沪科版二次根式复习
沪教版八年级上册-二次根式的复习与练习题
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算 先化简，再运算，3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 二、分类练习与讲解： 1、 二次根式的概念我们把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式，如)1(1,1,32,51,32≥-+x x x 等，都是二次根式注意：① 二次根式都含有二次根号""；② 在二次根式中，被开方数a 必须满足0≥a ，当0<a 时，根式无意义； ③ 在二次根式中，a 可以是数也可以是一个代数式； ④ 二次根式)0(≥a a 是a 的算术平方根，所以0≥a 。
例1、当x 为任意实数时，下列各式有意义的是（ ）A ．x 2-B ．x21 C ．32+-x D ．2)1003(-x例2、当x 为何值时，下列各式有意义？⑴12+x ； ⑵xx --113 2、 二次根式的性质性质：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：性质a a =2表明：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，需注意的是2a 不是等于a ，而是等于a ，再根据a 的正、负确定最后的结果。
例3 已知2<x ，则442+-x x 的结果是______________ 例4 已知x 满足x x x =-+-20062005，那么22005-x 的值为（ ）A ．2004B ．2005C ．2006D ．2007 练习：二次根式的意义及性质题组1：（（0a ≥），叫做二次根式） 1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）A B C D 2．下列各式中，是二次根式的有_____________________________。
沪科版八年级数学下知识点总结-数学八下知识点总结
沪科版八年级数学下知识点总结-数学八下知识点总结剔除格式错误和有问题的段落】二次根式知识点总结：知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。
但需要注意的是，负数没有平方根，因此等是二次根式，而不是。
知识点二：取值范围为二次根式的前提条件，如。
等都不是二次根式。
1.二次根式有意义的条件：当a≧时，有意义，是二次根式。
因此，要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤时，无意义。
知识点三：二次根式的非负性表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数。
因此，（的值是非负数，即（）。
这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若知识点四：二次根式的性质若则a=0,b=0；若则a=0,b=0.（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式也可以反过来应用：若，则知识点五：二次根式的性质是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式，如。
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简a本身，即2、3、化简知识点六：二次根式的异同点表示一个正数a的算术平方根的平方，中，而中a可以是正实数。
中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值。
的异同点表示的意义是不同的。
表示一个实数a的平方的算术平方根；在负实数。
但差别的。
与都是非负数，即而时。
因而它的运算的结果是有2、相同点：当被开方数都是非负数，即=；时，无意义。
知识点七：二次根式的性质和最简二次根式最简二次根式是指不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的二次根式，如√2、√3、√a（a≥）、√x+y等。
二次根式是指含有平方根的式子，其中包含可化为平方数或平方式的因数或因式，如√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等。
新沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》精品课件
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
八年级下册数学(沪科版)同步教学课件：1二次根式复习
2. a-4+ 4-a 有意义的条件是 a=4
.
3.求下列二次根式中字母的取值范围.
解：
①
②
解得 - 5≤x＜3
说明：二次根式被开方数不小于 0，所以求二次根式中字母的取 值范围常转化为不等式（组）.
题型二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若 干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一。
2．化简： x－2－ 2－x＝____0____．
3．若１＜x＜４，则化简 (x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿5 ＿＿
4.下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）
A. 8 B. 70
C. 99
1 D. x
5.下列各式中那些是二次根式？那些不是？为什么？
① 15
④ 质
( a)2＝__a__(__a≥0__)；
a2＝a＝
aa （a>0），
00 （a＝0）， －aa （a<0）.
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含__分__母___；
沪科版数学八年级下册16.二次根式的乘除复习课件
1.什么叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式. 2.两个基本性质:
a 2 =a (a≥ 0)
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= -a (a＜0)
பைடு நூலகம் 复习提问
3.二次根式的乘法：
a b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于积的算术平方根
ab a b (a 0,b 0)
积的算术平方根等于算术平方根的积.
1.比较6 7与7 6的大小. 2.比较-5 2与-4 3的大小.
专题二、二次根式的乘法 a b ab (a≥0,b≥0)
3.计算：（1） 2 2 1 24；（2）4 xy ( 1 );
3 32
y
4.化简： （1）16 81；（2）4a2b3 (a 0,b 0);
变式.化简：(1) 25x2；(2) 4a2b3 ;
已知a=6,b=3,c=5,求下列各式的值.
ab (1)
bc2
(2) 2 ab abc
设a,b是实数，且a2 b2 2a 4b 5 0,
求
1
的值.
( 2a 1 3b)2
2
化简 a b ，甲，乙两同学的解法分别为： ab
甲， a b （a b）（ a b） a b a b （ a b）（ a b）
专题三、二次根式的除法 a a a 0,b 0
bb
5.计算：1 4 1 7 5 10
(2)2 1 1 5 1
2
6
6.把下列各式化简(分母有理化)：
(1) 2 (2) 1
3
5
(3) 4 2 (4) 2
37
33
7.计算： (1) 2a 8ab b
(2)3 3 1 3
沪科版八年级数学下册复习讲义
沪科版八年级数学下册复习讲义第十六章二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如才有意义．【典型例题】题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，其中是二次根式的是_________（填序号）．题型二：二次根式有意义【例2】某的取值范围是．题型三：二次根式定义的运用【例3】若y=某5+5某+2022，则某+y=解题思路：式，某50某5，y=2022，则某+y=2022a≥0）,5某0题型四：二次根式的整数与小数部分已知ab是a1的值。
b2若的整数部分是a，小数部分是b，则ab某21y的值.若的整数部分为某，小数部分为y，求【知识要点】1.非负性：知识点二：二次根式的性质a(a0)是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.(a)2a(a0)．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a)2(a0)a(a0)a(a0)3.a2|a|注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．（1）（2）(（3）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．a2和()2的运算结果都是非负的．题型一：二次根式的双重非负性a2c40，abc【例4】若则2．题型二：二次根式的性质2（公式(a)2a(a0)的运用）【例5】化简：a12的结果为（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4题型三：二次根式的性质3（公式a(a0)的应用）a2aa(a0)【例6】已知某2,A、某2【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
沪科版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第16章 小结与复习
方法总结 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ① 被开方数大于或等于零； ② 分母中有字母时，要保证分母不为零.
