数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十九章

第十九章 含参量积分

一、证明题

1.证明下列各题:

(1) ()⎰∞++-122222dx y x x y 在R 上一致收敛;

(2)

⎰+∞-1y x dy e 2在[a,b]上一致收敛; (3) ⎰+∞-0xy dy x e .

(ⅰ)在[a,b](a>0)上一致收敛;

(ⅱ)在[0,b]上不一致收敛;

(4) ()⎰1

0dy x y ln 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡b ,b 1(b>1)上一致收敛; (5) ⎰1

0dy dx 在[]b ,∞-(b>1)上一致收敛. 2.设f 为[][]+∞⨯,c b ,a 上连续非负函数.

I(x)=()⎰+∞

c dy y ,x f 在[a,b]上连续,证明I(x)在[a,b]上一致收敛.

3.证明:若f 为[][]+∞⨯,c b ,a 上连续函数,含参量非正常积分 I(x)=()⎰+∞

c dy y ,x f 在[a,b]上收敛,在x=b 时发散,则I(x)在[)b ,a 上不一致收敛.

4.设f 为[)[)+∞⨯+∞,b ,a 上非负连续函数,

I(x)=()⎰+∞

b dy y ,x f 和 J(y)=()⎰+∞

a dx y ,x f 分别为[)+∞,a 和[)+∞,

b 上连续函数,证明:若 ()⎰

⎰+∞+∞a b dy y ,x f dx 与()⎰⎰+∞+∞

b a dx y ,x f dy 中有一个存在,则 ()⎰⎰+∞+∞a b dy y ,x f dx =()⎰⎰+∞+∞b a

dx y ,x f dy 5.设f(x,y)=()y x 11q p 1p e y x +--+-,证明

()⎰⎰+∞

+∞00,dy y x f dx =()⎰⎰+∞+∞

00dx y ,x f dy . 二、计算题

1.求下列极限: (1)⎰-→αα+11220dx x lim ; (2)⎰α→α2

020x dx cos x lim . 2.设F(x)=

⎰-22x x xy dy e ,计算()x F '. 3.应用对参量的微分法,计算:

(1)

()⎰+202222cos sin ln πdx x b x a . ()0b a 22≠+; (2) ()⎰+-x dx a x a 02cos 21ln .

4.设f 为可微函数,试求下列函数F 的二阶导数. (1) F(x)=

()()⎰+π0dy y f y x ; (2) F(x)=()⎰-b a

dy y x y f , ()b a <. 5.从等式⎰-b

a xy dy e =x e e bx ax ---出发,计算积分⎰+∞0 dx x

e e bx ax ---(b>a>0) 6.计算下列积分(其中0>α,0>β): (1) ⎰∞+---02dx x

e e x x a βα; (2) ⎰∞

+---0

sin 22xdx x e e x

x βα. 7.计算下列Γ函数的值:

⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ25,⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ25,⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γn 21,⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Γn 21 8.运用欧拉积分计算下列积分(其中n 为自然数): (1)

⎰-102dx x x ; (2)

⎰+∞-022dx e x x n ; (3)

⎰2046cos sin πxdx ; (4) ⎰2

2sin π

xdx x ;

(5) ⎰π

+21n 2xdx sin

9.回答下列问题:

(1) 对极限⎰+∞-→+0xy 0x dy x ye 2lim 2能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解

(2) 对()⎰⎰+∞--1

00dx xy 32e

x y 2y 2dy 能否运和积分顺序交换来求解 (3) 对F(x)=⎰+∞

-0y x 3dy e x 2能否运用积分与求导运算顺序交换来求解

10.利用余元公式计算下列积分: (1) ()⎰∞++024dx x 1x ; (2) ⎰-10n n x 1dx

(n 为自然数)

11.应用积分号下微分法或积分号下积分法,计算下列定积分:

(1) ()⎰π

0dx tgx

atgx arctg ,()1<α; (2) ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛1

0a b dx x ln x x x 1ln sin ,()0a b >>; (3) ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛1

0a b dx x ln x x x 1ln cos ,()0a b >>

三、考研复习题

1.设f: R R 3→是连续可微函数,证明函数

H(x)=()⎰⎰3322

b a b a dy z ,y ,x f dz 是可微函数,且()x H '=()⎰⎰∂∂33

22b a b a dy x z ,y ,x f dz 2.设F(x,y)=()()⎰-xy y x

dz z f yz x ,其中f 为可微函数,求()y ,x F xy

. 3.设f 为可微函数,求下列函数F 的导数:

(1) F(t)=

()

⎰⎰⎰≤++++2222t z y x 222dxdydz z y x f ; (2) F(t)=()⎰⎰⎰v

dxdydz xyz f ,其中 v=(){

x 0z ,y ,x ≤,}t z ,y ≤. 4.应用积分 ⎰+∞

-02dt e at =a

2π(a>0),证明: (1) ⎰+∞

-0at 2dt e t 2=32

a 4π; (2) ⎰+∞

-0at n 2dt e t 2=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+π-21n 1n a 2!!1n 2.

5.应用积分 ⎰+∞

+022a x dx =a 2π,求()⎰∞+++01n 22a x dx .

6.求函数F(y)=()[]

⎰∞

+-021sin dx x x y 的不连续点,并作出函数F(y)的图象.

7.设f 是[)[)+∞⨯+∞,0,0上的连续函数,证明: 若()⎰+∞

0,dy y x f 在0≥x 上一致收敛于F(x),且

()y ,x f lim x +∞→=()y ϕ

对任何y [][]+∞⊂∈,0,b a 一致地成立,则 ()x F lim x +∞→=()⎰+∞

ϕ0dy y 8.证明: (1) ⎰-1

01ln dx x x =62π-; (2) ()⎰-u

dt t t 01ln =∑∞=-1n 22n u ,()1u 0≤≤