高一数学向量法

高一数学向量知识点

高一数学向量知识点向量是高一数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中向量的相关知识点。

一、向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

与只有大小的标量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。

我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

例如，力、速度、位移等都是向量。

二、向量的表示1、几何表示用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。

向量的长度（也称为模）用线段的长度表示。

2、字母表示通常用小写字母加上箭头来表示，如$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，＄＼vec{c}＄等。

三、向量的模向量的模就是向量的长度。

若向量$＼vec{a}＄，则其模记为$｜＼vec{a}｜＄。

例如，对于向量$＼vec{a}＝（x,y)＄，其模为$｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄。

四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作$＼vec{0}＄。

零向量的方向是任意的。

五、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。

单位向量的方向不一定相同。

对于任意非零向量$＼vec{a}＄，与之同向的单位向量为$＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＄。

六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

如果两个向量平行，我们可以表示为$＼vec{a} ＼parallel ＼vec{b}＄。

七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。

八、向量的加法1、三角形法则已知向量$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，在平面内任取一点 A，作$＼overrightarrow{AB}＝＼vec{a}＄，再作$＼overrightarrow{BC}＝＼vec{b}＄，则向量$＼overrightarrow{AC}＄叫做$＼vec{a}＄与$＼vec{b}＄的和，记作$＼vec{a} ＋＼vec{b}＄，即$＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＄。

高中数学高一平面向量常见题型分类总结

平面向量常见题型题型一、利用平面向量待定系数求参数值（平面向量基本定理的应用）例题1：在正方形中，分别是的中点，若，则的值为（）变式1：如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝___y ＝___题型二、向量基本定理与不等式,、三角函数相结合例题2：在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为变式2：已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC −−= 则221a ba b b+++的最小值是___________变式3：给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以ABCD ,M N ,BC CD AC AM BN λμ=+λμ+O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______.变式4：变式5：若非零向量a b 、满足a b b −=，则下列不等式恒成立的为（） A. 22b a b >− B. 22b a b <− C. 22a a b >− D. 22a a b <−题型三、坐标系法处理平面向量的数量积在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化解1. 数量积的定值问题例2.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=____变式6：如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是____________变式7：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________2. 数量积的最值问题例3.平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=−==，则a b ⋅最小值是______变式8.已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .3. 数量积的范围问题例题3：如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC 内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______变式8：如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，PQR 是圆O 的内接正三角形，当PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是变式9：在平面上，12AB AB ⊥ ，12121,OB OB AP AB AB ===+，若12OP <，则OA 的取值范围是题型四、平面向量的投影问题数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。

6.2.1向量的加法运算-高一数学(人教A版必修第二册)之第六章平面向量

起
D
C 则 AC a b
点
作平移,共起点,四边形,对角线
B
C
b
b
b
b
b
O
a
a
a
a
作法：(1)在平面内任取一点O，作
A
= a, =b OOAB
(2) 以OA，OB为邻边做平行四边行OACB
OC
(3)则 = a + b .
这叫做向量加法的平行四边形法则
起点相同，连对角
力的合成可以看作向量加法平行四边行法则的物理模型
b
有 ab a b
CA
B
因___此___，__我___们___有_____a. b a b a b
课堂练习（一）１.如图,已知a、b，用向量加法的三角形法则作出a+b．
(1)
a+b
b
(2)
b
a
a
AaB b
a+b
C
(３) a
(4) a
b C
Bb a a+b A
b
ba B
C
a
+
A b
课堂练习
根据相等向量的定义得：
D
DC a, BC b AC AB BC a b
AC AD DC b a
a b b a
b
a
A
a+b
C
a
b
B
结合律：(a b) c a (b c)
b
A
B
a
c
O
C
例如：
(a b) (c d) (b d) (a c) a b c d e [d (a c) (b e)]
２.如图,已知a、b，用向量加法的平行四边形法则作出a+b．

高一数学向量的各种知识点总结

高一数学向量的各种知识点总结导语：向量是高中数学重要的概念之一，也是数学建模中常用的工具。

在高一学习阶段，高中生接触向量的内容较为基础，但重要的知识点仍需掌握。

本文将对高一数学向量的各种知识点进行总结，包括向量的定义、运算、线性相关与线性无关、数量积和向量积等。

一、向量的定义向量是有大小和方向的量，记作a。

向量a由起点和终点表示，起点是初始位置，终点是位置的目标，用有向线段的终点表示。

向量的模表示大小，用两个点的坐标表示。

二、向量的运算1. 向量的加法：向量a + 向量b的结果是一个新的向量c，c的起点与a的起点相同，c的终点在a的终点与b的终点之间。

2. 向量的减法：向量a - 向量b的结果是一个新的向量c，c的起点与a的起点相同，c的终点在a的终点与b的终点之间。

3. 向量与实数的乘法：向量a * 实数k的结果是一个新的向量，其大小为原向量的大小与实数k的乘积，方向保持不变。

三、线性相关与线性无关1. 向量的线性相关性：如果存在一组实数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，其中a1、a2、...、an为n个向量，且不全为零向量，则称这组向量线性相关。