针对训练
1. 下列各式： 5； a2 ； 3；3 8； x 1(x≥1)； x2 2x 1
中，一定是二次根式的有
（B）
A. 3 个
B. 4 个
C. 5 个
D. 6 个
2. 求下列二次根式中字母的取值范围：
先化简，再求值：1
a2 a2 4
a2
a2 a 4a
4
，其中
a
2.
解：原式 a2 4 a 2 a(a 1) (a 2)(a 1) (a 2)2 a 2 .
(a 2)(a 2) (a 2)2 (a 2)(a 2) a(a 1) a
当 a 2 时，
原式 2 2 1 2.
例3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，请化简： | a | a2 b2 .
a0 b 解析：化简此代数式的关键是能准确地判断 a，b 的 符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简. 解：由数轴可以确定 a＜0，b＞0，
∴ | a | a， a2 a， b2 b.
∴ 原式 = -a - (-a) + b = b.
∴ x－1 = 0，3x + y－1 = 0，解得 x = 1，y = －2. 则 5x y2 51 (2)2 3.
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负式： a ≥0，|a|≥0， a2≥0. 如果若干个非负式的和为 0，那么这若干个 非负式必都为 0. 这是求一个方程中含有多个未知 数时的有效方法之一.
但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？
2
2
x x2 4 x x2 4
解：∵ 原式 =
八年级数学 二次根式章末重难点题型(举一反三)(沪科版)
专题1.1 二次根式章末重难点题型【沪科版】【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1B．C．﹣D．﹣【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）A．（x﹣1 ）B．（1﹣x）C．﹣（x+1 ）D．（x﹣1 ）【考点4 利用二次根式的性质化简】【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2aB ．1﹣2aC ．2a ﹣1D ．2a ﹣5【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣的正确结果是（ ）A ．2b ﹣cB ．2b +cC ．2a +cD ．﹣2a ﹣c【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x ＜1，则﹣等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2xD ．2x【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n＝a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式进行分析即可． 【答案】解：式子，，（y ≤0），（a ＜0，b ＜0）是二次根式，共4个，故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数． 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【答案】解：③＝＝|a ﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；④＝＝，被开方数含有分母，不是最简二次根式； ⑤＝＝，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；因此只有①②符合最简二次根式的条件． 故选：A ．【点睛】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④【分析】根据同类二次根式的定义解答即可．【答案】解：∵，，，∴与是同类二次根式的是①和③故选：B．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式．（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式即可求出答案．【答案】解：由题意可知：n2﹣2n＝n+4，∴解得：n＝4或n＝﹣1，当n＝4时，n+4＝8＞0，此时不是最简二次根式，不符合题意，当n＝﹣1时，n+4＝3＞0，综上所述，n＝﹣1故选：A．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式，本题属于基础题型．【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【答案】解：式子在实数范围内有意义的条件是：x﹣1＞0，解得：x＞1．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2【分析】根据二次根式有意义的条件题意可得2x+4≥0，再根据分式有意义的条件可得3x﹣6≠0，再解即可．【答案】解：由题意得：2x+4≥0，且3x﹣6≠0，解得：x≥﹣2且x≠2，故选：A．【点睛】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】直接利用二次根式的得出x的取值范围，进而得出整数x的值．【答案】解：∵代数式有意义，∴x+3＞0，3﹣3x≥0，解得：x＞﹣3，x≤1，则﹣3＜x≤1，故代数式有意义的整数x有：﹣2，﹣1，0，1，共4个数．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数和分式分母不为零的条件可得3﹣x＜0，再解即可．【答案】解：由题意得：3﹣x＜0，解得：x＞3，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据二次根式的性质，可得答案．【答案】解：a根号外的因式移到根号内，化简的结果是﹣，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，注意化简后不能改变原数的大小．【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【分析】根据算术平方根和绝对值的性质＝|a|，进行化简即可．【答案】解：∵a2≥0，ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴＝|a|＝﹣a，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键．【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1B．C．﹣D．﹣【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【答案】解：∵有意义，∴1﹣a＞0，∴a﹣1＜0，∴（a ﹣1）＝﹣＝﹣．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（ ）A ．（x ﹣1 ）B ．（1﹣x ）C ．﹣（x +1 ）D ．（x ﹣1 ）【分析】根据已知式子得出x ＜0，再根据二次根式的性质把根号内的因式移入根号外，最后合并即可． 【答案】解：∵要使和有意义，必须x ＜0，∴﹣x ＝﹣x﹣x •（﹣）＝﹣x+＝（1﹣x ）， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简的应用，能把各个部分根式化成最简根式是解此题的关键． 【考点4 利用二次根式的性质化简】 【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【答案】解：由数轴可知：﹣1＜a ＜0＜2＜b ， ∴a +1＞0，b ﹣2＞0， ∴原式＝|a +1|﹣|b ﹣2| ＝a +1﹣b +2＝a﹣b+3，故选：A．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a＜3，则＝（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1D．2a﹣5【分析】根据二次根式的性质解答即可．【答案】解：因为2＜a＜3，所以＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，故选：D．【点睛】此题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式的性质解答．【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a、b、C在数轴上的位置所示，那么化简|c+a|+﹣的正确结果是（）A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c【分析】先由数轴知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，据此得出c+a＜0，a﹣b＞0，再根据绝对值性质和二次根式的性质2化简可得．【答案】解：由数轴知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，则c+a＜0，a﹣b＞0，∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣c﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a﹣c，故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质2：＝|a|．【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x＜1，则﹣等于（）A．B．﹣C．﹣2x D．2x【分析】首先利用完全平方公式化简，进而利用二次根式的性质求出即可．【答案】解：﹣＝﹣＝﹣＝|x +|﹣|x ﹣| ∵0＜x ＜1， ∴x ﹣＜0，∴原式＝x ++x ﹣＝2x ． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用完全平方公式是解题关键． 【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【分析】（1）根据二次根式的性质把除式变形，根据二次根式的乘法法则计算； （2）根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【答案】解：（1）÷＝×＝ ＝；（2）÷3×＝××＝＝．