【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦：解析几何(2)
历年高考数学真题考点归纳 2011年 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线2
历年高考真题考点归纳 2011年 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线226.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--==N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为)22,1(--，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以.22122=--=k （2）直线PA 的方程2221,42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得).34,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是),0,32(C 直线AC 的斜率为.032,13232340=--=++y x AB 的方程为故直线.32211|323432|,21=+--=d 因此（3）解法一：将直线PA 的方程kx y =代入22221,421212x y x k kμ+==++解得记则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是--故直线AB 的斜率为,20kk =++μμμ 其方程为,0)23(2)2(),(222222=+--+-=k x k x k x ky μμμ代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222k k k x x B kkkμμμμ++==-+++或因此.于是直线PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231k k k k k k k k kkk k -=+-++-=++-+=μμμ因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二：设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则.设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以.22)()(0111112kx y x x y k ==---=从而1)()(212112*********+----⋅--⋅=+=+x x y y x x y y k k k k.044)2(12221222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y因此.,11PB PA k k ⊥-=所以27.（安徽理21）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。
2011年高考数学最后压轴大题系列--解析几何
2011年高考数学最后压轴大题系列-解析几何1. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ，其半焦距6=c 。
||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53，93645222=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； （II ）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，162036212121=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x 。
2. 直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.02222,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .566).)(2,2(566566.066252的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以可知舍去或解得C AB k k k k k +-=--∉-=+-==-+3. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以4. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ∆（O 为原点）的面积的最大值及相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,a 2=22==c21222124cos PF PF PF PF ⋅-+=θ=2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -221,321.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩063)1(222=-+-y my即 044)32(22=--+my y m .由韦达定理得: 324221+=+m m y y 324221+-=⋅m y y ∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t∴221y y -=4448)12(482++=+tt t t . 又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316 ∴OMN S ∆ 的面积有最大值332. 直线l 的方程为1-=x .5. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率eC (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭圆E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a b(a ＞b ＞0)，由e =c aa 2=b 2+c 2得a 2=3 b 2， 故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① (Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)， 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ② 把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0， 且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），∴x 1+x 2= -22631k k +， ③x 1x 2=2223331k b k -+， ④∴O AB S ∆=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 2+1|．联立②、③得x 2+1=22(1)(31)k λ-+，∴O AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + (k ≠0)． (Ⅱ)OAB S ∆=11λλ+-·2||31k k +=11λλ+-·113||||k k +≤11λλ+-(λ≥2)． 当且仅当3| k | =1||k ，即k=OAB S ∆取得最大值，此时x 1+x 2= -1． 又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，∴x 1=11λ-，x 2= -1λλ-，代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5，,k b 的值符合(*) 故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-(λ≥2)． (Ⅲ)由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+-1，x 2=22(1)(31)k λ-+-1， 将x 1，x 2代入④，得23b =224(1)(31)k λλ-++1． 由k 2=λ-1得23b =24(1)(32)λλλ--+1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知，当2λ≥时，3b 2是λ的减函数，故当2λ=时，23b 取得最大值3． 所以，当2λ=，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．6. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线. （I ）求椭圆的离心率；（II ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值.解：（I ）设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a c ba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+222221222121212123.833()()a c ab x xc a b x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+-- .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.7. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线12x =-上。
2011年高考解析几何考些啥
