关于DFT共轭对称的讨论

数字信号处理中的对称性问题

数字信号处理中的对称性问题虞粉英;陆锦辉【摘要】数字信号处理是利用计算机或信号处理设备、采用数值计算方法对信号进行处理的过程.该文分析了离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散傅里叶变换(DFT)、连续与非周期以及离散与周期的对称性,将N点序列的离散谱视为DTFT连续谱一个周期的采样,解决了利用计算机分析信号频谱的问题.通过对比分析DTFT和DFT 的对称性可知,将DFT的对称性应用到实序列DFT计算中,可减少约50％运算量.【期刊名称】《南京理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(042)005【总页数】7页(P615-621)【关键词】数字信号处理;奇偶对称性;共轭对称性;圆周共轭对称性【作者】虞粉英;陆锦辉【作者单位】南京理工大学电子工程与光电技术学院,江苏南京210094;南京理工大学电子工程与光电技术学院,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】TN911.72数字信号处理(Digital signal processing,DSP)是利用计算机或通用(专用)的信号处理设备，采用数值计算的方法对信号进行处理的一门学科。

随着信息、通信、计算机科学与技术的迅速发展，数字信号处理理论得到快速发展，在信息与通信领域应用广泛。

文献[1]利用多路欠采样的方法对多分量线性调频(Linear frequency modulation，LFM)信号进行参数估计。

文献[2，3]研究了中继协作通信系统中数字信号处理算法的对称性问题，用于设计上下行链路。

数字信号处理理论在自动控制、生物医学、机械、能源、电力、纺织、仪器仪表等领域的应用也日益广泛[4，5]。

我国中东部经济发达地区电力供应相对紧缺，为此，在国家西电东输工程中，电力的转换与传输中存在大量的数据监测和监控，利用数字信号处理的方法就可以进行数据的自动分类、准确监控，从而实现高效率、高精度的电力转换与传输。

数字信号处理理论在电网储能优化配置中也有着重要作用[6]。

DFT的共轭对称性

又据Xep(k)的对称性：X ep
(k)

X
* ep
(( N

k )) N
RN
(k)
X (k) X *((N k))N RN (k)
当x(n)为纯虚序列时，则
X(k)=Xop(k)
又据Xop(k)的对称性：X
op
(k
)

X
* op
((k
))
N
RN
(k
)
X (k) X *((k))N RN (k)
即可由频域采样X (k)不失真地恢复原信号 x(n) ，否则产生时域混叠现象。
二、由X (k)表示X (Z )和X (e j ) - - -内插恢复
1.由X(k)恢复X(Z) M点有限长序列x(n)，频域N点等间隔抽样，且
NM
M 1
N 1
则： X (z) x(n)zn x(n)zn

k ))N
]RN
(k)
由x2 (n) Im[w(n)]得
X 2 (k )

DFT[x2 (n)]

1 j Wop (k)

1 2j
[W
((k )) N
W
* (( N

k )) N
]RN
(k)
3.3频域抽样理论--抽样Z变换
讨论：时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得 x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。

xep
(

数字信号处理： MATLABdft对称性验证以及应用

数字信号处理： MATLABdft对称性验证以及应用武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书目录1 MATLAB基本操作及常用命令介绍 (1)1(1 MATLAB的启动 .....................................................................11(2桌面平台 ..................................................................... . (1)1.3 基本平面图形绘制命令plot (2)2 理论分析 ..................................................................... (3)2.1实验内容 ..................................................................... . (3)2.2序列对称性的理论验证 (3)3 程序验证 ............................................................................................. 4 4 结果分析 ..................................................................... ........................ 7 5 对称性的应用 ..................................................................... .. (10)5.1 FFT算法的基本思想 (10)5.2 对称性应用的程序实现 (11)6 心得体会 ..................................................................... ...................... 15 参考文献 ..................................................................... .. (16)武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书1 MATLAB基本操作及常用命令介绍1(1 MATLAB的启动启动MATLAB有多种方式，最常用的方法就是双击系统桌面的MATLAB图标，也可以在开始菜单的程序选项中选择MATLAB快捷方式。

