电动力学典型试题分析(精品文档)

典型试题分析1、 证明题：1、试由毕奥－沙伐尔定律证明0=•∇B证明：由式：()()''0'3'0144dv rx J dv r r x J B ∇⨯=⨯=⎰⎰πμπμ又知：()()''11x J r r x J ⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇，因此 ()()⎰⎰=⨯∇=⨯∇=rdv x J A A dv rx J B ''0''04 4πμπμ式中由 ()0=⨯∇•∇=•∇A B 所以原式得证。

2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式.tAE ∂∂--∇=ϕ证：在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。

电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。

因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。

在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。

t B E A B ∂∂-=⨯∇⨯∇=式代入得：0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇t A E ，该式表示矢量t A E ∂∂+是无旋场，因此它可以用标势ϕ描述，ϕ-∇=∂∂+tAE 。

因此，在一般情况下电场的表示式为：.tAE ∂∂--∇=ϕ。

即得证。

3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式221cv l l -=。

答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。

如图所示，设物体沿x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为‘∑。

若物体后端经过1P 点（第一事件）与前端经过2P 点（第二事件）相对于∑同时，则21P P 定义为∑上测得的物体长度。

物体两端在‘∑上的坐标设为'2'1x x 和。

在∑上1P 点的坐标为1x ，2P 点的坐标为2x ，两端分别经过1P 和2P 的时刻为21t t =。

对这两事件分别应用洛伦兹变换式得 2222'22211'11,1c vvt x x c v vt x x --=--=，两式相减，计及21t t =，有().*12212'1'2c vx x x x --=-式中12x x -为∑上测得的物体长度l （因为坐标21x x 和是在∑上同时测得的），'1'2x x -为‘∑上测得的物体静止长度0l 。

由于物体对‘∑静止，所以对测量时刻'2'1t t 和没有任何限制。

由()*式得221cv l l -=。

4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系.ϕ-∇=E答：由于静电场的无旋性，得：⎰=•0dl E 设21C C 和为由点点到21P P 的两条不同路径。

21C C 与－合成闭合回路，因此 012=•-•⎰⎰C C dl E dl E即⎰⎰•=•21C C dlE dl E 因此，电荷由与路径无关，点时电场对它所作的功点移至21P P 而只和两端点有关。

把单位正电荷由,21P P 点移至电场E 对它所作的功为：,21⎰•P P dl E 这功定义为点点和21P P 的电势差。

若电场对电荷作了正功，则电势ϕ下降。

由此，()()⎰•-=-2112P P dl E P P ϕϕ由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。

相距为dl 的两点的电势差为 .dl E d •-=ϕ由于，dl dz zdy y dx x d •∇=∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕϕ 因此，电场强度E 等于电势ϕ的负梯度 .ϕ-∇=E5、试由恒定磁场方程证明矢势A 的微分方程j A μ-=∇2。

答：已知恒定磁场方程）（10J B μ=⨯∇（在均匀线性介质内），把）代入（1)2(A B ⨯∇=得矢势A 的微分方程 ().J A μ=⨯∇⨯∇由矢量分析公式 ()().2A A A ∇-•∇∇=⨯∇⨯∇若取A 满足规范条件0=•∇A ，得矢势A 的微分方程 ()0.2=•∇-=∇A J A μ6、试由电场的边值关系证明势的边值关系.11122σϕεϕϕε-=∂∂-∂∂n证：电场的边值关系为：()()()()*.$,01212σ=-•=-⨯D Dn E En，()*式可写为 ()@12σ=-n n D D 式中n 为由介质1指向介质2的法线。

利用ϕε-∇==E E D及,可用标势将()@表为： .11122σϕεϕϕε-=∂∂-∂∂n势的边值关系即得证。

7、试由静电场方程证明泊松方程ερϕ-=∇2。

答：已知静电场方程为：⎩⎨⎧=•∇=⨯∇)2.()1(,0ρD E 并知道 )3.(ϕ-∇=E 在均匀各向同性线性介质中，E D ε=，将（3）式代入（2）得 ερϕ-=∇2，ρ为自由电荷密度。

于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。

8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。

答：麦克斯韦方程组 ()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇=•∇∂∂-=⨯∇=•∇t x E x j x B x B tx B x E x x E 00000)()()(μεμερ表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。

