多少？（2）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中表示的四个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？（3）当点B为原点时，若存在一点M到A的距离是点M到D的距离的2倍，则点M 所表示的数是．7．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示数的点重合；（2）若表示数﹣1的点与表示数3的点重合，回答以下两个问题：①表示数5的点与表示数的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为m（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，直接写出A、B两点表示的数（用含m的式子表示）是多少？8．已知x，y为有理数，现规定一种新运算*，满足x*y＝xy﹣2x+1（1）求3*2的值；（2）对于任意两个有理数x，y，是否都有x*y＝y*x成立？如果成立，请证明，如果不成立，请举反例说明；（3）如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是1*（﹣9），点C在数轴上表示的数是（﹣8）*．若线段AB以6个单位长度每秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度每秒的速度向左匀速运动．问运动多少秒时，BC＝8（单位长度）？此时点B在数轴上表示的数是多少．9．如图．在一条不完整的数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动7个单位长度到达点C．（1）若点A表示的数为0，求点B、点C表示的数；（2）若点C表示的数为5，求点B、点A表示的数；（3）如果点A、C表示的数互为相反数，求点B表示的数．10．如下图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2．已知点A、B是数轴上的点，完成下列各题：（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是．（2）如果点A表示数是3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是．（3）一般地，如果点A表示数为a，将点A向右移动b个单位长度，再向左移动c个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是，A、B两点间的距离是．。

绝对值的八种题型

绝对值的八种题型绝对值是数学中常见的概念之一，用来表示一个数到0的距离。

在解决绝对值相关题目时，需要掌握不同类型的题型和相应的解题方法。

本文将介绍绝对值的八种常见题型及解题思路。

1. 绝对值的定义题型这种题型要求直接根据绝对值的定义来求解，即将绝对值内的数分别取正负值，求得结果。

例如，求解|3x+1|=7，可以得到两个方程3x+1=7和3x+1=-7，解方程得到x=2和x=-2。

2. 绝对值的不等式题型这种题型要求解不等式中包含绝对值的问题。

通常的解题思路是，先去掉绝对值，得到一个二次不等式，然后根据不等式的性质求解。

例如，求解|2x-3|>5，可以得到两个不等式2x-3>5和2x-3<-5，解方程得到x>4和x<-1。

3. 绝对值的加减法题型这种题型要求计算带有绝对值的加减式。

解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。

例如，计算|2+3|+|4-5|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到5+1=6。

4. 绝对值的乘法题型这种题型要求计算带有绝对值的乘法式。

解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。

例如，计算|2x-1|*|3x+2|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到(2x-1)*(3x+2)和(2x-1)*(-3x-2)。

5. 绝对值的除法题型这种题型要求计算带有绝对值的除法式。

解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。

例如，计算|2x-1|/|3x+2|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到(2x-1)/(3x+2)和(2x-1)/(-3x-2)。

6. 绝对值的方程题型这种题型要求求解带有绝对值的方程。

解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后解方程。

例如，求解|2x-1|=5，可以得到两个方程2x-1=5和2x-1=-5，解方程得到x=3和x=-2。

绝对值的八大题型

绝对值的八大题型
绝对值是数学中的一个重要概念，涉及到多种题型。

以下是“绝对值的八大题型”及其相应的解题技巧和示例：
一、绝对值的基本概念题
这类题型主要考查对绝对值基本概念的理解。

解题关键是掌握绝对值的定义，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

例1：判断下列说法是否正确：
（1）|5| = 5 （2）|-5| = 5 （3）|0| = 0 （4）|-0.1| = 0.1
解：（1）|5| = 5 （2）|-5| = 5 （3）|0| = 0 （4）|-0.1| = 0.1
二、求一个数的绝对值
这类题型要求根据绝对值的定义求出一个数的绝对值。

解题关键是掌握绝对值的定义，根据数的符号确定其绝对值。

例2：求下列各数的绝对值：
（1）12 （2）- 15 （3）0.2 （4）- 6.7
解：（1）|12| = 12 （2）|-15| = 15 （3）|0.2| = 0.2 （4）|-6.7| = 6.7
三、比较两个数的绝对值
这类题型要求比较两个数的绝对值的大小。