《数字信号处理》课后答案

数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列；（3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形；（4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形；（5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。

解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

dft共轭对称证明

dft共轭对称证明要证明DFT（离散傅里叶变换）的共轭对称性，首先需要明确DFT的定义。

DFT将一个长度为N的离散序列x(n)转换为一个长度为N的频谱序列X(k)。

其定义为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j2πkn/N)], n=0,1,2,...,N-1, k=0,1,2,...,N-1现在我们来证明DFT的共轭对称性。

设x(n)为一个长度为N的离散序列，则DFT的共轭对称性可以表示为：X(N-1-k) = X*(k), k=0,1,2,...,N-1即，X(N-1-k)与X(k)的共轭相等。

证明：首先，将X(N-1-k)的定义代入DFT的定义中：X(N-1-k) = Σ[x(n) * exp(-j2π(N-1-k)n/N)], n=0,1,2,...,N-1接下来，我们将k替换为N-1-k，此时原来的求和变为：X(N-1-k) = Σ[x(n) * exp(-j2π(N-1-k)n/N)], n=0,1,2,...,N-1因此，我们可以将下标n替换为N-1-n，得到：X(N-1-k) = Σ[x(N-1-n) * exp(-j2π(N-1-k)(N-1-n)/N)],n=0,1,2,...,N-1接下来，我们可以交换求和中的n和N-1-n的顺序，并且将exp中的指数进行简化：X(N-1-k) = Σ[x(n) * exp(-j2π(k+n)/N)], n=0,1,2,...,N-1然后，我们将求和中的n替换为m，得到：X(N-1-k) = Σ[x(m) * exp(-j2π(k+m)/N)], m=0,1,2,...,N-1注意到，这与DFT的定义非常相似，只是指数的符号相反。

我们知道exp函数的共轭是exp函数的倒数，即exp(-jθ)的共轭是exp(jθ)。

因此，将指数中的负号移到前面，可以得到：X(N-1-k) = Σ[x(m) * [exp(-j2π(k+m)/N)]*], m=0,1,2,...,N-1即，X(N-1-k)等于X(k)的共轭。

关于DFT共轭对称的讨论

实部奇对称、虚部偶对称模值偶对称、相角奇对称
DFT
X ep (k ) X (k ) X op (k ) 0 Re[ X (k )] j Im[ X (k )]
纯虚序列的共轭对称性
序列
Re[ x(n)] 0 j Im[ x(n)] xep (n) xop (n)
DFT
X ep (k ) 0 X op (k ) X (k ) Re[ X (k )] j Im[ X (k )]
关于DFT共轭对称的讨论
圆周共轭对称序列满足：
* xep (n) xep (( N n)) N RN (n)
实部圆周偶对称
Re[ xep ( n )] Re[ xep (( N n )) N RN ( n )]
虚部圆周奇对称
幅度圆周偶对称
Im[ xep (n)] Im[ xep (( N n)) N RN (n)]
实偶序列
x1 5, 4, 3, 2,1, 2, 3, 4
实偶序列
X 1 24, 6.8284,0, 1.1716,0, 1.1716,0, 6.8284
实奇序列
x2 0, 4, 3, 2, 0, - 2, - 3, - 4
纯虚奇对称
X 2 0, 0 - 14.485i, 0 - 4i, 0 - 2.4853i, 0, 0 2.4853i, 0 4i, 0 14.485i
实序列
实部偶对称、虚部奇对称模值偶对称、相角奇对称
x3 5，4，3，2，1，- 2，- 3，- 4
X 3 6，4 14.485i， 6 - 4i， 4 - 2.4853i ， 6， 4 2.4853i ， 6 4i， 4 14.485i

