概率论复习题及答案

复习提纲

（一）随机事件和概率

（1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。

（2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。

（3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式，

以及应用这些公式进行概率计算。

（4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。

（5）掌握Bernoulli 概型及其计算。

（二）随机变量及其概率分布

（1）理解随机变量的概念。

（2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的

分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。

（3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。

（4）会求简单随机变量函数的概率分布。

（三）二维随机变量及其概率分布

（1）了解二维随机变量的概念。

（2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律

及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

（3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。

（4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。

（5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。

（6）理解二维均匀分布和二维正态分布。

（四）随机变量的数字特征

（1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。

（2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。

（3）会计算随机变量函数的数学期望。

（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。

（五）大数定律和中心极限定理

（1）了解Chebyshev 不等式。

（2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。

（3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件

和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

复习题

一、填空题

1、设试验E 的样本空间为S ，A 和B 是两个事件，且6.0)(,5.0)(==B P A P ，(1)如果

S B A =Y ，则=)(AB P ____________; (2)如果A 与B 相互独立，则=)(AB P _________。

0.1 ， 0.3

2、将n 个球随机地放入n 个盒子中(盒子的容积没有限制)，则每个盒子恰有一个球的概率为_______________; n 个球落在同一盒子内的概率为______________。

n n n !， 1

1-n n 3、设)(~λπX ，已知2}0{-==e X P 。则=≥}2{X P ___________; =)(2X E ________。 23-1-e ，6

4、设随机变量序列10021,,,X X X Λ相互独立，且期望均为1，方差均为2，根据Chebyshev 不等式，≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧

<-411X P __________; 根据中心极限定理，≈⎭⎬⎫⎩

⎨⎧<-411X P __________。 5034，1-4252⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛Φ 5、一口袋中有10个球，其中有3个黑球，现无放回地从中取两次球，每次取一个，则第二次取到黑球的概率为________; 在已知第一次取到黑球的条件下，第二次又取到黑球的概率为_____________。

103, 9

2 6、设事件B A ,和C 的概率为41)()()(=

==C P B P A P ，而0)()(==BC P AC P ，8

1)(=AB P ，那么三个事件都不发生的概率为__________, 最多一个事件发生的概率为__________。

83, 8

1

7、如果一个罐中有4个红球，6个黑球，从中任意选取两个球，如果发现取到的两个球中有一个是红球，那么另一个也是红球的概率为_______。

5

1

8、如果随机变量X 服从]1,1[-上的均匀分布，则随机变量)0(≠+=c d cX Y 的均值为_________,方差为___________。

d ,2

31c

9、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从相同的指数分布，密度函数为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x

，那么Y X Z +=的密度函数)(z f Z =______________。

⎩⎨⎧<>=-000)(z z ze z f z

Z

10、若5.0)|(,4.0)(,2.0)(===A B P B P A P ，则)(B A P -=_______,=)|(B A P ______。 0.1 , 0.25

11、如果)(~λπX ，且5.0}0{==X P ，那么=λ________,}1|0{≤=X X P =_______。 2ln , 2

ln 11+ 12、设随机变量序列Λ,,21X X 相互独立同分布，且期望均为1，方差为2，利用Chebyshev

不等式估计≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤∑=120801001i i X P __________, 为使9.01.0111≥⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑=n i i X n P ，利用

中心极限定理，估计n 至少需要达到_________。

2

1, 542 13、有两个相互独立的子系统A 和B ，其正常工作的概率分别为A p 和B p ，则B A ,构成的串联系统正常工作的概率为_________;而B A ,构成的并联系统正常工作的概率为_________。

B A p p ， )1)(1(1B A p p ---）

14、如果Y X ,相互独立，且都服从),1(p b ，那么~Y X +______,~),min(Y X _________。 ),2(p b ， ),1(2

p b

15、若)1,0(~U X ，对于0>θ， ~)12(-X θ________________。

),(θθ-U

16、有两个随机事件A 和B ，已知6.0)(,3.0)(==B P A P ，如果B A ,互不相容，则