高中数学竞赛讲义(8)平面向量

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平面向量讲义

平面向量讲义考纲泛读高考展望①理解平面向量的概念，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．②理解向量加、减法及向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．了解向量的线性运算性质及其几何意义．近几年的高考数学试题中，平面向量每年都考，题型多以填空题为主，有时也与三角函数、解析几何知识综合在一起以解答题形式进行考查，特别是向量的数量积的概念，几乎年年考查，估计今后几年仍然会保持这种命题趋势．③了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减法运算与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．④掌握平面向量的数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的平行或垂直关系．预计2012年的高考，一是考查平面向量的基本概念及运算，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直等问题；二是有可能出现以向量为工具，在三角函数、解析几何、数列等知识交汇点处命题的题目．⑤会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决某些简单的力学问题和其他一些实际问题．⑥理解复数的概念，如复数相等、共轭复数、复数与复平面内的点或向量的一一对应关系．⑦理解复数的四则运算，了解复数的几何意义. 高考对复数知识的考查要求不高，多以填空题的形式考查复数的概念与复数的四则运算．因此，在考试中，应力求在与复数知识相关的小题中拿满分.一、平面向量的概念1、向量的概念2、向量的表示3、几种特殊向量：零向量、单位向量、共线向量（平行向量）例1、判断下列命题真假或给出问题的答案（1）平行向量的方向一定相同？（2）不相等的向量一定不平行.（3）与零向量相等的向量是什么向量？（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的条件是什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？【变式练习1】下列命题中正确的有_______.①单位向量都相等；②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若非零向量a ，b 满足|a|＝|b|，且a 与b 同向，则a>b ；④对于任意向量a 、b ，必有|a ＋b|≤|a|＋|b|.二、向量的运算（包括线性运算和坐标运算）1、加法运算：平行四边形法则、矢量三角形法则2、减法运算：三角形法则3、数乘运算例2、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 例3、(2010·广东中山六校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD＝13CA ＋λCB 则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23三、向量的数量积1、数量积的定义2、数量积的运算公式：3、数量积的作用：4、向量垂直与平行的充要条件【例4】设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题①(a ·b)c －(c ·a)b ＝0；②|a|－|b|<|a －b|；③(b ·c)a －(c ·a)b 不与c 垂直；④(3a ＋2b)·(3a －2b)＝9|a|2－4|b|2.其中是真命题的有________．【变式练习】下列命题中正确的个数是________.①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②(a ·b)·c ＝a ·(b ·c)；③若a ·b ＝b ·c(b ≠0)，则a ＝c ；④a ·b ＝b ·a ；⑤若a 与b 不共线，则a 与b 的夹角为锐角【变式练习】已知a 和b 的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求：(1)|a ＋b|；(2)a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值．【例3】设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a ⊥(b －2c)，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c|的取值范围；(3)若tan αtan β＝16，求证a ∥b. 例4(2010·湖南高考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16四、平面向量的基本定理1、基本定理2、基底例5。

中学数学竞赛讲义——平面向量

中学数学竞赛讲义——平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λf定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2．λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ， 3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=222221212121yx y x y y x x +⋅++(a, b ≠0),4. a ⇔⊥⇔定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使21PP P P λ=，λ叫P 分21P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则λλ++=121OP OP OP 。

(完整版)平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

高考数学竞赛平面向量教案讲义

高考数学竞赛平面向量教案讲义一、平面向量的概念1. 向量的定义：在平面直角坐标系中，一个向量可以用一个有序数对(a, b)表示，其中a和b分别是向量在x轴和y轴上的分量。

2. 向量的表示方法：用箭头“→”表示向量，例如→v = (3, 2)。

3. 向量的长度（模）：向量→v的长度等于√(a²+ b²)，表示为|→v|。

4. 向量的方向：向量的方向由其分量的符号确定，正方向为右上方向，负方向为左下方向。

二、向量的加法和减法1. 向量的加法：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的和表示为→v1 + →v2 = (a1 + a2, b1 + b2)。

2. 向量的减法：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的差表示为→v1 →v2 = (a1 a2, b1 b2)。

3. 三角形法则：对于任意三个向量→v1, →v2, →v3，有→v1 + →v2 + →v3 = (a1 + a2 + a3, b1 + b2 + b3)。

三、向量的数乘1. 数乘向量：给定向量→v = (a, b)，数k乘以该向量得到k→v = (ka, kb)。

2. 数乘的性质：k(→v1 + →v2) = k→v1 + k→v2，(k1 + k2)→v = k1→v + k2→v。

3. 数乘与向量长度的关系：|k→v| = |k||→v|。

四、向量的数量积（点积）1. 数量积的定义：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的数量积表示为→v1 ·→v2 = a1a2 + b1b2。

2. 数量积的性质：→v1 ·→v2 = →v2 ·→v1，(k→v1) ·→v2 = k(→v1 ·→v2)，→v1 ·(→v2 + →v3) = →v1 ·→v2 + →v1 ·→v3。

高中数学《平面向量》知识点讲解附真题PPT课件

λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=④ λa+λb
考点二平面向量基本定理及坐标运算
1.共线向量定理 (1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ使得⑤ b=λa ,则向量b 与a共线. (2)性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (3)A,B,C是平面上三点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线 AB上,则存在实数λ,使得 PC=(1-λ) PA+λ PB,如图.
知能拓展
考法一与平面向量线性运算有关的解题策略
例1 (2019豫南九校第三次联考,8)如图所示,在△ABC中,点M是AB的中
点,且 AN = 1 NC ,BN与CM相交于点E,设AB =a,AC =b,则AE 等于 ( )
2
A. 2 a+ 1 b
55
B. 1 a+ 2 b
55
C. 1a+ 1b
33
2.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中,⑥ 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
温馨提示 (1)构成基底的两向量不共线; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; (3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. 3.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 j 作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对⑦ (x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,显然0=(0,0),i=(1,0), j=⑧ (0,1) . (2)设OA =xi+yj,则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若OA =(x,y),则A 点坐标为⑨ (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点). 4.向量的坐标运算

高中数学平面向量PPT课件

a
CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
2021/3/8
k a (k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关20结21/3论/8 仍适用于它们。
向量减法的三角形法则 2021/3/8
b a
向量加法的平行四边形法则
a k a (k>0) k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) k a＋kb
2021/3/8
点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等；（4）两个相等向量的模相等。
2021/3/8
正确的有：（4）
练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 (B )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量 C
D.共起点的向量
A2021/3/8
F
若不相等，则之间有什么关系？
D C
解：（1）BC，OA
A
B
（2）BC FE
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
但是它们方向相反，故这两个向量不相等.
2021/3/8
OA BC
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB，

最新高一数学优质课比赛课件：平面向量基本定理

1
2
11
22
C . 空间任一向量 a可以表示为 a e e ，
11
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这里、是实数
1
2
D .若实数、使 e e 0,则 0
1
2
11
22
1
2
小结:
一维，向量的共线定理；二维，平面向量的基本定理；三维，空间向量的基本定理。
结束语
谢谢大家聆听！！！
18
培养学生观察能力、抽象概括能力，激发学习兴趣
教学重点与难点
1．重点：平面向量基本定理的应用 2．难点：定理的发现和形成过程
平面向量基本定理：
如果e1、 e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对
实数1、2，可使 a1e1 +2e2
这里不共线的向量 e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .
几点说明：（1）基底不变，平面内的任意向量都可以由这两个
作为基底的向量表示。（2）平面内的任意向量不变，表示这个向量的基底
可以有无数组。（3）当平面的任意向量与一个基底共线时，这个向
量也可以由基底表示出来。引导学生说出“这个定理实际上就告诉了我们平
面内的任意向量通过平行四边形法则都可以分解成两个向量的和向量。”并举在实际生活中的例子：火箭在飞行过程中某一时刻的速度可以分解成竖直向上和
(1).3e12e2; (2). 4e1e2;
e1
e2
3 . 如果 e1、e 2是平面内所有向量的一组基底，那么（ D）
A . 对平面中的任一向量 a，使 a e e