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数字信号处理： MATLABdft对称性验证以及应用武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书目录1 MATLAB基本操作及常用命令介绍 (1)1(1 MATLAB的启动 .....................................................................11(2桌面平台 ..................................................................... . (1)1.3 基本平面图形绘制命令plot (2)2 理论分析 ..................................................................... (3)2.1实验内容 ..................................................................... . (3)2.2序列对称性的理论验证 (3)3 程序验证 ............................................................................................. 4 4 结果分析 ..................................................................... ........................ 7 5 对称性的应用 ..................................................................... .. (10)5.1 FFT算法的基本思想 (10)5.2 对称性应用的程序实现 (11)6 心得体会 ..................................................................... ...................... 15 参考文献 ..................................................................... .. (16)武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书1 MATLAB基本操作及常用命令介绍1(1 MATLAB的启动启动MATLAB有多种方式，最常用的方法就是双击系统桌面的MATLAB图标，也可以在开始菜单的程序选项中选择MATLAB快捷方式。

第九讲 DFT性质-共轭对称-频率采样

目
录
第1章离散时间信号、系统和z变换第2章 DFT及其快速算法第3章数字滤波器设计第4章离散随机信号的处理
第2章 DFT及其快速算法 2-1 周期序列 2-2 离散傅立叶级数 2-3 离散傅立叶变换 2-4 频率采样理论 2-5 快速傅立叶变换 2-6 离散傅立叶反变换（IDFT) 的运算
N 1
*
N 1
*
？
X (k )
*
DFT x* ( N n ) = X * ( k ) DFT [x( N n )] = X ( N k )
[
]
1 6
共轭对称与共轭反对称
如果 x (n)为复序列，则 1)序列满足 x ( n ) = x ( n), 则称为共轭对称序列 → xe (n) 1)序列满足 x ( n ) = x (n), 则称为共轭反对称序列 → xo ( n)
* o
1 xo ( n ) = x ( n ) x * ( n ) 2
[
关于原点的纵坐标的对称性
圆周共轭偶（奇）对称序列
1 xep (n) = x ( N n) = x(n) + x* ( N n) 2 1 * xop (n) = xop ( N n) = x(n) x* ( N n) 2
T
( t nT )]
π
T
( t nT )
= xa( t )
即由信号的抽样值xa(nT)经此公式而得到连续信号xa(t).
二、频率抽样理论（频域抽样不失真条件）
（1）问题引入 1、是否任何一个频谱特性，都能用频域抽样的办法去逼近呢? 2、其限制条件是什么?
X (k) = X (z)
关于N/2点的纵坐标的对称性

数字信号处理课后第三章习题答案

1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
（8）解法一
直接计算：
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)

n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
（10）解法一
X (k )

n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为x(n)=nRN(n)，所
以
x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT，得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0

共轭序列的dft

共轭序列的dft共轭序列的DFT（Discrete Fourier Transform）是一种在数字信号处理和频谱分析中常用的数学工具。

通过对信号进行DFT，可以将信号在时域上的离散采样转换为频域上的频谱分布，从而可以对信号的频率特性进行分析和处理。

在DFT中，共轭序列是指对于一个复数序列，通过将序列中的每一个元素取共轭得到的新序列。

具体而言，对于一个复数序列X={x[0], x[1], ..., x[N-1]}，其共轭序列Y={y[0], y[1], ..., y[N-1]}的定义如下：y[k] = conj(x[k])，其中conj表示取共轭。

