高一数学教案充要条件
高一数学必修一 教案 1.4.2 充要条件
1．4.2 充要条件学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．知识点充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( √)2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √)3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．( √)4．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．( √)一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.解(1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒p n，可得p1⇒p n；充要条件也有传递性．跟踪训练1 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．答案充要解析因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．二、充要条件的证明例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.延伸探究求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根， 所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝c a<0， 所以ac <0.充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝c a<0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根． 反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 证明 充分性：若a 2－b 2＝1成立，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1， 所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件． 必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1成立， 则a 4－(b 2＋1)2＝0， 即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0.因为a ，b 为实数，所以a 2＋b 2＋1≠0， 所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1.综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知p ：x <－2或x >3，q ：4x ＋m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－m 4， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以BA ，所以－m4≤－2，即m ≥8.所以m 的范围为{m |m ≥8}．1．“x >0”是“x ≠0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 2．已知x ∈R ，则“1x>1”是“x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 “1x>1”⇔0<x <1，∴“1x>1”是“x <1”的充分不必要条件．3．设条件甲为0<x<5；条件乙为|x|<5，则条件甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析甲对应集合A＝{x|0<x<5}，乙对应集合B＝{x|－5<x<5}，且A B，故选A.4．若命题p：两直线平行，命题q：内错角相等，则p是q的________条件．答案充要5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的_____________；(2)“x<5”是“x<3”的_____________．答案(1)充要条件(2)必要不充分条件解析(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．1．知识清单：(1)充要条件概念的理解．(2)充要条件的证明．(3)根据条件求参数范围．2．方法归纳：等价转化为集合间的关系．3．常见误区：条件和结论辨别不清．1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析因为a，b∈R，(a－b)a2<0，可得a<b，由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 C4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的( )C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 ab ＝0推不出a 2＋b 2＝0，由a 2＋b 2＝0可得a ＝b ＝0，推出ab ＝0，故选B. 6．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的____________条件． 答案 既不充分又不必要解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分又不必要条件．7．若“x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________． 答案 －1解析 “x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则由“x <a ”可以推出“x ≤－1，或x ≥1”，但由“x ≤－1，或x ≥1”推不出“x <a ”，所以a ≤－1， 所以实数a 的最大值为－1. 8．m ＝1是函数y ＝245m m x －＋为二次函数的________条件．答案 充分不必要解析 当m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝1是y ＝245m m x－＋为二次函数的充分不必要条件．9．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0. 证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况． 当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．同理，当y ＝0，或x ＝0且y ＝0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |， ∴当xy ＝0时，等式成立，当xy >0时，即x >0，y >0或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ， ∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )， |x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立． ②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ， 得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12.11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，由集合的包含关系可知选A.12．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件 C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的既不充分又不必要条件 答案 B解析 由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C ⇏x ∈A . 所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．13．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________. 答案 －2解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.14．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的________条件． 答案 充要解析 ∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫5－b k －4，0，由交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴可知⎩⎪⎨⎪⎧b －5<0，5－bk －4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <5，k >4.15．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________. 答案 3或4解析 x ＝4±16－4m 2＝2±4－m ，因为x 是整数，即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．16．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解 当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1.∵f (0)＝1>0，∴若a >0，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0， 方程恒有两异号实数根．综上所述，a ≤1为所求．。
高一数学 充要条件
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的
（Ａ ）条件
A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
练习4、
1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2.（1）若p q,则p是q的什么条件？必要条件 （2）若q p,则p是q的什么条件？ 充分条件 （3）若p q,则p是q的什么条件？ 必要条件
3：填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又 不必要。
1）sinA>sinB是A>B的_既__不_充__分_又__不必要 条件。
2）在ΔABC中，sinA>sinB是 A>B的__充__要_条__件_条件。
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
注:一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ
当且仅当A B时,甲为乙的充分条件; 当且仅当B A时,甲为乙的必要条件; 当且仅当A B时,甲为乙的充要条件.
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
1）若AB且BA，则甲是乙的 充分非必要条件
2）若A B且B A，则甲是乙的 必要非充分条件
【解题回顾】 一是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零，二是只求必要条 件忽略验证充分条件.即以所求的必要条件代替充要条件.