平面向量基础讲义

平面向量【复习目标】1．理解向量平行（共线）的充要条件，会用该结论证明共线问题； 2．掌握向量加减法，实数与向量的积以及向量数量积的坐标运算；3．掌握向量加减法，实数与向量的积以及向量数量积的运算的几何意义；4．强化平面向量的工具意识，培养使用平面向量解决平面几何，解析几何，三角函数及某些应用问题的能力。

【重点难点】向量加减法，实数与向量的积以及向量数量积的运算的几何意义。

【典型例题】例1（1）如图，已知2,1,4,OA OB OC OA OB === 与的夹角为1200，OA OC 与的夹角为300，用,OA OB OC 表示.（2）已知,a b是两个非零向量，且,a b a b a a b ==-+ 求与的夹角.（3）已积OB =（2，0），OC =（2，2），CA = （2cos α，2sin α），则OA 与OB夹角的范围是______________ （4）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高．以下结论： ①⋅=+⋅)(；②2AH AC AH ⋅= ；③sin ||AHAC c B AH ⋅= ；④ A bc c b AB AC BC cos 2)(22-+=-⋅．其中正确的是．(写出所有你认为正确的结论的序号)例2（1）已知，,,OA a OB b OC c ===（如图），求证：A 、B 、C 三点在一直线上的充要条件是存在实数m 、n 使得n m +=并且1=+n mO（2）平面直角坐标坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B （－1，3），若点C 满足OC =αOA+βOB，若中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为______ ______（3）过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E.若,0,,≠==xy AC y AE AB x AD 则yx 11+的值为______ ______例3（1）在同一平面内，Rt △ABC 和Rt △ACD 拼接如图所示，现将△ACD 绕A 点顺时针旋转α角（0＜α＜π3）后得△AC 1D 1，AD 1交DC 于点E ，AC 1交BC 于点F ．∠BAC ＝∠ACD ＝π2， ∠ACB ＝∠ADC ＝π6，AC①当AF ＝1时，求α； ②求证：对任意的α∈（0，π3），BE AC ⋅ 为定值．（2）已知不共线的,,a b c 三向量两两所成的角相等，并且1,2,3a b c ===，试求向量a b c ++ 的长度以及与已知三向量的夹角。