解题关键是掌握绝对值的定义，根据数的符号确定其绝对值。

例3：比较下列各组数的绝对值的大小：
（1）|2| 和|3| （2）|-4| 和|-3| （3）|0| 和|-5|
解：（1）因为|2| < |3|，所以|2| < |3|。

（2）因为|-4| = |-3|，所以|-4| = |-3|。

（3）因为|0| < |-5|，所以|0| < |-5|。

绝对值贯穿有理数经典题型(八大题型)(原卷版)

专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（八大题型）【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【题型2 根据绝对值的非负性求值】【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【题型4 根据绝对值的定义判断正误】【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【题型8 绝对值中最值问题】【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【典例1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c ，|b |．（2）试把﹣c ，b ，0，a ，|b |这五个数从小到大用“＜”连接起来；（3）化简|a +b |﹣|a ﹣c |﹣2|b +c |．【变式1-1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，化简|b +a |+|a +c |+|c ﹣b |的结果是（）A ．2b ﹣2cB ．2c ﹣2bC ．2bD ．﹣2c【变式1-2】a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a |＝|b |（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【题型2 根据绝对值的非负性求值】【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【变式2-1】已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|+3a．【变式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【变式2-4】已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【变式2-5】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．【变式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【变式2-7】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求++ +……+的值．【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【典例3】已知1＜a＜4，则|4﹣a|+|1﹣a|的化简结果为（）A．5﹣2a B．﹣3C．2a﹣5D．3【变式3-1】已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2C．2x D．﹣2【变式3-2】若1＜x＜2，则化简|x+1|﹣|x﹣2|的结果为（）A．3B．﹣3C．2x﹣1D．1﹣2x【变式3-3】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（）A．a﹣2b﹣1B．a+1C．﹣a﹣1D．﹣a+2b+1【变式3-4】若a＜0，则化简|3﹣a|+|2a﹣1|的结果为．【题型4 根据绝对值的定义判断正误】、【典例4】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b |，②a ＞0，③b ＜0，④c ＜0，正确的个数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式4-1】将符号语言“|a |＝a （a ≥0）”转化为文字表达，正确的是（） A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C ．非负数的绝对值等于它本身D ．0的绝对值等于0【变式4-2】已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a +c |﹣|a +b |的结果是（）A ．2a +b +cB ．b ﹣cC ．c ﹣bD ．2a ﹣b ﹣c【变式4-3】下列说法中正确的是（） A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0没有绝对值D ．绝对值相等的两个数不一定相等【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【典例5】若|5﹣x |＝x ﹣5，则x 的取值范围为（） A ．x ＞5B ．x ≥5C ．x ＜5D ．x ≤5【变式5-1】已知|a |＝﹣a ，则化简|a ﹣1|﹣|a ﹣2|所得的结果是（） A ．﹣1B ．1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a【变式5-2】若|1﹣a |＝a ﹣1，则a 的取值范围是（） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1【变式5-3】若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是．【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】【典例6】计算：（abc ≠0）＝．【变式6-1】若n＝，abc＞0，则n的值为．【变式6-2】已知abc＞0，则式子：＝（）A．3B．﹣3或1C．﹣1或3D．1【变式6-3】已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（）A．±5B．0或±1C．0或±5D．±1或±5【变式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m 共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．1【变式6-5】已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为．【变式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【变式6-8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【变式6-9】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【典例7】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【变式7-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为．【变式7-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【题型8绝对值中最值问题】【典例8】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【变式8-3】阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．。