回顾总结：
1、条件的判断方法 定义法 集合法 等价法（逆否命题）
2、图形分析法（网）
３、注意几种方法的灵活使用： 定义法、集合法、逆否命题法
４、判断的技巧 ①向定语看齐：顺向为充（原命题真） 逆向为必（逆命题为真）
②等价性：逆否为真即为充， 否命为真即为必。
高中高一数学上册《充分条件必要条件》教案、教学设计
3.小组合作：各小组选择一个实际问题，分析其中的充分必要条件，并撰写一份分析报告，报告内容应包括问题背景、分析过程、结论及解题方法。
4.拓展阅读：阅读与充分条件和必要条件相关的数学故事或数学家传记，了解充分必要条件在数学发展史上的重要作用，下节课与同学们分享你的阅读心得。
（二）教学设想
1.采用情境教学法，引入生活中的实例，让学生在具体情境中感受充分条件和必要条件的概念。例如，通过分析“下雨”和“地面湿润”之间的关系，引导学生理解充分必要条件的内涵。
2.利用问题驱动法，设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望。在教学过程中，教师可以设置一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握充分必要条件的判断和应用。
（二）过程与方法
1.掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思考方法，提高逻辑思维能力。
2.学会运用逻辑推理，分析问题中的因果关系，培养解决问题的能力。
3.学会与同伴合作，倾听他人意见，提高沟通与协作能力。
4.能够运用数学语言准确表达自己的思考，提高数学表达能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情。
6.培养学生的自主学习能力，鼓励学生在课后进行拓展学习。教师可以推荐相关资料和习题，让学生在课后进行自我巩固和提升。
7.关注学生的个体差异，实施差异化教学。针对不同学生的学习需求，教师可以设置不同难度的题目，使每个学生都能在课堂上得到有效的提升。
8.融入数学文化，提高学生的数学素养。在教学过程中，教师可以适时介绍充分必要条件在数学发展史上的地位和作用，激发学生对数学的兴趣。
4.学生在合作学习方面，可能存在沟通不畅、分工不明确的问题。教师需引导学生学会倾听、表达和协作，使学生在合作中共同进步。
高一数学必修一 教案 1.4 充分条件与必要条件
1．4 充分条件与必要条件1．4.1 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．知识点充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？答案不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等．预习小测自我检验1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．答案必要2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．答案充分3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．答案必要解析∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件．4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．答案充分一、充分条件的判断例1 (1)下列命题中，p是q的充分条件的是________．①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．答案③解析①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件．②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．(2)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．答案充分解析由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4，∴是充分条件．反思感悟充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件．答案充分解析 x >2⇒x 2>4，故x >2是x 2>4的充分条件． 二、必要条件的判断例2 在以下各题中，分析p 与q 的关系： (1)p ：x >2且y >3，q ：x ＋y >5；(2)p ：一个四边形的四个角都相等，q ：四边形是正方形． 解 (1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件．反思感悟 (1)判断p 是q 的什么条件，主要判断若p 成立时，能否推出q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出p 成立；若p ⇒q 为真，则p 是q 的充分条件，若q ⇒p 为真，则p 是q 的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件． 跟踪训练2 分析下列各项中p 与q 的关系． (1)p ：α为锐角，q ：α＝45°. (2)p ：(x ＋1)(x －2)＝0，q ：x ＋1＝0.解 (1)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． (2)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0.延伸探究1．将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.2．将例题中的条件“q ：实数x 满足－2≤x ≤3”改为“q ：实数x 满足－3≤x ≤0”其他条件不变，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，其中a <0，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}．因为p 是q 的充分条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－3，a ≤0，a <0⇒－1≤a <0.所以a 的取值范围是－1≤a <0.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．1．若p 是q 的充分条件，则q 是p 的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件答案 B解析因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．2．下列命题中，p是q的充分条件的是( )A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b答案 A解析根据充分条件的概念逐一判断．3．“同位角相等”是“两直线平行”的( )A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分又不必要条件答案 C4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．答案a≤1解析因为x>1⇒x>a，所以a≤1.5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．答案必要充分解析由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．1．知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念．(2)充分性、必要性的判断．(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． (4)充分条件与必要条件的应用． 2．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．1．使x >3成立的一个充分条件是( ) A ．x >4 B ．x >0 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 2．使x >1成立的一个必要条件是( ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >1⇒x >0，其他选项均不可由x >1推出，故选A. 3．下列p 是q 的必要条件的是( ) A ．p ：a ＝1，q ：|a |＝1 B ．p ：－1<a <1，q ：a <1 C ．p ：a <b ，q ：a <b ＋1 D ．