动物集群运动行为模型-2

集群动物运动的研究和模拟仿真

摘 要

在自然界里，我们经常能够看到某些动物的集群运动行为，比如鱼群的觅食、躲避危险，鸟群的迁徙等这些高度一致性的行为。这些群体当中的个体的行为都是相对比较简单的，但是每个个体只需要遵循某种规则后，整个群体就涌现出高度的群体智能行为。本文主要为了探讨其中的运动机理与规则建立了相应的模型。

对于模拟动物集群运动，我们先抛开具体的物种和运动形式，并把连续运动进行离散化，构造了某时刻群体的状态矩阵用来表示所有个体的位置和速度。

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21113

S(t)n n n n n n n x y v x y v x y v x y v ---⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r r M M M r r ， 通过建立个体的距离约束方程、速度约束方程、位置约束方程和状态转换条件进而求出任意时刻的群体状态矩阵。根据状态矩阵就可得到群体的运动规律。

鲨鱼捕食鱼群，是一个无领导者的模型。在模拟鲨鱼捕食一问中，经过对视频的分析，我们将问题归结为小鱼选择最佳的躲避速度（大小和方向），引用最优化思想建立目标函数

(1)(1)min cos (1),(1)(1)()()i d i i P t D t v t v t P t D t ββ⎧⎫+-+⎪⎪<++>+-⎨⎬-⎪⎪⎩⎭

r r 从而确定躲避速度。再根据鲨鱼和小鱼的初始状态以及速度确定了鲨鱼和鱼群的运动规律。根据该规律进行Matlab 编程模拟，我们模拟出了“鲨鱼被包围”的情形。

在群体中含有信息丰富者情况下，可以将信息丰富者看做群体的领导者，建立了leader-follower 模型，根据条件：

1Q wt t wa v v Q =∑=r r ，1N Q i

i ia v v N Q -=∑=-r r ，(1)wn wa ia v v v ωω=+-r r r cos ,wa ia v v ω=<>r r 确定了leader 的运动，进而确定整个群体的运动。

最后我们通过编写相关的程序来仿真群体的运动，从而检验模型的正确性。 关键词：离散化 状态矩阵 最优化 leader-follower 模型

1.问题重述

在动物界，大量集结成群进行移动或者觅食的例子并不少见，这种现象在食草动物、鸟、鱼和昆虫中都存在。这些动物群在运动过程中具有很明显的特征：群中的个体聚集性很强，运动方向、速度具有一致性。通过数学模型来模拟动物群的集群运动行为以及探索动物群中的信息传递机制一直是仿生学领域的一项重要内容。

1. 建立数学模型模拟动物的集群运动。

2. 建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为。

3. 假定动物群中有一部分个体是信息丰富者(如掌握食物源位置信息，掌握迁徙路线信息)，请建模分析它们对于群运动行为的影响，解释群运动方向决策如何达成。

2.模型假设

（1）假设每个个体的感知范围极限是相同的。

（2）部信息的强度与传播的距离成反比。

（3）在短时间内个体的运动是匀速直线的。

（4）每个个体接受到信息到做出相应的动作的时间是相等的。

（5）每个个体的最大移动速度是相等的。

（6）在时间不长t ∆内黑鳍礁鲨鱼的速度基本上是不变的。

3.符号说明及意义

(,,)i i i i P x y v =u r ——表示个体i ，其中i x 表示横坐标，i y 表示纵坐标，i v r 表示速

度

k v r ——表示个体i 感知范围内个体k 的速度

min

r ——表示个体之间能够容忍的最小距离 L R ——表示个体能够感知的极限距离

x μ——表示x 方向的位置变动因子

y μ——表示y 方向的位置变动因子

max δ——表示运动速度最大偏差因子

max

v ——表示个体的最大移动速度 d v r ——表示危险源的速度（比如黑鳍礁鲨鱼）

1ε——表示速度大小状态因子

2ε——表示速度方向状态因子

wt v r ——个体t 的自主速度

wn v r ——表示核心群体下一步速度

ω——表示wa v r 与ia v r 的方向相近程度

4.问题分析及模型的建立

4.1模型一的建立

4.1.1问题分析

动物的集群运动会因为不同的物种、种群和环境而存在不同点，但是从本质上集群运动是有共同点的。不考虑具体的哪种动物和具体的集群运动，从整体上分析，动物的集群运动可以分为三种：

（1）觅食运动

（2）躲避捕食运动

（3）随机运动（没有明确目的的集群运动）

群中的每个个体在综合外部信息和内部信息后自己决定如何进行反应动作。外部信息是让他们产生集群运动转变的因素，比如食物位置、捕食者出现和运动规律等；内部信息是群体中各个个体之间进行传递交流的信息，包含信息发出者的位置、运动状态、发出的声音、气味和特殊物质等。

在集群运动中，每个个体都遵循相同的动作反应规律。因为个体的感知范围有限，为了保持群体运动的整体性，个体的运动还要遵循下三个约束条件：

（1）与邻近的个体之间保持必要的距离。距离太近影响个体的运动，距离太远导致个体容易脱离群体；

（2）感知范围内的个体运动速度具有一致性。

（3）感知范围内的个体位置具有中心一致性。

4.1.2集群运动的离散化处理

集群运动在时间和空间上是连续的。为了简化描述集群运动，从时间的角度把该运动进行离散化，每一时刻，该群都有一种状态，把状态按照时间的顺序排列就可以近似描述集群的运动。在每一时刻，群中的个体必然要满足上面的三个约束条件，所以我们也把上面两个条件成为状态条件，根据状态条件可以建立描述集群运动的状态方程。

我们首先只靠虑集群在二维平面的运动，在此我们定义了(,,)i i i i P x y v u r 这样

一个变量来描述运动的个体，其中i x 表示个体i 的在世界坐标系中的横坐标，i

y 表示个体i 在世界坐标系的纵坐标，i v r 表示个体i 的运动的方向。进一步简化问

题，我们将运动的个体投影到地面就可以把个体看作是点的运动，为此我们模拟地面上点的运动进而可以推测出个体的运动。

个体投影到地面的表示如下图：

现在讨论有n 个个体的集群的运动情况，于是我们建立了一个由n 个个体的t 时刻状态组成的状态矩阵S （t ）；