【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【答案】解：•（﹣）÷（a＞0）＝﹣•a2b÷＝﹣9a2＝﹣．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【分析】利用除以一个数等于乘以这个数的倒数转化后利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【答案】解：原式＝（2×6）＝12＝4【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，解题的关键是能够了解法则并能熟练的将除法转化为乘法进行运算．【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．【答案】解：原式＝2ab×3×（﹣2）＝﹣12ab•a2＝﹣12a3b．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【分析】（1）先分解因式，然后将a、b的值代入求值；（2）先变形，然后将a、b的值代入求值；（3）直接代入求值．【答案】解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝（）＝1×2；（2）a2﹣30b+b2＝（a+b）2﹣2ab﹣30b＝2﹣﹣30＝（2）2﹣2﹣30+60＝78﹣30；（3）（a﹣2）（b﹣2）＝（）（）＝（）＝5﹣4．【点睛】本题考查了根式的化简求值，适当对整式进行变形是解题的关键．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，得到x＝﹣1，y＝+1，再求出x﹣y与xy的值，然后根据完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整体代入即可；（2）将所求式子变形为，再整体代入即可．【答案】解：（1）∵＝﹣1，＝+1，∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝＝＝6．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【分析】利用已知结合完全平方公式求出x2+＝34，进而代入求出即可．【答案】解：∵﹣＝2，∴（﹣）2＝4，∴x+＝6，∴（x+）2＝36，∴x2+＝34，∴＝＝4．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确利用完全平方公式是解题关键．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．【答案】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，∴（1）x2y﹣xy2，＝xy（x﹣y），＝1×，＝4；（2）x2﹣xy+y2，＝（x+y）2﹣3xy，＝62﹣3×1，＝36﹣3，＝33．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．【答案】解：（1）原式＝2+3﹣＝0；（2）原式＝×3+6×﹣5＝2+3﹣5＝0．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【分析】（1）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式；（2）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式．【答案】解：（1）原式＝2++2﹣＝+2；（2）原式＝3+2﹣4+＝5﹣．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【分析】（1）首先化简二次根式进而合并得出答案；（2）首先化简二次根式进而合并得出答案．【答案】解：（1）原式＝6﹣4+3﹣5＝﹣；（2）原式＝﹣﹣+10＝9．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【分析】（1）先进行二次根式、三次根式的化简，然后进行加减合并．（2）先去绝对值符号，然后化简二次根式，最后进行合并运算．【答案】解：（1）原式＝9﹣3+＝；（2）原式＝﹣+﹣1﹣3+＝2﹣4．【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，要先进行二次根式的化简，然后再进行合并运算．【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【分析】（1）先化简各二次根式，再进一步计算可得；（2）先化简各二次根式、除法转化为乘法，再进一步计算可得．【答案】解：（1）原式＝（2﹣）﹣3（+）＝2﹣﹣﹣3＝﹣﹣；（2）原式＝••（﹣）＝﹣2．【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【分析】（1）先化简各二次根式，再计算括号内的加减，最后计算除法即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算可得．【答案】解：（1）原式＝（5+4﹣3）÷2＝6÷2＝3；（2）原式＝19﹣6﹣3+4＝20﹣6．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）根据积的乘方和零指数幂的意义计算．【答案】解：（1）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）原式＝[（2﹣）（2+）]2018•（2+）﹣2×﹣1＝（4﹣3）2018•（2+）﹣﹣1＝2+﹣﹣1＝1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法和除法可以解答本题；（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．【答案】解：（1）＝（9﹣2+）÷4＝8÷4＝2；（2）＝[（）+3][（）﹣3]＝（）2﹣18＝3﹣6+6﹣18＝﹣9﹣6．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【分析】（1）利用分子有理化得到3﹣4＝，2﹣＝，然后比较3+4和2+的大小即可得到3﹣4与2﹣的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0≤x≤1，而y＝+，利用当x＝0时，有最大值1，有最大值1得到所以y的最大值；利用当x＝1时，有最小值﹣1，有最下值0得到y的最小值．【答案】解：（1）3﹣4＝＝，2﹣＝＝，而3＞2，4＞，∴3+4＞2+，∴3﹣4＜2﹣；（2）由1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0得0≤x≤1，y＝+，当x＝0时，+有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以y的最大值为2；当x＝1时，+有最大值，则有最小值﹣1，此时有最下值0，所以y的最小值为﹣1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【分析】（1）根据分母有理化法则计算；（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简；②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可．【答案】解：（1）原式＝＝＝4+，故答案为：4+；（2）①＝＝＝﹣；②原式＝﹣1+﹣+4﹣+…+﹣＝﹣1．【点睛】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题的关键．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【答案】解：（1）4﹣的有理化因式可以是4+，＝＝，故答案为：4+，；（2）①当x＝＝＝＝2+，y＝＝＝＝2﹣时，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2++2﹣）2﹣2×（2+）×（2﹣）＝16﹣2×1＝14．②原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【分析】①根据平方差公式分母有理化即可求解；②把分子5变为12﹣7，再根据平方差公式分解因式，再约分计算即可求解．【答案】解：①＝＝；②＝＝＝2﹣．【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【分析】（1）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可；（2）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可．【答案】解：（1）∵a+b≥2 （a、b均为正实数），∴a+b＝9，则a+b≥2，即≤；故答案为：；（2）由（1）得：m+≥2，即m+≥2，当m＝时，m＝1（负数舍去），故m+有最小值，最小值是2．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2 （a、b均为正实数）求出是解题关键．【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果。
沪科版八年级数学下册_16.1 二次根式
∴ x2 ≤ 0，∴ x=0.
(6)欲使 2x2+1有意义，则必有 2x2+1 ≥ 0，
∵ x2 ≥ 0，
∴ 2x2+1 ≥ 1. ∴ x 的取值范围是全体实数 .
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解法提醒
求式子有意义时字母的取值范围的方法：
第一步，明确各种式子有意义的条件；
有两种情况：
一是当一个式子有两个二次根式，且被开方数互为相
反数时，通常先利用二次根式 a的被开方数的非负性a≥0，
建立不等式组，再解不等式组确定字母的值；
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二是当一个式子含有几个非负数：“绝对值，偶次幂，
二次根式，即：|a| ≥ 0，a2n ≥ 0(n 为正整数)， a≥ 0(a≥ 0).”
；
x－2
(5) － x2 ； (6) 2x2+1 .
