面波压制的Ridgelet域方法_包乾宗

详细 讨 论 , 例 如 , 对 小波 变 换的 离散 可 参见 文 献
[ 15] , 关于 τ-p 变换中参数的选择见文献[ 16] .对有 限带宽信号 , 需根据信号的频带范围确定尺度因子
的变化范围 .为了提高计算效率 , 可采用标架理论 , 以减小计算量 .
2.2 Ridgelet 反变换及波场重构
ψ
uθ·x a
-b
.式
中 uθ为与 x 轴夹角 θ的单 位矢量 , x ∈ R2 , b ∈ R .
(1)式中 ψ(ω)表示函数 ψ的傅里叶变换 .
对于给定的二元函数 f ∈ L1 (R2 )∩ L2 (R 2), 它
的连续 Ridgelet 变换定义为
∫∫ CRTf (a , b , θ)= R2 ψa , b , θ(x , y)f (x , y)dxdy .
基金项目 国家自然科学基金面上项目(40174032)和国家科技部国家基础研究重大项目前期研究专项(2001CCD02600)资助 . 作者简介 包乾宗 , 男 , 1972 年生 , 现为西安交通大学在读博士生 , 主要从事地震信号处理方法研究 .E-mail :bqz -chj @
1 引 言
在反射地震资料中面波是一种具有明显的高振 幅和频散特性的规则干扰波 .在油气勘探地震数据 处理过程中 , 面波的消除是关键的一步 ;面波消除的 效果直接影响地震数据的后续处理 , 乃至偏移成像 结果 , 而最终影响地质解释的效果 .传统消除面波 的方法主要是利用面波与反射波的频带差异及视速
2.1 Ridgelet 正变换[ 8 ～ 11] 若函数 ψ:R ※R 满足
∫ Kψ = ||ψ(ωω|)d|2d ω< ∞,
(1)
则称 ψ为 d 维 空 间 的 容 许 Ridgelet , (1)式 称 为
Ridgelet 的容许性条件 .由满足(1)式 ψ所构成 的
Ridge 函数族 为
ψa , b , θ(x)=a -1 2
线上的小波族可以表示为 ψa , b , p(x , t)= a-1 2 ψ[ (t -px -b)a] . (8)
相应地(4)式变为如下形式
∫∫ f (τ, p)= R2 f(x , t)δ(τ+px -t)dx dt
∫+∞
= f (x , τ+px)dx . -∞
(9)
基于上述关系 , Ridgelet 变换就可以写为
关键词 Ridgelet 变换 , 面波压制 , 小波变换 , 波场分离
文章编号 0001-5733(2007)04-1210-06
中图分类号 P631
收稿日期 2006-06-30,2007-04-09 收修定稿
Ridgelet domain method of ground-roll suppression
Radon 变换和 Ridgelet 变换可以通 过小波变换 相联系 .Radon 变换的定义为
∫∫ Rf (θ, t)= R2 f(x , y)δ(x cosθ+y sin θ-t)dxdy .
(4) 那么 , Ridgelet 变换系数就可由 Rf (θ, t )关于直线参 数 t 的一维小波变换给出[ 8]
度差异 , 如一维滤波 、f-k 滤波 、τ-p 变换等方法 .
在 20 世纪 80 年代兴起的小波变换由于其具有 多尺度和时频局部化性质 , 被迅速用于地震资料处 理领 域[ 1 ～ 3] .1996 年 罗 国 安 和 杜 世 通[ 4] , 1997 年 Deighan 和 Watts[ 5] 提出 了用 一维小 波变 换压 制面 波 , 可是他们的方法都是基于单道数据计算的. 1999 年 Minh-Quy Nguyen 和 Jerome Mars[ 6] 提出了用 二维离散小波变换滤除面波 , 由于使用的二维离散 小波变换是一维小波变换的张量积 , 角度分辨率较
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地 球 物 理 学 报(Chinese J.Geophys.)