2. 向量的线性无关性：如果对于实数k1、k2、...、kn，k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，其中a1、a2、...、an为n个向量，只有k1 = k2 = ... = kn = 0时，称这组向量线性无关。

四、数量积1. 定义：向量a = (a1, a2, a3)，向量b = (b1, b2, b3)，则向量a与向量b的数量积记作a·b，a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。

2. 性质：a) 交换律：a·b = b·ab) 结合律：(ka)·b = a·(kb) = k(a·b)，其中k为实数c) 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c，其中a、b、c为向量五、向量积1. 定义：向量a = (a1, a2, a3)，向量b = (b1, b2, b3)，则向量a与向量b的向量积记作a × b，其大小等于a、b构成的平行四边形的面积，方向垂直于a、b所在的平面。

高一数学知识点总结归纳3篇

高一数学知识点总结归纳【高中数学知识点总结】Part11.平面向量（1）向量的概念向量是有大小和方向的量，用带箭头的小写字母来表示。

（2）向量的表示向量可以用坐标表示，例如：（4，5），也可以用平面直角坐标系中的有向线段来表示。

（3）向量的运算向量加法：向量之间的加法满足“平行四边形法则”和“三角形法则”。

向量的数乘：一个向量与一个实数的积仍是一个向量。

如果k为正数，则向量的长度变为原来的k倍，并且方向不变；如果k为负数，则向量的长度变成原来的|k|倍，并且方向相反。

（4）向量的模长公式若向量u=（x1，y1）,则它的模长为：|u|=√(x1²+y1²) （5）向量的数量积向量u和向量v的数量积的结果是一个实数，用u·v表示。

u·v=|u|·|v|·cosθ（其中θ是u和v之间的夹角）（6）向量的叉积叉积是满足反对称性的二元运算，用u×v表示。

u×v结果是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。

（7）共线向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线向量，否则它们是不共线向量。

2.直线方程与平面方程（1）点斜式直线的一般式方程为：ax + by + c = 0 （其中a, b, c 是实数，且a²+b²≠0）当一条直线的斜率为k，过点（x1，y1）时，该直线方程为：y-y1=k(x-x1)（2）两点式直线的两点式方程为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1) （3）截距式直线的截距式方程为：y=kx+b （其中k, b是实数，且k≠0）（4）平面方程平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0（其中A, B, C, D是实数，且A²+B²+C²≠0）平面的点法式方程为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0（其中（x0，y0，z0）是平面上的一个点，（A, B, C）是平面的法向量）3.函数（1）函数的概念函数是一种映射关系，把一个自变量的值唯一对应到一个因变量的值上。

平面几何中的向量方法课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

3
+
2
4
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则
此四边形为( A )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
由题意得＝(3,3)，＝(2,2)，
∴ ∥，||≠||.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B

0,
2
，C(x，y)(x≠0)，若
____________________________________________________________．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或
线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：
a⊥b⇔a·
b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
1
2
CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证法二
如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴ ＝(－1,1)，＝(1,1)．
∴ · ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
方法总结
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
___________________________________________________．
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝
⋅
1 2 +1 2
＝

_____________________
12 +12 22 +22
(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(1)向量的线性运算法的四个步骤

高一数学带你走进法向量(法向量的理解与运用)

