阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形及其性质一、阿基米德三角形的概念过圆锥曲线上任意两点作两条切线交于点Q ，则称△QAB 为阿基米德三角形．二、抛物线的阿基米德三角形的性质：（以抛物线22y px =为例） 性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．证明：设112200(,),(,)(,)A x y B x y Q x y ，，弦AB 的中点为(,)M M M x y ， 则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+， 联立两切线方程，解得1212,22y y y y x y p +==，所以1202y y y +=， 又122M y y y +=，所以0M y y =，即QM 平行于x 轴． 性质2 底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p． 证明：Q 到AB 的距离为2121212()224x x y y y y d QM p p+-≤=-=，设AB 方程为x my n =+， 则23222221211(1)()()428a a AB a m y y y y a d S ad p p ==+-⇒-≤⇒≤⇒=≤． 性质3 若阿基米德三角形底边AB 过抛物线内定点00(,)C x y ，则顶点Q 的轨迹方程为00()y y p x x =+．证明：设(,)Q x y ，则由性质1有1212,22y y y y x y p +==， 由AB AC k k =10122221210222y y y y y y y x p p p--⇒=--，化简得1201202()y y px y y y +=+， 即0000222()px px yy yy p x x +=⇒=+为Q 点的轨迹方程．推论 若阿基米德三角形底边AB 过焦点，则Q 点的轨迹为准线，且QA QB ⊥．性质4 阿基米德三角形底边的中线QM 的中点P 在抛物线上，且O 处的切线与AB 平行．证明：由性质1得12121212,,,2222y y y y x x y y Q M p p ⎛⎫+++⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，QM 中点21212(),82y y y y P p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 显然P 在抛物线上，过P 的斜率为122AB p k y y =+，故P 处的切线与AB 平行．性质5 在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠．证明：作','AA BB 垂直于准线，垂足分别为','A B ，如图，对22y px =两边求导得12'2'QA p p yy p y k y y =⇒=⇒=， 又1'FA y k p-=，所以'1'QA FA k k QA FA ⋅=-⇒⊥，又'AA AF =，设'A F 与QA 交于C ， 则'''','ACA ACF QAA QAF QAA QAF QA QF QA A QFA ∆≅∆⇒∠=∠⇒∆≅∆⇒=∠=∠， 同理可证'''90''90'QA A QA B QB A QB B QFA QFB ∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质6 在阿基米德三角形中有2AF BF QF ⋅=．证明：222221212121212()()()()2224244y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p +⋅=++=+++=++， 2221212()()222y y y y p QF p p +=-+=22221212()244y y y y p p +++，所以2AF BF QF ⋅=． 三．阿基米德焦点三角形的性质把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形．性质1 AB 过焦点F ，则PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，△PAB 面积的最小值为2p ．性质2 P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点，则P 在椭圆右准线上，且PF ⊥AB ,△PAB 面积的最小值为4b ac． 性质3 P 是双曲线22221x y a b-=过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点，则P 在双曲线右准线上，且PF⊥AB,△PAB面积的最小值为4bac．【拓展】当阿基米德三角形的顶角为直角时，有如下性质：对于圆222x y r+=，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y r+=对于椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=+；对于双曲线22221(0)x ya ba b-=>>，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=-．。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！你们知道吗？这个名字来源于古希腊的伟大科学家阿基米德，他可是解决了无数难题呢！那么，阿基米德三角形到底是个啥东西呢？别着急，我们一起来揭开它的神秘面纱吧！咱们来简单介绍一下阿基米德三角形。
它是一个特殊的三角形，每条边上的三个顶点都在一个圆上。
这个圆心就是三角形的重心。
你们可能听过一个成语叫做“百折不挠”，其实就是形容阿基米德三角形的特点。
因为无论你怎么旋转这个三角形，它的形状都不会改变，永远都是一个特殊的三角形。
现在，我们来说说阿基米德三角形的一些常用结论。
第一个结论是：阿基米德三角形的内切圆半径等于外接圆半径。
这个结论有点儿难理解，我们来举个例子说明一下。
假设我们有一个阿基米德三角形ABC,其中AB=AC=3,BC=4。
我们可以用勾股定理求出这个三角形的高AD=√(AC^2-CD^2)=√5。
接下来，我们用正弦定理求出外接圆的半径R:R=√(AD^2+BD^2)/2=(√5+2)/2。
然后，我们用面积公式求出内切圆的半径r:S=1/2(BC+AC+AB)*r=1/2*9*r,解得r=(4-√5)/2。
所以，阿基米德三角形的内切圆半径等于外接圆半径，都等于(4-√5)/2。
第二个结论是：阿基米德三角形的周长等于三条边的和。
这个结论很简单，因为周长就是三条边的长度之和嘛！所以，如果我们知道一条边AB的长度，那么另外两条边的长度之和就等于AB。
这就像我们在生活中遇到的一些问题一样，只要知道了一部分信息，就能推导出其他的信息。
接下来，我们来说说阿基米德三角形的一个重要性质：当一个角的对边与另一个角的邻边成比例时，这两个角相等。
这个性质有时候在解决几何问题时非常有用。
比如，我们知道一个角的对边与另一个角的邻边成比例，那么我们就可以用正弦定理求出这两个角的大小。
具体方法是：设这两个角分别为A和B,那么根据正弦定理，有sin(A)/sin(B)=对边/邻边。
抛物线阿基米德三角形二级结论推广
抛物线阿基米德三角形问题是一个数学领域的经典问题，在本文中，我们将结合相关数学理论和实际运用进行深入探讨、分析及推广。
一、抛物线阿基米德三角形概念及原理抛物线阿基米德三角形是通过将一个抛物线分成若干小等分，然后将每个小等分的顶点与该小等分所在的位置上的斜率相连，将所有这些相连的线段所形成的图形，称为抛物线的阿基米德三角形。
该问题的提出是为了研究曲线上的直线与曲线的交点及其有关性质。
二、抛物线阿基米德三角形的基本性质及特点1. 抛物线的阿基米德三角形具有三条相交于一个点的特点，该点即为抛物线的焦点。
2. 抛物线的阿基米德三角形形状具有一定的规律性，不同抛物线的阿基米德三角形形状可能有所不同，但都具备三条相交于一个点的共同特点。
3. 抛物线的阿基米德三角形结构清晰简洁，可以通过数学方法进行精确的构造。