高考解析几何将会如何考文/刘 文考点1：直线与圆命题走向 高考主要考查直线的倾斜角与斜率、直线方程的各种形式、两条直线的交点及直线系方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式等，以及确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系、与圆相关的轨迹、圆的几何性质的应用等内容.重点关注 直线与圆是解析几何的基础内容，也是高考的重点内容.高考一般以选择题、填空题的形式进行考查，主要考查直线的斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等内容.试题预测 1.若过点P(2，1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条2.过点(2,0)-且倾斜角为4π的直线l 与圆225x y +=相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为A.3.如右图所示，定圆的半径为a ，圆心为(b ，c)，则直线ax+by+c=0与直线 x –y+1=0的交点在A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限4.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有A.1个B.2个C.3个D.4个5.直线233+=x y 与圆心为D 的圆0123222=+--+y x y x 交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为A.76πB.54πC.53πD.43π6.如果圆22(3)(1)1x y ++-=关于直线:l 410mx y +-=对称，那么直线l 的斜率等于 .参考答案 1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.14k =-考点2：圆锥曲线与方程的基础问题命题走向 高考主要考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，数形结合思想等内容.重点关注 椭圆和抛物线.尽管高考对双曲线的考查要求不高，但是对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考查常考常新，经常会命制一些较为新颖的考查基础知识的题目.解答这类问题时，考生要善于运用双曲线的定义和参数之间的关系求解.试题预测 1.双曲线的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是该双曲线的右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定是A.相交B.内切C.外切D.相离2.若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为A.1716 B.17174 C.54 D.5523.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，,M N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上的任意一点，且直线PM PN 、的斜率分别为12k k 、.若1214k k =，则椭圆的离心率为A.12 B.2 C.2 D.34.已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切.过点P (－4，0)作斜率为14的直线l ，使得l 与G 交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB上，又满足|PA |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线的方程. (2)求双曲线G 的方程. (3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴.如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程.参考答案 1.B 2.D 3.C 4.(1)y ＝±12x . (2)x 228－y 27＝1. (3)x 228＋y256＝1.考点3：解析几何中以最值、范围问题把关的综合解答题命题走向 高考主要考查以下两类问题：一类是利用曲线的几何定义或问题的几何背景，先确定几何上达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数，转化为函数最值来求解.重点关注 解析几何中的最值、范围问题，是一类综合性较强的问题，也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内容.这类问题以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求.试题预测 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为A (0)，，过点M (0，2)的直线l 与椭圆相交于P ，Q 不同的两点，点N 在线段PQ 上.(1)求椭圆的标准方程. (2)设||||||||PM MQ PN NQ λ==，求λ的取值范围. 参考答案(1)12822=+y x . (2)λ考点4：解析几何中以定点、定值问题把关的综合解答题命题走向 此类问题主要包括几何量(如斜率、距离、面积、比值等)的定值，曲线系(直线系)过定点等问题，考生在处理时可以直接计算推理求出定点、定值，也可以通过特定位置猜测结论后再进行一般性证明.重点关注 合理设参，加强图形识别能力与运算推理能力的训练；熟练消参，注意思维的严密性与结果的完整性.试题预测 1.已知椭圆的右顶点为A ，离心率12e =，过左焦点()1,0F -作直线l 与椭圆交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线 4x =-交于点,M N .(1)求椭圆的方程.(2)证明：以线段MN 为直径的圆经过焦点F .2.在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -，再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.(1)求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程.(2)已知点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点,E ，F 是轨迹M 上的两个动点，如果直线AE 的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=，证明：直线EF 的斜率是定值.参考答案 1.(1)22143x y +=. (2)证明过程省略. 2.(1)22143x y +=(2x ≠±). (2)直线EF 的斜率为定值12.证明过程省略.。
2011年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题五：解析几何(教师版)
2011年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题五解析几何【命题特点】近三年高考解析几何每年出一道满分为12分的解析几何大题.究其原因,一是解析几何是中学数学的一个重要组成部分,二是同学们在未来学习、发展中的需要所致.细细品读这三年的解析几何大题,感觉如山间的涓涓清泉滋润心田,甘甜可口,不愿离去.为了找到清泉流向远方的目标,我从其志、探其源、求其真.经过探究,发现这几年的解析几何大题的命题特点可概括如下:依纲靠本,查基考能;朴实取材,独具匠心;不断创新,关注交汇;交切中点,核是线圆;长度面积,最值定值;平行垂直,向量驾驭;求轨探迹,运动探究;数形结合,各领风骚;灵气十足,回味无穷;文理有别,意境深远.复习建议1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。
2．由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究。
3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。
4.在注重提高计算能力的同时，要加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。
【试题常见设计形式】近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程(类型确定、类型未定)；②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题)；③与曲线有关的最(极)值问题；④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；解析几何虽然内容庞杂，但基本问题却只有几个.如①求直线与圆锥曲线的方程；②求动点的轨迹或轨迹方程；③求特定对象的值；④求变量的取值范围或最值；⑤不等关系的判定与证明；⑥圆锥曲线有关性质的探求与证明等.对各类问题，学生应从理论上掌握几种基本方法，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性.如“求变量的取值范围”，可指导学生掌握三种方法：几何法（数形结合），函数法和不等式法. 从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优化解题过程，常用的解题策略有：①建立适当的平面直角坐标系；②设而不求，变式消元；③利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；④发掘平面几何性质，简化代数运算；⑤用函数与方程思想沟通等与不等的关系；⑥注意对特殊情形的检验和补充；⑦充分利用向量的工具作用；⑧注意运算的可行性分析，等等。
江苏省南京市2011高三数学二轮专题复习 解析几何
解析几何二轮复习建议引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。
