电磁场理论知识点总结

电磁场与电磁波总结

第1章 场论初步

一、矢量代数

A •

B =AB cos

A B ⨯=AB e AB sin

A •(

B

C ) = B •(C

A ) = C •(A

B )

A

(B

C ) = B (A •C ) – C •(A •B )

二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系

矢量线元 x y z =++l e e e d x y z

矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz

单位矢量的关系 ⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系

矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元 dV = d d d z 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e z

z z ρϕϕρρϕ

3. 球坐标系

矢量线元 d l = e r d r + e r d e r sin d

矢量面元 d S = e r r 2sin d d 体积元 dv = r 2sin d r d d

单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕ

θϕϕθ

cos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢

⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

ϕϕϕϕϕ

sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

θϕθϕθϕ

θθϕθϕθϕ

ϕ

sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦θϕϕθθθθ

三、矢量场的散度和旋度

1. 通量与散度=⋅⎰A S S

d Φ

0lim

∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A S

v d div v

2. 环流量与旋度=⋅⎰A l Ñl

d Γ max

n 0

rot =lim

∆→⋅∆⎰A l

A e Ñl

S d S

3. 计算公式

∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A y x z

A A A x y z

11()∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A z

A A A z

ϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕ

θ

θθθθϕ

x y z ∂

∂∂

∇⨯=

∂∂∂e e e A x y z x y z A A A ∂∂∂

∇⨯=∂∂∂e e e A z z z A A A ρϕ

ρ

ϕρρϕρ sin sin ∂∂∂

∇⨯=∂∂∂e e e A r r z

r r r A r A r A ρ

ϕ

θθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理

⋅=∇⋅⎰⎰A S A ÑS

V

d dV ⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S Ñl

S

d d

四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度

00()()lim

∆→-∂=∂∆l P u M u M u l

l

cos cos cos ∂∂∂∂=

++∂∂∂∂P u

u u u

l

x y z

αβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂=

=+∂∂∂∂e e e +e n x y z u u u u u n x y z

2. 计算公式

∂∂∂∇=++∂∂∂e e e x

y z u u u

u x y z

1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z

ρ

ϕρρϕ

11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r

u u u

u r r r z

θϕ

θθ 五、无散场与无旋场

1. 无散场 ()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A

2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u =∇F u 六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系

2222

2222222

2222

2

2

2

2

2

222

22222222

2∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=

++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z z

y

y

y

x x x z z z x y z u u u

u A A A x y z

A A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z

，，

2. 圆柱坐标系

222

222

2222

2222

111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝

⎭A e e e z z u u u

u z A A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕ

ρρϕρρϕ

3. 球坐标系

22

222222

111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=+

+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u u

u r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2

22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 2

2cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理

如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为

()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ

其中 1

()()4''∇⋅'=

'-⎰F r r r r V dV φπ

1

()

()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π

第2章 电磁学基本规律

一、麦克斯韦方程组