高中数学专题讲义：平面向量

高中数学专题讲义：平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与ba－b＝a＋(－b)的差数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时,λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时,λa的方向与a 的方向相反；当λ＝0时,λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb 3.向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b ＝λa .诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ,b 共线时,一定有b ＝λa ,反之成立.( ) (5)在△ABC 中,D 是BC 中点,则AD →＝12(AC →＋AB →).( ) 解析 (2)若b ＝0,则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A ,B ,C ,D 四点不一定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√2.给出下列命题：①零向量的长度为零,方向是任意的；②若a ,b 都是单位向量,则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①B.③C.①③D.①②解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量,故③错误. 答案 A3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点,AD →＝－13AB →＋43AC →,若BC →＝λDC →(λ∈R ),则λ＝( ) A.2B.3C.－2D.－3解析由AD →＝－13AB →＋43AC →,可得3AD →＝－AB →＋4AC →,即4AD →－4AC →＝AD →－AB →,则4CD →＝BD →,即BD →＝－4DC →,可得BD →＋DC →＝－3DC →,故BC →＝－3DC →, 则λ＝－3,故选D. 答案 D4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ,b 不平行,向量λa ＋b 与a ＋2b 平行,则实数λ＝____________. 解析 ∵向量a,b 不平行,∴a ＋2b ≠0,又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行,则存在唯一的实数μ,使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立,即λa ＋b ＝μa ＋2μb ,则得⎩⎨⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.答案 125.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ,且OA →＝a ,OB →＝b ,则DC →＝______,BC →＝________(用a ,b 表示).解析如图,DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ,BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a－b .答案 b －a －a －b考点一平面向量的概念【例1】下列命题中,不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |,则a ＝b ；②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ,b ＝c ,则a ＝c .解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →,∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →,又A ,B ,C ,D 是不共线的四点,∴四边形ABCD 为平行四边形；反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则|AB →|＝|DC →|,AB →∥DC →且AB →,DC →方向相同,因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同,又b ＝c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同,∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a ＝c . 答案 ①规律方法 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量. 【训练1】下列命题中,正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量,向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行,则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量； ②不正确,若a 与b 中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反；③正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小；向量的模均为实数,可以比较大小. 答案 ③考点二平面向量的线性运算【例2】 (1)(2017·潍坊模拟)在△ABC 中,P ,Q 分别是AB ,BC 的三等分点,且AP ＝13AB ,BQ ＝13BC .若AB →＝a ,AC →＝b ,则PQ →＝( ) A.13a ＋13b B.－13a ＋13b C.13a －13bD.－13a －13b(2)(2015·北京卷)在△ABC 中,点M ,N 满足AM →＝2MC →,BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →,则x ＝________；y ＝________.解析 (1)PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋ 13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ,故选A.(2)由题中条件得,MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →,所以x ＝12,y ＝－16. 答案 (1)A (2)12 －16规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.【训练2】 (1)如图,正方形ABCD 中,点E 是DC 的中点,点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点,那么EF →等于( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD → C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →(2)在△ABC 中,AB ＝2,BC ＝3,∠ABC ＝60°,AD 为BC 边上的高,O 为AD 的中点,若AO →＝λAB →＋μBC →,则λ＋μ等于( ) A.1B.12C.13D.23解析 (1)在△CEF 中,有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点,所以EC →＝12DC →. 因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点, 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →,故选D.(2)∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →, ∴2AO →＝AB →＋13BC →,即AO →＝12AB →＋16BC →. 故λ＋μ＝12＋16＝23. 答案 (1)D (2)D考点三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ,BC →＝2a ＋8b ,CD →＝3(a －b ).求证：A ,B ,D 三点共线； (2)试确定实数k ,使k a ＋b 和a ＋k b 共线. (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ,BC →＝2a ＋8b ,CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →,BD →共线,又它们有公共点B ,∴A ,B ,D 三点共线. (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线,∴存在实数λ,使k a ＋b ＝λ(a ＋k b ),即k a ＋b ＝λa ＋λk b ,∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ,b 是不共线的两个非零向量, ∴k －λ＝λk －1＝0,∴k 2－1＝0,∴k ＝±1.规律方法 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(2)向量a ,b 共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a ＋λ2b ＝0成立.【训练3】 (1)(2017·资阳模拟)已知向量AB →＝a ＋3b ,BC →＝5a ＋3b ,CD →＝－3a ＋3b ,则( ) A.A ,B ,C 三点共线 B.A ,B ,D 三点共线 C.A ,C ,D 三点共线D.B ,C ,D 三点共线(2)已知A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在直线l 上,则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{0} B.∅ C.{－1}D.{0,－1}解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →, ∴BD →、AB →共线,又有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线.故选B.(2)因为BC →＝OC →－OB →,所以x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0,即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →,因为A ,B ,C 三点共线,所以－x 2－(x －1)＝1,即x 2＋x ＝0,解得x ＝0或x ＝－1. 答案 (1)B (2)D[思想方法]1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ,OA →,OB →不共线,满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ,y ∈R ),则P ,A ,B 共线⇔x ＋y ＝1. [易错防范]1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →,其中结果为零向量的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析由题知结果为零向量的是①④,故选B.答案 B2.设a 是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a解析对于A,当λ＞0时,a 与λa 的方向相同,当λ＜0时,a 与λa 的方向相反,B 正确；对于C,|－λa |＝|－λ||a |,由于|－λ|的大小不确定,故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D,|λ|a 是向量,而|－λa |表示长度,两者不能比较大小. 答案 B3.如图,在正六边形ABCDEF 中,BA →＋CD →＋EF →＝( ) A.0 B.BE → C.AD →D.CF →解析由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D4.设a 0为单位向量,下述命题中：①若a 为平面内的某个向量,则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行,则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1,则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析向量是既有大小又有方向的量,a 与|a |a 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题；若a 与a 0平行,则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向,二是反向,反向时a ＝－|a |a 0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3. 答案 D5.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D. 答案 D6.在△ABC 中,AB →＝c ,AC →＝b ,若点D 满足BD →＝2DC →,则AD →等于( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析 ∵BD →＝2DC →,∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →), ∴3AD →＝2AC →＋AB →,∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 答案 A7.(2017·温州八校检测)设a,b 不共线,AB →＝2a ＋p b ,BC →＝a ＋b ,CD →＝a －2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值为( ) A.－2B.－1C.1D.2解析 ∵BC →＝a ＋b ,CD →＝a －2b ,∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b . 又∵A ,B ,D 三点共线,∴AB →,BD →共线.设AB →＝λBD →,∴2a ＋p b ＝λ(2a －b ),∴2＝2λ,p ＝－λ,∴λ＝1,p ＝－1. 答案 B8.如图所示,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB →＝a ,AC →＝b ,则AD →＝( ) A.a －12b B.12a －b C.a ＋12bD.12a ＋b解析连接CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a , 所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a . 答案 D 二、填空题9.如图,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中,与向量OA →相等的向量有________个.解析根据正六边形的性质和相等向量的定义,易知与向量OA →相等的向量有CB →,DO →,EF →,共3个. 答案 310.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB →＋AD →＝λAO →,则λ＝________.解析因为ABCD 为平行四边形,所以AB →＋AD →＝AC →＝2AO →, 已知AB →＋AD →＝λAO →,故λ＝2. 答案 211.向量e 1,e 2不共线,AB →＝3(e 1＋e 2),CB →＝e 2－e 1,CD →＝2e 1＋e 2,给出下列结论：①A ,B ,C 共线；②A ,B ,D 共线；③B ,C ,D 共线；④A ,C ,D 共线,其中所有正确结论的序号为________.解析由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →,且AB →与CB →不共线,可得A ,C ,D 共线,且B 不在此直线上. 答案 ④12.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0,若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立,则m ＝________.解析由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →,如图,延长AM 交BC 于D 点,则D 为BC 的中点.延长BM 交AC 于E 点,延长CM 交AB 于F 点,同理可证E ,F 分别为AC ,AB 的中点,即M 为△ABC 的重心,∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →),即AB →＋AC →＝3AM →,则m ＝3. 答案 3能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2017·延安模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量,AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k 的值为( ) A.－94B.－49C.－38D.