习题反常积分的收敛判别法

页脚内容278
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；
⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞
+a dx x )(ϕ和⎰
∞
+a
dx x f )(的敛
散性可以产生各种不同的的情况.
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数.则
当⎰∞
+a dx x )(ϕ收敛时⎰
∞
+a
dx x f )(也收敛；
当⎰
∞
+a
dx x f )(发散时⎰∞
+a
dx x )(ϕ也发散.
证 当⎰∞
+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：K
dx x A A ε
ϕ<⎰'
)(.
于是
≤
⎰'
A A
dx x f )(εϕ<⎰'
A A dx x K )(，
所以⎰∞
+a
dx x f )(也收敛；
当⎰
∞
+a
dx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰'
)(.
于是
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≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1
ε≥⎰'
A A dx x f K ，
所以⎰∞
+a dx x )(ϕ也发散.
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)
()(lim
=+∞→x x f x ϕ.则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞
+a dx x )(ϕ也
发散；但当⎰∞
+a dx x f )(收敛时，⎰∞
+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散.
例如21)(x x f =
，)20(1
)(<<=p x
x p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ.显然有 ⎰∞
+1
)(dx x f 收敛，而对于⎰∞
+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时
发散.
设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)
()(lim
x x f x ϕ.则当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞
+a dx x )(ϕ也收敛；
但当⎰∞
+a dx x f )(发散时，⎰∞
+a dx x )(ϕ可能发散，也可能收敛.
例如x
x f 1)(=，)21
(1)(>=
p x
x p ϕ，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ.显然有 ⎰∞
+1
)(dx x f 发散，而对于⎰∞
+1)(dx x ϕ，则当
12
1
≤<p 时发散，当1>p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）.
证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数.
⑴ 若f x K
x
p ()≤，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛；
页脚内容280
⑵ 若f x K
x p
()≥
，且p ≤1，则⎰∞+a dx x f )(发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且
lim ()x p x f x l →+∞
=，
则
⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则⎰∞
+a
dx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则⎰
∞
+a
dx x f )(发散.
证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为
p x
1
. ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴
1
1
3
21
x e
x dx x
-++-+∞
⎰ln ; ⑵
⎰
∞
++1
3
1tan arc dx x
x
; ⑶
1
10
++∞
⎰x x dx |sin |
;
⑷
x x dx
q p
11
++∞
⎰（+
∈R q p ,）. 解 （1）当+∞→x 时，
1
ln 1
23
++--x e
x x
～
2
31
x ，
所以积分1
1
321
x e x dx x -++-+∞
⎰ln 收敛.
页脚内容281
（2）当+∞→x 时，
3
1arctan x x +～32x π， 所以积分⎰
∞
++1
3
1tan arc dx x x
收敛.
（3）因为当0≥x 时有
x
x x +≥+11
sin 11，
而积分dx x
⎰∞
++0
11
发散，所以积分110
++∞⎰x x dx |sin |发散. （4）当+∞→x 时，
p
q
x
x +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x dx q
p
11
++∞
⎰收敛，在其余情况下积分 x x dx q
p
11
++∞
⎰发散. ⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞
⎰收敛与f x dx ()-∞+∞
⎰收敛是等价的. 证 显然，由
f x dx ()-∞
+∞
⎰收敛可推出)
cpv (f x dx ()-∞+∞
⎰收敛，现证明当0)(≥x f 时可由
)cpv (f x dx ()-∞+∞
⎰收敛推出f x dx ()-∞+∞
⎰收敛.
由于)cpv (f x dx ()-∞+∞
⎰收敛，可知极限
页脚内容282
+∞
→A lim =)(A F +∞→A lim
⎰
-A
A
dx x f )(
存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，
0>∀ε，00A ∃>，0,A A A ≥'∀：ε<-)'()(A F A F ， 于是0,A A A ≥'∀与0',A B B ≥∀，成立
≤⎰'
A A
dx x f )(ε<-)'()(A F A F
与
≤⎰--B
B dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，
这说明积分⎰∞
+0)(dx x f 与⎰∞-0
)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞
⎰收敛.
⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：
⑴
ln ln ln sin x
x
xdx 2
+∞
⎰; ⑵
sin x x dx
p
1
+∞
⎰（+
∈R p ）; ⑶
⎰
∞
+1
tan arc sin dx x
x x p
（+
∈R p ）⑷
sin()x dx 20+∞
⎰;
⑸
⎰
∞
+a
n m xdx x q x p sin )
()
( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式， q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点.）
解 （1）因为⎰=A
xdx A F 2sin )(有界，x
x ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim
=+∞→x x
x ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin x
x
xdx 2
+∞
⎰收敛； 由于
≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x x
x
-=，而积分
页脚内容283
⎰∞
+2
ln ln ln dx x
x
发散，⎰∞
+2
2cos ln ln ln xdx x
x
收敛，所以积分⎰∞
+2
sin ln ln ln dx x x
x
发散，即积分ln ln ln sin x
x
xdx 2
+∞
⎰条件收敛. （2）当1>p 时，
p
p
x x x 1sin ≤
，而⎰∞+11dx x p 收敛，所以当1>p 时积分 sin x
x dx p
1
+∞
⎰绝对收敛； 当10≤<p 时，因为⎰=A
xdx A F 1sin )(有界，
p x 1在),1[+∞单调，且01
lim =+∞→p x x
，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p
1
+∞
⎰收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1|
sin |dx x x p
发散，所以当10≤<p 时积分sin x x dx p 1+∞⎰条件收敛.
（3）当1>p 时，≤
p
x x
x arctan sin p
x 2π
，而⎰∞
+1
1
dx x
p 收敛，所以当1>p 时积分⎰∞+1tan arc sin dx x x x p 绝对收敛；
当10≤<p 时，因为⎰=A
xdx A F 1sin )(有界，p x x arctan 在),1[+∞单调，且0arctan lim =+∞→p x x
x ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞+1
arctan sin
dx x x x p 收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1
sin arctan dx x x
x
p 发散，所以当10≤<p 时积分
⎰∞+1
arctan sin
dx x x
x p
条件收敛.
（4）令2x t =，=
⎰∞
+02)sin(dx x ⎰∞
+0
2sin dt t
t ，由于⎰∞
+0
2sin dt t
t 条件收敛，可知积分sin()x dx 20+∞
⎰条件
页脚内容284
收敛.
（5）当1+>m n 且x 充分大时，有x x q x p n m sin )()(2x
K ≤，可知当1+>m n 时积分⎰∞+a n m
xdx x q x p sin )()(绝
对收敛.
当1+=m n 时，因为⎰=A
xdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，)()
(x q x p n m 单调且0)()(lim =+∞→x q x p n
m
x ，由Dirichlet 判别法可知⎰
∞
+a
n m xdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，)
()(x q x p n m ～x a ，易知⎰∞+1sin )()
(dx x x q x p n m 发
散，所以当1+=m n 时，积分⎰
∞
+a
n m xdx x q x p sin )
()
(条件收敛. 当1+<m n 时，由A x q x p n m x =+∞
→)()(lim
，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分⎰∞+a n m
xdx x q x p sin )
()(发散.
⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5.
定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得
⑴ f x K b x p ()()≤-，且p <1，则f x dx a
b
()⎰收敛； ⑵ f x K b x p
()()≥-，且p ≥1，则f x dx a
b
()⎰发散. 证 （1）当p <1时，积分⎰-b
a
p
dx x b )
(1
收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理，
页脚内容285
0>∀ε，0>∃δ，),0(',δηη∈∀：K dx x b b b p
ε
ηη
<-⎰--'
)
(1. 由于
≤
⎰--'
)(ηη
b b dx x f εηη
<-⎰--'
)
(b b p
dx x b K
，所以f x dx a b ()⎰收敛. （2）当1≥p 时，积分⎰-b
a
p
dx x b )
(1
发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 00>∃ε，0>∀δ，),0(',δηη∈∃：
K dx x b b b p
0'
)
(1
εηη
≥-⎰--. 由于
≥⎰--')(ηηb b dx x f 0'
)
(εηη
≥-⎰--b b p
dx x b K
，所以f x dx a b ()⎰发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，且
lim()()x b p b x f x l →-
-=，
则
⑴ 若0≤<+∞l ，且p <1，则f x dx a b
()⎰收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≥1，则f x dx a b
()⎰发散.
证 （1）由lim()()x b p b x f x l →-
-= （+∞<≤<l p 0,1），可知
0>∃δ，),(b b x δ-∈∀：p
x b l x f )
(1
)(-+<
， 再应用定理8.2.'3的（1）.
页脚内容286
（2）由lim()()x b p b x f x l →-
-= （+∞≤<≥l p 0,1），可知
0>∃δ，),(b b x δ-∈∀：p
x b l
x f )
(2)(->
， 再应用定理8.2.'3的（2）.
