数学建模(关于扩散问题的建模)
烟雾的扩散与消失数学建模
烟雾的扩散与消失数学建模烟雾是由气体和固体微粒组成的混合物，其扩散和消失过程是一个复杂的物理现象。
为了更好地理解和预测烟雾的行为，科学家们使用数学建模的方法进行研究。
本文将探讨烟雾的扩散与消失的数学建模方法。
我们需要了解烟雾的扩散过程。
烟雾的扩散受到多种因素的影响，包括风力、温度、湿度等。
其中最主要的因素是扩散系数，它描述了烟雾在单位时间内从一个区域扩散到另一个区域的能力。
扩散系数与烟雾的性质有关，比如粒子的大小和密度。
在数学建模中，我们可以使用扩散方程来描述烟雾的扩散过程。
扩散方程是一个偏微分方程，可以用来描述扩散物质的浓度随时间和空间的变化。
一般来说，扩散方程可以写成以下形式：∂C/∂t = D∇²C其中，C表示烟雾的浓度，t表示时间，D是扩散系数，∇²表示拉普拉斯算子，用来描述浓度的空间变化。
扩散方程的解可以通过数值方法求得。
常用的数值方法包括有限差分法和有限元法。
这些方法将区域离散化为网格，然后通过迭代计算每个网格点上的浓度值，从而得到烟雾的浓度分布。
除了扩散方程，我们还可以使用其他数学模型来描述烟雾的消失过程。
烟雾的消失可以通过烟雾微粒的沉积、风力的作用以及化学反应等因素来实现。
其中，沉积是烟雾消失的主要机制之一。
烟雾微粒会随着时间的推移逐渐沉积到地面或其他物体上，从而使烟雾的浓度减小。
沉积过程可以用指数衰减函数来描述，其中衰减速率与烟雾的沉降速度和初始浓度有关。
风力也是影响烟雾消失的重要因素。
风力可以将烟雾带走，从而加速烟雾的消散。
风力的作用可以通过风场模型来描述，其中风速和风向是关键参数。
风场模型可以通过气象数据和数值模拟来获得。
化学反应也可以影响烟雾的消失。
在烟雾中，一些化学物质会与空气中的其他物质发生反应，从而降低烟雾的浓度。
这些反应可以用化学动力学模型来描述，其中反应速率和反应物浓度是关键参数。
总结起来，烟雾的扩散与消失过程可以通过数学建模来描述。
扩散方程和其他数学模型可以用来预测烟雾的行为，从而提供重要的参考信息。
传染病的传播及控制分析数学建模
传染病的传播及控制分析摘要 为进一步探索传染病的传播和流行规律及其与防治措施的关系，本文通过建立传染病的传播模型，了解传染病的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文针对该问题建立了SEIR 微分方程模型，对病毒的传播过程进行了模拟分析，得出了患者人数随时间的变化规律。
我们将人群分为五类：患者、疑似患者、正常人、治愈者和死亡者。
前三者作为传染系统。
我们认为治愈者获得终身免疫，和死亡者一样移出传染系统，即后两者合并为移出者。
本模型将病毒的传染与扩散分为两个部分：控制前和控制后。
在控制前，相当于没有对病毒扩散做任何限制，患者数量短时间内大量增长，并以死亡的形式退出传染系统；在控制后，由于对潜伏者进行了一定强度的隔离，与此同时，确诊患者得到有效的治疗，使得传染源数量减少，患者平均每天接触的人数减少，治愈者增多，并作为主要的移出者移出传染系统。
在模型建立的基础上，通过Matlab 软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图，得到如下结果：控制前，患者人数呈指数增长趋势；控制后，在=0.4p 时，患者人数大致在7天时到达最大值，在25天时基本没有患者；在=0.3p 时，患者人数大概在第8天到达最大值186383，大概在28天之后基本没有患者；在=0.6p 时，大概在第5天患者人数到达峰值为47391，在21天时基本没有患者。
综上分析，对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。
针对所得结果，对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。
关键词：隔离强度潜伏期SEIR 模型一、问题重述：2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，H7N9有变异的可能。
假设已知有一种未知的现病毒[1]潜伏期为12a a :天，患病者的治愈时间为3a 天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触进行传播，患者每天接触的人数为r ，因接触被感染的概率为λ(λ为感染率)。
污染物扩散模型的构建与模拟分析
污染物扩散模型的构建与模拟分析随着现代工业化及城市化的不断发展，环境污染问题越来越突出，这对人类的健康、生态环境及生物多样性等方面都带来了极大的威胁。
而污染物的扩散是导致环境污染的主要原因之一。
因此，对污染物的扩散模型的构建与模拟分析具有重要的理论和实际意义。
一、污染物扩散模型的基本概念污染物扩散模型是指对污染物在大气、水体、土壤等介质中扩散传播过程进行数学建模的过程。
其核心思想是通过数学公式描述污染物扩散、转化与传递规律，对污染物的特征、分布、浓度、影响等进行评估和预测，为环境保护和污染控制提供支持。
在污染物扩散模型中，其中一个关键要素是扩散系数，它主要考虑污染物的扩散现象。
扩散系数大小与被扩散的分子量、临界温度、扩散介质温度、压力等成正比例关系。
此外，影响扩散的还有风速、风向、湍流强度等气象因素。
因此，在具体构建模型时需要考虑多方面因素的影响。
二、污染物扩散模型的分类理论上，污染物扩散模型可以分为两大类，即基于经典物理学的扩散模型和基于统计物理学的扩散模型。
前者主要是基于物质的微观规律进行建模，如分子运动、质量传递、动能转移等；后者则是基于大量粒子的统计规律，如统计热力学、热力学平衡等。
在实际应用中，也可以根据具体的扩散介质、污染物种类、浓度范围等多种因素，将扩散模型进行进一步分类。
例如，大气扩散模型可以分为高斯模型、拉格朗日模型、欧拉模型等；水体扩散模型可以分为点源模型、面源模型、非定常模型、在线模型等。
在具体的应用中，需要根据污染物的种类、具体的观测数据、模拟环境等情况，选择适合的模型类型。
三、模型参数估计及优化在进行污染物扩散模型构建时，需要确定相关的模型参数。
而在实际操作过程中，往往难以对所有模型参数进行测量和确定。
此时，需要通过已有的或者历史数据，进行参数估计或反演，以得到合理的参数值。
传统的参数估计方法包括拟合法、极大似然法、贝叶斯反演等。
其中，拟合法最为常见，即根据已有的观测数据，通过试探性调整参数值，将模型预测值与实际观测值拟合。
数学建模获奖作品范例
数学建模获奖作品范例近年来，数学建模竞赛在高中和大学生中越来越受欢迎。
数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通过建立数学模型，对问题进行分析和预测，得出有关结论和解决方案。
下面将介绍一些数学建模获奖作品的范例，以展示数学建模的应用和价值。
第一个范例是关于城市交通流量的建模。
城市交通流量是一个复杂的问题，涉及到车辆的流动、道路的拥堵、信号灯的控制等多个因素。
一支参赛团队利用数学建模的方法，通过收集城市交通数据和实地观察，建立了一个交通流量模型。
他们使用了微分方程和概率统计等数学工具，对车辆的速度、密度和流量进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们提出了一些优化交通流量的方法，如调整信号灯的时长、增加道路的容量等。
他们的建模方法和解决方案得到了专家的肯定，并在数学建模竞赛中获得了一等奖。
第二个范例是关于物种扩散的建模。
物种扩散是生态学中的一个重要问题，研究物种的扩散过程对于了解生态系统的稳定性和保护生物多样性具有重要意义。
一支参赛团队通过数学建模的方法，结合实地调查和数据分析，建立了一个物种扩散模型。
他们使用了偏微分方程和随机过程等数学工具，对物种的扩散速度和扩散范围进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们揭示了物种扩散的规律和影响因素，并提出了一些保护生物多样性的建议。
他们的建模方法和研究成果在数学建模竞赛中获得了特等奖。
第三个范例是关于金融风险管理的建模。
金融风险管理是一个重要的经济问题，涉及到金融市场的波动、投资组合的风险等多个因素。
一支参赛团队利用数学建模的方法，通过收集金融数据和分析市场趋势，建立了一个金融风险管理模型。
他们使用了时间序列分析、随机过程和蒙特卡洛模拟等数学工具，对金融资产的风险价值进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们提出了一些风险管理的策略，如分散投资、对冲交易等。
他们的建模方法和风险管理方案在数学建模竞赛中获得了一等奖。
以上是关于数学建模获奖作品的三个范例。
这些范例展示了数学建模在不同领域中的应用和价值。
污染物扩散模型 深圳数学建模
赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）：参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）：温州医科大学参赛队员(打印并签名) ：1. 章成俊2. 杨超3. 谢锦指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页送全国评阅统一编号（由赛区组委会填写）：全国评阅随机编号（由全国组委会填写）：对垃圾处理厂污染的动态监控及居民补偿摘要城市垃圾处理问题是一个世界性难题。
目前垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。
本论文构根据题目设置的垃圾处理厂规模，建立了环境动态监控体系，并根据潜在污染风险对周围居民进行了合理经济补偿的设计。
对于问题（1），为了实现对垃圾焚烧厂烟气排放及相关环境影响状况的动态监控，本论文在高斯烟羽模型的基础上进行改进，引入温度、降雨对污染物扩散的影响，建立了新的污染物扩散模型。
信息科学中的扩散网络模型研究
信息科学中的扩散网络模型研究导言信息科学是一个广泛而复杂的领域，其中扩散网络模型是一个令人着迷的研究方向。
扩散网络模型可以帮助我们理解信息和影响在社会网络中如何传播和扩散。
本文将深入探讨扩散网络模型在信息科学中的研究。
一、扩散网络模型的定义和背景扩散网络模型是描述信息、传播和扩散过程的一种数学模型。
它通常基于图论，用节点和边来表示网络的结构。
每个节点代表一个实体，如个人、组织或产品，而边则表示它们之间的相互作用或连接关系。
扩散网络模型最早应用于描述病毒传播的过程，如疾病的传播模型。
随着互联网和社交媒体的兴起，人们开始将扩散网络模型应用于描述信息和影响在社会网络中的传播。
这些模型可以用于研究广告传播、新闻事件传播、社交网络中的信息传播等。
二、常见的扩散网络模型2.1 独立级联模型独立级联模型是最简单和最常见的扩散网络模型之一。
在这个模型中，每个节点以一定的概率将信息传递给它的邻居节点，然后这些邻居节点又以相同的概率传递给它们的邻居节点，以此类推。
这样的传播过程可以看作一系列的级联，即信息从一个节点传递到另一个节点。
2.2 传染病模型传染病模型是将传统疾病传播模型应用于社交网络中的信息传播。
它基于流行病学理论，将信息传播过程类比为病毒传播的过程。
在这个模型中，节点可以处于不同的状态，如易感、感染和康复。
通过研究节点之间的相互作用和交互，我们可以预测信息在社交网络中的传播趋势。
2.3 同化模型同化模型是描述信息传播中个体之间相互影响和同化的模型。
在这个模型中，节点之间的相互作用会导致它们的观点、态度或行为趋于一致。
这种同化过程可以用于研究社交网络中的舆论形成、意见领袖的崛起等。
三、扩散网络模型的研究方法扩散网络模型的研究通常涉及数学建模、计算和仿真三个方面。
数学建模通过建立起适当的数学模型来描述和分析扩散网络的行为。
计算方法则通过计算机算法和技术来模拟和分析扩散过程。
仿真方法则借助计算机模拟和实验来重现扩散网络模型的行为，并通过结果验证模型的准确性和可靠性。
(完整版)扩散问题的偏微分方程模型,数学建模