三、抛物线阿基米德三角形的实际应用1. 数学教育领域：抛物线阿基米德三角形可以作为数学教学中的经典案例，通过该案例的讲解和分析，可以帮助学生更深入地理解曲线与直线的交点问题，增强他们的数学思维和分析能力。
2. 工程设计领域：在工程设计中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以应用于某些特定的曲线结构问题的求解和设计，为工程设计师提供一种新的思路和方法。
3. 计算机图形学领域：在计算机图形学中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以帮助程序设计师更好地理解和处理曲线与直线的交点问题，提高程序设计的精确度和效率。
四、抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广1. 根据抛物线阿基米德三角形的相关理论，可以进行进一步的推广和拓展，将抛物线阿基米德三角形的概念和原理应用于更加复杂和多样化的曲线和图形结构中，发现新的数学规律和特点。
2. 抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广可以帮助人们更深入地理解曲线与直线的交点问题，并在实际问题的解决中更加灵活地运用相关数学理论和方法。
五、结语通过对抛物线阿基米德三角形问题的深入探讨、分析及推广，我们可以更好地理解曲线与直线的交点问题，并将相关数学理论和方法应用于实际问题的解决中，为促进数学理论和实际应用的结合做出更大的贡献。
阿基米德三角形性质与高考题
阿基米德三角形性质与高考题性质1即：)2,2(2121y y p y y Q +19．（07年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，．（1）若2=⋅，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由．（4分）19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分． 解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫-⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=． 故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点．性质2：2||||||QF BF AF =⋅例7．（13广东）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.性质3：QFB QFA ∠=∠22．（05江西）如图，设抛物线上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.22．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠ ∴∠AFP=∠PFB.性质4：过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为2p（21）（06年全国卷2）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
专题一 阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST 的垂心在上。
性质9 |AF |·|BF |=|QF |2.性质10 QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 。
性质11 在性质8中，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的 倍。
例1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C yx 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA =∠PFB .解：（1）设切点A 、B 坐标分别为2201110(,)(,)(()x x x x x x 和，∴切线AP 的方程为：20020;x x y x 切线BP 的方程为：21120;x x yx解得P 点的坐标为：0101,2PPx x x y x x所以△APB 的重心G 的坐标为 ，222201010101014(),3333P pPGx y y y y x x x x x x x x y所以234p GG y y x ，由点P在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42).3xyx yx x 即（2）方法1：因为221000111111(,),(,),(,).4244x x FAx x FP x x FB x x 由于P 点在抛物线外，则||0.FP∴201010012220111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FA AFPFP FA FP FP x x同理有20110110122211111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FB BFPFP FB FP FP x x∴∠AFP =∠PFB . 方法2：①当1010000,,0,0,x x x x x y 时由于不妨设则所以P 点坐标为1(,0)2x ，则P 点到直线AF 的距离为：211111||14;:,24x x dBF yx x 而直线的方程即211111()0.44x x x yx所以P 点到直线BF 的距离为：221111112222211||11|()|()||42442121()()44x x x x x x d x x x所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB . ②当100x x 时，直线AF 的方程：2020011114(0),()0,4044x yx x x x yx x 即直线BF 的方程：212111111114(0),()0,444x yx x x x yx x 即所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001122220111|()()||)()||42424121()44x x x x x x x x x x x d xx x ，同理可得到P 点到直线BF 的距离102||2x x d ，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． ……4分 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |．|FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4 ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以 |AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2yx 相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c 交于,P Q ，（1）若2OA OB，求c 的值；（5分） （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由。
抛物线——阿基米德三角形
解析几何——阿基米德三角形知识点：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形。
