推导一维非定常欧拉方程的加科比矩阵
空气动力学第三章
（3.13）
γ /( γ −1)
（3.14）
⎡ ⎤ ⎥ γ +1 c ⎢ = ⎢ ⎥ c* ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ 2
1/2
（3.15）
考虑能量方程：
V = 2c p (T0 − T ) = 2γ R (T0 − T ) γ −1
& m G * = ( ) max A
R (1 + γ − 1 M 2 )(γ +1)/[2(γ −1)] 2 & p γ 2 (γ +1)/(γ −1) m = *= 0 ( ) A T0 R r + 1
γ
M
A G 1 2 γ − 1 2 ( γ +1)/[ 2( γ −1)] M )] = = [( )(1 + * A G M γ +1 2
γ − 1 *2 M γ +1
马赫数和临界马赫数的关系曲线如图3.6所示：
当M<1时,M*<1; 当M=1时,M*=1; 当M>1时,M*>1; 当M趋近无穷时;
M* = r +1 r −1
• 3.4 由马赫数表示的质量流流率
& m G = = ρV A
ρ = p / RT
c = γ RT
V γ G = p( ) c RT
V2 = M2 γ RT
T0 γ −1 2 = 1+ M T 2
（3.4 ）
cp =
γR γ −1
公式（3.4）实用于绝热流动和等熵流动。
对于完全气体的等熵流动，其压力和密度与温度的关系 为： p0 T0 γ /(γ −1) ρ0 T0 1/(γ −1) =( ) =( ) T ρ p T 将上述公式与（3.4）结合起来，可以得到压力和密度由 马赫数来表示的关系式如下：
欧拉-拉格朗日方程在一维波动方程中的应用
欧拉-拉格朗日方程在一维波动方程中的应用王颖;史旭光【摘要】In this paper,the one-dimensional wave function is studied in frame of the kinetic energy and potential energy.In general,one-dimensional wave equation is obtained through the force analysis of an arbitrary string element and Newton's second law.In this paper,we introduce the Lagrangian of a particle,which moves in the potential V.Then Euler-Lagrange equation,Which is also the motion equation of particle,is given based on the principle of the least action.In the frame of this theory,we give the kinetic energy and potential energy of the string element.Then the Lagrange density function of the 1-dimension string element is de-fined.The Euler-Lagrange equation to describe a system with infinite degrees of freedom is obtained.Based on these,the one-dimensional wave equation is revealed.At last,we give the relations between Lagrange density function in one-dimensional wave and Lagrange density function in Polyakov interaction in string theory.%本文以一维弦上微元的动能和势能为基础,推导出了一维波动方程.文章首先介绍了通过力学分析得到一维波动方程的方法.然后分析了一维自由运动粒子的动能和势能,引入系统的哈密顿量和拉格朗日函数,由最小作用原理得到了欧拉-拉格朗日方程,也就是粒子的运动方程.将这一方法用于分析一维弦上波动,给出微元的拉格朗日密度函数,得到可以描写无穷多自由度系统的欧拉-拉格朗日方程,从而导出了一维波动方程.最后分析了一维弦上波动的拉格朗日密度与弦理论中Polyakov作用量中的拉格朗日密度的关系.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2017(027)006【总页数】4页(P41-44)【关键词】波动方程;拉格朗日函数;最小作用量原理;欧拉-拉格朗日方程【作者】王颖;史旭光【作者单位】北京林业大学理学院,北京 100083;北京林业大学理学院,北京100083【正文语种】中文波动是物理学中的重要概念。
工程流体力学 - 第3章 - M
2 、 水力半径 Rh ：在总流的过流断面上与流