定理8.2.'5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a b
()()⎰收敛： ⑴（Abel 判别法）
f x dx a b
()⎰收敛，g x ()在[,)a b 上单调有界；
⑵（Dirichlet 判别法）⎰
-=η
ηb a
dx x f F )()(在],0(a b -上有界，g x ()在[,)a b 上单调且
0)(lim =-
→x g b x .
证 （1）设G x g ≤|)(|，因为f x dx a b
()⎰收敛，由Cauchy 收敛原理，
0>∀ε，0>∃δ，),(,b b A A δ-∈'∀：G
dx x f A A
2)(ε
<
⎰
'
.
由积分第二中值定理，
⎰
'
A A
dx x g x f )()(⎰⎰'
⋅'+⋅≤A A
dx x f A g dx x f A g ξ
ξ)()()()(
⎰⎰'
+≤A A dx x f G dx x f G ξξ
)()(εε
ε=+<22.
（2）设M F ≤|)(|η，于是),[,b a A A ∈'∀，有
M dx x f A A
2)(<⎰
'
.因为0)(lim =-
→x g b x ，0>∀ε，0>∃δ，
),(b b x δ-∈∀，有M
x g 4)(ε
<
.由积分第
二中值定理，
⎰
'
A A
dx x g x f )()(⎰⎰
'
⋅'+⋅≤A A
dx x f A g dx x f A g ξ
ξ
)()()()(
页脚内容287
|)(|2|)(|2A g M A g M '+≤εε
ε=+<2
2.
所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy 收敛原理，都有⎰∞
+a
dx x g x f )()(收敛的结论.
⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴
1
123
01
x x dx ()
-⎰;
⑵ln x
x dx 201
1
-⎰;
⑶
1
22
02
cos sin x x
dx π⎰; ⑷
10
2
-⎰cos x
x
dx p
π; ⑸
|ln |x dx p 0
1
⎰; ⑹
x x dx p q ---⎰1101
1();
⑺
⎰---1
011
|ln |)1(dx x x x
q p .
解 （1）因为
3
2)
1(1x x -～
3
2
1
x )0(+→x ，
3
2)
1(1x x -～
3
1)1(1x -
)1(-→x ，
所以积分1
12301
x x dx
()
-⎰收敛.
（2）因为1ln lim 21--→x x x 21
=，
且对任意10<<δ，01ln lim 20=-+→x x x x δ，即当0>x 充分小时，有δx
x x 11ln 2<-，所以积分ln x
x dx 20
1
1
-⎰收敛. （3）因为
x x 22sin cos 1～21x )0(+→x ，x x 22sin cos 1～2
)2
(1
x -π)2(-→πx ，所以积分1
220
2
cos sin x x
dx π⎰发散.
页脚内容288
（4）因为p x x cos 1-～2
21-p x )0(+→x ，所以当3<p 时积分102
-⎰cos x x dx p π
收敛，当3≥p 时积分10
2
-⎰cos x
x
dx p
π
发散. （5）首先对任意的10<<δ与任意的p ，有0]|ln |[lim 0=+
→p x x x δ，即当0>x 充分小时，有
δ
x
x
p
1ln <
；且 p
x ln ～p x --)1(1)1(-→x .所以当1->p 时，积分|ln |x dx p 01⎰收敛，当1-≤p 时，积分|ln |x dx p 01
⎰发散.
（6）11)1(---q p x x ～
p
x -11)0(+→x ，11)1(---q p x x ～
q
x --1)
1(1
)1(-→x ，所以在0,0>>q p 时积分x x dx p q ---⎰1101
1()收敛，在其余情况下积分
x x dx p q ---⎰1101
1()发散.
（7）|ln |)1(11x x x q p ---～
q
x --)
1(1
)1(-→x ，且 0|)]ln |)1(([lim 112
10=----
+
→x x x x
q p p x ，即当0>x 充分小时，有
2
1111
ln )1(p q p x
x x x ---<
-，所以当1,0->>q p 时积分⎰---1
011|ln |)1(dx x x x q p 收敛，在其余情况下
积分⎰---1
011|ln |)1(dx x x x q p 发散.