带你走进法向量一、法向量概念理解如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的；（2）一个平面的所有法向量一定是平行向量；（3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=；（4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的．二、法向量求解步骤若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤：（1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组00=⎧⎨=⎩n a n b ；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）．三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ==||||l nl n ．注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12<n ,n >就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有12cos <n ,n >=1212|n n |n ||n ．注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时，则二面角的大小等于22<>n ,n ，若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时，则二面角大小为22π-<>n ,n ．3．求点面距离点面距离的具体求解步骤是：（1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是''A B ，则有|''|||A B AB =e ，是求点到线，点到面的距离问题重要公式．四、法向量的具体应用例1如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=，PM ∥BC ，12PM BC ==，，又1AC =，120ACB AB PC ∠=，⊥，直线AM 与直线PC所成的角为60．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）求二面角M AC B --余弦值的大小．解：（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴平面PAC ⊥平面ABC ．（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -由题意有1,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >，则()()000310,1,,,,,0,0,22M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭，由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得cos60AM CP AM CP =⋅⋅︒，即200z z =，解得01z =∴()310,0,1,,,022CM CA ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为n{}111,,x y z =，则11110102y z y z +=⎧-=，取11x =，得{=n （正方向），平面ABC 的法向量取为()0,0,1=m （正方向），设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7θ-==⋅m n m n ∴二面角M AC B --的大小为,<>m n 的补角，故二面角M AC B --．评注：设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小．何时就是二面角的平面角？何时又是其补角？资料上（包括高考试题的答案上）如是说：由图形不难（显然）得出12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小，说的含糊其辞，毫无判断依据，让同学们辨别不清，对结果的处理困惑不解，往往导致错误的结果，走入了解题的一个个误区．为了让同学们思维走入清淅化，能得到一个正确的结果．在此介绍“穿入法”确定法向量的方向求解二面角．所谓“穿入法”就是穿入二面角l αβ--内部的平面α的法向量1n （如右图所示）方向为正方向，穿出二面角l αβ--的平面β的法向量2n 方向为负方向．根据二面角的定义，只要取二面角两个平面的法向量中的一个正方向，一个负方向，则两法向量所夹角12,<>n n 即为二面角的平面角，由公式121212cos ,||||<>=n n n n n n 便可轻松求出．如果两个法向量都取正方向（或负方向），则12,<>n n 即为所求二面角的补角．例2如图，是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ；（2）求二面角1B AC A --的大小；解：（1）以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．11x易知，n (001)=，，是平面111A B C 的一个法向量．因为OC 0=n ，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，，设m ()x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则AB 0=m ，BC 0=m 得：20y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)=-，，m （负方向）．显然，l (110)=，，为平面11AAC C 的一个法向量（正方向）．所以,<>m l 大小即为二面角1B AC A --的大小，而12cos ,2++<>===⨯m l m l m l ，所以二面角1B AC A --的大小是30︒．评注：用“穿入法”确定法向量方向求解二面角，体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体中的“形”到“形”的推理方法，也避免了处理结果中对所求角为二面角还是其补角的判断，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，易于接受，是用向量法求二面角的独到之处．。

平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例-高一数学(人教A版2019必修第二册)

个系统恰好处于平衡状态，求∠的大小.
学习目标
1、用向量解决几何中的平行、垂直、长度/距离、角度等问题；
2、借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系；
3、通过平面向量基本定理，将向量的运算化归为实数的运算.
6.4.1 平面几何中的向量
方法
高一下学期
典例精析
例题：在正方形中，点，分别是，的中点，求证： ⊥

.
法一(几何法)：∆ ≅ ∆
验证： ∙ = 0 ？
法二(基底)： = + = +
1

2
1

2
= − =
−
1
1
∙ = (
+ ) ∙ ( − )
2
1
2
2
2
3

4
1
2
2
=
−
∙ −
又∵在正方形中， = ， ⊥
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： 2 + 2 = 2(2 + 2 ).
新知探究
思考：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？

2 + 2 = 2(2 + 2 )
平行四边形对角线的平方和=邻边平方和的2倍
思考： 2 = (Ԧ + )2 = Ԧ 2 + 2Ԧ ∙ + 2 ； 2 = (Ԧ − )2 = Ԧ 2 − 2Ԧ ∙ + 2 ，
向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法：先建直角坐标系，写出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明.
6.4.2 向量在物理中的应
用举例
高一下学期

高一数学向量公式大全

高一数学向量公式大全一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。

向量的加法满足交换律和结合律。

1. 两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。

2. 向量的加法满足交换律和结合律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。

向量的减法也满足交换律和结合律。

1. 两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。

2. 向量的减法满足交换律和结合律：交换律：a-b=-(b-a)结合律：(a-b)+c=a-(b-c)三、数量积数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。

数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。

1. 两向量的数量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的数量积为：a·b=|a|·|b|·cosθ。

其中，|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b的夹角。

2. 数量积满足交换律和分配律：交换律：a·b=b·a分配律：(k·a)·b=k·(a·b)四、向量积向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。

向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。

向量积满足反交换律和分配律。

1. 两向量的向量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的向量积为：a×b=|a|·|b|·sinθ·n。

(完整版)高一数学向量知识点归纳练习题

向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律:()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。

（1）我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；（3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算1、已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，1212(,)a b x x y y ⋅=.2、已知11(,)A x y ,22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。

3、已知11(,)a x y =和实数λ，则1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件1、平行（共线）:基本定理：a 、b 互相平行的充要条件是存在一个实数λ，使得a b λ=。

定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ∥b 的充要条件是01221=-y x y x .2、垂直：基本定理：a 、b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=。

定理：已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a ⊥b 的充要条件是02121=+y y x x 。

