2019届高三数学一轮复习培优讲义含课时作业：第1章第1讲集合的概念与运算

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全国版2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算课件

5． [2018· 重庆模拟]已知集合 A＝{x∈N|πx<16}， B＝{x|x2 －5x＋4<0}，则 A∩(∁RB)的真子集的个数为( A．1 C．4
解析
)
B．3 D．7
因为 A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x
＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁RB＝{x|x≤1 或 x≥4}，故 A∩(∁RB) ＝{0,1}，故 A∩(∁RB)的真子集的个数为 3.故选 B.
N*(或 N＋)
整数有理实数集 Z 数集 Q 集 R
考点 2 关系相等子集
集合间的基本关系文字语言符号语言
表示
集合 A 与集合 B 中的所 A⊆B 且 B⊆A 有元素相同 A 中任意一个元素均为 B 中的元素
A⊆B 或 B⊇A
⇔A＝B
表示关系
文字语言 A 中任意一个元素均为
符号语言
4．[2017· 全国卷Ⅰ]已知集合 A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( ) A．A∩B＝{x|x<0} C．A∪B＝{x|x>1}
解析
B．A∪B＝R D．A∩B＝∅
∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又 A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选 A.
(2)已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值
3 － 2 为________ ．
【变式训练 1】
*

(1)[2018· 昆明模拟]若集合 A＝{x|x2－
4 9x<0，x∈N }，B＝ y ∈N*，y∈N*，则 A∩B 中元素的个 y

2019版高考数学一轮复习第一章集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系课时作业理

第1讲集合的含义与基本关系1．(2017年北京)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1，或x>3}，则A∩B＝( ) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}2．(2017年天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝( ) A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}3．(2016年浙江)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}, 则P∪(∁R Q)＝( ) A．[2,3] B．(－2,3 ]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)4．设集合A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，ba，a－b，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝( ) A．{2,3} B．{－1,2,5} C．{2,3,5} D．{－1,2,3,5}5．已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，B＝{(x，y)|y＝x2－2x}，则A∩B的元素有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．对任意两个正整数m，n，定义某种运算⊕：m⊕n＝⎩⎪⎨⎪⎧m＋n，m与n奇偶性相同，mn，m与n奇偶性不同，则集合P＝{(a，b)|a⊕b＝8，a，b∈N*}中元素的个数为( )A．5个 B．7个 C．9个 D．11个7．若集合A具有以下性质：(1)0∈A,1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1x∈A.则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)．设A＝{y|y ＝3x，x∈R}，B＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}，则A⊕B＝( )A．[0,2) B．(0,2]C．(－∞，0]∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪[2，＋∞)9．某校高三(1)班50名学生选择选修模块课程，他们在A，B，C 3个模块中进行选择，模块选择人数/人模块选择人数/人A 28 A与B 11B 26 A与C 12C 26 B与C 13则3A．7人 B．6人 C．5人 D．4人10．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a＝______________.11．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并写出A中的元素；(3)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．12．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．(1)若a＝3，求(∁R P)∩Q；(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．第1讲集合的含义与基本关系1．A 解析：利用数轴可知A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．故选A.2．B 解析：(A ∪B )∩C ＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．故选B.3．B 解析：∁R Q ＝{x ∈R |x 2<4}＝{x ∈R |－2<x <2}，P ∪(∁R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．故选B.4．D 解析：由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝2，a －b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．5．B 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象，如图D87，由图可知y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象有2个交点，则A ∩B 的元素有2个．图D876．C 解析：当a ，b 奇偶性相同时，a ⊕b ＝a ＋b ＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；当a ，b 奇偶性不同时，a ⊕b ＝ab ＝1×8.由于(a ，b )有序，故共有元素4×2＋1＝9(个)．7．C 解析：(1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q ，1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .8．C 解析：由题意知，集合A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≤2}．所以A －B ＝{y |y ＞2}，B －A ＝{y |y ≤0}．所以A ⊕B ＝(2，＋∞)∪(－∞，0]．故选C.9．B 解析：方法一，设三个模块都选择的学生人数为x ，由韦恩图D88，得5＋x ＋2＋x ＋1＋x ＋11－x ＋12－x ＋13－x ＋x ＝50.得x ＝6.图D88方法二，由题意，得28＋26＋26－11－12－13＋x ＝50.得x ＝6.10．－12或1或0 解析：依题意，可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A.集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又B 是空集时也符合题意，这时a ＝0.11．解：集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)若A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，当a ＝0时，x ＝23，不合题意；则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－32－8a <0.∴a >98，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞.(2)当a ＝0时，方程只有一个解23，此时A 中只有一个元素23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98.此时方程有两个相等的实数根．当a ＝98时，解得x 1＝x 2＝43，A 中只有一个元素43.∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23或43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝0，或a ≥98. 12．解：(1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4，或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4，或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x <4}． (2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q ，得P ⊆Q .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2.当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，2]．。

高三数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算精品课件

• (3)五个关系式A⊆B、A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB) ＝∅是两两等价的．
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1，也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量词、基本逻辑联结词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}

2019版高考数学理一轮讲义：第1讲集合的概念与运算

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算1．元素与集合(1)集合元素的特性：__确定性__、__互异性__、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作__a∈A__；若b不属于集合A，记作__b ∉A__.(3)集合的表示方法：__列举法__、__描述法___、图示法．(4)常见数集及其符号表示2．集合间的基本关系3．集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示图A∪B＝A∩B＝(2)三种运算的常见性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝__A__，A∩∅＝__∅__.③A∪A＝__A__，A∪∅＝__A__.④A∩∁U A＝__∅__，A∪∁U A＝__U__，∁U(∁U A)＝__A__.⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)集合{x 2＋x,0}中，实数x 可取任意值．( × ) (2)任何集合都至少有两个子集．( × )(3)集合{x |y ＝x －1}与集合{y |y ＝x －1}是同一个集合．( × ) (4)若A ＝{0,1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，则A ⊆B .( × )解析 (1)错误．由元素的互异性知x 2＋x ≠0，即x ≠0且x ≠－1． (2)错误．∅只有一个子集．(3)错误．{x |y ＝x －1}＝{x |x ≥1}，{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}． (4)错误．集合A 是数集，集合B 是点集．2．(2017·浙江卷)已知集合P ＝{x |－1<x <1}，Q ＝{x |0<x <2}，那么P ∪Q ＝( A ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}， ∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A ．4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－22，则A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，有2个元素． 5．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则∁R (A ∪B )＝__{x |x ≤2或x ≥10}__. 解析 ∵A ∪B ＝{x |2<x <10}，∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2或x ≥10}．一集合的基本概念集合元素性质的应用警示(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( C ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( D ) A ．92B ．98C ．0D ．0或98解析 (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B 中有5个元素．(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.二集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【例2】 (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( C ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为__(－∞，3]__.解析 (1)因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C ．(2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．三集合的基本运算集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．【例3】 (1)(2018·广东汕头期末)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( C )A ．(－∞，0)B ．⎣⎡⎦⎤12，1 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，1 D ．⎝⎛⎦⎤－12，0 (2)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}(3)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( B ) A ．0或3 B ．0或3 C ．1或3D ．1或3解析 (1)因为A ＝{x |y ＝ln (1－2x )}＝{x |1－2x >0}＝⎝⎛⎭⎫－∞，12，B ＝{x |x (x －1)≤0}＝[0,1]，所以U ＝A ∪B ＝(－∞，1]，又A ∩B ＝⎣⎡⎭⎫0，12，所以∁U (A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，1，故选C ．(2)∵2x (x－2)<1，∴x (x －2)<0，∴0<x <2，即A ＝{x |0<x <2}．又∵y ＝ln (1－x )， ∴1－x >0，∴x <1，即B ＝{x |x <1}，∴A ∩B ＝{x |0<x <1}．图中阴影部分表示∁A (A ∩B )， ∴∁A (A ∩B )＝{x |1≤x <2}，故选B ． (3)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴m ∈A ，∴m ＝3或m ＝m ，解得m ＝0或3，故选B ．四集合中的创新题集合定义新情景的解决方法解决集合的新情景问题，应从以下两点入手：(1)正确理解创新定义，这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．【例4】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y ∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(C)A．77B．49C．45D．30解析A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(－1，0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，B ＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1，0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点．当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1,0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点．故A⊕B共有2×5＋5×7＝45(个)元素．1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(C)A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}解析因为A∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，故选C．2．(2017·北京卷)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝(A) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}，故选A．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为(D)A ．1B ．2C ．3D ．4解析 A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，∵A ⊆C ⊆B ，∴满足条件的集合C 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个，故选D ．4．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝__{0}∪[2，＋∞)__.解析 A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |0<x <2}，则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．易错点1 不注意检验集合元素的互异性错因分析：对于含字母参数的集合，根据条件求出字母的值后，容易忽略检验是否满足集合元素的互异性及其他条件．【例1】已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，求实数a 的值．解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，∴①当2a 2＋5a ＝－3时，2a 2＋5a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－32，其中a ＝－1时，2a 2＋5a ＝6a －1＝－3，与集合元素的互异性矛盾，舍去； a ＝－32时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，12，－125满足题意．②当6a －1＝－3时，a ＝－1，由①知应舍去．综上，a 的值为－32.【跟踪训练1】已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，求A ∪B .解析由A ∩B ＝{－3}知，－3∈B .又a 2＋1≥1，故只有a －3，a －2可能等于－3.①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B (－3，－2,1)， A ∩B ＝(1，－3)，故a ＝0舍去． ②当a －2＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝(－4，－3,2)，满足A ∩B ＝{－3}，从而A ∪B ＝{－4，－3,0,1,2}．易错点2 忽略空集错因分析：空集是个特殊集合．在以下四种条件中不要忽略B 是空集的情形：①B ⊆A ；②B A (A 非空)；③B ∩A ＝B ；④B ∪A ＝A .【例2】设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.解析因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1．综上所述，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ＝1}．答案 (－∞，－1]∪{1}【跟踪训练2】 (2018·江西临川一中月考)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值集合．解析 (1)∵3≤32≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3， ∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． (2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，当C 为空集时，a ≤1；当C 为非空集合时，可得1<a ≤3. 综上所述，a ≤3.课时达标第1讲[解密考纲]本考点考查集合中元素的性质、集合之间的关系、集合的运算(一般以不等式、函数、方程为载体)，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在靠前的位置，题目难度不大．一、选择题1．(2018·河南郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( A )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A ．2．(2017·天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( B )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}，(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选B ． 3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( A ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析 ∵M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0<x ≤1}， ∴M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}，故选A ．4．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( A ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B解析由题知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C ．5．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( C )A ．5B ．4C ．3D ．2解析当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3，故集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }＝{－1,1,3}中的元素个数为3，故选C ．6．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析由题意可知a 1，a 2∈M 且a 3∉M ，所以M ＝{a 1，a 2}或M ＝{a 1，a 2，a 4}．故选B ．二、填空题7．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <12，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝ ⎣⎡⎭⎫0，12 . 解析因为N ＝[0,1]，所以M ∩N ＝⎣⎡⎭⎫0，12. 8．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝__1__.解析由集合中元素的互异性，可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4，所以m ＝1．9．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6<0}，B ＝{x |y ＝lg (x －a )}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__(－∞，－3]__.解析因为A ＝(－3,2)，B ＝(a ，＋∞)，A ⊆B ，所以a ≤－3. 三、解答题10．(2018·湖北武汉模拟)设集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A ∩B ＝{x |0≤x <3}成立？若存在，求出a 的值及对应的A ∪B ；若不存在，说明理由．解析 A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≥a }． (1)如图，若A ∩B ＝∅，则a ≥3，所以a 的取值范围是[3，＋∞)．(2)存在，如图，a ＝0时，A ∩B ＝{x |0≤x <3}，此时A ∪B ＝{x |x >－2}．11．已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解析 (1)m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．①当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A .②当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 12．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x －1<8，C ＝{x |2x 2＋mx －m 2<0}(m ∈R )．(1)求A ∪B ；(2)若(A ∪B )⊆C ，求实数m 的取值范围．解析 (1)A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧x |12<2x －1<8＝{x |0＜x <4}，则A ∪B ＝(－1,4)． (2)C ＝{x |2x 2＋mx －m 2<0}＝{x |(2x －m )(x ＋m )<0}．①当m >0时，C ＝⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1，m 2≥4，解得m ≥8； ②当m ＝0时，C ＝∅，不合题意；③当m <0时，C ＝⎝⎛⎭⎫m 2，－m ，由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥4，m 2≤－1解得m ≤－4；综上所述，m ∈(－∞，－4]∪[8，＋∞)．。