⒏ 讨论下列反常积分的敛散性：
页脚内容289
⑴
x x x
dx p q ---⎰11
1
ln (+∈R q p ,);
⑵
1
122
3
x x x dx ()()
--+∞
⎰; ⑶
ln()
10
++∞
⎰x x dx p
; ⑷
⎰
∞
+0
tan arc dx x
x
p
; ⑸
⎰2
/0
tan πdx x x p
;
⑹
x dx p x --+∞
⎰10e ;
⑺
1
x x dx p q
++∞
⎰;
⑻
⎰∞
+2
ln 1
dx x
x q
p . 解（1）x x x dx p q ---⎰110
1
ln ⎰-=2
101ln dx x x p ⎰--2101
ln dx x x q ⎰---+12
111ln dx x
x x
q p . 当0>p ，0>q 时积分⎰
-21
1ln dx x x p 与积分⎰-2101
ln dx x
x
q 显然收敛，且当-→1x 时， =---x x x q p ln 11()[]()[]
()
)1(1ln 1
)1(11)1(11
1-+--+---+--x x x q p ～q p x x q p -=---1)1)((，
即⎰
---12
11
1ln dx x
x x q p 不是反常积分，所以积分x x x dx p q ---⎰1
101ln 收敛.
（2）=
--⎰∞
+0
3
2
)2()1(1dx x x x ⎰--1
03
2
)
2()1(1dx x x x ⎰--+21
3
2
)
2()1(1dx x x x
⎰∞
+--+2
3
2
)
2()1(1
dx x x x .
页脚内容290
因为
3
2
)
2()1(1
--x x x ～3
13
1
2
1x ⋅
-)0(+→x ，
3
2
)
2()1(1
--x x x ～3
2)1(1--
x
)1(-→x ，
所以积分⎰--10
3
2
)
2()1(1dx x x x 收敛；
因为
3
2
)
2()1(1
--x x x ～3
2)1(1--
x
)1(+→x ，
3
2
)
2()1(1
--x x x ～3
13
)2(1
2
1-⋅x
)2(-→x ，
所以积分⎰--21
3
2
)
2()1(1dx x x x 收敛；
因为
3
2
)
2()1(1
--x x x ～3
13
)2(1
2
1-⋅x
)2(+→x ，
3
2
)
2()1(1
--x x x ～
3
41
x )(+∞→x ，
所以积分⎰∞
+--2
3
2
)
2()1(1dx x x x 收敛.
页脚内容291
由此可知积分1
1223
x x x dx ()()
--+∞
⎰收敛.
（3）=+⎰∞
+0
)
1ln(dx x
x p
+
+⎰10
)
1ln(dx x x p
⎰∞
++1
)
1ln(dx x
x p
. 由
p
x x )1ln(+～11-p x )0(+→x ，可知当2<p 时，积分⎰+
10
)
1ln(dx x
x p
收敛，当2≥p 时，积分
⎰+
10
)
1ln(dx x
x p
发散；
当1>p 时，0)1ln(lim 213=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+⋅-+∞→p p x x x x ，即当0>x 充分大时，有 2
131
)
1ln(-<+p p
x x
x ，其中
1213>-p ，可知当1>p 时，积分⎰∞++1)
1ln(dx x
x p 收敛，当1≤p 时，积分⎰∞
++1
)
1ln(dx x
x p
发散； 综上所述，当21<<p 时，积分⎰
∞
++0
)
1ln(dx x x p 收敛，在其余情况下积分⎰∞++0)1ln(dx x x p
发散.
（4）⎰
∞
+0
tan arc dx x x p ⎰=10tan arc dx x x p ⎰∞++1tan arc dx x
x
p
. 由
p x x arctan ～11-p x )0(+→x ,可知当2<p 时积分⎰10
tan arc dx x
x p 收敛； 由
p x x arctan ～p x 2π)(+∞→x ，可知当1>p 时积分⎰∞+1
tan arc dx x
x
p 收敛. 所以当21<<p 时积分⎰
∞
+0
tan arc dx x
x
p
收敛，在其余情况下积分
页脚内容292
⎰
∞
+0
tan arc dx x
x
p
发散. （5）⎰2
/0
tan πdx x
x p
⎰=4
/0
tan πdx x
x p
⎰+2
/4
/tan ππdx x
x p
.
由
p
x
x
tan ～2
11-p x
)0(+→x ，可知当2
3
<
p 时积分⎰4
/0
tan πdx x x p
收敛，当2
3
≥
p 时积分⎰4
/0
tan πdx x
x p
发散；
由p
x
x tan ～12
2()
2
p
p x π
π-)2
(-→
π
x ，可知积分⎰
2/4
/tan ππdx x
x p
收敛.