第七节 扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程.本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程.§1 抛物型方程的导出设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +∆时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为2221(cos cos cos )dSd t ttSu u u M a b c t x y zαβγ+∆∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰. 由高斯公式得2222221222()d d d d t ttu u u M a b c x y z t x y z +∆Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰. （1） 其中，222,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为22d d d d t ttM k u x y z t +∆Ω=⎰⎰⎰⎰， （2） 其中2k 是衰减系数.由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -.换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t ttM u x y z t t u x y z t x y zux y z t t Ω+∆Ω=+∆-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰显然312M M M =-，即2222222222d d d d ()d d d d .t ttt ttux y z t t u u u a b c k u x y z t x y z+∆Ω+∆Ω∂∂∂∂∂=++-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由,,t t ∆Ω之任意性得2222222222u u u u a b c k u t x y z∂∂∂∂=++-∂∂∂∂ （4） 方程（４）是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型，对于具体问题，尚需与相应的定解条件（初始条件与边界条件等）匹配才能求得确定情况下的解.§2 Ｄirac 函数物理学家Dirac 为了物理模型之需要，硬是引入了一个当时颇遭微词的，使得数学与物理学传统密切关系出现裂痕的“怪”函数：0,0,() ()1.,0,x x x dx x δδ+∞-∞≠⎧==⎨∞=⎩⎰ （5）它的背景是清晰的，以一条无穷长的杆子为例，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为x ，杆的线密度是()x ρ，在(,]x -∞段，杆子质量为()m x ，则有d ()(), ()d ().d x m x x x x m x xρρ-∞==⎰. （6）设此无穷长的杆子总质量为１，质量集中在0x x =点，则应有001,,()0,,x x m x x x >⎧=⎨<⎩ 或写成 0()()m x H x x =-，其中()H x 为1,0,()0,0,x H x x >⎧=⎨<⎩ 如果沿用（6）中的算法，则在质量集中分布的这种情形有00,,(),0.x x x x ρ≠⎧=⎨∞=⎩且0()d ()xx x H x x ρ-∞=-⎰，于是得()d 1.x x ρ+∞-∞=⎰. （7）但是，从传统数学观点看，若一个函数除某点处处为零，则不论哪种意义下的积分，都必定为零，（7）式岂能成立！但是，δ函数对于物理学而言是如此之有用，以致物理学家正当地拒绝放弃它. 尽管当时数学家们大都嘲笑这种函数，但Ｐ.Ａ.Ｍ.Ｄirac 及其追随者们在物理领域却收获颇丰，Dirac 于1933年获诺贝尔物理奖. 当然Dirac 也意识到()x δ不是一个通常的函数，至于找一种什么办法来阐明()x δ这一符号的合法性，那就是数学家的任务了. 1940年，法国数学家许瓦兹（L.Schwartz ）严格证明了应用()x δ的正确性，把δ函数置于坚实的数学基础上；1950年，L. Schwartz 获数学界最高奖Fields 奖.δ函数的重要性质有：1）0()d 1x x x δ+∞-∞-=⎰. （8）2）00()()d ()x x f x x f x δ+∞-∞-=⎰. （9）其中()(,)f x C ∈-∞+∞，即0()x x δ-摘出了()f x 在0x x =的值.3）00()()dH x x x x dxδ-=-. （10）4）()x δ的导数是存在的，不过要到积分号下去理解：00()()(),x x f x dx f x δ+∞-∞''-=-⎰ （11）()()00()()(1)().n n n x x f x dx f x δ+∞-∞-=-⎰（12）事实上，由于0()x x δ-在,+∞-∞处为零，则形式地用分部积分公式000()()()()d ()()d ,x x f x x x f x xx x f x x δδδ+∞+∞-∞-∞+∞-∞'---'=-⎰⎰其中，()(,)nf x C ∈-∞+∞，于是有（11）与（12）公式.5）对于()(,)x C ϕ∈-∞+∞，有000()()()()x x x x x x ϕδϕδ-=-. （13）6）1()() (0)||bx x b b δδ=≠. （14）7）000000(,,)()()()x x y y z z x x y y z z δδδδ---=---. （15）8）付立叶变换00[()].i x y y e λδ--= （16）[()] 1.x δ= （17）11221122[()()][()][()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+- （18）9）拉普拉斯变换00[(),[() 1.x x x e x δδδ--== （19）11221122[()]()][()[()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+- （20） 从上面的定义与性质看出，Delta 函数()x δ与一般可微函数还是有重大区别的，我们说它是“广义函数. ”§3 Cauchy 问题的解设扩散源在点000(,,)x y z 处，则此扩散问题满足Cauchy 问题2222222222000, (21)(,,,0)()()(). (22)u u u u a b c k u tx y z u x y z M x x y y z z δδδ⎧∂∂∂∂=++-⎪∂∂∂∂⎨⎪=---⎩对（21）（22）进行付立叶变换，且令123ˆ(,,), (,)[(,,,)]ut u x y z t λλλλλ==， 由于222222123222ˆˆˆ[], [], [],u u u uu u x y zλλλ∂∂∂=-=-=-∂∂∂ 102030000()[(,,,0)][()][()][()] ,i x y z u x y z M x x y y z z Me λλλδδδ-++=---= 故得常微分方程Cauchy 问题1020302222222123()ˆ()0,ˆ(0,).i x y z du a b c k udtu Meλλλλλλλ-++⎧++++=⎪⎨⎪=⎩ 得唯一解2222222123102030()()ˆ(,)a b c k t i x y z ut Me λλλλλλλ-+++-++=. （23）对（23）求逆变换1-，由于2122214[]a xa eλ---=， 2110221240[]()i x e aa ex x λλ----=-， 故得12222000222ˆ(,,,)[]()()()exp 444u x y z t u x x y y z z k t a t b t c t -=⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭2222000222()()().444x x y y z z k t a t b t c t ⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭（24） 如果认为经过了相当长时间后，扩散已经终止，物质分布处于平衡状态，则方程（4）中的0ut∂=∂，于是有线性椭圆型方程的边值问题 22222222220, (,,)(,,)(,,).D u u u a b c k u x y z D xy z u x y z x y z ϕ∂⎧∂∂∂++-=∈⎪∂∂∂⎨⎪=⎩也可以用付立叶变换求解. 当然，根据实际情况，还可以考虑第二边条件(,,)Dux y z n ∂∂=ψ∂或第三边条件[](,,)D uu x y z nαβρ∂∂+=∂等，其中D ∂是区域D 的边界，n 是外法线方向，,αβ是实常数.§4 参数估计在Cauchy 问题（21）（22）的解（23）中，有四个未知的参数,,,a b c k ，它们分别是扩散与衰减过程中的扩散系数与衰减系数的算术平方根. 至于点源的质量与位置000,(,,)M x y z 是已知的.设观测取样为：11112222(,,,), (,,,),,(,,,),n n n n x y z m x y z m x y z m取样时刻为1t =（不然设00, t t t τ=是取样时间，则（21）变成2200t xx yy U t a U t b U =++2200zz t c U t k U -，对τ而言，取样时间为１,而方程形状与（21）一致），把在(,,)i i i x y z 点观测到的物质密度i m 与公式（24）都取对数，令1t =，则2222000222()()()ln (,,,1)ln []444x x y y z z u x y z abc k a b c ---=--+++. （25） 令222000222()()()111,,,,,,444x x y y z z X Y Z a b c αβγ---====-=-=-2ln ln abc k ε=--，则（25）写成 ln (,,,1)W u x y z X Y Z αβγε==+++，（26） 而我们已观测得(,,,)1,2,,i i i i X Y Z W i n =的数据，用三元回归分析方法求出,,,αβγε的估计值如下：ˆˆˆˆ()W X Y Z εαβγ=-++， （27）其中11111111, , , ,n n n nk i i i k k k k W W X X Y Y Z Z n n n n ========∑∑∑∑ˆˆˆ,,αβγ满足方程组 111213102122232031323330ˆˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ,.l l l l l l l l l l l l αβγαβγαβγ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 其中10201130122211223311112131123211()(), ()(),()(),(), (), (),()(), ()(),()(), n nk k k k k k nk k k nn nk k k k k k nnk k k k k k nk k k l W X W W l Y Y W W l Z Z W W l X X l Y Y l Z Z l X X Y Y l X X Z Z l Y Y Z Z l ==========--=--=--=-=-=-=--=--=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑1231133223, , .l l l l l ===由ˆˆˆ,,αβγ可求得222,,a b c 的估计值，即222111ˆˆˆ, , ˆa b cαβγ=-=-=-. 又由于 2ln k abc ε=+- （28） 由（27）式可得ˆε，再把ˆˆˆ,,a b c 代入（28）得 2ˆˆˆˆˆln kabc ε=+- （29）至此得到参数2222,,,a b c k 的估计值2222ˆˆˆˆ,,,a b c k ，把它们代入（24）分别替代2222,,,a b c k ，则得不含未知参数的解(,,,)u x y z t 的近似表达式.