组合数学课件--第二章第三节关于线性常系数非齐次递推关系

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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系 如下面的递推关系：
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k b n
称为k阶线性递推关系，其中若 c1,c2,…,ck都是常数，则称为常系数线性递 推关系，若bn=0，则称为是齐次的，否则 为非齐次的。
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2.10任意阶齐次递推关系
anA(1)nB2n
an
1(-1n)22n
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
定理1 若fn 是线性常系数非齐次递推关系的特 解，则这个线性常系数非齐次递推关系的解有如下
形式： an=fn+对应的线性常系数齐次递推关系的解。
证明：fn是特解，设sn 是一个解
令tn=sn-fn
则序列{ti}是线性常系数齐次递推关系的解
（2）式的特征方程是：x2-(b+m)x+bm=0, 它有两个特征根b和m。
若b≠m,则解为: an=k1bn+k2mn, 若b=m,则解为: an=(k1+k2n)mn,
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
分别讨论如下： (a)若b≠m,则an-ban-1=hmn 的解必可写成如下形 式。an=k1bn+k2mn, 定理1可知，非齐次递推关系的解可表示为齐次递 推关系的解加上特解fn。 比较可得：fn=k2mn,k2是待定系数，
2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
例1 a n a n 1 6 a n 2 5 4 n ,a 0 5 ,a 1 2
假定特解为： c4n,
c 4 n c 4 n 1 6 c 4 n 2 5 4 n
两边同除 以4n-2：
c(4246)542,得 c40 3
404n,
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a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k b n
对应的齐次递推关系。
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k 0
如果序列xn和yn满足非齐次递推关系，
则序列zn=xn-yn满足其对应的齐次递推关系。 证明：略
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sn=tn+fn
证毕
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
一阶、二阶线性常系数非齐次递推关系
an+ban-1=c(n) an+ban-1+can-2=c(n)
(1)右端项为常数h (2)右端项为hmn,h为常数，m为已知整数。
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
下面讨论若干特殊右端项的找特解的办法。 (1) 猜解法:
m等于-b时无效 m是特征方程的根时无效
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
an+ban-1+can-2 =hmn,h为常数，m为已知整数。
设an=kmn
kmn+bkmn-1+ckmn-2= hmn,
km2+bkm+ck= hm2,
k
m2
hm2 bmc
分母为零时无效 m是特征方程的根时无效
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
特解与一般解:
例2：某人有n元钱，一次可买1元的矿泉水，也 可以买2元的（啤酒、方便面）的一种，直到所 有的钱花完为止(买东西的顺序不同，也算不同 方案)，求n元钱正好花完的买法方案数。
解：递推关系：an=an-1+2an-2 a1=1,a2=3
特征方程x2-x-2=0的根r1=-1，r2=2
an+ban-1= hmn,h为常数，m为已知整数。
猜an解的可能情况?
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
下面讨论若干特殊右端项的找特解的办法。 (1) 猜解法:
an+ban-1= hmn,h为常数，m为已知整数。
设an=kmn
kmn+bkmn-1= hmn, km+bk= hm,
k hm mb
例2 a n a n 1 6 a n 2 3 n ,a 0 5 ,a 1 2
假定特解为：c×3n ,代入递推关系。
c 3 n c 3 n 1 6 c 3 n 2 3 n
32c3c6c32
无解！对于 这种情况怎 么处理?
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
(2)划为高阶齐次递推关系，通过比较推测递 推关系的特解
an-ban-1=hmn, an-1-ban-2=hmn-1,
an-ban-1=hmn,
(1)
man-1-mban-2=hmn,
an-(b+m)an-1 +bman-2 =0 （2）
故导致二阶齐次递推关系，（1）式的解必然 是（2）式的解，但（2）式解不一定是（1） 式的解。
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
第2章 递推关系与母函数
2.1 递推关系 2.2 母函数(生成函数) 2.3 Fibonacci数列 2.4 优选法与Fibonacci序列的应用 2.5 母函数的性质 2.6 线性常系数齐次递推关系 2.7 关于常系数非齐次递推关系 2.8 整数的拆分 2.9 ferrers图像 2.10 拆分数估计 2.11 指数型母函数 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.15 递推关系解法的补充
设r1,r2,…,rs是线性常系数齐次递推关系
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k 0
的不同的特征根，并设hi是ri的重根 数，i=1,2,3,…,s。则
an (A0 A1n...Ah11nh11)r1n (B0 B1n...Bh21nh21)r2n ... (T0 T1n...Ths1nhs1)rsn
2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
特征方程 x2x6(x3)x(2)
ank13nk2(2)n4 3 04n
k1
k2
40 3
5
Βιβλιοθήκη Baidu
3k1 2k 2
160 3
3
k1
13
2 5
k2
76 15
a n 6 5 7 3 n 1 7 5 6 ( 2 )n 4 3 0 4 n 13
2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
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2.1 递推关系
Fibonacci递归算法:
int fibonacci(int n) {if (n=1||n=2)
return(1); else return(fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)); }
时间复杂性：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+1
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系