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解题秘方：紧扣“求含有字母的式子有意义的字
母取值范围的方法”求解 .
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解： (1)欲 使 － 2x － 6+ ( x+5 ) 0有意义， 则必有
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－ 2x － 6 ≥ 0，
ቊ
∴ x ≤ － 3 且 x ≠ － 5.
x+5 ≠ 0，
10
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特别提醒
计算二次根式的注意事项：
1.计算二次根式要严格按照(
a ) 2 =a ( a ≥ 0 ) ，
a2 = ｜a｜进行 .
2. 正确区分( a ) 2 ( a ≥ 0 )与 a2的异同点是计
算二次根式的关键.
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八年级数学下册 第18章二次根式复习课件 沪科版
（一）二次根式的定义、根号内字母的 取值范围以及二次根式的值.
例1 判断下列各式哪些是二次根式？
注意：1、二次根式的本质是数的算术平方根； 2、二次根式内字母的取值范围必须满足 被开方数是非负数.
例2 求下列二次根式中字母的取值范围： 1、 2、
3、
4、
例3 填空：
1、当x＝－8时，
例6
（三）二次根式的应用
例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠， BC＝a，AC＝1，延长CB至点D，使 BD=AB. （1）求AC与DC的长度比； （2）若a＝ ，则 是多少？ 的值
D B C
A
例 如图，在长方形ABCD中，CEC D 充分运用勾股定理 E
1 4 1 1 2 4 2
＝2．
A
B
1 1 已知a＝ 2 ，b＝ ，求 4
的值
b a b
－
b a b
【提示】先将二次根式化简，再代入求值．
b( a b) b( a b) ( a b )( a b )
【解】原式=
＝
ab b ab b a b
2b ＝a b ．
1 1 当a＝ 2 ，b＝ 时，原式＝ 4
2、若 3、若二次根式
的值等于
，则x＝
（二）二次根式的性质.
例4 化简下列各式：
二次根式化简结果的要求： （1）根号内不含有开的尽方的因式； （2）根号内不含有分母.
例5 设a、b、c为△ABC的三边，试化简：
=a+b+c+c+b-a+a+c-b-(b+a-c) = a+b+c+c+b-a+a+c-b-a-b+c =4c
初中数学沪科版八年级下册第16章二次根式复习课课件
解：(1)原式= 1 1 2 2 1
2 2 1 3 2
（2）原式= 10 7 3 7
70 21
四、典型例题
例4.计算：
2018
2019
（3） 1 2 1 2 ；
2018
(3)原式=
1
2
1
2
1 2
1 2018 1 2
1 2
2
（4） 5 3
【当堂检测】
3.在 2 3， 3 2 , 5 ,3 ，四个数中，最小的数是( D )
A. 2 3
B. 3 2
C.3
D. 5
提示：以3为分界点，逐个与3比较大小，比3小的数据在 进行比较得出最终结果
四、典型例题
例4.计算：
（1） 1 101 30
2
2
1 2 2；
（2） 10 3 7
乘法： a b ab a 0,b 0
除法： a a a 0,b 0 bb
三、知识梳理
3.二次根式的运算
（3）二次根式的混合运算： 与实数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的运算满足分配律；满足
多项式乘法法则和乘法公式. 二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样,先算乘方，再算乘除，
最简二次根式
同类二次根式
2
a a a 0
a2
a
a a 0
a
a
0
ab a b a 0,b 0
a a a 0,b 0
bb
加、减、乘、除
三、知识梳理
1.二次根式 （1）一般地,我们把形如 a的式子叫做二次根式，其中a≥0.“ ”称为二次根号.
（2）符合 ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫最简二次根式. 一般地,二次根式运算结果中的根式应化成最简二次根式.
专题01二次根式-2024年新九年级数学暑假提升讲义(沪科版 温故复习)
专题01二次根式知识点1：二次根式的概念1.二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；2．二次根式有意义的条件（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．【拓展】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．知识点2：二次根式的性质与化简1.二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）2.二次根式的化简：（1）方法：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．3．最简二次根式（1）概念：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（2）最简二次根式的条件：①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．知识点3：二次根式的运算1．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．3．同类二次根式（1）定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．（2）方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．4．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．5．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．6．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．7．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．题型归纳满分技法判断二次根式，厘清“是”“否”是关键.1．（2024春•合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是()A B C．D2．（2023春•瑶海区期中）下列代数式中，属于二次根式的为()A BC ．1)aD ．3．（2021n 的最小值是()A ．4B ．5C ．6D ．74．（2023)5．（2023x 的取值范围是()A ．2x >B ．2x C ．2x <D ．2x6．（2024春•安庆期中）若2y =，则2024()x y +等于()A ．1B ．5C ．5-D ．1-7．（2024春•蜀山区校级期中）若二次根式有意义，则x 的取值范围()A ．5x >B ．5x <C ．5x D ．5x8．（2024在实数范围内有意义，则m 的值可能为()A ．2025B ．2023C ．2024-D ．2022第2步:根据a 的取值范围确定去掉绝对值号后的符号.9．（2024春•庐江县期中）化简()A ．3B ．C ．4D ．10．（2024春•瑶海区期中）若|1|1x x -=-的结果是()A ．32x-B ．1C ．1-D ．23x -11．（2023的结果是()A ．3π-B ．3π--C ．3π-D ．3π+12．（2024春•蜀山区期中）下列各式中，正确的是()A 5=-B ．5=-C ．5=±D 5=±满分技法最简二次根式满足的三个条件：(1)被开方数中不含小数或分母,即被开方数是整数或整式;(2)被开方数中不含指数大于1的因数或因式;(3)分母中不含有根号.13．（2024春•大观区校级期中）下列二次根式是最简二次根式的是()A B C ．D14．（2024中，最简二次根式有()个．A ．1B ．2C ．3D ．415．（2024春•合肥期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是()A BC ．DA 2=B 1÷=C ．=D 12=17．（2023=．18．（2024(0,0)a b ÷>>．满分技法分母有理化时，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的关键是确定分母的有理化因式.19．（2023春•金安区期中）已知a =，2b =+a ，b 的关系是()A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式20．（2024春•蜀山区校级期中）比较大小：2->”“<”或“=”)21．（2024春•瑶海区校级期中）已知：x y ==，求代数式(2)(2)x y ++的值．