【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦：解析几何(2)

解析几何题

1、已知曲线2

2

:1y C x a +=，直线:0l kx y k --=，O 为坐标原点． （1

,求该的曲线C 的方程； （2）当1a =-时，直线l 与曲线C 相交于两点,M N ，试问在曲线C 上是否存在点Q 使得

OM ON OQ λ+= ？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由；

答案:

(1)、若焦点在x 轴上，22:41C x y +=；若焦点在y 轴上，2

2

:12y C x +=； （2）、由题：直线l 与曲线C 都恒过定点(1,0)，(1,0)M ；

222222(1)(1)2101y k x k x k x k x y =-⎧⇒--++=⎨-=⎩，可得22212,11k k x y k k +==--， 假设存在满足条件的Q ，1N Q N

Q x x OM ON OQ y y λλλ+=⎧+=⇔⎨=⎩ ,代入曲线C 可得2221

()1Q Q x y λ-=⇒2

λ=2222222()()11k k k k ---=222444411k k k =+>--, 所以:22λλ<->或满足条件.

2、已知双曲线c ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双

(1)求双曲线的方程.

(2)若有两个半径相同的圆12,c c ，它们的圆心都在x 轴上方且分别在双曲线c 的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为1-的直线l 与圆12,c c 都相切，求两圆12,c c 圆心连线斜率的范围. 解：（1）因为抛物线24y x =的焦点为(1,0)，由已知得1c =

，所以由c e a

==

，得a b ==225514x y -=.

（2）双曲线的渐近线方程为2,2y x y x ==-，直线l 的方程为10x y +-=，由已知可设圆2221:()(2)c x t y t r -+-=，圆2222:()(2)c x n y n r -++=，其中0,0t n ><，

因为直线l 与圆12,c c =，

得2121t t n n +-=--或2121t t n n +-=-++，即3n t =-，或32n t =-，

设两圆12,c c 圆心连线斜率为k ，则22t n k t n +=

-， 当3n t =-时，2614t t k t

-==-， 当32n t =-时，22t n k t n +=-=421

t t --+，因为0,0t n ><，所以203t <<，故可得22k -<<， 综上：两圆12,c c 圆心连线斜率的范围为(2,2)-.

3、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3

6，过右焦点F 且斜率为1的直线

交椭圆C 于,A B 两点，N 为弦AB 的中点。

（1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜率ON k ；

（2）设M 椭圆C 上任意一点 ，且OM OA OB λμ=+ ，求λμ+的最大值和最小值

解：(1）设椭圆的焦距为2c ,因为36=a c ，所以有32222=-a

b a ，故有223b a =。从而椭圆C 的方程可化为：2

2233b y x =+ ①

易知右焦点F 的坐标为（0,2b ），

据题意有AB 所在的直线方程为：b x y 2-= ② 由①，②有：0326422=+-b bx x ③

设),(),,(2211y x B y x A ，弦AB 的中点),(00y x N ，由③及韦达定理有： .4

22,423200210b b x y b x x x -=-==+=

所以3

100-==x y K ON ，即为所求。 (2）显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数μλ,，使得等式μλ+=成立。设),(y x M ，由1）中各点的坐标有：

),(),(),(2211y x y x y x μλ+=，所以

2121,y y y x x x μλμλ+=+=。

又点在椭圆C 上，所以有22212213)(3)(b y y x x =+++μλμλ整理为2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ。 ④ 由③有：4

3,2232

2121b x x b x x =⋅=+。所以 0

6936)(234)2)(2(332222

212121212121=+-=++-=--+=+b b b b x x b x x b x b x x x y y x x ⑤ 又A ﹑B 在椭圆上，故有22222221213)3(,3)3(b y x b y x =+=+ ⑥

将⑤，⑥代入④可得：12

2=+μλ。 2

221222

λμλμ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，故有22λμ-≤+≤

所以max ()2

λμ+=，min ()2λμ+=-