2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算课后作业布置讲解理

1．1 集合的概念与运算[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·山西八校联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |0<x ≤4}，则A ∪B ＝( )A ．[－1,4]B ．(0,3]C ．(－1,0]∪(1,4]D ．[－1,0]∪(1,4]答案 A解析 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，故A ∪B ＝[－1,4]．故选A.2．(2018·石家庄质检)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <4} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 D解析因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}＝{x |－1<x <3}，所以A ∩B ＝{x |2<x <3}．故选D.3．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝1＋sin πx 2，x ∈M ，则集合M ∩N 的真子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析因为N ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{0,1}，其真子集的个数是3.故选B.4．(2018·济南质检)已知集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |e x>1}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．[1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,1) D ．[0,1]答案 A解析依题意得，A ＝{x |0<x <1}，则∁R A ＝{x |x ≤0或x ≥1}，B ＝{x |x >0}，故(∁R A )∩B ＝{x |x ≥1}＝[1，＋∞)．故选A.5．若集合M ＝{x ||x |≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅答案 C解析 M ＝{x ||x |≤1}＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}＝[0,1]，所以N ⊆M .故选C. 6．(2017·山西模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈N |x 2<6x }，B ＝{x ∈N |3<x <8}，则如图阴影部分表示的集合是( )A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2,3,6,7}C ．{3,4}D ．{4,5,6,7} 答案 B解析 ∵A ＝{x ∈N |x 2<6x }＝{x ∈N |0<x <6}＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈N |3<x <8}＝{4,5,6,7}，∴图中阴影部分表示的集合是{1,2,3,6,7}，故选B.7．(2018·中山模拟)已知集合A ＝{x | y ＝－x 2－x ＋2ln x }，B ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝12x 2－x ＋12，则A ∩B＝( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，0]D ．[0,1]答案 B解析由y ＝－x 2－x ＋2ln x 得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0且x ≠1，解得0<x <1，即A ＝(0,1)．由y ＝12x2－x ＋12＝12(x －1)2≥0，得B ＝[0，＋∞)，故A ∩B ＝(0,1)．故选B.8．(2017·湖南长沙模拟)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2 答案 B解析当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1,2}，A ∩B ＝{1,2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅，所以a 的值为2.故选B.9．(2018·江西九江七校联考)设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg (36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个答案 C解析由36－x 2>0可解得－6<x <6，又x ∈N ，故x 可取0,1,2,3,4,5，故S ＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M 不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M 可以是{2,3}，{2,5}，{3,5}，{3,4}，{4,5}．故选C.10．(2018·豫北名校联考)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 B解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B. 二、填空题11．(2017·南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于________．答案 7解析由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，故m ＋n ＝7.12．(2017·洛阳模拟)已知集合A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，B ＝{x |x <2m －1}，且A ⊆(∁R B )，则m 的最大值是________．答案 34解析依题意，A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >12，∁R B ＝{x |x ≥2m －1}，又A ⊆(∁R B )，所以2m －1≤12，解得m ≤34.故m 的最大值为34.13．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a ∈A 时，必有6－a ∈A .则具有性质P 的集合A 的个数是________．答案 7解析由条件可知，有1必有5；有2必有4；3可单独也可与1,5或2,4在一起．满足题意的子集有{3}、{1,5}、{2,4}、{3,1,5}、{3,2,4}、{1,5,2,4}、{3,1,5,2,4}，共7个．14．已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________.答案 0或14解析由于A ＝{2，a ，b }，B ＝{2a,2，b 2}，因A ∩B ＝A ∪B ，故A ＝B ，因此A ，B 中的元素对应相等，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.由集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.所以a 的值为0或14.三、解答题15．(2018·运城模拟)设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }＝{－4,0}． ∵B ⊆A ，∴B ＝A 或B A .①当A ＝B ，即B ＝{－4,0}时，则－4和0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1.②当B A 时，分两种情况：若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1；若B ≠∅，则方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根． ∴Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}，满足条件．综上所述，所求实数a 的取值范围为{a |a ＝1或a ≤－1}．16．(2018·合肥模拟)设集合A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫132≤2－x ≤4，B ＝{x |x 2－3mx ＋2m 2－m －1<0}．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A ⊇B ，求实数m 的取值范围．解化简得集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B ＝{x |(x －m ＋1)(x －2m －1)<0}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254.(2)①m ＝－2时，B ＝∅⊆A ；②当m <－2时，(2m ＋1)－(m －1)＝2＋m <0，所以B ＝(2m ＋1，m －1)，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥－2，m －1≤5⇒－32≤m ≤6，所以m 的值不存在；③当m >－2时，B ＝(m －1,2m ＋1)，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围是{m |m ＝－2或－1≤m ≤2}．。

高三数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算精品理

心尺引州丑巴孔市中潭学校第1章第1课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．集合U ＝{x |0≤x ≤6，x ∈Z }，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，那么A ∩(∁U B )＝( )A ．{1}B ．{3,6}C ．{4,5}D ．{1,3,4,5,6}解析： U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，所以∁U B ＝{0,2,3,6}，那么A ∩(∁U B )＝{3,6}，应选B. 答案： B2．设全集为R ，集合M ＝{x |y ＝2x ＋1}，N ＝{y |y ＝－x 2}，那么( ) A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．N ＝MD ．M ∩N ＝{(－1，－1)}解析：从代表元素入手，认识集合的意义，M 为一次函数的定义域，N 为二次函数的值域，化简判断，M ＝R ，N ＝(－∞，0]，即N ⊆M ，应选B.答案： B3．集合M ＝{1，a 2}，P ＝{－a ，－1}，假设M ∪P 有三个元素，那么M ∩P 等于( ) A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{0}D ．{－1} 解析：根据题意只能a 2＝－a ，解得a ＝0或a ＝－1，检验知只能a ＝0，此时M ∩P ＝{0}．应选C.答案： C4．集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，假设B ⊆A ，那么实数a 的所有可能取值的集合为( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1} 解析：当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，x ＝－1a ，令－1a ＝1或－1a＝－1，得a ＝－1或a ＝1，应选D.答案： D5．(2021·卷)全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．假设A ∩B 非空，那么A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：∵(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素，如右图所示阴影局部，又∵U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．答案：D6．如下列图的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影局部的集合．假设x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，那么A*B为( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由图可得A*B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}，应选D.答案：D二、填空题7．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，假设A∪B＝{0,1,2,4}，那么实数a的值为________．解析：假设a＝4，那么a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求，假设a2＝4，那么a＝±2，又－2∉(A ∪B)，∴a＝2.答案：28．集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，那么实数a的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，如图，故当a答案：a≤19．集合A满足条件：当p∈A时，总有－1p＋1∈A(p≠0且p≠－1)，2∈A，那么集合A中所有元素的积等于________．解析：依题意，2∈A，所以－12＋1＝－13∈A，从而－1－13＋1＝－32∈A，－1－32＋1＝2∈A，故A中只有2，－13，－32三个元素，它们的积为2×⎝⎛⎭⎫－13×⎝⎛⎭⎫－32＝1.答案：1三、解答题10．设A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x、y的值．解析：∵A∩B＝C＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B ，－1∈B .即有x 2－x ＋1＝7⇒x ＝－2或x ＝3. ①当x ＝－2时，x ＋4＝2，又2∈A ，∴2∈A ∩B ，但2∉C ，∴不满足A ∩B ＝C ，∴x ＝－2不符合题意．②当x ＝3时，x ＋4＝7，∴2y ＝－1⇒y ＝－12. 因此，x ＝3，y ＝－12. 11．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)假设B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数．【解析方法代码108001001】解析： (1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎨⎧ m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3，综上，m ≤3时有B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254. 12．R 为实数集，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，假设B ∪(∁R A )＝R ，B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}，求集合B .【解析方法代码108001002】解析： ∵A ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜1或x ＞2}．又B ∪(∁R A )＝R ，A ∪(∁R A )＝R ，可得A ⊆B .而B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}，∴{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}⊆B .借助于数轴可得B＝A∪{x|0＜x＜1或2＜x＜3}＝{x|0＜x＜3}．。

