第四讲 全等三角形与角平分线
《角的平分线的性质》全等三角形
05
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复习与巩固
复习全等三角形和角的平分线的性质的基本概念和性质
总结全等三角形的定义、判定方法以及性质。 回顾角的平分线的性质的定义、判定方法和性质。
与前一章节的内容进行衔接，展示如何利用前一章节的知识来证明全等三角形。
通过练习巩固所学知识
选择题
根据全等三角形和角的平分线 的性质的定义和判定方法，设 计多个选择题，考察学生对基
角的平分线的性质
一个角的平分线将对应的边分成两段，其中较长 的一段等于较短的一段。
利用角的平分线的性质证明全等三角形的实例
题目
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求证：△ABC是等腰三角形。
证明过程
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，∴根据角的平分线的性质和HL定理可得 △ADE≌△ADF(HL)，∴∠ADE=∠ADF，又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴根据角的平分线的性质和AAS定理可得 △ABC是等腰三角形。
常见的错误和注意事项
常见的错误
在证明过程中，容易忽略HL定理的应用 ，或者在应用HL定理时忽略了对应边相 等的前提条件。
VS
注意事项
在利用角的平分线的性质证明全等三角形 时，需要仔细分析题目的条件和结论，选 择合适的判定定理和性质进行证明。同时 ，需要注意定理应用的前提条件和限制条 件。
04
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角角边定理（AAS）
如果两个三角形的两个角对应相等， 且其中一个角的对应边也相等，则这 两个三角形全等。
02
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角的平分线的性质
角的平分线的定义
第四讲 全等三角形及判定(SSS、SAS)
A
D
B
E
C
3、如图△ ABD ≌ △CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，
则BC=
，CD=
A
。
D
B
C
如图,已知△ AOC ≌ △BOD，求证：AC∥BD
三角形全等的判定（SSS)
3.在△ABC 与△A'B'C'中,若AB=A'B',
BC=B'C',AC=A`C`,∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C',那 么△ABC 与△A'B'C'全等吗? 具备三条边对应相等,三个角对应相等的两个三角形全等 A A'
(1)一个条件
一边 一角 一边一角 两角 两边
(2)两个条件
三角
(3)三个条件 三边 两边一角 两角一边
先任意画出一个△ABC，再画一个△ A`B`C`，使 A`B`= AB ,B`C` =BC,C` A`= CA，把画好的△ A`B`C` 剪下，放到出的△ABC上，它们全等吗？ 画法： 画一个△ A`B`C`，使A`B`= AB ,B`C` =BC,C` A`= CA １．画线段B`C` =BC; ２．分别以B`，C`为圆心，以线段AB ，AC为半径画弧， 两弧交于点 A`; ３．连接线段 A`B`= A`C`．
全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等；
1、观察上图中的全等三角形应表示为： △ ABC ≌ △ DEF 。 2、根椐全等三角形的定义我们知道了对应边、对应角的关系？请
完成下面填空：
∵ △ ABC ≌ △ DEF（已知） ∴AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ∠A
＝ ∠D，∠B
(完整版)利用角平分线构造全等三角形
善于构造 活用性质安徽 张雷几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，•故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证．【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上，D C A EHI F G2DCBA35EF14即BP是∠MBN的平分线．2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB．∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE．∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．MC=ME．根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD•垂直于∠ABC•的平分线BD 于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．证明：延长BA、CD交于点F∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中21()()()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知公共边已证∴△BCD ≌△BFD （ASA ） ∴CD=FD ， 即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。
角平分线和全等三角形证明分类
精锐教育学科教师辅导讲义之宇文皓月创作学员编号：年级：初二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T 角平分线C专题精讲授课日期时段教学内容1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB。
（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。
3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，而且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．【例题讲解】1．在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。
2．如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB3.如图，P 为∠AOB 内一点，OA=OB ，且△OPA 与△OPB 面积相等，求证∠AOP=∠BOP.4.如图，AB=AC ，AD=AE ，BD 、CE 交于O ，求证AO 平分∠BAC.EDCBAEABCD F【同步练习】1.在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6， 求BE ，AE 的长和△AED 的周长2．已知，如图DABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点。
全等三角形135逆命题与逆定理4角平分线角平分线的判定课件2
你一定发现到角两边距离相等的点的确在该角的 平分线上. 我们可以通过“证明”说明这一结论正确.
知1－讲
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离 相等
的点在角的平分线上．
(1)几何语言：如图13.5-15，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或
∠AOC＝∠BOC)． (2)作用：运用角平分线的判定，
图
知1－讲
证明：过点O、Q作射线OQ. ∵ QD⊥OA, QE⊥OB ， ∴ ∠QDO= ∠BOQ = 90°. 在 Rt △QDO和 Rt △QEO中，
∵ OQ = OQ，QD = QE，
∴ Rt △QDO≌ Rt △QEO, (H. L.), ∴ ∠DOQ= ∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上.