绝对值五大题型

的讨论
a a _____ ；若 a 0 ，则 _____ . a a
10、若 a 0 ，则
【答案】1 或﹣1.
11、当 m 3 时，化简
m3 m3
【答案】1 或﹣1.
12、若 a ， b， c 均为非零的有理数，求
a b c 的值 a b c
【答案】3 或﹣3 或﹣1.
题型二：绝对值的化简
b 2 ，且 a b ；分别求 a ， 3、已知： a 5， b 的值
4、已知 1≤ x 5 ，化简 1 x x 5
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x
；．
的点与表示的点与表示
的点之间的距离，若 x 3 1，则x
的点之间的距离，若 x 2 2 ，则
(5) 4. 20、已知 m 是实数，求 m m 1 m 2 的最小值
【答案】根据“奇中偶间”得当 m=1 时，原式取得最小值为 2.
21、已知 m 是实数，求 m 2 m 4 m 6 m 8 的最小值
题型五：绝对值的几何意义 19、 m n 的几何意义是数轴上表示 m 的点与表示 n 的点之间的距离 ① x 的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离； x ； x0 （> ，，< ）；． ② 2 1 的几何意义是数轴上表示 2 的点与表示 1 的点之间的距离；则 2 1 ③ x 3 的几何意义是数轴上表示 ④ x 2 的几何意义是数轴上表示． ⑤ 当 x 1 时，则 x 2 x 2 20、已知 m 是实数，求 m m 1 m 2 的最小值

(完整版)关于绝对值的几种题型与解题技巧

关于绝对值的几种题型及解题技巧所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。

即0≥a 。

但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。

怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。

所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。

如：5=a ，则5=a 和5-=a 。

合并写成：5±=a 。

于是我们得到这样一个性质：a很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。

因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。

如2)2(=--。

因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。

例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。

绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。

我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。

绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）a 0 a0 0=a a - 0 a（2） |a|= 0 （a=0）（代数意义）-a (a ＜0)（3）若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5）若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|一：比较大小典型题型：【1】已知a 、b 为有理数，且0 a ，0 b ，b a ，则（）A ：a b b a -- ；B ：a b a b -- ；C ：a b b a --；D ：a a b b --这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。