2019版新教材数学课外辅导讲义——第一册第1讲集合的概念与运算

第1讲集合的概念与运算[玩前必备]1.元素与集合的概念(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合. (2)集合元素的特性：确定性、互异性. 2.元素与集合的关系(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合. ②无限集：含有无限个元素的集合. 4.常用数集的表示符号把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法. 6.描述法(1)集合的特征性质如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质. (2)特征性质描述法集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为{x ∈I |p (x )}，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x )的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法. 7.集合间的基本关系A B(或B A)8.集合的运算(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁A＝{x|x∈U，且x∉A}[玩转典例]题型一集合的基本概念例1(大纲全国，1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6例2 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[玩转跟踪]1.(新课标全国，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.102.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.3.(探究与创新)设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1).求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集.题型二集合的表示方法例3 下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}. 问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？例4 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .[玩转跟踪]1.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧m |m ＝x |x |＋y |y |＋⎭⎬⎫xy |xy |为( )A.{0,3}B.{1,3}C.{－1,3}D.{1，－3}2.(探究与创新)已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }： (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.题型三集合间的基本关系例5 (2013·江苏，4)集合{－1，0，1}共有________个子集. 例6 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ，412|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ，421|，则( ) A ．N M =B ．NM C ．MN D ．=N M例7 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A . 求实数m 的取值范围.∅1.设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( ) A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个2.(2016·山东北镇中学、莱芜一中、德州一中4月联考)定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B },若集合M ＝{1,2,3,4,5},集合N ＝{x |x ＝2k －1,k ∈Z },则集合M －N 的子集个数为( ) A.2 B.3C.4D.无数个3.已有集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合.题型四集合的基本运算例8 (2016·全国Ⅰ,1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0},B ＝{x |2x －3>0},则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 例9 (2015·四川,1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0},集合B ＝{x |1＜x ＜3},则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 例10 (1)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}(2).(2011·江西，2)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}例11 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.1.(2016·安徽安庆市第二次模拟)若集合P ＝{x ||x |＜3,且x ∈Z },Q ＝{x |x (x －3)≤0,且x ∈N },则P ∩Q 等于( )A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{0,1,2,3}2.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(M ∩P )∩SB.(M ∩P )∪SC.(M ∩P )∩(∁I S )D.(M ∩P )∪(∁I S )3.(探究与创新)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.[玩转练习]1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅D ．M ∪N ＝R3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．44.(2018·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x|x <2}D ．{x |－2<x ≤1}5．(2018·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －3≤0，则A ∩B 等于( ) A ．[0,3) B ．{1,2} C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}6．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}7．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)8.满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________.9.设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________. 10.已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________.11.已知全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，若A ＝{b,2}，∁I A ＝{5}，求实数a ，b .12.已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .13.设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x ＜6}，B ＝{x |2＜x ＜9}. (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值构成的集合.14.已知集合A ＝{x |0＜x －a ≤5}，B ＝{x |－a2＜x ≤6}.(1)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝A ，求a 的取值范围.。

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算课时作业理新人教版

第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算1. 集合与元素(1) 集合元素的三个特征：确定性、________ 、无序性•(2) 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 _或_表示•⑶集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法.(4) 常用数集：自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集乙有理数集Q;实数集R(5) 集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、_________ 2. 集合间的基本关系3. 集合的基本运算表示合A 的补集为？u A图形表示-------------------------------------- !---------- —n意义基础自测1.已知集合 A={x|x>1}, B={x|- 1<x<2},则 A n B 等于( ).A. { x|- 1<x<2}B. { x|x>- 1}A. {4}B. {4, -1}C. {4,5}D. { -1,0}23.已知集合 P={x|x < 1}, M=a },若P U M=P 则a 的取值范围是().A. ( - g , -1]B. [1, +8)C. [ -1,1]D. ( - 8,-1] U [1, +8)4. (教材改编)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5}, B={1,3,5,7}, 贝 U A n ( ?UB ) = ______ .5. (教材改编)已知集合 A={ -1,2}, B={x|mx+1=0},若A U B=A 则m 的可能取值组成的集合指点迷津♦一个性质要注意 A ? B A n B=A A U B=B ?U A ? ?u B 、A n （?U B ）=这五个关系式的等价性C. { x|- 1<x<1}D. { x| 1 <x<2}2.已知集合 A={-1,0,4}, 集合B={x|x 2-2x- 3<0, x € N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是（）.（第2题）♦两种方法Venn 图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法别注意端点是实心还是空心如：全集 U=R,A={x|a < x < a+1}, B={x|x<- 1},若 A n (?U B )=,则 a 的范围为 a<-2.♦三个防范①认清元素的意义 , 数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等, 如}与{ y|y=,其中运用数轴图示法要特{ x|y={( x , y )|y=}分别表示函数『=的定义域、值域以及函数图象上的点集② 注意防范 : 集合的基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解否定条件导致错解 , 如已知 A= 补集写为导致漏解；③空集是任何集合的子集，注意对空集的讨论，防止漏解；注意集合中元素的互异性，防止增解,如关系“ B ? A ”中,B 可以为 .考点透析考向一集合的基本概念例 1 (2014 •全国新课标 I )已知集合 M=x|- 1<x<3}, B={x\- 2<x<1},则 Mn B 等于( ).A. ( -2,1)B. ( -1,1), 求解集合的补集时由于错误,误把集合A 的C. (1,3)D. ( -2,3)【审题视点】根据集合的定义，通过运算可求两集合的公共部分.【方法总结】(1)解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.(2)利用元素与集合的关系求字母参数时，要注意元素互异性的应用，一方面能利用互异性顺利找到解题的切入点，另一方面在解答完毕时注意检验集合元素是否满足互异性以确保答案正确.变式训练1.已知集合A=f x|x2-2x+a>0},且1?A,则实数a的取值范围是().A. ( - a ,1]B. [1, +8)C. [0, +8)D. ( - a ,1)考向二集合间的基本关系例2 (1)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5}, B=[2, +a),则图中阴影部分所表示的集合为( ).A. {0,1,2} C. {1,2}D. {1}⑵（2014 •苏北四市联考）已知集合A={2 +, a }, Bp-1,1,3},且A ? B,则实数a 是 .【审题视点】（1）本题考查集合运算，难度较小.（2）本题考查集合与集合之间的关系【方法总结】（1）两个集合相等，可以从两个集合中的元素相同求解，也可利用定义且 B ? A ? A=B.（2）对于集合的包含关系，B ? A 时,别忘记B= 的情况.对于端点的虚实可单独验证 .2. （2014 •辽宁五校联考）设集合P={x|x>1}, Q=X |X 2-X >0},则下列结论正确的是（A. P ? QB. Q ? PC. P=QD. P U Q=R考向三集合的基本运算.. 2例3 （2014 •全国新课标 n ）已知集合 A={-2,0,2}, B={ x|x -x- 2=0},则A n B 等于（ A. B.{2} C. {0}D. { -2}【审题视点】本题考查集合的运算，难度较小.B. {0,1} 的值:A ? B).).,B={ y|y=x 2},贝U AH B 等于€ A 就称A 是“和谐”集合.则在集合 M= 的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是 ________ .【解题指南】本题考查对以集合为背景的新定义的理解和应用、古典概型，难度较大•【解析】集合 M 的所有非空子集有28-1 =255个,其中“和谐”集合中的元素在-1,1,C. [0, +8)D. {( -1,1),(1,1)}考题回顾典例（2014• 浙江六校联考）若任意x € A, 则B. [0,2]3. 设集合 A= ( ) . A. [ -2,2]和2,和 3 四组中选取, 有24- 1=15 个, 所以和谐”集合的概率是答案】1. （2014 •全国大纲）设集合M=1,2,4,6,8}, N={1,2,3,5,6,7}, 贝U MP N中元素的个数为（）.A. 2B. 3C. 5D. 72. （2014 •北京）若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A P B等于（）.A. {0,123,4}B. {0,4}C. {1,2}D. {3}3. （2014 •重庆）已知集合A={3,4,5,12,13}, B={2,3,5,8,13}, 则A P B= ______参考答案与解析第一章第1课时集合与常用逻辑用语集合的概念与运算1.(1) 互异性(2)€(5)空集2.3.1. D2.B3. C4. {2, 4}5.考点透析【例1】B解析:通过对集合MB的比较可得两集合公共部分为(-1, 1).【例2】⑴D解析：图中阴影部分表示为所以故选D.(2)1 解析例3】 B 解析因为: 故选B.1. A 解析：因为2. A 解析：由集合所以选A.3. B 解析中有3个元素，故选B.2. C 解析:3. {3, 5, 13} 解析:。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算课件文

(2)元素与集合的两种关系：属于，记为_∈___；不属于，记为__∉_.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号 _N__ __N_*_或 N＋ _Z__
_Q__
_R__
2．集合间的基本关系
表示关系
所以 0<m≤1.
综上所述 m 的取值范围为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
3．(2018·海门中学测试)已知集合 A＝{1,3， x}，B＝{2－x,1}． (1)记集合 M＝{1,4，y}，若集合 A＝M，求实数 x＋y 的值； (2)是否存在实数 x，使得 B⊆A？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由．
答案：4
课堂考点突破
自主研、合作探、多面观，全扫命题题点
考点一集合的基本概念
[题组练透]
1．(易错题)已知集合 A＝{1,2,4}，则集合 B＝{(x，y)|x ∈A，y∈A}中元素的个数为________．解析：集合 B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)， (2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共 9 个．答案：9
答案：{2,3}
必过易错关
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3．注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法注意端点是实心还是空心． 5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，
2．已知集合 A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为________．解析：当 m≤0 时，B＝∅，显然 B⊆A. 当 m>0 时，因为 A＝{x|－1<x<3}．当 B⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，

高考数学一轮复习讲义第一章集合概念和其基本运算

在确定集合 A 时，需对 x 的系数 a 进行讨论．利用数轴分析，使问题得到解决．
高考数学一轮复习讲义第一章集合概念与其基本运
A 中不等式的解集应分三种情况讨论：
①若 a＝0，则 A＝R； ②若 a<0，则 A＝x|4a≤x<－1a；
③若 a>0，则 A＝x|－1a<x≤4a.
(1)当 a＝0 时，若 A⊆B，此种情况不存在．当 a<0 时，若 A⊆B，如图，
当(a＋1)2＝1，即 a＝0 或 a＝－2 时， ①a＝0 符合要求． ②a＝－2 时，a2＋3a＋3＝1 与(a＋1)2 相同，不符合题意．当 a2＋3a＋3＝1，即 a＝－2 或 a＝－1. ①当 a＝－2 时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意． ②当 a＝－1 时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意．综上所述，a＝0.∴2 013a＝1.
，∴00<<aa≤≤22 .
又∵a>0，∴0<a≤2.
综上知，当 B⊆A 时，－12<a≤2.
(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，A＝B.
由(1)、(2)知，a＝2.
高考数学一轮复习讲义第一章集合概念与其基本运
探究提高
在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循 “不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. 交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 补集的性质：