试试看，现在你会证明了吗？
图13.5.6
知2－讲
例4 如图13.5-20，CP，BP是△ABC两外角的平分线，
PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与
AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条
线段有什么关系？
导引：点P是两个角的平分线的
交点，因此先作PD⊥BC，
利用角平分线的性质找出
(2)点在角的平分线上
点到这个角两边的
距离相等．
(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离 就一定相等；判定定理反映只要是到角两边
距离 相等的点，都应在角的平分线上．
AB •D1 E）∶（ 2
AC •D1 F）＝ 2
(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，
1
1
∴ （ AB •DE）∶（ AC •DF） ＝AB∶AC，
角平分线与全等三角形
角平分线与全等三角形三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
下图D是角平分线上的一点。
根据角平分线的定义可以得到两个相等的角：∠CAD=∠BAD，还知道AD=AD，所以再需要一个条件就可以构造出全等三角形。
例如过D点作角分线AD的垂线，交AC于点E，交AB于点F，则有∠ADE=∠ADF=90°，结合AD=AD，∠CAD=∠BAD，可知∆ADE≌∆ADF(ASA)，可得AE=AF，DE=DF。
根据这个结论我们可以知道等腰三角形AFE中，AD即是角平分线，又是中线和高。
可以帮助我们理解等腰三角形的三线合一(八年级的知识)。
还可以过D点作AC的垂线交AC于点E，过D点作AB的垂线交AB于点F，则有∠AED=∠AFD=90°，结合∠EAD=∠FAD，AD=AD，可知∆ADE≌∆ADF(AAS)。
所以DE=DF。
这个就是角平分线的性质之一：角平分线上的点到角两边的距离相等。
虽然上面两种情况增加的都是直角，但是即使不是直角，只要知道∠AED=∠AFD或者∠ADE=∠ADF等，都可以得到∆ADE≌∆ADF。
以上增加的条件都是相等的角，但是我们还可以增加等边的条件。
例如在射线AC上截取线段AE，在射线AB上截取线段AF使AF=AE，然后连接ED 与FD。
结合∠FAD=∠EAD，AD=AD，就可以得到∆ADF≌∆ADE(SAS)。
掌握利用角平分线构造全等三角形的方法后。
这两个方法是七年级构造全等三角形最基本的方法，它们看起来很神奇，解题时也非常好用，但其实它们的实质就是：角平分线给出了等角中线可以得到等边而角相等，边相等是证明三角形全等的基本条件。
有了已知的等角或等边，我们可以通过辅助线作出其它所需的等边或等角，从而构造出全等的三角形。
熟练掌握这些基本的方法(模型)，可以拓展我们的解题思路，加快解题速度。
也启发了我们：善于发现等角和等边，并充分利用它们，才是解几何题的关键。
全等三角形和角平分线专题讲解
CE O D BA21C E DBA 2143C O B A全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”，“边边边”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”，“边角边”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”，“角边角”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”，“角角边”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”, “斜边、直角边”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90º，∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC 为公 共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____． 分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2， 所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ．要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时， 当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系， 使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．GA B F D E C ODA CB 要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．证明：连结BC ．因为AB=AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠1=∠2，所以∠ABC -∠1＝∠ACB -∠2． 即∠3=∠4，所以BO=CO ．因为AB=AC ，BO=CO ，AO=AO ， 所以△ABO ≌△ACO ．所以∠BAO=∠CAO ，即AO 平分∠BAC ．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ． 证明：过B 作BG ⊥BC 交CF 延长线于G ， 所以BG ∥AC ．所以∠G=∠ACE ．因为AC ⊥BC ， CE ⊥AD ，所以∠ACE=∠ADC ．所以∠G=∠ADC ．因为AC=BC ，∠ACD ＝∠CBG=90º，所以△ACD ≌△CBG ．所以BG=CD=BD ．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF ，所以△GBF ≌△DBF ．所以∠G=∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如右图示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ． ∴CD=AB=a ．评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生FCEDBA CEDBAA OQ M CPBN A D C PBHF EGAD CBA学生用数学的意识﹒练习：1．已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．2．如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ． 求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种 方法：如图所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ， 再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作 GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的 延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图 中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一 对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图，∠A=∠D ，BC=EF ，那么需要 补充一个直接条件_____（写出一个即可），才能AD CBAODCBAFCGBEAF DCB E7．如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．8．如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．10．已知：如图，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）(A)带①和②去 (B)带①去(C)带②去 (D)带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并43O E DC B A 21F ED C BA 2113．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O 连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则A' B'的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△OAB 的理由是（ ）（A ）边角边 （B ）角边角 （C ）边边边 （D ）角角边专题二 角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 如图，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．证法：∵AE ⊥OB ，BD ⊥OA ，∴∠ADC=∠BEC=︒90． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE ． 在△ACD 和△BCE 中，∠ADC=∠BEC ，CD=CE ，∠3＝∠4． ∴△ACD ≌△BCE(ASA)，∴AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法．例7 已知：如图，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2． 求证：AD 平分∠BAC ．证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ． 在△BED 与△CFD 中，∠1＝∠2，∠BED ＝∠CFD ＝︒90，BD=CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS)．∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ． 