复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解

1． 沿下列路线计算积分

⎰

+i

dz z 30

2。

1) 自原点至i +3的直线段；

解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3

()()()⎰⎰

+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+1

3

1

0332330

233

13313i t i dt t i dz z i

2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；

解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =

33

033

2

3

2

33

131=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

⎰

⎰

t dt t dz z

连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =

()()()33

1

031

02

33

233133

13313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰

+i it idt it dz z i

（

()()()3

3331

02

3

02

302

33

133********i i idt it dt t dz z i

+=-++=

++=

∴⎰⎰⎰

+

3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。

解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =

()()31

031

2

02

3

131i it idt it dz z i

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==⎰⎰

连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =

()()()33

1

031

02323113

131i i i t dt i t dz z i

i

-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰

+

()()3

333320

230

213

13113131i i i i dz z dz z dz z i

i

i

i

+=-++=

+=

∴⎰

⎰

⎰

++ 2． 分别沿x y =与2

x y =算出积分

()⎰++i

dz iy x

10

2

的值。

解：x y = ix x iy x +=+∴2

2

()dx i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫

⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴

⎰⎰

+i i x i x i dx ix x i dz iy x i

213112131111

0231

02

10

2

/

2

x y = ()2

2

2

2

1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()⎰

⎰⎪⎭⎫

⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴

+1

1

043210

2

2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x

i

而()i i i i i 656121213

1

3121311+-=-++=⎪⎭⎫

⎝⎛++

3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。问()[]0=⎰

C

dz z f Re ，

()[]0=⎰C

dz z f Im 是否成立如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。

解：不成立。

例如：()z z f =，ϑ

i e z C =：，πϑ<≤0

()[]()i i d dz z f C

πϑϑϑπ

=+=

⎰⎰sin cos cos Re 20

()[]()πϑϑϑπ

-=+=

⎰

⎰sin cos sin Im i d dz z f C

20

4． 利用在单位圆上z z 1

=

的性质，及柯西积分公式说明i dz z C

π2=⎰，其中C 为正向单位圆周1=z 。 解：01

1-==z z z ()i f dz z dz z C

C

ππ2020

1

==-=∴⎰

⎰ 5． —

6．

计算积分

⎰

C

dz z

z

的值，其中C 为正向圆周： 1) 2=z ；

解：在2=z 上，ϑ

i e z 2= ()[]i i id e d e dz z z i i C

πϑϑπππϑ

ϑ

42222

2202020====⎰⎰⎰

-

2) 4=z

解：在4=z 上，ϑi e z 4=

()[]i i id e d e dz z z i i C

πϑϑπππϑ

ϑ84444

4202020====⎰⎰⎰

-

7． 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么C 是正向的圆周1=z 。 1)

⎰

-C

z dz

2

解：()21

-=

z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，02=-⎰C

z dz 2)

⎰

++C

z z dz

4

22