绝对值经典题型

题型一：定义考察正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1.|-3|的相反数是.【解析】：|-3|的绝对值为3，3的相反数是-3.例2.绝对值大于2小于5的所有整数有.【解析】：绝对值大于2小于5的整数有-4、-3、3、4.例3.已知|X|= 4，则X= ; 已知|-X|= 5，则X= ;【解析】：(1)绝对值等于4的数有±4；(2)虽然|-X|有个“-”，但带有绝对值，这个“-”可以直接去掉，可以同(1)一样，绝对值等于5的数有±5.例4.已知|X-5|=2，则X= .【解析】：解法1：可以把绝对值里面的数当作一个整体，（X-5）的绝对值为2，则X-5=±2解得X=7或X=3解法2：利用绝对值的几何意义来解题：|X-5|=2，一个数到5的距离为2，则这个数为3或者7例5.下列语句:○1一个数的绝对值一定是正数；○2-a 一定是一个负数；○3没有绝对值为-3 的数；○4若|a| =a,则a 是一个正数；○5在原点左边离原点越远的数就越小.正确的有( )个A.0B.3C.2D.4【解析】：○1一个数的绝对值的绝对值可能是正数也肯是负数；○2一个字母前面带“-”，不能确认这个字母是正是负还是0，所以带上“-”后也不能确定是正是负还是0；○3一个数的绝对值只可能≥0○4一个数的绝对值等于它本身，这是数可能是正数也有可能是0○5在原点左边离原点越远的数就越小，在原点右边离原点越远数就越大例6.若|a| = -a,则a一定是( )A.正数B.负数C.正数或零D.负数或零【解析】：一个数的绝对值等于它的相反数，它可能是负数也可能是0题型二：非负性一个数的绝对值≥0例1.已知|a+3|+|c-2|=0，则a+c= .【解析】：∵一个数的绝对值≥0，∴两个≥0的数相加等于0，只可能它们分别为0.∴a+3=0，c-2=0 → a=-3，c=2，∴a+c=-1例2.若|x+3|+(y-1)2 = 0，求xy的值.【解析】：一个数的绝对值≥0，一个数的平方也是≥0，两个≥0的数相加等于0，只可能是它们分别为0，即: x+3=0，y-1=0，∴x=-3，y=1；∴xy=-3例3.若|2x-4|与|y-3|互为相反数，求3x-y的值.【解析】：一个数的绝对值≥0，两个绝对值互为相反数，只有可能两者都为0，因为0的相反数仍为0∴2x-4=0，y-3=0；∴x=2，y=3；∴3x-y=9例4.已知|a-3|+|b -5|=0，x，y互为相反数，求3(x+y) -a+2b的值.【解析】：∵一个数的绝对值≥0，∴两个≥0的数相加等于0，只可能它们分别为0.∴a-3=0，b-5=0，a=3，b=5；∵x，y互为相反数，∴x+y=0所以3(x+y) -a+2b=7题型三：去绝对值正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1.|3-π|+|π-4|= .【解析】：要想去绝对值，得先搞清楚绝对值里面的正负，这样我们才能正确把绝对值去掉.因为3-π<0，π-4<0，所以|3-π|=π-3，|π- 4|=4 -π所以|3-π|+|π-4|=1例2.如图所示，则|a-b|-|2c+b|+|a+c|= .【解析】：从图中可知c < b < c，|c|>|a|>|b|a-b>0，2c+b<0，a+c<0|a-b|=a-b，|2c+b|=-(2c+b)，|a+c|=-(a+c)所以|a-b|-|2c+b|+|a+c|=a - b --(2c+b)-(a+c)=a-b+2c+b-a-c=c> 0，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|.例3.若a<-b，ab【解析】：因为a> 0，所以○1a>0，b>0；○2a<0，b<0b○1当a>0，b>0时，与a<-b矛盾，所以这种情况不存在○2当a<0，b<0时，|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-(a+b)+ab=-2a+ab 例4.若1<a<5，则|1-a|+|5-a|= .【解析】：因为1<a<5，所以1-a<0，5-a>0所以|1-a|+|5-a|= -(1-a)+(5-a)=4例5.若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=4，则m-n= .熟记：|a|=a，则a≥0，|a|=-a，则a≤0切记别把“0”漏掉【解析】：因为|m-n|=n-m，所以m-n≤0○1第一种情况：m-n=0；○2第二种情况：m-n<0；又因为|m|=4，|n|=4所以m=-4，n=4即：m-n=-8例6.若x<-2，则y=|1-|1+x||等于.提示：多个绝对的情况，由内到外依次去绝对值【解析】：∵x<-2，∴1+x<0原式=|1-[-(1+x)]=|1+1+x|=|2+x|=-(2+x)题型四：分类讨论例1.若|a|=5，|b|=7，且|a+b|=a+b，则a-b= . 【解析】：∵|a+b|=a+b∴a+b≥0又∵|a|=5，|b|=7∴a=±5，b=7(负舍)∴a-b=-2或a-b=-12例2.若a>0，则|a|a = ，若a<0，则|a|a= .【解析】：○1∵a>0，∴|a|=a，∴|a|a = aa= 1；○2∵a<0，∴|a|=-a，∴|a|a = −aa= -1；例3.已知abc≠0，求|a|a + |b|b+ |c|c=【解析】：○1当a、b、c没有负数时，则原式=3○2当a、b、c有一个负数时，则原式=-1+1+1=1○3当a、b、c有两个负数时，则原式=-1-1+1=-1○4当a、b、c有全是负数时，则原式=-1-1-1=-3例4.若|ab|ab =1，则|a|a+ |b|b=【解析】：∵|ab|ab=1，∴a，b同号∴○1当a，b大于0时，原式=2○2当a，b小于0时，原式=-2题型5：零点分段零点：令绝对值等于0的x值，称为该绝对值的零点.步骤：○1找出每一个绝对值的零点；○2根据零点值给x分段；○3在每一段所属范围内，化简绝对值.例1.化简|x-1|+|x-4|【解析】：零点分别为1和4.○1当x <1时，原式=1-x+4-x=5-2x○2当1≤x≤4时，原式=x-1+4-x=3○3当x >4时，原式=x-1+x-4=2x-55-2x（x <1）|x-1|+|x-4|= 3 （1≤x≤4）2x-5（x >4）题型六：绝对值方程常用公式：若|a|=|b|，则a=b或a=-b步骤：○1根据绝时位内的正员分类，并去绝对值○2解出每一类对应的程○3检验方程的解是符合分类的范围要求例1.解方程：|2x-1|=|x+2|解：2x-1=±（x+2）○1当2x-1=x+2x=3○2当2x-1= -(x+2)2x-1=-x-23x=-1x= -13例2.解方程：|x-1|=2x-5解：x-1=±（2x-5）○1当x-1=2x-5x=4○2当x-1=-(2x-5)x-1= -2x+5X=2题型七：最值问题几何意义：|a-b|表示数轴上，a到b的距离Eg.|x-2|表示数轴上x到2的距离|x+3|表示数轴上x到-3的距离例1.当x在什么范围内|x-1|+|x-3|有最小值，最小值又是多少？【解析】：几何意义x到1的距离与与到3的距离之和○1当x<1时，|x-1|+|x-3|=d1+d2>2○2当1≤x≤3时，|x-1|+|x-3|=d1+d2 = 2○3当x>3时，|x-1|+|x-3|=d1+d2>2总结：|x-a|+|x-b|在a，b之间最小为|a-b|例2.求|x+1|+|x-5|+|x-2|的最小值【解析】：几何意义x到-1，5，2的距离之和当x=2时，最小值为6例3.求|x+2|+|x-1|+|x+4|+|x-7|的最小值.当-2≤x≤1时，最小值为14总结：奇为中间点，偶取中间段题型八：定值问题解题思路：让未知数之间相互抵消，则结果就是一个定值.例1. 若|x -1|+|x -2|+ … +|x -2022|的值为定值，求x 的范围.【解析】：偶数个绝对值相加，要想原式为定值，则一半的式子为x ，后一半式子-x ，这样未知数就都抵消了，所得结果为定值.(x -1)+(x -2)+ … +(x -1011)+(-x+1012)+ … +(-x+2022)这样正好将x 都消掉解：当20222≤x ≤20222 + 1，即1011≤x ≤1012时，原式为定值例2. 若2a+|4-5a|+|1-3a|的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】：要想原式为定值，就要把a 都给抵消掉原式=2a+4-5a+3a -1解: 4-5a ≥0，1-3a ≤0，即：13≤x ≤45 原式=2a+4-5a+3a -1=3。