所以当2
3<p 时积分⎰2
/0
tan πdx x x p
收敛，当2
3
≥
p 时积分 ⎰2
/0
tan πdx x
x p
发散.
（6）x dx p x --+∞⎰10e ⎰--=101e dx x x p ⎰∞
+--+11e dx x x p .
由于积分⎰∞
+--11e dx x x p 收敛，及x p e x --1～p
x -11)0(+→x ，所以当0>p 时积分x dx p x --+∞
⎰10e 收
敛，当0≤p 时积分x dx p x --+∞
⎰10e 发散.
（7）10
x x dx p q
++∞
⎰⎰+=101dx x x q p ⎰∞
+++11dx x x q p . 当q p =时，显然积分1
x x dx p q
++∞
⎰发散；
页脚内容293
当q p ≠时，由于
q p x x +1～),min(1q p x )0(+→x ，q p x x +1～)
,max(1
q p x
)(+∞→x ， 所以当1),min(<q p ，且1),max(>q p 时积分10
x x dx p q
++∞
⎰收敛，其余情况下积分10x x dx p q ++∞
⎰发
散.
（8）设1>p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有
2
11ln 1
+<p q
p x
x
x ，因为
12
1
>+p ，可知积分⎰∞
+2
ln 1
dx x
x q
p 收敛. 设1<p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有2
11ln 1
+>p q
p x
x
x ，因为
121
<+p ，可知积分⎰∞+2ln 1dx x
x q
p 发散.
设1=p ，令t x =ln ，则
⎰∞
+2
ln 1dx x x q p ⎰∞+=2ln q
t
dt
，由此可知当1>p 或 1,1>=q p 时积分⎰∞
+2
ln 1dx x x q p 收敛，在其余情况下积分⎰∞
+2
ln 1dx x x q p 发散. ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性：
⑴
x x dx p -+∞
+⎰1
2
1; ⑵
x x
x dx q p
sin 11
++∞
⎰ (p ≥0);
⑶
⎰∞
+0
sin cos e dx x
x
p
x ; ⑷
⎰∞
+0
sin 2sin e dx x
x
p
x ;
页脚内容294
(
⎰1
02
1cos 1dx x
x p ； (
⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+11sin dx x
x x p
(0>p ). 解（1）x x dx p -+∞
+⎰120
1⎰+=-10
211dx x x p ⎰∞+-++12
1
1dx x x
p . 由211x x p +-～p x -11)0(+→x ，21
1x
x p +-～p x -31)(+∞→x ，可知当20<<p 时积分x x dx p -+∞+⎰1
201收敛，在其余情况下积分x x dx p -+∞
+⎰1
2
1发散. （2）当1-<p q 时，由q p p q x
x x x -<+1
1|sin |，可知积分x x x dx q
p
sin 11++∞⎰绝对收 敛.
当p q p <≤-1时，因为⎰=A
xdx A F 1
sin )(有界，当x 充分大时p
q
x
x +1单 调减少，且01lim =++∞→p q x x x ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞++11sin dx x
x
x p q
收敛； 但因为积分⎰∞
++1
1|
sin |dx x
x x p
q 发散，所以当p q p <≤-1时积分sin x x dx p 1+∞⎰条 件收敛.
当p q ≥时，由于n →∞时22sin 1q n p
n x x
dx x
πππ
++⎰
不趋于零，可知积分 x x
x dx q p
sin 11
++∞
⎰发散.
页脚内容295
（3）⎰∞
+0
sin cos e dx x x p x ⎰=10sin cos e dx x x p x ⎰∞++1
sin cos e
dx x
x p x
. 由p
x x
x
e cos sin ～p x 1)0(+→x ，可知当1<p 时积分⎰10
sin cos e
dx x
x
p
x
收敛，在其余情况下积分
⎰10
sin cos e
dx x
x
p
x
发散.
当1<p 时，易知积分⎰∞
+1
sin |cos |e dx x x p x 发散；当0≤p 时，易知积分⎰∞+1
sin cos e
dx x
x p x
发散. 当10<<p 时，因为
1cos 1
sin -<⎰
e xdx e A x
，
p x 1单调减少，且01
lim =+∞→p x x
，由Dirichlet 判别法；可知积分⎰∞
+1
sin cos e dx x
x
p
x 收敛. 综上所述，当10<<p 时，积分⎰∞
+0
sin cos e dx x x p x 条件收敛，在其余情况下积分⎰∞+0
sin cos e
dx x
x p x
发散.