22．（2022春•迎江区校级期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例2111==，例2===-，⋯（1-=；（2）请你用含(n n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的结论，求下列式子的值．+⋯+23．（2023春•贵池区期中）已知x ，y =；（1）求223x y xy +-的值；（2）若x 的小数部分为a ，y 的小数部分为b ，求2()a b ++A B C ．D25．（2024合并的是()A B C D26．（2024可以合并，则m=．满分技法（1）二次根式的加减，实际上只是对同类二次根式的合并，不是同类二次根式的不能合并，但也不能丢弃，它们也是结果的一部分.（2）二次根式的运算过程中,根号外的系数不能是带分数，应化为假分数.（3）在二次根式的运算中，整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则仍然适用. 27．（2023春•长丰县期末）计算：-=．28．（2024春•庐阳区校级期中）计算：29．（2023春•淮北期末）计算：++满分技法二次根式混合运算中的三大妙招：(1)根据算式特点灵活选用乘法公式，并且根据解题需要逆用公式；(2)应用乘法公式时，经常要把算式的一部分作为一个整体套用公式，但一定要注意变形时的符号问题；(3)在乘方和乘法运算中,运用结合律调整运算顺序,也可简化运算.30．（2024春•镜湖区校级期中）计算20222021(2(2-的结果是()A．2+B2C．2D．131．（2024春•金安区校级期中）计算2--．32．（2024春•包河区期中）计算：-的结果是．33．（2024春•庐阳区校级期中）计算：|12⨯++-满分技法二次根式的化简与求值往往会运用到“整体代入法”.如果所求代数式中含有某些特殊的整体，这些整体的取值已知或者能够很容易地求出，那么我们就可以将这些整体的取值直接代入求值，从而简化计算过程.34．（2024春•铜官区校级期中）若3x =-，则代数式268x x --的值为()A ．2007B ．2003-C ．2024D ．2020-35．（2024春•瑶海区校级期中）若4a b +=-，1ab =()A ．4B ．4-C ．16D ．4或4-36．（2024春•庐江县期中）已知1a =，则代数式229a a -+的值是．37．（2024春•大观区校级期中）已知x =y =，求下列各式的值：（1）x yy x+；（2）11x y+．满分技法解规律探究题的一般方法(1)操作:运用相关知识对给出的算式求出结果;(2)观察与发现:观察操作中所列出的式子或等式,发现其规律;(3)猜想:根据发现的规律进行猜想,得出一般性的结论;(4)应用:运用得出的一般性结论解决问题38．（2024春•黄山期中）如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为216cm 和212cm 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为()A ．2(843)cm -B ．2(423)cm -C ．2(1683)cm -D ．2(1283)cm -+39．（2024春•大观区校级期中）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记2a b cp ++=，S 为三角形的面积，()()()S p p a p b p c =---，若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，15p S ==，10a =，且b c >，则b 值为()A ．1022+B ．1022-C ．1015+D ．1040．（2024春•合肥期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①)不重叠地放在一个底面为长方形（长为21cm ，宽为4)cm 的盒子底部（如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是()A ．421cmB ．16cmC ．2(214)cm +D ．4(214)cm-过关检测1．（2024春•田家庵区校级期中）下列是最简二次根式的是()A ．12B ．6C ．0.25D ．122．（2024春•庐阳区校级期中）实数a 在数轴上对应的点的位置如图所示，则22(4)(11)a a ---化简后为()A ．7B ．7-C ．152a -D ．215a -3．（20242是同类二次根式的为()A 8B 16C 20D 404．（2024181m +能合并，则m 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．35．（2024春•潘集区期中）计算20192020(32)(32)的结果是()A ．23+B 32C ．23D 36．（2024春•田家庵区校级期中）使式子232x x +-有意义的x 的取值范围是．7．（20242(2023)2024x x x --=，则22023x -=．8．（2024春•瑶海区校级期中）17化为最简二次根式为．9．（2023春•花山区校级期中）已知53x =+，53y =-，则22x y -=．10．（2024春•潘集区期中）计算：（1148312242÷（2）2(53)(53)210)--．11．（2023春•颍州区校级期中）已知322a =+32b =-，分别求下列代数式的值：（1）22a b -；（2）223a ab b -+．12．（2024春•瑶海区校级期中）观察下列等式，解答问题．1=；；=；⋯（1）请直接写出第5个等式：；（2--的大小；（3+⋯+．专题01二次根式知识点1：二次根式的概念1.二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；2．二次根式有意义的条件（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．【拓展】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．知识点2：二次根式的性质与化简1.二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）2.二次根式的化简：（1）方法：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．3．最简二次根式（1）概念：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（2）最简二次根式的条件：①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．知识点3：二次根式的运算1．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．3．同类二次根式（1）定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．（2）方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．4．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．5．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．6．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．7．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．题型归纳满分技法判断二次根式，厘清“是”“否”是关键.1．（2024春•合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是()A B C．D【答案】C0)a 的式子叫做二次根式判断即可．【解答】解：A 是三次根式，故该选项不符合题意；B 选项，2-是负数，故该选项不符合题意；C 选项，2是正数，故该选项符合题意；D 选项，0x <时不是二次根式，故该选项不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如0)a 的式子叫做二次根式是解题的关键．2．（2023春•瑶海区期中）下列代数式中，属于二次根式的为()A BC ．1)a D ．0)a 是二次根式，进而判断即可．【解答】解：A ，40-<，故不是二次根式，故此选项错误；B，是三次根式，故不是二次根式，故此选项错误；C1)a ，则10a -，故是二次根式，故此选项正确；D 、，20-<，故不是二次根式，故此选项错误；故选：C ．【点评】此题主要考查了二次根式定义，利用定义分别判断得出是解题关键．3．（2021n 的最小值是()A ．4B ．5C ．6D ．7==，则7n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为7．