版高中数学第一章解三角形111正弦定理二学案新人教A版必修5

1．1.1 正弦定理(二)

[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．

知识点一 正弦定理及其变形

1．定理内容：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R ．

2．正弦定理的常见变形：

(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；

(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C

＝2R ； (3)a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ； (4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2，sin C ＝c

2R ．

知识点二 对三角形解的个数的判断

已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a ，b 和A 解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度 由正弦定理得sin B ＝b sin A

a

， ①若b sin A

a >1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若

b sin A

a

＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若

b sin A

a

<1，则满足条件的三角形个数为1或2，即一解或两解． (2)几何角度

知识点三

三角形面积公式 任意三角形的面积公式为：

(1)S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1

2ab sin C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的

正弦的乘积的一半．

(2)S △ABC ＝1

2

ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长．

(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝1

2rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长．

(4)S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）(其中p ＝

a ＋

b ＋c

2)．

题型一 三角形解的个数的判断

例1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答． (1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.

解 (1)a ＝10，b ＝20，a

讨论如下：

∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103， ∴a

(2)a ＝23，b ＝6，a b sin A ， ∴b sin A

b sin A a ＝6sin 30°23

＝3

2， 又∵B ∈(0°，180°)，∴B 1＝60°，B 2＝120°. 当B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝

a sin C 1sin A ＝23sin 90°

sin 30°＝43； 当B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝

a sin C 2sin A ＝23sin 30°

sin 30°

＝2 3. ∴B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝43；B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝2 3.

反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角时，利用正弦定理求出另一边对角的正弦值后，需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐角、直角还是钝角，从而确定三角形有两解还是只有一解．也可以用几何法来判断，即比较已知角的对边与另一边和该角正弦值乘积的大小来确定解的个数．

跟踪训练1 (1)满足a ＝4，b ＝3，A ＝45°的三角形ABC 的个数为________．

(2)△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若该三角形有两解，则x 的取值范围是________． 答案 (1)1 (2)2

解析 (1)因为A ＝45°<90°，a ＝4>3＝b ，所以△ABC 的个数为一个． (2)由a sin B

2

2

x <2

例2 在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝25

5

，求△ABC 的面积S .

解 ∵cos B 2＝255，∴cos B ＝2cos 2B 2－1＝35

.

∴B ∈(0，π2)，∴sin B ＝4

5.

∵C ＝π

4

，

∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝72

10

.

∵

a

sin A ＝c sin C ，∴c ＝a sin C sin A ＝27210

×22＝107

. ∴S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87

.

反思与感悟 求三角形的面积关键在于选择适当的公式，因此，要认真分析题目中的条件，结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角恒等变换等知识的应用． 跟踪训练2 (1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝1

3，S △ABC ＝43，则b ＝________．

(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于________． 答案 (1)2 3 (2)

32或34

解析 (1)∵cos C ＝1

3，∴C ∈()0°，90°，

∴sin C ＝

1－（13）2＝223

，

又S △ABC ＝12ab sin C ＝12·32·b ·22

3＝43，

∴b ＝2 3.

(2)由正弦定理得sin C ＝AB ·sin B AC ＝3×1

21＝3

2

，

又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32或3

4

.

题型三 正弦定理与三角恒等变换的综合应用

例3 在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，若c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围．

解 由正弦定理得c sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝a ＋b

sin A ＋sin B ，

∵c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6

sin 30°，

A ＋

B ＝180°－30°＝150°.

sin(150°－A )＝sin 150°2cos 150°－2A 2＋cos 150°2sin 150°－2A

2，①

sin A ＝sin 150°2cos 150°－2A 2－cos 150°2sin 150°－2A

2，②

由①②得sin A ＋sin(150°－A )＝2sin 75°cos(75°－A )， ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A )