§5 竞赛试题分析AMCM-90A 不可用本文的思路与方法加以解决；该试题由东华盛顿大学数学系Ｙves Nievergelt 提供，要求研究药物在脑中的分布，题文称：“研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果，例如治疗帕金森症往脑部注射多巴胺（Dopamine ）的效果，为了精确估计药物影响到的脑部区域，它们必须估计注射后药物在脑内空间分布区域的大小和形状.“研究数据包括50个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值（如图6-1），每个圆柱体长0.76mm ，直径0.66mm ，这些互相平行的圆柱体样本的中心位于网格距为1m m ×0.76×m m ×1mm 的格点上，所以圆柱体互相间在底面上接触，侧面互不接触. 注射是在最高计数的那个圆柱体的中心附近进行的. 自然在圆柱体之间以及由圆柱体样本的覆盖的区域外也有药物.“试估计受到药物影响的区域中药物的分布. ”“一个单位表示一个闪烁微粒的计数，或多巴胺的4.753×10-18克分子量，例如表6-1指出位于后排当中那个圆柱体的含药量是28353个单位. ”后方垂直截面164442 1320 414 188 480 7022 14411 5158 352 2091 23027 28353 13138 681 789 21260 20921 11731 727 213 130337651715453前方垂直截面163 324 432 243166 712 1055 6098 1048 232 2137 15531 19742 4785 330 444 11431 14960 3182 301 29420611036 258188图6-1数学模型只是实际问题的近似，要建立数学模型，一般首先要对所研究的实际问题进行必要和允许的简化与假设，而且，不同的简化与假设，又可能导致不同的数学模型，例如[2]是抛物型方程模型，而[3]则是椭圆方程模型.假设：（1）注射前大脑中的多巴胺含量可以忽略不计.（2）大脑中多巴胺注射液经历着扩散与衰减的过程，且沿,,x y z 三个方向的扩散系数分别是常数，衰减使质量之减少与深度成正比.（3）注射点在后排中央那个圆柱中心，即注射点的坐标000(,,)x y z 已知，注射量有医疗记录可查，是已知的.（4）注射瞬间完成，可视为点源delta 函数. （5）取样也是瞬间完成，取样时间已知为1t =.（6）样本区域与整个大脑相比可以忽略，样本组织远离脑之边界，不受大脑边界面的影响.在以上假设之下，显然可以用本文前面讲过的思路来建模，于是得AMCM-90A 的数学模型为Cauchy 问题（21）（22），解的表达式为（24），且用三元回归分析来估出参数,,,a b c k ，于是可以求得任意位置任意时刻药物的深度.如果所给数据认为是在平衡状态测得的，药物注射进脑后，从高深度处向低深度处扩散，与扩散同时，一部分药物进入脑细胞被吸收固定，扩散系数与吸收系数都是常数，但过一段时间，所有药物都被脑细胞所固定，达到了平衡态. 在这种假设下，[3]给出了下述的分析、建模、求解过程.设(,,,)v x y z t 是t 时刻在(,,)x y z 点处游离的药物浓度，(,,,)w x y z t 是t 时刻(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度，(,,)u x y z 是达到平衡态时(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度. 又设游离药物在各方向上有相同的扩散系数k ，吸收系数为h ，于是有vk v hv t∂=∆-∂. （30）又whv t∂=∂，即吸收速度与游离的浓度成正比，代入（30）得 ()v k ww t h t t∂∂∂=∆-∂∂∂. （31） 对（31）关于t 从０到+∞积分得000t t t k v w w h+∞+∞+∞====∆-. （32）由于最后无游离药物，故(,,,)0v x y z +∞=，又开始时(0)t =无被吸收的药物，故(,,,0)0, (,,,0)0w x y z w x y z =∆=；平衡状态在t =+∞时达到，这时(,,)u x y z = (,,,)w x y z +∞，于是由（32）得(,,,0)ku u v x y z h-∆+=， （33）其中(,,,0)v x y z 是开始时的浓度分布，近似于注射点的点源脉冲函数. 把此注射点取为坐标原点(0,0,0)，则(,,,0)(,,),v x y z L x y z L δ=是注射量，于是2k h σ⎛⎫= ⎪⎝⎭记2(,,)u u L x y z σδ-∆+=， （34）作付立叶变换得22222222ˆˆ(),ˆ,1()s u u L Lus σξησξη+++==+++ 再作反变换得u σ-=-， （35）其中C 是可计算常数.如果考虑各向不同性，设,,x y z 方向上扩散系数分别为222,,a b c ，注射点在000(,,)x y z ，则222222000222()()()u u u a b c u L x x y y z z x y z δδδ⎛⎫∂∂∂-+++=--- ⎪∂∂∂⎝⎭， 于是解为(,,)u x y z =exp 1⎧⎪-⎨⎪⎩，（36） （36）中的D 可计算常数.用前面类似的方法可以进行参数估计.在建模过程中，点源函数的使用显然与实况有差别；尤其是认为扩散系数与吸收系数都是常数，对于人脑这种有复杂结构的区域，这种假设与实际不会完全符合；夜间与白天（睡与醒）对这些系数有无影响？脑中各点这些系数是否有变？除时间位置应考虑外，可能还与药液浓度有关. 如此看来，脑内药液分布的数学模型很可能不是常系数线性偏微分方程，而是函数系数的线性微分方程甚至是非线性偏微分方程. 这时，其解不再能用封闭公式来表达，求解过程会变得极为复杂，所以也可以考虑是否试用其他数学模型来解，例如在平衡态的假设下，用回归分析方法建立药液的模拟分布(,,)u f x y z =.对一个实际问题，其数学模型未必唯一，各模型间孰优孰劣，没有一般的判别法，须经实践来检验.参 考 文 献[1]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993.[2]Christopher, R. Malone, Gian Pauletto, James, I. Zoellick, Distribution of Dopamine in the Brain, The Journal of Under graduate Mathematics, and its Applications, vol. 12(1991), Special Issue: The 1991 Mathematical Contest in Modeling, pp. 211-223.[3]孙晓东，荆秦，梁俊，脑中药物分布的数学模型，数学的实践与认识，1991年No. 4，63-69. [4]中国科学院数理统计组，常用数理统计方法，科学出版社，19784.。
数学模型预测新兴传染病扩散趋势分析
数学模型预测新兴传染病扩散趋势分析新兴传染病的扩散对人类社会的健康和安全构成了巨大的挑战。
在过去的几十年里，我们目睹了SARS、流感等传染病的爆发以及其对全球公共卫生的冲击。
如何准确预测新兴传染病的扩散趋势成为了一个迫切需要解决的问题。
数学建模成为了预测新兴传染病扩散趋势的重要工具之一。
数学模型是一种通过数学公式和方法来描述和预测一定规律的工具。
在预测新兴传染病扩散趋势中，数学模型可以帮助我们理解病毒传播的机理以及各种因素对传播速度和范围的影响。
常用的数学模型包括传染病传播模型、动态网络模型和复杂系统模型等。
传染病传播模型是最常用的数学模型之一。
其中最著名的是SIR模型，即将传染病患者分为易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类。
SIR模型基于一定的假设和公式，可以预测传染病传播的速度和范围。
通过调整模型中的参数，我们可以得到不同情景下传染病的扩散趋势，进而制定相应的防控措施。
动态网络模型是一种描述社交网络或交通网络等复杂系统中传染病传播的数学模型。
这种模型可以考虑网络拓扑结构、节点的影响力以及传染病的传播方式等因素，更加贴近真实情况。
通过对网络模型进行仿真和预测，我们可以发现传染病的传播路径和节点，从而有针对性地采取措施来控制传播。
此外，复杂系统模型是近年来新兴的数学模型之一。
这种模型可以将传染病传播与环境因素、人口流动、经济发展等各种因素综合考虑，更加全面地分析和预测传染病的扩散趋势。
复杂系统模型能够帮助我们了解传染病传播与人类社会发展之间的相互作用，为制定防控策略提供更多的参考依据。
在数学模型中，数据的质量和准确性非常关键。
传染病的扩散趋势预测需要大量的实时和准确的数据，包括病例的报告、人口统计数据、人群流动数据等。
同时，模型本身也需要根据具体的传染病特征和背景进行合理的参数设定和假设，以提高模型的准确性和可靠性。
然而，数学模型只是预测新兴传染病扩散趋势的工具之一，还需要结合其他学科和方法来进行综合分析和预测。
扩散问题的偏微分方程模型,数学建模
第七节 扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程.本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程.§1 抛物型方程的导出设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +∆时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为2221(cos cos cos )dSd t ttSu u uM a b c t x y zαβγ+∆∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰. 由高斯公式得2222221222()d d d d t ttu u u M a b c x y z t x y z +∆Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰. （1） 其中，222,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为22d d d d t ttM k u x y z t +∆Ω=⎰⎰⎰⎰，（2） 其中2k 是衰减系数.由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -.换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t ttM u x y z t t u x y z t x y zux y z t t Ω+∆Ω=+∆-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰显然312M M M =-，即2222222222d d d d ()d d d d .t ttt ttux y z t t u u u a b c k u x y z t x y z+∆Ω+∆Ω∂∂∂∂∂=++-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由,,t t ∆Ω之任意性得2222222222u u u u a b c k u t x y z∂∂∂∂=++-∂∂∂∂ （4） 方程（４）是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型，对于具体问题，尚需与相应的定解条件（初始条件与边界条件等）匹配才能求得确定情况下的解.