（4）⎰∞
+0
sin 2sin e dx x x p x ⎰=10sin 2sin e dx x x p x ⎰∞++1
sin 2sin e
dx x
x p x
. 由p x x x e 2sin sin ～1
2
-p x )0(+→x ，可知当2<p 时积分⎰10sin 2sin e dx x x p x
收敛，在其余情况下积分⎰10
sin 2sin e dx x
x
p
x
发散. 当21<<p 时，显然积分⎰∞
+1
sin |2sin |e dx x x p x 收敛；当1≤p 时，易知积分⎰∞+1
sin |2sin |e
dx x
x p x
发散；
页脚内容296
当0≤p 时，易知积分⎰∞
+1
sin 2sin e dx x x
p
x 发散. 当10≤<p 时，因为
⎰+=π
π
)1(sin 02sin k k x xdx e ，可知
⎰
A x xdx e 0
sin 2sin 有界，且
p x
1
单调减少，01
lim
=+∞→p x x ，由Dirichlet 判别法，可知积分
⎰∞
+1
sin 2sin e dx x
x
p
x 收敛. 综上所述，当21<<p 时积分⎰∞
+0
sin 2sin e dx x x p x 绝对收敛，当10≤<p 时积分⎰∞+0
sin 2sin e
dx x
x p x
条件收敛，在其余情况下积分⎰∞
+0
sin 2sin e dx x
x
p
x 发散. （5）令2
1
x t =
，则 ⎰=1
021cos 1dx x
x p tdt t p cos 1211
2
3⎰∞+-. 于是可知当1<p 时积分⎰1
21cos 1dx x x p 绝对收敛；当31<≤p 时积分⎰102
1cos 1dx x x p 条件收敛，当3≥p 时积分⎰1
21
cos 1dx x
x p 发散. （6）当1>p 时，因为p
p x
x x x 11sin ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可知积分⎰∞+⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+11sin dx x x x p 绝对收敛.
页脚内容297
当10≤<p 时，因为⎰
+
+
⎪⎭⎫ ⎝⎛+26
1sin πππ
πn n p dx x x x p n ⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+⋅>2321πππ，而级数 ∑
∞
=⎪
⎭⎫
⎝
⎛
+121n p
n ππ发散，所以积分⎰∞
+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+1
1sin dx x
x x p
发散；又因为 =+⎰∞+dx x x x p
1)1
sin(dx x x x x x p
⎰∞++1sin 1cos cos 1sin ，注意到当x 充分大时，p x x 1sin 与p x
x 1cos 都是单调减少的，由Dirichlet 判别法可知积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx x x x p 收敛，所以积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+1
1sin dx x
x x p 条件收敛. 10．证明反常积分⎰∞
+04sin sin xdx x x 收敛. 证 对任意A A A >>'"，由分部积分法，
⎰="
'
4sin sin A A xdx x x ⎰-"'
42
)(cos 4sin
A A x d x x
"
'
24
4cos sin A A x x
x ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎰-+"'244cos cos A A dx x x x ⎰"'
342sin cos A A dx x x x . 显然，当+∞→A 时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy 收敛原理，可知反常积分
⎰∞+04
sin sin xdx x x 收敛.
11．设f x ()单调，且当x →+0时f x ()→+∞，证明：f x dx ()01
⎰ 收敛的必要条件是lim ()x xf x →+
=00.
页脚内容298
证 首先由f x ()的单调性，对于充分小的10<<x ，有
⎰≤≤
x
x dt t f x f x 2
)()(2
0. 由Cauchy 收敛原理，⎰=+
→x x
x dt t f 2
00)(lim
，于是得到
0)(lim 0=+
→x xf x .
12．设⎰
∞
+a
dx x f )(收敛，且)(x xf 在),[+∞a 上单调减少，证明:
0)()(ln lim =+∞
→x f x x x .
证 首先容易知道当+∞→x 时，)(x xf 单调减少趋于0，于是有
0)(≥x xf ，且
⎰=⋅≤≤
x
x dt t
t tf x f x x 1)()()(ln 210⎰
x x
dt t f )(.
然后由Cauchy 收敛原理，0)(lim
=⎰
+∞
→x
x
x dt t f ，于是得到
0)()(ln lim =+∞
→x f x x x .