因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3预备知识：1.过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +=2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +-=3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +=4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-=阿基米德三角形有一些有趣的性质：性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+，联立方程组得1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点Q (122y y p ，122y y +)，进而可知QM ∥x 轴.性质2：QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行．证明：由性质1知Q (122y y p ，122y y +)，M 1212(,22x x y y ++，易得P 点坐标为21212()(,82y y y y p ++，此点显然在抛物线上；过P 的切线的斜率为121222p p y y y y =++=ABk ，结论得证．性质3如图，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的2倍．证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB 、△TBI 、△SAI ；应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23；设BI 与抛物线所围面积为1S ，AI 与抛物线所围面积为2S ，AB 与抛物线所围面积为S ，则123322ABI QAB QST S S S S S =--- =12333222QST S S S S --- =123()2QST S S S S --- =32ABI QST S S - ，∴ABI S = 2QST S ．性质4：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线证明：设Q (x ，y )，由性质1，x =122y y p ，y =122y y +，∴122y y px=由A 、B 、C 三点共线知10122221210222y y y y y y y x p p p--=--，即21121020y y y y x y x +--2102y py =-，将y =122y y +，122y y px =代入得00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程.性质5：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．利用两式相减法易求得以C 点为中点的弦的斜率为0p y ，因此该弦与Q 点的轨迹即直线l 平行．性质6若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如上图，设l 方程为0ax by c ++=，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 过点C 00(,)x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点C （c a ，bp a-）.性质7（1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q 在准线上，则底边过焦点．（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为2p ．证明（2）：若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点轨迹方程为2p x =-即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=-，即QA ⊥QB ，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点；∴|QM |=122x x ++2p =22124y y p++2p ≥122||4y y p +2p =224p p +2p =p ，而121||()2QAB S QM y y =- ≥12||||QM y y ⋅≥2p性质8底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．证明：|AB |=a ，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知1212||22x x y y d QM p +≤=-221212244y y y y p p +=-=212()4y y p-，设直线AB 方程为：x my n =+，则2221(1)()a m y y =+-∴221()y y -≤2a ，∴d ≤24a p ，即S =12ad ≤38a p.性质9在阿基米德三角形中，∠QFA =∠QFB ．证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接QA '、QB '、QF 、AF 、BF ，则1'FA y k p=-，显然'1FA QA k k ⋅=-，∴FA '⊥QA ，又∵|AA '|=|AF |，由三角形全等可得∠QAA '=∠QAF ，∴△QAA '≅△QAF ，∴|QA '|=|QF |，∠QA 'A =∠QFA ，同理可证|QB '|=|QF |，∠QB 'B =∠QFB ，∴|QA '|=|QB '|，即∠QA 'B '=∠QB 'A '∴∠QA 'A =∠QA 'B '+900=∠QB 'A '+900=∠QB 'B ,∴∠QFA =∠QFB ，结论得证．特别地，若阿基米德三角形的底边AB 过焦点F ，则QF ⊥AB.性质10|AF |·|BF |=|QF |2．证明：|AF |·|BF |=12(()22p p x x +⋅+=21212()24p p x x x x +++=212(2y y p +22124y y ++24p ，而|QF |2=221212()()222y y y y p p +-+=212()2y y p +22124y y ++24p =|AF |性质11在抛物线上任取一点I （不与A 、B 重合），过I 作抛物线切线交QA 、QB 于S 、T ，则△QST 的垂心在准线上．证明：设211(2,2)A pt pt 、222(2,2)B pt pt 、233(2,2)I pt pt ，易求得过B 、I 的切线交点T 2323(2,())pt t p t t +，过T 向QA 引垂线，其方程为1231232()4t x y p t t pt t t +=++，它和抛物线准线的交点纵坐标123123()4y p t t t pt t t =+++，显然这个纵坐标是关于123,,t t t 对称的，因此从S 点向QB 引垂线，从Q 点向ST 引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证．例1：（2019年台州高三期末21）设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）若点P 为(1,0)-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 为圆22(2)1x y ++=上的点，记两切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求1211||k k -的取值范围．解：（Ⅰ）设直线PA 方程为11x m y =-，直线PB 方程为21x m y =-.由121,,x m y y x =-⎧⎨=⎩可得2110y m y -+=.因为PA 与抛物线相切，所以21=40m ∆-=，取12m =，则1A y =，1A x =.即(1,1)A .同理可得(1,1)B -.所以AB ：1x =.（Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线PA 方程为1100y k x k x y =-+，直线PB 方程为2200y k x k x y =-+.