第二章命题逻辑等值演算
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案
第二章作业评分要求:1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)3. 总得分在采分点1处正确设置.一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次):说明证1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q)解逻辑方程法设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论:⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0)()(1)1(q p q p p 或者 ⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式. 等值演算法(p ∧q)∨(p ∧¬q)⇔ p ∧(q ∨¬q)∧对∨的分配率⇔ p ∧1 排中律⇔ p 同一律 真值表法2. (p→q)∧(p→r)⇔p→(q∧r)等值演算法(p→q)∧(p→r)⇔ (¬p∨q)∧(¬p∨r)蕴含等值式⇔¬p∨(q∧r)析取对合取的分配律⇔ p→(q∧r)蕴含等值式3. ¬(p↔q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)等值演算法¬(p↔q)⇔¬( (p→q)∧(q→p) )等价等值式⇔¬( (¬p∨q)∧(¬q∨p) )蕴含等值式⇔¬( (¬p∧¬q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)德摩根律4. (p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)等值演算法(p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式.等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得.二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次):1.2.3.4.1. (¬p→q)→(¬q∨p)解(¬p→q)→(¬q∨p)⇔ (p∨q)→(¬q∨p)蕴含等值式⇔ (¬p∧¬q)∨(¬q∨p)蕴含等值式, 德摩根律⇔ (¬p∧¬q)∨¬q ∨ p结合律⇔ p∨¬q吸收律, 交换律⇔ M1因此, 该式的主析取范式为m0∨m2∨m32. (¬p→q)∧(q∧r)解逻辑方程法设 (¬p→q)∧(q∧r) =1, 则¬p→q=1且 q∧r=1,解得q=1, r=1, p=0 或者 q=1, r=1, p=1, 从而所求主析取范式为 m3∨m7, 主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6等值演算法(¬p→q)∧(q∧r)(p q)(q r) 蕴含等值式(p q r)(q r) 对分配律, 幂等律(p q r) (p q r)(p q r) 同一律, 矛盾律, 对分配律m7 m3主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M63. (p↔q)→r解逻辑方程法设 (p↔q)→r =0, 解得 p=q=1, r=0 或者 p=q=0, r=0, 从而所求主合取范式为M0∧M6, 主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7等值演算法(p↔q)→r((p q)(q p))r 等价等值式((p q)(q p))r 蕴含等值式(p q)(q p)r 德摩根律, 蕴含等值式的否定(参见PPT)(p q r)(q p r) 对分配律, 矛盾律, 同一律M0 M6主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m74. (p→q)∧(q→r)解等值演算法(p→q)∧(q→r)(p q)(q r) 蕴含等值式(p q)(p r)(q r) 对分配律, 矛盾律, 同一律(p q r)(p q r) (p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m1 m0 m3 m7主合取范式为M2 M4 M5 M6.解逻辑方程法设 (p q) (q r) = 1, 则p q =1 且 q r =1.前者解得: p=0, q=0; 或者 p=0, q=1; 或者 p=1, q=1.后者解得: q=0, r=0; 或者 q=0, r=1; 或者 q=1, r=1.综上可得成真赋值为 000, 001, 011, 111, 从而主析取范式为m0m1m3m7, 主合取范式为M2 M4 M5 M6.真值表法公式 (p q) (q r) 真值表如下:p q r(p q) (qr)00010011010001111000101011001111013724 M5 M6.。
命题逻辑-2
课堂练习
证明: (P → Q) (R → Q) = (P ∨ R) → Q
等值演算旳应用-1
利用基本旳等价关系,化简下列电路图
P
P QR
PR
Q
R
P QS
PS
S
T
& ≥1
≥1 &
&
解:上述电路图可描述为: (1)((P∧Q∧R)∨(P∧Q∧S))∧((P∧R)∨(P∧S)) (2)((P∧Q∧R)∨(P∨Q∨S))∧(P∧S∧T)
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
7
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
同一律
A0A. A1A
排中律
AA1
矛盾律
AA0
蕴涵等值式
ABAB
等价等值式
AB(AB)(BA)
假言易位
ABBA
等价否定等值式 ABAB
归谬论