13．设f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞
=0，证明：若'f x ()在[,)0+∞上连续，则反常积分
'+∞
⎰f x x dx ()sin 20收敛.
证 首先由分部积分法，
⎰∞
+=
2sin )('xdx x f ⎰∞
+0
2)(sin x xdf ⎰∞
+-=0
2sin )(xdx x f .
页脚内容299
由于⎰=A
xdx A F 02sin )(有界，f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞
=0，由
Dirichlet 判别法，可知积分⎰∞
+0
2sin )(xdx x f 收敛，从而积分'+∞
⎰f x x dx ()sin 20收敛.
14. 设⎰
∞
+a
dx x f )(绝对收敛，且lim ()x f x →+∞
=0，证明f x dx a 2()+∞
⎰收敛.
证 首先由lim ()x f x →+∞
=0，可知a A >∃，A x >∀，有1)(<x f ，即当A x >时，
成立)()(2x f x f ≤.因为积分⎰∞
+a
dx x f )(绝对收敛，于是由比较判别法，
积分f x dx a 2()+∞
⎰收敛.
15． 若f x dx a 2()+∞
⎰收敛，则称f x ()在[,)a +∞上平方可积（类似可定义无界函数在[,]a b 上平方可积的概念）.
⑴ 对两种反常积分分别探讨f x ()平方可积与f x ()的反常积分收敛之间的关系； ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含；
⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立.
解 （1）⎰∞
+a
dx x f )(收敛不能保证f x dx a 2()+∞
⎰收敛，例如：x
x x f sin )(=
，
则⎰∞
+1
)(dx x f 收敛，但⎰∞
+1
2)(dx x f 发散；
f x dx a 2()+∞
⎰收敛不能保证⎰∞
+a dx x f )(收敛，例如：x x f 1
)(=，则 ⎰∞
+1
2)(dx x f 收敛，但⎰∞
+1
)(dx x f 发散.
页脚内容300
（2）f x dx a 2()+∞
⎰收敛不能保证⎰∞
+a
dx x f )(绝对收敛，例如：x
x x f sin )(=
，则⎰∞
+12)(dx x f 收敛，但⎰∞
+1
)(dx x f 不是绝对收敛的；
⎰∞
+a dx x f )(绝对收敛不能保证f x dx a 2()+∞
⎰收敛，例如：
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
∈=∞
=其他
0]1,[)(2
3
n n n n x n x f ，则⎰∞+1)(dx x f 绝对收敛，但⎰∞+12)(dx x f 发散.
（3）由)](1[2
1)(2x f x f +≤，可知⎰b a dx x f )(2收敛保证⎰b
a dx x f )(绝对收敛；
但⎰b a dx x f )(绝对收敛不能保证⎰b
a dx x f )(2收敛，例如：x
x f 1)(=
，则
⎰1
)(dx x f 绝对收敛，但⎰1
02)(dx x f 发散.
16. 证明反常积分
sin sin x
x x
dx p
++∞
⎰1
当p ≤
1
2
时发散，当121<≤p 时条件收敛，当p >1时绝对收敛.
证 当p >1时，对充分大的x ，有
x x x p sin sin +p x 2≤，由于积分⎰∞+1
2
dx x
p 收敛，可知积分sin sin x
x x
dx p ++∞
⎰1
绝对收敛.
当10≤<p 时，利用等式
)
sin (sin sin sin sin 2x x x x
x x x x x p
p p p
+-=+.
页脚内容301
这时积分⎰∞
+1
sin dx x x p 收敛；积分⎰∞
++12)
sin (sin dx x x x x p p 当121<≤p 时收敛，当210≤<p 发散. 当121<≤p 时，由于⎰+
++434
sin sin π
πππn n p dx x x x 1
)1(122++⋅≥
p
p n ππ，因为级数1
)1(11
++∑
∞
=p
p n n π
发散，
所以积分⎰∞
++1
sin sin dx x
x x
p
发散. 综上所述，当121<≤p 时，积分sin sin x x x dx p ++∞⎰1条件收敛；当2
1
0≤<p 时，积分sin sin x x x dx p
++∞⎰1发散.
当0≤p 时，因为有⎰+
++224
2sin sin π
πππn n p dx x x x 2224sin 2n n x dx π
πππ++>⎰π162>，由 Cauchy 收敛原理，可知积分sin sin x
x x
dx p ++∞
⎰1
发散.。