鲁教版初二数学下期中测试题
【鲁教版】初二数学下期中试题(含答案)(1)
一、选择题1．下列运算正确的是（ ）．A ．235+=B ．3223-=C ．236⨯=D ．632÷= 2．如果2(2)2a a -=-，那么下列叙述正确的是( )A ．2aB ．2a <C ．2a >D ．2a 3．已知，()22a =a 那么a 应满足什么条件 （ ） A ．a ＞0B ．a≥0C ．a ＝0D ．a 任何实数 4．估计26的大小应（ ） A ．在2～3之间B ．在3～4之间C ．在4～5之间D ．在5～6之间 5．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（ ）A ．AE CE =B ．12AE BE =C ．EBD EDB ∠=∠ D ．△ABE ≌△CDE 6．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．AB ∥CD ，AD ∥BCB ．AD ∥BC ，AB ＝CD C ．OA ＝OC ，OB ＝OD D ．AB ＝CD ，AD ＝BC7．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα=9．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为123S S S ､､；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为456S S S ､､．其中125616,45,11,14S S S S ====，则34S S +=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．4810．已知ABC 中，a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边，下列条件中不能判断ABC 是直角三角形的是（ ）A ．::3:4:5ABC ∠∠∠=B ．C A B ∠=∠-∠ C ．222+=a b cD ．::6:8:10a b c =11．如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么(a+b)2的值为（ ）A ．144B ．22C ．16D ．1312．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．152B ．152C ．3D ．125二、填空题13．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．14．13a a+=，则a a +=______. 15．计算：2(32)(32)+-=______．16．若代数式2x +有意义，则实数x 的取值范围是_________． 17．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．18．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，5AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．19．如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，3BE =，则EC 的长为_____．20．如图，在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ），若线段AD 的长是正整数，则点D 的个数共有______个．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．22．如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一点，点E 在BA 的延长线上，且PB PE =，连结DE ．（1）求证：PD PE=．（2）试判断DE和BP的数量关系，并说明理由．23．（1）计算：6224348⨯+÷-（2）解不等式组：2(3)8(1)22x xxx x --<⎧⎪⎨--≤-⎪⎩24．（1）解不等式组3(2)4 2513x xxx--≥-⎧⎪-⎨<-⎪⎩，并写出该不等式组的整数解；（2）计算：213904540+-．25．如图，AC与BD相交于点O，AB//CD，OA=OC．(1)求证：△AOB≌△COD．(2)若∠A+∠D=90°，AB=AC=2，求BD的长．26．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】二次根式的加减法法则，乘除法法则计算并依次判断．【详解】A ∴A 选项不符合题意；B 选项：原式=∴B 选项不符合题意；C 选项：原式==∴C 选项符合题意；D =∴D 选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】此题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减法法则，乘除法法则是解题的关键． 2．A解析：A【分析】根据二次根式的性质可得a-2≤0，求出a 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：|2|2=-=-a a ，20a ∴-，2a ∴，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．3．B解析：B【分析】与a 的取值范围即可得到答案.【详解】 ∵a 的取值范围是0a ≥a 的取值范围是任意实数， 故a 应满足的条件是0a ≥，故选：B.【点睛】此题考查二次根式的性质：双重非负性，二次根式的被开方数满足大于等于零的条件. 4．C解析：C【分析】先根据二次根式的乘法法则可知26＝24，再由16＜24＜25，利用算术平方根的性质可得4＜24＜5，可得结果．【详解】解：∵26＝24，16＜24＜25，∴4＜24＜5，即4＜26＜5，故选：C．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质及二次根式的乘法法则是解答此题的关键．5．B解析：B【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，可得BE=DE，可证AE=CE，由“SAS”可证△ABE≌△CDE，即可求解．【详解】解：如图，∵把矩形纸片ABC'D沿对角线折叠，∴∠CBD=∠DBC'，CD=C'D=AB，AD=BC=BC'，∵AD∥BC'，∴∠EDB=∠DBC'，∴∠EDB=∠EBD，故选项C正确；∴BE=DE，∵AD=BC，∴AE=CE，故选项A正确；在△ABE和△CDE中，AB CD A C AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDE （SAS ），故选项D 正确； 没有条件能够证明12AE BE =， 故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 6．B解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．【详解】 A 、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；B 、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；C 、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；D 、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．7．A解析：A【分析】先根据矩形的性质证得DFP PBE SS =，然后求解即可．【详解】解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，∴四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，∵ADC ABC S S =△△，AMP AEP SS =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =，∴S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，∵PM=AE=1，PF=NC=3，∴131322DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∴S 阴=33+=322， 故选：A ．