(AB)(AB) A
尤其提醒:必须牢记这16组等值式,这是继续学习旳基础
11
命题与集合之间旳关系
能够将命题公式G,H了解为某总体论域上全部使命題為真 旳解釋旳集合,而要求G∧H为两集合旳公共部分(交集), G∨H为两集合旳全部(并集),┐G为总体论域中G旳补集, 将命题中旳真值“1”了解为集合中旳总体论域(全集), 将命题中旳真值“0”了解为集合中旳空集,则有:
第2章 命题逻辑(1)
析取
符号
读作“析取”
定义2.3:设p,q为两命题,复合命题“p或q” 称为p与q的析取式,
记作p Ú q ,符号 称为析取联结词。并规定p q为假当且仅当p与q
同时为假。
真值表:
PQ 00
P Q
0
例子 小李是学数学或者计算
01
1
10
1
11
1
机科学pq p:小李是学数学 q:小李是学计算机 科学
2.1.1 命题与联结词
例3:判断下列命题是否为复合命题
(1)5能被2整除。
原子命题
(2)2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
(3)4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
(4)李明与王华是同学。
原子命题
(5)蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
(6)3不是偶数。
复合命题
(7)林芳学过英语或日语。
复合命题
合取
例:将下列命题符号化。
(1)吴颖既用功又聪明。
p q
(2)吴颖不仅用功而且聪明。
p q
(3)吴颖虽然聪明,但不用功。
p q
(4)张辉与王丽都是三好学生。
r s
(5)张辉与王丽是同学。
t
p:吴颖用功。
q:吴颖聪明。
r:张辉是三好学生。
s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
注意:若“和”、“与”连接的是主语成分,则该陈述句为简单命题。
FT
T
F
F
补充:翻译语句
因为语言(包括一切人类语言)常有二义性,把 句子译成逻辑表达式可以消除歧义
把语言翻译成由命题变量和逻辑联接词组成的表 达式
离散数学第2章 命题逻辑等值演算
例2.6
CHAPTER TWO
例2.6 在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音 对他是哪个省市的人进行了判断: 甲说王教授不是苏州人,是上海人。
乙说王教授不是上海人,是苏州人。 丙说王教授不是上海人,也不是杭州人。 听完3人的判断,王教授笑着说,他们3人中有一人说得全对, 有一人说对了一半,有一人说得全不对。试用逻辑演算法分析 王教授到底是哪里的人? 解: 设命题 p, q, r分别表示 : 王教授是苏州、上海、杭州人。 则p, q, r中必有一个真命题,两个假命题。要通过逻辑演算将 真命题找出来。 设: 甲的判断为: A1= ┐p∧q; 乙的判断为:A2= p∧┐q; 丙的 判断为:A3= ┐q∧r。
等值式模式
CHAPTER TWO
当命题公式中变项较多时,用上述方法判断两个公式是否 等值计算量很大。为此,人们将一组经检验为正确的等值式作 为等值式模式,通过公式间的等值演算来判断两公式是否等值。 常用的等值式模式如下:
1.双重否定律:A⇔ ┐(┐A) 2.幂等律:A⇔A∨A, A⇔A∧A
3.交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A 4.结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C), (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) 5.分配律:A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r (蕴含等值式,置换规则) ⇔ (p∧┐q)∨r (德摩根律,置换规则)
⇔(p∨r)∧(┐q∨r)(分配律,置换规则) 为简便起见, 以后凡用到置换规则时, 均不必标出。
6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 10
离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤: 证 求公式A的范式的步骤: (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 (蕴涵等值式) 蕴涵等值式) (交换律) 交换律)
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ (分配律) 分配律) (排中律) 排中律) (同一律) 同一律) ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一
离散数学 第2章 命题逻辑
6
程序解法:
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题: E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。
第二章命题逻辑的等值和推理演算
2.1.1 等值的定义
给定两个命题公式A和B, 而P1…Pn是出现于A和B中的 所有命题变项, 那么公式A和B共有2n个解释, 若对其 中的任一解释, 公式A和B的真值都相等, 就称A和B是 等值的(或等价的)。记作A = B或AB 显然,可以根据真值表来判明任何两个公式是否是等 值的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1: 证明(P∧P)∨Q = Q
第二章 命题逻辑的等值和推理演算
推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容 推理形式是由前提和结论经蕴涵词联结而成的 推理过程是从前提出发,根据所规定的规则来推 导出结论的过程 重言式是重要的逻辑规律,正确的推理形式、等 值式都是重言式