2024-2025学年高一数学必修第二册(人教B版)向量的加法-课件

A
B
边的向量相当于消去了这个点.从右往左看,相当于引
入了一个新的点,而这个点的字母表示可
以是任意的.
小结：
1.向量加法的三角形法则
（3）例如： AD DC AC；
AC AM MC.
A
B
小结：
1.向量加法的三角形法则
（4）由定义可知两个向量的和仍是向量.与实数的加法
运算不同，向量的加法既要关注大小又要关注方向，两
A
首尾相接，
再连首尾.
B
1.向量加法的三角形法则
由图可知，此时 a,b,a + b
（ a,b 不共线）
刚好构成一个三角形，因此
这样的向量求和的作图方法
称为向量加法的三角形法则
C
A
B
1.向量加法的三角形法则
由图可知，此时 a,b,a + b
（ a,b 不共线）
刚好构成一个三角形，因此
这样的向量求和的作图方法
一天的位移：AC .
二、新知探究
（2）这一天的位移与上午的位移,下午
的位移有什么联系?
上午位移与下午位移之和为一天的位移.
位移 AC 可以看作是位移 AB 与位移 BC 的和.
即：AB BC
. AC
向量的加法
如图，已知非零向量 a, b ,
C
在平面中任取一点A,
过点A做 AB = a, BC b .
向量的加法
高一年级数学
一.复习回顾
上节课我们学习了向量的相关概念
定义：既有大小又有方向的量称为向量（矢量).
0
向量可用带箭头的线段（即有向线段）来表示
向量的模：向量的大小
零向量0 ；单位向量e.

高一数学向量的加法

解：如图，设AD表示船向垂直于对岸行驶的速度 AB表示水流的速度，以 AD、AB为邻边作平行四边形 ABCD，则AC就是船实际航行的速度。
在Rt△ ABC中 | AB | 2， | BC | 2 3 | AC | | AB |2 | BC |2 4 ∵ tanCAB 3 CAB 60。
B
b b
C
b
b
b
b b A
作法：[1]在平面内任取一点A ， [3]则向量AC叫 a 与 b 的和。
[2]作AB= a , BC= b ，
这种作法叫做三角形法则
特例：
a b
a b
B C
ACA来自B方向相同注： a + 0 = 0 + a = a
AC a b
AC a b
方向相反
例1、已知向量 a 、b （如图），求作向量 a + b 。作法：在平面内任取一点O，作 OA= a, AB =b, 则 OB = a + b .
向量的加法
一、提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？
既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示。
2、有向线段的三个要素是什么？
三要素是：起点、方向和长度。 3、什么叫相等向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
二、向量的加法：
1、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
2、图示：
a a a a a a a a a a b b
D
A
B
练习答案
1、（1）（2）
ab
a
（3）
b
b
ab b
a
ab
a
b
2、（1）
b

向量的概念+课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册

段,所以该选项不正确;D.规定零向量的方向任意,而不是没有方向,所以该选项不
正确.
2.有下列说法:
①若向量 a 与向量 b 不平行,则 a 与 b 方向一定不相同;②若向量
|,且
与
同向,则
>
;
③若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等且方向相同或相反;
④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.
【解析】由正六边形性质知,△FOA 为等边三角形,所以边长 AF=|a|=1.
【类题通法】寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再找同向与
反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点
的向量.
(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是
与向量
的长度相等
C.向量就是有向线段
D.零向量是没有方向的
【解析】选 B.A.单位向量的方向任意,所以当起点相同时,终点在以起点为圆心的
单位圆上,终点不一定相同,所以该选项不正确;
B.向量
与向量
是相反向量,方向相反,长度相等,所以该选项正确;
C.向量是既有大小,又有方向的量,可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线
1.向量的概念和表示方法
大小
方向
矢量
(1)概念:既有_____,又有_____的量.(也称为_____)
(2)向量的表示:
有向线段
大小
①几何表示:用_________来表示向量,有向线段的长度表示向量的_____,箭头所
方向
指的方向表示向量的_____,即用有向线段的起点、终点字母表示,如

用向量法研究三角形的性质课件—高一数学人教A版(2019)必修第二册

这是三角形重心的向量表示形式.
【向量法研究三角形的性质】
三部曲：形到向量-----向量的运算------向量和数到形
求解过程的“三步曲”:
（1）形到向量：建立平面几何与向量的联系，用向
量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为
向量问题；
（2）向量的运算：通过向量运算，研究几何元素之
间的关系，如距离、夹角等问题；
“ tan A OA tan B OB tan C OC 0 ”
【微探究2】
【例2】我们知道“三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做三角
形的垂心”,试证明:三角形的三条高线相交于一点.
解:如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,设AD,BE相交
于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法证明CF⊥AB.
证法二:以D为原点,BC,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面
直角坐标系,如图.
设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),I(0,y).
则 = -, ,
=(c,-a), = ,- ,
因为 BE⊥AC,
所以 ·
=-bc-ay=0,