体相接触的固体边壁周长称为湿周，用χ表 示。总流过流断面面积与湿周χ之比称为水 力半径R，即
R
A
3、当量直径de=4Rh
五、流量与平均流速
1、流量
单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。 流体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量 分别是体积流量qv (m3/s)、质量流量qm (kg/s)和重量 流量Qg(N/s)。
v1 A1 v 2 A 2 q v
上式为一维流动连续性方程。
§3.6理想流体一维稳定流动的伯努里方程 一、欧拉方程
如图,在微元流管中 取一圆柱流体微团, 考察理想流体在重 力场中的一维流动。
轴向长度：δs,
端面面积：δA,
端面⊥轴线,
侧面∥轴线。
流体微团受力分析： 方向：垂直向下
质量力：重力，大小：ρgδAδs 表面力：
一.拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个 流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质 点、各物理量随时间变化的规律。又称轨迹法。 设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。 流体质点的空间位置、密度、压强和温度 可表示为： r r a，b，c，t ＝ a，b，c，t p p a，b，c，t T T a，b，c，t
第三章 流体动力学
流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动 规律，是流体力学的一个组成部分。 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉
法），结合迹线，流线，流体线等显示流动特性 的曲线图谱研究流动特性。
掌握流体动力学的基本方程，即质量守恒方程， 能量守恒方程动量定理，动量矩定理，重点是关 于控制体的欧拉型方程。
冲击波基本理论
*
*
⑥ 压缩波：波阵面到达之处，介质的状态（P、ρ、T）参数增加的波称压缩波，波的传播方向与介质运动方向相同。（图5.1） ⑦ 膨胀波（稀疏波）：波阵面到达之处，介质的状态（P、ρ、T）参数减小的波称膨胀波，波的传播方向与介质运动方向相反。 （下图5.2）
*
*
完全气体，量热完全气体与等熵关系 （补物理化学知识） 理想气体(完全气体perfect gas)：不考虑分子间的作用力和分子的体积情况下，一种理想化后的气体。它满足： PV=nRT， e=e(T)和Cv=Cv(T) 世上无理想气体，热完全气体是真实气体在一定温度，压力范围内的近似，即近似看成理想气体来处理。 对于热完全气体，有： de=CvdT=Cv(T)dT ，dh=CpdT=Cp(T)dT，e=e(T) ，h=h(T) 可近似认为一定温度范围内，Cv，Cp ， （ Cp- Cv =R）保持不变。 但一般说来， Cv=Cv(T) ， Cp=Cp(T)
hePV
feTS
ghTS
=+
=-
=-
*
*
将（2）的第一式、（4）、（5）、（6）与（7）的4个式子比较有： —（8） 又因为： （ ） 所以：
*
*
而 类似有： 代入（11）的第1式： （12） （10），（12）就是熵函数的一般表达式（微分形式），也可以写成积分形式： （13）
*
*
等熵关系的建立： 一般地： （1） 对可逆过程： （2） 比较（1）和（2）有： （3）
（2）
（1）
（22）
*
*
又由Maxwell关系： （23） 故有： （24） 对理想气体： 故： ， 代入（24）式： (25) 由定义（比热比）： 故:
西工大最优控制课程 第1章 变分法-2-欧拉方程
Fy'y x0
0
x0
Fy
'y
x1
Fy'y x0
0
y
0
x1
0,y
x0
0Fy' Fy'
x1 x0
0 0
x1 x
说明 （ 1） 欧拉方程和横截条件是δJ=0的充要条件，
泛函极值存在的必要条件。
（2）一般而言，工程问题可根据概念判断极大极 小，故无需充分条件。
（3）横截条件是求解欧拉方程所需的两点边值。
(δy)T
Fy
x1 x0
0
(Euler方程) (横截条件)
控制系统目标泛函求极值形式
min J t1 L(t, x, x,u,u)dt
u
t0
三 有约束情况
回顾：高等数学中求函数极值
mxin (x)
s.t. f (x) 0
利用Lagrange算子 ，构成Lagrange函数L（x, ） L(x,) (x) f (x)
(x, y) 的一次变分 0
1
y1
1
y1
y2
1
y2
... yn
1
yn
0
2
y1
2
y1
y2
2
y2
... yn
2
yn
0
……
m
y1
m
y1
y2
m
y2
... yn
m
yn
0
证明
第二步：使 J ( y) 有极值的 y 必能使 J ( y) 有极值；
i
y1
i
y1
y2
i
y2
... yn
x0
经济学欧拉方程的推导
经济学欧拉方程的推导好嘞，咱们来唠唠经济学里那个有点神秘的欧拉方程的推导。
