匀变速直线运动公式推论推导及规律总结

一．基本规律：

v =

t

s １．基本公式a =

t v v t 0- a =t

v

t

v =

20t v v + v =t v 2

1

at v v t +=0 at v t =

021at t v s +=22

1

at s =

t v v s t 2

0+= t v

s t 2

=

2022v v as t -= 22t v as =

注意：基本公式中（１）式适用于一切变速运动，其余各式只适用于匀变速直线运动。 二.匀变速直线运动的推论及推理

对匀变速直线运动公式作进一步的推论，是掌握基础知识、训练思维、提高能力的一个重要途径，掌握运用的这些推论是解决一些特殊问题的重要手段。

推论1 做匀变速直线运动的物体在中间时刻的即时速度等于这段时间的平均速度，即20

2

t t v v t S v +==

推导：设时间为t ，初速0v ,末速为t v ，加速度为a ，根据匀变速直线运动的速度公式at v v +=0

得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

⨯+=⨯+=22202t

a v v t a v v t t t ⇒ 202t t v v v +=

推论2 做匀变速直线运动的物体在一段位移的中点的即时速度2

22

02

t s v v v +=

推导：设位移为S ，初速0v ,末速为t v ，加速度为a ，根据匀变速直线运动的

速度和位移关系公式as v v t 22

02+=得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧⨯+=⨯+=2

2222222022S a v v S

a v v s t s ⇒ 2

2

202t s v v v +=

推论3 做匀变速直线运动的物体,如果在连续相等的时间间隔t 内的位移分别为1S 、2S 、 3S ……n S ，加速度为a ,则=-=-=∆2312S S S S S

……21at S S n n =-=-

推导：设开始的速度是0v

经过第一个时间t 后的速度为at v v +=01，这一段时间内的位移为2

0121at t v S +=， 经过第二个时间t 后的速度为at v v +=022，这段时间内的位移为2021223

21at t v at t v S +=+=

经过第三个时间t 后的速度为at v v +=023，这段时间内的位移为202232

5

21at t v at t v S +=+=

…………………

经过第n 个时间t 后的速度为at nv v n +=0，这段时间内的位移为2

0212

1221at n t v at t v S n n -+=+=- 则=-=-=∆2312S S S S S

……21at S S n n =-=-

点拨：只要是匀加速或匀减速运动，相邻的连续的相同的时间内的位移之差，是一个与加速度a 与时间“有关的恒量”．这也提供了一种加速度的测量的方法：

即2t

S

a ∆=

，只要测出相邻的相同时间内的位移之差S ∆和t ，就容易测出加速度a 。 推论4 初速度为零的匀变速直线运动的位移与所用时间的平方成正比，即t 秒内、2t 秒内、3t 秒内……n t 秒

内物体的位移之比1S ：2S ：3S ：… ：n S =1 ：4 ：9… ：2

n

推导：已知初速度00=v ，设加速度为a ，根据位移的公式2

2

1at S =在t 秒内、

2t 秒内、3t 秒内......n t 秒内物体的位移分别为： 2121at S =、22)2(21t a S =、23)3(21t a S = (2)

)(2

1nt a S n =

则代入得 1S ：2S ：3S ：… ：n S =1 ：4 ：9… ：2

n

推论4变形: 前一个s 、前二个s 、……前n 个s 的位移所需时间之比：

t 1:t 2:t 3…:t n =1::

推导：因为初速度为0，所以x =V 0t+

2=2

S=a

2

, t 1= 2S =a

2

t 2= 3S a

2

t 3=

t 1:t 2:t 3……:t n ==1::……

推论5 初速度为零的匀变速直线运动,从开始运动算起，在连续相等的时间间隔内的位移之比是从1开始的连续奇数比，即1S ：2S ：3S ：… ：n S =1 ：3 ：5…… ：(2n-1)

推导：连续相同的时间间隔是指运动开始后第1个t 、第2个t 、第3个t ……第n 个t ，设对应的位移分别为、、、321S S S ……n S ，则根据位移公式得

第1个t 的位移为2121at S =

第2个t 的位移为222

22321)2(21at at t a S =-=

第3个t 的位移为22

232

5)2(21)3(21at t a t a S =-=

……

第n 个t 的位移为2222

12])1[(21)(21at n t n a nt a S n -=--=

代入可得： )12(:5:3:1::::321-=n S S S S n

推论6 初速度为零的匀变速直线运动,从开始运动算起，物体经过连续相等的位移所用的时间之比为1t ：2t ：3t …… ：n t =1 ：(12-) ：(23-)…… ：(1--n n )

推导：通过连续相同的位移是指运动开始后，第一个位移S 、第二个S 、第三个S ……第n 个S ，设对应2

2

1at S =

所有的时间分别为 321t t t 、、n t , 根据公式

第一段位移所用的时间为a

S

t 21=

第二段位移所用的时间为运动了两段位移的时间减去第一段位移所用的时间 同理可得：运动通过第三段位移所用的时间为 以此类推得到a

S

n n a S n a nS

t n 2)

1()1(22--=--=

代入可得)1(:)23(:)12(:1::321----=n n t t t t n

推论7: 初速度为零的匀加速直线运动第一个s 末、第二个s 末、……第n 个s 末的速度之比：

n v v v n ::3:2:1:::21 =

推导：因为初速度为0，且V t 2-V 02=2αx ，所以V t 2 =2αx

V t12=2αs V t1= V t22=2α(2s) V t2= V t32=2α(3s) V t3= V tn 2=2α(ns) V tn =

V t1：V t2：V t3：…….V tn =

:

从以上推导可知解决这些问题主要要理解：连续的时间内、连续相等的时间内、连续相等的位移的含

义、要克服存在的思维障碍。

利用匀变速直线运动的推论解题，常可收到化难为易，简捷明快的效果。 三．自由落体运动和竖直上抛运动：