用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。
由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。
用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。
坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。
因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。
以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。
基本题型一：求基本量1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。
这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现．2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。
在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量．例1．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____． 解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2＋y 2＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3⋅1－1⋅0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3．当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3．例2．(2008天津）设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为___________解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝12，根据第二定义得P 到右准线距离为2．例3．（2007安徽）如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为___________．解法一：不妨设OF 2＝1，因为OF 1＝OF 2＝OA ， 所以△AF 1F 2为直角三角形．所以AF 1＝1．所以2a ＝AF 2－AF 1＝3－1,又2c ＝2，所以e ＝ca＝3＋解法二：连接OA ，由△ABF 2为等边三角形，可得A 点的坐标为(－12c ，32c )． 因为A 在双曲线上，所以(－12c )2a 2－(32c )2b 2＝1，即14e 2－34e 2e 2－1＝1，去分母整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，e ＝3±1．因为e ＞1，所以e ＝3＋1．例4．（2008四川）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为____________．解：如图，过A 作AH ⊥l ，垂足为H ，由抛物线的定义可知，AF ＝AH ，又AK ＝2AF ，所以AK ＝2AH ，因为∠AHK ＝90︒，所以∠AKH ＝45︒，所以KH ＝AH ＝y A ．所以AF ＝y A ．即AF ⊥x 轴． 所以AF ＝FK ＝4，S △AFK ＝8．例5．（2010四川）椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．分析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等，FA PF =。
2011年江苏数学高考试卷含答案和解析
2011年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_________．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=_________．7．（5分）已知，则的值为_________．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_________．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）= _________．10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为_________．11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为_________．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________．13．（5分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________．14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是_________．二、解答题（共9小题，满分120分）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{a n}的通项公式．21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．22．（10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．2011年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={﹣1，2}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据已知中集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易给出A∩B 解答：解：∵集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∩B={﹣1，2}故答案为：{﹣1，2}点评：本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的原则，即可求出函数的单调区间．解答：解：要使函数的解析有有意义则2x+1＞0故函数的定义域为（﹣，+∞）由于内函数u=2x+1为增函数，外函数y=log5u也为增函数故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本题易忽略定义域，造成答案为R 的错解．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是1．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘i，化简后移项可得复数z，然后求出它的实部．解答：解：因为i（z+1）=﹣3+2i，所以i•i（z+1）=﹣3i+2i•i，所以z+1=3i+2，z=1+3i它的实部为：1；故答案为：1点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为3．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，∵a=2＜b=3，∴m=3故答案为：3点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．解答：解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为=；故答案为：．点评：本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= 3.2．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数，再利用求方差的公式，代入数据求出这组数据的方差，得到结果．解答：解：∵收到信件数分别是10，6，8，5，6，∴收到信件数的平均数是=7，∴该组数据的方差是，故答案为：3.2点评：本题考查求一组数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．7．（5分）已知，则的值为．考点：二倍角的正切；两角和与差的正切函数．专题：计算题；方程思想．分析：先利用两角和的正切公式求得tanx的值，从而求得tan2x，即可求得．解答：解：∵，∴=2，解得tanx=；∴tan2x===∴==故答案为点评：本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是4．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题．分析：由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．解答：解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，而y=x与y=的两个交点的坐标是（，）（﹣，﹣），∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|===4，故答案为：4点评：本题考查反比例函数的图形的特点，考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法，考查两点之间的距离公式，是一个综合题目．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；数形结合．分析：根据已知的函数图象，我们根据函数图象过（，0），（，﹣）点，我们易结合A＞0，w＞0求出满足条件的A、ω、φ的值，进而求出满足条件的函数f（x）的解析式，将x=0代入即可得到f（0）的值．