【点睛】 本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 8．A解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠ M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．C解析：C【分析】分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．【详解】解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ， ∴DE=22AE AD -=32x ， ∴S 2=132x x ⨯⨯=23AB ， 同理：S 1=23AC ，S 3=23BC ， ∵BC 2=AB 2-AC 2，∴S 3=S 2-S 1， 如图2，S 4=21122AB π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=28AB π， 同理S 5=28AC π，S 6=28BC π，则S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45-16+11+14=54．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．10．A解析：A【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【详解】解：A、∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；B、因为∠C=∠A-∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形；C、因为a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形；D、因为a：b：c=6：8：10，设a=6x，b=8x，c=10x，（6x）2+（8x）2=（10x）2，故△ABC 是直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．11．B解析：B【分析】先求出四个直角三角形的面积，再求出直角三角形的斜边的长即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积12，小正方形的面积是2，∴四个直角三角形的面积和是12-2=10，即4×1ab=102∴2ab=10，∵直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b∴a2+b2=12∴(a+b)2= a2+b2+2ab=22．故答案为B．【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、完全平方公式等知识点，完全平方公式和勾股定理的灵活变形是解答本题的关键．12．D解析：D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．【详解】在AB上取一点G，使AG＝AF∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB=5，∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEG （SAS ）∴FE ＝GE ，∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH ⊥AB 于H 点，则CH 的长即为CE+EG 的最小值，此时，AC BC AB CH ，∴CH=·AC AB BC=125， 即：CE+EF 的最小值为125，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．二、填空题13．【分析】根据点MNP 分别是DEBCCD 的中点可以证明MP 是ΔDEC 的中位线NP 是ΔDBC 的中位线根据中位线定理可得到MP=NP 再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM 最后根据三角形的内角和定理可解析：112【分析】根据点 M ，N ，P 分别是 DE ，BC ，CD 的中点，可以证明MP 是ΔDEC 的中位线，NP 是ΔDBC 的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP ，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM ，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN ．【详解】解：如图∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点∴MP是ΔDEC的中位线，∴MP=12EC，NP是ΔDBC的中位线∴NP=12BD，又∵BD=CE∴MP=NP∴∠PMN=∠PNM=34∘∴∠MPN=180∘-∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘故答案位：112°【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．14．【分析】把平方后得到取算数平方根即可求解【详解】∵∴∴（舍负）故答案为：【点睛】此题考查了完全平方公式熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键5【分析】aa 平方后，得到13aa+=，取算数平方根即可求解.【详解】∵13 aa+=，∴212325 a aaa=++=+=，∴=.【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键.15．【分析】先将化成再运用平方差公式计算从而可得解【详解】解：===故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算熟练运用乘法公式是解答此题的关键【分析】先将2化成，再运用平方差公式计算，从而可得解．【详解】解：2==22⎡⎤-⎣⎦=【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练运用乘法公式是解答此题的关键．16．且【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数分式分母不为0列出不等式解不等式得到答案【详解】解：由题意得x+2≥0x≠0解得x≥-2且x≠0故答案为：x≥-2且x≠0【点睛】本题考查了二次根式有意义的解析：2x ≥-且0x ≠【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x+2≥0，x≠0，解得，x≥-2且x≠0，故答案为：x≥-2且x≠0．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．17．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形解析：65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠F=∠BAE=50°，．∵AB=AE ，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键． 18．【分析】根据中点的含义先求解作点C 关于AB 对称点则连接交AB 于P 连接此时的值最小由对称性可知于是得到再证明然后根据勾股定理即可得到结论【详解】解：为的中点作点C 关于AB 对称点交于则连接交AB 于P 连接 解析：25【分析】根据中点的含义先求解,BD 作点C 关于AB 对称点C '，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '，此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小，由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥于是得到90C BC '∠=︒，再证明4BC BC '==，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：4AC BC D ==，为BC 的中点，90ACB ∠=︒，2CD BD ∴==， 45CBA ∠=︒，作点C 关于AB 对称点C '，CC '交AB 于O ，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '．此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小．由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥∴90C BC '∠=︒，∴BC BC '⊥，点C 关于AB 对称点C '，∴AB 垂直平分CC '，∴4BC BC '==，根据勾股定理可得 22422 5.DC '=+=故答案为：25．【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．19．6【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数连接AE 可得出AE=BE ∠EAD=推出∠EAC=利用勾股定理解直角三角形即可得出答案【详解】解：连接AE ∵AB=AC ∠A=∴∠B=∠C=∵ED 垂直平分解析：6【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数，连接AE ，可得出AE=BE ， ∠EAD=30︒，推出 ∠EAC=90︒，利用勾股定理解直角三角形即可得出答案．【详解】解：连接AE ，∵ AB=AC ，∠A=120︒ ，∴ ∠B=∠C=()1180120302︒-︒=︒， ∵ED 垂直平分AB ， ∴AE=BE ，∠EAD=30︒ ，∵BE=3，∴DE=1322BE = ∴22332BD BE DE =-=， ∴AB=AC=2BD=33，∵ ∠A=120︒ ，∴ ∠EAC=90︒ ，∴22366CE AC AE =+==，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、勾股定理、直角三角形30︒角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．20．3【分析】首先过A作AE⊥BC当D与E重合时AD最短首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC进而可得BE的长利用勾股定理计算出AE长然后可得AD 的取值范围进而可得答案【详解】解：过A作AE⊥BC∵AB解析：3【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．【详解】解：过A作AE⊥BC，∵AB=AC，∴EC=BE=12BC=4，∴2254-，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD=3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．三、解答题21．（1）5秒或373秒；（2）存在，163秒或72秒或685秒【分析】（1）由题意已知，AB∥CD，要使四边形MNBC是平行四边形，则只需要让BM=CN即可，因为M、N点的速度已知，AB、CD的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；（2）使△BMN是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN、NM=NB、MN=MB；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．【详解】解：（1）设运动时间为t秒．∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，当N从D运动到C时，∵BC=13cm，CD=21cm，∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，∴16-t=21-2t，解得t=5，当N从C运动到D时，∵BM=AB-AM=16-t，CN=2t-21∴16-t=2t-21，解得t=373，∴当t=5秒或373秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，当N从D运动到C时，∵MH=HB=12BM=12（16-t），由AH=DN得2t＝12(16−t)+t，解得t＝163秒；当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=12（16-t）+t，解得t=685秒． Ⅱ．当MN=MB ，当N 从D 运动到C 时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t ，BM=16-t ，∵MN 2=t 2+122，∴（16-t ）2=122+t 2，解得t ＝72（秒）；Ⅲ．当BM=BN ，当N 从C 运动到D 时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t ，∵BM 2=BN 2=NH 2+BH 2=122+（16-2t ）2，∴（16-t ）2=122+（16-2t ）2，即3t 2-32t+144=0，∵△＜0，∴方程无实根，综上可知，当t=163秒或72秒或685秒时，△BMN 是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．22．（1）见解析；（2）2DE BP，见解析【分析】（1）根据SAS 证明APD APB ≌△△可得PD=PB ，再结合PD=PE 即可得出结论； （2）证明DPE 是等腰直角三角形即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴=45CAD CAB ∠=∠︒∵AP AP =，∴()APD APB SAS ≌， ∴PD PB =， ∵PB PE =，∴PD PE =． （2）DE =．理由如下： ∵由（1）知，APD APB ≌△△，PD PB PE ==，∴设PEB PBE PDA x ∠=∠=∠=︒，∴1802EPB x ∠=︒-︒，∵45DAP ∠=︒，∴18045135DPA BPA x x ∠=∠=︒-︒-=︒-︒，∴1802(135)45APE EPB BPA x x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒-︒，∴135(45)90DPE DPA APE x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．∴DPE 是等腰直角三角形，∴DE ==． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．23．（1）2）﹣2＜x≤2【分析】（1）先算乘除，再算加减；（2）分别求出两个一元一次不等式的解即可；【详解】（1）原式=，=；（2）2(3)8(1)22x x x x x --<⎧⎪⎨--≤-⎪⎩， 解不等式2(3)8--<x x 得：x ＞﹣2； 解不等式(1)22--≤-x x x 得：x≤2； 所以，不等式组的解集为：﹣2＜x ≤2．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和一元一次不等式组的求解，准确计算是解题的关键．24．（1）-2＜x≤1；整数解为-1，0，1；（2）【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，据此即可写出不等式组的整数解．（2）先化简二次根式，再合并即可．【详解】解：（1）()3x24x?2x5x1?3⎧--≥-⎪⎨-<-⎪⎩①②由①去括号得，-3x+6≥4-x，移项、合并同类项得，-2x≥-2，化系数为1得，x≤1．由②去分母得，2x-5＜3x-3，移项、合并同类项得，-x＜2，化系数为1得，x＞-2．故原不等式组的解集为：-2＜x≤1．∴不等式组的整数解为-1，0，1．（2）==【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．也考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的化简是关键．25．（1）证明见解析；（2）BD=【分析】（1）根据平行的性质可得两组对应角相等，再结合OA=OC根据AAS即可证明全等；（2）先证明△DOC为直角三角形，根据勾股定理即可求得DO，从而求得BD．