2019年届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：11集合的概念及其运算语文

解析
(1)∵2－6
∈ x
Z，∴|2－x|是
6
的因数，故 |2－ x|＝ 1
或|2－
x|＝2 或|2－x|＝3 或|2－x|＝6，即 x＝1、3、4、0、－1、5、－4、
8.
∴{x|2－6 x∈Z，x∈Z}＝{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．
(2)由 a∈Z，|a|＜2，知 a＝－1、0、1，由 b∈N*且 b≤3，知 b
如集合 A＝{0,1,2}的子集有 23＝8 个，它们分别是：{0}，{1}， {2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，其中真子集有 23－1＝7 个，即集合{0,1,2}除外，其余的 7 个都为真子集．
(2)两个集合的相等关系——集合的相等 ①定义：对于两个集合 A、B，如果 A⊆B，同时 B⊆A，那么 A ＝B. ②注意：(ⅰ)从两个集合相等的定义，可以看出，若两个集合相等，则两个集合的元素完全相同，反之也成立；
(5)元素与集合的关系 ①元素与集合的关系是“属于”与“不属于”的关系，某个对象 x 要么在集合 A 中，要么不在集合 A 中．如果 x 在 A 中，记为： x∈A，读作“x 属于 A”；如果 x 不在 A 中，记为：“x∉A”，读作 “x 不属于 A”．如：3∈{3,5,8}，而 2∉{3,5,8}． ②元素与集合之间是个体与整体的关系． ③“∈”与“∉”不能随便用来表示集合与集合之间的关系，除非某个集合是另一个集合中的“元素”！如：{1}∈{1,3,5}，{2}∉{1,3,5}，这样的写法是错误的，而{1}∈{{1}， {3}，{1,3}}这种写法是正确的，因为在这里集合{1}是集合{{1}，{3}， {1,3}}中的元素了．
变式迁移 1 试用列举法表示下列集合： (1)24 的正约数； (2)数轴上与原点的距离小于 1 的所有点； (3)平面直角坐标系中Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的点； (4)所有非零偶数； (5)所有被 3 除余数是 1 的数．

2019高三数学一轮复习+教师讲义(word版)

第一节集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．授课提示：对应学生用书第1页◆教材通关◆1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示)．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系A B[必记结论]集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集(除集合本身)，有2n －1个非空子集，有2n －2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n ≥1)．3．集合的基本运算(1)A ∩∅＝∅，A ∪∅＝A ；(2)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅；(3)A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[小题诊断]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32D ．A ∪B ＝R解析：因为A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A.答案：A2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．N ∩M ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：由已知得集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，所以M ⊆N ，故选C.答案：C3．(2018·唐山模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,4}，B ＝{2,5}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．{3,4,5} B ．{2,3,5} C ．{5}D ．{3}解析：因为U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,4}，所以∁U A ＝{3,5}，又B ＝{2,5}，所以(∁U A )∪B＝{2,3,5}．答案：B4．(2018·衡水中学联考)若集合B＝{x|x≥0}，且A∩B＝A，则集合A可能是()A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R解析：由A∩B＝A得A⊆B，因为B＝{x|x≥0}，所以集合A可能是{1,2}，故选A.答案：A5．已知全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{0,1} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}解析：由Venn图可知，阴影部分的元素由属于A且不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩∁U B.∵U＝R，A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，∴A∩∁U B＝{0,1}，故选A.答案：A6．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，y＝4x2－1}，则A∩B 的元素个数是________．解析：集合A是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B是抛物线y＝4x2－1上的点的集合，观察图象可知，抛物线与圆有3个交点，因此A∩B中含有3个元素．答案：3◆易错通关◆1．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．2．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．3．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．设全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg(x＋2)}，则(∁U A)∩B等于()A.⎝⎛⎭⎫－2，76 B ．⎝⎛⎭⎫76，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－2，76 D ．⎝⎛⎭⎫－2，－76 解析：依题意得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≥76，∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜76；B ＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，因此(∁U A )∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2＜x ＜76. 答案：A2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x ≤0}，则满足A ∪B ＝{0,1,2}的集合B 的个数为________．解析：由A 中的不等式解得0≤x ≤2，x ∈N ，即A ＝{0,1,2}．∵A ∪B ＝{0,1,2}，∴B 可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．答案：8授课提示：对应学生用书第2页考点一集合的概念与关系自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．已知集合A ＝{1，－1}，B ＝{1,0，－1}，则集合C ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题意，当a ＝1，b ＝1时，a ＋b ＝2；当a ＝1，b ＝0时，a ＋b ＝1；当a ＝1，b ＝－1时，a ＋b ＝0；当a ＝－1，b ＝1时，a ＋b ＝0；当a ＝－1，b ＝0时，a ＋b ＝－1；当a ＝－1，b ＝－1时，a ＋b ＝－2.因此集合C ＝{2,1,0，－1，－2}，共有5个元素．故选D.答案：D2．(2018·兰州模拟)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：A ＝{x |x ＞－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得：B ⊆A . 答案：D3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∪N ＝N解析：由题意可知，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝(2k ＋4)8π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪ x ＝2k π8－π4或⎭⎪⎬⎪⎫x ＝(2k －1)8π－π4，k ∈Z ，所以M ⊆N ，故选B.答案：B4．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a ＞4，即c ＝4. 答案：41．集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．如题组中1易错．2．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．如题组中2,4均用了数轴进行分析求解．考点二集合的基本运算多维探究题点多变考点——多角探明[锁定考向] 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有：(1)集合的基本运算；(2)利用集合运算求参数或范围．角度一集合的基本运算1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.答案：B2．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32x≤1，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2} B ．{－1,2} C ．{－2,1,2}D ．{－2，－1,0,2}解析：A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x －32x≥0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥32或x ＜0，所以A ∩B ＝{－2，－1,2}，故选C.答案：C3．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)， B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：D解决集合运算的两个方法角度二利用集合运算求参数或范围4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．答案：C5．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2，所以c ∈[2，＋∞)，故选D.答案：D6．(2017·合肥模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A. 答案：A根据集合运算的结果确定参数的取值范围解决此类问题的步骤一般为：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点间关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验，通过返回代入验证端点是否能够取到．解决此类问题多利用数形结合的方法，结合数轴或Venn 图进行求解．[即时应用]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}解析：由题意得A ∪B ＝{1,2,3,4}．答案：A2．(2017·高考浙江卷)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2) 解析：P ∪Q ＝(－1,2)．答案：A3．(2017·高考山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1) 解析：由4－x 2≥0，解得－2≤x ≤2，由1－x ＞0，解得x ＜1，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}．故选D.答案：D4．(2018·长沙模拟)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C．3 D．1或2解析：当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，所以a的值为2，故选B.答案：B5．设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x＞a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是() A．a≤1 B．a≥1C．a≥0 D．a≤0解析：由A∩B＝∅知0∉B,1∉B，∴a≥1，故选B.答案：B考点三集合的新定义问题创新探究交汇创新考点——突破疑难与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.解决此类题型的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用.[典例]设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且k∉A，那么k是A 的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：由36－x2＞0可解得－6＜x＜6，又x∈N，故x可取0,1,2,3,4,5，故S＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}．答案：C[即时应用]1．设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝()A．{0,1} B．{1,2}C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}解析：∵A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}＝{x |2＜x ＜5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，∴A －B ＝{0,1,2,5}．故选D. 答案：D2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素，所以选B.答案：B课时作业单独成册对应学生用书第187页A 组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,4} C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}， ∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．答案：B2．(2018·成都市模拟)设集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{－2，－1,0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1}D ．{0} 解析：因为集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z }＝{－1,0}，所以A ∪B ＝{－1,0,1}．故选B.答案：B3．设集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{y |y ＝2x －1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，3) B ．[2,3) C ．(－∞，2)D ．(－1,2)解析：A ＝{x |x ＜2}，因为y ＝2x －1＞－1，所以B ＝{y |y ＝2x －1}＝(－1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－1,2)，故选D.答案：D4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：根据题意，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，又∵a ≠0，∴a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴ba＝－1，b ＝1.故a ＝－1，b ＝1，则b －a ＝2.故选C. 答案：C5．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，B ＝{x |x ＋1x －2＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{－2，－1,0,1,2,3}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,2}D ．{0,1}解析：由题意，得B ＝{x |－1＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{0,1}，故选D. 答案：D6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{4} C ．{1,3}D ．{1,4}解析：由题意，得B ＝{1,4,7,10}，∴A ∩B ＝{1,4}．答案：D7．(2018·长沙市模拟)已知集合P ＝{x |－2 016≤x ≤2 017}，Q ＝{x | 2 017－x ＜1}，则P ∩Q ＝( )A ．(2 016,2 017)B ．(2 016,2 017]C ．[2 016,2 017)D ．(－2 016,2 017)解析：由已知可得Q ＝{x |0≤2 017－x ＜1}＝(2 016，2 017]，则P ∩Q ＝(2 016,2 017]．答案：B8．(2018·石家庄模拟)函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝( )A．(1,2] B．[1,2]C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：使x－2有意义的实数x应满足x－2≥0，∴x≥2，∴M＝[2，＋∞)，y＝ln(1－x)中x应满足1－x＞0，∴x＜1，∴N＝(－∞，1)，所以M∪N＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.答案：D9．(2018·沈阳市模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x＜6}，则集合(∁U A)∩B ＝()A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}解析：∵U＝R，A＝{x|x≥2}，∴∁U A＝{x|x＜2}．又B＝{x|0≤x＜6}，∴(∁U A)∩B＝{x|0≤x ＜2}．故选C.答案：C10．(2017·天津模拟)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．答案：D11．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A12．(2018·长春市模拟)已知集合A＝{x|x2－x＋4＞x＋12}，B＝{x|2x－1＜8}，则A∩(∁R B )＝()A．{x|x≥4} B．{x|x＞4}C．{x|x≥－2} D．{x|x＜－2或x≥4}解析：由题意易得，A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|x＜4}，则A∩(∁R B)＝{x|x＞4}．故选B.答案：B13．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.答案：{－1,2}14．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝________.解析：∁U B＝{2}，∴A∪∁U B＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}15．集合{－1,0,1}共有__________个子集．解析：集合{－1,0,1}的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，共8个．答案：816．已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝__________. 答案：{1,2,3,5}B 组——能力提升练1．已知全集U ＝{0,1,2,3}，∁U M ＝{2}，则集合M ＝( ) A ．{1,3} B ．{0,1,3} C ．{0,3}D ．{2}解析：M ＝{0,1,3}．