你可以把经济学想象成一个超级大的游乐场，各种经济变量就像游乐设施一样，在里面转来转去。
这个欧拉方程呢，就像是游乐场里隐藏的宝藏地图，要找到它可不容易，但一旦找到了，就能开启经济世界里一些神奇的秘密通道。
首先啊，咱们得从一些基本的经济假设开始。
假设消费者都是超级理性的小机灵鬼，他们每天都在算计怎么让自己的幸福值（效用）最大化，就像小松鼠在秋天拼命收集坚果，想让自己的小窝堆满食物，过个舒服的冬天一样。
咱们假设有个消费者在不同时期消费，就像我们今天吃个冰淇淋，明天吃个巧克力。
他要考虑现在消费多少，未来消费多少。
这个时候呢，就会有一个跨期预算约束，这就好比是你去游乐场，手里只有那么多钱，你要决定是先玩过山车还是先玩旋转木马，而且得保证在你的预算之内。
然后呢，我们用效用函数来描述这个消费者的幸福程度。
这个效用函数啊，就像是一个魔法配方，不同的消费组合放进去，就会出来一个幸福值。
这时候我们要让这个效用在满足预算约束的情况下达到最大，这就像你在游乐场里要在有限的时间和金钱下玩到最开心的项目组合。
接下来就到了关键的数学推导啦。
我们通过拉格朗日乘数法，这就像是给这个最大化问题找了个超级助手。
这个方法就像一个神奇的魔杖，一挥，就能把复杂的问题变得有迹可循。
我们对拉格朗日函数求一阶导数，这一步就像是小心翼翼地拆开宝藏地图的一角。
在这个过程中，会出现关于消费在不同时期的导数关系。
这个关系经过一系列的整理，就会慢慢出现欧拉方程的雏形啦。
这时候的方程就像是一个刚刚孵化出来的小怪兽，还没有完全成型，但已经有了基本的模样。
我们继续推导，把一些经济变量的含义和假设代入进去，就像给小怪兽穿上合适的衣服。
比如说把利率考虑进去，利率就像是在经济游乐场里租游乐设施的租金一样，会影响我们的消费决策。
随着推导的深入，这个方程就越来越清晰。
它就像一个精心雕琢的艺术品，每一个部分都恰到好处。
计算流体力学入门
u f 0 ，对于流动问题，这个偏微分方程实际上是来源于积分形式的 t x
u f (u ) f 0 ,但要求Jacobi矩阵 可对角化,方程(组)才是双曲型守恒方程. t x u
2. 欧拉方程 对于一维欧拉方程对应的 u 和 f(u)分别为：
u p u2 u u ， f (u ) uu p ,其中 E ( 1) 2 uE pu E
控制体（称之为有限体积，这也是有限体积法的来历） ，认为 u 是每个网格单元上的平均值
并 且 数 值 上 等 于 格 心 处 的 流 场 参 数 值 ， Fi 是 每 个 控 制 面 上 F 的 平 均 值 ， 即 记
u
1 V
1 ， F d u V i C.V Si
u V F 。那相当于求解 F dS i Si 0 。这个方程就 c.si t i
通常，我们都假设 u 是连续的，也认为 均自由程厚度的间断面来说，实际计算中实际采用的 x 都太大了，这就造成了在间断面上
f f f f 完全不能逼近 ，甚至 与 南辕北辙。这就造成了用来逼近描述守恒律的差分方 x x x x u f 程 求解的精度将无法得到保证。 0 不再能很好地表达守恒律,甚至是完全错误的。 t x
u u a(u, x) 0 t x
以中心差分方法为例来说明。 对于第 i 点:
雅可比矩阵推导
雅可比矩阵推导雅可比矩阵又称为Jacobi矩阵，是数学领域中的一个重要概念。
其由德国数学家卡尔·古斯塔夫·雅可比于19世纪提出，并在多种领域中得到了广泛的应用。
雅可比矩阵是一个行向量的矩阵，每个元素是一个函数的偏导数。
其表达了一个向量函数的梯度或导数，是微积分中的重要工具之一。
雅可比矩阵的推导方法比较简单，仅需要将一个向量函数的各个分量偏导数按照行向量排列即可得到。
具体而言，假设有一个向量函数f(x)=（f1(x), f2(x), …, fn(x)），其中x是n维向量，那么该向量的雅可比矩阵J就可以表示成如下形式：J= \begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partialf_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partialf_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partialf_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{bmatrix}从上述式子可以看出，雅可比矩阵的行数和列数分别等于向量函数f(x)的分量数，即n。
每个元素都是一个函数的偏导数，表示了函数在各个方向上的变化率。
雅可比矩阵在应用中具有广泛的用途，例如在微分几何中，它被用来描述曲面的正则性和光滑度；在优化问题中，它被用来计算梯度和海森矩阵，进而确定最优解；在机器学习领域中，它被用来计算损失函数的梯度，从而进行参数优化。
第三章一维定常流的基本方程
③
微分形式的动量方程 无粘性流体一维定常流动的运动微分方程
dp cdc gdH 0
对于气体，忽略重力
dp cdc 0
压力增大，流速减小，反之亦然
④
伯努利方程
对微分动量方程沿流线积分
dp VdV gdz 0
气体动力学 通常采用的 简化条件
一维流假设 无彻体力 理想气体模 型