本章对命题等值和推理演算进行讨论,是以语义 的观点进行的非形式的描述,不仅直观且容易理 解,也便于实际问题的逻辑描述和推理。 严格的形式化的讨论见第三章所建立的公理系统。
2.1 等值定理
若把初等数学里的+、-、×、÷等运算符看作是数 与数之间的联结词,那么由这些联结词所表达的代数 式之间,可建立许多等值式如下: x2-y2 = (x+y)(x-y) (x+y)2 = x2+2xy+y2 sin2x+cos2x = 1 ……
在命题逻辑里也同样可建立一些重要的 等值式
证明: 画出(P∧P)∨Q与Q的真值表可看出等式 是成立的。
例2: 证明P∨P = Q∨Q
证明: 画出P∨P, Q∨Q的真值表, 可看出它 们是等值的, 而且它们都是重言式。
说明
从例1、2还可说明, 两个公式等值并不一定要 求它们一定含有相同的命题变项
若仅在等式一端的公式里有变项P出现, 那么等式 两端的公式其真值均与P无关。 例1中公式(P∧P)∨Q与Q的真值都同P无关 例2中P∨P, Q∨Q都是重言式, 它们的真值也都 与P、Q无关。
02命题逻辑等值演算
(同一律)
1∨┐p
(排中律)
1
(零律)
例2.5 解答
(2) ┐(p→(p∨q))∧r ┐(┐p∨p∨q)∧r (p∧┐p∧┐q)∧r 0∧r 0
(3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q) p∧(┐((p∨q)∧┐p)∨q) p∧(┐((p∧┐p)∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐(0∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐q∨p∨q) p∧1 p
A=(p→q)→r (┐p∨q)→r
(蕴涵等值式)
┐(┐p∨q)∨r
(蕴涵等值式)
(p∧┐q)∨r
(德摩根律)
B=p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r)
(蕴涵等值式)
┐p∨┐q∨r
(结合律)
000,010是A旳成假赋值,而它们是B旳成真赋值。
例题
例题2.5 用等值演算判断下列公式旳类型: (1)(p→q)∧p→q (2)(p→(p∨q))∧r (3)p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
(蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
例题
例2.4 证明:(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值
解答 措施一、真值表法。
措施二、观察法。易知,010是(p→q)→r旳成假赋值,而010 是p→(q→r)旳成真赋值,所以原不等值式成立。
措施三、经过等值演算化成轻易观察真值旳情况,再进行判断。
例题
例题2.2 判断下列各组公式是否等值 (1)p→(q→r)与(p∧q)→r (2)(p→q)→r与(p∧q)→r
解答
等值 不等值
基本等值式
1.双重否定律
A ┐┐A
2.幂等律
A A∨A, A A∧A
3.互换律
A∨B B∨A, A∧B B∧A
命题逻辑等值演算
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式:由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式:由极大项构成的合取范式。
3、主范式:主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式,再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解: q(pq)
q(pq) (蕴涵等值式)
q(pq)
(德摩根律)
p(qq)
(交换律,结合律)
p0
(矛盾律)
0
(零律)
由最后一步可知,该式为矛盾式.
(pq)r
(否定号内移——德摩根律)
这一步已为析取范式(两个简单合取式构成)
继续: (pq)r
(pr)(qr) (对分配律)
得到合取范式(由两个简单析取式构成)。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项(或它的
否定式)均以文字的形式出现且仅出现一次,称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
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第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式:设A,B是命题公式,且AB为重言式,则称A与B是等值的,记作AB。
说明 :1)符号不是联结符,只是一种记法。
2)若A与B的真值表相同(真值表法),则AB;否则A
B。
3)判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用
第二章命题逻辑等值演算
下面的定理是本节最重要的定理之一。 定理2.3 (范式存在定理) 任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与 合取范式。 证明: 首先,我们观察到在范式中不出现联结 词→与。由蕴涵等值式与等价等值式可知 A→B ┐A∨B AB (┐A∨B)∧(A∨┐B) (2.17) 因而在等值的条件下,可消去任何公式 中的联结词→和。
每种数字标准形都能提供很多信息, 如代数式的因式分解可判断代数式的根情 况。逻辑公式在等值演算下也有标准形___ 范式,范式有两种:析取范式和合取范式。
