2019届高三数学一轮复习培优讲义含课时作业：第1章第1讲集合的概念与运算

第1章集合与常用逻辑用语

第1讲集合的概念与运算

板块一知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1集合与元素

1．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

4．常见数集的记法

考点2集合间的基本关系

A B或

B A

∅⊆A

∅B(B≠∅) 考点3集合的基本运算

A∪B＝A∩B＝∁A＝

[必会结论]

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．()

(2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1 或

m＝1

2.()

(3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝∅，则ρ所满足的条

件是ρ≥1.()

(4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y ∈B}中有4个元素．()

(5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．()

答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×

2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x ＞3}，则A∩B＝()

A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}

C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}

答案 A

解析∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，

∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.

3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0

A．[－1,4] B．(0,3]

C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]

答案 A

解析A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．选A.

4．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则() A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅

答案 A

解析∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．

又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．

故选A.

5．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为()

A．1 B．3 C．4 D．7

答案 B

解析因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1

R

板块二典例探究·考向突破

考向集合的基本概念

例1(1)[2017·郑州模拟]已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为() A．1 B．3 C．5 D．7

答案 C

解析由题意知A＝{－1,0,1}，当p＝－1，q＝－1，0,1时，p －q＝0，－1，－2；当p＝0，q＝－1,0,1时，p－q＝1,0，－1；当p ＝1，q＝－1,0,1时，p－q＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个．选C.

(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.

答案－1

解析由A∩B＝{－3}知，－3∈B.

又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.

①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．故a＝0舍去．

②当a－2＝－3时，a＝－1，

此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，

满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.

触类旁通

解决集合概念问题的一般思路

(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.

(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．

【变式训练1】 (1)[2018·昆明模拟]若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x

∈N *

}，B ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫y|4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为________．

答案 3

解析 解不等式x 2－9x <0可得0

}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4

y ∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以

B ＝{1,2,4}，所以A ∩B ＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.

(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32

解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；

当2m 2

＋m ＝3时，解得m ＝－3

2或m ＝1(舍去)，

此时当m ＝－32时，m ＋2＝1

2≠3符合题意． 所以m ＝－3

2.