两向量的向量积
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其中、为数.
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例1 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b2-2abcos .
记CB a, CA b, AB c, 则有
则有 ca-b,
§7.2 数量积 向量积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
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一、两向量的数量积
•数量积的物理背景 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s
表示位移. 由物理学知道, 力F所作的功为
W|F||s|cos , 其中 为F与s的夹角.
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
•数量积与投影
由于|b|cos|b|cos(a,^ b), 所以,
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❖向量积的坐标表示 设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则 ab (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
•记忆方法 利用三阶行列式符号, 上式可写成
i jk ab ax ay az
bx by bz aybziazbx jaxbyk-aybxk-axbz j-azbyi
(3) (a)ba(b)(ab)(为数).
讨论： 在空间直角坐标系中 iijjkk? ij? jk? ki?
提示： iijjkk0, ijk, jki, kij.
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❖向量积的坐标表示 设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则 ab (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
❖数量积的性质 (1) a·a|a|2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 a·b0, 则 ab; 反之, 如果ab, 则a·b0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则 aba·b0.
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从而, 所求液体的质量为
PrAv·n.
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二、两向量的向量积
❖向量积的定义 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模|c||a||b|sin(a,^ b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则
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例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的
线速度. 解 设点M到旋转轴l的距离为a, 再在l
轴上任取一点O作向量rO M , 并以 表示 与r的夹角, 那么
提示：
刚体绕l轴旋转时, 我们可以用在l轴上的一个向量表示
角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即WFs.
当a0时, |b|cos(a,^ b)是向量b在向量a 的方向上的投影, 于是
a·b|a|Prjab. 同理, 当b0时, a·b|b|Prjba.
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
小结
向量的概念 （注意与标量的区别） 向量的加减法 （平行四边形法则） 向量与数的乘法 （注意数乘后的方向）
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从a转向b来确定. 那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即 cab.
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右手规则
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二、两向量的向量积
❖向量积的定义
向量a与b的向量积cab: |c||a||b|sin(a,^b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则 从a转向b来确定. ❖向量积的性质
从而 |c|2cc(a-b)(a-b)
aabb-2ab
|a|2|b|2-2|a||b|cos(a,^ b),
即
c2a2b2-2abcos.
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❖数量积的坐标表示 设a(ax, ay, az ), b(bx, by, bz ), 则 a·baxbxaybyazbz .
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
❖数量积的运算律 (1)交换律: a·bb·a; (2)分配律: (ab)·ca·cb·c.>>>
(3)(a)·ba·(b)(a·b), (a)·(b)(a·b),
(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
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设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则
i jk ab ax ay az (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
a(2, 2, 1)-(1, 1, 1)(1, 1, 0), b(2, 1, 2)-(1, 1, 1)(1, 0, 1).
因为 ab1110011,
|a| 12 12 02 2 ,
所以 从而
|b| 12 02 12 2 ,
cosAMB ab |a||b|
1 2
2
1 2
.
AMB .
3
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例3 在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A, n为 垂直于A的单位向量, 计算单位时间内经过这区域流向n所指
一方的液体的质量P(液体的密度为r).
解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、 斜高为|v|的斜柱体.
这柱体的高为
|v|cos,
体积为
A|v|cosAv·n.
出: 即以右手握住l轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转
方向一致时, 大姆指的指向就是的方向.
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例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的
线速度. 解 设点M到旋转轴l的距离为a, 再在l
轴上任取一点O作向量rOM , 并以 表示 与r的夹角, 那么
a|r|sin .
设线速度为v, 那么由物理学可知
|v|||a|||r|sin ;
v垂直于与r, 且v的指向是使、r、v符合右手规则. 因此有 vr.
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b2x
b
2 y
bz2
提示:
a ·b|a||b|cos .
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例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 解 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角.
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❖数量积的坐标表示
设a(ax, ay, az ), a(bx, by, bz ), 则 a·baxbxaybyazbz . ❖向量夹角余弦的坐标表示
设(a,^ b), 则当a0、b0时, 有
cos ab axbxayb y azbz
.
| a || b|
a
2 x
a
2 y
az2
提示： aaxiay jazk, bbxiby jbzk, a·b(axiay jazk)·(bxiby jbzk) axbxi·iaxbyi·jaxbzi·k aybx j·iayby j·jaybz j·k azbxk·iazbyk·jazbzk·k axbxaybyazbz .
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bx by bz
例4 设a2i-3jk, bi-j3k , 计算ab .
解:
i jk ab 2 -3 1 -8i -5 j k
1 -1 3
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例5
已知
OAi 3j
,
OB j 3k
,
求DOAB的面积.
解:
根据向量积的几何意义,
(1) aa0; (2) 对于两个非零向量a、b, 如果ab0, 则a//b; 反之, 如果a//b, 则ab0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则
a//bab0.
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❖向量积的运算律 (1) 交换律: ab-ba; (2) 分配律: (ab)cacbc;
提示：
iijjkk0, ijk, jki, kij.
ab(axiay jaz k)(bxiby jbzk)
axbyijaxbzik aybx jiaybz jk azbxkiazbykj.
(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
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|OAOB| 表示以
OA 和 OB
为邻边的平行四边形的源自文库积, 于是DOAB的面积为
因为
S
1
|OAOB|
2
i jk OAOB 1 0 3 -3i -3 j k
013
|OAOB| (-3)3 (-3)2 12 19
所以三角形DOAB的面积为
S
1
|OAOB|
1
19
2
2
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例1 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b2-2abcos .