初一数学绝对值题形总结

初一数学绝对值题形总结初一数学中的绝对值是一个重要概念，它涉及到了正数、负数和零的距离或大小的理解。

下面是对初一数学中绝对值题型的总结。

一、绝对值的基本概念绝对值是一个数的数轴上对应的点到原点的距离。

对于正数和零，它们的绝对值是它们自身；对于负数，它的绝对值是它的相反数。

这个概念是初一数学中的基础，也是解题的关键。

二、绝对值的性质1.非负性：任何数的绝对值都是非负的，即|a| ≥ 0。

2.正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值等于它的相反数。

3.互为相反数的两个数的绝对值相等。

4.若a、b 同号，则|a+b|=|a|+|b|。

5.若a、b 异号，则|a±b|=||a|-|b||。

6.|a-b|≤|a-c|+|c-b|，这个性质被称为三角不等式。

这些性质在解题过程中有着广泛的应用，熟悉这些性质对于解决绝对值问题有着重要的意义。

三、绝对值的题型1.计算类题目：这类题目主要考察学生对绝对值计算方法的掌握情况，如简单的绝对值运算、利用绝对值的性质进行化简等。

2.比较大小类题目：这类题目通常涉及到多个绝对值表达式，需要学生通过比较这些表达式的大小来找出答案。

3.解方程类题目：这类题目中，绝对值表达式通常会出现在方程的等号两边，学生需要利用绝对值的性质来解方程。

4.应用题：这类题目通常会涉及到现实生活中的问题，比如距离、时间等，需要学生通过理解题意，将实际问题转化为绝对值问题来解决。

四、解题思路和方法解绝对值题目的关键是理解和掌握绝对值的性质。

在解题时，首先要明确题目考察的是哪种类型的绝对值问题，然后选择合适的方法来解决。

对于计算类题目，要熟练掌握绝对值的计算方法；对于比较大小类题目，要灵活运用绝对值的性质来比较表达式的大小；对于解方程类题目，要将方程中的绝对值表达式进行适当的变形，然后解方程；对于应用题，要将实际问题转化为数学模型，然后利用绝对值的性质来解决。