答案：B2．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{1，m }．若A ∩B ＝B ，则实数m 的值是( ) A ．0 B ．2C ．0或2D ．0或1或2 解析：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴m ＝0或m ＝2. 答案：C3．(2018·南昌市模拟)已知集合A ＝{x ∈R |0＜x ≤5}，B ＝{x ∈R |log 2x ＜2}，则(∁A B )∩Z ＝( )A ．{4}B ．{5}C ．[4,5]D ．{4,5}解析：∵集合A ＝{x ∈R |0＜x ≤5}，B ＝{x ∈R |log 2x ＜2}＝{x |0＜x ＜4}，∴∁A B ＝{x |4≤x ≤5}，∴(∁A B )∩Z ＝{4,5}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋2≤0，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2，－1] B ．[－2，－1] C ．(－1,1]D ．[－1,1]解析：依题意，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋2≤0＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}＝{x |－x 2＋4x ＋5>0}＝{x |－1<x <5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥5}，A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，选A.答案：A5．(2018·惠州模拟)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为()A．3 B．4C．7 D．8解析：由题意知，B＝{0,1,2}，则集合B的子集的个数为23＝8.故选D.答案：D6．(2018·太原市模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A．(－2,1)B．[－1,0]∪[1,2)C．(－2，－1)∪[0,1]D．[0,1]解析：因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2,1]，A∩B＝[－1,0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0,1]，故选C.答案：C7．(2018·郑州质量预测)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析：因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.答案：A8．(2018·广雅中学测试)若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()解析：由题意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以N M，故选B.答案：B9．已知集合A满足条件{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A的个数为()A．8 B．7C．4 D．3解析：由题意可知，集合A中必含有元素1和2，可含有3,4,5中的0个、1个、2个，则集合A 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．故选B.答案：B10．已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0D ． 2解析：若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝4，得k ＝±6，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.答案：B11．给出下列四个结论： ①{0}是空集； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x∈N 是有限集．其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A. 答案：A12．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30解析：集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD 内及正方形ABCD 上的整点．集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }中的元素可看作正方形A 1B 1C 1D 1内及正方形A 1B 1C 1D 1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．答案：C13．设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________. 解析：依题意得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A ＝{4,6,7,9,10}，(∁U A )∩B ＝{7,9}．答案：{7,9}14．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析：由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3. 答案：－315．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.答案：1或－18第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．授课提示：对应学生用书第4页◆ 教材通关 ◆1．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．[必记结论]由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[提醒]易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．充分条件、必要条件与充分必要条件的概念qpp1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案：A2．命题“若a2＜b，则－b＜a＜b”的逆否命题为()A．若a2≥b，则a≥b或a≤－bB．若a2＞b，则a＞b或a＜－bC．若a≥b或a≤－b，则a2≥bD．若a＞b或a＜－b，则a2＞b解析：因为“a 2＜b ”的否定为“a 2≥b ”，“－b ＜a ＜b ”的否定为“a ≥b 或a ≤－b ”，所以逆否命题为“若a ≥b 或a ≤－b ，则a 2≥b ”．答案：C3．(2018·唐山模拟)已知a ，b 为实数，则“a 3＜b 3”是“2a ＜2b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由于函数y ＝x 3，y ＝2x 在R 上单调递增，所以a 3＜b 3⇔a ＜b ⇔2a ＜2b ，即“a 3＜b 3”是“2a ＜2b ”的充要条件．答案：C4．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．答案：B5．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，∴x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q p ．故p 是q 的充分不必要条件．答案：A6．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．答案：B◆ 易错通关 ◆1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且BA )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A B )两者的不同．[小题纠偏]1．设a ，b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a 与b 的方向相同”的________条件．答案：必要不充分2．“在△ABC 中，若C ＝90°，则A ，B 都是锐角”的否命题为：________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，C ＝90°，结论：A ，B 都是锐角．否命题是否定条件和结论，即“在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不都是锐角”．答案：在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不都是锐角授课提示：对应学生用书第5页考点一命题及其关系自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．答案：D2．(2018·焦作质检)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：若|q |＝2，则q 2＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 2)(1＋q 2＋q 4)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 1(1－q 6)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q ，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.答案：B3．命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b D ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A1.判断命题真假的方法(1)判定一个命题是真命题，需经过严格推理证明，而要说明它是假命题，只需举出一个反例即可．(2)利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题具有相同的真假性对所给命题的真假进行间接判断．2．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．考点二充分必要条件的判定互动探究重点保分考点——师生共研[典例] (1)(2018·合肥教学质检)“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2018·衡阳联考)设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)由题意得x ＋1x ≥2⇔x ＞0，所以“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的充分不必要条件，故选A.(2)设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．(3)∵x 2－x －20＞0，∴x ＞5或x ＜－4，∴p ：x ＞5或x ＜－4.∵log 2(x －5)＜2，∴0＜x －5＜4，即5＜x ＜9，∴q ：5＜x ＜9，∵{x |5＜x ＜9}{x |x ＞5或x ＜－4}，∴p 是q 的必要不充分条件．故选B.答案：(1)A (2)C (3)B充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件.[即时应用]1．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.答案：A2．设a ，b ∈R ，则“log 2a ＞log 2b ”是“2a －b ＞1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：log 2a ＞log 2b ⇔a ＞b ＞0,2a －b ＞1⇔a ＞b ，所以“log 2a ＞log 2b ”是“2a －b ＞1”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x 2＋x x －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则( ) A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：由x 2＋x x －1≥0，即x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x ＞1.∵log 3(2x ＋1)≤0，∴0＜2x ＋1≤1，解得－12＜x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B. 答案：B考点三根据充分、必要条件求参数的取值范围变式探究母题变式考点——多练题型[典例] (2018·济南月考)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．是否存在实数m ，使得x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件？若存在，求出m 的取值范围．解析：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}＝{x |－2≤x ≤10}．要使x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件，则P ＝S ，即{x |－2≤x ≤10}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，此时，m 不存在，即不存在实数m ，使得x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件．[变式探究1]母题条件若改为“x ∈P 是x ∈S 的必要条件”，问题不变．解析：∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即x ∈S ⇒x ∈P ，∴S P ，∴1－m ＞1＋m 或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴m ≤3.[变式探究2] 母题条件若改为“綈P 是綈S 的必要不充分条件”，问题不变．解析：∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴S 是P 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P S ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＞1－m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，∴m ≥9.利用充要条件求参数的值或范围的关键点和注意点(1)关键点：是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．(2)注意点：注意区间端点值的检验.[即时应用]1．(2018·日照模拟)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1， ∴命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1. 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞1或x ＜12，綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12.答案：⎣⎡⎦⎤0，12 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案：(2，＋∞)课时作业单独成册对应学生用书第189页A 组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由|x －1|≤1，得0≤x ≤2，∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤20≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件，故选B.2．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.答案：C3．已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )A ．否命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”是真命题B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C ．逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D ．逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题解析：命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：D4．“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．答案：D6．(2018·惠州市调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.答案：C7．(2018·南昌十校模拟)命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.答案：D8．(2018·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.答案：A9．(2018·武汉市模拟)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a 1＞0，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )＜0⇒1＋q ＜0⇒q ＜－1⇒q ＜0，而a 1＞0，q ＜0，取q ＝－12，此时a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )＞0.故“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的必要不充分条件．答案：B10．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.答案：B11．(2018·南昌市模拟)a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.答案：A12．(2018·洛阳统考)已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ∩B ＝{4}，则m 2＋1＝4，∴m ＝±3，而当m ＝3时，m 2＋1＝4，∴“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．答案：A13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．解析：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B ．答案：充要14．“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的__________条件．解析：由log 12(x ＋2)＜0，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分不必要条件．答案：充分不必要15．命题“若x >1，则x >0”的否命题是__________．答案：若x ≤1，则x ≤016．如果“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________．解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1B 组——能力提升练1．(2018·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)＋a (7x ＋7－x )，x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知f (x )的定义域为R ，易知y ＝ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，y ＝7x ＋7－x 为偶函数．当a ＝0时，f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，充分性成立；当f (x )为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．故选C.答案：C3．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.答案：A4．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.故选A. 答案：A5．若a ，b 为正实数，且a ≠1，b ≠1，则“a ＞b ＞1”是“log a 2＜log b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。