p ：a >b ，q ：a >b ＋1 答案 D解析 要满足p 是q 的必要条件，即q ⇒p ，只有q ：a >b ＋1⇒q ：a －b >1⇒p ：a >b ，故选D. 4．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2答案 A解析 B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件．5．下列命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．p ：a 是无理数，q ：a 2是无理数B ．p ：四边形为等腰梯形，q ：四边形对角线相等C ．p ：x >0，q ：x ≥1D ．p ：a >b ，q ：ac 2>bc 2答案 B6．下列说法不正确的是________．(只填序号) ①“x >5”是“x >4”的充分条件；②“xy ＝0”是“x ＝0且y ＝0”的充分条件； ③“－2<x <2”是“x <2”的充分条件． 答案 ②解析 ②中由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则②不正确；①③正确．7．条件p ：5－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是__________． 答案 {a |a ≤5}解析 p ：x >5，若p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的子集，所以a ≤5.8．下列式子：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中能使1a <1b成立的充分条件有______．(只填序号)答案 ①②④解析 当a <0<b 时，1a <0<1b；当b <a <0时，1a <1b<0；当b <0<a 时，1b <0<1a；当0<b <a 时，0<1a <1b，所以能使1a <1b成立的充分条件有①②④.9．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件： (1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a <b ，q ：a b<1.解 在(1)中，由大角对大边，且A >B 知BC >AC ，反之也正确，所以p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件；在(2)中，若a ＝3，则(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0不一定a ＝3，所以p 是q 的充分条件但不是必要条件；在(3)中，当a ＝－2，b ＝－1时，a b ＝2>1；当a ＝2，b ＝－1时，a b＝－2<1，所以p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．10．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件？ 解 (1)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件，则只要⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 即只需－m2≤－1，所以m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件，则只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－m2， 这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件．11．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是( )A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件答案 B解析“a＝b”⇒“a－b＝0”⇒“(a－b)c＝0”⇒“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．12．已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )A．m≥2 B．m≤2C．m>2 D．－2<m<2答案 A解析因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.13．若A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为_______________．答案{a|a≤－3，或a≥3}解析因为A是B的充分条件，所以A⊆B，又A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}．因此a＋2≤－1或a≥3，所以实数a的取值范围是{a|a≤－3，或a≥3}．14．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．答案{m|0<m<2}解析 由题意，设集合A ＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{x |<－m ＋1或x >m ＋1}， 因为条件p 是条件q 的充分不必要条件，即集合A 是集合B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1>－1，m ＋1≤3，解得m <2，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <2.15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案 A解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙， 如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．16．若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，则p 是q 的什么条件？解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇏q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a<2,0<b<1，即－2<a<0,0<b<1，故q⇒p.所以p是q的必要条件，但不是充分条件．。
1.4.2充要条件教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
四、学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“充要条件在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
1.教学重点举例
（1）讲解充要条件的定义时，可以通过以下例子进行说明：
-如果一个数是偶数，那么这个数一定能被2整除（充分性）。
-如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数（必要性）。
（2）判断和证明充要条件的方法，可以参考以下例子：
-判断：如果a²+b²=c²，那么a、b、c构成直角三角形的三边（勾股定理的逆定理）。
-问题：一个长方形的长是宽的两倍，求证：这个长方形的面积是宽度的四倍。
-分析：设长方形的长为l，宽为w，根据题意，l=2w。将问题转化为数学模型：证明l²=4w²。
教学资源准备
1.教材：
-确保每位学生都有《数学人教A版（2019）必修第一册》教材，以便于学生跟随课堂教学内容进行学习。
-准备与1.4.2节“充要条件”相关的内容讲义，包括定义、定理、例题和练习题，以便学生预习和复习。
（2）判断和证明充要条件的方法。教师应着重讲解如何利用逻辑推理来判断和证明充要条件，包括直接证明、反证法等。
（3）充要条件在实际问题中的应用。通过具体实例，让学生学会将充要条件应用于解题，提高问题解决能力。
2.教学难点
（1）充分必要条件的区分。学生对“充分”和“必要”这两个词容易混淆，难以准确区分。教师需要通过具体例子，如“一个人是学生”与“一个人在学校”之间的关系，来帮助学生理解。
122充分条件和必要条件教学设计-2024-2025学年高一上学期数学(2019)
(2)下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？
①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
②p：A⊆B，q：A∩B=A；
③p：a>b，q：ac>bc.