50 卷
∫ CRTf (a , b , p)= ψa , b(τ)f (τ, p)dτ.(10) R
(9)式就是 地震信号处理 中常用的 τ-p 变换 , (10)式表明 , 信号的 Ridgelet 变换可以表示为其 τ-p
在(2)～ (5)式中 , 直线采用法线式表示 , 方程为
uθ· x -r =0 ,
(6)
即 :xcosθ+y sinθ-r =0 , 式中 r 为坐标原点到直线
的距离 .
平面中一条直线可以采用不同形式的方程来表
示 , 若采用斜率与截距表示 , 则方程可以写为
t =px +τ,
(7)
式中 τ为截距 、p 为斜率 .利用(7)式 , 中心在该直
BAO Qian-Zong , GAO Jing-Huai , CHEN Wen-Chao
Institute of Wave and Information , School of Electronics &Information Engineering , Xian Jiaotong University , Xian 710049, China
面波压制的 Ridgelet 域方法
包乾宗 , 高静怀 , 陈文超
西安交通大学电子与信息工程学院波动与信息研究所 , 西安 710049
摘 要 面波压制是地震数据处理中的一个重要问题 .常 规的处理方法 虽然能在一 定程度上 压制面波 , 但是在 处
理过程中只是 单一的利用面波的一种特性 , 例如频率 域滤波 中利用 面波与有 效信号 频率之 间的差 别 , 因 此难以 有
ψa , b , θ(x , y )= a-1 2 ψ[ (xcosθ+y sinθ-b)a] , (3)
式中 a , b , θ依次表示 Ridgelet 的尺度因子 、平移因 子和方向因子 .由此可见 ψa , b , θ(x , y )沿直线 xcosθ +y sin θ=b 为一常数 , 而垂直于该直线的则是一个 小波函数 .
第 50 卷 第 4 期 2007 年 7 月
地 球 物 理 学 报
CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICS
Vol.50, No .4 Jul., 2007
包乾宗 , 高静怀 , 陈文超 .面波压制的 Ridgelet 域方法 .地球物理学报 , 2007 , 50(4):1210～ 1215 Bao Q Z , Gao J H, Chen W C .Ridgelet domain method of ground-roll suppression.Chinese J .Geophys.(in Chinese), 2007, 50(4): 1210～ 1215
是该方法只是基于小波变换与 Hilbert 变换 之间的 关系[ 3] , 将 τ-p 变换中的 Hilbert 变换运算用小波变 换来实现 .
本文首先分 析 Ridgelet 变 换的数学 原理 , 然 后 基于地面地震资料中面波的特点 , 从物理角度分析 在 Ridgelet 域面波和有 效信号的分布 特性 , 提 出利 用 Ridgelet 变换压制面波的方法 , 并给出计算步骤 . 最后 , 将该方法用于合成记录及实际资料处理 , 并对 处理结果进行分析和讨论 .
变换的一维连续小波变换 .由于连续小波变换可以 很好地重构信号 , 因 此 Ridgelet 变换结果的误 差主
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要来源于 τ-p 正变换时产生的假频及端点效应等 .
为了减弱这种影响 , 在 τ-p 变换过程中 , 需压制假频 及端点效应[ 14] , 以提高计算精度 .在数值计算中 , 需 要对(9)、(10)式等进行离散 , 这些已有文献进行过
Abstract Ground-roll is a regular interferential wave existing widely in seismic data , and it is a difficult problem in seismic data processing to suppress ground-roll .The traditional methods can do these to some extent , but they only use the ground-roll single characteristic during processing .We gain a transform which is valid in seismic processing , namely , Ridgelet transform .It can transform seismic data in (x , t)domain to (a , τ, p).So we can use the difference in velocity , time and scale characteristics of seismic data to process and separate different waves at the same time .Examples of processing the synthetic and real data illustrate its feasibility and effectiveness of the Ridgelet transform method in attenuating ground-roll . Keywords Ridgelet transform , Ground-roll , Wavelet transform , Separation of wave field
(2)
式中 ψa , b , θ(x , y)是 ψa , b , θ(x , y)的共轭 , ψa , b , θ(x , y )