电动力学典型试题分析(精品文档)

典型试题分析

1、 证明题：

1、试由毕奥－沙伐尔定律证明0=•∇B

证明：由式：

()

()

''

0'3'0

144dv r

x J dv r r x J B ∇⨯=⨯=⎰⎰πμπμ又知：

()()''11x J r r x J ⨯⎪⎭

⎫ ⎝⎛∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇，因此 ()()⎰⎰=⨯∇=⨯∇=r

dv x J A A dv r

x J B '

'0''04 4πμπμ式中

由 ()0=⨯∇•∇=•∇A B 所以原式得证。

2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式.t

A

E ∂∂--∇=

ϕ

证：在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。

t B E A B ∂∂-

=⨯∇⨯∇=式代入得：0=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

∂∂+⨯∇t A E ，

该式表示矢量t A E ∂∂+是无旋场，因此它可以用标势ϕ描述，ϕ-∇=∂∂+

t

A

E 。因此，在一般情况下电场的表示式为：.t

A

E ∂∂--∇=

ϕ。即得证。

3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式22

1c

v l l -=。 答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物

体沿x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为‘

∑。若物体后端经过1P 点（第

一事件）与前端经过2P 点（第二事件）相对于∑同时，则21P P 定义为∑上测得的

物体长度。物体两端在‘∑上的坐标设为'2'1x x 和。在∑上1P 点的坐标为1x ，2P 点

的坐标为2x ，两端分别经过1P 和2P 的时刻为21t t =。对这两事件分别应用洛伦兹

变换式得 2

2

22'22

2

11'11,1c v

vt x x c v vt x x --=

--=

，两式相减，计及21t t =，有

().*12

2

12'1'2c v

x x x x --=

-式中12x x -为∑上测得的物体长度l （因为坐标21x x 和是在∑

上同时测得的），'1'2x x -为‘∑上测得的物体静止长度0l 。由于物体对‘∑静止，

所以对测量时刻'2

'1

t t 和没有任何限制。由()*式得22

1c

v l l -=。

4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系.ϕ-∇=E

答：由于静电场的无旋性，得：⎰=•0dl E 设21C C 和为由点点到21P P 的两条不同路径。21C C 与－合成闭合回路，因此 01

2

=•-•⎰⎰C C dl E dl E

即

⎰⎰•=•2

1

C C dl

E dl E 因此，电荷由

与路径无关，点时电场对它所作的功点移至21P P 而只和两端点有关。把单位正电

荷由,21P P 点移至电场E 对它所作的功为：

,2

1

⎰•P P dl E 这功定义为点点和2

1

P P 的电

势差。若电场对电荷作了正功，则电势ϕ下降。由此，()()⎰•-=-2

1

12P P dl E P P ϕϕ由

这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。 相距为

dl 的两点的电势差为 .dl E d •-=ϕ由于

，dl dz z

dy y dx x d •∇=∂∂+∂∂+∂∂=

ϕϕϕϕϕ 因此，电场强度E 等于电势ϕ的负梯度 .ϕ-∇=E

5、

试由恒定磁场方程证明矢势A 的微分方程j A μ-=∇2

。

答：已知恒定磁场方程）（10J B μ=⨯∇（在均匀线性介质内），把

）代入（1)2(A B ⨯∇=得矢势A 的微分方程 ().J A μ=⨯∇⨯∇由矢量分析公式 ()().2A A A ∇-•∇∇=⨯∇⨯∇若取A 满足规范条件0=•∇A ，得矢势A 的微分方

程 ()0.2=•∇-=∇A J A μ

6、试由电场的边值关系证明势的边值关系.11122

σϕ

εϕϕε-=∂∂-∂∂n

证：电场的边值关系为：()()

()

()

*.$,012

12σ=-•

=-⨯

D D

n E E

n

，()*式可写为 ()@12σ=-n n D D 式中n 为由介质1指向介质2的法线。利用ϕε-∇==E E D

及,可用标势将()

@表为： .11122

σϕ

εϕϕε-=∂∂-∂∂n

势的边值关系即得证。

7、试由静电场方程证明泊松方程ε

ρϕ-

=∇2。 答：已知静电场方程为：⎩⎨⎧=•∇=⨯∇)2.()

1(,0ρD E 并知道 )3.(ϕ-∇=E 在均匀各向同性线

性介质中，E D ε=，将（3）式代入（2）得 ε

ρ

ϕ-

=∇2，ρ为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。

8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。

答：麦克斯韦方程组 ()()()()()⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧

∂∂+=⨯∇=•∇∂∂-=⨯∇=•∇t x E x j x B x B t

x B x E x x E 0

000

0)()()(μεμερ表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度