说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．A FH D CG B EA D CB E A F DC B E CEBA D点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．证明：过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，作EG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥CD ，垂足为H ． ∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ， ∴EF=EG ．同理EG =EH ．∴EF=EH ． ∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ． ∵EF ⊥AB ，EH ⊥CD ，∴∠AFE=∠DHE=90º．在△AFE 和△DHE 中，∠AFE=∠DHE ，EF=EH ，∠FAE=∠D ． ∴△AFE ≌△DHE ．∴AE=ED ．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ． 求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ． ∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠CAD ． 在△EAD 和△CAD 中，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，AE=AC ， ∴△EAD ≌△CAD ．∴∠AED=∠C ，CD=DE ．∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ．∵∠AED=∠B+∠EBD ，∴∠B=∠EDB ． ∴BE=ED ．∴BE=CD ．∵AB=AE+BE ，∴AB=AC+CD ．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F ， 即可构造全等三角形．证明：延长CE 交AB 于点F ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ． ∵CE ⊥AD ，∴∠FEA=∠CEA=90º．在△FEA 和△CEA 中，∠FAE=∠CAE ，AE=AE ，∠FEA=∠CEA ．∴△FEA ≌△CEA ．∴∠ACE=∠AFE ．∵∠AFE=∠B+∠ECD ，∴∠ACE=∠B+∠ECD ．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线， 构造等腰三角形．例11 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ． 1CF E BADQPCBACB AD 然后再证明CD 与这两条线段都相等． 证明：过点D 作DF ∥AB 交BC 于点F ． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2．∵DF ∥AB ，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC ． ∴∠2=∠3，∴DF=BF ．∵DE ⊥BD ，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º． ∴∠DEF=∠5．∴DF=EF ． ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ． ∴∠4=∠C ，CD=DF ． ∴CD=EF=BF ，即CD=21BE ．练习：1．如图，在△ABC 中，∠B=90º， AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F ，DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知：如图，AD 是△ABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线； （2）AB=AC ．3．在△ABC 中，∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ．求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图，在△ABC 中，AD 平分 ∠BAC ，AB=AC+CD ．求证：∠C=2∠B ．CEBA D CB AD4321C EBADCEBADCBAD5．如图，E 为△ABC 的∠A 的平分线 AD 上一点，AB ＞AC ．求证：AB -AC ＞EB -EC ．6．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ， AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交 BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知，如图，△ABC 中，∠ABC=90º， AB=BC ，AE 是∠A 的平分线，CD ⊥AE 于D ．求证：CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC ，∠A=100º， BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．ACB D ACF E B MD10．如图，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ， 过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点 E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．611．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点． 求证：AB=AC ．12．已知：如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ， 交CA 的延长线于F ． 求证：BM=CF ．。
全等三角形与角平分线
实用第四讲全等三角形与角平分线【知识回顾】1全等三角形的性质与判定 2、角平分线的性质与判定【讲解与练习】2 .如图，在平面直角坐标系中， 是线段OA 上的动点，从点O 出发,AB 上.已知A 、Q 两点间的距离是 （s ）时，△ OCF 、△ FAQ >△ CBQ况 x 轴和 y 轴上，OA=10cm ,0C=6cm . FOA 方向作匀速运动，点 Q 在线段 a 倍.若用（a , t ）表示经过时间t 请写出（a , t ）的所有可能情3. ___________________________________________________________ 如图，已知△ ABC 三个角的平分线交于点 O ,延长BA 到点D ，使AD=AO ，连接DO , 若 BD=BC ，/ ABC=54 °，则/ BCA 的度数为 ° .7.如图，已知五边形 ABCDE 中，/ ABC= / AED=90 ° , AB=CD=AE=BC+DE=2 ，则五边 形ABCDE 的面积为 _______________________________________ .1如图，四边形ABCD 中，/ 则AC 长是 cm . 2 ABCD 的面积为24cm ,矩形OABC 的两边分别在 以1cm/s 的速度沿O 、F 两点间距离的 中有两个三角形全等. 4. 如图所示， AB=AC , AD=AE ，/ BAC= / DAE ，/ 1=24 °，/ 2=36 ° ,则/ 3= __________________ .5. 如图，AC=DB ，/ 仁/2，则△ ABC ◎△ ____________________________ ，/ ABC= / _____________________6.如图，点 D 在BC 上, DE 丄AB 于点E , DF 丄BC 交AC 于点F , BD=CF , BE=CD .若 /AFD=145 ° ，则/ EDF= ____________________________________________ .5的形网络，在网格中画出点 F ,使得△ DEF 与厶ABC 全等，这样的格点个.9. ____________________ 如图，0是厶ABC 一点，且0到三边 AB 、BC 、CA 的距离 OF=OD=OE ,若/ BAC=70 Z BOC= _________ .10. 如图，△ ABC 的周长是12, OB 、OC 分别平分Z ABC 和Z ACB , OD 丄BC 于D ，且OD=3，则△ ABC 的面积是 ____________________11. 如图，OC 平分Z AOB , Z AOC=20 ° , P 为 OC 上一点，PD=PE,OD 工 OE , Z OPE=11012. 如图，△ ABC 中，Z A=60 ° , AB > AC ,两角的平分线 CD 、BE 交于点 O , OF 平分ZBOC 交 BC 于 F , (1)Z BOC=120 ° ; (2)连 AO ，贝U AO 平分Z BAC ; (3) A 、O 、F 三点在同一直线上，(4) OD=OE , ( 5) BD+CE=BC .其中正确的结论是 _____________________________ (填序号).13. 如图1,已知△ ABC 中，AB=AC , Z BAC=90 °，直角Z EPF 的顶点P 是BC 中点，两 边PE 、PF 分别交AB 、CA 的延长线于点 E 、F .(1) 求证：AE=CF ;(2) 求证：△ EPF 是等腰直角三角形；(3) 求证：Z FEA+ Z PFC=45 ° ;S ^ABC .8.如图，在5X 三角最多可以画出 (4)求证: S A PFC _ S A PBE = 尹14.如图，△ ACO为等腰直角三角形.(1 )若C (- 1, 3)，求A点坐标；(2)过A作AE丄AC,若/ FEO= / COE，求/ EOF的度数；(3)当厶ACO绕点O旋转时，过C作CN丄y轴，M为AO的中点，/ MNO的大小是否发生变化？