一、简单合取式和简单析取式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。 仅有有限个文字构成的析取式称作简单析取 式。仅有有限个文字构成的合取式称作简单 合取式。 定理2.1 (1)一个简单析取式是重言式 当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否 定式。 (2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当 它同时含有某个命题变项及它的否定式。
例2.3 用等值演算法验证等值式: (p∨q)→r (p→r)∧(q→r) 证 可以从左边开始演算,也可以从右边开 始演算。现在从右边开始演算。 (p→r)∧(q→r) (┐p∨r)∧(┐q∨r) (蕴涵等值式) (┐p∧┐q)∨r (分配律) ┐(p∨q)∨r (德摩根律) (p∨q)→r (蕴涵等值式) 所以,原等值式成立。读者亦可从左边 开始演算验证之。
7. 吸收律 A∨(A∧B) A,A∧(A∨B) A (2.7) 8. 零律 A∨11, A∧00 (2.8) 9. 同一律 A∨0A, A∧1A (2.9) 10. 排中律 A∨┐A1 (2.10) 11. 矛盾律 A∧┐A0 (2.11)
12. 蕴涵等值式 A→B ┐A∨B 13. 等价等值式 (AB) (A→B)∧(B→A) 14. 假言易位 A→B┐B→┐A 15. 等价否定等值式 AB ┐A ┐B 16. 归谬论 (A→B)∧(A→┐B) ┐A
离散数学第二章命题逻辑等值演算
再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
(0,0)与(1,1)为公式的成真赋值。 (0,1)与(1,0)为公式的成假赋值
命题公式的分类(根据公式在赋值下的真值情况进行分类) 1)若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2)若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如:┐Q∧(P→Q) → ┐P
4
分析1:若要得出:当设 A为真,B为
假的情况不会出现,
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明:设前件为真
7
分析2: 还可以从设 B为假,推出A
为真的情况不会出现(A为假),
9
证明: 设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
((P→Q)∧( Q→R)) →(P→R)
不同真值表的公式 1)当命题变元确定后,通过五个连接词及其命题变元可以构成 无数个不 同表现形式的命题公式。 问题:这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同? 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
(┐p ∨ q)∧(┐q∨┐p∨r)∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式.
2、性质:
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0
第2章 命题逻辑的等值演算
如果将真值1,0 看做是数,则每一个解释对应一 个n位二进制数。 假设使极小项m取1值的解释对应的二进制数为i, 今后将m记为mi。
例:
对p,q,r而言,pqr是极小项 解释{p,q,r}使该极小项取1值,解释{p,q, r} 对应的二进制数是2 (010) 于是pqr记为m2
例:
(p(qr))s (p(qr))s p(qr)s p(qr)s …………….
式)
(ps)(qr) (psq)(psr)
( 析取范
…… (合取范式)
主范式
定义2. 4 设p1,…,pn是n个不同原子,一个简单合取式如果 恰好包含所有这n个原子或其否定,且其排列顺序与 p1,…,pn的顺序一致,则称此简单合取式为关于p1,…,pn的 一个极小项。 显然,共有2n个不同的极小项。 例如: 对原子 p,q,r 而言, pqr,pqr,pqr 都是 极小项,但是,p,pq不是极小项, 对原子p,q而言,pq是极小项。
例
判断公式 (pq)(qr)(rp)是否永假? 解: (pq)(qr)(rp) (pq)(qr)(rp) ((pq)(qq)(pr)(qr))(rp) (pqr)(qqr)(prr)(q rr)(pqp)(qqp)(prp) (qrp) 故公式(pq)(qr)(rp)不是永假的。
命题公式和真值表的关系
从0来列写
B (…) ∧ (…)
由1列写的方式进行转化: B (…)∨ (…) B (…) ∧ (…) (…) 写成析取式,表示一种 B 值为假的情况。如 p=1,q=0 时为假,
(…) 写成p ∧q, (…)写成 p ∨ q
1值取p形式
定理
对于任意公式G,存在唯一一个与G等值的主析取 范式。
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等值演算的用途: (1) 验证等值式
例2.3 用等值演算法验证等值式: (p∨q)→r (p→r)∧(q→r)
证: 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算。 现在从右边开始演算。
(p→r)∧(q→r) ( ┐p∨ r)∧(┐q∨ r) (┐p ∧ ┐q ) ∨ r ┐(p ∨q ) ∨ r (p∨q)→r
┐┐A, ┐(A∧B), ┐(A∨B)
对其利用双重否定律和德摩根律,可得
┐┐A A, ┐(A∧B) ┐A∨┐B,
┐(A∨B) ┐A∧┐B
(第2步)
再次,在析取范式中不出现如下形式的公式: A∧(B∨C)
在合取范式中不出现如下形式的公式: A∨(B∧C)
利用分配律,可得 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) (第3步)
第二章 命题逻辑等值演算
2.1 等值式 设公式A,B共同含有n个命题变项,可能A或B有哑元, 若A与B有相同的真值表,则说明在2n个赋值的每个 赋值下,A与B的真值都相同。于是等价式A B应为 重言式。如何判断哪些公式具有相同的真值?