不存在解析由题意,A ,B ,D 三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2, 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2,所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2, 所以⎩⎨⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94.答案 A14.已知点O ,A ,B 不在同一条直线上,点P 为该平面上一点,且2OP →＝2OA →＋BA →,则( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析因为2OP →＝2OA →＋BA →,所以2AP →＝BA →,所以点P 在线段AB 的反向延长线上,故选B. 答案 B15.O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|,λ∈[0,＋∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析作∠BAC 的平分线AD . ∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|, ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD→|AD →|(λ′∈[0,＋∞)),∴AP →＝λ′|AD →|·AD →,∴AP →∥AD →.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案 B16.若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,则△ABC 的形状为________.解析 OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →, OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →, ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ,B ,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案直角三角形第2讲平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ＋b ＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2),a －b ＝(x 1－x 2,y 1－y 2),λa ＝(λx 1,λy 1),|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →＝(x 2－x 1,y 2－y 1),|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a,b 是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.( ) (4)若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )(5)在△ABC 中,设AB →＝a ,BC →＝b ,则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) 解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0,0),则x 1x 2＝y 1y 2无意义.(5)向量a 与b 的夹角为∠ABC 的补角. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2.(2017·福建三明月考)已知向量a ＝(2,4),b ＝(－1,1),则2a ＋b 等于( ) A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)解析 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9),故选D. 答案 D3.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →＝(－4,－3),则向量BC →＝( ) A.(－7,－4)B.(7,4)C.(－1,4)D.(1,4)解析根据题意得AB →＝(3,1),∴BC →＝AC →－AB →＝(－4,－3)－(3,1)＝(－7, －4),故选A. 答案 A4.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m ,4),b ＝(3,－2),且a ∥b ,则m ＝________.解析因为a ∥b ,所以由(－2)×m －4×3＝0,解得m ＝－6. 答案－65.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1,－2),B (3,－1),C (5,6),则顶点D 的坐标为________.解析设D (x ,y ),则由AB →＝DC →,得(4,1)＝(5－x ,6－y ),即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5. 答案 (1,5)考点一平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.12BC →D.BC →(2)(2017·济南调研)如图,在△ABC 中,AN →＝13NC →,P 是BN 上的一点,若AP →＝mAB →＋211AC →,则实数m 的值为________.解析 (1)如图所示,EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →)＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →. (2)设BP →＝kBN →,k ∈R .因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) ＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 4AC →,且AP →＝mAB →＋211AC →,所以1－k ＝m ,k 4＝211,解得k ＝811,m ＝311.答案 (1)A (2)311规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)如图,已知AB →＝a ,AC →＝b ,BD →＝3DC →,用a ,b 表示AD →,则AD →＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R ),则λ＋μ＝________. 解析 (1)AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .(2)由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →,由平面向量基本定理可得λ＝12,μ＝14,所以λ＋μ＝34. 答案 (1)14a ＋34b (2)34 考点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知向量a ＝(5,2),b ＝(－4,－3),c ＝(x ,y ),若3a －2b ＋c ＝0,则c ＝( ) A.(－23,－12) B.(23,12) C.(7,0)D.(－7,0)(2)(2017·北京西城模拟)向量a ,b ,c 在正方形网格中,如图所示,若c ＝λa ＋μb (λ,μ∈R ),则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 (1)3a －2b ＋c ＝(23＋x ,12＋y )＝0,故x ＝－23,y ＝－12,故选A.(2)以向量a ,b 的交点为坐标原点,建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1),A (1,－1),B (6,2),C (5,－1),所以a ＝(－1,1),b ＝(6,2),c ＝(－1,－3),∵c ＝λa ＋μb ,∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12,因此,λμ＝－2－12＝4,故选D.答案 (1)A (2)D规律方法 (1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】 (1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3),若AB →＝3a ,则点B 的坐标为( ) A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)(2)(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2,1),b ＝(1,－2).若m a ＋n b ＝(9,－8)(m ,n ∈R ),则m －n 的值为________.解析 (1)设点B 的坐标为(x ,y ),则AB →＝(x ＋1,y －5). 由AB →＝3a ,得⎩⎨⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.(2)由向量a ＝(2,1),b ＝(1,－2),得m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,－8),则⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. 答案 (1)D (2)－3考点三平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)已知平面向量a ＝(1,2),b ＝(－2,m ),且a ∥b ,则2a ＋3b ＝________.(2)(必修4P101练习7改编)已知A (2,3),B (4,－3),点P 在线段AB 的延长线上,且|AP |＝32|BP |,则点P 的坐标为________.解析 (1)由a ＝(1,2),b ＝(－2,m ),且a ∥b , 得1×m －2×(－2)＝0,即m ＝－4. 从而b ＝(－2,－4),那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2,－4)＝(－4,－8).(2)设P (x ,y ),由点P 在线段AB 的延长线上, 则AP →＝32BP →,得(x －2,y －3)＝32(x －4,y ＋3), 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8,－15). 答案 (1)(－4,－8) (2)(8,－15)规律方法 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (b ≠0),则a ＝λb .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. 【训练3】 (1)(2017·河南三市联考)已知点A (1,3),B (4,－1),则与AB →同方向的单位向量是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)若三点A (1,－5),B (a ,－2),C (－2,－1)共线,则实数a 的值为________. 解析 (1)AB →＝OB →－OA →＝(4,－1)－(1,3)＝(3,－4), ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.(2)AB →＝(a －1,3),AC →＝(－3,4),根据题意AB →∥AC →, ∴4(a －1)－3×(－3)＝0,即4a ＝－5,∴a ＝－54. 答案 (1)A (2)－54[思想方法]1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据,也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式. 2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题,向量共线的充要条件用坐标可表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. [易错防范]1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点是原点时,其终点坐标就是向量坐标..2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.(必修4P118A 组2(6))下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0,0),e 2＝(1,－2) B.e 1＝(－1,2),e 2＝(5,7) C.e 1＝(3,5),e 2＝(6,10) D.e 1＝(2,－3),e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析两个不共线的非零向量构成一组基底,故选B. 答案 B2.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD 中,AD →＝(2,8),AB →＝(－3,4),则AC →＝( ) A.(－1,－12) B.(－1,12) C.(1,－12)D.(1,12)解析因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12),故选B. 答案 B3.已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m ),m ∈R ,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析由题意得a ＋b ＝(2,2＋m ),由a ∥(a ＋b ),得－1×(2＋m )＝2×2,所以m ＝－6,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件,故选A. 答案 A4.如右图,向量e 1,e 2,a 的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a 可用基底e 1,e 2表示为( ) A.e 1＋e 2 B.－2e 1＋e 2 C.2e 1－e 2D.2e 1＋e 2解析以e 1的起点为坐标原点,e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,由题意可得e 1＝(1,0),e 2＝(－1,1),a ＝(－3,1),因为a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1),＝(x －y ,y ),则⎩⎨⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.答案 B5.已知向量OA →＝(k ,12),OB →＝(4,5),OC →＝(－k ,10),且A ,B ,C 三点共线,则k 的值是( ) A.－23B.43C.12D.13解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ,－7),AC →＝OC →－OA →＝(－2k ,－2),因为A ,B ,C 三点共线,所以AB →,AC →共线,所以－2×(4－k )＝－7×(－2k ),解得k ＝－23. 答案 A6.(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD →＝2DB →,CD →＝rAB →＋sAC →,则r ＋s 等于( ) A.23B.43C.－3D.0解析因为CD →＝2DB →,所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →,则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0,故选D.答案 D7.在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP →＝2PC →,点Q 是AC 的中点,若P A →＝(4,3),PQ →＝(1,5),则BC →等于( ) A.(－2,7) B.(－6,21) C.(2,－7)D.(6,－21)解析 AQ →＝PQ →－P A →＝(－3,2),∵Q 是AC 的中点, ∴AC →＝2AQ →＝(－6,4),PC →＝P A →＋AC →＝(－2,7), ∵BP →＝2PC →,∴BC →＝3PC →＝(－6,21). 答案 B8.(2017·河南八市质检)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点,点E 在边AC 上,且EC →＝2AE →,则向量EM →＝( ) A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB →解析如图,∵EC →＝2AE →,∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋ 12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 答案 C 二、填空题9.(2017·广州综测)已知向量a ＝(x ,1),b ＝(2,y ),若a ＋b ＝(1,－1),则x ＋y ＝________. 解析因为(x ,1)＋(2,y )＝(1,－1),所以⎩⎨⎧x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，所以x ＋y ＝－3.答案－310.若三点A (2,2),B (a ,0),C (0,b )(ab ≠0)共线,则1a ＋1b 的值为________.解析 AB →＝(a －2,－2),AC →＝(－2,b －2),依题意,有(a －2)(b －2)－4＝0,即ab －2a －2b ＝0,所以1a ＋1b ＝12. 