15.如图，在△ ABC中，D是边BC上一点，AD平分/ BAC，在AB上截取AE=AC，连接BD=3cm，求线段BC的长.16.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分/ DAE，DA // CE，AB=CB .(1)试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；(2)若/ DAC=25 °，求/ AEB 的度数.AD平分/ BAC，请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法,求证18.如图，△ ABC 中，/ C=60 证：,AD , BE分别平分/ CAB , / CBA、AD、BE交于点P.求(1)/ APB=120 ° ;(2 )点P在/ C的平分线上；(3)AB=AE+BD .19. (1)如图1①，在△ ABC中，/ ABC= / ACB , AB的垂直平分线交AB于点N，交BC 的延长线于点M，若/ BAC=40 °，求/ AMB的度数；(2)如图1②，如果将(1)中的/ BAC的度数改为70°,其余条件不变，再求/ AMB的度数.20.在△ ABC 中, AD是/ BAC的平分线.(1)如图①，求证:S AACD AC(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC ;(3)如图③，若AB=5 , AC=4 , BC=6 .求BD 的长.2. ________________________________________________________ 如图，在△ ABC 中，AB=AC ，/ BAC=90 ° , AE 是过 A 点的一条直线， CE 丄AE 于E , BD 丄 AE 于 D , DE=4cm , CE=2cm ，贝U BD= .3. 如图，在 Rt △ ABC 中，AC=BC ，/ C=90 ° , AB=8，点F 是AB 边的中点，点 D 、E 分 别在AC 、BC 边上运动，且保持 AD=CE ，连接DE 、DF 、EF .在此运动变化的过程中，下 列结论中正确的结论是(1 )△ DFE 是等腰直角三角形；(2) 四边形CDFE 不可能为形；(3) DE 长度的最小值是4;(4) 四边形CDFE 的面积保持不变;(5) △ CDE 面积的最大值为 4.4. 在直角坐标系中，如图有厶 ABC ，现另有一点D 满足以A 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则D 点坐标为 _____________________5. 如图所示，在△ ABC 中，/ A=90 ° , BD 平分/ ABC , AD=2cm , AB+BC=8 , S ^ABC= _____________________ .6. __________________________________________________ 如图，AD 是厶ABC 的角平分线， DF 丄AB ,垂三.【作业】1•“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量 则该花园面积为 _________________ 平方米.AB=20 米，/ DEC=90 °，/ ECD=45足为F, DE=DG , △ ADG和厶AED的面积分别为50和38,则厶EDF的面积为.7.如图，在△ ABC 中，/ ABC=90 ° . AB=BC , A (- 4, 0), B (0, 2) I 玖圏1 图2 图3(1)如图1,求点C的坐标；(2)如图2, BC交x轴于点M , AC交y轴于点N，且BM=CM，求证：/ AMB= / CMN ;(3)如图3,若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角厶BOF与等腰直角△ ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y 轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度.&如图，在厶ABC中，已知/ B= / C,AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1s,A BPD与厶CQP是否全等？请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使厶9.如图，AD // BC,/ D=90 ° .(1)如图1,若/ DAB的平分线与/ CBA的平分线交于点P,试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图2,如果P是DC的中点，BP平分/ ABC，/ CPB=35°，求/ PAD的度数为多10.观察、猜想、探究：在厶ABC 中，/ ACB=2 / B.(1)如图①，当/ C=90 ° , AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD ;(2)如图②，当/ CM 90°, AD为/ BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(3)如图③，当AD ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.参考答案与试题解析(1, 4)(丄，5), (0 10)b.解：①当△ COF 和厶FAQ 全等时,OC=AF ，OF=AQ 或 OC=AQ ，OF=AF , •/ OC=6 , OF=t , AF=10 - t , AQ=at ，代入得:::厂或(Mt ，解得2，a=1, ,5);②同理当厶FAQ 和厶CBQ 全等时，必须BC=AF , BQ=AQ ,10=10 - t , 6- at=at ，此时不存在；③因为△ CBQ 最长直角边 BC=10，而△ COF 的最长直角 边不能等于10,所以△。
全等三角形与角平分线问题
板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．知识点睛中考要求第三讲全等三角形与角平分线问题全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点例题精讲与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，POB AA BOPA BOP【例1】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．D CBA【例2】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A【例3】 如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．FBEDCA【例4】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．ABCDEO【例5】 (2006年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBAADOC B【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例7】 (06北京中考题)如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =． PDBOCA【例8】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例9】 如图所示，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高，20DEF ∠=︒，则BAC∠等于________．FEDC BA【例10】 (北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【例11】 ⑴(理工附中06～07学年下学期期中考试)在ABC ∆中，96A ∠=，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的角平分线相交于点1A ，1A BC ∠与1ACD ∠的角平分线交于2A ，…，依次类推4A BC ∠与4A CD ∠的角平分线交于5A ，求5A ∠大小．A 2A 1ABC D A B CDEFG ⑵(初二第5届希望杯1试)如右上图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=，110BGC ∠=，求A ∠的度数．【补充】(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【例12】 (北京市西城区2006年抽样测试八年级(上)附加题，黄冈市数学竞赛试题)如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．DPC B A【补充】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥且1()2DE AB AC =+．E DCB A【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【例13】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例14】 如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC∆，100A∠=︒，ABC∠的平分线交AC于D，则BD AD BC+=．【例15】如图所示，在ABC∆中，AD是BAC∠的平分线，M是BC的中点，ME AD⊥且交AC的延长线于E，12CE CD=，求证2ACB B∠=∠．EM DCBA【例16】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．MFD CB A【例17】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA【例18】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【例19】 已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求证：⑴DE AB ∥；⑵ ()12DE AB BC CA =++．