定义2.1 设A,B式两个命题公式,若A,B构成的等 价式A B为重言式,则称A与B是等值的,记 作A B. ( 是元语言符号)
如:p∨┐p,p∨┐p∨r都是重言式 , ┐p∨q,┐p∨┐q∨r都不是重言式。
定义2.3 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。 (2)由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。 (3)析取范式与合取范式统称为范式。
设Ai(i=1,2,…,s)为简单合取式,A=A1∨A2∨…∨As为析取范式。 如:A1=p∧┐q,A2=┐q∧┐r,A3=p 则由A1,A2,A3构造的析取范式为 A=A1∨A2∨A3=(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p 设Ai(i=1,2,…,s)为简单析取式,A=A1∧A2∧…∧As为合取范式
由第1、2、3步,可将任一公式化成与之等值的析取范 式或合取范式。
据此定理,求范式可使用如下步骤: 1.消去联结词→ , 2.否定号的消去(利用双重否定律)或内移
(利用德摩根律)。 3.利用分配律:利用∧对∨的分配律求析取范
式,∨对∧的分配律求合取范式。
例2.7 求公式 (p→q) r 的析取范式与合取范式:
解 设命题 p:王教授是苏州人。 q:壬教授是上海人。 r:王教授是杭州人。
p, q, r 中必有一个真命题,两个假命题,要通过逻辑演算 将真命题找出来。 设
每种数字标准形都能提供很多信息,如代数式的 因式分解可判断代数式的根情况。逻辑公式在等 值演算下也有标准形--范式 (公式的规范化)
观察一下极大项与极小项的关系?
定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn形成的极 小项和极大项,则 ┐mi Mi ,┐Mi mi
2)求析取范式
求析取范式与求合取范式的前两步是相同的,只是在利用分配 律时有所不同。因而可以用(1)中前四步的结果,接着进行∧ 对∨分配律演算。
(p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨ (r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r) (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
例1.7中 公式 p→q 和 (┐p∨q)∧((p∧r)→p) 的真值表相同,所以它们是等值的。 即: p→q (┐p∨q)∧((p∧r)→p)
判断等值式有如下方法: 1.真值表 2.等值演算 3.范式
例2.1 判断下面两个公式是否等值: ┐(p∨q)与┐p∧┐q
从表中可知它是重言式,即 ┐(p∨q) (┐p∧┐q)
(1(┐q ┐p)) q (┐q ┐p) q (┐q q ) ┐p 1 ┐p 1
永真式
(2) ┐(p (pq) ) r
┐(┐p pq ) r
(p ┐ p ┐ q ) r
0 r
0
矛盾式
(3) p (((p q ) ┐p)q) p (┐((p q ) ┐ p) q) p (┐((p ┐ p) (q ┐ p) ) q) p (┐(0 (q ┐ p) ) q) p (┐q p q) p 1 p
定理2.1 (1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个
命题变项及它的否定式。 (2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某
个命题变项及它的否定式。
证明: 设Ai是含n个文字的简单析取式,若Ai中既含有某个命 题变项pj,又含有它的否定式┐pj,由交换律、排中律和零律 可知,Ai为重言式。反之,若Ai为重言式,则它必同时含某个 命题变项及它的否定式,否则,若将Ai中的不带否定号的命 题变项都取0,带否定号的命题变项都取1,此赋值为Ai的成 假赋值,这与Ai是重言式相矛盾。
这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式 的代入实例。
置换规则 设Φ(A)是含公式A的命题公式,Φ(B) 是用公式B置换了Φ(A)中所有的A后得到的命题 公式,若BA,则Φ(B) Φ(A).