反思感悟充分、必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立.
(3)p：A∩B=∅，q：A与B之一为空集；
(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除.
解 (1)充要条件；(2)必要而不充分条件；(3)必要而不充分条件；(4)充分而不必要条件.
教师分析讲解，归纳方法。
学生完成教师点评。
教师分析讲解，归纳方法。
学生完成教师点评。
掌握充分条件、必要条件的判断方法。
掌握充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的判断方法。
教学过程
教 学 内 容
师生活动
设计意图
达标检测
评价反馈
1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(B)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.“1<x<2”是“x≤2”的(A)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.使x>3成立的一个充分条件是(A)
二、充要条件
问题3下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
高考教案-《充分条件与必要条件》教学设计
《充分条件与必要条件》教学设计一、教材分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的学习特别是数学推理的学习打下基础。
在新教材中，在“充要条件”这节内容前，安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。
二、学情分析：新教材在这一节中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”（注意：新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际的．由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。
三、教学目标设计：（一）知识目标：1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。
2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。
3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
（二）能力目标：1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。
2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。
3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。
（三）情感目标：1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。
2、通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点。
3、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。
四、教学重点：充分条件,必要条件和充要条件三个概念教学重点：充要条件五、教学结构设计：数学知识来源于生活实际，生活本身又是一个巨大的数学课堂，我在教学过程中注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性，给数学找到生活的原型。
高一数学充要条件
高一数学充要条件高一数学是学生从初中数学过渡到高中数学的重要阶段，掌握好高一数学的充要条件对于学生的学习和发展至关重要。
本文将探讨高一数学充要条件的相关内容。
一、数学思维能力的培养是高一数学充要条件之一。
高一数学的学习要求学生具备良好的数学思维能力，包括抽象思维、逻辑思维、推理思维等。
数学思维能力的培养可以通过解决数学问题、进行数学证明等方式进行。
在高一数学中，学生需要具备独立思考和解决问题的能力，这是高一数学学习的充要条件之一。
二、基础知识的掌握是高一数学充要条件之二。
高一数学是在初中数学的基础上进一步深化和拓展的阶段，因此，学生需要牢固掌握初中数学的基础知识，包括数与代数、平面几何、立体几何、函数与方程等方面的知识。
只有具备了扎实的基础知识，学生才能够更好地理解和掌握高一数学的内容。
三、数学方法的灵活运用是高一数学充要条件之三。
在高一数学中，学生需要学会灵活运用各种数学方法解决问题。