EBA D C【例20】 在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++FEN M CBA【巩固】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-NMCBA【例21】 在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =∠，求证：12DE AC =． CE DB A【例22】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD 、AM 分别是ABC ∠、BAC ∠的平分线，DN BC ⊥，GF BD ⊥．求证：14MN BF =．F NM G DCB A【例24】 如图所示，90BAC DAE ︒∠=∠=，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECDBA【习题1】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．家庭作业C EDBA【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A【习题3】(04年山东中考题)AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．DECFBA【习题4】如图所示，AD 平行于BC ，DAE=EAB ∠∠，ABE=EBC ∠∠，AD =4，BC =2，那么AB =________．【习题5】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G ．求证：BF CG =．EGF DC BA【备选1】(2001年河南省中考题)在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．CD B A【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．月测备选EB CD A。
角平分线的性质与全等三角形
角平分线的性质与全等三角形一、知识回顾1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
∵△ABC≌△A＇B＇C＇∴AB=A＇B＇,BC=B＇C＇,AC=A＇C＇; ∠A=∠A＇, ∠B=∠B＇, ∠C=∠C＇二、典型例题例1：下列定理中逆定理不存在的是（）A．角平分线上的点到这个角的两边距离相等B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等分析：把每个选项的逆命题写出，然后利用相关的知识进行证明，不能证明的是错误的，选项D的逆定理是不存在的．解答：A、角平分线上的点到这个角的两边距离相等的逆定理存在，可通过三角形全等来证明，正确；B、在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等逆定理存在，可通过证明三角形全等来证明，正确；C、同位角相等，两直线平行的逆定理是平行线的性质定理之一，正确；D、对应角相等的三角形不全等，及其逆命题不正确，也就是逆定理不存在．故选D．___________________________________________________________________________ ___例2：如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE 全等的理由是（）A．SAS B．AASC．SSS D．ASA分析：根据已知条件在三角形中的位置来选择判定方法，本题中有两角及一角的对边对应相等，所以应选择AAS，比较简单．解答：由已知得，AP=AP，∠DAP=∠EAP，∠ADP=∠AEP所以符合AAS判定．故选B．___________________________________________________________________________ ___例3：已知，如图，△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下列说法，正确的有（）①DE=DF，②AE=AF，③AD平分∠EDF；④AD⊥BC，⑤图**有3对全等三角形．A．B． 3个C．4个D．5个分析：根据题意可以推出DE=DF，△AED≌△AFD，即可推出说法①②③为正确．解答：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，AD平分∠EDF．故选B．___________________________________________________________________________ ___例4：（2002·四川）以下命题中，真命题是（）①同一平面内的两条直线不平行就相交；②三角形的外角必定大于它的内角；③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；④两个全等三角形的面积相等．A．①、③B．①、④C．①、②、④D．②、③、④分析：同一个平面内的两条直线的位置关系：平行、相交；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角；全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；全等三角形的面积比相等．解答：A、根据平面内两条直线的位置关系，故正确；B、三角形的外角应大于任何一个和它不相邻的内角，故错误；C、不符合全等三角形的判定定理，故错误；D、根据全等三角形的定义，故正确．故选B．___________________________________________________________________________ ___例5：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是（）A．∠DAE=∠CBE B．CE=DEC．△DEA不全等于△CBE D．△EAB是等腰三角形分析：由题中条件可得，△ABD≌△BAC，由全等可得对应角相等，对应线段相等，即可得△ADE≌△BCE，所以C中说两个三角形不全等是错误的；再由角相等也可得△EAB为等腰三角形，进而可得出结论．解答：∵∠1=∠2，∠C=∠D，且AB为公共边，∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB=∠CBA，AD=BC，又∠1=∠2，∴∠DAE=∠CBE，A正确；又AD=BC，∠D=∠C，∴△ADE≌△BCE，C错误；∴CE=DE，B正确；∵∠1=∠2△EAB为等腰三角形，D正确．故C错，选C．三、解题经验角平分线的性质很简单，也比较容易掌握。
全等三角形之角平分线模型
角平分线模型【理论准备1】：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于½MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC 即为所求．【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS ）、全等三角形对应角相等CO BＢAＮＭＢＣＯ【理论准备2】：角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【几何语言】：∵ OC 为∠AOB 的角平分线，D 为OC 上一点DE ⊥OA ，DF ⊥OB ∴ DE=DF【理论准备3】：角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【几何语言】：∵ DE ⊥OA ，DF ⊥OB 且DE=DF∴ OD 为∠AOB 的角平分线【说明】：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
DFEOCBA DFEOCBA【例题1】证明：三角形三个内角的角平分线交于一点．【跟踪训练】1. 如图，△ABC 的∠B 、∠C 的外角平分线交于点D ．求证：AD 是∠BAC 的平分线．ABCD2. 如图，△ABC 的外角一平分线CP 和内角平分线BP 相交于点P ，若∠BAC=80°，则 ∠CAP=________.ABPCD3. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB ，DE=3cm ，BD=5cm ，则BC=__________．I FE DCBA第19题第CAEDBBEFAC4. 如图，△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3， 求△ABC 的面积．BADC O5. 在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，若点P 是△ABC 的三条角平分线的交点，则点P 到边BC 的距离是________.6. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB 的平分线OC ，将三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点P 上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试猜想PE 、PF 的大小关系，并说明理由．7. 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．【理论准备4】【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
三角形的全等判定和角的平分线
三角形的全等判定（ASA 、AAS 、SSS 、HL ）和角的平分线一、重点是三角形全等的判定；难点是角平分线性质定理及其逆定理1. 证明三角形全等的思路由于证明三角形全等的方法较多，因此证明两个三角形全等的思路与其他证明题目的思咱有所不同，它不是先想用什么方法去证，而是先分析条件，观察待证全等的两个三角形中，已经具备了哪些条件，然后以其为基础，观察其他需要的条件，最后证出需要的条件。