例如:(p→q)→r (┐p∨q)→r (蕴含等值式、置换规则)
A
B
┐(┐p∨q)∨r (蕴含等值式、置换规则)
同样,取A1=p∨q∨r,A2=┐p∨┐q,A3=r,则由A1,A2,A3组成的 合取范式为 A=A1∧A2∧A3=(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r
注意: ┐p∧q∧r 既是一个简单合取式构成的析取范式,又是由 三个简单析取式构成的合取范式。 同样如 p∨┐q∨r
范式有如下性质: 定理2.2 (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式。 (2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式。
定理2.3 (范式存在定理)任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
证明 首先,我们观察到在范式中不出现联结词→与 。由 蕴涵等值式与等价等值式可知
A→B ┐A∨B A B (┐A∨B)∧(A∨┐B) (第1步) 因而在等值的条件下,可消去任何公式中的联结词→和
其次,在范式中不出现如下形式的公式:置换规则)
(p∨r)∧(┐q∨r) (分配律、置换规则)
公式之间的等值关系具有 •自反性 A A •对称性 若AB,则 B A •传递性 若AB,B C ,则 A C 所以上述演算中得到的公式彼此之间都是等值的。
在演算的每一步都用到了置换规则,因而在 以下的演算中,置换规则均不标出。
B= p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r) ┐p∨┐q∨r
容易观察到, 000,010是A 的成假赋值, 而它们是B的 成真赋值。
(2) 将命题公式化简及判断公式类型
例2.5 用等值演算法判断下列公式的类型。
(1)(pq)p q (┐pq) p q ┐((┐p q) p) q ( ┐(┐p q) ┐ p) q ( (p ┐ q) ┐ p) q ((p ┐p)(┐q ┐p))q
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。
如:p、┐p、p∨┐q∨r等是简单析取式 p、┐p、 p∧q∧┐r 等是简单合取式
注:一个文字既是简单析取式,又是简单合取式。
为方便起见,有时用A1,A2,…,As表示s个简单析取式 或s个简单合取式。
可以先用真值表验证一组基本的又是重要的重言式, 以它们为基础进行公式之间的演算,来判断公式之间 的是否等值。
根据已知的等值式推演出另外一些等值式的过程, 称为等值演算。
16组重要的等值式:
1. 双重否定律 A ┐┐A 2. 幂等律 A A∨A , A A∧A
3. 交换律
A∨B B∨A , A∧B B∧A
一般情况下,不能用等值演算法直接验证两个公 式不等值。
例2.4 证明:(p→q)→r p→(q→r)
证: 方法一:真值表法。
方法二:观察法。 易知,010是(p→q)→r的成假赋值,而010是p→(q→r)的成 真赋值,所以原不等值式成立。
方法三:设A=(p→q)→r, B=p→(q→r)
A= (p→q)→r (┐p∨q)→r ┐(┐p∨q)∨r (p∧┐q)∨r
16. 归谬论
(A→B)∧(A→┐B) ┐A
由于A,B,C可以代表任意的公式,称这样的等值式为 等值式模式,每个等值式模式都给出了无穷多个同类 型的具体的等值式。
例如,在蕴涵等值式中,取A=p,B=q时, 得等值式 p→q ┐ p∨q 当取A=p∨q∨r,B=p∧q时, 得等值式 (p∨q∨r)→(p∧q) ┐(p∨q∨r)∨(p∧q)
极小项是简单合取式,反之呢?
n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。(极大项)
每个极小项都有且仅有一个成真赋值。若成真赋值所 对应的二进制数转换为十进制数i,就将所对应极小
项记作mi.类似地,每个极大项只有一个成假赋值, 将其对应的十进制数i做极大项的角标,记作Mi。
p,q形成的极小项与极大 项
p,q,r形成的极小项与极大项
解: 用真值表法判断┐(p∨q) (┐p∧┐q)是否为重言式。
例2.2 判断下列各组公式是否等值: (1)p→(q→r)与(p∧q)→r (2) (p→q)→r与(p∧q)→r
p →(q→r) (p∧q)→r
(p→q)→r (p∧q)→r
用真值表法可以判断任何两个命题公式是否等值,但 当命题变项较多时,工作量是很大的。
8. 零律
A∨1 1 , A∧0 0
9. 同一律 10. 排中律
A∨0 A , A∧1 A A∨┐A 1
11. 矛盾律
A∧┐A 0
12. 蕴涵等值式 A→B ┐A∨B
13. 等价等值式 (A B) (A→B)∧(B→A)