张量运算的注意点

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a
不论是矢 a还量是张A， 量（矢量即为一 ）阶 都张 可量 以 用算子 作•， ，并
如： a为矢量的梯 •度 a为，矢量的散度 aiajeiej •aiajei •ej ai'i
上面可以 a即 看为 出二阶张 •a为 量标 ，量 算子 作梯度时，张 ，量 作增 散一 度阶 减一阶
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a
运算中，阶数的改变实际起作用是因为哈密顿 算子本身是一个矢量，当做内积时( 散度)，张 量收缩，做叉乘时张量阶数不变，乘积时（梯 度），张量扩张。
上式 r 应 xiei， (a• 用 )r如 a• ra
因 r 为 e ie i I,为单 ,注 位 意 • r 张 3 , ， r 量 0
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a
对于矢量 a,b,c,有（a•bc）(a)•bc c •a a•c,作为标量微分算子以，可 任意挪移到作用向量上
eiej ijekkke ijk
2、自由指标i表示方程的个数，即上式有三个方程组
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又如
Aij xi y j i与j皆为哑指标，共有9项
i1 j1
3
a
Kronecker-符号与置换符号
ji ij 10
当ij 当ij
ij有两个独立的此 下可 标看 ，做 因是一量 个， 二阶
有如下基本等式成立
ii 3 ij ij ii 3 ij jk kl il
eipi
梯度V
Vi' j
1 2
(Vi'
j
Vj'i
)
1 2
(Vi'
j
Vj'i )
或者V
Vj'i
1 2 (Vj'i
1 Vi' j ) 2 (Vj'i
Vi' j )
这两种表达式在反对 部称 分是不一样的
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a
张量的基本运算有： 张量与向量的点叉运算 张量与张量的点叉运算 张量之间的二重运算等等
a A b 点叉随便打，运算时拆开
张量的基本运算
1
a
求和约定与哑指标
凡在某一项内，重复出现一次且仅重复一次的指标，表 示对该指标在它的取值范围内求和，并称这指标为哑指 标，如：
n
a aixi aixi i1
如不作特别说明，取笛卡尔坐标系，i=1,2,3
2
a
b A x i
ij j （i，j=1,2,3）
自由指标i
哑指标j
1、在同一项中，哑指标j求和相消，则方程有右边有三 项。
A••B,A•B,A •,A B
eiej• •ekes(ei•es)e(j•ek)
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a
wc(u)中， u作叉乘阶数不变 wc作 ，叉 在乘 与 阶数不变，为一阶张量
或者，对于直 张接 量考 运虑 算 ei 基 ，矢量 上式e有 i•eje， k el(em•en)es(epeq)必 , 定是一
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a
运算中单位矢量的确定
A •aA ia jkei jkA ia jjei
J为哑指标，相消。留下自由指
张量的P转 pije置 iej,Pc， pjieiej pijejei 可知P， 为当 对称矩 Pcp 阵 jieiej时 pije， iej P 如a： ai'jeiej， aai'jejei,a(a)c
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a
用上式可以证T明 为当 对称张量时， 其左散度等于右散度
张P 的 量的P 分 pie jiej解 pjej， eipie jj
ijkwkaseiej •es
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a
张量运算中一些注意点
a•(bc)(ab)•cc•(ab) 即混合积点叉可 打以 ，随 只便 要a符 b轮 c合换，否 则加一负号，注 有意 符， 号当 时，不能随便打
设f,g为矢量为 ，标量，下面四 可式 以括 去号 掉
(f •)f • (f ) f
(f •)gf •g (f )g f g
标i，运算后加上 e i
当A为反对称张量时，有
A • a iw jk k e ie j• a s e s iw jk k a je i w a
可以认为K为哑指标，运算中 相消。留下自由指标i，j，运算 后加上，并矢顺序不能变
应用哑指标，自由指标思想，对运算过程是否正确的检验很方便
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a
注意，哑指标相消时，只能数与数相消，不能数与单位 矢量相消，具体确定自由指标个数时，可以通过前面的 数，也可以用后面矢量运算
书中公式， P •
P
xk Pi1i2
xi
Pi1i2
x的下i标 ,k，必定一P个 下与 标相同，一个不
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a
张量运算中阶数的确定
例： w•u(wc•u)wc(u),u,w均为矢量 左边w•： 为数，u即 并为 上一阶张量 右边(： wc•u)中， wc•u作内积为一数 为， 一作 阶梯 张度 量
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a
此外，ij ,ijk可以用矢量表示为： ij ei • ej ijk ei • (ej ek )
a • ( b c ) a ib jc k e i• ( e j e k ) ia jib k jc k
a1 a2 a3
ijkaibjck b1 b2 b3
c1 c2 c3
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a
张量的并矢，点叉运算
a i ij a j ei e j ij
4
a
1
i, j, k偶排列
ijk 1
i, j, k奇排列
0 两个或三个指标相等
ij有三个独立的此 下可 标看 ，做 因是一量 个三阶
ks jks 0
ipq jpq 2 ij
ijk ijk 6
kijkst is jt jsit
对于向量a,b a•b aibiei •ej aibi ,是一个数 ab aibjeiej eiej称为并矢量，两基矢间之没有作用关系 ,i, j顺序不能倒 例如： 向量的右梯度为： a ai jeiej ai' jeiej 左梯度为：a jaiejei ai' jejei
这两个梯度一般是不相等的