例如：易得两边对应相等，则应再找⎩⎨⎧第三边相等夹角相等)2()1(，在（1）（2）中证出一个条件，则可以证出三角形的全等。
2. 全等三角形的应用（1）证明线段或角相等，通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再分析这两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条件，最后证出所缺条件。
（2）添辅助线构造全等三角形常见的辅助线有：①题中有三角形中线的条件时，常作如下辅助线：如下图，△ABC 中，BD=DC ，延长AD 到E ，使DE=AD ，连结CD 或BE 。
则有结论△CDE ≌△BDA 或△BDE ≌△CDA②题中有三角形角平分线的条件时，常作如下辅助线：如图(1)，∠1=∠2，AB>AC ，则在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，必有结论△ADE ≌△ADC.如图(2)，若延长AC 到F ，使AF=AB ，连结DF ，必有结论△ADF ≌△ADB. 如图(3)，若作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，必有结论DE=DF.3. 角的平分线（1）定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）逆定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
这两个定理是两个能简化证明过程的定理，如果没有这两个定理，它们所得出的结论，可以通过全等三角形得到。
学生在碰到能运用这两个定理的题时，往往会习惯性地还是用全等的方法来进行证明，应当有意识地加强训练，加深对这两个定理的印象。
两边及一角的平分线相等的三角形全等
三角形是初中数学中重要的几何形状，而全等三角形是其中的一个重要概念。
全等三角形具有相同的形状和相同的大小，是重要的几何性质之一。
在本文中，我们将探讨两边及一角的平分线相等的三角形全等的性质和应用。
一、全等三角形的定义1.1 两个三角形全等的定义全等三角形是指在几何形状上，两个三角形的对应边相等，对应角相等的情况下，两个三角形全等。
1.2 全等三角形的符号表示两个全等三角形可以用符号来表示，常用的表示方法是△ABC ≌ △DEF，其中△ABC 代表一个三角形，△DEF 表示另一个三角形。
二、两边及一角的平分线相等的三角形全等的条件2.1 两个三角形的对应边相等当两个三角形的对应边分别相等时，可以推断这两个三角形全等。
2.2 两边及一角的平分线相等若两个三角形的一个角和它们的两边的切线相等，则这两个三角形全等。
2.3 证明方法要证明两边及一角的平分线相等的三角形全等，可以通过 SSS 全等判据（三边对应相等判据）、SAS 全等判据（两边及夹角对应相等判据）、AAS 全等判据（两角及夹边对应相等判据）进行证明。
三、全等三角形的性质和应用3.1 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：（1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等（3）全等三角形的面积相等3.2 全等三角形的应用全等三角形的性质和条件在几何问题中有着广泛的应用：（1）在证明几何定理时，可以利用全等三角形的性质进行证明。
（2）在计算三角形的面积时，可以利用全等三角形的面积相等性质，简化计算步骤。
（3）在解决实际问题中，可以利用全等三角形的特性，求解未知长度和角度。
四、如何判断两边及一角的平分线相等的三角形全等4.1 观察三角形的给定条件要判断两边及一角的平分线相等的三角形全等，需要观察给定的三角形条件，看是否满足两边及一角的平分线相等的条件。
4.2 应用全等三角形的判定条件根据全等三角形的判定条件，可以利用SSS 全等判据、SAS 全等判据、AAS 全等判据等进行判断。
北师大版 七年级数学下册 第四章 全等三角形的性质和判定的归纳总结 (无答案)
全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一 全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【例2】 如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．【例4】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】 （成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．2、不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（ ）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】 如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】 如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】 以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、 的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．【例6】 在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】 如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题 角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】 如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】 如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】 如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】 正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】 如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】 如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。
全等三角形角平分线的判定
全等三角形角平分线的判定一、概述全等三角形是几何学中重要的概念之一，它指的是具有相同形状和大小的两个三角形。
在判定两个三角形是否全等时，角平分线是一个重要的判定条件之一。
本文将详细探讨全等三角形角平分线的判定方法。
二、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个内角都有一条角平分线。
角平分线的性质如下： 1. 角平分线将角分成两个相等的角。
2. 三角形的三条角平分线交于一点，该点称为角平分点。
3. 角平分线与三角形的边相交，将边分成两个与角平分线所在直线段成比例的线段。
三、全等三角形的定义和判定条件全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
判定两个三角形全等的条件有多种，其中之一就是角平分线的相等性。
以下是判定两个三角形全等的常用条件：1. SSS（边-边-边）：若两个三角形的三条边分别相等，则它们全等。
2. SAS（边-角-边）：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们全等。
3. ASA（角-边-角）：若两个三角形的两角和一边分别相等，则它们全等。
4. AAS（角-角-边）：若两个三角形的两角和一边分别相等，则它们全等。
5. RHS（直角-斜边-高）：若两个直角三角形的斜边和高分别相等，则它们全等。
四、角平分线的判定方法在判定两个三角形全等时，我们可以利用角平分线的相等性来简化判定过程。
以下是角平分线的判定方法： 1. 若两个三角形的一个内角的角平分线分别与另一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这两个三角形全等。
2. 若两个三角形的两个内角的角平分线分别与另一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这两个三角形全等。
3. 若两个三角形的一个内角的角平分线分别与另一个三角形的一个内角的角平分线相等，并且这两个内角的角平分线所在直线段成比例，则这两个三角形全等。
五、示例分析下面通过一个示例来说明角平分线的判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，AD/DE = BC/EF。
专题训练——全等三角形与角平分线
板块 考试要求 A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形 会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形'''''AB CD E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． 知识点睛中考要求第一讲全等三角形与角平分线(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB AA BOP重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
暑期备课笔记-初二数学第4讲：三角形全等的判定(教师版)