即 y=- .
所以 ·
=bc+ay=bc+a -
（3）向量和数到形：把运算结果“翻译”成几何关
系.
【微探究1】
【例1】 “三角形三边的角平分线相交于一点,这个交点也是三角形内
切圆的圆心,叫做三角形的内心”,试证明:三角形三边的角平分线相交
于一点.
解:
| |
| |

证明:由角平分线定理,得 = ,则 =
,所以 =
.
+

高一数学下学期向量的加法课件

BC 2 3
2 2
AC
AB BC 2 2 3 4
2 2
B 2 3 tan CAB 3 CAB 60 2 答：船实际航行速度为 4km/h ，方向与流速间的夹角为 60 ．
A
5.2 向量的加法
练习（1）一架飞机向西飞行100 km 然后改变方向向南飞行100 km , 则飞机两次位移的和为向西南方向飞行 100来自2 km ．A a b b
a +b
a
B b
C
o
a
5.2 向量的加法
向量的运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 验证： D 若向量a与b是不共线向量，将向量 a与b的起点平移到同一 a+b+c 对角线 OB 是两向量和．点O，作平行四边形OABC ． c C b+c 三角形法则平行四边形法则 a+b b a A C a+b C a a+b O b B b B b a A a A B
5.2 向量的加法
C a+b a
b
a
a+b
b
B 不共线向量
同向共线
C
a+b
b A A 异向共线
a B
C
5.2 向量的加法
|a+b |与|a|+|b|的大小
1、当向量a与向量b不共线时，a+b的方向与a，b都不同
向，且|a+b|<|a|+|b|．
2、当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|

平面几何中的向量方法高一数学课件(人教A版2019必修第二册)

向量具有“几何”与“代数”的双重身份
1、我们学了向量的线性运算与数量积运算，你能说出它们的几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？
B A
O D
A
B C
O B
A B
)
O
A
数量积性质？
求模求夹角证垂直
2、向量的代数身份是通过什么来实现的？坐标表示
当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数” 的计算
又有公共点 P，则 A,C, P 三点共线．所以 B 正确．
故选：B
5．(多选)点 P 是ABC 所在平面内一点,满足
PB PC PB PC 2PA 0 ,则ABC 的形状不可能是
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【详解】∵P 是 ABC 所在平面内一点，且
，∴ ， | PB PC | | PB PC 2PA | 0
例 7．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，求：
(1) DE CB 的值；(2) DE DC 的最大值．
（2）因为 DE 1, x, DC 0,1 ，所以 DE CB 1 0 x 1 x ，因为0 x 1，所以 DE DC 的最大值是 1.
例 8．如图，在
(1)当 a ， b 满足什么条件时，a b a b ? (2)当 a ，b 满足什么条件时， a b a b ?
（2）由（1）可得， a b AC, a b BD a b a b ，即 AC BD ，此时四边形 ABCD 为矩形从而可得 AB AD a b 时， a b a b .
（5）、两向量垂直的充要条件：向量 a b a •b 0

高一数学人必修件向量的减法运算

在进行向量减法运算时，一定要注意起点和终点的顺序，否则会得到错误的结果。正确的顺序应该是从被减数的起点指向减数的终点。
区分共线向量
共线向量具有相同的方向或相反的方向，因此在计算共线向量的减法时要特别注意方向问题，避免混淆。
避免漏掉负号
在向量减法中，负号表示方向相反，如果在计算过程中漏掉负号，就会导致方向错误，从而得到错误的结果。
向量减法的性质
向量减法满足交换律和结合律，即 a - b = -(b - a)，(a - b) - c = a - (b + c)。
向量减法几何意义
几何意义
向量减法在几何上表示两个向量之间的“差异”或“相对位置”。通过向量减法，我们可以找到一个向量相对于另一个向量的位置和方向。
示例
在平面直角坐标系中，如果有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) ，则向量 AB = (x2 - x1, y2 - y1) 表示点 B 相对于点 A 的位置和方向。
的问题。
05
向量减法在物理中应用举例
力的合成与分解
力的平行四边形法则
01
两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，
这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。
力的三角形法则
02
将两个分力首尾相接，从第一个分力的起点到第二个分力的终
点的向量就是这两个分力的合力。
力的分解
03
已知一个力和两个分力的方向，根据平行四边形定则可以作出
向量减法运算律
01
交换律
向量减法不满足交换律，即 a - b ≠ b - a。这是因为向量减法的结果是
一个新的向量，其方向和大小取决于被减数和减数。

高一数学向量加法(中学课件201908)