§2 Ｄirac 函数物理学家Dirac 为了物理模型之需要，硬是引入了一个当时颇遭微词的，使得数学与物理学传统密切关系出现裂痕的“怪”函数：0,0,() ()1.,0,x x x dx x δδ+∞-∞≠⎧==⎨∞=⎩⎰ （5）它的背景是清晰的，以一条无穷长的杆子为例，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为x ，杆的线密度是()x ρ，在(,]x -∞段，杆子质量为()m x ，则有d ()(), ()d ().d x m x x x x m x xρρ-∞==⎰. （6）设此无穷长的杆子总质量为１，质量集中在0x x =点，则应有001,,()0,,x x m x x x >⎧=⎨<⎩ 或写成 0()()m x H x x =-， 其中()H x 为1,0,()0,0,x H x x >⎧=⎨<⎩ 如果沿用（6）中的算法，则在质量集中分布的这种情形有00,,(),0.x x x x ρ≠⎧=⎨∞=⎩且0()d ()xx x H x x ρ-∞=-⎰，于是得()d 1.x x ρ+∞-∞=⎰. （7）但是，从传统数学观点看，若一个函数除某点处处为零，则不论哪种意义下的积分，都必定为零，（7）式岂能成立！但是，δ函数对于物理学而言是如此之有用，以致物理学家正当地拒绝放弃它. 尽管当时数学家们大都嘲笑这种函数，但Ｐ.Ａ.Ｍ.Ｄirac 及其追随者们在物理领域却收获颇丰，Dirac 于1933年获诺贝尔物理奖. 当然Dirac 也意识到()x δ不是一个通常的函数，至于找一种什么办法来阐明()x δ这一符号的合法性，那就是数学家的任务了. 1940年，法国数学家许瓦兹（L.Schwartz ）严格证明了应用()x δ的正确性，把δ函数置于坚实的数学基础上；1950年，L. Schwartz 获数学界最高奖Fields 奖.δ函数的重要性质有：1）0()d 1x x x δ+∞-∞-=⎰. （8） 2）00()()d ()x x f x x f x δ+∞-∞-=⎰. （9）其中()(,)f x C ∈-∞+∞，即0()x x δ-摘出了()f x 在0x x =的值.3）00()()dH x x x x dxδ-=-. （10）4）()x δ的导数是存在的，不过要到积分号下去理解：00()()(),x x f x dx f x δ+∞-∞''-=-⎰ （11） ()()00()()(1)().n n n x x f x dx f x δ+∞-∞-=-⎰（12）事实上，由于0()x x δ-在,+∞-∞处为零，则形式地用分部积分公式000()()()()d ()()d ,x x f x x x f x xx x f x x δδδ+∞+∞-∞-∞+∞-∞'---'=-⎰⎰其中，()(,)n f x C ∈-∞+∞，于是有（11）与（12）公式.5）对于()(,)x C ϕ∈-∞+∞，有000()()()()x x x x x x ϕδϕδ-=-. （13）6）1()() (0)||bx x b b δδ=≠. （14） 7）000000(,,)()()()x x y y z z x x y y z z δδδδ---=---. （15）8）付立叶变换00[()].i x y y e λδ--=F （16） [()] 1.x δ=F （17）11221122[()()][()][()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+-F F F （18） 9）拉普拉斯变换00[(),[() 1.x x x e x δδδ--==F F （19） 11221122[()]()][()[()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+-F F F （20）从上面的定义与性质看出，Delta 函数()x δ与一般可微函数还是有重大区别的，我们说它是“广义函数. ”§3 Cauchy 问题的解设扩散源在点000(,,)x y z 处，则此扩散问题满足Cauchy 问题2222222222000, (21)(,,,0)()()(). (22)u u u u a b c k u tx y z u x y z M x x y y z z δδδ⎧∂∂∂∂=++-⎪∂∂∂∂⎨⎪=---⎩对（21）（22）进行付立叶变换，且令123ˆ(,,), (,)[(,,,)]ut u x y z t λλλλλ==F ， 由于222222123222ˆˆˆ[], [], [],u u u uu u x y zλλλ∂∂∂=-=-=-∂∂∂F F F 102030000()[(,,,0)][()][()][()] ,i x y z u x y z M x x y y z z Me λλλδδδ-++=---=F F F F 故得常微分方程Cauchy 问题1020302222222123()ˆ()0,ˆ(0,).i x y z du a b c k udtu Meλλλλλλλ-++⎧++++=⎪⎨⎪=⎩ 得唯一解2222222123102030()()ˆ(,)a b c k t i x y z ut Me λλλλλλλ-+++-++=. （23）对（23）求逆变换1-F，由于212214[]a xa e λ---=F ，211021240[]()i x e aa ex x λλ----=-F ， 故得12222000222ˆ(,,,)[]()()()exp 444u x y z t ux x y y z z k t a t b t c t -=⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭F2222000222()()().444x x y y z z k t a t b t c t ⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭（24） 如果认为经过了相当长时间后，扩散已经终止，物质分布处于平衡状态，则方程（4）中的0ut∂=∂，于是有线性椭圆型方程的边值问题 22222222220, (,,)(,,)(,,).D u u u a b c k u x y z D xy z u x y z x y z ϕ∂⎧∂∂∂++-=∈⎪∂∂∂⎨⎪=⎩也可以用付立叶变换求解. 当然，根据实际情况，还可以考虑第二边条件(,,)Dux y z n ∂∂=ψ∂或第三边条件[](,,)D uu x y z nαβρ∂∂+=∂等，其中D ∂是区域D 的边界，n 是外法线方向，,αβ是实常数.§4 参数估计在Cauchy 问题（21）（22）的解（23）中，有四个未知的参数,,,a b c k ，它们分别是扩散与衰减过程中的扩散系数与衰减系数的算术平方根. 至于点源的质量与位置000,(,,)M x y z 是已知的.设观测取样为：11112222(,,,), (,,,),,(,,,),n n n n x y z m x y z m x y z m 取样时刻为1t =（不然设00, t t t τ=是取样时间，则（21）变成2200t xx yy U t a U t b U =++ 2200zz t c U t k U -，对τ而言，取样时间为１,而方程形状与（21）一致），把在(,,)i i i x y z 点观测到的物质密度i m 与公式（24）都取对数，令1t =，则2222000222()()()ln (,,,1)ln []444x x y y z z u x y z abc k a b c ---=--+++. （25） 令222000222()()()111,,,,,,444x x y y z z X Y Z a b c αβγ---====-=-=-2ln abc k ε=--，则（25）写成 ln (,,,1)W u x y z X Y Z αβγε==+++， （26）而我们已观测得(,,,)1,2,,i i i i X Y Z W i n = 的数据，用三元回归分析方法求出,,,αβγε的估计值如下：ˆˆˆˆ()W X Y Z εαβγ=-++， （27） 其中11111111, , , ,n n n nk i i i k k k k W W X X Y Y Z Z n n n n ========∑∑∑∑ˆˆˆ,,αβγ满足方程组 111213102122232031323330ˆˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ,.l l l l l l l l l l l l αβγαβγαβγ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 其中10201130122211223311112131123211()(), ()(),()(),(), (), (),()(), ()(),()(), n nk k k k k k nk k k nn nk k k k k k nnk k k k k k nk k k l W X W W l Y Y W W l Z Z W W l X X l Y Y l Z Z l X X Y Y l X X Z Z l Y Y Z Z l ==========--=--=--=-=-=-=--=--=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑1231133223, , .l l l l l ===由ˆˆˆ,,αβγ可求得222,,a b c 的估计值，即222111ˆˆˆ, , ˆa b cαβγ=-=-=-. 又由于 2ln k abc ε=+-， （28） 由（27）式可得ˆε，再把ˆˆˆ,,a b c 代入（28）得 2ˆˆˆˆˆln kabc ε=+-. （29）至此得到参数2222,,,a b c k 的估计值2222ˆˆˆˆ,,,a b c k ，把它们代入（24）分别替代2222,,,a b c k ，则得不含未知参数的解(,,,)u x y z t 的近似表达式.§5 竞赛试题分析AMCM-90A 不可用本文的思路与方法加以解决；该试题由东华盛顿大学数学系Ｙves Nievergelt 提供，要求研究药物在脑中的分布，题文称：“研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果，例如治疗帕金森症往脑部注射多巴胺（Dopamine ）的效果，为了精确估计药物影响到的脑部区域，它们必须估计注射后药物在脑内空间分布区域的大小和形状.“研究数据包括50个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值（如图6-1），每个圆柱体长0.76mm ，直径0.66mm ，这些互相平行的圆柱体样本的中心位于网格距为1m m ×0.76×m m ×1mm 的格点上，所以圆柱体互相间在底面上接触，侧面互不接触. 注射是在最高计数的那个圆柱体的中心附近进行的. 自然在圆柱体之间以及由圆柱体样本的覆盖的区域外也有药物.“试估计受到药物影响的区域中药物的分布. ”“一个单位表示一个闪烁微粒的计数，或多巴胺的4.753×10-18克分子量，例如表6-1指出位于后排当中那个圆柱体的含药量是28353个单位. ”后方垂直截面164442 1320 414 188 480 7022 14411 5158 352 2091 23027 28353 13138 681 789 21260 20921 11731 727 213 130337651715453前方垂直截面163 324 432 243166 712 1055 6098 1048 232 2137 15531 19742 4785 330 444 11431 14960 3182 301 29420611036 258188图6-1数学模型只是实际问题的近似，要建立数学模型，一般首先要对所研究的实际问题进行必要和允许的简化与假设，而且，不同的简化与假设，又可能导致不同的数学模型，例如[2]是抛物型方程模型，而[3]则是椭圆方程模型.假设：（1）注射前大脑中的多巴胺含量可以忽略不计.（2）大脑中多巴胺注射液经历着扩散与衰减的过程，且沿,,x y z 三个方向的扩散系数分别是常数，衰减使质量之减少与深度成正比.（3）注射点在后排中央那个圆柱中心，即注射点的坐标000(,,)x y z 已知，注射量有医疗记录可查，是已知的.（4）注射瞬间完成，可视为点源delta 函数. （5）取样也是瞬间完成，取样时间已知为1t =.（6）样本区域与整个大脑相比可以忽略，样本组织远离脑之边界，不受大脑边界面的影响.在以上假设之下，显然可以用本文前面讲过的思路来建模，于是得AMCM-90A 的数学模型为Cauchy 问题（21）（22），解的表达式为（24），且用三元回归分析来估出参数,,,a b c k ，于是可以求得任意位置任意时刻药物的深度.