第四讲三角形全等的判定全等三角形的判定方法:(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形判定的书写格式:在△XXX和△XXX中_______________________________________∴△XXX≌△XXX（判定定理）1、全等三角形的判定方法:2、善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，则∠ECA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°解析：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD（SAS），∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF（SAS），故∠ECA=∠DCB=40°．答案：C2、如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组解析：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．答案：C3、如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是______度。
全等三角形及角平分线的性质
全等三角形及角平分线的性质首先，这节课的重点是全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法，难点是根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA ”不能判定三角形全等的认识。
这里我们列出重要知识点和基本的解题思路。
1.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等。
2.全等三角形的判定方法：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.3.证明三角形全等的基本思路：(1)已知两边：⎪⎩⎪⎨⎧）或若有直角（找夹角）找第三边（SAS HL SAS SSS )(（2）已知一边一角⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）已知是直角，找一边（）找一角（已知一边与对角）找这个边的对角（）找这个角的另一边（）找这边的另一邻角（已知一边与邻角HL AAS AAS SAS ASA (3)已知两角⎩⎨⎧）找夹边外任一边（）找夹边（AAS ASA例1 如图11-116所示，太阳光线AC 与A ′C ′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由．例 2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等．试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．二、角平分线的性质1，角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半；2，角平分线上的点到该角两边的垂直距离相等；3，在角的内部，到该角两边距离相等的点在该角的平分线上。
4.三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
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全等三角形与角平分线-第四讲．第四讲全等三角形与角平分线一．【知识回顾】角平分线 2、1、全等三角形的性质与判定的性质与判定【讲解与练习】二．中，∠．如图，四边形ABCD1°，BAD=∠BCD=90的面积ABCDAB=AD，若四边形cm．为24cm，则AC长是2的．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC2，轴上，OA=10cm两边分别在x轴和y出发，O是线段OA上的动点，从点OC=6cm．FQ方向作匀速运动，点1cm/s的速度沿OA以、Q两点间的距离是O在线段AB上．已知A、）表示经过时，tF两点间距离的a倍．若用（a中有两FAQ、△、△CBQs间t（）时，△OCF）的所有可能情，t个三角形全等．请写出（a ．况2第页三个内角的平分线交于点3．如图，已知△ABC，若，连接DO，延长OBA到点D，使AD=AO的度数BCABD=BC，∠ABC=54°，则∠为°．4．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，则∠3=．5．如图，AC=DB，∠1=∠2，则△ABC≌ABC=，∠△．∠BCD在6．如图，点，AC于点F交，⊥上，DEAB于点EDF⊥BC°，则∠AFD=145．若∠BD=CF，BE=CD ．EDF=第3页图，已知五7．如中，边形ABCDE∠∠ABC=，则五边形+AB=CD=AE=BCDE=2°，AED=90 ABCDE．的面积为的正方形网络，在网格中画出58．如图，在5×全等，这样的格点F，使得△DEF与△ABC点个．三角最多可以画出、到三边ABO是△如图，9．OABC内一点，且°，若∠，BAC=70OF=OD=OECABC、的距离 BOC=∠．4第页分别的周长是12，OB、OC10．如图，△ABC，于D，且OD=3平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC ．则△ABC的面积是P°，，∠AOC=20．如图，OC平分∠AOB11，∠≠OEODOC上一点，PD=PE，为°．OPE=110°，则∠ODP=ABC12．如图，△、，两内角的平分线CD中，∠A=60°，AB＞AC）（1BOC交BC于F，交于点BEO，OF平分∠；平分∠BAC连AO，则AO∠BOC=120°；（2），OD=OE三点在同一直线上，（4）A（3）、O、F CE=BC）BD+．其中正确的结论是5（（填序号）．，∠AB=ACABC．如图1，已知△中，13中点，P的顶点是BCBAC=90°，直角∠EPF、的延长线于点AB、CAE分别交、两边PEPF F．第5页（1）求证：AE=CF；（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；（3）求证：∠FEA+∠PFC=45°；（4）求证：S﹣S=S．ABCPFCPBE△△△为等腰直．如图，△ACO14 角三角形．A，求点坐标；），（﹣）若（1C13 6第页（2）过A作AE⊥AC，若∠FEO=∠COE，求∠EOF的度数；（3）当△ACO绕点O旋转时，过C作CN ⊥y轴，M为AO的中点，∠MNO的大小是否发生变化？15．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连接DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC 的长．16．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAE，DA∥CE，AB=CB．（1）试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；（2）若∠DAC=25°，求∠AEB的度数．第7页平中，AD17．如图，在△ABC请利用线段之比可转化为面积之比的BAC，分∠．思路方法，求证：分AD°，，BE18．如图，△ABC中，∠C=60．求交于点P、，∠CBAAD、BE别平分∠CAB 证：°；（1）∠APB=120 在∠C 的平分线上；2（）点P+BD．AB=AE3（）第8页19．（1）如图1①，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠BAC=40°，求∠AMB的度数；（2）如图1②，如果将（1）中的∠BAC的度数改为70°，其余条件不变，再求∠AMB 的度数．20．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．）如图①，求证：；（1（2）如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．第9页【作业】三．．“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测1∠米，∠量AB=20DEC=90°，平方°，则该花园面积为ECD=45米．°，BAC=90，如图，在△ABC中，AB=AC ∠2．BDAE于E，CEAE是过A点的一条直线，⊥，则CE=2cmDE=4cmAE⊥于D，，．BD=第10页°，C=90中，AC=BC，∠3．如图，在Rt △ABC分别在E边的中点，点D、AB=8，点F是AB、AD=CE，连接DE、ACBC边上运动，且保持．在此运动变化的过程中，下列结论中DF、EF ．正确的结论是是等腰直角三角形；）△DFE（1 不可能为正方形；）四边形CDFE（2 4；3）DE长度的最小值是（ CDFE的面积保持不变；（4）四边形面积的最大值为4．5（）△CDE，现另有一．在直角坐标系中，如图有△4ABCABCD为顶点的三角形与△BD点满足以A、、．D全等，则点坐标为第11页平BDA=90°，5．如图所示，在△ABC中，∠，+BC=8AB分∠ABC，AD=2cm，S．= ABC△，ABDFABC的角平分线，⊥6．如图，AD 是△的面积分AED△ADG和△垂足为F，DE=DG，．的面积为和别为5038，则△EDF，°．AB=BCABC中，∠ABC=907．如图，在△）0，2）4，0，B（（﹣A的坐标；，求点C（1）如图1轴于yAC交，交）如图22，BCx轴于点M（ CMN∠；AMB=BM=CMN点，且，求证：∠ 12第页（3）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△BOF与等腰直角△ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度．8．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB 的中点．点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．第13页（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1s，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？9．如图，AD∥BC，∠D=90°．（1）如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA 的平分线交于点P，试问：点P是线段CD 的中点吗？为什么？（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35°，求∠PAD的度数为多少？