由11002,,y k x k x y y x =-+⎧⎨=⎩可得211000k y y k x y --+=.因为直线PA 与抛物线相切，所以1100=14()k k x y ∆--+20101=441=0x k y k -+.同理可得20202441=0x k y k -+,所以1k ，2k 时方程200441=0x k y k -+的两根.所以0120y k k x +=，12014k k x =.则12k k -==.又因为2200(2)1x y ++=，则031x -≤≤-，所以1211||=k k -1212=k k k k-4,⎡∈⎣.P A B Oxy例2：已知点H (0,-8),点P 在x 轴上,动点F 满足PF ⊥PH ,且PF 与y 轴交于点Q ,Q 是线段PF 的中点.(1)求动点F 的轨迹E 的方程;(2)点D 是直线l :x-y-2=0上任意一点,过点D 作E 的两条切线,切点分别为A ,B ,证明:直线AB 过定点.解:(1)设F (x ,y ),y ≠0,P (m ,0),Q (0,n ),则 =(-m ,-8), =(-m ,n ),∵PF ⊥PH ,∴m 2-8n=0,即m 2=8n ,=0, ,∴ =− , = 2,代入m 2=8n ,得x 2=4y (y ≠0).故轨迹E 的方程为x 2=4y (y ≠0).(2)证明:设D (x 0,x 0-2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵直线DA 与抛物线相切,且y'= 2,∴k DA = 12,∴直线DA 的方程为y= 12x-y 1,∵点D 在DA 上,∴x 0-2= 12x 0-y 1,化简得x 0x 1-2y 1-2x 0+4=0.同理,可得B 点的坐标满足x 0x 2-2y 2-2x 0+4=0.故直线AB 的方程为x 0x-2y-2x 0+4=0,即x 0(x-2)-2(y-2)=0,∴直线AB 过定点(2,2).练习1.已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM 与BM 相交于点M，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D、E，求△QDE 的面积S 的最小值．练习2．如图，点F 是抛物线τ：22x py =（0p >）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且()2,0AF = ，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 斜率分别为1k ，2k ．（1）求抛物线τ的方程；（2）若212k k -=，点D 是抛物线在点B ，C 处切线的交点，记BCD ∆的面积为S ，证明S 为定值．欢迎扫码关注公众号“数学HOME”，获取本文（包括练习详解）及更多资料的WORD版。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 培优点11 阿基米德三角形
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章培优点11 阿基米德三角形三角形叫做阿基米德三角形.如图.性质1 阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴.性质2 若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以C点为中点的弦平行.性质3 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点(若直线l方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为性质5 若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2.例 (多选)(2023·南平模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作抛物线的弦与抛物线交于A ，B 两点，M 为弦AB 的中点，分别过A ，B 两点作抛物线的切线l 1，l 2，l 1，l 2相交于点P .下面关于△P AB 的描述正确的是A.点P 必在抛物线的准线上B.AP ⊥PBC.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则△P AB 的面积S的最小值为D.PF ⊥AB √√√先证明出抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y ＝px＋px0.证明如下：切线方程为y0y＝px＋px0.由根与系数的关系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，对于A，抛物线y2＝2px在点A处的切线方程为y1y＝px＋px1，即点P 在抛物线的准线上，A 正确；所以AP⊥PB，B正确；对于D，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF⊥AB；综上，PF⊥AB，D正确；思维升华(1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质.(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，则阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.跟踪训练 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F 与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB 面积的最大值.由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，由题意可知直线AB的斜率存在，则Δ＝16k2＋16b>0(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，即P(2k，－b).因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，所以当b＝5时，t取得最大值，t max＝5，此时k＝0，能力提升1.若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”，当弦AB经过抛物线的焦点F时，△P AB具有以下特征：①点P必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△P AB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为√A.x－2y－1＝0B.2x＋y－2＝0C.x＋2y－1＝0D.2x－y－2＝0123456设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为△P AB为“阿基米德三角形”，且弦AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(－1,4)，即x－2y－1＝0.2.我们把抛物线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的△P AB(P 为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”.当弦AB经过抛物线的焦点F时，△P AB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②P A⊥PB；③PF⊥A B.