【解答】解： =是整数；∴是整数，即7n 是完全平方数；n ∴的最小正整数值为7．故选：D ．【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二==．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．4．（2023)【答案】不一定．【分析】根据二次根式的定义解答即可．【解答】解： 当0a >时，0a -<，∴当0a >∴故答案为：不一定．0)a 的式子叫做二次根式是解题的关键．5．（2023x 的取值范围是()A ．2x >B ．2xC ．2x <D ．2x【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件得到20x - ，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得20x - ，解得2x，即x 的取值范围是2x．故选：B ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．6．（2024春•安庆期中）若2y =，则2024()x y +等于()A ．1B ．5C ．5-D ．1-【答案】A【分析】首先根据二次根式有意义的条件可以确定x 的值，进而求出y 的值，再将x 、y 的值代入要求的式子即可．【解答】解： 2y =，10x ∴- 且220x - ，1x ∴=，∴20022y ==+-=-，202420242024()(12)(1)1x y ∴+=-=-=．故选：A ．0)a 是解题的关键．7．（2024春•蜀山区校级期中）若二次根式有意义，则x 的取值范围()A ．5x >B ．5x <C ．5x D ．5x【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件可得50x - ，再解即可．【解答】解：由题意得：50x - ，解得：5x．故选：C ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．8．（2024春•铜官区校级期中）若式子1m -在实数范围内有意义，则m 的值可能为()A ．2025B ．2023C ．2024-D ．2022【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出m 的范围．【解答】解：由题意可知：2024010m m -⎧⎨-≠⎩ ，解得2024m，故选：A ．【点评】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是学会构建不等式组解决问题．第1步:将其化为||a 的形式;第2步:根据a 的取值范围确定去掉绝对值号后的符号.9．（2024春•庐江县期中）化简()A ．3B ．C ．4D ．====故选：B ．||a =．也考查了二次根式的乘法法则．10．（2024春•瑶海区期中）若|1|1x x -=-的结果是()A ．32x -B ．1C ．1-D ．23x -【答案】C【分析】根据二次根式的性质求出x 的取值范围，再根据二次根式的性质与绝对值的性质化简，然后合并同类项即可得解．【解答】解：|1|1x x -=- ，10x ∴- ，解得1x ，21x ∴-- ，∴|1||2|x x =---12x x =--+1=-．故选：C ．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，求出x 的取值范围是解题的关键．11．（2023的结果是()A ．3π-B ．3π--C ．3π-D ．3π+【答案】C【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：原式|3|π=-3π=-，故选：C ．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．12．（2024春•蜀山区期中）下列各式中，正确的是()A 5=-B ．5=-C ．5=±D 5=±【分析】根据二次根式的性质，化简即可解答．【解答】解：A 5=，故错误；B 、5=-，正确；C 5=，故错误；D5=，故错误；故选：B ．【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．满分技法最简二次根式满足的三个条件：(1)被开方数中不含小数或分母,即被开方数是整数或整式;(2)被开方数中不含指数大于1的因数或因式;(3)分母中不含有根号.13．（2024春•大观区校级期中）下列二次根式是最简二次根式的是()A B C ．D 【答案】D【分析】根据二次根式的化简方法将每个根式进行化简，判断哪个为最简二次根式即可．【解答】解：A =，不是最简二次根式，不符合题意；B 3010=，不是最简二次根式，不符合题意；C 55=，不是最简二次根式，不符合题意；D故选：D ．【点评】本题考查的是最简二次根式，熟知被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式是解题的关键．14．（2024中，最简二次根式有()个．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据最简二次根式的定义解答．被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式．故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键．15．（2024春•合肥期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是()A BC．D【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A是最简二次根式，故本选项符合题意；B的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；CD的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．A2=B1÷=C．=D1 2 =【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．【解答】解：A÷==2=，则A不符合题意；B==2=，3则B符合题意；C===则C不符合题意；D==1=，2则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查二次根式的除法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．17．（2023=．【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式==．【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（2024(0,0)a b ÷>>．【答案】43-．【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．(÷(=÷(33=⨯⨯43=-．【点评】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．满分技法分母有理化时，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的关键是确定分母的有理化因式.19．（2023春•金安区期中）已知a =，2b =+a ，b 的关系是()A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式【答案】A【分析】求出a 与b 的值即可求出答案．【解答】解：2a == ，2b =+a b ∴=，故选：A ．【点评】本题考查分母有理化，解题的关键是求出a 与b 的值，本题属于基础题型．20．（2024春•蜀山区校级期中）比较大小：2->”“<”或“=”)【答案】=．进行分母有理化，再比较大小即可．【解答】解： 23243-===--．故答案为：=．【点评】本题考查了分母有理化以及实数大小比较，掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法是解答本题的关键．21．（2024春•瑶海区校级期中）已知：x y ==，求代数式(2)(2)x y ++的值．【分析】先分母有理化，再代入根据平方差公式和简便计算求值即可．【解答】解：x ==，y ==，(2)(2)x y ∴++2()4xy x y =+++142=++142=+【点评】考查了分母有理化和代数式求值，注意公式和整体思想的运用可以简化计算．22．（2022春•迎江区校级期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例111==，例2===-，⋯（1-=；（2）请你用含(n n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的结论，求下列式子的值．+⋯+【分析】（1-（2-；（3）由（1）（2）得，原式1=-++⋯+-【解答】解：（1==-（2=（3+⋯+1=-++⋯+-1=-101=-9=．