高考数学一轮复习 4.29 平面向量的综合应用课件 理
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∴z 的取值范围是[0，2]，即O→A·O→M的取值范围是 [0，2]，故选 C.
5.一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位： N)的作用而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为_2__7_.
【解析】F1＋F2＝－F3，∴F32＝F1＋F22＝4＋ 16＋2×2×4×12＝28，∴F1＋F2＝2 7.故填 2 7.
造问题的题设条件，因此依据向量知识转化为三角函
数问题是问题求解的切入点.
二、向量背景下的函数问题
例2(1)已知非零向量 a，b 满足|a|＝ 3|b|，若函数
f(x)＝13x3＋|a|x2＋2a·bx＋1 在 x∈R 上有极值，θ为 a，
b 的夹角，则 θ 的取值范围是( D )
A.0，π6 C.π6 ，π2
4.已知 O 是坐标原点，点 A(－1，1)，若点 M(x，
x＋y≥2， y)为平面区域x≤1，
上的一个动点，则O→A·O→M
y≤2
的取值范围是( C )
A.[－1，0] B.[0，1] C.[0，2] D.[－1，2]
【解析】画出不等式组表示的平面区
域(如图阴影部分)，又O→A·O→M＝－x＋ y，取目标函数 z＝－x＋y，即 y＝x＋z， 作斜率为 1 的一组平行线，当它经过点 C(1，1)时，z 有最小值，即 zmin＝－1 ＋1＝0；当它经过点 B(0，2)时，z 有最大值，即 zmax ＝－0＋2＝2.
A.－1 C.12
B.－12 D.2
(2)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b， c.若A→B·A→C＝C→A·C→B＝k(k∈R).
①判断△ABC 的形状； ②若 k＝2，求 b 的值.
【解析】(1)B→D＋B→E·B→E－C→E＝B→D＋B→E·B→C＝ 2B→C·B→C＝2|B→C|2，显然|B→C|的长度为半个周期，周期 T ＝2ππ＝2，∴|B→C|＝1，所求值为 2，故选 D.
接能构成四边形，则向量 d 为( D )
A.(2，6)
B.(－2，6)
C.(2，－6)
D.(－2，－6)
【解析】设 d＝(x，y).因为 4a＝(4，－12)，4b－2c ＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)，依题意，有 4a＋(4b－ 2c)＋2(a－c)＋d＝0，解得 x＝－2，y＝－6.故选 D.
π C. 3
2π D. 3
【解析】由于 Δ＝|a|2＋4a·b＝0 且|a|＝2|b|，
∴4|b|2＋8|b|2cos θ＝0，θ为 a 与 b 的夹角，又
|b|≠0，
∴cos θ＝－12，则 θ＝2π3 .故选 D.
3.设向量 a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，
若表示向量 4a，4b－2c，2(a－c)，d 的有向线段首尾相
第29讲 平面向量的综合应用
【学习目标】
1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些 实际问题．
【基础检测】
1.已知向量 a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则
a－b的最大值为( B )
A.1
B. 2
C. 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD.2
【解析】∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，
(2)①∵A→B·A→C＝cbcos A，C→A·C→B＝bacos C， ∴bccos A＝abcos C， 根据正弦定理，得 sin Ccos A＝sin Acos C， 即 sin Acos C－cos Asin C＝0，sin(A－C)＝0， ∴∠A＝∠C，即 a＝c. 则△ABC 为等腰三角形. ②由①知 a＝c，由余弦定理，得 A→B·A→C＝bccos A＝bc·b2＋2cb2c－a2＝b22. A→B·A→C＝k＝2，即b22＝2，解得 b＝2. 【点评】三角函数与向量综合往往以向量运算构
等实根，
∵f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0
有不等实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b＞0，即 a·b＜12|a|2，
【知识要点】 1．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性 运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全 等、相似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常
用共线向量定理：a∥b，且 b≠0⇔∃λ∈R，使 a＝λb
⇔x1y2－x2y1＝0 或xy11＝＝λλyx22，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)； (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔
量积，即 W＝F·S＝|F|·|S|·cos θ(θ 为 F 与 S 的夹角)．
一、向量背景下的三角函数问题
例1(1)已知函数 fx＝Asinπx＋φ的部分图象如 图所示，点 B，C 是该图象与 x 轴的交点，过点 C 的 直线与该图象交于 D，E 两点，则B→D＋B→E·B→E－C→E 的值为( D )
B.0，π3 D.π6 ，π
(2)已知 a＝12， 23，b＝( 3，－1)，若存在实数
k 和 t，使 x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋14b，且 x⊥y.
①试求函数关系式 k＝f(t)； ②若 f(t)－3mt＋1>f(a·b)对任意的 t∈(0，＋∞)恒 成立，求 m 的取值范围.
【解析】(1)f(x)在 R 上有极值，∴f′(x)＝0 有不
___a_·_b_＝__0___⇔______x_1x_2_＋__y_1y_2_＝__0______； (3)求夹角问题，利用夹角公式．
2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们 的分解和合成与向量的加法和减法相似，可用向量的知 识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 S 的数
∴a－b＝(0，sin θ－cos θ)，
∴
a－b
＝
02＋（sin θ－cos θ）2 ＝
1－sin 2θ.
∴|a－b|的最大值为 2.故选 B.