引言
0 流动定常假设 t 大多数真实流动一般都伴随有湍流和旋涡，所以流动本质上是非定常的，只有 当流体的质点沿着流线运动（迹线与流线重合）时才可能存在定常流。
对非定常程度不大或可以忽略非定常影响的流动有其合理性。 流动定常假设是对控制方程组而言的，忽略方程中的所有时间偏导数项。
2
dp
1
2 c2 c12 0 2
必须知道流动的热力过程，例如对于等熵过程
p
2
dp
1
k p 2 p1 k R T2 T1 k 1 2 1 k 1 k 1 k p k 2 RT1 p1 1 k 1
k
const
k 即 RT1 k 1
p2 p1
k 1 k
2 2 c c 1 1 2 0 2
（ 1）对于等熵加速流动 p和C的关系 气体在一维定常绝能流动中
对于气体在喷管中的加速流动
c2 2 c12 k RT1 1 2 k 1
p2 p1 2
k 1 k
等熵膨胀，压力降低，流速增大； 反之在扩压器中，流速减小，压力增大
CE_SE方法数值模拟炸药粉尘爆轰_董贺飞
496
计
算
物
理
第 29 卷
－ Q d － F d x u 2 － F d y v 2 + I d E 2 + Q chem ， （ ρ2 φ2 ） （ ρ2 φ2 u 2 ） （ ρ2 φ 2 v2 ） + + = － Id ， t x y
2 （ ρ2 φ2 u 2 ） （ ρ2 φ2 u 2 ） （ ρ2 φ 2 u 2 v2 ） + + = － I d u 2 + F dy ， t x y
2
方程中下标“1 ” 和“2 ” 分别代表气相和固相 ． 各物理量分别为： 密度 ρ 、 速度 u 、 速度 v 、 压力 p 、 温度 T 、 总 u 2 + v 2］/ 2 ） 、 体积分数 φ （ φ 1 + φ 2 = 1 ） 和颗粒数 N． 源项中 I d 为固相质量变化率； F d x 和 F d y 为气体 能 E（ = e + ［ 对颗粒的作用力； Q d 为两相间的对流热传导； Q chem 为化学反应释放的能量 ． 在两相爆轰波中，炸药颗粒在爆轰波 前 导 激 波 的 作 用 下 开 始 运 动，并 由 于 对 流 热 传 导 开 始 升 温 ． 当 温 度升高到熔点时，表层炸药开始熔化 ． 目前，对炸药颗粒在高温高速气流中点火并发生反应的研究较少，参 考液滴在高速气流作用下的剥离现象， 认为炸药液化部分在气流的作用下被剥离， 并在高温气体环境中瞬时
（ 1） （ 2） （ 3）
［ ρ 1 φ 1 E 1］ ［ ρ 1 φ 1 u 1 （ E 1 + p / ρ 1） ］ ［ ρ 1 φ 1 v 1 （ E 1 + p / ρ 1） ］ + + = t x y
非线性方程组的解法
第四章 非线性方程组的解法4.1 非线性方程组的一般形式从上面两章中，我们研究了离散化结构中任一单元在t t t ∆+→的时间增量步内，由材料非线性引起的单元切线刚度阵是线性的，（如第三章得出的增量平衡方程p q k t ∆=∆ (7) （假定t 时刻的状态已知）），由此集合而成结构的增量平衡方程也是线性的P q K T ∆=∆，这就为求解整个的非线性过程准备了条件。
即只要确定每一步的切线刚度，通过求解一系列的线性方程组，累加起来就得到了解的全过程。
结构总的平衡方程是非线性的：P q q K =)( (1)i.e P K q 1-=。
令q q K R )(=0)()1(=-=→q R P F (1)’分段线性化是求解非线性问题中一个普遍有效的技术，但作为具体的解法还有许多种，主要的有：1、增量法―纯增量法2、迭代法―直接迭代法（刚线刚度法）、Newton-Raphson 迭代法（切线刚度法）3、.混合法―增量/迭代型方法4.2 载荷增量法（纯增量法）1、基本思想将一个非线性的全过程分成若干段，每一段用一个线性问题去近似。
如将一段取得足够小，总可以逼近真实的非线性过程。
方法：若将外载荷分成N 个增量步，而每个增量载荷为0P P i i λ∆=∆， i λ∆为载荷系数（或称载荷因子）， 则总载荷 0P P λ=；其中：∑=∆=Ni i 1λλ0P 为基准载荷.上面的结构平衡方程为0)()(=-=q R P q F (1)´i.e 0)()(0=-=q R P q F λ (2)λ1Δλ1P 0Δλ2P 0 λP 0λ2 λ3q 1 q 2q 3上式两边对λ微分得00F R P λλ∂∂=-=∂∂ (3)i.e 0)(0=-λd dqq K P T (4)如比例加载（力的大小和方向不变），有0P d dP λ=，代入(4)得1110()()..()T TT d q K qd P K q d P ie qK q P λ---==∆=∆ (5)将(5)式写成增量形式便有以下求解格式1101[()]i T i ii i i i iq K q P P P q q q λ---⎧∆=∆∆=∆⎨=+∆⎩ (6)2、求解步骤1）将载荷分成若干个增量步 01P P Ni i ∑=∆=λ ，准备位移量累加器[Q]并置零.2）施加第1个载荷增量 011P P λ∆=∆，计算qRq k t ∂∂=)(0线性 求解 1101)]([P q K q T ∆=∆-11q q ∆= 并送入位移量累加器[Q]3）施加第2个增量步 022P P λ∆=∆用1q ，求)(1q K T 即在1q 处的切线刚度矩阵 求解 2112)]([P q K q T ∆=∆-212q q q ∆+= 在位移量累加器[Q]中完成累加.4）重复3）直至(N )个载荷施加完毕, 在位移量累加器[Q]中得到总位移 ∑=∆=Ni i q q 13. 