记CB a, CA b, AB c, 则有
则有 ca-b,
§7.2 数量积 向量积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
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一、两向量的数量积
•数量积的物理背景 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s
表示位移. 由物理学知道, 力F所作的功为
W|F||s|cos , 其中 为F与s的夹角.
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
•数量积与投影
由于|b|cos|b|cos(a,^ b), 所以,
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❖向量积的坐标表示 设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则 ab (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
•记忆方法 利用三阶行列式符号, 上式可写成
i jk ab ax ay az
bx by bz aybziazbx jaxbyk-aybxk-axbz j-azbyi
(3) (a)ba(b)(ab)(为数).
讨论： 在空间直角坐标系中 iijjkk? ij? jk? ki?
提示： iijjkk0, ijk, jki, kij.
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❖向量积的坐标表示 设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则 ab (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
❖数量积的性质 (1) a·a|a|2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 a·b0, 则 ab; 反之, 如果ab, 则a·b0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则 aba·b0.
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从而, 所求液体的质量为
PrAv·n.
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二、两向量的向量积
❖向量积的定义 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模|c||a||b|sin(a,^ b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则
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例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的
线速度. 解 设点M到旋转轴l的距离为a, 再在l
轴上任取一点O作向量rO M , 并以 表示 与r的夹角, 那么
提示：
刚体绕l轴旋转时, 我们可以用在l轴上的一个向量表示
角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即WFs.
当a0时, |b|cos(a,^ b)是向量b在向量a 的方向上的投影, 于是
a·b|a|Prjab. 同理, 当b0时, a·b|b|Prjba.
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
小结
向量的概念 （注意与标量的区别） 向量的加减法 （平行四边形法则） 向量与数的乘法 （注意数乘后的方向）
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从a转向b来确定. 那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即 cab.
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右手规则
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二、两向量的向量积
❖向量积的定义
向量a与b的向量积cab: |c||a||b|sin(a,^b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则 从a转向b来确定. ❖向量积的性质
从而 |c|2cc(a-b)(a-b)
aabb-2ab
|a|2|b|2-2|a||b|cos(a,^ b),
即
c2a2b2-2abcos.
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❖数量积的坐标表示 设a(ax, ay, az ), b(bx, by, bz ), 则 a·baxbxaybyazbz .
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一、两向量的数量积
❖数量积的定义
对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余
弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即
a·b|a||b|cos .
❖数量积的运算律 (1)交换律: a·bb·a; (2)分配律: (ab)·ca·cb·c.>>>
(3)(a)·ba·(b)(a·b), (a)·(b)(a·b),
(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
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设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则
i jk ab ax ay az (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
a(2, 2, 1)-(1, 1, 1)(1, 1, 0), b(2, 1, 2)-(1, 1, 1)(1, 0, 1).
因为 ab1110011,
|a| 12 12 02 2 ,
所以 从而
|b| 12 02 12 2 ,
cosAMB ab |a||b|
1 2
2
1 2
.
AMB .
3
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例3 在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A, n为 垂直于A的单位向量, 计算单位时间内经过这区域流向n所指
一方的液体的质量P(液体的密度为r).
解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、 斜高为|v|的斜柱体.
这柱体的高为
|v|cos,
体积为
A|v|cosAv·n.
出: 即以右手握住l轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转
方向一致时, 大姆指的指向就是的方向.
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例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的
线速度. 解 设点M到旋转轴l的距离为a, 再在l
轴上任取一点O作向量rOM , 并以 表示 与r的夹角, 那么
a|r|sin .
设线速度为v, 那么由物理学可知
|v|||a|||r|sin ;
v垂直于与r, 且v的指向是使、r、v符合右手规则. 因此有 vr.
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b2x
b
2 y
bz2
提示:
a ·b|a||b|cos .
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例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 解 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角.
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❖数量积的坐标表示
设a(ax, ay, az ), a(bx, by, bz ), 则 a·baxbxaybyazbz . ❖向量夹角余弦的坐标表示
设(a,^ b), 则当a0、b0时, 有
cos ab axbxayb y azbz
.
| a || b|
a
2 x
a
2 y
az2
提示： aaxiay jazk, bbxiby jbzk, a·b(axiay jazk)·(bxiby jbzk) axbxi·iaxbyi·jaxbzi·k aybx j·iayby j·jaybz j·k azbxk·iazbyk·jazbzk·k axbxaybyazbz .
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bx by bz
例4 设a2i-3jk, bi-j3k , 计算ab .
解:
i jk ab 2 -3 1 -8i -5 j k
1 -1 3
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例5
已知
OAi 3j
,
OB j 3k
,
求DOAB的面积.
解:
根据向量积的几何意义,
(1) aa0; (2) 对于两个非零向量a、b, 如果ab0, 则a//b; 反之, 如果a//b, 则ab0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则
a//bab0.
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❖向量积的运算律 (1) 交换律: ab-ba; (2) 分配律: (ab)cacbc;
提示：
iijjkk0, ijk, jki, kij.
ab(axiay jaz k)(bxiby jbzk)
axbyijaxbzik aybx jiaybz jk azbxkiazbykj.
(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.
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|OAOB| 表示以
OA 和 OB
为邻边的平行四边形的源自文库积, 于是DOAB的面积为
因为
S
1
|OAOB|
2
i jk OAOB 1 0 3 -3i -3 j k
013
|OAOB| (-3)3 (-3)2 12 19
所以三角形DOAB的面积为
S
1
|OAOB|
1
19
2
2
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