五、学习建议1.要熟练掌握绝对值的计算方法和性质，这是解题的基础。

初一数学绝对值的题型分类

初一数学绝对值的题型分类
以下是一些常见的初一数学绝对值题型分类：
1.基础应用题：包括计算绝对值、求绝对值的相反数等基本
操作。

例如，计算|-5|、|-9 - 2|等。

2.比较与判断题：要求比较大小或判断真假，使用绝对值来
解决。

例如，判断|-3|是否大于|2|、比较|-4|和|-5|的大小等。

3.解方程与不等式：涉及求解含有绝对值的方程或不等式。

例如，解|2x-3|=5、求解|2x-3|<5等。

4.几何问题：使用绝对值来计算长度、距离、面积等几何概
念。

例如，计算两点之间的距离、求解线段的长度等。

5.问题求解：结合实际问题，运用绝对值来解决。

例如，求
解温度变化、求车辆行驶距离等问题。

这些题型旨在帮助初一学生熟悉和理解绝对值的概念，并培养使用绝对值解决问题的能力。

通过这些题目的练习，学生可以巩固绝对值的基本概念和运算规则。

同时，也可以培养学生解决实际问题时的逻辑思维和计算能力。

七年级上册数学绝对值必考八大经典题型pdf

七年级上册数学绝对值必考八大经典题型题型一：定义考查例1：|-2|的相反数是分析：负数的绝对值等于它的相反数。

答案：-2例2：绝对值大于等于1，小于4的所有正整数和为分析：符合题意的正整数有1、2、3。

答案：6例3:已知|x|=5，则x=，已知|-x|=3，则x=分析：绝对值等于5的数有±5，同理-x=±3，则x=±3。

答案：±5；±3例4：已知|x-2|=3，则x=；已知|2-x|=1，则x=分析：|x-2|=3表示x与2的距离是3，故x=-1或5。

|2-x|=1表示x与2的距离是1，故x=1或3。

答案：-1或5；1或3题型二：非负性例1：已知|a+3|+|b-1|=0,则a+b的值是分析：多个非负数的和为0，则每一个都是0，故a=-3，b=1。

答案：-2例2:已知|a-1|+|b-2|+2|c-3|=0，则a+b+c的值是分析：多个非负数的和为0，则每一个都是0，故a=1，b=2，C=3。

答案:6例3：已知|x|=x，则x0；已知|x|=-x，则x0分析：绝对值具有非负性，所以等式右边一定≥0。

答案：≥；≤例4：已知|x-2|=x-2，则x2；已知|x-2|=2-x，则x2分析：绝对值具有非负性，所以等式右边一定≥0。

答案：≥；≤题型三：去绝对值例1:|3-π|+|π-4|=分析：去绝对值，必须先判断绝对值内的正负，3-π和π-4均为负数，绝对值应取相反数，故原式=π-3+4-π=1答案:1例2：已知|≤x≤5，则||-x|+|x-5|=分析：因为|≤x≤5，所以1-x≤0，x-5≤0，故原式=x-1+5-x=4。

答案:4例3：如图所示，则|a-b|-|2c+b|+|a+c|=分析：由图可知：C，1a-b>0，2c+b<0，a+c<0，故原式=a-b-(-2c-b)+(-a-c)=C答案:C题型四：分类讨论例1:若|a|=5，|b|=7，且|a+b|=a+b，则a-b=分析:a=±5，b=±7，且a+b≥0(非负性)；故a=5、b=7，或a=-5，b=7答案：-2或-12例2：若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c。

绝对值的题型归类

绝对值的题型归类
（原创版）
目录
1.绝对值的概念与定义
2.绝对值的题型分类
3.绝对值题型的解题技巧
正文
【1.绝对值的概念与定义】
绝对值是一个数学概念，表示一个数到零点的距离。