解答：解：由的图象可得函数的周期T满足=解得T=π=又∵ω＞0，故ω=2又∵函数图象的最低点为（，﹣）点故A=且sin（2×+φ）=﹣即+φ=故φ=∴f（x）=sin（2x+）∴f（0）=sin=故答案为：点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中利用已知函数的图象求出满足条件的A、ω、φ的值，是解答本题的关键．10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．解答：解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：点评：本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平方．11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．考点：函数的值；分段函数的应用．专题：计算题．分析：对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答：解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评：本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先设切点坐标为（m，e m），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．解答：解：设切点坐标为（m，e m）∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）令x=0，解得y=（1﹣m）e m过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）令x=0，解得y=e m+me﹣m∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0∴当m=1时t取最大值故答案为：点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．13．（5分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；压轴题．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是[，2+]．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围．解答：解：依题意可知集合A表示一系列圆内点的集合，集合B表示出一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需直线与圆有交点，由可得m≤0或m≥当m≤0时，有||＞﹣m且||＞﹣m；则有﹣m＞﹣m，﹣m＞﹣m，又由m≤0，则2＞2m+1，可得A∩B=∅，当m≥时，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，则m的范围是[，2+]；综合可得m的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．一般是利用数形结合的方法，通过圆心到直线的距离来判断．二、解答题（共9小题，满分120分）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可．（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a与c 的关系式，利用正弦定理求出sinC的值．解答：解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 即可．（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．解答：证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．点评：本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．解答：解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x ＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．点评：考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式；数列与函数的综合．专题：综合题．分析：（1）由集合M的元素只有一个1，得到k=1，所以当n大于1即n大于等于2时，S n+1+S n﹣1=2（S n+S1）都成立，变形后，利用S n+1﹣S n=a n+1，及a1=1化简，得到当n大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n=5代入通项公式即可求出第5项的值；（2）当n大于k时，根据题意可得S n+k+S n﹣k=2（S n+S k），记作①，把n换为n+1，得到一个关系式记作②，②﹣①后，移项变形后，又k等于3或4得到当n大于等于8时此数列每隔3项或4项成等差数列，即a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，根据等差数列的性质得到一个关系式，记作（*），且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，得到当n大于等于9时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列的性质化简变形，设d=a n﹣a n﹣1，从而得到当n大于等于2小于等于8时，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一个关系式，同时把n+7也代入（*）得到另外一个关系式，两者相减后根据设出的d=a n﹣a n﹣1，经过计算后，得到n大于等于2时，d=a n﹣a n﹣1都成立，从而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化简后得到d与前3项的和及d与前4项和的关系式，两关系式相减即可表示出第4项的值，根据d=a n﹣a n﹣1，同理表示出第3项，第2项及第1项，得到此数列为等差数列，由首项等于1即可求出d的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可．解答：解：（1）由M={1}，根据题意可知k=1，所以n≥2时，S n+1+S n=2（S n+S1），﹣1即（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=2S1，又a1=1，则a n+1﹣a n=2a1=2，又a2=2，所以数列{a n}除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列，故当n≥2时，a n=a2+2（n﹣2）=2n﹣2，所以a5=8；（2）根据题意可知当k∈M={3，4}，且n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）①，且S n+1+k+S n+1﹣k=2（S n+1+S k）②，②﹣①得：（S n+1+k﹣S n+k）+（S n+1﹣k﹣S n﹣k）=2（S n+1﹣S n），即a n+1+k+a n+1﹣k=2a n+1，可化为：a n+1+k﹣a n+1=a n+1﹣a n+1﹣k所以n≥8时，a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，从而当n≥8时，2a n=a n﹣3+a n+3=a n﹣6+a n+6，（*）且a n﹣2+a n+2=a n﹣6+a n+6，所以当n≥8时，2a n=a n﹣2+a n+2，即a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，于是得到当n≥9时，a n﹣3，a n﹣1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n﹣3+a n+3=a n﹣1+a n+1，由（*）式可知：2a n=a n﹣1+a n+1，即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1，当n≥9时，设d=a n﹣a n﹣1，则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，从而由（*）可知，2a n+6=a n+a n+12，得到2a n+7=a n+1+a n+13，两式相减得：2（a n+7﹣a n+6）=a n+1﹣a n+（a n+13﹣a n+12），则a n+1﹣a n=2d﹣d=d，因此，a n﹣a n﹣1=d对任意n≥2都成立，又由S n+k+S n﹣k﹣2S n=2S k，可化为：（S n+k﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣k）=2S k，当k=3时，（S n+3﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣3）=9d=2S3；同理当k=4时，得到16d=2S4，两式相减得：2（S4﹣S3）=2a4=16d﹣9d=7d，解得a4=d，因为a4﹣a3=d，解得a3=d，同理a2=d，a1=，则数列{a n}为等差数列，由a1=1可知d=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值，掌握确定数列为等差数列的方法，会根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式，是一道中档题．21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．考点：椭圆的参数方程．专题：数形结合；转化思想．分析：A、如图，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r1：2r2，证出结论．