几何意义及讨论优缺点：优点：了解加载过程，当→∆P 足够小，总能收敛到真实解缺点：实际不可能无限小，因此累积误差，且无法估计，造成极大偏离而失真P 2 ΔλP 1 λP 0P 3 Δλ4.3 迭代法 1 直接迭代法1) 基本思想：将载荷一次加上，并假设一个初始解代入方程组求出第一次近似解；将其再代入方程组求解，得出第二次近似解，反复迭代逐次修正解，直至满足方程组（类似于对过渡单元加权平均ep D 中m 的迭代）。
第四章 理想流体运动基础
第四章 理想流体运动基础
流体微元沿n方向的力平衡式为
dn p dn p p dsdx p dsdx g n dsdndx an dsdndx 2 n 2 n p g n an n 式中，an是流体微元沿n方向的向心加速度，指向流线的曲 率中心，gn则是力加速度矢量在n方向的分量。对于定常 流动为 an V 2 R
或
19
式中，fr、fθ、fz分别为单位质量力在r、θ、z坐标 轴方向的分量。
7
第四章 理想流体运动基础
§4-2 自然坐标系中的欧拉方程
以流线方向为参考定义一个正交坐标系，称为流线坐 标系，或自然坐标系。 如图所示，在流线上取一点P，过P点作一个局部的正 交坐标系，其三个互相垂直的坐标方向分别为沿流线方向s、 垂直于流线的主法线方向n和副法线方向b，三个方向的单 e e e 位矢量分别表示为 、 和 s n b
12
第四章 理想流体运动基础
欧拉方程
§4-3 伯努利方程
或
fx
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z
(4-1)
分别在无旋流动和有旋流动情况下求解上式 1. 欧拉积分 在无旋流动时， 0 ，式子变为
u u2 G pF 0 t 2
(4-2)
从数学分析可知，无旋的条件 0 是uxdx+uydy+uzdz成为 某一函数ψ（x, y, z, t）的全微分的必要充分条件。函数ψ（ x, y, z, t）称为速度势函数，简称速度势。当以t为参变量时 ，函数ψ（x, y, z, t）的全微分可写成
伯努利计算 推导
伯努利方程的推导主要基于能量守恒与转化定律在流体力学中的应用。
以下是推导过程：考虑理想流体在重力场中的一维定常流动，在微元流管中取一流体微元进行分析。
根据欧拉方程（即无粘流体的Navier-Stokes方程），可以得到流体微元的运动微分方程。
对该微分方程进行积分，得到沿流线的伯努利积分。
假设质量力只为重力，可以得到一般形式的伯努利积分，即(V^2/2 + ∫dp/ρ + gz = C(ψ))，其中(C(ψ)) 为随流线不同而不同的伯努利常数。
请注意，上述推导过程中忽略了流体的粘性和热传导效应，因此在实际应用中可能需要进行修正。
此外，对于不同的流动条件和边界条件，伯努利方程的具体形式也可能有所不同。
理学空气动力学
下面我们用以上的微分形式控制方程推导出准一维
流动的面积-速度关系式(area-velocity relation)，并用 面积-速度关系式来研究准一维流动的一些物理特性。
将方程（10.14）d(uA) 0 展开并同除以 uA 得：
d du dA 0 uA
（10.20）
因为我们要得到面积-速度关系式，因此我们要
2
e2
u22 2
h1
u12 2h2来自u22 2•状态方程:
h0 常数
p2 2RT2
•对于量热完全气体焓与温度的关系为:
h2 c pT2
(10.8) (10.9) (10.10) (10.11) (10.12)
将控制方程归纳如下:
1u1A1 2u2 A2 或
uA 常数
(10.1)
p1A1 1u12 A1
A
u
2、For M>1 (supersonic flow), the quantity in parentheses
in Eq.(10.25) is positive. Hence, an increase in velocity
(positive du ) is associated with an increase in area (positive
A2 A1
pdA
p2 A2
2u22 A2
得:
pA u2 A pdA
( p dp)(A dA) ( d)(u du)2 (A dA)
(10.15)
我们忽略所有微分的乘积， 即高阶微分量，得：
Adp Au2d u2dA 2uAdu 0 (10.16)
我们将微分形式的连续方程 d (uA) 0 (10.14)展开，
欧拉方程的求解
欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1）的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1 方程（2）的通解为(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c 、2c 为任意常数）证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则11K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3）的二重根，因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=,故 12()ln u x c x c =+.不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则11K x y =，22K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为1212K K x c x y c +=. （其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则 ()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+，()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然，12cos(ln )2y y x x αβ+= 和12sin(ln )2y y x x iαβ-=是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=,其根为： 121K K ==,所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=，即 2280K K --=,其根为： 12K =-，24K =，所以原方程的通解为4122c y c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=.解 该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=，即 2250K K ++=,其根为： 1,212K i =-±,所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =, （5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程 212(1)0K a K a +-+= （3） 的两个根.具体求解方法：定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰. （7）证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令 2xy K y p '-=,代入方程（6）并整理，得1()K f x p x xp =-' 和 2K p y y x x '-=, 解之，得方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为 11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰, （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰, （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为 111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰ 证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8） （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+, 2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-, 将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=， 特征根为 122K K ==,所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰ （其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =，21K =，所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2x x x y xy y -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，特征根为 1,21K i =±,所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x x x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x （其中1c ，2c 为任意常数）在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c ，2c 为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''.（9） （其中1a ，2a ，3a 为常数）（9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10） 特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=.（11）定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ . （12） 证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x f x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是（13）式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（1）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=(iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根1,22K =得（14）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=（iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,对上式分部积分得（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解 原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3，取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理5（i ）的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到222250K K -+=，解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816xx x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得 1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=. (16）定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为]cos(ln k β120K K ==，3,41K i =-±，所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748.[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53.[9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.。
欧拉法的原理范文
欧拉法的原理范文欧拉法是一种用于数值解微分方程的方法，它由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪中期提出。
欧拉法是一种基本的数值解法，它利用微分方程中的导数来逼近真实函数的值。
欧拉法的原理可以通过一个简单的一阶微分方程来说明。
考虑一个一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是一个已知的函数，假设我们要求解在给定初始条件下的微分方程，即要求解y(x0) = y0，其中x0是给定的初始点，y0是给定的初始值。
为了使用欧拉法求解这个微分方程，我们可以从初始点开始，逐步迭代地计算出下一个点的值，以此来逼近整个函数的值。
具体步骤如下：1.将初始点的坐标设为(x0,y0)，将其作为欧拉法的起点。
2.选取一个步长h，这个步长表示每次迭代的间隔。
3.计算在当前点的斜率，即f(xn, yn)，这里xn和yn是当前点的坐标。
4.根据斜率计算下一个点的值：xn+1 = xn + h，yn+1 = yn +h*f(xn, yn)。
5.重复前面的步骤，直到达到所需的迭代次数或达到所需的精度。
通过使用欧拉法，我们可以逐步逼近微分方程的解，从而得到一个近似的函数曲线。
欧拉法的优点是简单易懂、易于实现，但是它也存在一些缺点。
其中一个主要的缺点是精度不高，它的逼近误差会随着步长的增加而增加。
此外，欧拉法在处理一些特殊的微分方程时可能会出现数值不稳定的问题。
为了减小误差，可以采用自适应步长的技术，即根据每个步长的精度要求来动态调整步长。
此外，还可以使用更高阶的数值方法，如改进的欧拉法或龙格-库塔法，这些方法可以提高数值逼近的精度。
总结起来，欧拉法是一种基本的数值解微分方程的方法，它通过逐步逼近微分方程的解，从而得到一个近似的曲线。
尽管欧拉法存在一些缺点，但它仍然是一种重要的数值方法，可以用于求解一系列的微分方程问题。