已知直线l：y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的“阿基米德三角形”P AB的面积为√抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，直线l：y＝k(x－1)经过抛物线的焦点，依题意，k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得k2＝1，即k＝±1，当k＝1时，因为△P AB为“阿基米德三角形”，则直线PF的斜率k PF＝－1，直线PF的方程为y＝－x＋1，点P必在抛物线的准线x＝－1上，3.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△P AB的面积最大值为√方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，32232(1)k 当k ＝0时，(S △P AB )max ＝32.4.(多选)(2024·廊坊模拟)如图，△PAB 为阿基米德三角形.抛物线x 2＝2py (p >0)上有两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以A ，B 为切点的抛物线的切线P A ，PB 相交于点P .则下列结论正确的为A.若弦AB 过焦点，则△P AB 为直角三角形且∠APB＝90°B.点P 的坐标是C.弦AB 所在直线的方程为(x 1＋x 2)x －2py －x 1x 2＝0D.△P AB 的边AB 上的中线与y 轴平行(或重合)√√√联立x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0，所以P A⊥PB，即∠APB＝90°，故A正确；化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正确.5.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于该弦所形成的阿基米德三角形面积的 .已知A(－2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2＝4y上两点，则在A点处抛物线C的切线－1的斜率为______；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为_____.所以在A点处抛物线C的切线的斜率为－1，切线方程为y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，同理在B点处抛物线C的切线方程为y＝x－1，所以两切线的交点为P(0，－1)，Q处的切线分别交P A，PB于点M，N.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，由根与系数的关系得x1x2＝－2pb，设抛物线C：x2＝2py在点A处切线方程为y－y1＝t(x－x1)，设点Q (x 0，y 0)，本课结束。
抛物线阿基米德三角形常用结论
【题目】探索抛物线阿基米德三角形常用结论一、引言抛物线阿基米德三角形是数学中一个经典且重要的概念，其常用结论在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将从简到繁，由浅入深地探讨抛物线阿基米德三角形的常用结论，旨在帮助读者更深入地理解这一概念。
二、抛物线阿基米德三角形的定义和性质回顾抛物线阿基米德三角形是由一条抛物线和两条其切线所构成的三角形。
其性质包括边长关系、角度关系、面积计算等内容。
在具体的问题中，我们经常会用到抛物线阿基米德三角形的各种性质来解决实际问题。
三、抛物线阿基米德三角形的常用结论1. **关于边长的结论**针对抛物线阿基米德三角形，我们可以得出与边长相关的重要结论，例如三边关系、高度计算公式等。
这些结论在解题过程中起到至关重要的作用。
2. **关于角度的结论**抛物线阿基米德三角形中角度的关系也是我们经常需要用到的，例如两个对应角相等的性质等。
这些结论在解题过程中能够帮助我们更加深入地理解问题的本质。
3. **关于面积的结论**面积是解决问题中不可或缺的要素，抛物线阿基米德三角形的面积计算公式以及相关的性质是我们解题过程中的利器，通过这些结论我们可以更加方便地求解各种问题。
四、个人观点和理解抛物线阿基米德三角形的常用结论在数学和物理学中具有重要的地位，它们不仅能够帮助我们解决具体问题，还能够拓展我们的数学思维和逻辑推理能力。
在实际解题过程中，对于这些常用结论的灵活运用往往能够事半功倍。
五、总结通过本文的全面探讨，相信读者对抛物线阿基米德三角形的常用结论有了更深入的理解和认识。
在今后的学习和应用中，希望读者能够灵活运用这些结论，不断拓展自己的数学视野。
【结语】抛物线阿基米德三角形的常用结论是数学学习中的重要内容，希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
也希望读者在学习过程中保持好奇心和求知欲，不断探索数学的奥秘。
以上是根据你提供的内容、主题或概念撰写的文章，希望能够满足你的需求。
如果需要进一步修改或添加其他内容，请随时告诉我。
阿基米德三角形及其性质
1
1
2
2
3
3
易求得过 B、I 的切线交点 T (2 pt t , p(t t )) ，
23
2
3
过 T 向 QA 引垂线，其方程为
2t x y p(t t ) 4 pt t t ，
1
2
3
123
它和抛物线准线的交点纵坐标
y p(t t t ) 4 pt t t ，
123
123
显然这个纵坐标是关于 t , t , t 对称的，因此从 S 点向 Q 123
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐标为
2
2
( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点显然在抛
8p
2
物线上；过 P 的切线的斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，结论得证．
2
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI； 应用阿基米德三角形的性质：
t－ 2＝8t， 2＝16t2，
B
A
OQ
E
D
F
P
解得 t＝－1，此时SS△△QPDAEB＝2， 故存在 t＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
F
（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A
阿基米德原理内容
阿基米德原理内容阿基米德原理是古希腊数学家阿基米德提出的重要的几何原理，包括直角三角形、平行三角形和梯形的定理。
其中，最著名的是直角三角形定理，即任意直角三角形的两条直角边之平方之和等于斜边的平方。
这个定理被记录在公元前300多年左右，是古希腊文明最重要的几何学成果之一，是几何学中最经典最流行的定理。
直角三角形的定理的证明非常的直观，可以通过等边三角形的定理来证明。
设直角三角形ABC的两个直角边长分别为a和b，斜边长为c，能够构造一个等边三角形DEF，使得DE=DF=a+b，EF=c，可以得到DE的平方加上EF的平方等于DF的平方。
将三角形移到一起，得到三角形ABC；由于存在对称性，可以得到a的平方加上b 的平方等于c的平方，即直角三角形定理。
阿基米德原理也是三角形定理的延伸和推广。
阿基米德提出的三角形定理，包括直角三角形、平行三角形和梯形的定理。
直角三角形定理是所有定理中最重要的，其次是平行三角形定理，即如果三角形中有两条对边平行，则它们的斜边的长度之积等于它们的两个直角边的长度之积。
最后是梯形定理，即如果三角形中有两条对边平行，则它们的两个斜边的长度之和等于它们的两个平行边的长度之和。
阿基米德原理历史悠久，其在数学史上的地位不可撼动。
它的发现极大地推动了几何学的发展，启发了科学家们思考和解答自然界问题的思路，影响着每一个人在日常生活中的思维方式。
也正是基于阿基米德原理，人们发展出了非常重要的应用，包括普尔兹定理、司马库斯定理、朗伯定理等。
阿基米德原理是古希腊数学家阿基米德提出的基础理论框架，它说明了三角形的几何性质，包括直角三角形、平行三角形和梯形的定理。
其中最著名的是直角三角形定理，即任意直角三角形的两条直角边之平方之和等于斜边的平方，它很容易通过等边三角形的定理来证明。
