高中数学1-1(文)第二章 圆锥曲线与方程学案2.2.1双曲线的定义与标准方程

§2.2双曲线

知识梳理

1、双曲线及其标准方程

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.

若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，

轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 2、双曲线的简单几何性质

（1）.双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 实轴长为2a ，

虚轴长为2b ，离心率a

c e ==离心率e 越大，开口越大.

（2）.双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 的渐近线方程为x a

b y ±

=或表示为

02

22

2=-

b

y a

x .

若已知双曲线的渐近线方程是x n

m y ±

=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具

有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.

（3）焦半径公式2

1|()|a

PF e x c

=+

，2

2|(

)|a

PF e x c

=-.

（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系 ①若双曲线方程为

12

22

2=-

b

y a

x ⇒渐近线方程：

222

2

0x y a

b

-

=⇔x

a

b y ±

=；②若渐

近线方程为x a

b y ±

=⇔

0=±

b

y a

x ⇒双曲线可设为

λ=-

2

22

2b

y a

x ；③若双曲线与

12

22

2=-

b

y a

x 有公共渐近线，可设为

λ=-

2

22

2b

y a

x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，

焦点在y 轴上）.④双曲线

222

2

1(,0)x y a b a

b

-

=>焦点三角形面积：1

2

F PF S ∆=2

cot

2

b θ，

高h =

2

co t 2

b

c

θ

。

§2.2.1双曲线的定义与标准方程 典例剖析

题型一 双曲线标准方程的判断

题型二 求双曲线标准方程

例2 已知双曲线过(1,1),(2,5)M N -两点，求双曲线的标准方程

备选题

例3：

点击双基

1、命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )

(A ) 充要条件 (B ) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件 2、圆C 过双曲线

2

2

19

16

x

y

-

=的一个顶点和一个焦点，且圆心在该双曲线上，则圆心到该双

曲线的中心的距离是（ ）

A ．4

3 B C ．5 D ．

163

3、设,x y R

∈，且2y 是1x +和1x -的等比中项，则动点(),x y 的轨迹为除去x 轴上点的（ ）

A ．一条直线

B ．一个圆

C ．双曲线的一支

D ．一个椭圆

4．若曲线

2

2

141x

y

k

k

+

=+-表示双曲线，则k 的取值范围是

5、设ABC ∆的顶点)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 2

1sin sin =-，则第三个顶点C 的轨迹

方程是________.

课外作业

一、选择题

1动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ） A 双曲线 B 双曲线的一支 C 两条射线 D 一条射线

2．方程1112

2

=-+

+k

y

k

x

表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ）

A ．11<<

-k B ．0>k

C ．0

≥k

D ．1>k 或1

-

3． 双曲线1412

2

2

2

2

=--

+m

y

m x

的焦距是 （ ） A ．4

B ．2

2

C ．8

D ．与m 有关

4 如果双曲线9

2

x －y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，A 是双曲线上一点，且｜AF 1｜=5，那

么｜AF 2｜

等于( )

A.5+10

B.5+210

C.8

D.11 5．过双曲线19

16

2

2

=-

y

x

左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长

是（ ）

A ．28

B ．22

C ．14

D ．12

6、