它的符号是“| |”，读作“绝对值”。

绝对值的定义是：对于任意实数 x，其绝对值|x|等于 x （当 x≥0 时），或等于-x（当 x<0 时）。

换句话说，绝对值就是一个数
去掉正负号后的值。

【2.绝对值的题型分类】
根据题型的不同，我们可以将绝对值题目分为以下几类：
（1）求绝对值：给定一个实数或代数式，求其绝对值。

（2）比较绝对值大小：给定两个实数或代数式，比较它们的绝对值
大小。

（3）绝对值的性质：研究绝对值的性质，例如|x| = |-x|，|x+y| = |x| + |y|等。

（4）含有绝对值的方程与不等式：解含有绝对值的方程或不等式。

（5）绝对值与函数：研究绝对值在函数中的应用，例如绝对值函数
y=|x|的性质和图像。

【3.绝对值题型的解题技巧】
（1）求绝对值：直接将实数或代数式去掉正负号即可。

（2）比较绝对值大小：将实数或代数式去掉正负号后进行比较。

（3）绝对值的性质：利用已知的绝对值性质进行化简和计算。

（4）含有绝对值的方程与不等式：将方程或不等式分为正负两种情况讨论，利用绝对值的性质进行求解。

（5）绝对值与函数：利用绝对值函数的性质，结合函数的图像进行分析和求解。

绝对值应用的九种常见题型

2．绝对值不大于 3 的所有整数为_0_，__±__1_，__±__2_，__±__3_______．
3．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数 x 的对应点与原点之间的距离，即|x|＝|x－0|，也可以说，|x|表示数轴上数 x 与数 0 对应点之间的距离．这个结论可以推广为|x1－x2|表示数轴上数 x1 与数 x2 对应点之间的距离．
(2)表示 m，n 两数的点之间的距离为多少？
表示 m，n 两数的点之间的距离为 n－m＝－2.5－(－6)＝－2.5 ＋6＝3.5.
9．若a－12＋b＋13＋c－14＝0，求 a＋b－c 的值．
解：由题意得 a＝12，b＝－13，c＝14. 所以 a＋b－c＝12－13－14＝－112.
10．三个有理数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，其中数 a，b 互为相反数．试求解以下问题：
6．若|x－2|＝2－x，则 x 的取值范围是___x_≤__2____．
7．把－(－1)，－23，－－45，0 用“＞”号连接，正确的是( C ) A．0＞－(－1)＞－－45＞－23 B．0＞－(－1)＞－23＞－－45 C．－(－1)＞0＞－23＞－－45 D．－(－1)＞0＞－－45＞－23
11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．(1)①正数的绝对值：|＋5|＝___5___，|12|＝_1_2____； ②负数的绝对值：|－7|＝__7____，|－15|＝_1_5____； ③0 的绝对值：|0|＝___0_____．
(2)根据(1)中的规律发现：不论是正数、负数还是 0，它们的绝对值一定是__非__负__数__，即|a|__≥______0.
(1)|x|＝5；解：数轴上与原点距离为5的点表示的数为－5和5，所以x的值为5或－5.

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绝对值的题型归类
以下是一些常见的绝对值题型：
1. 求绝对值：
例题：求绝对值|-3|。

解：由绝对值的定义可知，|-3|表示-3的绝对值，即-3到0的距离，因此|-3|=3。

2. 绝对值不等式：
例题：解不等式|2x-1|≤5。

解：将绝对值符号拆分为两个不等式，即-5≤2x-1≤5。

解得-2≤x≤3。

3. 绝对值方程：
例题：解方程|3x+2|=5。

解：将绝对值符号拆分为两个方程，即3x+2=5和3x+2=-5。

解得x=1或x=-7/3。

4. 绝对值函数的图像：
例题：画出函数y=|x|的图像。

解：函数y=|x|的图像是一个以原点为顶点的“V”字形图像，它在第一象限和第二象限的图像是一条向上的直线，斜率为1，在第三象限和第四象限的图像是一条向下的直线，斜率为-1。

5. 绝对值的性质：
例题：证明绝对值具有三角不等式性质。

解：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。

证明如下：
因为|a+b|≥0，所以|a+b|=|a|+|b|，当且仅当a和b同号时取等号。

因此，|a+b|≤|a|+|b|，即绝对值具有三角不等式性质。

6. 绝对值的应用：
例题：求解不等式|x-1|+|x-2|≤1。

解：将不等式中的绝对值符号拆分为三个部分，即x-1≤1，x-2≥-1，和x-1≥-x+2。

解得x∈[1,2]。

例题：求函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值。

解：由于f(x)表示数轴上点x与1和-1的距离之和，因此f(x)的最小值为2，当且仅当x=0或x=2时取等号。