高三数学(文)一轮教学案：第一章第1讲集合的概念及运算 Word版含解析

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念及运算考点一集合及其关系1集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于记为∈，不属于记为∉.(3)常见集合的符号集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中A B或B A的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)(1)利用集合元素的互异性找到解题的切入点．(2)在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.1．思维辨析(1){1,2,3}＝{2,3,1}．()(2)空集中只有一个元素0.()(3)集合{x2＋x,0}中实数x可取任意值．()(4)任何集合都至少有两个子集．()(5)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．()(6)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案D解析A＝{x∈N|x≤10}＝{0,1,2,3}而a＝22，∴a∉A.3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A＝() A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}答案C解析由U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,3,5,6}，∴∁U A＝{2,4,7}，故选C.4．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( ) A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7} C ．{2,4,7} D ．{2,5,7}答案 C解析由U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{1,3,5,6}，∴∁U A ＝{2,4,7}，故选C.[考法综述] 集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及集合与元素之间的关系及根据集合中元素的特性(特别是集合中元素的互异性)，来确定集合中元素的个数，或求参数的取值范围，属于基础题．命题法1 集合的基本概念典例1 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0D ．0或98 [解析] (1)当x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为1,0，－1；当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为2,1,0；∴B ＝{－2，－1，0,1,2}．∴集合B 中元素的个数是5个．(2)集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解集，且A 中只有一个元素，所以方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根．若a ＝0，则方程为－3x ＋2＝0，解得x ＝23，满足条件；若a ≠0，则二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根，即Δ＝(－3)2－8a＝0，解得a＝98，所以a＝0或a＝9 8.[答案](1)C(2)D【解题法】解决集合概念问题的一般思路研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．命题法2集合之间的关系典例2已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是(－∞，－1]．[答案](－∞，－1]【解题法】利用集合关系求参数取值范围及集合相等问题(1)根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论．注意点：注意区间端点的取舍．(2)若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解．1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A答案D解析由真子集的概念知B A，故选D.2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4 B．2C ．0D ．0或4答案 A解析 ax 2＋ax ＋1＝0只有一个根，当a ＝0时方程无解，当a ≠0，Δ＝0时，即a 2－4a ＝0，a ＝4，故选A.3.已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{x |x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}答案 D解析 B ＝{x |(x ＋1)(x －1)＝0}＝{－1,1}．若A ⊆B ，则有以下情况：当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B ；当a ≠0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝1a ，若A ⊆B ，则A ＝{－1}时，a ＝－1；A ＝{1}时，a ＝1；故当a ＝0，－1,1时满足A ⊆B .4．设集合P ＝{x |x >1}，Q ＝{x |x 2－x >0}，则下列结论正确的是( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．P ＝QD ．P ∪Q ＝R答案 A解析 ∵Q ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，又P ＝{x |x >1}，∴P ⊆Q ，故选A.考点二集合的基本运算1 集合的运算及性质名称交集并集补集符号 A ∩B A ∪B ∁U A 数学语言A ∩B ＝{x |x ∈AA ∪B ＝{x |x ∈A∁U A ＝{x |x ∈U且x∈B}或x∈B}且x∉A}图形运算性质A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩∅＝∅B⊆A∪B，A⊆A∪B，A∪∅＝AA∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(∁U A)＝A(1)A∪B＝A⇔B⊆A.(2)A∩B＝A⇔A⊆B.(3)A∩B＝A∪B⇔A＝B.(4)狄摩根定律：∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．注意点空集的特殊性在解题中，若未指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能，此时应分类讨论.1．思维辨析(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()(5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.()(6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁U P＝{2}．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√2．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}答案A解析A＝{x|(x－2)(x＋1)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又B为整数集，所以A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.3．已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B 有________个．答案8解析由A∪B＝{0,1,2}得B⊆A，所以B是A的子集．由A中有3个元素知B有23＝8个．[考法综述]集合的基本运算是历年高考的热点，常与函数、不等式、方程等知识综合考查，主要以选择题形式出现．命题法求交集、并集和补集典例(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝()A．[－2，－1] B．[－1,1]C．[－1,2) D．[1,2)(2)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}[解析](1)由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x<2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.(2)利用数轴分析求解．∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}．在数轴上表示，如图所示．∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．[答案](1)A(2)D【解题法】解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B ＝()A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{0,1,2}答案A解析因为B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<1}，A＝{－2，－1,0,1,2}，故A∩B＝{－1,0}．选A.2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)＝()A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}答案A解析由已知得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩(∁U B)＝{2,5}．3．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝()A．[0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．[1,2]答案C解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∴∁R P＝{x|0<x<2}，∴(∁R P)∩Q＝(1,2)．4．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B 等于()A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．∅答案C解析A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.5．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝()A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)答案B解析∵M＝{x|x≥0，x∈R}．N＝{x|x2<1，x∈R}＝{x|－1<x<1，x∈R}．∴M∩N＝{x|0≤x<1}，即M∩N＝[0,1)．故选B.6．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{0,1}B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2}D．{－1,0,1}答案C解析M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，M∪N＝{－1,0,1,2}，故选C.7.设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝()A．[0,2]B．(1,3)C．[1,3)D．(1,4)答案C解析A＝{x||x－1|<2}＝{x|－1<x<3}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}＝{y|1≤y≤4}，∴A∩B＝{x|－1<x<3}∩{y|1≤y≤4}＝{x|1≤x＜3}．8．设全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝lg (1－x )}，则∁R A ＝( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)答案 C解析 ∵y ＝lg (1－x )，∴1－x >0，即x <1，∴∁R A ＝{x |x ≥1}．9．已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，则A ∩B ＝( )A ．[－1,3]B ．{－1,3}C ．{－1,1}D ．{－1,1,3}答案 C解析 ∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0＝{x |－1≤x <3}，又集合A 为奇数集，∴A ∩B ＝{－1,1}，故选C.10.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≤2}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2} 答案 C解析由x 2－2x >0得x >2或x <0，即B ＝{x |x <0，或x >2}，∴A ∪B ＝{x |x <0，或x >1}，∴∁U (A ∪B )＝{x |0≤x ≤1}．11．集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( )A ．{0,1,2}B ．{0,1,3}C ．{0,2,3}D ．{1,2,3}答案 D解析因为M ∩N ＝{1}，所以log 3a ＝1，即a ＝3，所以b ＝1，即M＝{2,1}，N＝{3,1}，所以M∪N＝{1,2,3}，故选D.12．已知全集U，集合A⊆B⊆U，则有()A．A∩B＝B B．A∪B＝AC．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U B D．(∁U A)∪(∁U B)＝∁U B答案C解析∵A⊆B⊆U，∴A∩B＝A，故选项A不正确；A∪B＝B，故选项B不正确；(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝∁U B，故选项C正确；(∁A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)＝∁U A，故选项D不正确．故选C.U13．设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln (1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1}D．{x|x≤1}答案B解析易知A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y ＝ln (1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁U B＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．微型专题集合中的创新题型创新考向以集合为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，这类问题以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力．其命题形式常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等.创新例题已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77B．49C．45D．30答案C解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整点．集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．创新练习1.设集合S＝{A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j＝A k，其中k为i＋j被3除的余数，i，j∈{1,2,3}，则使关系式(A i⊕A j)⊕A i＝A0成立的有序数对(i，j)总共有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案C解析i＝1时，j＝1符合要求，i＝2时，j＝2符合要求；i＝3时，j＝3符合要求，所以使关系式(A i⊕A j)⊕A i＝A0成立的有序数对(i，j)有(1,1)，(2,2)，(3,3)，共3对．2．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．答案6解析因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上，符合条件的有序数组的个数是6.3．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集的容量之和为________．答案7解析根据题意，S4的所有奇子集为{1}、{3}、{1,3}，分析可得{1}的容量为1，{3}的容量为3，{1,3}的容量为3，则其容量之和为1＋3＋3＝7.创新指导1.准确转化：解决集合创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于集合创新问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解，同时注意培养学生领悟新信息、运用新信息的能力．已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N }，且A ∩B＝A ，则a 的所有可能值组成的集合是( )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14，0 [错解][错因分析] 集合A 为方程ax －1＝0的实数解构成的集合，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，A 可以为非空集合，也可以是空集．在解题中，很容易漏掉对A ＝∅的讨论，导致误选C.[正解] 由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .因为B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N }＝{x |2<x ≤4，x ∈N }＝{3,4}，当A ＝∅时，则方程ax －1＝0无实数解，所以a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意．当A ≠∅时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a . 要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或a ＝14.综上所述，a 的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14.故选D.[答案] D [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[·武邑中学模拟]已知集合A ＝{0,1}，B ＝{x |x ⊆A }，则下列集合A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A BC ．B AD ．A ∈B答案 D解析因为x ⊆A ，所以B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A ＝{0,1}是集合B 中的元素，所以A ∈B .故选D.2．[·枣强中学一轮检测]已知集合A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{0,1,2,3,5,9}，C ＝{2,4,8,10}，则A 可以是( )A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{4}D ．{2}答案 D解析解法一：因为A ⊆B ，A ⊆C ，所以A ⊆(B ∩C )，故集合A 可以是{2}，故选D.解法二：逐项验证，可知当A ＝{1,2}时，不满足A ⊆C ；同理可知当A ＝{2,4}和A ＝{4}时，不满足A ⊆B ，故选D.3．[·衡水中学周测]若集合A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 的非空子集的个数是( )A ．4B ．7C ．8D ．15答案 B解析解法一：因为x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n ，所以B ＝{5,6,7}，故B 的非空子集有{5}，{6}，{7}，{5,6}，{5,7}，{6,7}，{5,6,7}，共7个．解法二：因为x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n ，所以B ＝{5,6,7}，根据公式可得集合B 的非空子集的个数是23－1＝7.4．[·冀州中学月考]已知集合A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 B解析因为A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.故选B.5．[·武邑中学周测]设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，从而ba ＝－1，所以有a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2，故选C.6．[·衡水中学月考]已知集合A ＝(－2,5]，B ＝[m ＋1,2m －1]．若B ⊆A ，则m 的取值范围是( )A ．(－3,3]B ．[－3,3]C ．(－∞，3]D ．(－∞，3) 答案 C解析当B ＝∅时，m ＋1>2m －1即m <2，B ⊆A . 当B ≠∅时，由题意可画数轴m ≥2且⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－22m －1≤5解得2≤m ≤3.综上可知m ∈(－∞，3]，故选C.7．[·枣强中学猜题]设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1答案 C解析若M ∩N ＝N ，则N ⊆M .结合集合元素的互异性得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝－1，所以a ＝－1.故选C. 8．[·衡水中学期中]若集合A ＝{x |1≤3x ≤81}，B ＝{x |log 2(x 2－x)>1}，则A∩B＝()A．(2,4]B．[2,4]C．(－∞，0)∪(0,4]D．(－∞，－1)∪[0,4]答案A解析因为A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|30≤3x≤34}＝{x|0≤x≤4}，B ＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x<－1或x>2}＝{x|2<x≤4}＝(2,4]．9．[·武邑中学期中]已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)答案D解析由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．10．[·衡水中学期末]设全集U是实数集R，集合M＝{x|x2>2x}，N＝{x|log2(x－1)≤0}，则(∁U M)∩N为()A．{x|1<x<2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x<2}答案C解析x2>2x⇒x>2或x<0.M＝{x|x>2或x<0}，log2(x－1)≤0⇒0<x －1≤1,1<x≤2，N＝{x|1<x≤2}，(∁U M)∩N＝{x|1<x≤2}，故选C.11．[·冀州中学猜题]已知全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则下图中阴影部分表示的集合为()A ．{0,2}B ．{0,1,3}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}答案 C解析集合A ∪B ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{2}，阴影部分表示的集合为{1,3,4}．12．[·武邑中学仿真]已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝( ) A ．(1,2) B ．[0,2] C ．∅ D ．[1,2]答案 D解析 ∵2x <1，∴x －2x >0，∴x <0或x >2，∴M ＝{x |x <0或x >2}，∴∁R M ＝{x |0≤x ≤2}．∵y ＝x －1＋1，∴y ≥1，∴N ＝{y |y ≥1}，∴N ∩(∁R M )＝[1,2]，故选D.能力组13.[·衡水中学模拟]已知集合A ＝{0,1}，则满足条件A ∪B ＝{0,1,2,3}的集合B 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 D解析由题知B 集合必须含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共四个，故选D.14．[·冀州中学期中]已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A ．－32<a ≤－1B ．a ≤－32C ．a ≤－1D ．a >－32答案 C解析因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②得，a ≤－1.15. [·衡水中学仿真]已知集合A ＝{x |2x 2－2x <8}，B ＝{x |x 2＋2mx －4<0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，则实数m 等于________．答案 32解析由2x 2－2x <8，得x 2－2x <3，解得－1<x <3，所以A ＝{x |－1<x <3}．因为A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，所以B ＝{x |－4<x <1}．由不等式与方程之间的关系可得，－4,1是方程x 2＋2mx －4＝0的两根，所以－4＋1＝－2m ，即－2m ＝－3，解得m ＝32.16．[·枣强中学预测]已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2x ，－2≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，在集合A 中任意取一个元素a ，则a ∈B 的概率是________．答案 29解析依题意，函数y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1(－2≤x ≤2)的值域是A ＝{y |－1≤y ≤8}；由x 2＋2x －3≤0得－3≤x ≤1，即B ＝{x |－3≤x ≤1}，则A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1}，因此所求的概率等于1－(－1)8－(－1)＝29.第21页共21页。

