曲线上一点处的切线、瞬时速度与加速度

1.1.2 曲线上一点处切线、瞬时速度、瞬时加速度 （总第48导学案）
一、学习目标
1、了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想求曲线上一点处的切线的方法；
2、了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；了解求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。

二、重点与难点
重点：求曲线上一点处的切线的方法，求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。

难点: 了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想. 三、教学过程
（一）曲线上一点处的切线： 1、割线与切线的概念：
如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。

随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。

当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为经过点P 处最逼近曲线的 直线l ，这时直线l 就称为曲线在点P 处的切线。

2、切线的斜率：
如图，设曲线C 上一点P (x,f(x))，过点P 的一条割线交曲 线C 于另一点))(,
(x x f x x Q ∆+∆+，则割线PQ 的斜率
x x x x f x x f x y k PQ -∆+-∆+=∆∆=
)()()(x
x f x x f ∆-∆+=)
()(, 当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近 点P
的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率。

即当0→∆x
时，
x
x f x x f ∆-∆+)
()(→点
P(x ，f(x))处的切线的斜率。

这里x ∆可正也可负，当x ∆取负值时，点Q 位于点P 的左侧。

3、如何求曲线C:
)(x f y =在P(x ，f(x))点处切线的斜率呢？（基本思想：割线逼近切线）
第一步：求平均变化率
x x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)
()(； 第二步：求0→∆x 时，x
y
∆∆所趋近的值A 。

所以在点P 处的切线的斜率k=A 。

例1：已知2
)(x x f =，求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率及切线方程。

变1：运用割线逼近切线的方法，分别求曲线3
x y =在x=0，x =－2，x=3处的切线的斜率。

变2：已知22)(2+=x x f ，求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率及切线方程。

（二）瞬时速度与瞬时加速度：
1、平均速度：
在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度。

平均速度反映了物体在某一时间段内．．．．．．运动的快慢程度。

具体求法：一般地，物体在做直线运动时，它的运动规律可以用函数s=s(t)描述，这个式子叫做物体的运动方程（也叫做位移公式）。

如果一个运动物体在时刻0t 时位于）0(t s ，在时刻t t t ∆∆+(0称为时间增量）时位于)(0t t s ∆+，相应地，从0t 到t t ∆+0这段时间内，
物体的位移（即位移增量）是)()(00t s t t s s
-∆+=∆，那么位移增量s ∆与时间增量t ∆的比，就是这段时间内物体的平均速度
v ，即t
t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=
)
()(00。

如何精确刻画物体在某一时刻．．．．
的快慢程度？ 2、瞬时速度：
一般地，我们计算运动物体位移s(t)的平均变化率（即平均速度）
t
t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=
)
()(00，如果当
0→∆t ，
t
t s t t s ∆-∆+)
()(00→A （常数），那么这个常数A 称为物体在0t t =时的瞬时速度。

或叫0t 时刻的速度。

要特别记住：．．．．．．瞬时速度．．．．
是位移对于时间的瞬时变化率．．．．．．．．．．．．．。

3、如何求物体的瞬时速度？
第一步：求平均变化率
t
t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)
()(00； 第二步：求0→∆t 时，
t
s
∆∆所趋近的值，即为物体在0t t =时的瞬时速度。

例2、如果一个物体的位移S(m)是时间t(s)的函数659.42
++-=t t S ，求该物体在t 时刻的速度v 和加速度a 。

4、瞬时加速度：
一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率t t v t t v ∆-∆+)()(00，如果当0→∆t ，t
t v t t v ∆-∆+)
()(00→A （常数），那么这
个常数A 称为物体在0t t
=时的瞬时加速度。

要特别记住：．．．．．．瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

5、如何求物体的瞬时加速度？
第一步：求平均变化率
t
t v t t v t v ∆-∆+=∆∆)
()(00； 第二步：求0→∆t 时，
t
v ∆∆所趋近的值，即为物体在0t t
=时的瞬时加速度。

例3、已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设ts 时的速度为υ(t)=t 2
+3，
求t=t 0s 时轿车的瞬时加速度a.
例4、跳水运动员从腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度，t s 后运动员相对于水面的高度h(m)为
105.69.4)(2++-=t t t h 。

求（1）2t s =时运动员的瞬时速度； （2）运动员在t=98
65
s 时的速度，并解释此时的运动状况。

课 外 作 业
1、如图，l 为经过曲线上点P 和Q 的割线， 若P(1，2)、Q(5，7)，则=l k ，
当Q 沿曲线向点P 靠近时，l 的斜率是变大 还是变小？ 。

2、在下列3个图中，直线l 为曲线在点P 处的切线，
则l 的斜率分别是 、 、 。

3、某物体做匀速运动，其运动方程为S=vt+b ，则该物体在运动中的平均速度、任意时刻的瞬时速度分别是 、 。

4、自由落体运动的位移S(m)与时间t(s)的关系为2
2
1gt S =(g 为常数)，则当0t t =s 时的瞬时速度为
（m/s ），当t=0、1、2s 时的瞬时速度分别是 、 、 (m/s)。

5、曲线2
x y =在)16
9
43(，P 处的切线斜率是 ，该处的切线方程是 。

6、已知质点的运动方程为t t S +=
2
4
1，当质点速度为2时，t= 。

7、当0→h 时，
→-+h
h 223)3（ ，→-+h h 3
3 . 8、已知曲线x x y 22
-=在某点的切线斜率为2，则此点的坐标是 。

9、曲线3
x y =在点P 处切线的斜率为k ，当k=3时，点p 的坐标是 。

10、已知曲线方程x
y 1
=，则曲线在P(2，－1)处的切线方程是 。

11、一质点运动方程为102
+=t S (位移单位：m ，时间单位：s)，求该质点在t=3s 时的
瞬时速度 。

12、一物体运动的方程为2
3
3t t S -=，当t=a 和t=a+1时的速度分别为1v 、2v ，
试比较1v 、2v 的大小。

13、某物体作匀加速直线运动，已知2
02
1at t v S +
=，求物体在0t t =时的瞬时速度和 瞬时加速度。

14、航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度445305)(23+++=t t t t h ，其中h 的单位为m ，t 的单位为s 。

（1）h(0)、h(1)分别表示什么？ （2）求第1s 内的平均速度； （3）求第1s 末的瞬时速度；
（4）经过多长时间，飞机的速度达到75m/s ？。