【点评】本题考查分母有理化，找规律是解决此题的关键．23．（2023春•贵池区期中）已知x =，y =；（1）求223x y xy +-的值；（2）若x 的小数部分为a ，y 的小数部分为b ，求2()a b ++【答案】（1）31；（2）4-．【分析】（1）有理化分母化简x 、y 的值，再把原式化成2()x y xy --，最后代值计算；（2）通过估算求得a 、b ，再代值计算．【解答】解：（1） 322398x -===--322398y +===+-∴原式2()x y xy=--2(33(3=----+321=-31=；（2）031<-< ，536<+<，3∴-3-，3+352+=-，3a =-2b =-，∴2()a b ++2(32)=-+15=+4=-．【点评】本题考查了求代数式的值，有理化分母，二次根式的性质，关键是有理化分母，估算无理数的大小．A B C ．D【答案】B【分析】根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答．【解答】解：A 、 5==，∴55B 、 22==，∴2是同类二次根式，符合题意；C 、 2=，2∴不是同类二次根式，不符合题意；D 、 =，∴不是同类二次根式，不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．25．（2024合并的是()。
八年级数学二次根式全章复习上海科技版知识精讲
初二数学二次根式全章复习某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次根式全章复习二. 知识点回顾1、1）能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简。
2）能够比较熟练地进行二次根式的运算。
3）会运用二次根式的性质及运算，解决简单的实际问题。
2、重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算，二次根式的应用。
3、难点：二次根式的性质和二次根式的运算及其应用。
4、知识点复习1）形如的代数式叫做二次根式.（即一个的算术平方根叫做二次根式）强调：二次根式被开方数不小于02）二次根式的性质：双重非负性=2)a (（a ≥0），=2a =⎩⎨⎧<≥0)（a 0）(a=ab （a ≥0，b ≥0） =ba（a ≥0，b ＞0） 3）二次根式的运算： 二次根式乘法法则ab b a =⨯（a ≥0，b ≥0）二次根式除法法则baba =（a ≥0，b ＞0） 二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如22222b 2ab a )b a (;b a b)-b)(a (a +±=±-=+）仍然适用. 5、补充概念强化：①被开方式是整式（分母中不含有根号）；（1）最简二次根式：②被开方式中不含有能开得尽的因数或因式。
注：化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数①最简二次根式； （2）同类二次根式：②被开方数相同。
【典型例题】例1. x 是怎样的实数时，下列式子有意义？;34)1(x -;53)2(x x -+-;)1()3(2+x .31)4(--x x思路点拨：要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数. 对于(1)、（2）、(3)题只要使被开方数非负就可以了，对于(4)题不但要使被开方数非负，而且要使分母不等于零.解：.34,34,.34,034)1(有意义时当所以得由x x x x -≤≤≥-.53,53,.53,05,03)2(有意义式子时当所以得由x x x x x x -+-≤≤≤≤⎩⎨⎧≥-≥-.)1(,,.)1(,)3(22总有意义取任何实数时当所以都是非负数为任何实数无论++x x x x .31,3.3,03,01)4(有意义时所以当得由-->>⎩⎨⎧>-≥-x x x x x x例2. .,03422的值求已知b a b a a +=-+-思路点拨：,03,04≥-≥-b a a 两个非负数的和等于零，则这两个数都等于零，从而得到,03,04=-=-b a a 再由零的算术平方根等于零求得a 、b 的值.解：.160124b a .12b ,4a .0b a 3,04a .0b a 3,04a ,0b a 3,04a ,0b a 34a 2222=+=+⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=-∴=-=-∴≥-≥-=-+-则解得且而例3.把下列各式化成最简二次根式：3945)1(a ；x x2)2(2;20)3(522z y x ()91414+思路启迪：根据化简二次根式的方法步骤，进行化简.规X 解法：.37949945)1(33a a a a == .22222)2(2222x x x x x x x xx xx x x=⋅=⋅⋅=⋅=.52522020)3(322222522522z zxy zz z z z y x zy x z y x =⋅⋅⋅⋅⋅==()613361336436991414==+=+例4. 计算：).32(312)4();323)(232)(3(;)3)(2();65153(1021)1(33+÷---÷+--⋅xy xy xy y x思路点拨：这里可以把二次根式看成是一个“单项式”或者“多项式”利用整式乘法或除法法则进行运算.解：.1556215152256523610251510236510211531021)65153(1021)1(-=⋅-⋅=⨯-⨯=⋅-⋅=-⋅.y xy 3x xyxy y xyxy xy xy 3xyxy x xy xy xy xy 3xy y x xy )xy xy 3y x )(2(3333+-=+⋅-=÷+÷-÷=÷+-.626366662323322332)323)(232)(3(+--=+⨯-⨯-⨯=--.333232)32(332)32()32()32(33232312)32(312)4(=+-=--=-⋅+-⋅-=+-=+÷-例5..,623420012002423的值求是同类根式和最简根式已知最简根式b a b a b a b a -+-+++思路点拨：是同类根式必须满足以下条件：在最简根式的前提下，(1)根指数相同，(2)被开方数相同。
沪科版八年级数学下复习
二次根式复习指导一、知识梳理1a ≥0〕的式子叫做二次根式。
2、满足以下两个条件的式子叫做最简二次根式：〔1〕被开方数的因数是整数，因式是整式；〔2〕被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3、化为最简二次根式后，被开方的式子叫做同类二次根式。
4、25、在进展二次根式加减运算时，应先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。
二、重点、难点分析重点：正确理解及掌握二次根式的概念，概念成立的条件是正确进展运算的根底。
灵活．．运用好两个重要公式：=a ≥0,b ≥0〕=〔a ≥0,b ＞0〕。
难点：掌握化简二次根式的方法，二次根式的混合运算，及公式(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 的理解。
三、思想方法例1、AB ，试比拟A 及B 的大小。
例2、x ＝12，y ＝12，求22x xy y -+的值。
例31＜x ＜3〕例4、x四、考点例析例5、以下等式成立的是〔 〕Aa b =+ B ．= C = D ab =-例6、设a 、b 、c 都是实数，且满足2(2)80a c -+++=，20ax bx c ++=，求代数式21x x ++的值。
例7、以下二次根式不是最简二次根式的是( )AB C D 五、易错点例析例9例10、假设a例11、计算：÷一元二次方程复习指导一、知识梳理1、只含有一个未知数,并且未知数最高次数为2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是^20，其中^2叫做二次项，a是二次项系数，叫做一次项，b是一次项系数，c叫做常数项。
3、一元二次方程常用的解法有：4、简要说下怎样用一元二次方程的根的判别式判断方程解的情况二、重点、难点分析重点：〔1〕理解一元二次方程的概念；〔2〕掌握求一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项的方法；〔3〕熟练应用直接开平方法、配方法、公式法与因式分解法解一元二次方程；〔4〕熟练应用一元二次方程解决实际问题。
八年级数学下册 二次根式复习课件 沪科版
31 4 1 请你将猜测到的规律用含自然数n(n≥1)
55
的代数式表示出来：
n 1 (n1) 1
n2
n2
第十五页，编辑于星期五：六点 十一分。
再见！
第十六页，编辑于星期五：六点 十一分。
5.二次根式的除法 (1) a公 式a . (2)二次b根式b 的除法运算，通过采用化去分母中的根号的 方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化.