如果所给数据认为是在平衡状态测得的，药物注射进脑后，从高深度处向低深度处扩散，与扩散同时，一部分药物进入脑细胞被吸收固定，扩散系数与吸收系数都是常数，但过一段时间，所有药物都被脑细胞所固定，达到了平衡态. 在这种假设下，[3]给出了下述的分析、建模、求解过程.设(,,,)v x y z t 是t 时刻在(,,)x y z 点处游离的药物浓度，(,,,)w x y z t 是t 时刻(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度，(,,)u x y z 是达到平衡态时(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度. 又设游离药物在各方向上有相同的扩散系数k ，吸收系数为h ，于是有vk v hv t∂=∆-∂. （30） 又whv t∂=∂，即吸收速度与游离的浓度成正比，代入（30）得 ()v k w w t h t t∂∂∂=∆-∂∂∂. （31） 对（31）关于t 从０到+∞积分得t t t k vw wh+∞+∞+∞====∆-. （32）由于最后无游离药物，故(,,,)0v x y z +∞=，又开始时(0)t =无被吸收的药物，故(,,,0)0, (,,,0)0w x y z w x y z =∆=；平衡状态在t =+∞时达到，这时(,,)u x y z =(,,,)w x y z +∞，于是由（32）得(,,,0)ku u v x y z h-∆+=， （33） 其中(,,,0)v x y z 是开始时的浓度分布，近似于注射点的点源脉冲函数. 把此注射点取为坐标原点(0,0,0)，则(,,,0)(,,),v x y z L x y z L δ=是注射量，于是2k h σ⎛⎫= ⎪⎝⎭记2(,,)u u L x y z σδ-∆+=， （34）作付立叶变换得22222222ˆˆ(),ˆ,1()s u u L Lus σξησξη+++==+++ 再作反变换得u σ-=-， （35）其中C 是可计算常数.如果考虑各向不同性，设,,x y z 方向上扩散系数分别为222,,a b c ，注射点在000(,,)x y z ，则 222222000222()()()u u u a b c u L x x y y z z x y z δδδ⎛⎫∂∂∂-+++=--- ⎪∂∂∂⎝⎭， 于是解为(,,)u x y z =exp 1⎧⎪⎨⎪⎩ ，（36）（36）中的D 可计算常数.用前面类似的方法可以进行参数估计.在建模过程中，点源函数的使用显然与实况有差别；尤其是认为扩散系数与吸收系数都是常数，对于人脑这种有复杂结构的区域，这种假设与实际不会完全符合；夜间与白天（睡与醒）对这些系数有无影响？脑中各点这些系数是否有变？除时间位置应考虑外，可能还与药液浓度有关. 如此看来，脑内药液分布的数学模型很可能不是常系数线性偏微分方程，而是函数系数的线性微分方程甚至是非线性偏微分方程. 这时，其解不再能用封闭公式来表达，求解过程会变得极为复杂，所以也可以考虑是否试用其他数学模型来解，例如在平衡态的假设下，用回归分析方法建立药液的模拟分布(,,)u f x y z =.对一个实际问题，其数学模型未必唯一，各模型间孰优孰劣，没有一般的判别法，须经实践来检验.参 考 文 献[1]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993.[2]Christopher, R. Malone, Gian Pauletto, James, I. Zoellick, Distribution of Dopamine in the Brain, The Journal of Under graduate Mathematics, and its Applications, vol. 12(1991), Special Issue: The 1991 Mathematical Contest in Modeling, pp. 211-223.[3]孙晓东，荆秦，梁俊，脑中药物分布的数学模型，数学的实践与认识，1991年No. 4，63-69. [4]中国科学院数理统计组，常用数理统计方法，科学出版社，19784.。
烟雾的扩散与消失数学建模
烟雾的扩散与消失数学建模简介：烟雾扩散与消失是一个复杂的现象，它受到多个因素影响，如环境条件、烟雾特性等。
本数学建模旨在描述烟雾在空气中的扩散过程，并尝试预测烟雾消失的时间。
1. 基本假设：- 假设烟雾是由扩散的颗粒组成，这些颗粒在空气中以不规则方式运动。
- 假设烟雾的体积可以近似为一个球体。
- 假设烟雾颗粒之间没有相互作用。
2. 扩散模型：- 使用二维偏微分方程描述烟雾的扩散过程。
假设初始时刻烟雾在某一点释放，以该点为中心的圆区域内烟雾浓度分布满足扩散方程。
- 考虑扩散系数和扩散时间对烟雾的影响。
扩散系数是与空气和烟雾特性有关的常数，描述烟雾扩散的速率。
- 使用数值方法求解扩散方程，如有限差分法或有限元法等。
3. 消失模型：- 假设烟雾的消失速率与环境条件相关，如空气湿度、温度等。
可以考虑建立一个消失速率的函数模型，该函数与环境条件呈负相关。
- 使用微分方程描述烟雾的消失过程，使得烟雾浓度随时间逐渐减少。
- 根据消失速率和初始烟雾浓度，可以推导出烟雾消失的时间。
4. 参数估计与模型验证：- 通过实验或实际观测数据，估计扩散系数和消失速率的值。
- 使用已知的初始烟雾浓度和环境条件，检验模型的预测能力。
- 根据模型与实际观测数据的比较，调整模型参数以提高拟合度。
5. 结论：- 通过数学建模，我们可以定量描述烟雾的扩散与消失过程，并预测烟雾消失的时间。
- 该模型可以为烟雾扩散与消失的研究提供参考，并有助于设计和改进烟雾排放和控制措施。
注意：以上建模过程为一般性描述，并没有引用特定的研究或论文。
具体的数学公式和模型推导需要依据研究目的和实际问题进行调整和应用。
高中数学活动实施方案-数学模型分析火灾蔓延规律
高中数学活动实施方案-数学模型分析火灾蔓延规律一、引言火灾蔓延是一种严重的自然灾害，给人类社会和生命财产带来了巨大损失。
为了有效应对火灾，本文提出了一个高中数学活动实施方案，通过数学建模和分析来研究火灾的蔓延规律，以期能够提供科学依据和指导。
二、背景知识1. 火灾传播特点：火势可在三个维度上扩散（平面内、垂直方向）。
2. 火焰温度：不同物质燃烧时火焰的温度各异。
3. 燃料消耗速度：不同材料的燃烧速度不同。
三、问题定义为了深入研究火灾蔓延规律，请回答以下几个问题：1. 如何描述火势从一个点开始向四周扩散的过程？2. 如何评估火势从一个点蔓延到全体区域所需时间？3. 如何评估在不同环境条件下，不同类型物质的火焰温度？四、建模方案1. 建立火灾蔓延模型：我们可以将整个区域划分为离散的小格子，假设每个小格子内的温度相等，并建立连接各个格子之间的传导通道。
2. 火势扩散模型：根据燃烧物质的特性和周围环境因素，借鉴扩散方程建立火势扩散数学模型。
考虑到火焰温度、燃料消耗速度等因素对火势扩散的影响。
3. 火势蔓延时间模型：结合前两个模型，通过计算得出火灾从一个点开始蔓延到全体区域所需的时间。
五、模型解决方法1. 数值计算方法：利用数值计算软件，例如MATLAB或Python，求解差分格式下的扩散方程及相关边界条件。
2. 地址匹配技术：通过将现实地理信息与数学模型相匹配，确定每个小格子内初始温度及边界条件。
六、实施步骤1. 收集数据信息：了解待研究区域的地理信息、气象数据以及相关物质燃烧特性资料。
2. 构建模型：根据收集到的数据和问题定义，构建合适的火灾蔓延数学模型。
3. 参数估计：利用现有燃烧物质相关参数，对模型进行参数估计。
4. 模型求解：利用数值计算方法求解模型得到结果。
5. 结果分析与评估：根据模拟结果分析火灾蔓延规律，并评估不同因素对火势扩散速度的影响。
七、预期成果通过该实施方案，我们可以预期获得以下成果：1. 火灾蔓延规律的深入认识：通过数学模拟分析，可以了解火势扩散过程中温度变化、火焰形态等关键信息。
pm2.5的预测和治理(数学建模)
6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4
第七章 问题三解答及模型建立 ........................................................ - 34 7.1 问题分析与重述 ................................................................. - 34 7.2 治理研究 ....................................................................... - 35 7.2.1 武汉市 PM2.5 来源以及影响因素 ................................................ - 35 7.3 问题解答 ...................................................................... - 37 -
PM2.5 发生与演变分析 ........................................................... - 22 PM2.5 的发生 .............................................................. - 22 PM2.5 的演变 .............................................................. - 23 PM2.5 突增扩散预测 ........................................................ - 31 PM2.5 扩散模型检验 ........................................................ - 32 -
放射性气体扩散的预估模型数学建模优秀论文
A题：放射性气体扩散的预估模型一：题目设有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，浓度为p0的放射性气体以匀速排出，速度为m kg/s，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散, 速度为s m/s.1）请你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。
2）当风速为k m/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。
3）当风速为k m/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测模型。
4）将你建立的模型应用于福岛核电站的泄漏，计算出福岛核电站的泄漏对我国东海岸，及美国西海岸的影响。
计算所用数据可以在网上搜索或根据具体情况自己模拟。
二：摘要本论文关于核泄漏核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型，根据“泄漏放射性物质质量守恒定律”和“热传导定律”单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比。
要探究风速对放射性物质浓度分布的影响:须考虑到P-G-T方法, Pasquill把风速和辐射状况作为划分稳定度等级的指标。
利用常规气象资料把大气的扩散能力划分为六个稳定度等级，从A到F（极不稳定—稳定）。
还考虑到城市:污染源多种多样,下垫面粗糙热岛效应。
使得微气象特征和大气扩散规律与平原有着显著不同，城市中的高层建筑物、体形大的建筑物和构筑物，都能造成气流在小范围内产生涡流，阻碍气流运动，减小平均风速，降低了近地层风速梯度，并使风向摆动很大，近地层风场变得很不规则。
关于问题四，在结合模型一、模型二的条件下，在参阅整理大量的气象、地理新闻质料，日本核事故期间核泄露产生放射性物质在低层先向南再向东扩散，据中央气象台预报，核泄漏期间日本近地面以西北风为主，核辐射物质的辐射量非常微量远低于当年切尔诺贝利灾害带给亚洲的辐射量不会影响到公众健康，不必担心福岛核电站事故产生的辐射物造成的危害。