答案 1211.已知向量a ＝(1,2),b ＝(x ,1),u ＝a ＋2b ,v ＝2a －b ,且u ∥v ,则实数x 的值为________.解析因为a ＝(1,2),b ＝(x ,1),u ＝a ＋2b ,v ＝2a －b ,所以u ＝(1,2)＋2(x ,1)＝(2x ＋1,4),v ＝2(1,2)－(x ,1)＝(2－x ,3).又因为u ∥v ,所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0,即10x ＝5,解得x ＝12. 答案 1212.在平行四边形ABCD 中,AB →＝e 1,AC →＝e 2,NC →＝14AC →,BM →＝12MC →,则MN →＝________(用e 1,e 2)表示. 解析如图,MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →) ＝－14e 2＋23(e 2－e 1) ＝－23e 1＋512e 2. 答案－23e 1＋512e 2能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2017·长沙调研)如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP →＝xOA →＋yOB →,且BP →＝2 P A →,则( ) A.x ＝23,y ＝13 B.x ＝13,y ＝23 C.x ＝14,y ＝34D.x ＝34,y ＝14解析由题意知OP →＝OB →＋BP →,又BP →＝2P A →,所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →,所以x ＝23,y ＝13. 答案 A14.已知|OA →|＝1,|OB →|＝3,OA →·OB →＝0,点C 在∠AOB 内,且OC →与OA →的夹角为30°,设OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R ),则mn 的值为( ) A.2B.52C.3D.4解析 ∵OA →·OB →＝0,∴OA →⊥OB →,以OA 为x 轴,OB 为y 轴建立直角坐标系, OA →＝(1,0),OB →＝(0,3),OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ,3n ). ∵tan 30°＝3n m ＝33, ∴m ＝3n ,即mn ＝3,故选C. 答案 C15.已知点A (－1,2),B (2,8),AC →＝13AB →,DA →＝－13BA →,则CD →的坐标为________. 解析设点C ,D 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1,y 1－2),AB →＝(3,6), DA →＝(－1－x 2,2－y 2),BA →＝(－3,－6). 因为AC →＝13AB →,DA →＝－13BA →, 所以有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ,D 的坐标分别为(0,4),(－2,0), 从而CD →＝(－2,－4). 答案 (－2,－4)16.(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23,平面ABC 内的动点P ,M 满足|AP →|＝1,PM →＝MC →,则|BM →|2的最大值是________.解析建立平面直角坐标系如图所示,则B (－3,0),C (3,0),A (0,3),则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ,y ),M (x 0,y 0),则x ＝2x 0－3,y ＝2y 0,代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14,所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14,它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心,以12为半径的圆,所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72,所以|BM →|2max ＝494. 答案 494第3讲平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ,记OA →＝a ,OB →＝b ,则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则数量|a ||b |cos__θ 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b ＝|a ||b |cos__θ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a ＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),θ为向量a ,b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＞0,则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0,则a 和b 的夹角为钝角.( ) (5)a ·b ＝a ·c (a ≠0),则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0,π].(4)若a ·b >0,a 和b 的夹角可能为0；若a ·b <0,a 和b 的夹角可能为π.(5)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ,b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ,c 〉,所以向量b 和c 不一定相等. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.(2015·全国Ⅱ卷)向量a ＝(1,－1),b ＝(－1,2),则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1B.0C.1D.2解析因为a ＝(1,－1),b ＝(－1,2),所以2a ＋b ＝2(1,－1)＋(－1,2)＝(1,0),得(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1,－1)＝1,选C. 答案 C3.(2017·济南模拟)已知向量a ,b ,其中|a |＝3,|b |＝2,且(a －b )⊥a ,则向量a 和b 的夹角是________. 解析因为(a －b )⊥a ,所以(a －b )·a ＝|a |2－|a ||b |·cos 〈a ,b 〉＝3－23×cos 〈a ,b 〉＝0,解得cos 〈a ,b 〉＝32,由于〈a ,b 〉∈[0,π].则向量a ,b 的夹角为π6. 答案 π64.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a ,b 的夹角为2π3,|a |＝2,|b |＝1,则|a ＋b |＝________. 解析 ∵|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋2|a ||b |cos 2π3＋1＝4－2＋1＝3,∴|a ＋b |＝ 3. 答案35.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5,|b |＝4,a 与b 的夹角θ＝120°,则向量b 在向量a 方向上的投影为________.解析由数量积的定义知,b 在a 方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案－2考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 (1)(2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB →|＝6,|AD →|＝4,若点M ,N 满足BM →＝3MC →,DN →＝2NC →,则AM →·NM →等于( ) A.20B. 15C.9D.6(2)(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE ＝2EF ,则AF →·BC →的值为( ) A.－58B.18C.14D.118解析 (1)取AB →,AD →为一组基底.∵BM →＝3MC →,∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34AD →,NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →,∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →) ＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9,选C.(2)法一如图所示,根据已知得,DF →＝34AC →,所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →,BC →＝AC →－AB →,则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →＝34－12－14×1×1×cos 60°＝18.故选B. 法二建立如图所示的平面直角坐标系. 则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32,所以BC →＝(1,0).易知DE ＝12AC ,∠FEC ＝∠ACE ＝60°,则EF ＝14AC ＝14, 所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38,则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538, 所以AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538·(1,0)＝18. 故选B.答案 (1)C (2)B规律方法 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2017·湖北八校联考)在Rt △ABC 中,∠A ＝90°,AB ＝AC ＝2,点D 为AC 的中点,点E 满足BE →＝13BC →,则AE →·BD →＝________.(2)已有正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________.解析 (1)法一因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →,BD →＝BA →＋AD →＝－AB →＋12AC →.因为AB ⊥AC ,所以AB →·AC →＝0,所以AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋12AC →＝－23|AB →|2＋ 16|AC →|2＝－23×22＋16×22＝－2. 法二建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23,所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23,BD →＝(－2,1),所以AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23·(－2,1)＝43×(－2)＋23×1＝－2.(2)法一如图,DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·CB →＝DA →·CB →＋AE →·CB →＝DA →2＝1, DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·DC → ＝DA →·DC →＋AE →·DC →＝AE →·DC →＝|AE →|·|DC →|≤|DC →|2＝1.法二以射线AB ,AD 为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1), 设E (t ,0),t ∈[0,1],则DE →＝(t ,－1),CB →＝(0,－1),所以DE →·CB →＝(t ,－1)·(0,－1)＝1.因为DC →＝(1,0), 所以DE →·DC →＝(t ,－1)·(1,0)＝t ≤1, 故DE →·DC →的最大值为1.法三由图知,无论E 点在哪个位置,DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1, ∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1.当E 运动到B 点时,DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1,∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 答案 (1)－2 (2)1 1考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1,m ),b ＝(3,－2),且(a ＋b )⊥b ,则m ＝( ) A.－8B.－6C.6D.8(2)若向量a ＝(k ,3),b ＝(1,4),c ＝(2,1),已知2a －3b 与c 的夹角为钝角,则k 的取值范围是________. 解析 (1)由题知a ＋b ＝(4,m －2),因为(a ＋b )⊥b ,所以(a ＋b )·b ＝0, 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0,解之得m ＝8,故选D. (2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角, ∴(2a －3b )·c <0,即(2k －3,－6)·(2,1)<0,解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ,则2k －3＝－12,即k ＝－92.当k ＝－92时,2a －3b ＝(－12,－6)＝－6c , 即2a －3b 与c 反向.综上,k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3规律方法 (1)根据平面向量数量积的性质：若a ,b 为非零向量,cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式),a ⊥b ⇔a ·b ＝0等,可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32,BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12,则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ,1),b ＝(1,2),且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2,则m ＝________.解析 (1)|BA →|＝1,|BC →|＝1,cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.由〈BA →,BC →〉∈[0°,180°],得∠ABC ＝30°.(2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2,得a ⊥b ,所以m ×1＋1×2＝0,得m ＝－2. 答案 (1)A (2)－2考点三平面向量的模及其应用【例3】 (1)(2017·云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3,若|a |＝2,|b |＝3,则|2a －3b |＝( ) A.57B.61C.57D.61(2)在平面直角坐标系中,O 为原点,A (－1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足|CD →|＝1,则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.解析 (1)由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3,所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61, 故选B.(2)设D (x ,y ),由|CD →|＝1,得(x －3)2＋y 2＝1, 向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1,y ＋3),故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1,－3)距离的最大值,其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3,0)到点(1,－3)的距离加上圆的半径,即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7. 答案 (1)B (2)1＋7规律方法 (1)求向量的模的方法：①公式法,利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2,把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解. 【训练3】 (1)(2017·安阳调研)已知平面向量a ＝(2m ＋1,3),b ＝(2,m ),且a 与b 反向,则|b |等于( ) A.1027 B.52或2 2 C.52D.2 2。