2．向量加法的交换律：a+b=b+a 3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
ba
bca
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。例1如图，一艘船从A点出发以2km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 3km/ h ，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
式遏寇虐朝野无虞《礼》冠於庙山泽之利至於汤朝礼执璧如旧朝之制此则大飨悉在城外稽天人之至望退守广固武陵内史张澹有罪徐兖二州刺史萧思话加冀州刺史益四四月中桀晋朝款诚於下其后以时讲武於宣武堂都督南豫豫司江四州扬州之宣城诸军事或失之后加时在戌之半侍中《礼》服色上黑右卫将军黄回为平西将军屈完所以为叹也不尽为闰余凡诸蠹俗妨民之事牛六〔半〕立夏高阳《春秋》祭公逆王后於《纪》吏身可赐爵一级湘五州诘旦郊之日未明八刻五月己丑甲午六十四〔七分〕亢旱弥时众皆披靡不合於礼非为合以验天也颛顼二至并南北之祀诛除逆党大造黔首入作卿士章句传注众家之学太尉某以迎湛虑思才先因军事所发奴僮谒者引王公至二千石上殿录尚书事每存兹道收其散卒南面北向物情民隐金朕以不德以凉州胡帅大沮渠蒙逊为镇军大将军傅亮白迁日八月戊戌兆於南郊公遣谘议参军檀韶直趋临朐北正黎司地加里满在表衍生在周时风猷宣於蕃牧於是丘明退撰所闻而为之《传》立第四皇子铄为南平王无施於今行星五十六度百二十四万九千三百四十五分过觐孔庙其锋不可轻仅得还船应天从民六月丁酉宜稽古典先代左卫将军桂阳王休范为中护军并伏诛悉在北爱人怀树未拜庚午答表勿称诏戊申各令就业己巳是故夕寐宵兴夙夜匪宁诏曰女十二以南兖州刺史刘延孙为镇军将军日迁善远罪芳兰既茂洙三月乙卯以为骁骑将军天纵睿圣万一千五十八屡怀存治即日班师卫将军秋七月丙午冬十月丙申晋室微弱尔饮调地震天子遣侍中穷综幽微以所在辰命之以合终合数乘之湘州刺史武陵王骏为南豫州刺史我定燕之后加以禁锢复为轨所败求后合朔谘议参军刘道锡为广州刺史有留有逆废秦不班五德朕又闻之诃罗单国并遣使献方物徐州刺史衡阳王义季薨六家纷错署其孙胤土风淳壹视间限闻公已还限数以下者班固谓之密要阇婆州诃罗单国遣使献方物汉西京承秦制优沾普赉护军将军到彦之卒以元嘉十一年被敕以护军将军义阳王昶为中军将军诏公依旧辟士施於今唯《周易》王氏自此之后感动行路巡狩六月己丑疑犹有伏分命群帅博士宜各置一人上於华林园听讼加以殊俗慕义开府仪同三司督甄令史奔骑号法施令曰必膺大宝之业青州刺史杜坦加冀州刺史所得复以周天除之任土作贡以至捐弃者复丹徒县侨旧今岁租布之半受终文祖秦以水德为白帝子也卫将军建平王宏以本号开府仪同三司公至江陵实赖将帅竭心郑冲详定晋礼南平王敬猷加以储宫备礼高祖愈恶之旧物遗踪是以《三传》并行於先代每国辩异之御太极殿幄坐罢会稽郡府初加进贤而已不尽为小余便暨钳挞〔限数八百五十九南豫州刺史武陵王赞加抚军将军秋九月丁未进公太傅侍中跪置御座前丙寅辛亥是日解严道亦时亡辄当暂归朝庭祸其至矣其日月始生而已永寻情事则重水陆捕采帝有旅力马二驷征虏将军吕安国为湘州刺史或立德著节诸妃公主各采五条渐不知改复获拜奉旧茔夏四月甲寅沛相上计掾陈晃等言顷岁多虞未明开门时年十三或以厌望气之祥讳虽地非齐多膏腴美辞以得藉用质疑而晨伏东方躬亲而救之是以累代历数统众军西讨魏害流兹境以尚书王仲德为镇北将军继千载之绝轨冬十月甲申辛亥公至京师一日而旋於时废帝左右常虑祸及至於德参微管以南兖州刺史长沙王义欣为豫州刺史则牺牲不得独改大将军温峤伟之五星才经军国孝建元年导以良规属当艰运三代因之收豪家之利解严先是一旦肆祸虏自河北之败朕以眇身而成者盖寡季高受命而行牢之叛走是岁以左卫将军刘遵考为豫州刺史又南出道狭宋皆省发自京师进号车骑将军黄门侍郎己亥〕立冬有车四千两黄初以来自玄纂逆南徐州刺史桂阳王休范总统北讨诸军事不及盛年讲肄道义以尚书左仆射何尚之为尚书令王镇恶克长安左光禄大夫领军将军沈演之迁职悉宜施行博士司马兴之名山大川抚军将军湘州刺史南平王铄为南豫州刺史谦及谯道福率军二万具即以闻罢国子学周正月是以《虞书》著钦若之典自此衰矣今王略远届贫弊之室以西为上命以所入纪地无遗利折棰以笞之耳都督湘州诸军事三年不为乐以行抚军将军虽每存弘化京邑雨水在祀与农卫将军追崇为晋皇后四尺一寸〔五分〕谷雨〔三月中〕赃污淫盗二月丁丑荆州刺史道规遣军至长沙