关键字: 放射性气体扩散泄露放射物质质量守恒热传导定律 P-G-T模型热岛效应三：符号说明与名词解释t —气体扩散时间，气体由泄露源泄漏时刻t=0 x,y,z —以泄漏源为坐标原点，空间任意一点的坐标 C —空间中任一点的气体浓度 k —气体扩散系数Q —气体由扩散源扩散时施放的气体总量μ—平均风速y σ—用浓度标准偏差表示y 轴上的扩散参数z σ—用浓度标准偏差表示的z 轴上的扩散参数H —气体扩散的有效高度 x —下风方向到泄漏点源的距离 y —侧风方向离泄漏源点的距离 z —垂直向上方向离泄漏源点的距离 k-风速s-放射性气体排除后向四周扩散的速度四：问题重述设有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，浓度为p 0的放射性气体以匀速排出，速度为m kg/s ，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散, 速度为s m/s. 5）请你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。
一维扩散模型半无限边界条件
一维扩散模型半无限边界条件1.引言1.1 概述在物理学、化学、生物学和工程学等领域中，扩散是一种普遍存在的现象。
它是指物质从高浓度区域自发地向低浓度区域传播的过程。
一维扩散模型是研究扩散现象的基本数学工具之一，适用于只在一个方向上发生扩散的情况。
本文将重点探讨一维扩散模型的半无限边界条件。
传统上，对于扩散问题的数学建模，通常假设系统在两端是封闭的，并且扩散物质在两端都不会有输入或输出。
然而，在实际应用中，我们常常会遇到一些特殊情况，例如某一端是开放的，即扩散物质可以自由逸出，而另一端仍然保持封闭。
这种情况下的扩散问题被称为半无限边界条件的一维扩散模型。
半无限边界条件的一维扩散模型具有较广泛的应用。
例如，在土壤科学中，研究土壤中污染物的迁移过程时，常常将土壤视为一个无限长的媒介，并且假设污染物从某一位置输入到土壤中，而在另一位置处则允许污染物自由地逸出。
此外，半无限边界条件的一维扩散模型还可用于研究材料中的溶质扩散、电离物在电化学系统中的传输以及生物体内物质的扩散等领域。
本文的目的是对半无限边界条件的一维扩散模型进行深入研究和讨论。
我们将首先介绍一维扩散模型的基本原理和数学描述，然后详细探讨半无限边界条件的物理意义和数学表达形式。
通过对该模型的分析和研究，我们希望能够深入理解半无限边界条件下扩散过程的特点和规律，并为相关领域的实际问题提供理论支持和解决方案。
进入正文的下一节，我们将首先介绍一维扩散模型的基本原理和数学描述。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述一维扩散模型半无限边界条件的相关内容:第一部分为引言，介绍文中要讨论的主题并给出本文的目的。
在引言部分中，将对一维扩散模型和半无限边界条件进行简要说明，为后续的内容提供背景和理论基础。
第二部分为正文，该部分将较为详细地介绍一维扩散模型和半无限边界条件的理论基础。
其中，2.1节将详细介绍一维扩散模型的基本概念、方程表达形式以及解析解的求解方法。
扩散过程的数学建模
扩散过程的数学建模扩散过程是指物质、能量或信息在空间中传播和混合的过程。
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学形式，从而通过数学方法来解决问题。
在扩散过程的数学建模中，我们需要描述扩散物质的浓度分布、扩散速率和扩散距离等参数。
首先，扩散过程可以通过扩散方程描述。
扩散方程是一个偏微分方程，用于描述物质浓度随时间和空间的变化。
一维情况下，扩散方程可以写成以下形式：∂C/∂t=D∂²C/∂x其中，C是扩散物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
扩散系数D决定了扩散物质在单位浓度梯度下的扩散速率，它与扩散物质的性质、介质的性质以及环境条件等有关。
为了求解扩散方程，我们需要确定初始条件和边界条件。
初始条件是指在初始时刻t=0时的浓度分布，而边界条件是指在空间边界上的浓度分布。
常见的边界条件有固定浓度条件、固定扩散通量条件和无扩散通量条件。
针对特定问题，我们可以采用不同的数值解法来求解扩散方程。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。
这些方法将连续的扩散方程离散化成离散点上的代数方程组，通过迭代求解这个方程组，最终可以得到扩散物质的浓度分布。
此外，对于复杂的扩散过程，我们可能还需要考虑其他因素对扩散的影响。
例如，对流扩散方程可以考虑流体的流动对扩散过程的影响。
如果存在吸附或反应过程，可以将扩散方程与相应的吸附或反应方程耦合起来。
在实际应用中，扩散过程的数学建模广泛应用于环境科学、材料科学、化学工程等领域。
例如，研究地下水中污染物的扩散过程，可以预测污染物的传播范围和浓度分布，为环境保护提供科学依据。
另外，扩散过程的数学建模还可以应用于材料的表面处理、溶质输送以及化学反应器的设计等工程问题。
总之，扩散过程的数学建模是将扩散过程抽象化为数学形式，从而通过数学方法来解决与扩散相关的问题。
通过建立合适的扩散方程和边界条件，并选择适当的数值方法，我们可以研究和预测扩散物质的浓度分布、扩散速率和扩散距离等参数。
数学建模气体扩散模型
数学建模气体模型：
模型假设：
1 假定武汉地区为立方体模型，用V 表示体积，用S 表示面积，边长为92公里，高为100米。
2 气体在无风作用下扩散速度为1.5m/s 。
3 PM2.5在任何空域都是均匀、连续的，浓度用c 表示。
4 K 为单位时间产生PM2.5的质量（减少PM2.5的关键在于减小K 值），并假定采取措施后，K 值随时间线性减小，Q 为单位时间扩散的体积。
模型：PM2.5浓度改变量=产生量-扩散量，建立微分方程：
119
10
p x dx -p x dx -p x dx V [()()](())1(())V
Q c t +
c t =V V
c =c=V=8.510K =10Q=S v
=1.310y +p x y=q x y=c e +e q x e dx
c t c t t c t K Q c t t
d K Q c t d K a b t
a b t ⨯+-=-⨯⨯=⨯-⨯=-⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⎰⎰⎰⨯⨯⨯⎰ ’初’（）（）（）（）（）边界条件：（0）280，五年后 35经计算，得，由一阶线性非齐次微分方程
（）（）
（）9-.t -7K=10-1.92t
c=280e +1.710t+0.0769⨯⨯⨯（00153）（）得出
由上述计算看出，通过采取措施，不断减少K （单位时间产生PM2.5的质量），减少排出量，进而降低PM2.5的浓度，五年后（t=4.56⨯810），K=83
10/g m μ，进而PM2.5浓度由33280/35g /g m m μμ减至。
(完整版)扩散问题的偏微分方程模型,数学建模
第七节 扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程.本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程.§1 抛物型方程的导出设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +∆时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为2221(cos cos cos )dSd t ttSu u u M a b c t x y zαβγ+∆∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰. 由高斯公式得2222221222()d d d d t ttu u u M a b c x y z t x y z +∆Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰. （1） 其中，222,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为22d d d d t ttM k u x y z t +∆Ω=⎰⎰⎰⎰， （2） 其中2k 是衰减系数.由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -.换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t ttM u x y z t t u x y z t x y zux y z t t Ω+∆Ω=+∆-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰显然312M M M =-，即2222222222d d d d ()d d d d .t ttt ttux y z t t u u u a b c k u x y z t x y z+∆Ω+∆Ω∂∂∂∂∂=++-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由,,t t ∆Ω之任意性得2222222222u u u u a b c k u t x y z∂∂∂∂=++-∂∂∂∂ （4） 方程（４）是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型，对于具体问题，尚需与相应的定解条件（初始条件与边界条件等）匹配才能求得确定情况下的解.§2 Ｄirac 函数物理学家Dirac 为了物理模型之需要，硬是引入了一个当时颇遭微词的，使得数学与物理学传统密切关系出现裂痕的“怪”函数：0,0,() ()1.,0,x x x dx x δδ+∞-∞≠⎧==⎨∞=⎩⎰ （5）它的背景是清晰的，以一条无穷长的杆子为例，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为x ，杆的线密度是()x ρ，在(,]x -∞段，杆子质量为()m x ，则有d ()(), ()d ().d x m x x x x m x xρρ-∞==⎰. （6）设此无穷长的杆子总质量为１，质量集中在0x x =点，则应有001,,()0,,x x m x x x >⎧=⎨<⎩ 或写成 0()()m x H x x =-，其中()H x 为1,0,()0,0,x H x x >⎧=⎨<⎩ 如果沿用（6）中的算法，则在质量集中分布的这种情形有00,,(),0.x x x x ρ≠⎧=⎨∞=⎩且0()d ()xx x H x x ρ-∞=-⎰，于是得()d 1.x x ρ+∞-∞=⎰. （7）但是，从传统数学观点看，若一个函数除某点处处为零，则不论哪种意义下的积分，都必定为零，（7）式岂能成立！但是，δ函数对于物理学而言是如此之有用，以致物理学家正当地拒绝放弃它. 尽管当时数学家们大都嘲笑这种函数，但Ｐ.Ａ.Ｍ.Ｄirac 及其追随者们在物理领域却收获颇丰，Dirac 于1933年获诺贝尔物理奖. 当然Dirac 也意识到()x δ不是一个通常的函数，至于找一种什么办法来阐明()x δ这一符号的合法性，那就是数学家的任务了. 1940年，法国数学家许瓦兹（L.Schwartz ）严格证明了应用()x δ的正确性，把δ函数置于坚实的数学基础上；1950年，L. Schwartz 获数学界最高奖Fields 奖.