高三数学平面向量复习讲义

高三数学平面向量复习讲义上高二中:喻国标一.高考要求:1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.2.掌握向量的加法和减法.3.掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.4.了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标概念,掌握平面向量的坐标运算.5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度,角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.6.掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用,掌握平移公式.7.掌握正弦,余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.二:高考热点:本章的重点是向量的概念:向量的两种表示:共线向量,零向量的概念:向量的运算及坐标表示:线段的定比分点,平移:正弦定理,余弦定理在解斜三角形中的应用等.其中,向量的共线,数量积,向量的平行与垂直,夹角公式与模,正弦定理和余弦定理的应用则是高考考查的热点内容.三:高考预测:综观近几年高考试题,预测在今后高考中平面向量的试题主要有两类:一是考查平面向量的概念和运算,突出考查共线:垂直,向量的模,数量积以及应用向量的几何关系判定点,线位置关系:二是突出平面向量的工具作用,主要是与函数,三角函数,解析几何,立体几何,解斜三角形的综合题.四.向量问题解题入口有三:1.几何法 2.坐标法 3.概念性质法5.1 向量的概念与性质(1课时)一.内容精讲.1.向量的两个要素:(1)大小---------模; (2)方向2.向量的表示方法:(1)几何表示法:用有向线段表示,但不能说有向线段就是向量.(2)字母表示法:①大写字母AB;:②小写字母a:(3)坐标表示法: a=(x,y) AB的坐标=终点B的坐标减去起点A的坐标.3.特殊向量(1)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0: 规定其方向是任意的.(2)单位向量:长度等于一个单位长度的向量叫做单位向量.记做为: (x,y)且221x y +=或(cos θ sin θ) (0<θ<2π)4. 相关关系向量:(1) 共线向量(平行向量):方向相同或相反的非零向量,记做a ∥b .规定: 0与任意一向量平行.(2) 相等向量:长度相等且方向相同,记做a =b注意: ①零向量与零向量相等; ②任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关.(3) 相反向量: 长度相等方向相反,AB BA =-二. 练习1.已知向量2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是( )A. A B DB. A B CC. B, C, DD. A, C , D2.已知向量(,12),(4,5),(,10),,,OA k OB OC k A B C ===-且三点共线则k=______3与直线3x+4y+5=0的方向向量共线的一个单位向量是( )A (3,4)B (4 , -3)C (34,)55D (43,)55- 4.设向量(3,3),(5,1),OM ON =-=--则12MN =( ) A (-2,-4) B (-1,-2) C ( 4 ,-1) D (-4 ,1),:(1):(2)0,(3)()()0,0,0ABC AB AC BC AB BC CA AB BC AB BC ABC AC AB ABC AC AB ABC ∆-=++=+•-=∆•>∆•>∆5.在中有命题若则为等要三角形;(4)若则为等要三角形;(5)若若则为锐角三角形.上述命题正确的是( )A. ① ② B ① ④ C ② ③ D ② ③ ④6.设P={ a ∣ a =(-1, 1) +m ( 1, 2), m ∈R }, Q={ β ∣ β=(1 , -2) +n( 2, 3), n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q=__________________7.下列命题中正确的个数是( )(1) 若,:a a a a 与b 为非零向量,且 b 时则+b 必与或b 的方向相同(2) 若,,e a e a =为单位向量且则∣a ∣e ;(3) a a a ⋅⋅=∣a ∣3 (4) 若,a b b c a c 与共线又与共线,则与必共线(5) 若平面内四点A,B,C,D,则必有AC BD BC AD +=+.8.下列条件中,能确定三点A,B,P 不共线的是( )Ａ 22sin 20cos 20MP MA MB =+Ｂ 22sec 20tan 20MP MA MB =-Ｃ 22csc 31cot 31MP MA MB =-Ｄ 22sin 20cos 70MP MA MB =+９．已知向量(3,4),(6,3),(5,(3))OA OB OC m m =-=-=--+（１）若点Ａ，Ｂ，Ｃ能构成三角形，求实数m 应满足的条件：（２）若△ＡＢＣ为直角三角形，且∠Ａ为直角，求实数m 的值５．２向量的加法和减法运算（二课时）一：内容精讲：（一）几何表示的向量加法和减法１．向量的加法运算（１）法则a b + b b a b +a a三角形法则平行四边形法则(2)运算法则交换律：a b b a +=+ 结合律：()()a b c a b c ++=++▲ 两向量平行时，平行四边形法则不适用，用三角形法则．２．向量的减法运算（１）运算原理：是加法的逆运算，()a b a b -=+-（２）运算法则a ab -ba b -是连接a 与b 终点并指向被减数的向量▲ ①围成一周顺次始终相接的向量（向量链）的和为0②∣∣a ∣－∣b ∣∣≦∣a ±b ∣≦∣a ∣＋∣b ∣要探讨等号成立的条件（二）坐标表示的向量加法和减法已知：a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) 则a b +＝（x 1＋x 2 y 1 ＋ y 2 ）；a b -＝（x 1－x 2 y 1 － y 2 ）几何意义：已知11222121(,),(,)(,)OA x y OB x y AB OB OA x x y y ===-=--则故2(AB x =二．练习１．在直角坐标系ＸＯＹ中，已知点Ａ（０，１）和点Ｂ（－３，４），若点Ｃ在∠ＡＯＣ的平分线上且∣OC ∣＝２，则OC ＝＿＿＿＿＿＿２．设向量a =(－１，２)，b =(２，－１)，则（a ·b ）（a b +）等于（）Ａ（１，１）Ｂ（－４，－４）Ｃ－４Ｄ（－２，－２）３．已知四边形ＡＢＣＤ是菱形，点Ｐ在对角线ＡＣ上（不包括端点Ａ，Ｃ）则AP 等于（）Ａ．(),(0,1)AB AD λλ+∈ Ｂ．(),(0,1)AB AD λλ+∈ Ｃ．(),(0,1)AB AD λλ-∈ Ｄ，(),(0,2AB BC λλ-∈ ４．已知△ＡＢＣ的三个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ及所在平面内一点Ｐ满足,PA PB PC AB ++=则点Ｐ及△ＡＢＣ的关系为（）A. P 在△ABC 内部B. P 在△ABC 外部C. P 在AB 边所在的直线上 D P 在△ABC 的AC 边的一个三等分点上５．已知Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点，若CB PA PB λλ=+∈,其中R,则点P一定在( )Ａ △ABC 内部ＢＡＣ边所在直线上ＣＡＢ边所在直线上ＤＢＣ边所在直线上６．已知向量集合Ｍ={ a ∣ a =(1, ２) +m ( ３, ４), m ∈R }, Ｎ={ β ∣ β=(－２ , -2) +n( －2, －２), n ∈R }则Ｍ∩Ｎ＝（）Ａ．｛（１，１）｝Ｂ．｛（１，１），（－２，－２）｝Ｃ．｛（－２，－２）｝Ｄ．∅ ７．知,,,OA a OB b AOB OM ==∠且它们均为单位向量则的平分线上的单位向量为（）Ａ．aba b + Ｂ．a ba b ++ Ｃ．a ba b ++ Ｄ．a ba b b a ++８．在△ＯＡＢ中,,OA a OB b ==ＯＤ是ＡＢ边的高，则AD λ=等于（）Ａ．2()a b a a b ⋅-- Ｂ．2()a ab a b ⋅-- Ｃ．()a b a a b ⋅-- Ｄ． ()a a b a b ⋅--９．非零向量,,OA a OB b ==若点关于OA 所在直线的对称点为Ｂ１，则向量1OB 为（）Ａ．22()a b b b a ⋅⋅- Ｂ．2a b - Ｃ．22()a b a ba ⋅⋅- Ｄ．2()ab a ba ⋅⋅-１０．设(0≦θ<2π)已知两个向量()1cos ,sin OP θθ=,212(2sin ,2cos ),OPPP θθ=+-则向量长度的最大值为（）B. 11.已知Ａ，Ｂ，Ｃ是不在同一条直线上的三个点，Ｏ是平面内的一定点，Ｐ是平面ＡＢＣ内的一动点，若[)1(),0,,2OP OA AB BC λλ-=+∈+∞则点Ｐ的轨迹一定过△ABC 的（）Ａ．外心Ｂ．内心Ｃ．重心Ｄ．垂心５．３实数与向量的积一．内容精讲：１．