阿基米德原理作为古希腊文明最重要的几何学成果之一，在数学史上有着极高的地位，影响着今天的科学家和日常生活的思维方式，也为人们更深入地探索自然界奠定了坚实的基础。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！这个名字听起来就很酷炫，是不是？那你知道阿基米德三角形有哪些常用结论和证明吗？别着急，让我们一起来揭开它的神秘面纱吧！我们来了解一下什么是阿基米德三角形。
阿基米德三角形是一个古老的几何图形，它的每个顶点都是一个等边三角形的内切圆与外接圆的交点。
这个图形看起来有点像一个金字塔，但是它有很多神奇的性质和结论哦！1. 阿基米德三角形的内角之和是180度。
这个结论很简单，因为每个小三角形的内角都是60度，而一个大三角形的内角之和就是3个小三角形的内角之和，也就是180度。
2. 阿基米德三角形的边长比是一个恒定的值。
具体来说，如果一个大三角形的边长分别是a、b、c,那么它的内切圆半径r、外接圆半径R和边长比之间的关系就是：(a+b+c)/2 = R + r = (a+b+c)/2R。
这个关系式告诉我们，无论阿基米德三角形的大小如何变化，它的边长比总是保持不变。
3. 阿基米德三角形的面积可以通过海伦公式计算。
海伦公式是一个关于三角形面积和三边长之间关系的公式，它的形式是：S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),其中S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形的三边长。
阿基米德三角形的面积可以通过将大三角形的面积除以9得到，即：S = (a+b+c)/2 * R^2 / 9。
4. 阿基米德三角形可以用来计算任意多边形的面积。
这个结论可能有点难以理解，但是它可以帮助我们解决很多实际问题。
比如说，我们知道一个正方形的面积是边长的平方，那么我们可以通过阿基米德三角形的方法计算出任意多边形的面积。
具体做法是先将多边形划分成若干个小三角形，然后根据阿基米德三角形的性质计算出每个小三角形的面积，最后将这些小三角形的面积相加就可以得到整个多边形的面积了。
5. 阿基米德三角形可以用来求解复杂的数学问题。
比如说，我们知道一个圆的周长是πd,其中d是直径。
导数阿基米德三角形
导数阿基米德三角形阿基米德三角形（Archimedes' Triangle）与导数的关系可以从几何和物理两个角度进行深入探讨。
首先，从纯几何的角度来看，阿基米德三角形是一个与抛物线及其准线紧密相关的三角形。
假设我们有一个开口向上的抛物线，其方程为 y = ax² + bx + c（a > 0），其准线为y = -p（p 是一个常数）。
现在，如果我们在抛物线上取任意一点 A，并从这个点作垂线到准线，交准线于点 B，再从点 A 作水平线交准线于点 C，那么形成的三角形 ABC 就是阿基米德三角形。
这个三角形有一个有趣的性质：其面积等于点 A 到抛物线焦点的距离与点 A 到准线距离的乘积的一半。
即，面积 S = (AF × AB) / 2，其中 AF 是点 A 到抛物线焦点的距离，AB 是点 A 到准线的距离。
接下来，我们引入导数的概念。
在微积分中，导数描述了一个函数在某一点处的斜率。
对于抛物线 y = ax² + bx + c，其导数 y' = 2ax + b 描述了函数在任何点处的切线斜率。
现在，让我们回到阿基米德三角形。
如果我们考虑抛物线上一个微小的变化量Δx，那么对应的Δy 就是函数在这个变化量下的增量。
而Δy / Δx 就是这个微小变化下的平均斜率，当Δx 趋近于 0 时，这个平均斜率就变成了函数在该点的导数。
因此，我们可以说，阿基米德三角形的面积变化与抛物线的导数有着密切的关系。
当我们在抛物线上移动时，随着Δx 的变化，阿基米德三角形的面积也会发生变化，而这个变化率就是抛物线的导数。
从物理的角度来看，阿基米德三角形和导数的关系还可以通过抛体运动来体现。
假设我们有一个物体从一个点被抛出，其运动轨迹是一个抛物线。
那么，这个物体在任意时刻的速度、加速度等物理量都可以通过抛物线的导数来描述。
而物体在任意时刻的位置与抛出点的距离，以及这个距离随时间的变化率，都与阿基米德三角形的面积和面积的变化率有关。
阿基米德三角形
高考解析几何热点——阿基米德三角形阿基米德三角形 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.一条弦与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线交于Q 点，△ABQ 即为阿基米德三角形.证明以下性质所需要的结论：抛物线的切线与切点弦抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=； 抛物线)0(22>=p px y 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为 )(00x x p y y +=.抛物线)0(22>=p py x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(00y y p x x +=； 抛物线)0(22>=p py x 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为：)(00y y p x x +=.性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为：22()y y p x x =+，联立方程组得：1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点1212,22y y y y Q p⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可知x QM //轴. 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线.证明：设(,)Q x y ，),(00y x C 由性质1得1212,22y y y y x y p +==，所以 122y y px =。
由,,A B C 三点共线知 10122221210222y y y y y y y x p p p--=-- 即 221121020102y y y y x y x y py +--=-将 1212,22y y y y y px +== 代入得 00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程. 特别地，弦AB 过抛物线的焦点)0,2(p F ，Q 点的轨迹方程为抛物线准线：2p x -=.性质3：若直线l 与抛物线没有公共点，点Q 直线l 上的动点，则切点弦AB 一定过抛物线内的某一定点.证明：设l 方程为0ax by c ++=，且1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 过点00(,)C x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程为00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点,c bp C aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 特别地，若点Q 是准线：2p x -=上的动点，则切点弦AB 一定过焦点)0,2(p F .l性质4：在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠.证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接,,,,AQ QB QF AF BF ''，则1FA y k p '=-， 显然1'-=⋅QA FA k k ，所以 FA QA '⊥，又因为 AA AF '=，由三角形全等可得 QAA QAF '∠=∠，所以,QAA QAF QA QF QA A QFA '''≅⇒=∠=∠ 同理可得 ,QB QF QB B QFB QA QB QA B QB A ''''''''=∠=∠⇒=⇒∠=∠ 所以 009090QA A QA B QB A QB B QFA QFB ''''''∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质5：2AF BF QF ⋅=证明：2121212()2224p p p p AF BF x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221212244y y y y p p ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭而222222212121212222244y y y y y y y y p p QF AF BF p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=++=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质【概念】一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一SAB ∆即为阿基米德三角形）.重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.图（一） 图（二）阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论. 【证明】：如图（三）SM 是SAB ∆中AB 边上的中线，则SM 平行于x 轴（下面的性质1证明会证到），过M '作抛物线的切线，分别交SA 、SB 于,A B ''，则A AM ''∆、B BM ''∆也是阿基米德三角形，可知A C '是A AM ''∆中AM '边上的中线，且A C '平行于x 轴，可得点A '是SA 的中点，同理B '是SB 的中点，故M '是SM 的中点，则SA B S ''∆是M AB S '∆的12，由此可知：A A C S '''''∆是C M A S ''∆的12，B B D S '''''∆是D M B S ''∆的12，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的12，累加至无穷尽处，便证得重要结论.【性质1】：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，联立方程，1212px y =，2222px y =，解得两切线交点)2,2(2121y y p y y Q +【性质2】：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线；【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，00(,)C x y 为抛物线内的定点，弦AB 的过定点C ，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，则设另一顶点(),Q x y ''，满足11()y y p x x ''=+且22()y y p x x ''=+，故弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，又由于弦AB 过抛物线内的定点00(,)C x y ，故00()y y p x x ''=+，即点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .【性质3】：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹；【证明】：由【性质2】的证明可知：点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .因为点C 为弦AB 的中点，故Q 的轨迹方程为121222y y x x y p x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，斜率122p k y y =+；而弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，由【性质1】的证明可知：122y y y +'=，122y yx p'=，故弦AB 所在的直线方程为121222y y y y y p x p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，斜率122pk y y =+，又因为直线AB 与Q 的轨迹方程不重合，故可知两者平行. 【性质4】：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线l 方程为：0ax by c ++=，则定点的坐标为,c bp C aa ⎛⎫− ⎪⎝⎭；【证明】：任取直线l ：0ax by c ++=上的一点()0,o Q x y ，则有000ax by c ++=，即00a cy x b b=−−┅①，过点Q 作抛物线22y px =的两条切线，切点分别为,A B ，则又由【性质2】的证明可知：弦AB 所在的直线方程为00()y y p x x =+，把①式代入可得：()00a c x y p x x b b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，即0a c y p x px yb b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，令0a y p b −−=且 0c px y b +=，可得：弦AB 所在的直线过定点,c bp C a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭.【性质5】：底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为pa 83；【证明】：AB a =，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知：22212121212122()22444x x y y y y y y y y d QM p p p p++−≤=−=−=（直角边与斜边），设直线AB 的方程为 x my n =+，则2221(1)()a m y y =+−，所以2322121()428a a y y a d s ad p p−≤⇒≤⇒=≤. 【性质6】：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为2p ；【证明】：由性质2，若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点的轨迹方程是2px =−，即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=−，即QA QB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点。
阿基米德三角形的几个结论_熊昌进