共轭序列的DFT是指对共轭序列进行DFT变换得到的结果。

在进行DFT变换时，通常会使用FFT（Fast Fourier Transform）算法，该算法可以高效地计算DFT，提高计算速度。

通过共轭序列的DFT，可以得到信号的频域表示，即信号的频谱。

频谱可以反映信号在不同频率上的能量分布情况，从而可以对信号进行频谱分析。

通过分析信号的频谱，可以获得信号的频率成分、频率分布特性等信息。

共轭序列的DFT在许多领域都有广泛的应用。

在通信领域，共轭序列的DFT可以用于信号的调制和解调，从而实现信号的传输和接收。

在音频处理中，共轭序列的DFT可以用于音频信号的频谱分析、音频合成等。

在图像处理中，共轭序列的DFT可以用于图像的频域滤波、图像压缩等。

共轭序列的DFT的计算过程可以通过矩阵运算来实现。

假设共轭序列的长度为N，那么共轭序列的DFT可以表示为一个N×N的矩阵乘法运算。

具体而言，设共轭序列为Y={y[0], y[1], ..., y[N-1]}，其DFT结果为Z={z[0], z[1], ..., z[N-1]}，那么可以表示为以下矩阵乘法的形式：Z = W · Y，其中W为一个N×N的矩阵，称为DFT矩阵。

DFT矩阵的每一个元素可以通过以下公式计算得到：W[k, n] = e^(-i * 2π * k * n / N)，其中e为自然对数的底，i 为虚数单位。

DFT对称性的验证以及应用课程设计

1 DFT 基础知识1.1离散傅立叶变换（DFT ）定义在实际应用中，经常遇到的是有现场的非周期序列，需要知道的是如何获取有限长序列的离散频谱。

事实上，完全可以借助离散傅里叶级数，来研究有限长序列频谱的离散化。

可以设x(n)是一个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为：正变换：)(k X =DFT[)(n x ] =nk NjN n en x π21)(--=∑ =nk NN n Wn x ∑-=1)(10-≤≤N k反变换：)(n x =IDFT[)(k X ]=∑-=12)(1N k kn Njek X Nπ=∑-=-1)(1N k nk NWk X N10-≤≤N n或)(k X ＝nk NN n Wn x ∑-=1)(R N (k)＝)(~k X R N (k)x(n)= ∑-=-10)(1N k nk NWk X NR N (n) =)(~n x R N (n)式中Nj N eW π2-=，N 称为DFT 变换区间长度，N≥M 。

DFT 隐含有周期性。

1.2复共轭序列的DFT设*()x n 是()x n 的复共轭序列，长度为N ，则（1）已知)(k X ＝DFT[()x n ]则DFT[*()x n ]=*()X N k - 10-≤≤N k且()(0)X N X =（2）已知)(k X ＝DFT[()x n ]则DFT[*()x N n -]=*()X k 10-≤≤N k1.3 DFT 的共轭对称性DFT 有对称性，但由于DFT 中讨论的序列)(n x 及其离散傅立叶变换)(k X 均为有限长序列，且定义区间为0到N-1，所以这里的对称性是指关于N/2点的对称性。

下面讨论DFT 的共轭对称性质。

1.3.1 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列长度为N 的有限长序列)(n x ,若满足)()(*n N x n x -=, 10-≤≤N n （1.1）称序列)(n x 为共轭对称序列，一般用)(n x ep 来表示。

DFT的共轭对称性

N −1
内插公式与内插函数
1 − z − N N −1 X ( k ) 内插公式：X ( z ) = ∑ 1 − W − k z −1 N k =0 N 1 1 − z−N 内插函数：Φ k ( z ) = ⋅ − k −1 N 1 − WN z
则内插公式简化为： X ( z ) = ∑ X ( k )Φ k ( z )
即可由频域采样 X ( k ) 不失真地恢复原信号 x ( n ) ，否则产生时域混叠现象。
二、由X (k )表示X ( Z )和X (e ) - - -内插恢复
1.由X(k)恢复X(Z) M 点有限长序列x ( n )，频域N 点等间隔抽样，且
jω
N≥M
则： X ( z ) = ∑ x ( n ) z − n = ∑ x ( n ) z − n
若有: x(n) = xr (n) + jxi (n) DFT[ x(n)] = X (k ) = X ep (k ) + X op (k )
则有：
1 xr (n) = [ x(n) + x∗ (n)] 证明： 2 1 DFT[ xr (n)] = [ X (k ) + X ∗ ( N − k )] = X ep (k ) 2 1 xi (n) = [ x(n) − x∗ (n)] 2 1 DFT[xi (n)] = [ X (k ) − X ∗ ( N − k )] = X op (k ) 2
DFT [ x1 (n)] = X 1 (k )
DFT [ x2 (n)] = X 2 (k )
利用两序列构成一个复序列
w( n ) = x1 ( n ) + jx2 ( n ) 则 W ( k ) = DFT [ w( n )] = DFT [ x1 ( n ) + jx2 ( n )] = DFT [ x1 ( n )] + jDFT [ x2 ( n )] = X 1 ( k ) + jX 2 ( k )