实数与向量的积（１）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记做λa ，其长度和方向规定如下： ①a a λλ⋅=⋅②0,a a λλ>当时的方向与的方向相同0,a a λλ<当时的方向与的方向相反0,0a λλ==当时（２）运算律：结合律：()()ua u a λλ=第一分配律：()u a a ua λλ+=+第二分配律：()a b a b λλλ+=+（３）坐标运算记a =(x,y) ,R λ∈则 (,)a x y λλλ=２．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得b ＝λa▲ ①a ≠0②此定理是用向量研究几何问题的切入点③已知a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2)，则a ∥b .12210x y x y ⇔-=３．平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，则对这一平面内的任意一个向量a 有且只有一对实数12,λλ使得1122a e e λλ=+不共线的向量12,e e 叫做这个平面内所有向量的一组基底．▲ ①此定理是向量加法运算与共线定理有机结合②此定理是向量运算的坐标表示基础．４．向量的坐标表示――――直角坐标在直角坐标系内，分别取Ｘ轴和Ｙ轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，则对平面上任一向量a 均有唯一的一对实数Ｘ，Ｙ使得a ＝Ｘi ＋Ｙj ，那么（Ｘ，Ｙ）就叫做向量a 的（直角）坐标，记做a ＝（Ｘ，Ｙ）▲ 与a ＝（Ｘ，Ｙ）相等的向量的坐标都相等，均为（Ｘ，Ｙ）．二．练习1. 斜三角形ABC 的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,()OH m OA OB OC =++实数m=_____________2. 已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-且A,B,C 三点共线,则k=_______________________3. 在三角形OAB 中,(1,2),(2,1),OA OB ==-,,OD AB AD AB λλ==是边上的高若则实数_____________________4. 点P 在一平面上作匀速直线运动,速度向量为V=(4,-3)(既点P 的运动方向与V 相同),且每秒移动的距离为︱V ︱个单位).设开始时点P 的坐标为(-10,10),则5秒后P 的坐标为( )A. (-2,4)B. (-30,25)C. (10,-5)D. (5,-10)5. 在三角形ABC 中,设,AB a AC b ==,点D 在线段BC 上,且,3,,BD DC AD a b =则用,表示为______________________6. 在三角形ABC 内求一点P,使222AP BP CP ++取得最小值,该点是三角形的( )A.垂心B.内心C.重心D.外心7. 在直角坐标平面中,已知点P 1 (1, 2) , P 2 (2, 22 ), P 3 (3, 23 ) , ……..,P n (n,2n ) ,其中n 是正整数,对平面上任意一点,记A 1 为A 0关于点P 1的对称点, A 2为A 1关于点P 2的对称点,……… A 0 为A n-1关于点P n 的对称点.(1) 求向量的坐标(2) 当点A 0曲线C 上移动时,点A 2 的轨迹是函数()y f x =的图象,其中()f x 是以3为周期的周期函数,且当x ∈(0,]3时, ()lg f x x =,求以曲线C 为图象的函数在(1,]4上的解析式.(3) 对任意偶数n,用n 表示向量0n A A 的坐标.8. 已知向量a =(1,2), b =(-2,1),k,t 为正实数,向量21(1),x a t b y ka b t=++=+ (1) ,.x y k ⊥若求的最小值(2)是否存在k ,t,使x y , 若存在,求出k 的范围,若不存在,说明理由..5.4. 向量的数量积一. 内容精讲.1. 平面向量的数量积(1) 向量夹角的概念----------只对非零向量而言.两个非零向量a b 与的方向所在的射线形成的角θ,叫做a b 与的夹角 (0180θ≤≤)(2) 向量的数量积.①定义:两个非零向量a b 与,他们的夹角为θ,则cos a b θ叫做向量a b 与的数量积(或内积) 记做: cos ,00a b a b a θ==规定②投影:cos a θ叫做向量b 在a 方向上的投影③坐标运算:设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2),则1212a b x x y y =+2.运算律:设,,,R a b c λ∈ ① 结合律:()()a b a b a b λλλ==② 交换律: a b b a =③ 分配律: ()a b c a c b c +=+④ 符合多项式运算法则,但三个向量的数量积不满足结合律. 特别地:222()2a b a a b b ±=±+ 和 2222()()a b a b a b a b +-=-=-3.数量积的性质及应用121221222221122(1)00,,.(2)(4)cos 0,00,a b a b x x y y a b a a a a a a b a b y y a bb x y x y a b a b a b bc a cθ⊥⇔=⇔+==⇒=≤+==++*===*==非零,求距离的工具.(3)a a 不能说或不能说二.练习1.已知非零向量,,a b c 满足a b a c ⋅=⋅,则b 与c 的关系是( ) A.相等 B.共线 C.垂直 D.不确定2.如果向量,a b 满足||3a =,||4b =,()(3)81a b a b +⋅+=,则a 与b 的夹角是( ) A.30° B.60° C.90° D.120°3.若,a b 是不共线的两向量,且12,AB a b AC a b λλ=+=+12(,)R λλ∈,则A,B,C 三点共线的充要条件是 A.121λλ==- B.121λλ== C.121λλ=- D.121λλ=( ) 4. .已知△ABC 中,,AB a CA b ==,当0a b ⋅>时,△ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定5. 设向量a 的模等于4, a 与b 的夹角为5π6,则a 在方向b 上的投影为 ( ) A.2 3 B.-2 3 C.2 D.- 26. 已知a =(k,2),b =(-3,5),且a 与b 夹角为钝角,则k 的取值范围是( ) A.(103,+∞) B.[ 103,+∞] C.(-∞, 103) D. (-∞, 103) 7. 已知A(2,3),B(4,2),P 是x 轴上的动点,当P 点坐标为时,AP BP ⋅最小,此时∠APB= .8.已知动点P 与定点M(1,1)为起点的向量与向量a =(4,-6)垂直,则动点P 的轨迹是 .9.已知A(a,0),B(0,a),a>0,点P 在线段AB 上,且AP t AB =(0≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值是 .10. 已知向量||),15sin ,15(cos ),75sin ,75(cos b a b a -==那么的值是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．1 11. 若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 则b a 与一定满足（） A.b a 与的夹角等于βα- B.)(b a +⊥)(b a - C.a ∥b D.a ⊥b12. 若|a-b|=32041-,|a |=4,|b |=5，则向量a ·b = （） A.103 B.-103 C.102 D.1013. △ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则BC AB ⋅的值为（）（A ）19 （B ）－19 （C ）－18 （D ）－1414. 在△ABC 中，有命题①→AB －→AC =→BC ；②→AB ＋→BC ＋→CA =→0；③若(→AB ＋→AC )⋅(→AB －→AC )=0，则△ABC 是等腰三角形；④若→AB ⋅→AC >0，则△ABC 为锐角三角形．上述命题正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④15．已知平面上直线l 的方向向量→e =(－45，35)，点O(0，0)和A(1，－2)在l 上的射影分别是O '和A '，则→O 'A '=λ→e ，其中λ= （）A ．115B ．－115C ．2D ．－2 16．已知向量→a =(cos θ，sin θ),向量→b =(3，－1）则|2→a －→b |的最大值，最小值分别是A ． 42，0B ．4，4 2C ．16，0D ．4，0 （）17．已知a 、b 为两个非零向量，有以下命题：①2a =2b ，②a ·b =2b ，③|a |、=|b |且a ∥b .其中可以作为a =b 的必要但不充分条件的命题是（） A ．② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 18. 若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为 ;19．设),,0(),0,1(),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(παββαα∈=-=+=c b a )2,(ππβ∈，a 与c 的夹角1θ，b 与c 的夹角为θ2，且621πθθ=-，则4sin βα-的值为。