B、设向量=，由 A2=，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和 y 的值，从而求得向量．C、把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程．D、原不等式可化为，或，分别解出这两个不等式组的解集，再把解集取并集．解答：解：A、如图：连接AO1并延长，交两圆于D，E，则O2在AD上，根据直径对的圆周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r1：2r2=r1：r2为定值．B、A2==，设向量=，由 A2=可得=，∴，解得 x=﹣1，y=2，∴向量=．C、椭圆（φ为参数）的普通方程为+=1，右焦点为（4，0），直线（t为参数）即 x﹣2 y+2=0，斜率等于，故所求的直线方程为y﹣0=（x﹣4），即 x﹣2 y﹣4=0．D、原不等式可化为，或，解得≤x＜，或﹣2＜x＜，故不等式的解集为 {x|﹣2＜x＜}．点评：本题考查圆与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，矩阵的运算法则，绝对值不等式的解法．22．（10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN的法向量为，推出（1）利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM的长．（2）利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为A （1，0，0），A1（1，0，2），N（，1，0），M（0，1，t）；所以=（，1，0）.=（1，0，2），=（0，1，t）设平面DMN的法向量为=（x1，y1，z1），则，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，则y1=﹣t，x1=2t所以=（2t，﹣t，1），设平面A1DN的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1则y2=1，x2=﹣2所以=（﹣2，1，1），（1）因为θ=90°，所以解得t=从而M（0，1，），所以AM=（2）因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和（1）的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．考点：数列递推式．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，显然P（a，b）的坐标的差值，与A n中元素个数有关，直接写出A n的表达式即可．（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，讨论f n（k）≥1的情形，推出f n（k）=n﹣3k，根据k的范围，说明n﹣1是3的倍数和余数，然后求出B n．解答：解：（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a﹣3≤n﹣3，所以A n=n﹣3；（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，只要讨论f n（k）≥1的情形，由1≤b=a﹣3k≤n﹣3k，知f n（k）=n﹣3k且，设n﹣1=3m+r，其中m∈N+，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以B n===mn﹣=将m=代入上式，化简得B n=所以B n=点评：本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，解题中注意整除知识的应用，转化思想的应用．。
稳中有变 亮点纷呈——2011年数学高考解析几何试题评析
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【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦：立体几何(2)
1. 如图，矩形ABCD 中，AD ABE ⊥平面，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面，AC BDG = ．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求证：//AE 平面BFD ； （Ⅲ）求三棱锥C BGF -的体积．解析：（Ⅰ）证明：AD ⊥平面ABE ，//AD BC ． ∴BC ⊥平面ABE ，则AE BC ⊥．又 BF ⊥平面ACE ，则AE BF ⊥． ∴AE ⊥平面BCE ．（Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点．BF ⊥平面ACE ，则CE BF ⊥，而BC BE =． ∴F 是AC 中点．在AEC ∆中，//FG AE ，∴//AE 平面BFD ．（Ⅲ）解法一： //AE 平面BFD ，∴//AE FG ，而AE ⊥平面BCE ． ∴FG ⊥平面BCE ，∴FG ⊥平面BCF ．G 是AC 中点，∴F 是CE 中点．∴FG //AE 且112FG AE ==．BF ⊥平面ACE ，∴BF CE ⊥．∴Rt BCE ∆中，12BF CF CE ===112CFB S ∆=．∴1133C BFG G BCF CFB V V S FG --∆==⋅⋅=．解法二：111111444323C BFG C ABE A BCE V V V BC BE AE ---==⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=．ADADEAB CFE 1A 1B 1C 1D 1D EA BCFE 1A 1B 1C 1D 1DF 1EA BCFE 1 A 1 B 1C 1D 1 D2. 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点. （1） 设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 证明:平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.证明:（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1，连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CD =//A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ， 所以CF 1//EE 1，又因为1EE ⊄平面FCC 1，1CF ⊂平面FCC 1，所以直线EE 1//平面FCC 1.（2）连接AC,在直棱柱中，CC 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, 所以CC 1⊥AC,因为底面ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2,F 是棱AB 的中点,所以CF=CB=BF ，△BCF 为正三角形， 60BCF ∠=︒,△ACF 为等腰三角形，且30ACF ∠=︒所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C,所以AC ⊥平面BB 1C 1C,而AC ⊂平面D 1AC,所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.3.如图所示，在四棱锥S-ABCD 中，侧棱SA=SB=SC=SD ，底面ABCD 是正方形，AC与交于点O ，M N E DC SC BC 、、分别是、、的中点。
【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦：函数
2011年江苏高考热点题型聚焦之《函数》[),0,,x a R ∈+∞∈2命题:已知函数f(x)=ln(1+x)-x+ax[)[)1(1),31,:0,20,a a =+∞≥≥+∞当时求f(x)的单调区间,(2)当a=时求证在上f(x)0,(3)若不等式f(x)0在上恒成立,求实数的取值范围. 1(21),(),33(1)11]()0,[,)()02211()][,)22x x f x x f x f x f x -'=+''≤+∞≥∴+∞解:(1)当a=时故在[0,上在上在[0,上是减函数,在上是增函数 [)[)[)[)21(2),()00,21()0,0,()(0)(0)00,()0x a f x xf x f x f f f x '==≥+∞+∴+∞∴+∞≥=∴+∞≥ 当时在上成立在上单调递增在上又在上[)[)[)221(3)(2)ln(1)00,210,21,()00,2122()12(21)2()121111)02120,()02120,()(0)02)0x x x a a f x a ax x ax a x a f x ax x xxi a a f x a a f x f a ii a +-+≥+∞∴≥≥+∞<≥+∞--+-'=-+==+++<<-⎛⎤'≤ ⎥⎝⎦-⎡⎤∴≤=⎢⎥⎣⎦≤ 由知在上恒成立当时f(x)0在上恒成立下面证明时在上不能恒成立时在上在上矛盾[)[)[)22(21)00,10,,()(0)1,0,2ax a x xf x f a +-'≤+∞+∴+∞≤≥≥+∞时,f (x)=在上恒成立在上矛盾综上所述当且仅当时f(x)0在上恒成立[)2(3)12(21)()1211201),,()00,,()(0)02102ax a x f x ax x xa i a f x f x f a +-'=-+=++≥⎧'≥≥+∞∴≥=⎨-≥⎩ 别解即时在上恒成立[)20),0,()00,()(0)0210a ii a f x f x f a <⎧'<≤+∞∴≤=⎨-<⎩即时在上恒成立与题意不合 2122()2012(21)2),0,()210211a ax x a ax a x a iii a f x a x x-->⎧+-'<<==⎨-<++⎩即时 故在,12120()0,0,()(0)022a a f x f x f a a --⎡⎫⎡⎤'≤∴≤=⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦，故在上与题意不符 [)1,,()00,2a f x x ≥≥∈+∞综上所述当且仅当时在上恒成立。