第三页，编辑于星期五：六点 十一分。
6.满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式. (3)化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数.
y
x 2 x 1
中，自变量x的取值
范围是 x2且 x1.
4. (2004年·西宁市)当m≥2时，化简：
44mm2 m2
第十四页，编辑于星期五：六点 十一分。
➢ 课时训练
2
5. (2004年·南京市)计算： 2
3
12 4
6. (2004年·上海市)化简：
18 214 1 3
21 8
7. (2004年·山西省)观察以下各式： 112 1, 213 1,
方法小结：
1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
2.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约 分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式 化成最简二次根式，再约分.
3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对 式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
第二页，编辑于星期五：六点 十一分。
沪科版八年级数学下册知识总结
沪科版八年级数学下册知识总结第十六单元二次根式二次根式知识点：知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a2、√（x+y）2、√x2+2xy+y2等（3）最终结果分母不含根号。
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（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
的平方根. 2 2 变式3、 已知a、b是实数，且a 4a b 2b 5 0，
求 (1 ab) 的值.
2
变式 2 2 4、 化简 ：4x 12 x 9 4 x 20 x 25 5 (x ) 2 变式
2
5、已知：x y 2 y 2 x 2 0， 求x、y的值.
(3) (3 2 2 )
1999
(3 2 2 )
2000
(4) (2 3 3 2 6 )(3 2 2 3 6 )
(5) (3 3 98 )( 27 7 2 )
- p p 4q - p p 4q (6) ( )( ) 2 2
2 2
1 2 2 1 (7 ) ( x ) ( x xy ) y y y
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
1 1 2
(2)
4a 2 16a 2
y x
(a≥0)
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 (2)x
2
(x>0)
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
2 2 2
2 2
2 2） 1 1
1 4 2
7 2
14 2
∴三角形的面积为 1 2 14
2
2
7 2
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
拓展1
a 2， b 2 （1）求a -2 2a+2+b 的值.
2 2
解： 1 2 a 0, b 2 0
2 a 0 ， b2 0 a 2， b 2
2 2
而 2 a b2 0
原式 (a 2) b ( 2 2)2 22
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
一、字母取值范围：
例1、求下列二次根式中字母的取值范围： (1) - x (2) ( x 3)
2
(3) 3x 3x x 1 (6) 3 x
2
y 变式1、 已知y 2 x x 2 5，则 __ x
变式2、 如果 (1 x) ( x 2) ( x 1) ( x 2)，
4
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
拓展1
a 2， b 2 （1）求a -2 2a+2+b 的值.
2 2
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这 个等腰三角形的面积. 解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 （ 1 2 1 1 ∴三角形的面积为 2 若a为底,b为腰,此时底边上的高为
a b (2)计算： a b b a 3、符号问题：
2
(1)计算： ( 6 2) 2( 3 2)
2
1 1 (2)计算： 1 1 3 1 3
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展3
已知△ABP的一边AB= 10 ， （1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10， （2）如图所示，AD⊥DC于D， A BC⊥CD于C， 若点P为线段CD上动点。 B 1 2 ①则AD=____ BC=____ ② 设DP=a,请用含a的代数式表 P C D 2 示AP，BP。则AP=__________ a 4 ， 2 BP=__________ (3 a) 1 。 1 13 ③ 当a=1 时，则PA+PB=______, 2 5 当a=3,则PA+PB=______
试一试:一个台阶如图，阶梯每一层高 15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点 B 爬到B点最短路程是多少？
解：
60 15 25 15 A 60 60 B 25 15 A 15 25 25
60
AB 60 80
2
2
10000
100
探索性练习：
（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
变式6、化简： 21 12 3
三、运用乘法公式或因式分解巧算：
乘法公式： (a b)( a b) a b
2 2 2
2 2
(a b) a 2ab b 例3、计算或化简：
(1) 19 2 19 20 20
2
2
(2) (1 3 )(1 2 )(1 3 )(1 2 )
2 2
27b 9ab (B) 和 4a 8 b 2a (D) 和 2a b
3、填空： (1) 若 x y 是最简二次根式，则m
(2) 若最二次根式
m2
m
n
n
__
a 8与 2a 10
是同二次根式，m ____ ，a ____ .
(3) 2 3的倒数是_________.
1 1 (4) 15 ________ . 2 3 (5) 式子1 b a 的有理化因式是_____
1 例1、已知a ， 32 a 1 a 2a 1 求 的值 . 2 a 1 a a 3 2 3 2 例2：已知x ，y , 3 2 3 2 2 2 求3x 5 xy 3 y 的值.
2 2
四、化简求值题：
1 例3、已知x ， 3 2 求x (2 2 1) x ( 2 1) x
(6) (a 2) 2 a成立的条件是_____；
2
当x _____ 时， ( x 5) x ( x 5) x .
2
(7)区别： 1 3 1 计算： ① 3 1 ( 0.5 12 4 ) 3 4 8 1 3 1 ② 3 1 0.5 12 4 3 4 8
2
x 1 (4) (5) x 3 2 x
则x的取值范围是_______.
x 4 4 x 1 变式3、 已知x，y为实数， y ， x2 则3x 4 y的值等于_______.
2 2
1 变式4、 化简：x ______. x
1 1 2 2 变式5、计算 : ( x y ) x 2 xy y yx 3
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
2 =0,则x-y的值为( +3(y-2) x 1
D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
(1) 50
(2) a bc
2 2
2
(3) x y
2
1 (4) 0.75 (5) (a b)(a b ) (6) 6 2 满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
3 2
六、应注意的问题：
1、根式计算中被开方数有小数或分数或开得出来的 因数问题：
1 3 1 (1)计算： 3 1 ( 0.5 12 4 ) 3 4 8
(2)计算： (3 2 48 )( 4 3 18 )
2、运算顺序问题：
(1)计算： 6 ( 3 2 ) 与计算： ( 3 2) 6
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
DP C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
例4、计算或化简： x - 4y (1) x 2 y
(2) ( x y y x ) xy
3 3 6 (5 5 )( 3 3) (3) (4) (1 5 )( 3 1) 2 2 6
5 7 (6) 10 14 15 21 (7)
6 4 3 3 2 ( 6 3)( 3 2)
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A