数学建模(关于扩散问题的建模)

参数估计：
已知条件：①扩散源的质量 M；
t0 时刻
②扩散源的位置：( x0 , y0 , z0 )；
③ t0 时刻的观测取样值 ( xi , yi , zi , mi )， mi 为
( xi , yi , zi ) 处物质的浓度，i = 1, …, n。
假设取样时刻为 t0 ，作变量替换 t t0 ，则有 t / t0 ，
1.《土壤重金属污染评价方法》 2.《有关扩散问题的模型求解》 3.《数学模型（第三版）》
其中 M 为扩散源的质量，经求解，得如下关系：
u(x, y, z,t) M 8tabc
t
exp
(x x0 )2 4a2t
( y y0 )2 4b2t
(z z0)2 4c2t
k
2t
下面我们将利用观测所得的数据，对参数 a，b，c，k 进行估计，从
而得出 u(x, y, z, t) 的近似表达式。
1 a2
,
1 b2
,
ln M 2 ln(abc) k 2 2
Z (z z0)2 , 4
1 , c2
则有如下关系式：
W ln u(x, y, z,1) X Y Z
由于我们获得的观测取样值 ( xi , yi , z, mi ) 可以转化为相应的观测取
样值 ( Xi ,Yi , Zi ,Wi )，于是利用多元回归分析可以求出 , , ,
(z
z0 )2 4c2
k
2
其次考虑参数估计。对上式两端取对数，有
ln u(x, y, z,1) ln
M 2
2
ln(abc)
(
x
x0 4a2
)2
( y y0 )2 4b2
(z
z0 )2 4c2
k
2
为便于求解，下面分别令：
X (x x0 )2 , 4
Y ( y y0 )2 , 4
程和概率统计的数据转换求解方面存在一定的难度。
4.该模型由于没有观测数据，以此无法求出其具体表达式. 5.在模型建立过程，因没有考虑到土壤因素，人为因素的影响， 因此具有一定的局限性。 6.该模型的建立，由于没有实际进行数据调查，因此只是从理论 上来分析它的可行性能，在实用方面有待进行实践。
参考文献：
为此我们引入一个函数 u(x, y, z, t)，它表示 t 时刻在（x,y,z） 处汞的浓度。我们的目标就是利用所观测到的数据，来推断 出这个函数的表达式。 模型符号的引入：
为了表示汞在想 x,y,z 方向上的扩散速度，我们在此引
入扩散系数：
a2 ：x 方向上的扩散系数 b2 ：y 方向上的扩散系数
u t
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
k 2u
上述方程就是汞浓度和时间关系的微分方程。
设汞的扩散源在点 ( x0 , y0 ，z0 ) 处，由于扩散过程满足 Cauchy
问题：
u
t
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
k 2u
u(x, y, z, 0) M (x x0 ) ( y y0 ) (z z0 )
的估计值，从而得到参数 a，b，c，k 的估计值。 最后，将参数 a，b，c，k 的估计值代入，就得到 u(x, y, z,t)
的近似表达式。
模型分析： 1 文中所建立的汞扩散模型不仅可以从局部进行分析，还可以从
整体上进行分析。 2.本模型还可以拓展到其他有关扩散问题的模型求解。 3.该模型主要运用了微分方程和概率统计的知识,在多维正态方
M3 [u(x, y, z,t t) u(x, y, z)]dxdydz
tt
udxdydzdt
t t
显然有： M3 M1 M 2 ，
也就是：
tt u
M3 t
t
dxdydzdt
t t t
(a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
k
2u)dxdydzdt
由于 t, t, ，的任意性得：
面 S，它所围的区域是 ，由于扩散，从 t 到 t t 时刻这段时间
内，通过 S 流入 的质量为 M1
M1
t t t
S
(a2 u cos b2 u cos c2 u cos )dSdt
x
y
z
其中 a2 , b2 , c2 分别是沿 x，y，z 方向的扩散系数。
由高斯公式 ：
源自文库
M1
t t t
(a2
2u x2
b2
2u y2
c2
2u z 2
)dxdydzdt
由于衰减， Q 内的质量减少为
tt
M2 t
k 2udxdydzdt
其中 k 2 为衰减系数。
其中，在 t 到 t t 时刻间 内由于扩散与衰减的合作用，积存于
内的汞质量为 M1 M2
另一方面，在 t 到 t t 时刻间 内由于浓度的变化引起的质量增 加为 M 3 。
从而
u
u t
t
t0
u t
u
t0a2
2u x2
t0b2
2u y 2
t0c2
2u z 2
t0k 2u
于是可以令观测取样值的取样时刻为 t0 = 1。于是，( xi , yi , zi , mi ) 满足
u(x, y, z,1) M 8tabc
t
exp
(x x0 )2 4a2
(y
y0 )2 4b2
关于金属汞扩散的问题
引言：
我们都知道，重金属丢弃到土地后会严重污染环境，同时对人 体健康造成危害。著名的秦始皇陵墓，据专家在陵墓周围取数据观测， 周围的汞含量呈现出外渗的趋势。也就是说，随着外围半径的扩大， 汞含量浓度递减，并且随着时间的增加，汞渗透的半径越来越大。这 就证明了汞金属在泥土中会发生扩散。因此，我们就提出，能否通过 在外部取样的观察数据，建立一个数学模型，来判断陵墓中心处汞的 浓度呢？
模型的提出：
由于汞的扩散快慢跟本身的化学性质,物理性质有关。还有，由 于在土堆里头，在各个方向上受到的力不相同和各种因素的影响，因 此扩散的速度也会有差异。例如东西方向和南北方向会因为地球的自 传而扩散速度会不一样。另一方面，汞在扩散的过程，由于泥土的吸 收，化学反应等因数的影响，也会影响到汞的扩散。
c2 ：z 方向上的扩散系数 k 2 ：由于泥土吸收，化学反应而引起的衰减系数
M：扩散源汞的质量
模型假设： 1。假设有一汞扩散源，汞从扩散源沿 x，y，z 三个方向
向四周扩散。 2。扩散前周围空间此物质的浓度为零。 3。扩散过程中没有人为因素的影响。
模型建立：
u(x, y, z, t) 是 t 时刻点 (x, y, z) 处某物质的浓度。任取一个闭曲