2011高考数学 解析几何高考真题分类解析素材 新人教版
2011年高三冲刺阶段解答题训练题集4 ——解析几何部分一、理科解析几何解答题及参考答案1、实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？解: (1)设S(x，y)，那么k SA＝，k SB＝.由题意得＝－，即＋y2＝1(x≠±m)．∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝时，曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．由消去y得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.①令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3，∵t>0，∴t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．②令Δ>0且直线2x－y＋t＝0恰好过点(－，0)时，t＝2.此时直线与曲线C有且只有一个公共点．综上所述，当t＝3或2时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．2、椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解： (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由得，所以椭圆的标准方程为.〔Ⅱ〕设，其中。
由及点在椭圆上可得。
整理得，其中。
〔i〕时,化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。
〔ii〕时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分.当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆.3、矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．〔I〕求边所在直线的方程；〔II〕求矩形外接圆的方程；〔III〕假设动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．解：〔I〕因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．即．〔II〕由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．〔III〕因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆的圆心的轨迹方程为．4、菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．解: (1)由题意得直线BD的方程为y＝x＋1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64>0，解得－<n<.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝.所以AC的中点坐标为.由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y＝x＋1上，所以＝＋1，解得n＝－2.所以直线AC的方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.所以菱形ABCD的面积S＝|AC|2.由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以S＝(－3n2＋16)3.所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.5、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值X围；(2) 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.解: (1)由条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.即k的取值X围为∪.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么由方程①得x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③而所以与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝.由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.6、向量，动点M到定直线的距离等于，并且满足，其中O为坐标原点，K为参数；〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当k=时，求的最大值和最小值；〔3〕在〔2〕的条件下，将曲线向左平移一个单位，在x轴上是否存在一点P〔m，0〕使得过点P的直线交该曲线于D、E两点、并且以DE为直径的圆经过原点，假设存在，请求出的最小值；假设不存在，请说明理由.解：〔1〕设，那么由，且O为原点得A〔2，0〕，B〔2，1〕，C〔0，1〕从而代入得为所求轨迹方程当K=1时，=0 轨迹为一条直线当K1时，，假设K=0，那么为圆；假设K，那么为双曲线〔2〕当K=时，假设或那么为椭圆方程为，即且从而又∴当时，取最小值，当时，取最大值16故，〔3〕在〔2〕的条件下，将曲线向左平移一个单位后曲线方程为假设存在过P〔m,0〕直线满足题意条件，不妨设过P〔m,0〕直线方程为设D〔x1,y1〕,E(x2,y2)，消去x得：即由韦达定理，得由于以DE为直径的圆都过原点那么,即又因为即显然能满足故当7、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，假设求λ1＋λ2的值．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，抛物线方程为x2＝4y，其焦点为(0,1)，椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1，由e＝＝＝，得a2＝5，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由(1)得椭圆C的右焦点为F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入＋y2＝1，并整理得：(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.又＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，＝(2－x1，－y1)， (2－x2，－y2) 由得(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，(x2，y2－y0)＝λ2(2－x2，－y2)，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1＋λ2＝＋＝＝－10.8、设椭圆E: 〔a,b>0〕过M〔2，〕，N(,1)两点，O为坐标原点，〔I〕求椭圆E的方程；〔II〕是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B, 且？假设存在，写出该圆的方程，假设不存在说明理由。
2011江苏高考数学试题分析及启示
2011江苏高考数学试题分析及启示2011年江苏数学试卷“以稳为主”试卷结构平稳，同时题目平和、无偏怪题，难度控制理想，容易题较多，无陷阱题，无复杂计算题，试卷有点先易后难的感觉，大约有120分基本题，但有些题考生易错，中档题和高难题比例也较合理。
相对于2010年的江苏高考数学同学们一致认为较简单。
“稳中求进”试卷考查的具体知识点有变化。
一、试题的特点1、试卷结构稳定，题型顺序有变。
今年的数学试题无论是正卷还是附加卷，都与10年的试题在题量上、题型上仍保持一致，每年在高考数学试题当中涉及基础知识和基本技能的考察占很高比例，比如今年的前10道填空题都比较容易上手，做对不是很难。
但今年将数列题放在第20题，而把函数题放在第19题，将函数大题前移并降低难度，使学生在函数大题上稍微轻松了一点，其实并没有影响数列第二问和函数第二问的难度，这也是拉差距的地方。
2、试题强调了知识间的内在联系，注意从学科的整体高度出发，注重各部分知识的综合性、相互联系及在各自发展过程中各部分知识间的纵向联系，不靠一题把关，而是多题体现能力要求。
第13题，考查了数列综合与不等式的知识，非常巧妙和灵活，难度偏大；第14题考查了集合和函数综合知识，相对来说比较灵活并且有一定难度的；而第19题考查的是函数导数的知识点，难度适中，第二问偏难，考查的方向很明确。
3、突出基础考查，强化数学思想。
从内容来看，填空题中对于新增内容考查也较为全面，如复数，概率，统计，算法语言，推理方法等都有考查；解答题突出对主干知识的重点考查，六道大题仍然考的是函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何及数学应用题等重点知识。
在数学思想方法上则考查了函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。
4、正卷相对较易，附加卷试题也不难。
相对于09，10年，今年的200分相对来的较易一点，但是必定要求学生的答题规范，注重细节等。
对2011年高考数学(江苏卷)的思考
2.总结解题方法，掌握数学模型.
知识联想——方法指导——条件转化. 模型，方程根的判断，常借助函数图象数形结合.
