圆锥曲线常见综合题型整理(供参考)

【知识点梳理】

一、直线与圆锥曲线的位置关系

注意：直线与椭圆、抛物线联立后得到的方程一定是一元二次方程（二次项系数a 不为0），但直线与双曲线联立后得到的不一定是一元二次方程，因此需分类讨论。

即：

1． 一次方程，只有一个解，说明直线与双曲线相交，只有一个交点，此时直线与渐进性平行；

2． 二次方程，⎪⎩

⎪⎨⎧>∆=∆<∆，有两个交点（相交），有一个交点（相切）无解，没有交点00,0

因此在做题过程中，若直线与双曲线

①没有交点：00<∆≠且a

②有一个交点：000=∆≠=且或者a a

③有两个交点：00>∆≠且a

此外，在设直线方程时，要注意直线斜率不存在的情况。

二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式

设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，

且由⎩⎨⎧+==n

kx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac >0。

则弦长公式为：

4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=。

三、用点差法处理弦中点问题

设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

【典型例题】

题型一 直线与圆锥曲线的交点问题

例 1 k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22

236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？

例2． 已知直线y=kx+2与双曲线

622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围。 变式1：过点P(0,1)的直线与双曲线1542

2=-y x 有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围。

变式2：已知曲线C ：

x x y 22--=与直线l ：x+y-m=0有两个交点，则m 的取值范围是 题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题(注意0>∆的条件)

例3． 已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6

π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。

例4． 直线l 在双曲线12

32

2=-y x 上截得弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m.

变式1：椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>，椭圆与直线280x y ++=相交于点P Q ，，且

PQ =，求椭圆的方程

变式2：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b

-=被椭圆C 截得的弦长为，且

e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.

题型三 运用点差法处理中点弦问题

例5． 过椭圆14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 例6． 直线y=x-1被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是

变式1：过点P (－1,1)作直线与椭圆x 24＋y 22

＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和线段AB 的长度． 变式：椭圆22221(,0)x y a b a b +=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且P F 1⊥PF 2,,| P F 1|=3

4,,| P F 2|=3

14. （I ）求椭圆C 的方程；

（II ）若直线L 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程。

例7． 中心在原点O 的椭圆12

2=+ny mx 与直线x+y-1=0交于P 、Q 两点，M 为PQ 中点，且

22=OM K ，则n

m 的值为 题型四 直线与圆锥曲线有关的最值问题

例8． 若点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为 变式：点P 在抛物线2x y =上，求P 到直线x-y-2=0的最短距离。

例9． 已知P 是抛物线24

1x y =

上的动点，F 为抛物线的焦点，定点A(12,6)，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时P 点的坐标。 例10． 若直线y=x+m 和椭圆14

22

=+y x 相交于A 、B 两点，当m 变化时，|AB|的最大值为（ ） A. 2 B. 554 C. 1054 D 。 105

8 例11． 已知椭圆C : 2

213

x y +=，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

3，求△AOB 面积的最大值. 变式1：过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B 两点 ，求

面积的最大值 ．

变式2. 已知动点P 到定点)F 的距离与点P 到定直线l ：x =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若0EM FN =，求MN

的最小值．

题型五 有关轨迹问题

例12．求过定点(0,1)的直线被双曲线2

2

14y x -=截得的弦中点轨迹方程。 变式1： 已知椭圆125

752

2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 变式2：椭圆方程为2

2

14y x +=，过点(01)M ，的直线l 交椭圆于点A B O ，，是坐标原点，点P 满足1()2

OP OA OB =+，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程． 评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力．利用点差法是求解的关键．

题型六：焦点三角形

例13 双曲线ABC ,90PF F P F F 116

9021212

2∆=∠=-求是双曲线上一点，若，且和的焦点为y x 的面积。

变式1：M 为椭圆,MF F F F )0,0(1212122

22α=∠>>=+为椭圆的两个焦点，和上一点，b a b

y a x 求21MF F ∆的面积（用α、、b a 表示）