专题写作阿基米德三角形的几个结论熊昌进(四川越西县越西中学 616650)孔繁秋(厦门禾山中学 361009)李迪淼(湖南师大附中 410006) 编者按:关于抛物线的阿基米德三角形的有关性质,本刊于97年第5期,98年第6期,99年第1期先后发表了四篇论文,在此基础上又有几位作者进一步作了深入探讨,如四川省越西县越西中学熊昌进,厦门市禾山中学孔繁秋等,而湖南师大附中的李迪淼又把这一问题推广至非退化的二次曲线的阿基米德三角形,作者运用统一的直角坐标方程得出类似的若干性质,其推证方法大同小异,其中所运用的一个基本命题是:过二次曲线(C):Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0外一点T (x 0,y 0)引曲线(C)两切线,其切点弦方程为:Ax 0x +Cy 0y +D 2(x +x 0)+E 2(y +y 0)+F =0.若切点弦过曲线内一定点Q (m ,n ),则易得出阿基米德三角形顶点T 的轨迹为一直线(l ):Ax 0m +By 0n +D 2(m +x 0)+E 2(n +y 0)+C =0,其次这类问题应用范围有限,因此我们仅将诸位作者所提出的一些新的结论归纳综合整理如下,供读者参考研究. 一、关于抛物线的阿基米德三角形的若干性质补充:1.若T (x 0,y 0)是抛物线y 2=2px (p >0)外一点.则以T 为顶点的抛物线阿基米德三角形的面积S =1p(y 20-2px 0)3(=1p[f (x 0,y 0)]32),其中f (x 0,y 0)=y 2-2px 0.2.若T 为抛物线y 2=2px (p >0)外一点,以T 为顶点的抛物线的阿基米德三角形的面积为定值S ,则顶点T 的轨迹为一抛物线:y 2=2px +3S 2p2.3.若点M (m ,n )是抛物线y 2=2px (p >0)内一定点,则以过点M 的抛物线的弦为底边的阿基米德三角形的面积最小值为1p (2pm -n 2)3.(=1p·[-f (m ,n )]32)其中f (m ,n )=n 2-2pm <0.4.定直线l :ax +by +c =0与抛物线y 2=2px (ac ≠0,p >0)没有公共点,以l 上任一点T 为顶点的抛物线的阿基米德三角形的底边必过定点M (c a ,-pb a),且当T M ∥x 轴时,此类三角形面积取最小值1a3p (2ac -pb 2)3.二、关于二次曲线的阿基米德三角形的性质.若二次曲线(C):(1-l 2)x 2+y 2-2p x +p 2=0(p >0),M (m ,n )为不在曲线(C)上且不与其中心重合之定点.过M 任作曲线(C)的弦AB ,则曲线(C)过A ,B 两点的切线交于T (x 0,y 0),则△T AB 为曲线(C )相应于定点M 的阿基米德三角形,其中T 为其顶点,AB 为其底边.1.以过点M 的弦AB 为底边的所有曲线(C)的阿基米德三角形顶点轨迹为一直线,其方程为:[(1-l 2)m -p ]x +ny +p 2-pm =0.推论1:若定点M 为M (x m ,0),则顶点T 的轨迹为与x 轴垂直之直线或两射线x =p 2-pmp -m (1-l 2).推论2:若定点为焦点M (p ,0),则顶点T 的轨迹为与M 相应之准线x =0.推论3:与定点M 相应的曲线(C)的阿基米德三角形顶点T 的轨迹与以点M 为中点的弦平行.若以M 为中点之弦为AB ,且设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则将(1-l 2)x 21+y 21-2px 1+p 2=0与(1-l 2)x 22+y 22-2p x 2+p 2=0两式相减,即可得出AB 的斜率与T 点轨迹(直线)之斜率(特殊时,两倾角为90°)相同.2.若直线l :Ax +By +C =0与曲线C :(1-l 2)x 2+y 2-2p x +p 2=0无公共点,则以l 上任一点T 为顶点的曲线C 的阿基米德三角形之底边必过定点.其他与此有关的命题就不再一一提出.如前所述,关于阿基米德三角形的研究如无特别的新意,本刊再不一一介绍了.)(武汉市二中田化澜整理)271999年第10期 数学通讯。
阿基米德折定理
阿基米德折定理阿基米德折定理，是古希腊数学家阿基米德的著名定理，简称“阿基米德三角形定理”。
它概括了三角形的形状规律，说明条件下，三角形三边长之和总大于另外两边长，更精确地说，一个三角形任意两边之和大于第三边，即a+b>c, b+c>a, c+a>b，其中，a、b、c分别是三角形三边的长度。
阿基米德三角形定理被认为是古希腊几何学中最杰出的定理之一，是古希腊数学的精华和珍贵遗产。
阿基米德三角形定理的发现和证明为古希腊几何学的发展做出了巨大的贡献，也是阿基米德变迁和发展的标志性事件。
阿基米德在研究三角形的属性与解决日常生活中的几何问题方面做出了杰出的贡献，是古希腊几何学的创始人。
他认为，三角形三边相等，三角形的内角全都相等，所以三角形三边等腰。
但是，他不能证明三角形三边之和大于另外两边之和，直到他用逻辑推论的方式证明了三角形最大顶点与最大边的关系，也就是所谓的“阿基米德三角形定理”才有了。
阿基米德三角形定理的发现和证明，开创了古希腊几何学的先河，也是古希腊几何学研究的基础。
它不仅被广泛应用于工程学和技术学专业，而且还被应用到日常生活中。
教学中，多以不同媒介形式讲解阿基米德三角形定理，如利用图形、动画、投影等形式更好地演示和理解阿基米德三角形定理的含义，更好地使学生理解其普遍性和实用性，激发学生学习数学的兴趣和动力。
经过长期的发展和研究，在此基础上产生了更深入的三角论。
今天，在不同的数学领域，“阿基米德三角形定理”仍然是学习数学的重要课题。
毫无疑问，阿基米德三角形定理是阿基米德为人类数学文明作出的伟大贡献，它使古老的数学知识得以开花结果，这是现代数学的基础。
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阿基米德三角形的性质
切线方程：
1.过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +=
2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +-=
3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +=
4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-=
性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.
证明：设),(11y x A ，),(22y x B ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B
的切线方程为)(22x x p y y +=，联立方程，1212px y =，2222px y =，解得两切线交点
)2
,2(2121y y p y y Q + 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线
性质3：.抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹
性质4：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点
性质5：底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为p
a 83
性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为2
p
性质7：在阿基米德三角形中，QFB QFA ∠=∠
性质8：抛物线上任取一点I （不与B A ,重合），过I 作抛物线切线交QA ，QB 于T S ,，则QST ∆的垂心在准线上 性质9：2QF BF AF =⋅
性质10：QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行
性质11：在性质8中，连接BI AI ,，则ABI ∆的面积是QST ∆面积的2倍
1.如图，设抛物线方程为)0(22
>=p py x ，M 为 直线
如有侵权请联系告知删除，
感谢你们的配合！
p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为B A ,
（Ⅰ）求证：M B A ,,三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M 点的坐标为)2,2(p -时，410AB =，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线2
2(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
2.设点),(00y x p 在直线)10,(<<±≠=m m y m x 上，过点P 作双
曲线12
2=-y x 的两条切线PB PA ,，切点为B A ,，定点)0,1(m
M ． （1）求证：三点M B A ,,共线．
（2）过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN ∆的
重心G 所在曲线方程．。