δ函数的重要性质有：1）0()d 1x x x δ+∞-∞-=⎰. （8）2）00()()d ()x x f x x f x δ+∞-∞-=⎰. （9）其中()(,)f x C ∈-∞+∞，即0()x x δ-摘出了()f x 在0x x =的值.3）00()()dH x x x x dxδ-=-. （10）4）()x δ的导数是存在的，不过要到积分号下去理解：00()()(),x x f x dx f x δ+∞-∞''-=-⎰ （11）()()00()()(1)().n n n x x f x dx f x δ+∞-∞-=-⎰（12）事实上，由于0()x x δ-在,+∞-∞处为零，则形式地用分部积分公式000()()()()d ()()d ,x x f x x x f x xx x f x x δδδ+∞+∞-∞-∞+∞-∞'---'=-⎰⎰其中，()(,)nf x C ∈-∞+∞，于是有（11）与（12）公式.5）对于()(,)x C ϕ∈-∞+∞，有000()()()()x x x x x x ϕδϕδ-=-. （13）6）1()() (0)||bx x b b δδ=≠. （14）7）000000(,,)()()()x x y y z z x x y y z z δδδδ---=---. （15）8）付立叶变换00[()].i x y y e λδ--= （16）[()] 1.x δ= （17）11221122[()()][()][()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+- （18）9）拉普拉斯变换00[(),[() 1.x x x e x δδδ--== （19）11221122[()]()][()[()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+- （20） 从上面的定义与性质看出，Delta 函数()x δ与一般可微函数还是有重大区别的，我们说它是“广义函数. ”§3 Cauchy 问题的解设扩散源在点000(,,)x y z 处，则此扩散问题满足Cauchy 问题2222222222000, (21)(,,,0)()()(). (22)u u u u a b c k u tx y z u x y z M x x y y z z δδδ⎧∂∂∂∂=++-⎪∂∂∂∂⎨⎪=---⎩对（21）（22）进行付立叶变换，且令123ˆ(,,), (,)[(,,,)]ut u x y z t λλλλλ==， 由于222222123222ˆˆˆ[], [], [],u u u uu u x y zλλλ∂∂∂=-=-=-∂∂∂ 102030000()[(,,,0)][()][()][()] ,i x y z u x y z M x x y y z z Me λλλδδδ-++=---= 故得常微分方程Cauchy 问题1020302222222123()ˆ()0,ˆ(0,).i x y z du a b c k udtu Meλλλλλλλ-++⎧++++=⎪⎨⎪=⎩ 得唯一解2222222123102030()()ˆ(,)a b c k t i x y z ut Me λλλλλλλ-+++-++=. （23）对（23）求逆变换1-，由于2122214[]a xa eλ---=， 2110221240[]()i x e aa ex x λλ----=-， 故得12222000222ˆ(,,,)[]()()()exp 444u x y z t u x x y y z z k t a t b t c t -=⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭2222000222()()().444x x y y z z k t a t b t c t ⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭（24） 如果认为经过了相当长时间后，扩散已经终止，物质分布处于平衡状态，则方程（4）中的0ut∂=∂，于是有线性椭圆型方程的边值问题 22222222220, (,,)(,,)(,,).D u u u a b c k u x y z D xy z u x y z x y z ϕ∂⎧∂∂∂++-=∈⎪∂∂∂⎨⎪=⎩也可以用付立叶变换求解. 当然，根据实际情况，还可以考虑第二边条件(,,)Dux y z n ∂∂=ψ∂或第三边条件[](,,)D uu x y z nαβρ∂∂+=∂等，其中D ∂是区域D 的边界，n 是外法线方向，,αβ是实常数.§4 参数估计在Cauchy 问题（21）（22）的解（23）中，有四个未知的参数,,,a b c k ，它们分别是扩散与衰减过程中的扩散系数与衰减系数的算术平方根. 至于点源的质量与位置000,(,,)M x y z 是已知的.设观测取样为：11112222(,,,), (,,,),,(,,,),n n n n x y z m x y z m x y z m取样时刻为1t =（不然设00, t t t τ=是取样时间，则（21）变成2200t xx yy U t a U t b U =++2200zz t c U t k U -，对τ而言，取样时间为１,而方程形状与（21）一致），把在(,,)i i i x y z 点观测到的物质密度i m 与公式（24）都取对数，令1t =，则2222000222()()()ln (,,,1)ln []444x x y y z z u x y z abc k a b c ---=--+++. （25） 令222000222()()()111,,,,,,444x x y y z z X Y Z a b c αβγ---====-=-=-2ln ln abc k ε=--，则（25）写成 ln (,,,1)W u x y z X Y Z αβγε==+++，（26） 而我们已观测得(,,,)1,2,,i i i i X Y Z W i n =的数据，用三元回归分析方法求出,,,αβγε的估计值如下：ˆˆˆˆ()W X Y Z εαβγ=-++， （27）其中11111111, , , ,n n n nk i i i k k k k W W X X Y Y Z Z n n n n ========∑∑∑∑ˆˆˆ,,αβγ满足方程组 111213102122232031323330ˆˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ,.l l l l l l l l l l l l αβγαβγαβγ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 其中10201130122211223311112131123211()(), ()(),()(),(), (), (),()(), ()(),()(), n nk k k k k k nk k k nn nk k k k k k nnk k k k k k nk k k l W X W W l Y Y W W l Z Z W W l X X l Y Y l Z Z l X X Y Y l X X Z Z l Y Y Z Z l ==========--=--=--=-=-=-=--=--=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑1231133223, , .l l l l l ===由ˆˆˆ,,αβγ可求得222,,a b c 的估计值，即222111ˆˆˆ, , ˆa b cαβγ=-=-=-. 又由于 2ln k abc ε=+- （28） 由（27）式可得ˆε，再把ˆˆˆ,,a b c 代入（28）得 2ˆˆˆˆˆln kabc ε=+- （29）至此得到参数2222,,,a b c k 的估计值2222ˆˆˆˆ,,,a b c k ，把它们代入（24）分别替代2222,,,a b c k ，则得不含未知参数的解(,,,)u x y z t 的近似表达式.§5 竞赛试题分析AMCM-90A 不可用本文的思路与方法加以解决；该试题由东华盛顿大学数学系Ｙves Nievergelt 提供，要求研究药物在脑中的分布，题文称：“研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果，例如治疗帕金森症往脑部注射多巴胺（Dopamine ）的效果，为了精确估计药物影响到的脑部区域，它们必须估计注射后药物在脑内空间分布区域的大小和形状.“研究数据包括50个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值（如图6-1），每个圆柱体长0.76mm ，直径0.66mm ，这些互相平行的圆柱体样本的中心位于网格距为1m m ×0.76×m m ×1mm 的格点上，所以圆柱体互相间在底面上接触，侧面互不接触. 注射是在最高计数的那个圆柱体的中心附近进行的. 自然在圆柱体之间以及由圆柱体样本的覆盖的区域外也有药物.“试估计受到药物影响的区域中药物的分布. ”“一个单位表示一个闪烁微粒的计数，或多巴胺的4.753×10-18克分子量，例如表6-1指出位于后排当中那个圆柱体的含药量是28353个单位. ”后方垂直截面164442 1320 414 188 480 7022 14411 5158 352 2091 23027 28353 13138 681 789 21260 20921 11731 727 213 130337651715453前方垂直截面163 324 432 243166 712 1055 6098 1048 232 2137 15531 19742 4785 330 444 11431 14960 3182 301 29420611036 258188图6-1数学模型只是实际问题的近似，要建立数学模型，一般首先要对所研究的实际问题进行必要和允许的简化与假设，而且，不同的简化与假设，又可能导致不同的数学模型，例如[2]是抛物型方程模型，而[3]则是椭圆方程模型.假设：（1）注射前大脑中的多巴胺含量可以忽略不计.（2）大脑中多巴胺注射液经历着扩散与衰减的过程，且沿,,x y z 三个方向的扩散系数分别是常数，衰减使质量之减少与深度成正比.（3）注射点在后排中央那个圆柱中心，即注射点的坐标000(,,)x y z 已知，注射量有医疗记录可查，是已知的.（4）注射瞬间完成，可视为点源delta 函数. （5）取样也是瞬间完成，取样时间已知为1t =.（6）样本区域与整个大脑相比可以忽略，样本组织远离脑之边界，不受大脑边界面的影响.在以上假设之下，显然可以用本文前面讲过的思路来建模，于是得AMCM-90A 的数学模型为Cauchy 问题（21）（22），解的表达式为（24），且用三元回归分析来估出参数,,,a b c k ，于是可以求得任意位置任意时刻药物的深度.如果所给数据认为是在平衡状态测得的，药物注射进脑后，从高深度处向低深度处扩散，与扩散同时，一部分药物进入脑细胞被吸收固定，扩散系数与吸收系数都是常数，但过一段时间，所有药物都被脑细胞所固定，达到了平衡态. 在这种假设下，[3]给出了下述的分析、建模、求解过程.设(,,,)v x y z t 是t 时刻在(,,)x y z 点处游离的药物浓度，(,,,)w x y z t 是t 时刻(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度，(,,)u x y z 是达到平衡态时(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度. 又设游离药物在各方向上有相同的扩散系数k ，吸收系数为h ，于是有vk v hv t∂=∆-∂. （30）又whv t∂=∂，即吸收速度与游离的浓度成正比，代入（30）得 ()v k ww t h t t∂∂∂=∆-∂∂∂. （31） 对（31）关于t 从０到+∞积分得000t t t k v w w h+∞+∞+∞====∆-. （32）由于最后无游离药物，故(,,,)0v x y z +∞=，又开始时(0)t =无被吸收的药物，故(,,,0)0, (,,,0)0w x y z w x y z =∆=；平衡状态在t =+∞时达到，这时(,,)u x y z = (,,,)w x y z +∞，于是由（32）得(,,,0)ku u v x y z h-∆+=， （33）其中(,,,0)v x y z 是开始时的浓度分布，近似于注射点的点源脉冲函数. 把此注射点取为坐标原点(0,0,0)，则(,,,0)(,,),v x y z L x y z L δ=是注射量，于是2k h σ⎛⎫= ⎪⎝⎭记2(,,)u u L x y z σδ-∆+=， （34）作付立叶变换得22222222ˆˆ(),ˆ,1()s u u L Lus σξησξη+++==+++ 再作反变换得u σ-=-， （35）其中C 是可计算常数.