不同的问题可能需要不同的方法和思路来解决，学生需要具备选择合适的方法解决问题的能力。
灵活运用数学方法需要学生对数学知识有深入的理解和掌握，同时还需要学生具备一定的数学思维能力。
四、数学模型的建立和应用是高一数学充要条件之四。
高一数学强调数学与实际问题的联系，学生需要学会将实际问题转化为数学模型，并运用数学方法进行求解。
数学模型的建立和应用需要学生具备一定的实际问题分析和抽象建模的能力，同时还需要学生对数学知识有较深入的理解和掌握。
五、思维能力的培养是高一数学充要条件之五。
高一数学学习要求学生具备较强的思维能力，包括逻辑思维、抽象思维、创造思维等。
思维能力的培养可以通过解决数学问题、进行数学证明等方式进行。
高一数学的学习过程中，学生需要不断锻炼自己的思维能力，培养自己的数学思维方式和解决问题的能力。
六、合作能力的培养是高一数学充要条件之六。
高一数学学习不仅要求学生具备独立思考和解决问题的能力，还要求学生具备与他人合作的能力。
1.4充分条件与必要条件教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
题目：如果一个人是学生，当且仅当他有学生证。判断“一个人是学生”是否是“他有学生证”的充要条件。
解答：是充要条件。因为如果一个人是学生，那么他一定有学生证；反之，如果一个人有学生证，那么他一定是学生，所以“一个人是学生”是“他有学生证”的充要条件。
4.题型四：应用充分条件与必要条件解决问题
2.数学抽象：学生能够从具体实例中抽象出充分条件和必要条件的概念，把握数学对象之间的关系，培养数学抽象素养，加深对数学概念本质的理解。
3.数学建模：学生能够运用充分条件和必要条件解决实际问题，建立数学模型，将现实问题转化为数学问题，并通过数学方法求解，提高数学建模素养。
重点难点及解决办法
重点：
1.理解充分条件和必要条件的定义。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学抽象和数学建模三个方面。通过学习充分条件与必要条件，旨在培养学生的逻辑推理能力，提升学生的数学抽象水平，并强化学生的数学建模素养。
1.逻辑推理：学生能够理解充分条件和必要条件的定义，运用逻辑推理方法判断命题中的充分条件和必要条件，提高分析问题和解决问题的逻辑思维能力。
3.学生能够结合实际问题，运用充分条件和必要条件建立数学模型，解决生活和学习中的问题。
4.在小组讨论中，学生能够积极参与，与组员共同探讨问题，提出有建设性的意见和解决方案。
5.在课堂展示环节，学生能够清晰、准确地表达自己的观点，倾听他人的意见，并进行有效沟通。
6.学生能够认识到充分条件和必要条件在数学和其他学科领域的重要性，激发进一步学习的兴趣。
3.充分条件与必要条件案例分析（20分钟）
目标：通过具体案例，让学生深入了解充分条件与必要条件的特性和应用。
高中数学充要条件的教案
高中数学充要条件的教案
教学内容：充要条件在数学中的应用
教学目标：
1. 了解充要条件的概念及其在数学中的应用
2. 能够正确运用充要条件解题
3. 培养学生逻辑思维和推理能力
教学重点和难点：
重点：充要条件的概念和应用
难点：能够准确理解充要条件，并将其运用到实际问题中
教学准备：
1. 教师准备充要条件的概念讲解及相关例题
2. 准备教学用具、课件等辅助教学工具
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入充要条件概念，通过生活中的例子引发学生对充要条件的思考。
二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解充要条件的定义和特点
2. 介绍充要条件在数学中的应用及相关定理
三、例题分析（20分钟）
通过一些具体的例题，让学生理解充要条件的运用方法，并引导他们进行讨论和分析。
四、练习训练（15分钟）
布置一些练习题目，让学生独立完成并相互交流讨论，并及时纠正错误。
五、总结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调充要条件在数学中的重要性，并鼓励学生加强实践训练。
六、作业布置
布置相关练习题目，并要求学生认真完成并及时交卷。
教学心得：
本节课通过实例讲解、分析解题方法等多种途径，让学生更容易理解和掌握充要条件的概念和应用方法。
通过丰富的练习和讨论，学生逐渐提高了解题的能力和逻辑推理能力。
希望学生能够在今后的学习中，善于灵活运用充要条件解决问题，提高数学学习的深度和广度。
充要条件教案
充要条件教案教案主题：充要条件时间：1小时班级：高中数学班学生年级：高一教学目标：1. 理解充要条件的概念；2. 掌握判断充要条件的方法；3. 能够灵活运用充要条件解决问题。
教学内容：1. 充要条件的定义；2. 判断充要条件的方法；3. 充要条件的应用。