21x x0 例 3.已 知 f (x) ，方程 f (x) x a有 且 仅 有 两 个 根 x0 f (x 1) 求 a的 取 值 范 .围 y 解: 设 y1 f (x), y2 x a, y1、 y2有 且 仅 有 两 个 .交 点。 。 4。 1 x1 x 0, f (x) ; x 0, f (x) f (x 1), 2 周期函 T数 1 ,利 用 图3 象 a 4. yx4
1 在 ABC 中 ， C A ， sin B . 2 3 （1 ） 求 sin A 的 值 ； （2） 设 AC 6 , 求 ABC 的 面 积 . （1 ） C A ， A B C , 得 B 2 A. 2 2 1 3 故 cos 2 A , sin A . 3 3 a b 6 1 (2) .a 3 2 , S ab sin C 3 2 . 1 sin A sin B 2 3
三.对临考阶段复习的建议 1.梳理知识网络，提高运用数学语言的能力.
例 1 （ .1 0 年 江 苏 1 0 ） 设 定 义 在 区 间 （，） 0 上 的 函 数 y 6co sx 的 图 象 与 y 5tanx 2 的 图 象 交 于 点 P ,过 点 P 作轴 x 的 垂 线 ， 垂 足 为 P, 线 P P 与 函 数 1直 1 y sinx 的 图 象 交 于 点 P, 线 段 PP 的 长 为 _ _ _ _ _ _ _. 2则 1 2 2 解 ： 6co sx 5tanx sinx 3 2 ｜ PP| 1 2 3
1 (1 p n ) n 1 , 2 , 3 , 3 1 1 1 p n 1 ( p n ) 4 3 4 1 1 1 1 { p n } 是公比为 的等比数列，其首项为 p1 . 4 3 4 4 1 1 1 1 1 故 p n ( ) n 1 , p n [ 1 ( ) n 1 ], n 1 , 2 , 3 , 4 4 3 4 3
【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦：数列(2)
数列综合题两题1.等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 12b =，且2232,b S = 33120b S =．（1）求n a 与n b ；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T 。
（3）若2121111nx ax S S S +++≤++ 对任意正整数n 和任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，，依题意有，即，解得或者（舍去），故。
-------------------------------- 5分（2）。
，，两式相减得，所以。
----------------------------------------10分（3），∴---------------------14分问题等价于的最小值大于或等于，即，即，解得。
----------------------------16分说明：本题是一道数列与不等式的一道综合题，重点考查如何根据将数列问题化归为基本量求解，或根据数列性质简化运算；差比数列的求和是数列中的重点和难点，学生在运算中很容易出错，所以要加强这方面的训练。
数列与不等式的综合是本题的一大亮点，加强知识的综合在高三二轮复习中显得尤其重要。
2、已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，点(,)n S n n在直线21121+=x y 上．数列{}n b 满足：2120()n n n b b b n N *++-+=∈，且113=b ，前9项和为153．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57k T n >对一切()n N *∈都成立的最大正整数k 的值；（3）设N n ∈*，，为偶数，为奇数，⎩⎨⎧=n b n a n f n n )(问是否存在m N *∈，使得）m f m f (5)15(=+成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上，∴S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋112，a n ＝n ＋5．∵b n +2－2b n +1＋b n ＝0(n ∈N *)，∴b n +2－b n +1＝ b n +1－b n ＝…＝ b 2－b 1． ∴数列{b n }是等差数列，∵b 3＝11，它的前9项和为153，设公差为d ，则b 1＋2d ＝11，9b 1＋9×82×d ＝153，解得b 1＝5，d ＝3．∴b n ＝3n ＋2．(2)由(1)得，c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)＝ 1(2n ―1)(2n ＋1)＝12(12n ―1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n ―1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)． ∵T n ＝12(1－12n ＋1)在n ∈N *上是单调递增的，∴T n 的最小值为T 1＝13∵不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立，∴k 57＜13．∴k ＜19．∴最大正整数k 的值为18．(3) n ∈N *，f (n )＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数＝⎩⎨⎧n ＋5，n 为奇数，3n ＋2，n 为偶数．当m 为奇数时，m ＋15为偶数；当m 为偶数时，m ＋15为奇数．若f (m ＋15)＝5f (m )成立，则有3（m ＋15）＋2＝5(m ＋5)(m 为奇数)或m ＋15＋5＝5（3m ＋2）(m 为偶数)． 解得m ＝11．所以当m ＝11时，f (m ＋15)＝5f (m )． 说明：本题为综合题，主要考查数列中的常见问题，如已知n S 求n a ,裂项求和等知识与方法，分类讨论、恒成立的问题在本题中得到了应用。
2011届高考数学平面解析几何2
2011届高考数学平面解析几何2平面解析几何（附高考预测）一、本知识结构：二、重点知识回顾1．直线(1)直线的倾斜角和斜率直线的的斜率为，倾斜角为α，它们的关系为：＝tanα；若Ａ（x1,1），Ｂ（x２,２），则。
(2) 直线的方程a点斜式：；b斜截式：；两点式：；d截距式：；e一般式：，其中A、B不同时为0(3)两直线的位置关系两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。
若直线、的斜率分别为、，则∥＝，⊥• ＝－１。