这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到 ()()tx B x E ∂⨯∇∂-=∇)(2－，再把第四个方程对时间求导，得到 ()()()2200t x E t x B ∂∂=∂⨯∇∂με，从上面两个方程消去()()t x B ∂⨯∇∂，得到()()022002=∂∂-∇tx E x E με。

这就是标准的波动方程。

对应的波的速度是.10c =με9、试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件()()().0;;0121212=-•=-•=-⨯B B n D D n E E nδ 解：()δδδρ=-=-⋅∴∆=⋅∆-⋅∆=•⎰⎰n n fVS D D D D n S D n S D n S dVs d D 121212.即：对于磁场B ，把0=⋅⎰s d B S应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得：()01212=-⋅-B B n B B n n即：作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为l ∆，短边边长为'l ∆。

因为⎰=⋅0dl E ，作沿狭长矩形的E 的路径积分。

由于'l ∆比l ∆小得多，当0'→∆l 时，E 沿'l ∆积分为二级小量，忽略沿'l ∆的路径积分，沿界面切线方向积分为：012=∆-∆l E l E t t 即：()*,012--t t E E 。

()*可以用矢量形式表示为：()()@012=⋅-t E E式中t 为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。

令矩形面法线方向单位矢量为't ，它与界面相切，显然有 ()#'t n t ⨯= 将()()式式代入@#，则()()()$,0'12=⨯⋅-t n E E，利用混合积公式()()B A C C B A ⨯⋅=⨯⋅，改写()#式为：()[]012'=⨯-⋅n E E t此式对任意't 都成立，因此 ()012=⨯-n E E，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。

10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程022=+∇E k E答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。

在一定的频率下，有H B E D με==,，把时谐电磁波的电场和磁场方程：()()()().,,,iwtiwt ex B t x B e x E t x E --==代入麦氏方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0,0,,B D t D H t B E 消去共同因子iwt e -后得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇-=⨯∇=⨯∇.0,0,,H E E iw H H iw E εμ在此注意一点。

在0≠w 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。

取第一式的散度，由于()0=⨯∇⋅∇E ，因而0=⋅∇H ，即得第四式。

同样，由第二式可导出第三式。

在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。

取第一式旋度并用第二式得 ()E w E με2=⨯∇⨯∇ 由()()E E E E 22-∇=∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，上式变为 ⎩⎨⎧==+∇.,022μεw k E k E 此为亥姆霍兹方程。

11、 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。

证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内01=E，而：垂直于导体表面。

故0212,0,0)(E E n E E n=⨯∴=-⨯ （2）导体中通过恒定的电流时，导体表面.0=f σ0,022==∴D E即：导体外。

而：0,0)(10112=•=•==-•E n D n D D n fεσ即：，01=•∴E n 。

导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。

12、 设ϕ和A 是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数()t x Z ,（赫兹矢量），若令.1,2t Z c A Z ∂∂=•∇=证明ϕ 证明：ϕ和A满足洛伦兹规范，故有.012=∂∂+•∇tc A ϕ代入洛伦兹规范，有：Z•-∇=ϕ().1t Z c 1A ,01222tZ c A Z t c A ∂∂=∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂•∇•∇=•∇-∂∂•+•∇＝即2、 计算题：1、真空中有一半径为0R 接地导体球，距球心为()0R a a > 处有一点电荷Q ，求空间各点的电势。

解：假设可以用球内一个假想点电荷'Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。

由对称性，'Q 应在OQ 连线上。

关键是能否选择'Q 的大小和位置使得球面上0＝ϕ的条件使得满足？考虑到球面上任一点P 。

边界条件要求 .0''=+r Q r Q 式中r 为Q 到P 的距离，的距离。

到为P Q r ''因此对球面上任一点，应有 ）常数。

（1''=-=QQ r r 由图可看出，只要选'Q 的位置使则,~'OPQ P OQ ∆∆）常数。

（＝20'=aR r r 设'Q 距球心为b ，两三角形相似的条件为()3.,2000aR b a R R b==或由（1）和（2）式求出 )4.(0'Q a R Q -=（3）和（4）式确定假想电荷'Q 的位置和大小。

由Q 和镜象电荷'Q 激发的总电场能够满足在导体面上0＝ϕ的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。