DFT的计算量及对称性(图) 17

DFT的计算量及对称性（图）上一回说到，为了克服DFT存在的栅栏效应、频谱泄漏和混叠失真等问题，可以增加采样点数N。

但点数N的增加又会带来DFT计算量呈幂函数规律大幅度增加。

即对于长度为N有限长序列x（n），完成其一个N点DFT（1）需要进行的计算量为：（2）和（3）完成一个如下的逆变换运算量亦然：（4）假设一个点数N＝1024的信号，则DFT计算量仅复数乘法运算就高达104万次以上。

现在工程技术实际中采样点数N可达（5）那么仅复数乘法计算量就高达（6）简直是天文数字！如果有许多路信号序列的实时控制系统，你让计算机怎么来得及处理啊？可见我们必须千方百计减少DFT的运算量！科学家们首先想到的就是利用DFT的“对称性”。

一、复共轭序列的DFT我们知道DFT中的序列都可以表示为复数项级数，那么自然就有与之相对的复共轭序列。

设是的复共轭序列，长度也为N，若（7）则复共轭序列的离散傅里叶变换为（8）且（9）证明：由DFT的定义式（1）有（10）注意上式中使用了（11）且因为DFT的概念是建立在周期序列的基础之上的，所以X（k）隐含周期性，根据DFT的定义式（1）便有（12）即DFT的末点就是其起始点。

证毕。

同理可证（13）二、共轭对称性的定义根据序列的偶对称和奇对称性质，有限长共轭对称序列定义为（14）有限长共轭反对称序列定义为（15）由此推论出（16）（17）和（18）（19）注意：上述结论对频域序列X（k）也成立。

此处的对称性指关于变换区间中点（N/2点）的对称性。

因为x（n）和X （k）均是区间[0，N－1]上的有限长序列。

三、序列表示为共轭对称部分和共轭反对称部分时的DFT因为任何有限长序列x（n）都可以表示为其共轭对称部分和共轭反对称部分之和，即：（20）则（21）其中，X（k）的实部对应于x（n）的共轭对称部分的DFT：（22）X（k）的虚部（包括虚数单位j）对应于x（n）的共轭反对称部分的DFT：（23）四、序列表示为实部和虚部时的DFT设（24）其中序列的实部为（25）序列的虚部（包括虚数单位j）为（26）则（27）其中，X（k）的共轭对称部分对应于x（n）的实部的DFT：（28）X（k）的共轭反对称部分对应于x（n）的虚部（含j）的DFT：（29）五、实序列的DFT特殊地，如果有实序列：（30）则其DFT（31）此时不难由式（8）推论出（32）六、DFT的共轭对称性的应用利用共轭对称性，进行一次DFT可以变换两个实序列。

11.关于有限长序列的离散傅里叶变换DFT的（圆周）共轭对称性问题[共2页]

11.关于有限长序列的离散傅里叶变换DFT的（圆周）共轭对称性问题[共2页]·180· 式中，n'在MATLAB 中表示向量的共轭转置，对于实向量则等效于线性代数中常用的n T ，表示将行向量n 转置成列向量，或者也可用n .'来表示向量的（非共轭）转置。

注意：在上述关键语句分析段中，n'和n T 中的n 都是指向量n =(0:N )，即(0,1,…,N )，而后面的Σ式中的n 则是指从0到N 的其中一个数；x 是指对应于离散序列x [n ]的向量[x (0),x (1),…,x (N )]，k 是指向量(?2M :2M )，即[?2M ,…,0,…,2M ]，而X 是指j (e )X ω离散化后的向量[(2),,X M ?…(0),,(2)]X X M …。