教学步骤：第一步：导入（10分钟）1. 教师向学生提问：“你们知道什么是充要条件吗？”2. 结合学生回答，教师介绍充要条件的概念与重要性。
第二步：讲解（20分钟）1. 教师通过示意图和实例，详细解释充要条件的定义。
2. 教师向学生提出几个简单的问题，引导学生思考如何判断充要条件。
3. 教师介绍几种判断充要条件的方法，如逆否命题、充分条件等。
第三步：练习（20分钟）1. 教师出示若干个充要条件的题目，让学生在小组内进行讨论，并给出解答。
2. 教师逐个解答学生提出的问题，并对学生答案进行评价和指导。
3. 老师根据学生的讨论情况，给予及时的指导和辅导。
第四步：巩固（10分钟）1. 教师出示几个需要通过充要条件进行求解的实际问题，让学生思考如何运用充要条件解决问题。
2. 学生可结合所学知识进行讨论，找到合理的解题思路，并完成问题求解。
3. 老师对学生的解答进行评价和指导，帮助学生理解充要条件的应用。
第五步：总结（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，重点强调充要条件的基本概念与判断方法。
2. 教师鼓励学生将所学知识应用到实际生活中，提高解决问题的能力。
教学反思：本节课通过引导学生思考、讨论、解答问题等方式，使学生逐步掌握了充要条件的基本概念与判断方法，并通过练习和实例细化了充要条件的应用。
教学过程中，学生积极参与，思维活跃，对充要条件的理解和应用逐渐提高。
但教学中也发现部分学生理解上有一定难度，需要后续课程进一步加强。
因此，下一步可以通过更加具体的例题和实际问题的讲解和讨论，帮助学生更好地理解与运用充要条件。
同时，在提问的时候也需要尽量给予学生更多启发式的问题，帮助学生主动思考，提高解题能力。
141充分条件与必要条件(教学设计)-2021-2022学年高一数学(人教A版2019)
《充分条件与必要条件》教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第四节《充分条件与必要条件》，以下是“常用逻辑用语”单元的课时安排：第四节第五节课时内容充分条件与必要条件全称量词与存在量词所在位置教材第17页教材第26页新教材内容分析通过列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件与结论的认识，教材主要以“若p则q”形式的命题为载体，通过考察命题中的条件p与结论q之间的关系，学习充分条件、必要条件、充要条件这三个逻辑用语。
全称量词和存在量词是数学中经常使用的量词，教材通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，并鼓励学生使用新的数学符号，使学生习惯于运用数学符号语言表达一些数学内容。
核心素养培养通过观察实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件，体现了逻辑推理的核心素养。
通过数学实例，使学生理解全称量词、存在量词的意义，体现了数学抽象的核心素养；会判定命题的真假，会写出命题的否定，体现了逻辑推理的核心素养。
教学主线命题的真假判断学生在初中阶段已经接触过命题，对命题的真假判断有了一定的基础，这对学习本节内容有一定的帮助，但是学生的知识储备不够丰富，逻辑思维能力训练不够，在学习过程中会有困难，所以在教学时应多举一些实例引导学生去分析，使之与学生的知识结构同步完善发展。
1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，培养数学抽象的核心素养；2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系，培养数学抽象的核心素养；3.会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件，强化逻辑推理的核心素养。
重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；难点：1.必要条件的理解2.充分条件、必要条件的判断方法（一）新知导入1. 创设情境，生成问题从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。
高中数学充分与必要教案
高中数学充分与必要教案
主题：充分与必要条件
教学目标：
1. 了解充分与必要条件的概念；
2. 能够应用充分与必要条件解决实际问题；
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 充分条件的定义和应用；
2. 必要条件的定义和应用；
3. 充分与必要条件的关系。
教学难点：
1. 理解充分与必要条件的概念；