2019版高考数学（理科,课标A版）一轮复习讲义：§11集合的概念及运算.docx

2019版⾼考数学（理科,课标A版）⼀轮复习讲义：§11集合的概念及运算.docx第⼀章集合与常⽤逻辑⽤语命题探究§1.1集合的概念及运算考纲解读考点内容解读要求⾼考⽰例常考题型预测热度 1 ?集合的含义与表⽰①了解集合的含义、元素与集合的属于关系；②能⽤⾃然语⾔、图形语⾔、集合语⾔（列举法或描述法）描述不同的具体问题了解 2017课标全国 U,2;2016四川，1题★★★2 ?集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的⼦集；②在具体情境中，了解全集与空集的含义2015 重庆，1; 2013江苏,4 选择题3 ?集合的基本运算①理解两个集合的并集⼸交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；②理解在给定集合中⼀个⼦集的补集的含义,会求给定⼦集的补集；2017课标全国I ,1； 2016课标全国 I ,1； 2014 课标I ,1醪题★★★分析解读1 ?理解、掌握集合的表⽰⽅法.能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系2能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交、并、补运算和性质.3 .要求具备数形结合的思想意识,会借助Venn 图、数轴等⼯具解决集合运算问题.4.命题以集合的运算为主,其中基本知识和基本技能是⾼考的热点.5.本节在⾼考中分值为5分左右,属于中低档题.能⼒要求） ------------------- 会僧绝对值不等式；理解正裟映数的性质；理解築合间的包含关系；理舗充分必要条件的盘义卢> 核⼼考点） -------------1.充分必製条件的判断 2绝对值不等式的解法 3⽌弦函数的图彖和性质命题规律〕 ------------------------ 以充分条件.必耍条件为栽休.考賁不等式的解法.零价转化思想■集合之间的关系，常以选择題的形式岀现，分值约为5分孕易错警⽰} 错解：B0<0<^.nRin 氐丄台-<+2jbt<02 b b keZ.因为-乎+"”<氐尹2后 OeZ ）->（kX 讣反之不成⽴?所以为必耍不充分条件.（逻出关系与集合关系的转化岀错〉错因分析：命題的逻辑关系与集合何的包含关系紧密相关.⼀般来说 “⼩范国=> ⼤范圃” ?错解中关系考出反r申储备知识） ----------------------充分条件?必耍条件与集合的关系：如果集合**1龙满圧条件从集合 B ?{xk 満⾜朵件从则仏⑴若*6,則p ?g,UPp 是q 的充分条件；（2）若4 = 則g*? 即P 是g 的必要条件；⑶若“乩则勺?即刃切的充要条件；（4）若⼈创 1L 必⼈则p 址g 的既不充分也不必要条件(2017天津.4. 5分)的A. 充分何不必要条件B. 必要⽽不充分条件C.充要条件m ch ⼋ u 、思路分析化简两个Cl知不第何的关系.利⽤为义,即可得別结论F 式.结合集合之［分必耍条件的定孕解答过程】 ----------------------答案:A 解析：||x,址⼄由（0.#烘罟*2后，⾈+2⽿的充分不必5?条件.解法⼆|e -誇|v 誇台0v60 0时.8inO以⾜充分不必耍条件.选AL ）?既不充分也不必耍条件没OER. M "I ⼇⼆lv IT ■址sin ⽕⼇"12五年⾼考考点⼀集合的含义与表⽰1.（2017 课标全国U 25 分）设集合A⼆{124}后{xlx—x+nrf}.若ACB={1},则B=（）A.{1,-3}答案c2.（2016四川，1,5分）设集合gxl-20W2},Z为整数集，则集合AQZ中元素的个数是（）A.3B.4C.5D.6答案C3.（2013⼭东,2,5分）已知集合A⼆{0,1,2},则集合B={x-y lx^A,yWA}中元素的个数是（）A.lB.3C.5D.9答案C4.(2017江苏,1,5分)已知集合A⼆{l,2},B={a,a*3}.若ACB={1},则实数a的值为 __________答案1考点⼆集合间的基本关系1.(2015重庆,1,5分)已知集合A⼆{123}后{2,3},则( )A.A=BB.Ai^B=n2.(2013江苏,4,5分)集合{?1,0,1}共有_______ 个⼦集.答案8考点三集合的基本运算1.(2017课标全国I ,1,5分)已知集合A={xlxA.AHB=(xlx<0}B.AUB=RC.AUB=(xlx>l}D.AnB=D答案A2.(2017 课标全Bin,1,5 分)已知集合A={(x,y)lx2+y=l}?B={(x,y)ly=x},则ACB 中元素的个数为(A.3B.2C.lD.O答案B3.(2017 天津,1,5 分)设集合A={l,2,6)?B={2,4),C={xeR|-lA.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{xERI?lWxW5}答案B4.(2016 课标全国I ,1,5 分)设集合A={x I x2-4x+3<0},B={x 12x-3>0},则ACB=( )A. B. C. D.答案D5.(2016课标全国U ,2,5 分)已知集合A={l,2,3),B={xl(x+l)(x-2)<0,xez},MAUB=( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案C6.(2016 天津,1,5 分)已知集合A={l,2,3,4),B={yly=3x-2,xeA},J!!lAnB=( )A.{1}7.(2014课标I ,1,5 分)已知集合A={xlx2-2x-3^0},B={xl-2^x<2),则ACB=( )A.[-2,-1]B.[-l,2)C.[-l,l]D.[l,2)答案A教师⽤书专⽤(8—24)8.(2017北京,1,5分)若集合A={xl-23},则AAB=( )A.(xl-2B.(xl-2C.{xl-1D.{xll答案A9.(2017浙江,1,5 分)已知集合P={xl-lA.(-1,2)B.(0,l)C.(-l,0)D.(l,2)答案A10.(2017⼭东,1,5分)设函数y⼆的定义域为A,函数y=ln(l -x)的定义域为B,则AAB=()A.(1,2)B.(l,2]C.(-2,l)D.[-2,l)答案D11.(2016课标全国⽫,1,5分)设集^S={xl(x-2)(x-3)>0},T={xlx>0},则S(1T=()A.[2,3]B.(-°O,2]U[3,+OO)C.[3,+S)D.(0,2]U[3,+B)答案DD.{-1,0,1,2}答案C13.(2016 浙江,1,5 分)已知集合P⼆{xURIlWxW3},Q={xWRIx2p4}、则PU((R Q)=( )A.[2,3]B.(?2,3]C.[l,2)D.(?8,-2]U[1,+OO)答案B14.(2016 ⼭东,2,5分)设集合A⼆{yly⼆2x,xER},B={xlx2-l<0},则AUB=( )A.(-1,1)B.(0,l)C.(-l,+°°)D.(0,+8)答案C15.(2015 课标n, 1,5 分)已知集合A={-2,-l,0,l,2),B={xl(x-l)(x+2)<0},则AQB=( )A.{-1,0} C.{-1,0,1} D.(0,l,2}答案A16.(2015 天津,1,5 分)已知全集U⼆{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A⼆{2,3,5,6},集合,3,4,6,7},则集合 A 门⾎()A.{2,5}B.(3,6}C.(2,5,6}D.{2,3,5,6,8}答案A17.(2015福建，1,5分)若集合AMi,i2,i',r}(i是虚数单位)，⾫{1,?1},则⼈门3等于()A.{-1}B.{1}C.(l,-1}D.⼝答案C18.(2015 四川，1,5 分)设集合A⼆{xl(x+l)(x-2)<0},集合B={xllA.(xI -lB.(xI -119.(2015 ⼴东,1,5 分)若集合M={xl(x+4)(x+l)=0},N={xl(x-4)(x-l)=0},则MCN=( )A.{1,4}B.{-l,-4}C.{0}D.⼝答案D20.(2014课标II ,1,5 分)设集合归{0,l,2},N={xlx2.3x+2W0},5!!lMCN=( )A.{1}B.{2}C.(0,l}D.{1,2)答案D21.(2014 辽宁,1,5 分)已知全集U⼆R,A⼆{xlxW0},B={xlxMl},则集合]u(AUB)=( )A. {x 1x^0} BjxlxWl}C.{xlOWxWl}D.(xl0答案D22.(2014 浙江，1,5 分)设全集U⼆{xWNIxM2},集合A⼆{x^NIx 空5},则[⼭⼆( )A.⼝B.{2}C.{5}D.{2,5}答案B23.(2015江苏,1,5分)已知集合A⼆{1,2,3}后{2,4,5},则集合⼈餌中元素的个数为_________ .答案524.(2016 江苏,1,5 分)已知集合A={-l,2,3,6},B={xl-2答案{-1,2}三年模拟A组2016—2018年模拟?基础题组考点⼀集合的含义与表⽰1.(2018 ⼴东茂名化州⼆模」)设集合A⼆{?101},B={xlx>0,xWA}^!lB=( )A.（-LO） C.（OJ） D.{1}B.2C.3D.4答案D考点⼆集合间的基本关系3.（2018四川成都龙泉⼀中⽉考,2）已知集合A=,B= {xIax+1 =0},且BUA,则a的取值组成的集合为（）AJ-3,2} BJ-3,O,2} C.{3,?2} D?{3,0,?2}答案D4.(2017河南南阳、信阳等六市⼀模,1)已知集合A={ (x, y) I y ? =0},B={ (x, y) I x2+y2= 1}，C=A C B,则C的⼦集的个数是( )A.OB.lC.2D.4答案c考点三集合的基本运算5.（2018豫南豫北第⼆次联考，1）已知集合A⼆{yIy⼆2*},B⼆{xIy=},则A门B=（A?{yly>l}答案BB.{yly>l}C.{yly>0} D?{ylyP0}6.（2018江西重点中学第⼀次联考，1 ）已知集合归，则帥⼆（）A.（XI - 1B. {x I - lC. {xlx<-l 或xMl}D.{xlxW?l 或xMl}答案C7.（2017⼴东惠州第三次调研,1）已知全集hR,集合A⼆{1,2,3,4,5},B= {x丘RIx⿐2},则图中阴影部分所表⽰的集合为（A.（0,l,2）B.（0,l）C.{1,2）D.{1）B组2016—2018年模拟?提升题组（满分:35分时间:20分钟）⼀、选择题（每⼩题5分，共30分）1.（2018 ⼴东茂名化州⼆模,1）若集合A⼆{0,1}后{yly ⼆2x,x^A},则（bA）QB=（）AJO} B?⑵ C.{2,4} D.{0丄2}答案B2.（2018吉林榆树第⼀⾼级中学第三次模拟J）设全集U⼆{1,3,5,6,9},A⼆{3,6,9}、则图中阴影部分表⽰的集合是（）A?{1,3,5}答案D3.（2018 四川南充⼀诊,2）已知集合A⼆{（x,y）ly=f（x）},B={（x,y）lx=l},则ACB 中的元素有（）A.1个B.1个或2个C.⾄多1个D.可能2个以上答案C4.（2017湖南永州⼆模,2）已知集合P⼆{xl JWxWl},归⼼},若PQM⼆□，则a的取值范围是（）C.[-l,l]D.（4,-1）U（1,+8）答案D5.（2017河北唐⼭摸底,1）已知集合AC （1,2,3,4,5},且AC{1,2,3}={1,2},则满⾜条件的集合A的个数为（）A.2B.4C.8D.16答案B6.（2016江西南昌⼗所省重点中学⼆模,2）设集合A=,B={xly=ln（x2-3x）},5!!jAnB中元素的个数是（）A.lB.2C.3D.4答案A ⼆、填空题（共5分）7.（2017江西九江地区七校联考,14）设A, B是⾮空集合淀义A?B={ x I x丘A U B且x电⑴B},已知壯{y I y=?x'+2x,C组2016—2018年模拟?⽅法题组⽅法1与集合元素有关问题的解题⽅略1.（2016湖南衡阳⼋中⼀模,1）已知集合A⼆{0,1} ,B={zlz⼆x+y,xWA,yWA}，则集合B的⼦集个数为（）A?3 B.4 C.7 D.8答案D⽅法2集合间的基本关系的解题⽅法2.（2017河北衡⽔中学七调,1）已知集合A⼆{x11 og2XA.（0,1]B.[l,+oo）C.（0,2]D.[2,+oo）答案D3.（2018河北衡⽔中学模拟，13）已知含有三个实数的集合既可表⽰成,⼜可表⽰成{a2,a+b,0}，则a20,W0,7等于________答案⽅法3集合的基本运算的解题⽅法4.(2017安徽淮北第⼆次模拟,2)已知全集U=R，集合M={ x I x+2诈0} ,N={xll ogi( x?1 )<1}、若集合M C ((uN)⼆{x I x⼆1或x M 3},那么a的取值为()A. a=B.aWC. a=-D.aM答案C5.（⼈教 A 必1,—,1?1A,7,变式）设全集U={xWNIxW8},集合4{1,3,7},B={2,3,8},则（CuA）门（应）=（）A.{1,2,7,8}B.{4,5,6}C.{0,4,5,6}D.{0,3,456}答案C⽅法4求解集合新定义问题的技巧6.（2018陕西西安长安质检,2）若x & A,且& A侧称A是伙伴关系集合,集合归的所有⾮空⼦集中具有伙伴关系的集合的个数是A.31B.7C.37.(2017湖北武昌⼀模,1)设A,B是两个⾮空集合淀义集合A?B={xlxUA,且x年B}.若A⼆{x￡NI0WxW5> ,B={xl/?7x+l(kO},则4 B=( )A.(0,1)B.{1,2)C.(0,l,2)D.(0,1,2,5}答案D。