另外注意，MATLAB 中的向量下标引用是从1开始的，如向量y =(0:10)，则有y (1)=0，y (2)=1，…，y (10)=9，y (11)=10，与上述x (0)、x (1)等意义不同：如MATLAB 中的y (1)是指向量y 的第一个元素，而上述x (1)是指与n =1对应的离散序列x [n ]中元素。

注意：根据数字信号处理理论的知识，这里的ω（即参考源程序中的w ）是指数字角频率（即相对于抽样频率归一化后的角频率），而不是模拟角频率Ω（有ω=ΩT ），即真正的模拟频率应为(ω/T )/(2π)=(ωf )/(2π)，其中T 为抽样时间间隔，f 为抽样频率。

在本例中，T =1s ，f 为1Hz ，所以输出X 的频率范围应如参考源程序中所示写为w/(2*pi)*1，单位为Hz 。

11．关于有限长序列的离散傅里叶变换DFT 的（圆周）共轭对称性问题首先讨论无限长序列x (n )的傅里叶变换，它就是单位圆上的z 变换。

定义共轭对称序列为满足x e (n )=x e *(?n )的序列x e (n )，其中“*”表示取复数共轭；对于实序列，这一条件变成x e (n )=x e (?n )，即为偶对称序列。

对DFT(FFT)的一些理解

一、幅频图傅里叶反变换的实质是将已知信号分解成不同频率信号的组合，对于DFT由其反变换（公式(1)）可知，分解后信号的频率k*2π/N，n为时间，所以此时原来的信号，变成了一系列频率离散的信号的组合，所以在频域的图形（幅频图）是一个个离散的点，这点也可由正变换公式得。

由公式（2）对于每一个频率k*2π/N，计算结果都是一个点，同时每个频率的基本幅度是|X(k)|，为什么说基本幅度，因为这个幅度不是各个不同频率信号真正的幅度，由（1）式可以看出，前面还有一个1/N，又由于DFT的圆周对称性，当x(n)为实序列或者纯虚序列信号时，其DFT正变换结果的幅度是圆周对称的。

如下所示，下图是对两个正弦信号（一个50Hz，幅度3，一个75Hz，幅度1.5）与一个直流信号（幅度2）之和求解256点DFT，然后对其幅度求模所得的结果，由图可以看出，如果将这些点放在一个圆周上，他们是关于n=0对称的。

这相当于一个双边谱，频率的能量分成了对称的两部分。

所以其真正的幅度如下，当K不等于0时，频率k*2π/N的幅度等于2|X(k)|/N，K=0时，也就是直流信号的幅度为|X(k)|/N，N为计算DFT的点数。

而且最后结果只取前一半的频率点。

重新计算后得幅频图如下所示，与开始所设的信号幅度一致。

而当信号是复信号时则无对称性质。

例如，信号2+3*exp(j*2π*50*n)，真正的幅度就是|X(k)|/N，而且作图时不需要人工去掉后一半的点。

结果如下：另外，本人认为双边谱的结果只是计算的结果，并无实际物理意义，这与用虚指数信号表示的连续周期信号的傅里叶级数出现负频率类似，频率关于ω=0对称。

计算能量也就是真正的幅度时，要考虑到与真频率相对应的负频率。

对于对称性可以有以下的解释。

在傅里叶变换的层面上，总体的来说，因为傅里叶反变换就是把信号分解成以exp(jω)或者exp(jk*2π/N)为基本信号的组合，所以一个复指数信号就代表一个频率（其它复杂复信号可以由复指数信号合成），所以信号是复信号的时候没有对称性。

dft的复共轭

DFT算法的复共轭1. 引言离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种将离散信号转换为频率域表示的方法。