2.已知|a|＝2|b|，且|b|≠0，函数 f(x)＝x2＋|a|x－a·b
只有一个零点，则向量 a 与 b 的夹角是( D )
π A.－ 6
π B.－ 3
5.一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位： N)的作用而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为_2__7_.
【解析】F1＋F2＝－F3，∴F32＝F1＋F22＝4＋ 16＋2×2×4×12＝28，∴F1＋F2＝2 7.故填 2 7.
造问题的题设条件，因此依据向量知识转化为三角函
数问题是问题求解的切入点.
二、向量背景下的函数问题
例2(1)已知非零向量 a，b 满足|a|＝ 3|b|，若函数
f(x)＝13x3＋|a|x2＋2a·bx＋1 在 x∈R 上有极值，θ为 a，
b 的夹角，则 θ 的取值范围是( D )
A.0，π6 C.π6 ，π2
4.已知 O 是坐标原点，点 A(－1，1)，若点 M(x，
x＋y≥2， y)为平面区域x≤1，
上的一个动点，则O→A·O→M
y≤2
的取值范围是( C )
A.[－1，0] B.[0，1] C.[0，2] D.[－1，2]
【解析】画出不等式组表示的平面区
域(如图阴影部分)，又O→A·O→M＝－x＋ y，取目标函数 z＝－x＋y，即 y＝x＋z， 作斜率为 1 的一组平行线，当它经过点 C(1，1)时，z 有最小值，即 zmin＝－1 ＋1＝0；当它经过点 B(0，2)时，z 有最大值，即 zmax ＝－0＋2＝2.
A.－1 C.12
B.－12 D.2
(2)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b， c.若A→B·A→C＝C→A·C→B＝k(k∈R).
①判断△ABC 的形状； ②若 k＝2，求 b 的值.
【解析】(1)B→D＋B→E·B→E－C→E＝B→D＋B→E·B→C＝ 2B→C·B→C＝2|B→C|2，显然|B→C|的长度为半个周期，周期 T ＝2ππ＝2，∴|B→C|＝1，所求值为 2，故选 D.
接能构成四边形，则向量 d 为( D )
A.(2，6)
B.(－2，6)
C.(2，－6)
D.(－2，－6)
【解析】设 d＝(x，y).因为 4a＝(4，－12)，4b－2c ＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)，依题意，有 4a＋(4b－ 2c)＋2(a－c)＋d＝0，解得 x＝－2，y＝－6.故选 D.
π C. 3
2π D. 3
【解析】由于 Δ＝|a|2＋4a·b＝0 且|a|＝2|b|，
∴4|b|2＋8|b|2cos θ＝0，θ为 a 与 b 的夹角，又
|b|≠0，
∴cos θ＝－12，则 θ＝2π3 .故选 D.
3.设向量 a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，
若表示向量 4a，4b－2c，2(a－c)，d 的有向线段首尾相
第29讲 平面向量的综合应用
【学习目标】
1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些 实际问题．
【基础检测】
1.已知向量 a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则
a－b的最大值为( B )
A.1
B. 2
C. 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD.2
【解析】∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，
(2)①∵A→B·A→C＝cbcos A，C→A·C→B＝bacos C， ∴bccos A＝abcos C， 根据正弦定理，得 sin Ccos A＝sin Acos C， 即 sin Acos C－cos Asin C＝0，sin(A－C)＝0， ∴∠A＝∠C，即 a＝c. 则△ABC 为等腰三角形. ②由①知 a＝c，由余弦定理，得 A→B·A→C＝bccos A＝bc·b2＋2cb2c－a2＝b22. A→B·A→C＝k＝2，即b22＝2，解得 b＝2. 【点评】三角函数与向量综合往往以向量运算构
等实根，
∵f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0
有不等实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b＞0，即 a·b＜12|a|2，
【知识要点】 1．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性 运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全 等、相似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常
用共线向量定理：a∥b，且 b≠0⇔∃λ∈R，使 a＝λb
⇔x1y2－x2y1＝0 或xy11＝＝λλyx22，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)； (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔
量积，即 W＝F·S＝|F|·|S|·cos θ(θ 为 F 与 S 的夹角)．
一、向量背景下的三角函数问题
例1(1)已知函数 fx＝Asinπx＋φ的部分图象如 图所示，点 B，C 是该图象与 x 轴的交点，过点 C 的 直线与该图象交于 D，E 两点，则B→D＋B→E·B→E－C→E 的值为( D )
B.0，π3 D.π6 ，π
(2)已知 a＝12， 23，b＝( 3，－1)，若存在实数
k 和 t，使 x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋14b，且 x⊥y.
①试求函数关系式 k＝f(t)； ②若 f(t)－3mt＋1>f(a·b)对任意的 t∈(0，＋∞)恒 成立，求 m 的取值范围.
【解析】(1)f(x)在 R 上有极值，∴f′(x)＝0 有不
___a_·_b_＝__0___⇔______x_1x_2_＋__y_1y_2_＝__0______； (3)求夹角问题，利用夹角公式．
2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们 的分解和合成与向量的加法和减法相似，可用向量的知 识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 S 的数
∴a－b＝(0，sin θ－cos θ)，
∴
a－b
＝
02＋（sin θ－cos θ）2 ＝
1－sin 2θ.
∴|a－b|的最大值为 2.故选 B.
2.已知|a|＝2|b|，且|b|≠0，函数 f(x)＝x2＋|a|x－a·b
只有一个零点，则向量 a 与 b 的夹角是( D )
π A.－ 6
π B.－ 3