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第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1集合与元素1．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．4．常见数集的记法考点2集合间的基本关系A B或B A∅⊆A∅B(B≠∅) 考点3集合的基本运算A∪B＝A∩B＝∁A＝[必会结论]1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．()(2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1 或m＝12.()(3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝∅，则ρ所满足的条件是ρ≥1.()(4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y ∈B}中有4个元素．()(5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x ＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}答案 A解析∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝()A．[－1,4] B．(0,3]C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]答案 A解析A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．选A.4．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则() A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅答案 A解析∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.5．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为()A．1 B．3 C．4 D．7答案 B解析因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁R B＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩(∁R B)＝{0,1}，故A∩(∁B)的真子集的个数为3.故选B.R板块二典例探究·考向突破考向集合的基本概念例1(1)[2017·郑州模拟]已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为() A．1 B．3 C．5 D．7答案 C解析由题意知A＝{－1,0,1}，当p＝－1，q＝－1，0,1时，p －q＝0，－1，－2；当p＝0，q＝－1,0,1时，p－q＝1,0，－1；当p ＝1，q＝－1,0,1时，p－q＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个．选C.(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.答案－1解析由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．故a＝0舍去．②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.触类旁通解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．【变式训练1】 (1)[2018·昆明模拟]若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x∈N *}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为________．答案 3解析解不等式x 2－9x <0可得0<x <9，所以A ＝{x |0<x <9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y ∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A ∩B ＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．答案－32解析因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.考向集合间的基本关系例 2 已知集合A ＝{x |x <－3或x >7}，B ＝{x |x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析由题意知2m －1≤－3，m ≤－1，∴m 的取值范围是(－∞，－1]．本例中的B 改为B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，其余不变，该如何求解？解当B ＝∅时，有m ＋1>2m －1，则m <2.当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，2m －1<－3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>7，解得m >6.综上可知m 的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)．本例中的A 改为A ＝{x |－3≤x ≤7}，B 改为B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又该如何求解？解当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时有m ＋1>2m －1，即m <2；当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－3，2m －1≤7，m ≥2，解得2≤m ≤4.综上可知m 的取值范围是(－∞，4]．触类旁通根据两集合的关系求参数的方法(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【变式训练2】设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B A ，求实数a 组成的集合C . 解 (1)由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5，∴A ＝{3,5}．若a ＝15，由ax －1＝0，得15x －1＝0，即x ＝5. ∴B ＝{5}．∴B A . (2)∵A ＝{3,5}，又BA ，故若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0；若B ≠∅，则a ≠0，由ax －1＝0，得x ＝1a . ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15. 故C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.考向集合的基本运算命题角度1 集合的交集及运算例 3 [2017·山东高考]设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( )A ．(－1,1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．(1,2)答案 C解析 ∵M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x <2}， ∴M ∩N ＝{x |0<x <2}∩{x |x <2}＝{x |0<x <2}．故选C.命题角度2 集合的并集及运算例 4 [2018·武汉模拟]设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x －x 2>0}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B 等于( )A ．{x |x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >1}D ．{x |x >0}答案 D解析由2x －x 2>0得0<x <2，故A ＝{x |0<x <2}，由y ＝e x ＋1得y >1，故B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝{x |x >0}．故选D.命题角度3 集合的补集及运算例 5 [2016·浙江高考]已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析 ∵Q ＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴∁R Q ＝(－2,2)，∴P ∪(∁R Q )＝(－2,3]．故选B.命题角度4 抽象集合的运算例 6 [2018·唐山统一测试]若全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＋1x －6≤0，B ＝{x |2x <1}，则下图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1≤x <0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |1≤x ≤6}答案 C解析 A ＝{x |－1≤x <6}，B ＝{x |x <0}，A ∩(∁U B )＝{x |0≤x <6}．选C 项．触类旁通集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和V enn图．核心规律解决集合问题，要正确理解有关集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性，采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．满分策略1.元素的属性：描述法表示集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)是正确求解集合问题的先决条件．2.元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3.空集的特殊性：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，要先考虑∅是否成立，以防漏解.板块三启智培优·破译高考创新交汇系列1——集合中的创新性问题[2018·吉林模拟]设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M＝{2,3,6}，则∁U M表示的6位字符串为________；(2)已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________．解题视点考查新定义问题，关键是正确理解题目中的新定义，利用集合间的关系及运算解决问题．解析(1)由已知得，∁U M＝{1,4,5}，则∁U M表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A∪B＝{1,3,6}，而A＝{1,3}，B⊆U，则B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6}，故满足条件的集合B的个数是4.答案(1)100110(2)4答题启示解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.跟踪训练设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A＝{1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有()A．10个B．11个C．12个D．13个答案 D解析“孤立元”是1的集合：{1}，{1,3,4}，{1,4,5}，{1,3,4,5}；“孤立元”是2的集合：{2}，{2,4,5}；“孤立元”是3的集合：{3}；“孤立元”是4的集合：{4}，{1,2,4}；“孤立元”是5的集合：{5}，{1,2,5}，{2,3,5}，{1,2,3,5}，共有13个．故选D.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅱ]设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则()A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅答案 C解析M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故选C.3．[2017·山东高考]设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2] C．(－2,1) D．[－2,1)答案 D解析∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)．故选D.4．已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{m }．若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[2，＋∞)C ．[－2,2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案 D解析因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，即m ∈A ，得m 2≥4，解得m ≥2或m ≤－2.故选D.5．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 B解析集合A 表示以原点O 为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合．由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.故选B.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析集合B ＝{1,2,3,4}，有4个元素，集合A ＝{1,2}，则集合C 的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题，即22＝4.7．[2018·陕西模拟]设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z|x 3－x ≥0，B＝{x ∈Z |x 2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x |0≤x <3}D ．{x |0≤x ≤3}答案 B解析题图中阴影部分表示的是A ∩B ，因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z|x x －3≤0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z|⎩⎪⎨⎪⎧x (x －3)≤0，x －3≠0＝{x ∈Z |0≤x <3}＝{0,1,2}，B ＝{x ∈Z |－3≤x ≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1,2}．故选B.8．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.9．[2018·郑州模拟]已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －m x －2<0，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案－1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.10．设m ，n ∈R ，集合{1，m ，m ＋n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，n ，n m ，则m －n ＝________.答案－2解析 ∵{1，m ，m ＋n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，n ，n m 且m ≠0， ∴m ＋n ＝0, 即m ＝－n ，于是nm ＝－1.∴由两集合相等，得m ＝－1，n ＝1，∴m －n ＝－2.[B 级知能提升]1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈R ，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－2，－1}答案 D解析因为A ＝(0，＋∞)，所以A ∩B ＝{1,2}，(∁R A )∪B ＝{y |y ≤0或y ＝1,2}，A ∪B ＝{y |y >0或y ＝－1，－2}，(∁R A )∩B ＝{－1，－2}．所以D 正确．2．[2018·湖南模拟]设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 B解析集合A 讨论后利用数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －1≤a ，解得1≤a ≤2或a ≤1，即a ≤2.故选B.3．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1答案 B解析由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确；由“权集”的定义可知a ja i 需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C ，D 错误．4．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R |ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z .解 (1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－52≤x ≤1，所以P ∩Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－52≤x ≤1∩Z ＝{－2，－1,0,1}． 5．[2018·南宁段考]已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．。