2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(8)平面向量

2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（8）平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。

定义 4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos 叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2 λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ， 3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=(a, b0), 4. a//bx 1y 2=x 2y 1, abx1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P 分所成的比，若O 为平面内任意一点，则。

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高中数学竞赛讲义08：平面向量

高中数学竞赛讲义（八）──平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a,b>，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。

高中数学竞赛讲义(免费)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛基础知识第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

(完整版)高中数学平面向量讲义

平面向量（学生专用）专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本概念与基本运算（1）向量的基本概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为 0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量（2）向量的加法uuurruuura r,BCr r uuur b ，则a+b = ABuuuruuur① 0 a a 0a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuu uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：a b可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a、b 有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λ a的方向与a 的方向相同；当0时，λa 的方向与a 的方向相反；当0 时，a 0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b = a（6）平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1, 2使：a 1e1 2e2 ，其中不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2】平面向量的坐标表示平面向量（学生专用）rr r rr 1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj ，记作 a =（x,y ）。

2）平面向量的坐标运算：uuur②若A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则 AB x 2 x 1,y 2 y 1③ 若 a r=(x,y) ，则 a r=( x, y)rx 2, y 2 ，则a//b x 1y 2 x 2y 1 0⑥若 a r b ，则 x 1 x 2 y 1 y 2 0【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：r r 已知两个非零向量 a ，它们的夹角为，则 a r · b r =︱ a r︱· rr ︱ b ︱ cos 叫做 a r 与数量积（或内积）rr规定 0 a 0r（ 2）向量的投影：︱ b ︱ cos 为射影rr3）数量积的几何意义： a r ·b 等于 a r 的长度与 b 在a r方向上的投影的乘积 4）向量的模与平方的关系： a r a r a r2 |a r |2（6）平面向量数量积的运算律：y1x12x2y2y12yxra若yx r b ra则xrb ra rR ，称为向量 b r在 a r方向上的投影投影的绝对值称r r r r 2r 2r 2r 2r a b aab 2ab；ar r r 2 r 2 r rr 2a b b 2a 2ab b5）乘法公式成立：r 2 arr①交换律成立：a r b b a r r r r②对实数的结合律成立：a r b a r b a r b R③分配律成立：a r carr 特别注意：（ 1）结合律不成立： a rb cr a r b c r；rr（ 2）消去律不成立 a r b a r c r 不能得到 b c rr r r r （ 3） a rb =0 不能得到 a r =0 或 b =0（7）两个向量的数量积的坐标运算：r r已知两个向量 a r （ x 1 , y 1）, b （x 2,y 2），则 a r·b =x 1x 2 y 1y 2rr uuur ruuru r（ 8 ）向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a , OB = b , 则 ∠ AOB=0 0rr（001800）叫做向量a与b的夹角x 1x 2 y 1y 22 2 2 2x 1 y 1 x 2 y 2r r r（10）两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝O x 1x 2 y 1y 2 0平面向量数量积的性质二. 例题分析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；r r r r uuur uuur ②若 a b ，则a b ③在平行四边形 ABCD 中一定有ABDC ；ur r r ur ur ur r r r r r r ④若 m n,np ，则 m p ； ⑤若 a // b ，b // c ,则 a // cr r r r r r r ⑥任一向量与它的相反下列不相等 . ⑦已知向量 a0，且 a b 0，则 b 0r r r r r r r r r r r r ⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与b 方向相同，且 a b ，则 a b ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是=cos a,bcos a?当且仅当两个非零向量 a r与b 同方向时， θ=00，当且仅当 a r与b 反方向时θ =1800，同时 0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r r （9）垂直：如果 a r与b 的夹角为 900则称 a r 与b 垂直，记作 a r⊥b例 2】已知向量 a,b 夹角为 45 ，且 a 1,2abuur uur r r r r 变式 1】若 a 2， b 3，a b 3求 a b 的值.变式 2】设向量 a ，b 满足| a|=|b |=1 及| 3a-2 b|=3 ，求| 3a+b| 的值【例 3】已知向量 a r 、b r 的夹角为 60o ，|a r | 3，|b r | 2 ，若(3a r 5b r ) (m rab r )，求 m 的值.例 4】若向量 a r 1,2 ， b r1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .a,b 满足 a b a b ，则下列结论一定正确的是A a // bB a bC a【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 .A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则 | a +b |=| a |-| b |C ．若| a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ,使得 a =λbD ．若存在实数 λ,使得 a =λb ,则| a +b |=| a |-| b |uur10 ；求 b 的变式】设 x,y R, 向量 ax,1,b 1,y ,c 2, 4 , 且 a c,b//cabA ． 5B ． 10C ． 2 5()D ．10例 5】已知两个非零向量1) 证明 a b【例 7】设 a r、 b 都是非零向量 ,下列四个条件中 ,使 a |r a| | b r 成立的充分条件是( b|rrrrr r r r r rA ． a bB ． a//bC ． a 2bD ． a//b 且 |a| |b模块二】向量与平面几何ouuur例 1】在△ ABC 中， A 90oAB 1,AC 2 ,设P 、Q 满足 AP变式 2】若平面向量 a,b 满足: 2a b 3; 则agb 的最小值是 ___例 6】设0, ， a cos ,sin ， b21, 32,22)r 当 2arra 2b 时求角的uuur AQ uuur1 AC ， uuur uuur R BQ CP2 ，则 = ( )1 2 4A B C D 2 3 3 3uu uruuur uuur例 2】在△ABC 中,AB=2,AC=3, ABgBC = 1 则 BC A ． 3 B ． 7 C ． 2 2D ． 23uuuruuur uuur【变式 1】若向量 BA2,3 , CA 4,7 , 则 BC （）A ． 2, 4B ． 2,4C ． 6,10D ． 6, 10MA?MBuuur uuurAB ，AQ 1uuu ruuur uuur R BQ CP 3 ，则 = 2 （）A1B 1 2C 1 10D 32 222 2例 3】若等边 ABC 的边长为 2 3 ，平面内一点 M 满足 CM12CB CA , 则uuur 变式 1】已知△ ABC 为等边三角形， AB 2设 P 、Q 满足 APuuur r uuur r r例 4】ABC中, AB边上的高为CD, 若CB a,CA b,a例 5】在平面直角坐标系中uuruOQ ，则点Q 的坐标是A．( 7 2, 2) B．( 7 2, 2)C．( 4 6, 2) D．( 4 6,2)uuur uuur4rra32r1r0,|a r | 1,|b r | 2,则uuru, O(0,0), P(6,8) , 将向量OP 按逆后 , 得向量例 6】在例 7】在平行四边形ABCD中, ∠ A= 3, 边AB、AD的长分别为 2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足|BM | |CN|,则AM AN 的取值范围是____________|BC | |CD |【例 8】如图,在矩形ABCD 中, AB 2，BC 2，点E为BC的中点,点F在边CD uuur uuur uuur uuur上,若ABgAF 2,则AEgBF 的值是 ____ .ABC中, M是BC的中点 , AM=3, BC=10,则 AB AC=uuur uuur例 9 】已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点 ,则 DE CB 的值为uuur uuur______ ; DE DC 的最大值为 _____例 10】已知直角梯形 ABCD 中， AD // BC , ADC 900 , AD2,BC 1, P 是腰DC 上的动点，则 uuur uuur PA 3PB 的最小值为 ________ 例 11】如图，在VABC 中， AD uuur AB , BCuuur uuur uuur则 ACgAD 3 uuur uuur例 12】 (15) 在四边形 ABCD 中， AB = DC1 uuur uuur BC BC 3 uuur uu 3ur BDuuur uuur则四边形 ABCD的面积是例 13】在VABC 中，若uuur2,3 ,AC 6, 4 ，则VABC面积为【例 14】（2012 年河北二模）uuur 不重合的一个动点，则PAA 2B 0C -9在VABC中，AB 边上的中线 CD=6 ，点P为CD 上（与C,D）uuur uuurPB .PC 的最小值是D -18。