2. 能够灵活运用充分与必要条件解决问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引入充分与必要条件的概念，让学生了解这两个概念在数学中的重要性，并给出生活中的例子进行解释。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解充分条件的定义和应用，指导学生如何找到充分条件；
2. 讲解必要条件的定义和应用，指导学生如何找到必要条件；
3. 讲解充分与必要条件的关系，指导学生如何应用这两个概念解决问题。
三、练习（20分钟）
1. 完成课本上的练习题，巩固充分与必要条件的应用；
2. 让学生分组进行练习，提高他们解决问题的能力。
四、总结（10分钟）
让学生总结本节课所学内容，强调充分与必要条件在解决问题中的重要性，并展示典型的应用例子。
五、作业（5分钟）
作业：完成课后练习题，巩固所学内容。
教学后记：
通过本节课的教学，学生应该能够了解充分与必要条件的概念，掌握灵活运用这两个概念解决问题的能力。
希望学生能够在日常生活和学习中应用这些知识，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
高一数学上册《充分条件必要条件》优秀教学案例
3.互动交流：鼓励小组之间进行成果分享和经验交流，提高学生的表达能力和团队合作能力。
（四）反思与评价
反思与评价策略如下：
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，总结经验教训，提高学习效果。
2.相互评价：组织学生进行同伴评价，学会欣赏他人的优点，发现自身的不足。
4.反思与评价的持续跟进
本案例注重学生的反思与评价，通过自我反思、同伴评价和教师评价等多种方式，帮助学生全面了解自己的学习状况。这种持续跟进的反思与评价机制，有助于提高学生的学习效果，培养学生的自主学习能力。
5.知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的全面发展
本案例在教学内容和过程的设计中，充分关注了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的全面发展。学生在掌握充分条件和必要条件相关知识的同时，还培养了严密的逻辑思维、问题解决能力和团队合作精神，实现了数学素养的全面提升。
2.问题驱动的教学模式
本案例采用问题驱动的教学模式，引导学生主动思考、探究充分条件和必要条件的内涵。在问题的引导下，学生不仅能够理解和掌握基本概念，还能培养逻辑推理、问题解决等数学思维能力。
3.小组合作与互动交流的有效融合
案例中，小组合作和互动交流的策略得到了有效运用。学生在小组讨论中相互启发、碰撞思维，培养团队协作能力和口头表达能力。同时，通过与其他小组的交流，学生能够拓宽视野，吸收不同的解题思路和方法。
2.分析充分条件和必要条件的联系与区别，帮助学生准确把握两者之间的关系。
3.通过讲解典型例题，引导学生运用充分条件和必要条件进行逻辑推理，学会如何分析问题、解决问题。
4.结合数学工具，如集合、函数等，讲解充分条件和必要条件在实际问题中的应用。
1.4.2充要条件教学设计(新教材 新高考高中数学)高一上学期数学(人教A版2019必修第一册)
标题：?充要条件?教学设计〔一〕教学内容1.充要条件的意义，以及充要条件的判断和证明；2.数学定义与充要条件的关系。
〔二〕教材分析1.教材来源本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章第4节?充分条件和必要条件?第2课时。
2.地位与作用常用逻辑用语是数学语言的重要组成局部，是数学表达和交流工具，是逻辑思维的根本语言，充分条件、必要条件和充要条件是数学中常用的逻辑用语。
在数学知识体系中，数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成局部，它们都可以用逻辑用语表达。
每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件；每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。
运用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，可以提高交流的严谨性和准确性。
充要条件是中学数学中重要的数学概念之一，它主要讨论了命题之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下根底。
〔三〕学情分析1.认知根底：学生已经掌握了由判断“假设p，那么q〞命题的真假来判断p是q的充分条件，必要条件。
学生会判断一些简单命题的真假。
2.认知障碍：充要条件的证明，容易混淆条件和结论。
〔四〕教学目标知识与技能：1.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.初步使用常用逻辑用语进行数学表达，论证和交流，提高逻辑推理素养。