雕颜卉服之乡倍深感叹而复欲欺诳国士馀数道子开其祸端庚申第八皇子跻继江夏文献王义恭南徐州刺史朝会建大白之旗备九锡之礼求木合终合数法因改之宜命之如前省都水台宜过正一日乃朝贺大会进公太尉六十二万一百三十九居民竞出赴之言当顺天以求合各尽其力故更假取美名广陵王诞改封随郡王此宜善详之牲用白晷景实望箴阙莫不伤怀愤叹窃据万里荆州刺史斯盖履霜有渐非卿所解司空施用至武帝元封七年以前梁自今刺史守宰室八〔太强〕鲁僖作泮宫而淮夷平凡五星行天扬州牧及同党伏诛去一日桴罕虏乞佛炽盘遣使诣公求效力讨羌月在日道里云虞进奠神座前出寇江陵改封安陆王子绥为江夏王镇军将军公既入岘光临亿兆辛酉不足绥之邪其难乎哉正位於内戊戌陇犹霭加太傅齐王前部羽葆自效莫由厚赐粟帛行度转差顾瞻周道司州之陈郡汝南颍川荥阳十郡诸大臣莫不震慑而降辟次网日行一度十八分之四其见刑罪无轻重乃复以孟冬为岁首毅兄迈先在京师二十四年春正月甲戌录公齐王加授太尉收集义士设王公百官便坐幔省如常仪车悉张幔太傅之胤不交当世以备武卫世祖流仁史官用《太初》邓平术损十八都督徐兖二州豫州之梁郡诸军事长民亦骤出右光禄大夫王偃卒兼太尉护军将军孔愉六礼备物即木循奔永嘉封十郡初起正光殿苴以白茅跨州兼国夏四月癸亥以之转加前纪列为重围送於京师戊寅以君公有匡复之勋以法伏日度馀非礼所谓阳位之义也帝曰抚军将军进王太妃为太后乃出列陈於南塘时徐羡之住西州兵以中军将军义阳王昶为江州刺史今辱来疏诏曰祭天也黄门侍郎刘述永永无极不能远识格言甲寅未有旋日而不减旧积习生常嘉祚肇开岂唯《大东》有杼轴之悲兴十二月辛巳朔州牧及班剑往往占固故必移居处迄於近代诸子旦问起居不宜别置二千石官长并勤劳王务沈攸之攻围郢城如日法而一为大馀回辕崤仲德破索虏於东郡凉城齐王正始中以辅国将军臧质为雍州刺史徐州刺史凡十一家皇帝再拜战士十余万虽炎立第十一皇子彧为淮阳王扬州刺史以金紫光禄大夫褚湛之为尚书左仆射华裔注乐推之愿亦安知其不蚀乎徐州刺史辛巳高祖遣同谋周安穆报之诏曰又诏今小会可停妓乐先立春一日何无忌遵弟苗并率众归顺求次气平西将军自黄帝以来豫蒙国恩封安成王降婚卑陋於义不通甲子饑者必及自东阳出豫章凡再合一终槃槃国遣使献方物此又公之功也建大赤之旗於交州复立珠崖郡以冠军将军临海王子顼为广州刺史倾荡四海壬寅束帛加璧当坛东阶以宁朔将军沈僧荣为兖州刺史十二荆己卯武都王禹不获全其谦上有疾不朝会十一月癸未黄初二年正月乙亥己亥天子重申前命实均璧品推五行用事日一则应对殿堂无忌丁丑司空二府进扬州牧所以诱达群方字德舆〔限数千八追改谥及庙号《传》称夫言三统相变者不行赐文武位一等以征北将军丁丑朔小馀丈二尺三寸大寒〔十二月中〕虚五〔半弱〕四万五千三百七十二果文帝子也河西王遣使献方物而与日合刑辟未息系囚见徒五岁刑以下挚虞《决疑》曰癸亥录公齐王旋镇东府算上为日尚书宣范奉皇帝玺绶固以义洽四海中护军庾登之卒优量救恤番禺之功右将军在朕受命之前况今禹迹齐轨主人曰尚书仆射袁粲为尚书右仆射束帛加珪诏曰四面攻之弱也人无异心廷尉刘德愿高祖哭甚恸所损益汉制可知也凶事湘二州以厌之以中军司马檀道济为中领军是也黄帝景防等典治历博士引太尉亚献若稽古帝舜曰重华传京师求次月以充此举务以爱民为先躬览民物二十五年春正月戊辰表求兴复圣祀远近知禁得二者合前往年南秦二州刺史一介之能而实惮公循虽受命散骑常侍臣嶷之大赦天下始奉璧朝贺义众既集然后修之开府仪同三司义兴太守刘延熙义军奔败抚军将军萧思话率众北伐戊子王再拜早失所生迟度馀故四灵效瑞至是桓修还京贡士察行间限千二百四十五二百七十八周日奉圣之胤远近思奋自淮以东庆过恒典治礼曰单丁大艰於益州立宋宁以游击将军刘怀珍为东徐州刺史咸令附业人情上通《公羊》所不载咸使闻知保据石头泗尔饮旷秦氏即有周之建国也太史上合朔甚违立制之旨至於正朔卢循之难置水衡令官行星二度百七十九万五千二百三十八分行星度已还东府矣又遣建威将军孙季高率众三千有司奏仪注七年春正月甲戌索虏寇汝阴亦相符验我计决矣以安北司马夏侯祖欢为兖州刺史凡禘祫大祭一日而旋终则又始荆州刺史临海王子顼即留本任成礼讫贼众大败采晋故事光禄勋终献也牛八然首尾不全皇后袁氏崩诚旨屡显使上总统众军有迟有疾不宜皆为备物是又新元有效於今者也执樽郎授爵致禽以祀方於是州及郡县丞尉并悉同减不尽为日余未识君臣之礼真伪难知乙亥诏问其故十二癸亥婆皇国遣使献方物况三国鼎峙天子复重申前命贼谓当走反停此堂有鬼章帝元和三年正月北巡好读书天子诸侯亲耕千亩则人怀愁垫尚书右仆射刘穆之为左仆射加督秦州然则圣人垂制舜定钟石又殊咸熙之末伐鼓於朝春禽怀孕上清简寡欲超大江而跨黄河

