参数方程题型大全

参数方程

1．直线、圆、椭圆的参数方程

(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．

(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋r cos θ，

y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．

(3)椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．

(4)双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ

(θ为参数)．

(5)抛物线px y 22

=的参数方程可表示为)(.

2,

22为参数t pt y pt x ⎩⎨

⎧==.

基础练习

1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝2＋22t ，

y ＝1＋2

2

t (t 为参数)，则其普通方程为

____________．

2．椭圆C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝5cos φ，

y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，

则|AB |min ＝________.

3．曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝sin θ，

y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________．

4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝1＋1

2t ，

y ＝3

2t

(t 为参数)，椭圆C 的方程

为x 2

＋y 2

4

＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________

考点一 参数方程与普通方程的互化

(基础送分型考点——自主练透)

[考什么·怎么考]

(1)⎩⎨⎧

x ＝1

t ，

y ＝1

t t 2

－1

(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋sin 2θ，

y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．（3）⎩⎪

⎨⎪⎧

x ＝1

cos θ

，y ＝tan θ

2．求直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3cos α，

y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．

考点二 参数方程的应用

(重点保分型考点——师生共研)

角度一：t 的几何意义

例．(2018·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3＋t cos α，

y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪

⎨⎪⎧

x ＝1

cos θ，y ＝tan θ

(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .

(1)若α＝π

3

，求线段AB 的中点的直角坐标；

(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值．

1．方法要熟

(1)对于形如⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋at ，

y ＝y 0＋bt

(t 为参数)的参数方程，当a 2＋b 2

≠1时，应先化为标准形式后才能

利用t 的几何意义解题．

(2)直线参数方程的应用：直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义．

1．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝cos θ，

y ＝sin θ

(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原

点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π

3

.

(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．

2.(2016·河南二模)在直角坐标系xOy 中，过点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，32且倾斜角为α的直线l 与曲线(x －1)2

＋

(y －2)2

＝1相交于不同的两点M ，N .求1|PM |＋1|PN |

的取值范围．

3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎨⎧

x ＝a ＋2t ，

y ＝1＋2t

(t 为参数，a ∈

R)．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.

(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；

(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值．

角度二：用参数来表示点的坐标

[典题领悟]