圆锥侧面展开图是扇形

圆锥形帽身的母线长为15cm,底面半
径为5cm,生产这种帽身10000个,你
能帮玩具厂算一算至少需多少平方
米的材料吗(不计接缝用料和余料,
π取3.14 )?
解:∵ l =15 cm,r=5 cm, ∴S 圆锥侧 = 21 ×2πrl =π×15×5
≈3.14×15×5
=235.5 (cm2)
l
∴ 235.5×10000=2355000 (cm2)
而h就是圆锥的高
hl
4.圆锥的底面半径、 A
高线、母线长三者之间
Or B
间的关系: l 2 = h2 +r 2
探究 .圆锥的侧面积和全面积
问题: 1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，
得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有 什么关系？相等
2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与 圆锥中的哪一条线段相等？母线
圆锥知多少 ▪ 认识圆锥
圆锥的再认识
1.圆锥是由一个底Leabharlann Baidu和一个侧面围
成的,它的底面是一个圆，侧面是一
个曲面.
P
2.把圆锥底面圆周上的
任意一点与圆锥顶点的 连线叫做圆锥的母线
问题：
A
圆锥的母线有几条？ A1
hL
A2
Or B
3.连结顶点与底面圆心 的线段叫做圆锥的高 P
如图中l是圆锥的一条母线，
l
θ
h
hl
r
r
例1.一个圆锥形零件的高4cm，底
面半径3cm，求这个圆锥形零件的侧
面积和全面积。
P
s侧
=
1 2
×
5×
2π
×
3
=
15π（cm
2）
s全 = s侧 + s底
l
h
= 15π + 9π
( ) A
O r
B = 24π cm2
例3.蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱
组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为
解： 将圆锥沿AAB展开成扇形ABB′，解解则：：点将将C圆是圆锥B锥B沿沿′的AAB中B展展点开解，开成：过成扇将点扇形圆B形A作锥BABBB沿′DB，A′⊥，则B展A则点C开 点C，是C成B是 成垂扇足形为ABDB. ′， 则点C是解B：B′将的圆中点锥，沿过垂A垂解B点足：足展B为将为将开作DD圆圆成.B. 锥D锥扇⊥沿沿形AAAABCBB展，展B垂开′，开足成则成为扇点扇D形C形.A是ABBB，′的，则则中点点C是，C 线B°∴∴∠答C是中∠BB：23AB，DB它B=A3∠′爬.=D23B=rl行A×36D的03°6=.最在06°短0R=°t1,Δ路∴∴∠答垂2AAC0线∠BBB：B足°=ACD是B它为B中3=A23′.D爬，=D23.3=∠rl行.×36B的03A°6∴∴∴∴∠∠∠答垂答答.最D在0∠B∠°B∠BB=B：BB：足B：足短R=AADDABDAB6DB它BB它它 Bt为1它B为0BΔ路A=A=A′=A2°′爬′=ADDD,爬爬=DD023爬=D线2323A23B°=.rl行=.rrl行行Bl=rl行C×是36×6363=的×中0363的的003的233°6033°.最66，在0°...最6最在在0.°0最在0短3°R=∠短°短RR=.t短1R=Δ路答 ttB12Δ路路1At120Δ路BA线B2A：B2°0线线A0ADBDBB0°C线是它 BB°C中AC=是是23中C中是D爬6，2323中230，，23r3l行 ∠°，.,6333∠AB0的 ..33∠BABB.6.A在 最D0=ABD=DAR短36.Dt=1路 062=6A°0,00线BA6°,,0CBA是
hl
= πrl
全面积公式为：
A
O r
B
S全 = S侧+S底
= πr l ＋πr2
根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心
角θ（r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高线、
母线长）
l （1） = 2，r = 1 则 θ =__1_8_0_°___
(2) h=3, r=4 则 θ =_2_8_8_°______
S
A
O
B
圆锥及侧面展开图的相关概念
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积.
圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
P
l h
A
Or B
圆锥的侧面积和全面积
如图:设圆锥的母线长为a,底面
半径为r.则圆锥的侧面积
公式为：
S侧
=
1 2
2πr
l.
P
L = 2πr
答:至少需 235.5 平方米的材料.
r
例6.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只 蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬 行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n°
连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线
∵ 圆锥底面半径为1,
B’
∴ l 弧BB’=2π
又∵
l 弧BB’=
6nπ 180
∴
2π=
6nπ 180
解得: n=60
A
6
∴ △ABB’是等边三角形 ∴ BB’=AB=6
B1
C
答:蚂蚁爬行的最短路线为6.
例7、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一
只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬
到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行 的最短路线是多少？ 将圆锥沿AB展开成扇形ABB’
h1 r
圆锥的母线长为 3.342+22 ≈3.85 (m)
侧面展开积扇形的弧长为: 2π×3.34
h2
≈20.98 (m) 圆锥侧面积为:21 ×3.89×20.98 ≈40.81 (m2)
r
因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡:
20× (31.45+40.81)≈1445(m2)
例4.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子,其
35 m2,高为3.5 m，外围高1.5 m的蒙古包,
至少需要多少m2的毛毡? (结果精确到1
m2).解:如图是一个蒙古包的示意图
依题意,下部圆柱的底面积35m2,高为1.5m; 上部圆锥的高为3.5－1.5=2 m;
圆侧面柱积底为面圆: 2半π径×r3=.33π45×(m1.)5≈≈3.3314.4(5m()m2)