概率论复习题及答案

复习提纲（一）随机事件和概率（1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。

（2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。

（3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式，以及应用这些公式进行概率计算。

（4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。

（5）掌握Bernoulli 概型及其计算。

（二）随机变量及其概率分布（1）理解随机变量的概念。

（2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。

（3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。

（4）会求简单随机变量函数的概率分布。

（三）二维随机变量及其概率分布（1）了解二维随机变量的概念。

（2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

（3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。

（4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。

（5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。

（6）理解二维均匀分布和二维正态分布。

（四）随机变量的数字特征（1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。

（2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。

（3）会计算随机变量函数的数学期望。

（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。

（五）大数定律和中心极限定理（1）了解Chebyshev 不等式。

（2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。

（3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

复习题一、填空题1、设试验E 的样本空间为S ，A 和B 是两个事件，且6.0)(,5.0)(==B P A P ，(1)如果S B A =Y ，则=)(AB P ____________; (2)如果A 与B 相互独立，则=)(AB P _________。

0.1 ， 0.32、将n 个球随机地放入n 个盒子中(盒子的容积没有限制)，则每个盒子恰有一个球的概率为_______________; n 个球落在同一盒子内的概率为______________。

n n n !， 11-n n 3、设)(~λπX ，已知2}0{-==e X P 。

则=≥}2{X P ___________; =)(2X E ________。

23-1-e ，64、设随机变量序列10021,,,X X X Λ相互独立，且期望均为1，方差均为2，根据Chebyshev 不等式，≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-411X P __________; 根据中心极限定理，≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-411X P __________。

5034，1-4252⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ 5、一口袋中有10个球，其中有3个黑球，现无放回地从中取两次球，每次取一个，则第二次取到黑球的概率为________; 在已知第一次取到黑球的条件下，第二次又取到黑球的概率为_____________。

103, 92 6、设事件B A ,和C 的概率为41)()()(===C P B P A P ，而0)()(==BC P AC P ，81)(=AB P ，那么三个事件都不发生的概率为__________, 最多一个事件发生的概率为__________。

83, 817、如果一个罐中有4个红球，6个黑球，从中任意选取两个球，如果发现取到的两个球中有一个是红球，那么另一个也是红球的概率为_______。

518、如果随机变量X 服从]1,1[-上的均匀分布，则随机变量)0(≠+=c d cX Y 的均值为_________,方差为___________。

d ,231c9、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从相同的指数分布，密度函数为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x，那么Y X Z +=的密度函数)(z f Z =______________。

⎩⎨⎧<>=-000)(z z ze z f zZ10、若5.0)|(,4.0)(,2.0)(===A B P B P A P ，则)(B A P -=_______,=)|(B A P ______。

0.1 , 0.2511、如果)(~λπX ，且5.0}0{==X P ，那么=λ________,}1|0{≤=X X P =_______。

2ln , 2ln 11+ 12、设随机变量序列Λ,,21X X 相互独立同分布，且期望均为1，方差为2，利用Chebyshev不等式估计≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤∑=120801001i i X P __________, 为使9.01.0111≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑=n i i X n P ，利用中心极限定理，估计n 至少需要达到_________。

21, 542 13、有两个相互独立的子系统A 和B ，其正常工作的概率分别为A p 和B p ，则B A ,构成的串联系统正常工作的概率为_________;而B A ,构成的并联系统正常工作的概率为_________。

B A p p ， )1)(1(1B A p p ---）14、如果Y X ,相互独立，且都服从),1(p b ，那么~Y X +______,~),min(Y X _________。

),2(p b ， ),1(2p b15、若)1,0(~U X ，对于0>θ， ~)12(-X θ________________。

),(θθ-U16、有两个随机事件A 和B ，已知6.0)(,3.0)(==B P A P ，如果B A ,互不相容，则)(B A P -=_________; 如果B A ,相互独立，则)(B A P -=____________。

0.3 , 0.1217、设连续型随机变量X 的概率密度函数与分布函数分别为)(x f 和)(x F ，则它们的相互关系为： =)(x F ____________; 在)(x f 的连续点处有=)(x f _____________。