（4）点、直线之间的距离点A（x0，0）到直线的距离为：d= 。
两点之间的距离：|AB|=2 圆（1）圆方程的三种形式标准式：，其中点（a，b）为圆心，r>0，r为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．一般式：，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D、E、F．若已知条中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．参数式：以原点为圆心、r为半径的圆的参数方程是（其中θ为参数）．以（a，b）为圆心、r为半径的圆的参数方程为（θ为参数），θ的几何意义是：以垂直于轴的直线与圆的右交点A与圆心的连线为始边、以与动点P的连线为终边的旋转角，如图所示．三种形式的方程可以相互转化，其流程图为：2．二元二次方程是圆方程的充要条“A=≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程表示圆的必要条．二元二次方程表示圆的充要条为“A=≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．3．参数方程与普通方程我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义．要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起，3圆锥曲线(1)椭圆的标准方程及其性质椭圆＝１的参数方程为：（为参数）。
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解析几何题
1、已知曲线2
2
:1y C x a +=，直线:0l kx y k --=，O 为坐标原点． （1
,求该的曲线C 的方程； （2）当1a =-时，直线l 与曲线C 相交于两点,M N ，试问在曲线C 上是否存在点Q 使得
OM ON OQ λ+= ？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由；
答案:
(1)、若焦点在x 轴上，22:41C x y +=；若焦点在y 轴上，2
2
:12y C x +=； （2）、由题：直线l 与曲线C 都恒过定点(1,0)，(1,0)M ；
222222(1)(1)2101y k x k x k x k x y =-⎧⇒--++=⎨-=⎩，可得22212,11k k x y k k +==--， 假设存在满足条件的Q ，1N Q N
Q x x OM ON OQ y y λλλ+=⎧+=⇔⎨=⎩ ,代入曲线C 可得2221
()1Q Q x y λ-=⇒2
λ=2222222()()11k k k k ---=222444411k k k =+>--, 所以:22λλ<->或满足条件.
2、已知双曲线c ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双
(1)求双曲线的方程.
(2)若有两个半径相同的圆12,c c ，它们的圆心都在x 轴上方且分别在双曲线c 的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为1-的直线l 与圆12,c c 都相切，求两圆12,c c 圆心连线斜率的范围. 解：（1）因为抛物线24y x =的焦点为(1,0)，由已知得1c =
，所以由c e a
==
，得a b ==225514x y -=.
（2）双曲线的渐近线方程为2,2y x y x ==-，直线l 的方程为10x y +-=，由已知可设圆2221:()(2)c x t y t r -+-=，圆2222:()(2)c x n y n r -++=，其中0,0t n ><，
因为直线l 与圆12,c c =，
得2121t t n n +-=--或2121t t n n +-=-++，即3n t =-，或32n t =-，
设两圆12,c c 圆心连线斜率为k ，则22t n k t n +=
-， 当3n t =-时，2614t t k t
-==-， 当32n t =-时，22t n k t n +=-=421
t t --+，因为0,0t n ><，所以203t <<，故可得22k -<<， 综上：两圆12,c c 圆心连线斜率的范围为(2,2)-.
3、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3
6，过右焦点F 且斜率为1的直线
交椭圆C 于,A B 两点，N 为弦AB 的中点。
（1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜率ON k ；
（2）设M 椭圆C 上任意一点 ，且OM OA OB λμ=+ ，求λμ+的最大值和最小值
解：(1）设椭圆的焦距为2c ,因为36=a c ，所以有32222=-a
b a ，故有223b a =。
从而椭圆C 的方程可化为：2
2233b y x =+ ①
易知右焦点F 的坐标为（0,2b ），
据题意有AB 所在的直线方程为：b x y 2-= ② 由①，②有：0326422=+-b bx x ③
设),(),,(2211y x B y x A ，弦AB 的中点),(00y x N ，由③及韦达定理有： .4
22,423200210b b x y b x x x -=-==+=
所以3
100-==x y K ON ，即为所求。
(2）显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数μλ,，使得等式μλ+=成立。
设),(y x M ，由1）中各点的坐标有：
),(),(),(2211y x y x y x μλ+=，所以
2121,y y y x x x μλμλ+=+=。
又点在椭圆C 上，所以有22212213)(3)(b y y x x =+++μλμλ整理为2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ。
④ 由③有：4
3,2232
2121b x x b x x =⋅=+。
所以 0
6936)(234)2)(2(332222
212121212121=+-=++-=--+=+b b b b x x b x x b x b x x x y y x x ⑤ 又A ﹑B 在椭圆上，故有22222221213)3(,3)3(b y x b y x =+=+ ⑥
将⑤，⑥代入④可得：12
2=+μλ。
2
221222
λμλμ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，故有22λμ-≤+≤
所以max ()2
λμ+=，min ()2λμ+=-。