8复系数与实系数多项式的因式分解

§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解

一.复系数多项式

1．代数基本定理：()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂≥， 则 ()f x 在复数域C 上必有一根．

（在复变函数中有证明）

注：

1） ()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂≥，则存在[]x a C x -∈，使)|()x a f x -(，

即()f x 在复数域上必有一个一次因式．

2）复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂>，则()f x 可约的．

2．复系数多项式因式分解

定理：条件 1）()[]f x C x ∀∈，2）若(())1f x ∂≥，

结论 1）()f x 在C 上可分解成一次因式的乘积．2）分解式唯一

推论1． ()[]f x C x ∀∈，若(())1f x

∂≥，则()f x 在C 上具有标准分解式

1212()()()()s r r r s f x c x x x ααα=--⋅⋅⋅-

其中1）12,,,s ααα⋅⋅⋅是不同的复数，2）12s r r r ⋅⋅⋅∈+,z 3） 12(())s f x r r r ∂=++

推论2． ()[]f x C x ∀∈，若(())f x n ∂=，则()f x 有n 个复根(重根按重数计算)．

二、实系数多项式

1．命题：若α是实系数多项式()f x 的复根，则α的共轭复数α也是()f x 的复根．

证：设110(),n n n n i f x a x a x a a R --=++⋅⋅⋅+∈，若α为根，则

110()0n n n n f a a a ααα--=++⋅⋅⋅+=

两边取共轭有 110()0n n n n f a a a ααα

--=++⋅⋅⋅+= ∴α也是()f x 为复根．

2．实系数多项式因式分解 定理：()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂≥， 则()f x 可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．

证：对()f x 的次数作数学归纳

① 若(())1f x ∂=，()f x 就是一次因式，结论成立

② 假设对次数

若α为实数 则1()()()f x x f x α=-，其中1()1f n ∂=-．

若α不为实数，则α也是()f x 的复根，于是

222()()()()(())()f x x x f x x x f x αααααα=--=--+

设a bi α=+，则22,2a bi a R a b R ααααα=-+=∈=+∈ ， 即在R 上2()x x αααα-++是一个二次实系数不可约多项式，从而2()2f n ∂=-

由归纳假设1()f x 、2()f x 可分解成一次因式与二次不可约多项式的乘积．

由归纳原理，定理得证．

推论1． ()[]f x R x ∀∈,()f x 在R 上具有标准分解式

121112212()()()()()()k

s r

k k k k n s r r x p x q f x a x c x c x c x p x q ++=--⋅⋅⋅-++其中121111,,,,s r r s s c c c p p q q R k k l l z +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈ ， 且240,1,2i i p q i r -<=⋅⋅⋅，即2i i x p x q ++为R 上的不可约多项式

推论2．在实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二次不可约多项式，所有次数>3的多项式皆可约．

例１ 求1n x -在C 上的标准分解式

解：在复数范围内1n x -有n 个复根211,,,n εεε-，这里

22cos

sin ,1n i n n

ππεε=+= 22cos sin ,1,2,k k k i k n n n ππε=+=⋅⋅⋅ ∴ 211(1)()()()n n x x x x x εεε--=----

在实数域范围内课下练习

小结：代数基本定理，复系数多项式因式分解与标准分解式，实系数多项式因式分解与标准分解式.