DFT广泛应用于信号处理领域，如图像处理、音频处理等。

在DFT计算中，复共轭的概念起到了重要作用。

本文将介绍DFT的复共轭以及其在信号处理中的应用。

2. DFT的基本原理DFT是将一个以时间为域的离散信号转换为以频率为域的信号。

对于一个长度为N的离散信号x[n]，其DFT变换结果X[k]可以表示为如下公式：X[k]=∑xN−1n=0[n]⋅e−j2πN kn其中，k表示频域上的频率点，n表示时间域上的采样点，j表示虚数单位。

3. 复共轭的概念在DFT计算中，经常会用到复共轭的操作。

复共轭是指一个复数的实部保持不变，而虚部取负数。

对于一个复数z=a+bi，其复共轭可以表示为z*=a-bi。

在DFT中，复共轭的概念主要应用于频域上的信号。

4. 复共轭的性质复共轭具有以下几个性质：•一个复数和它的复共轭的乘积是实数，即：zz*=|z|^2。

•复数和它的复共轭的和是实数的两倍，即：z+z*=2Re(z)，其中Re(z)表示复数z的实部。

•两个复数的和的复共轭等于这两个复数的复共轭之和，即：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)+(c+di)*=(a+c)+(b-d)i。

5. DFT中的复共轭在DFT计算过程中，复共轭的操作经常用于处理实数信号。

对于一个实数信号x[n]，它的频域表示X[k]满足共轭对称性：X[N-k]为X[k]的复共轭。

即X[N-k] = X[k]*。

利用频域上的复共轭性质，可以实现对实数信号频域表示的处理，减少对实数序列计算的复杂度。

6. 复数的表示与DFT在计算机中，对复数的表示可以使用实部和虚部的形式，也可以使用幅度和相位的形式。

在DFT中，经常会借助复数的幅度和相位进行处理，幅度表示了频率分量的强度，相位表示了频率分量的位置。

共轭序列的dft

共轭序列的dft共轭序列的DFT（离散傅里叶变换）是一种信号处理中常用的工具，它在时间域和频率域之间建立了一种数学关系。

在本文中，我们将探讨共轭序列的DFT的概念、原理和应用。

让我们来了解一下DFT的基本概念。

DFT是一种将离散时间域信号转换为离散频率域信号的数学运算。

它通过计算信号在一组正弦和余弦基函数上的投影来实现。

DFT的结果是一个包含信号在不同频率上的能量分布的频谱。

共轭序列的DFT是对一个序列的共轭进行DFT变换得到的。

共轭序列是指将原始序列的虚部取负，并与实部组合而成的新序列。

通过对共轭序列进行DFT变换，我们可以获得原始序列在频率域上的共轭对称性。

为了更好地理解共轭序列的DFT，让我们看一个简单的例子。

假设我们有一个离散序列[1, 2, 3, 4]。

首先，我们可以得到其共轭序列[1, -2, 3, -4]。

然后，我们对共轭序列进行DFT变换，得到频谱[6, -2j, -2, 2j]。

我们可以观察到频谱中的共轭对称性，即6和-2j，-2和2j分别是共轭对称的。

共轭序列的DFT在信号处理中有许多应用。

其中一个重要的应用是滤波器设计。

通过对滤波器的频率响应进行共轭序列的DFT变换，我们可以获得其共轭对称性，从而实现更高效的滤波器设计。

另一个应用是信号的谱估计。

通过对信号的共轭序列进行DFT变换，我们可以获得信号在频率域上的能量分布。

这对于频谱分析和信号特征提取非常有用。

共轭序列的DFT还可以用于解决一些数学问题，如卷积和相关性计算。

通过对序列的共轭序列进行DFT变换，我们可以将卷积运算转化为频域上的乘法运算，从而简化计算过程。

总结起来，共轭序列的DFT是一种在时间域和频率域之间建立数学关系的信号处理工具。

它通过对序列的共轭进行DFT变换，实现了频谱的共轭对称性。

共轭序列的DFT在滤波器设计、谱估计和数学计算等方面有着广泛的应用。

通过深入理解共轭序列的DFT，我们可以更好地理解信号处理领域中的相关概念和技术，并应用于实际问题中。