⎰∞-xdu u f )(， )('x F18、 如果)(~),(~21λλe Y e X ，且相互独立，则=)|(|y x f Y X __________, ~),min(Y X __________。

)(x f X ， )(21λλ+e19、设),(~p n b X ，)(~p Y π，且相互独立，则=-)(Y X E _________，=-)(Y n X D _____________。

p np -， )2(p np -20、一袋中有5个小球，它们是2个白球和3个黑球，从中随机取两个球，则取到一黑一白的概率为__________,如果已知其中一个是白球，则另一个是黑球的概率为___________。

53，76 21、若)1(~πX ，则=≥}1{X P ____________; =≥=}1|1{X X P ____________。

1-1-e ， 11-e 22、 设),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，如果X 与Y 相互独立，那么 =+∞+∞),(),(y F x F ___________; =)|(|y x F Y X ________________。

),(y x F ， ),(+∞x F23、设随机变量序列Λ,,21X X 相互独立，且对于每个i X ，i i X E μ=)(，2)(σ=i X D ，则 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i i X n E 12)(1μ_________; 0>∀ε,=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i i n X n P 1)(1lim _________。

2σ，122、 设),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，Y X ,的边缘分布函数分别为)(x F X ，)(y F Y ，则=-∞),(x F _________, ),(+∞x F =________。

0， )(x F X23、如果随机变量X 的概率密度函数为x x Ce 22+-，),(+∞-∞∈x ，则 =C _________， =≥)}({X E X P _________。

πe 1，21二、选择题1、设事件B A ,满足 1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，)|()|(B A P B A P =，则（A ）1)()(=+B P A P （B ）)()()(B P A P B A P +=Y（C ） )()()(B P A P AB P = （D ）0)(=AB PC2、对于0)(),(>B P A P ，如果)|()|(A B P B A P =，则（ ）(A) B A = (B) )()(B P A P = (C) B A ,相互独立 (D) B A ,互不相容B3、设)(x F 为随机变量X 的分布函数，则 =≥}{a X P （ ）(A) )(1a F - (B) )()(--a F a F (C) )(1--a F (D) )()(-∞-F a FC4、设)(x F 为随机变量X 的分布函数，则 ()()F a F a --=（ ）(A) '()F a (B) ()F a - (C) {}P X a ≤ (D) {}P X a =D5、如果Y X ,相互独立，且都服从),1(p b ，则{}),m ax (),m in(Y X Y X P <=（ ）(A) 2p (B) 1 (C) )1(2p p - (D) 2)1(p -C6、如果n X X X ,,,21Λ相互独立，且均服从指数分布，则下列哪个随机变量仍然服从指数分布( )(A)∑=n i i X 1 (B) ∏=n i i X 1 (C) )(max 1i n i X ≤≤ (D) )(min 1i ni X ≤≤ D 7、将n 个相互独立且可靠性均为p 的元件并联起来组成系统S ，则系统的可靠性为（ ）(A) n p (B) n p )1(1-- (C) n p -1 (D) np )1(- 8、设)(x f 与)(x F 分别为随机变量X 的密度函数和分布函数，则下列关系成立的是（ ）(A) )(')(x f x F = (B) 0)()('=+x f x F(C) ⎰∞-=xdu u F x f )()( (D) ⎰∞-=x du u f x F )()(D9、已知1)()(==Y D X D ，21-=XY ρ，则=-+)2,(Y X Y X Cov ( )(A) 21- (B) 23 (C) 21 (D) 2510、对任意两个独立且发生概率均大于零的事件A 和B ，不正确的是（ ）（A ）A 与B 一定独立 （B ）A 与B 一定独立(C) A 与B 一定独立 (D) A 与B 一定互不相容D11、 随机变量X 的概率密度和分布函数分别为()f x 和()F x ，则一定有（ ）（A ） 0()1f x ≤≤ (B) 0()1F x ≤≤(C) {}()P X x f x == (D) {}()P X x F x ==B12、 对任意事件A 和B ，若()0P B >，则（ ）（A ）(|)(|)1P A B P A B += (B) (|)(|)1P A B P A B +=(C) (|)(|)1P A B P A B += (D) 以上结论都不一定成立A13、设随机变量X 与Y 独立，且都服从参数为p 的0-1分布。