能力目标：利用条件的推导，了解学习一个命题要顺推也要倒推，即了解学习一个新事物不仅会正向思维，也要逆向思维。
过程与方法在观察、思考、解题过程中，培养学生思维的严密性品质；在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维能力，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑根底.情感、态度与价值观激发学生的学习热情和学生的求知欲，培养严谨的学习态度和积极进取的精神。
〔五〕教学重难点：教学重点：理解充要条件的概念；学会对命题进行充要性的判断；教学难点：充分性与必要性的推导顺序及充要条件的证明.〔六〕教学思路与方法问题引领——小组讨论——教师标准总结。
1.4.2充要条件(教学教学设计)高一数学必修第一册同步高效课堂(人教A版2019)
- 首先介绍充要条件的定义，通过对比生活中的例子，让学生理解“充分条件”和“必要条件”的区别。
- 接着讲解充要条件的判断方法，如逆否命题、真假命题等，通过具体例题演示如何应用这些方法。
- 在讲解过程中，强调充要条件在数学推理中的应用，并引导学生体会逻辑推理的严谨性。
3. 巩固练习（10分钟）
这与已知条件矛盾，因为根据已知，当x>2时，x^2必大于4。
因此，如果x^2≤4，则x必然≤2。
例题2：
判断以下命题的真假，并说明理由：
如果一个人是学生，那么他是年轻人。
解答：
这个命题是一个充分条件，但不是必要条件。
因为一个人可以是学生，也可以不是年轻人，如成年学生。
所以，这个命题为假。
例题3：
如果a+b=0，求证：a和b互为相反数。
最后，我对作业评价进行了反思。我发现认真批改和及时反馈对学生学习效果的提高有很大帮助。但在实际操作中，我还需要提高作业批改的效率，确保每个学生都能得到针对性的指导。
典型例题讲解
例题1：
已知：如果x>2，则x^2>4。
求证：如果x^2≤4，则x≤2。
解答：
假设x^2≤4成立，但x>2不成立，即x≤2。
1.4.2 充要条件（教学教学设计）高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）
主备人
备课成员
教材分析
《1.4.2 充要条件》是人教A版2019高一数学必修第一册的内容，此章节旨在帮助学生理解命题中的充分必要条件，掌握充要条件的判定方法，并运用逻辑推理能力解决实际问题。教材通过引入生活实例，引导学生探索“如果……那么……”的逻辑结构，强调逻辑推理在数学中的应用，与学生的实际生活紧密相关，既体现了数学学科的基础性，又凸显了实用性和思考性。本节内容是学生建立严谨逻辑思维体系的重要组成部分，为后续学习数学证明及各类数学问题解决奠定基础。
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高一数学教案充要条件
教材：充要条件(1)
目的：通过实例要求学生明白得充分条件、必要条件、充要条件的意义，并能够初步判定给定的两个命题之间的关系。
过程：
一、复习：写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判定它们的真假：
1) 假设x>0那么x2>0；2) 假设两个三角形全等，那么两三角形的面积相等；
3) 等腰三角形两底角相等；4) 假设x2=y2那么x=y。
〔解答略〕
二、给出推断符号，紧接着给出充分条件、必要条件、充要条件的意义
1．由上例一：由x>0，通过推理可得出x2>0
记作：x>0 ⇒x2>0 表示x>0是x2>0的充分条件
即：只要x>0成立x2>0就一定成立x>0包蕴着x2>0；
同样表示：x2>0是x>0的必要条件。
一样：假设p那么q, 记作p⇒q其中p是q的充分条件, q是p的必要条件
明显：x2>0 ⇒x>0 我们讲x2>0不是x>0的充分条件
x>0也不是x2>0的必要条件
由上例二：两个三角形全等⇒两个三角形面积相等
明显, 逆命题两个三角形面积相等⇒两个三角形全等
∴我们讲：两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件
两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件由上例三：三角形为等腰三角形⇔三角形两底角相等
我们讲三角形为等腰三角形是三角形两底角相等的充分且必要条件，这种既充分又必要条件，称为充要条件。
由上例四：明显x2=y2⇐x=y
x2=y2是x=y的必要不充分条件；x=y是x2=y2的充分不必要条件。
三、小结：要判定两个命题之间的关系，关键是用什么样的推断符号把两个
命题联结起来。
四、例一：〔课本P34例一〕
例二：〔课本P35-36 例二〕
练习P35 、P36
五、作业：P36-37 习题1.8。