第14页10．观察、猜想、探究：．ACB=2∠B在△ABC中，∠的角BACAD为∠（1）如图①，当∠C=90°， CD；平分线时，求证：AB=AC+的BACAD为∠902（）如图②，当∠C≠°，又有怎样的数CD、ABAC、角平分线时，线段量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想； 15第页的外角平分线时，ABC为△3）如图③，当AD（又有怎样的数量关系？请写CD线段AB、AC、出你的猜想，并对你的猜想给予证明．参考答案与试题解析解：）．，）（，14），，5，（010（．．．1cm2①当△COF和△FAQ全等时，OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，第16页，代入得：∵AQ=att，OF=t，AF=10﹣OC=6，，，a=a=1t=4，，或t=5或，解得：CBQ）；②同理当△FAQ和△51∴（，4），（，BC=AF，BQ=AQ，全等时，必须CBQ③因为△，此时不存在；610=10﹣t，﹣at=at 的最长直角边不，而△COFBC=10最长直角边，FCOF10，所以△和△BCQ不全等，④能等于CBQQ，A三点重合，此时△COF和△，（110）故答案为：此时为全等，（0， 10）．54），（，），（0，5．△3°．604．°．．42解：．55°．7．．DCB，∠DCB6．4，AF，，使ADEF=BC，，连AC延长DE至F ∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∵ACD，△△AEF≌Rt△ABCRt由题中条件可得，≌△AFD 2=4．××2××∴S=2S=2?DF?AE=2ADFABCDE△ 4．故答案为：48．130．11．．个．9125°．10．18 （填序号））．5）（2）（12°．．1（）4（ 17第页13．证明：（1）连结AP，EF；∵△ABC为等腰直角三角形，且点P为斜边BC的中点，∴PA=PB=PC，PA⊥BC；而∠EPF=90°，∴∠APF=∠BPE，∠PAC=∠PBA=45°，∴∠PAF=∠PBE=135°；∴△APF≌△BPE （ASA），∴AF=BE，而AB=AC，∴AE=CF．（2）∵△APF≌△BPE，∴PF=PE，而∠EPF=90°，∴△EPF为等腰直角三角形．（3）∵△APF≌△BPE，∴∠PFA=∠PEB，∴∠FEA+∠PFC=∠FEA+∠PEB=45°．（4）∵△APF≌△BPE，∴S=S，∴S﹣PFCPBEAPF△△△，而，=SS=S﹣SAPCPFCAPFPBE△△△△∴S﹣S=S．ABCPFCPBE△△△14．解：（1）作CD⊥y轴，AB⊥DC延长线于B，点+BCA∠+BCA=90°，∠∵∠BAC °，∠DCO=90≌△ABCDCO，∴△∴∠BAC=∠，CDO（AAS）点坐AB=CD=1，∴A，∴BC=OD=3 ；2标（﹣4，） EOF=45°；）∴∠（2第18页（3）不变，理由如下：作MK⊥ON于K点，MF⊥NC于F点，连接MC，∵∠MFC=∠CNO=∠MKN=90°，∴∠FMK=90°，四边形MKNF为矩形，∵AC=CO，M是AO中点，∴∠CMO=90°，CM=MO，∵∠CMO=∠CMK+∠KMO，∠FMK=∠FMC+∠CMK，∴∠KMO=∠FMC，∴△FMC≌△KMO（AAS），∴FM=MK，∴矩形MKNF为正方形，∴∠MNO=45°．15．解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）．16．（1）答：BE垂直平分AC，证明：∵AC 平分∠DAE，∴∠DAC=∠EAC，∵DA∥CE，∴∠DAC=∠ACE，∴∠ACE=∠EAC，∴EA=EC，∴E在AC的垂直平分线上，∵AB=CB，∴B在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC；19第页（2）解：∵AC是∠DAE的平分线，∴∠DAC=∠CAE=25°，又∵DA∥E∴∠DAC=∠ACE=25°∴∠CAE=∠ACE=25°∴AE=CE，∠AEC=130°，∴△AEB≌△CEB，∴∠AEB=∠CEB，∴∠AEB=（360°﹣∠AEC）=115°．17．面积法18．证明：（1）∵∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，∴∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAC，∴∠BAP+∠MBP=（∠ABC+∠BAC）=（180°﹣∠C）=60°，∴∠APB=120°；（2）如图1，过P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，∴PF=PG，PF=PH，∴PH=PG，∴点P在∠C的平分线上；（3）如图2，在AB上取点M使AM=AE，连接PM∵AD是∠BAC的平分线，∴∠PAM=∠PAE，∴△AMP≌△AEP，∴∠APM=∠APE=180°﹣∠APB=60°，∴∠BPM=180°﹣（∠APM+∠APE）=60°，∠BPD=∠APE=60°，∴∠BPM=∠BPD，第20页∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠MBP=∠DBP，∴△BOM≌△BOD，∴BM=BD，∴AB=AM+BM=AE+BD．19．解：∵∠ABC=∠ACB，∠BAC=40°，∴∠∵ABC=70°，分线的垂直平AB，NAB于点交BAM=∴∠∴AM=BM，BC交的延长线于点M，﹣∠AMB=180°﹣∠ABC∠ABC=70°，∴∠ BAM=40°；°，∴∠BAC=70ACB）∵∠ABC=∠，∠2（，AB的垂直平分线交于点NABC=55°，∵ABBAM=∴∠，M∴AM=BM，的延长线于点交BC ABC=55°，∠第21页﹣∠BAM=70°．°﹣∠∴∠AMB=180ABC，E⊥AB于20．解：（1）如图①，证明：作DE 的平分线，是∠BACDF ⊥AC于F，∵AD∴；∴DE=DF）的结论2）∵BD=CD，∴S 由（1=S（ACDABD△△；，∴，∴AB=AC，∵，垂足为A作AE⊥BCE（3）如图③，过，）的结论1，∴，由（∴，BD=∴DC=．【作业】 3．．（1）．200．2．6cm?吉安模拟）在直角坐标系中，如图有（20164．为顶点D满足以A、B、ABC△，现另有一点D，（0全等，则的三角形与△ABCD点坐标为．），）或（，﹣）或（﹣22222 22第页8cm．6．56．．2，⊥BO（1）作CD7．解：+°，∠ABO+∵∠CBD∠ABO=90 BAO，BAO=90°，∴∠CBD=∠∠，，∴BD=AO=4（AAS）≌△∴△ABOBCD CD=BO=2，；22，﹣）∴C点坐标（）（2轴，EG⊥y（3）作∠+°，∠OBA∵∠BAO+∠OBA=90EBG=90°，≌△BAO∠∴∠BAO=EBG，∴△，EBG（AAS），∴BF=EG，OB=BF∴BG=AO，EG=OB，∵），FBP∴△EGP≌△（AAS PB=PG，∴PB=BG=AO=2．∴的运动速度的运动速度与点P18．解：（）点Q CQP全等，与△秒后，△相等，经过1BPD第23页理由是：∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，∴∠B=∠C，BD=5厘米，∵BP=CQ=3t 厘米=3厘米，∴CP=8厘米﹣3厘米=5厘米=BD，∴△DBP≌△PCQ（SAS）；（2）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，∵BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8﹣3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，即①3t=xt，5=8﹣3t，解得：x=3（不合题意，舍去），②3t=8﹣3t，5=xt，解得：x=，即当点Q的运动速度为厘米/时时，能够使△BPD与△CQP全等．9．解：（1）点P是线段CD的中点．理由如下：过点P作PE⊥AB于E，∵AD∥BC，∠D=90°，∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC，∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，∴PD=PE，PC=PE，∴PC=PD，∴点P是线段CD的中点；第24页（2）过点P作PE⊥AB于E，∵AD°﹣°，∴∠C=180BC，∠D=90∥PBE．∴△BC°，即PC⊥∠D=90，（AAS）≌△PBC，PC=PD°，PE=PC，∵∴∠EPB=∠CPB=35∴∠，（HL）PAD≌Rt△PAE∴PD=PE，∴Rt△×2APE=180°﹣APE，∵∠APD+∠APD=∠°，°=11035°﹣∠PAD=90APD=55°，∴∠∴∠°．APD=35，于点E⊥AB，交ABD10．解：（1）过作DE⊥的平分线，DC所示，∵AD为∠BAC如图1RtACD和，在Rt△AC，DE ⊥AB，∴DE=DC≌ACD，∴Rt△△AED中，AD=AD，DE=DC，AEDACB=∠）（HL，∴AC=AE，∠Rt△AED ，∠B∠B，∴∠AED=2∵∠ACB=2，∴∠EDB∠EDB，∴∠B=又∵∠AED=∠B+；AE=CD+ACAB=BEBE=DE=DC，则+上截取ABAC，理由为：在2（）AB=CD+ 2所示，AG=AC，如图，CAD的平分线，∴∠GAD=∠BAC∵AD为∠AGD=，CD=DG∠∴）（≌△∴△ADGADCSAS， 25第页∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠AGD=2∠B，又∵∠AGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BE=DG=DC，则AB=BG+AG=CD+AC；（3）AB=CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∴△ADG≌△ACD （SAS），∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，∵∠ACB=2∠B，∴∠FGD=2∠B，又∵∠FGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BG=DG=DC，则AB=BG﹣AG=CD﹣AC．。