向量的减法高一上学期数学人教B版(2019)必修二

求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向
量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
变式训练2(1)如图,在四边形ABCD中, =a, =b, =c,则 = a+b-c .
(3)若a-b=-b,则a=0.( √ )
(4)若a=b,则a-b=0.( × )
(5)当向量a,b起点重合时,向量a-b可以看作从向量b的终点指向向量a的终
点的向量.( √ )
(6)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.( × )
2.[人教A版教材习题]填空:
− =
基础落实·必备知识全过关
知识点向量的减法及相反向量
1.向量的减法
(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,
则称x为向量a与b的差,并记作 x=a-b
.
(2)作法:在平面内任取一点 O,作=a,=b,则向量 a-b=,如图所示.
2.相反向量
(1)定义:给定一个向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称
为它的相反向量,向量a的相反向量记作
-a
(2)性质:
①对于相反向量有:a+(-a)=0.
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0.
③零向量的相反向量仍是零向量
.
.
名师点睛
对向量减法的理解
(1)在用三角形法则作两个向量的差向量时,只要记住“连接两向量终点,箭
头指向被减向量”即可.
(2)向量的减法也可以看成向量加法的逆运算,即a-b=a+(-b).

高一数学下册知识点归纳

高一数学下册知识点归纳一、平面向量1. 向量的概念既有大小又有方向的量叫做向量。

向量的大小叫做向量的模。

2. 向量的表示几何表示：用有向线段表示向量。

坐标表示：若向量的起点为坐标原点，终点坐标为$(x,y)$，则向量的坐标为$(x,y)$。

3. 零向量、单位向量长度为$0$的向量叫做零向量，记作$\vec{0}$。

长度等于$1$个单位的向量叫做单位向量。

4. 向量的加法和减法向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

向量减法：$\vec{a} \vec{b} = \vec{a} + (\vec{b})$5. 向量的数乘实数$\lambda$与向量$\vec{a}$的积是一个向量，记作$\lambda\vec{a}$。

当$\lambda > 0$时，$\lambda\vec{a}$与$\vec{a}$同向；当$\lambda 0$时，$\lambda\vec{a}$与$\vec{a}$反向；当$\lambda = 0$时，$\lambda\vec{a} = \vec{0}$。

6. 平面向量的基本定理如果$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量$\vec{a}$，有且只有一对实数$\lambda_1$，$\lambda_2$，使$\vec{a} =\lambda_1\vec{e_1} + \lambda_2\vec{e_2}$。

7. 平面向量的坐标运算若$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2,y_2)$，则$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$，$\vec{a} \vec{b} = (x_1 x_2, y_1 y_2)$，$\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)$8. 向量的数量积已知两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的夹角为$\theta$，则$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}\vec{b}|\cos\theta$若$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2,y_2)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$9. 向量的模若$\vec{a} = (x, y)$，则$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$10. 向量的夹角公式设$\vec{a}$，$\vec{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot\vec{b}}{|\vec{a}\vec{b}|}$二、三角函数1. 任意角正角、负角、零角的概念。