如果考虑各向不同性，设,,x y z 方向上扩散系数分别为222,,a b c ，注射点在000(,,)x y z ，则222222000222()()()u u u a b c u L x x y y z z x y z δδδ⎛⎫∂∂∂-+++=--- ⎪∂∂∂⎝⎭， 于是解为(,,)u x y z =exp 1⎧⎪-⎨⎪⎩，（36） （36）中的D 可计算常数.用前面类似的方法可以进行参数估计.在建模过程中，点源函数的使用显然与实况有差别；尤其是认为扩散系数与吸收系数都是常数，对于人脑这种有复杂结构的区域，这种假设与实际不会完全符合；夜间与白天（睡与醒）对这些系数有无影响？脑中各点这些系数是否有变？除时间位置应考虑外，可能还与药液浓度有关. 如此看来，脑内药液分布的数学模型很可能不是常系数线性偏微分方程，而是函数系数的线性微分方程甚至是非线性偏微分方程. 这时，其解不再能用封闭公式来表达，求解过程会变得极为复杂，所以也可以考虑是否试用其他数学模型来解，例如在平衡态的假设下，用回归分析方法建立药液的模拟分布(,,)u f x y z =.对一个实际问题，其数学模型未必唯一，各模型间孰优孰劣，没有一般的判别法，须经实践来检验.参 考 文 献[1]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993.[2]Christopher, R. Malone, Gian Pauletto, James, I. Zoellick, Distribution of Dopamine in the Brain, The Journal of Under graduate Mathematics, and its Applications, vol. 12(1991), Special Issue: The 1991 Mathematical Contest in Modeling, pp. 211-223.[3]孙晓东，荆秦，梁俊，脑中药物分布的数学模型，数学的实践与认识，1991年No. 4，63-69. [4]中国科学院数理统计组，常用数理统计方法，科学出版社，19784.。
扩散与扩散过程的数学模型研究
扩散与扩散过程的数学模型研究随着科技的不断进步和数学建模的发展，我们对于扩散以及扩散过程有了更加深入的理解。
扩散是一种物质传输的现象，它广泛存在于生物学、化学、物理学等领域中。
通过数学建模，我们可以揭示其背后的数学规律，并更好地理解和预测扩散过程。
首先，我们来谈论扩散的基本概念。
扩散是指溶质在溶剂中的自发分子运动，由高浓度区域向低浓度区域传播。
这种分子运动是由于热力学原理中的热运动所导致的。
从宏观层面上看，扩散呈现出物质由浓度高处向浓度低处自发流动的现象。
在数学建模中，我们使用的是扩散方程。
最早由法拉第提出的扩散方程描述了物质随时间和空间的变化规律。
在一维情况下，扩散方程可以写作：∂C/∂t = D∂²C/∂x²其中，C是溶质浓度的函数，t是时间，x是空间位置，D是扩散系数。
这个方程表明，溶质浓度随时间的变化率与其空间梯度的二阶导数成正比。
这个方程可以通过数值方法进行求解，得到扩散过程中溶质浓度的变化。
扩散方程在化学反应动力学中扮演重要角色。
它可以帮助我们研究化学反应的速率，了解反应物在溶液中的传播和混合情况。
通过建立扩散方程的数学模型，我们可以预测反应物在不同条件下的扩散速度和范围，从而优化反应工艺。
除了一维情况下的扩散方程，还存在着更为复杂的扩散模型。
二维和三维的扩散方程包含更多的协方差分量，可以描述扩散过程中各个方向上的变化。
这些模型更加适用于现实生活中的扩散现象，比如气体在大气中的扩散、药物在人体中的传播等。
在实际应用中，我们经常需要考虑到扩散过程中的一些特殊条件和限制。
例如，在有限空间中且存在反应的情况下，我们需要考虑扩散方程与反应方程的耦合。
这时，我们可以通过建立反应-扩散方程组的数学模型来研究该反应的动力学行为。
另外，扩散过程还受到一些外界因素的影响，比如温度、浓度梯度、流动速度等。
这些因素会改变扩散系数，从而影响扩散速度和范围。
通过数学建模，我们可以研究这些影响因素的效应，并加以控制和优化。
数学建模阻止小道消息传播规律
数学建模阻止小道消息传播规律在现代社会中，信息传播变得迅速而广泛，小道消息往往会以意想不到的速度传播开来。
而数学建模作为一种工具，可以帮助我们理解和预测小道消息传播的规律，从而采取相应的措施来阻止其传播。
本文将探讨数学建模在阻止小道消息传播规律方面的应用。
1. 小道消息传播的特点小道消息传播是一种快速蔓延的现象，具有以下特点：快速性：小道消息传播速度快，往往只需要短时间就能影响大量人群。
社交性：小道消息多通过社交网络、口头传播等途径传播，从而迅速影响亲朋好友。
情感性：小道消息通常涉及情感因素，容易引起共鸣，加速传播。
2. 数学建模在阻止传播中的应用数学建模可以帮助我们理解小道消息传播的规律，从而采取相应的措施来阻止其传播。
网络传播模型：数学可以帮助我们建立网络传播模型，分析消息在社交网络中的传播路径和速度。
通过研究信息的传播途径，可以有针对性地选择阻断点，减缓传播速度。
传播速率模型：借助数学建模，我们可以分析小道消息的传播速率，并根据消息的内容、情感倾向等因素，预测其传播程度。
在早期预测的基础上，及早制定应对策略，有助于遏制消息传播。
信息封锁策略：数学建模可以帮助我们研究信息封锁策略的有效性。
通过模拟不同封锁策略下的消息传播情况，找到最优的封锁策略，从而最大限度地减少信息传播。
3. 阻止传播的策略基于数学建模的分析，我们可以制定一些策略来阻止小道消息的传播：针对性封锁：根据传播模型，针对影响较大的节点进行信息封锁，以阻止消息的传播路径。
信息替代：提供准确、有价值的信息，以替代虚假的小道消息，从而降低虚假消息传播的效果。
舆论引导：通过积极的宣传和舆论引导，改变人们的情感倾向，减缓负面消息的传播速度。
快速响应：一旦发现虚假消息，要及时快速地发布真实信息，阻止虚假消息继续扩散。
4. 社会共识的重要性除了数学建模和相应策略，培养社会共识也是阻止小道消息传播的重要手段。
人们应当认识到虚假消息对社会的危害，主动抵制传播虚假信息的行为，形成共同抵制虚假消息的社会风尚。
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其中 M 为扩散源的质量，经求解，得如下关系：
u(x, y, z,t) M 8tabc
t
exp
(x x0 )2 4a2t
( y y0 )2 4b2t
(z z0)2 4c2t
k
2t
下面我们将利用观测所得的数据，对参数 a，b，c，k 进行估计，从
而得出 u(x, y, z, t) 的近似表达式。
M3 [u(x, y, z,t t) u(x, y, z)]dxdydz
tt
udxdydzdt
t t
显然有： M3 M1 M 2 ，
也就是：
tt u
M3 t
t
dxdydzdt
t t t
(a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
k
2u)dxdydzdt
由于 t, t, ，的任意性得：
面 S，它所围的区域是 ，由于扩散，从 t 到 t t 时刻这段时间
内，通过 S 流入 的质量为 M1
M1
t t t
S
(a2 u cos b2 u cos c2 u cos )dSdt
x
y
z
其中 a2 , b2 , c2 分别是沿 x，y，z 方向的扩散系数。
由高斯公式 ：
M1
(z
z0 )2 4c2
k
2
其次考虑参数估计。对上式两端取对数，有
ln u(x, y, z,1) ln
M 2
2
ln(abc)
(
x
x0 4a2
)2
( y y0 )2 4b2
(z
z0 )2 4c2
k
2
为便于求解，下面分别令：
X (x x0 )2 , 4
Y ( y y0 )2 , 4
从而
u
u t
t
t0
u t
u
t0a2
2u x2
t0b2
2u y 2
t0c2
2u z 2
t0k 2u
于是可以令观测取样值的取样时刻为 t0 = 1。于是，( xi , yi , zi , mi ) 满足
u(x, y, z,1) M 8tabc
t
exp
(x x0 )2 4a2
(y
y0 )2 4b2
的估计值，从而得到参数 a，b，c，k 的估计值。 最后，将参数 a，b，c，k 的估计值代入，就得到 u(x, y, z,t)
的近似表达式。
模型分析： 1 文中所建立的汞扩散模型不仅可以从局部进行分析，还可以从
整体上进行分析。 2.本模型还可以拓展到其他有关扩散问题的模型求解。 3.该模型主要运用了微分方程和概率统计的知识,在多维正态方
t t t
(a2
2u x2
b2
2u y2
c2
2u z 2
)dxdydzdt
由于衰减， Q 内的质量减少为
tt
M2 t
k 2udxdydzdt
其中 k 2 为衰减系数。
其中，在 t 到 t t 时刻间 内由于扩散与衰减的合作用，积存于
内的汞质量为 M1 M2
另一方面，在 t 到 t t 时刻间 内由于浓度的变化引起的质量增 加为 M 3 。
模型的提出：
由于汞的扩散快慢跟本身的化学性质,物理性质有关。还有，由 于在土堆里头，在各个方向上受到的力不相同和各种因素的影响，因 此扩散的速度也会有差异。例如东西方向和南北方向会因为地球的自 传而扩散速度会不一样。另一方面，汞在扩散的过程，由于泥土的吸 收，化学反应等因数的影响，也会影响到汞的扩散。
1.《土壤重金属污染评价方法》 2.《有关扩散问题的Βιβλιοθήκη 型求解》 3.《数学模型（第三版）》
1 a2
,
1 b2
,
ln M 2 ln(abc) k 2 2
Z (z z0)2 , 4
1 , c2
则有如下关系式：
W ln u(x, y, z,1) X Y Z
由于我们获得的观测取样值 ( xi , yi , z, mi ) 可以转化为相应的观测取
样值 ( Xi ,Yi , Zi ,Wi )，于是利用多元回归分析可以求出 , , ,
u t
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
k 2u
上述方程就是汞浓度和时间关系的微分方程。
设汞的扩散源在点 ( x0 , y0 ，z0 ) 处，由于扩散过程满足 Cauchy
问题：
u
t
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
k 2u
u(x, y, z, 0) M (x x0 ) ( y y0 ) (z z0 )
关于金属汞扩散的问题
引言：
我们都知道，重金属丢弃到土地后会严重污染环境，同时对人 体健康造成危害。著名的秦始皇陵墓，据专家在陵墓周围取数据观测， 周围的汞含量呈现出外渗的趋势。也就是说，随着外围半径的扩大， 汞含量浓度递减，并且随着时间的增加，汞渗透的半径越来越大。这 就证明了汞金属在泥土中会发生扩散。因此，我们就提出，能否通过 在外部取样的观察数据，建立一个数学模型，来判断陵墓中心处汞的 浓度呢？
参数估计：
已知条件：①扩散源的质量 M；
t0 时刻
②扩散源的位置：( x0 , y0 , z0 )；
③ t0 时刻的观测取样值 ( xi , yi , zi , mi )， mi 为
( xi , yi , zi ) 处物质的浓度，i = 1, …, n。
假设取样时刻为 t0 ，作变量替换 t t0 ，则有 t / t0 ，
程和概率统计的数据转换求解方面存在一定的难度。
4.该模型由于没有观测数据，以此无法求出其具体表达式. 5.在模型建立过程，因没有考虑到土壤因素，人为因素的影响， 因此具有一定的局限性。 6.该模型的建立，由于没有实际进行数据调查，因此只是从理论 上来分析它的可行性能，在实用方面有待进行实践。
参考文献：
为此我们引入一个函数 u(x, y, z, t)，它表示 t 时刻在（x,y,z） 处汞的浓度。我们的目标就是利用所观测到的数据，来推断 出这个函数的表达式。 模型符号的引入：
为了表示汞在想 x,y,z 方向上的扩散速度，我们在此引
入扩散系数：
a2 ：x 方向上的扩散系数 b2 ：y 方向上的扩散系数
c2 ：z 方向上的扩散系数 k 2 ：由于泥土吸收，化学反应而引起的衰减系数
M：扩散源汞的质量
模型假设： 1。假设有一汞扩散源，汞从扩散源沿 x，y，z 三个方向
向四周扩散。 2。扩散前周围空间此物质的浓度为零。 3。扩散过程中没有人为因素的影响。
模型建立：
u(x, y, z, t) 是 t 时刻点 (x, y, z) 处某物质的浓度。任取一个闭曲