【详解】解：（1）证明：∵AB//CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，又∵OA=OC，∴△AOB≌△COD（AAS）；（2）∵∠A+∠D=90°，∠A=∠C，∴∠C+∠D=90°，∴∠DOC=90°，△DOC 为直角三角形，∵△AOB ≌△COD ，AB =AC =2，∴BO=DO ，DC=AB=2，OA =OC =1，∴在Rt △DOC 中根据勾股定理， 2222213OD DC OC =-=-=，∴23BD BO DO =+=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，两锐角互余的三角形是直角三角形．（1）中掌握全等三角形的几种判定定理，能根据已知条件选取合适的定理是解题关键；（2）中能证明△DOC 为直角三角形是解题关键．26．（1）学校会受到影响，理由见解析；（2）学校受到影响的时间是2.4秒．【分析】（1）过点A 作AE ⊥MN 于点E ，由点A 到铁路MN 的距离为80米可知AE ＝80m ，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB 、AC ，则AB ＝AC ＝100m ，在Rt △ABE 中利用勾股定理求出BE 的长，进而可得出BC 的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC 是所用的时间即可．【详解】解：（1）会受到影响．过点A 作AE ⊥MN 于点E ，∵点A 到铁路MN 的距离为80米，∴AE ＝80m ，∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，∴学校会受到影响；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB 、AC ，则AB ＝AC ＝100m ，在Rt △ABE 中，∵AB ＝100m ，AE ＝80m ，∴BE 22AB AE -2210080-＝60m ，∴BC ＝2BE ＝120m ，∵火车的速度是180千米/时＝50m /s ，∴t ＝50BC ＝12050＝2.4s ．答：学校受到影响的时间是2.4秒．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．。
【鲁教版】初二数学下期中试题(含答案)
一、选择题1．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠2．下列各式中，正确的是（ ） A ．93±= B ．93=± C ．()233-=- D ．()233-=3．下列计算正确的是（ ）A ．532-=B ．25177+=C ．422=D ．1422233x x x += 4．下列计算正确的是（ ）A ．42=±B ．22423x x x +=C ．()326328a b a b -=-D ．()235x x x -=÷ 5．下列四个式子中，与1(2021)2021a a --的值相等的是（ ） A ．2021a - B ．2021a --C ．2021a -D ．2021a -- 6．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．OAB OBA ∠=∠；B ．OAB OBC ∠=∠； C ．OAB OCD ∠=∠； D ．OAB OAD ∠=∠．7．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF =，则两个正方形重合部分的面积为（ ）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a 8．如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（ ）A ．5B ．8C ．11或5D ．11或14 9．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则△BCD 的面积为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．4010．如图，平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点B 、C 的坐标分别为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．若ABC ∆是等边三角形，则点A 的坐标为（ ）A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()1,3 11．有一圆柱高为12cm ，底面半径为5πcm ，在圆柱下底面点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（ ）A ．12cmB ．13cmC ．10cmD ．16cm12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．152B ．152C ．3D ．125二、填空题13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为DB 、BC 的中点，若AB ＝8，则EF ＝_____．14．如果最简二次根式123b a ++和3a b +是同类二次根式，则ab =____________． 15．已知502a 22b 2-=-=，则ab =________．16．化简22(2)(3)x x ---=__________．17．如图在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若30,2ACB AB ︒∠==，则BD 的长为_______．18．长方形零件图ABCD 中，2BC AB =，两孔中心M ，N 到边AD 上点P 的距离相等，且MP NP ⊥，相关尺寸如图所示，则两孔中心M ，N 之间的距离为__________mm ．19．已知△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，动点P 在线段BC 上从B 点向C 点运动，连接AP ，则AP 的最小值为等于________．20．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，25AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，//AD BC ，2AD BC =，90ABD ∠=︒，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．22．“半角型”问题探究：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．（1）小明同学的方法是将△ABE 绕点A 逆时针旋转120°到△ADG 的位置，然后再证明△AFE ≌△AFG ，从而得出结论：（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，AE ＝CF ＝1，O 为EF 的中点，动点G 、H 分别在边AD 、BC 上，EF 与GH 的交点P 在O 、F 之间（与O 、F 不重合），且∠GPE ＝45°，设AG ＝m ，求m 的取值范围．23．先化简，再求值：（1＋12x +）÷293x x --，其中x ＝3﹣2． 24．计算：()246-÷132+25．如图，在ABC 中，2,1,20AB AC BAC AD BC ︒==∠=⊥于点D ，延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BE 和CE ．（1）补全图形；（2）若点F 是AC 的中点，请在BC 上找一点P 使AP FP +的值最小，并求出最小值． 26．有一块四边形草地ABCD （如图），测得10AB AD ==m ，26CD =m ，24BC =m ，60A ∠=︒．（1）求ABC ∠的度数；（2）求四边形草地ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．【详解】=，解：A、∵AE CF∴AO=CO，由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，∴四边形DEBF是平行四边形；B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；D、同C可证：△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．2．D解析：D【分析】根据二次根式的性质化简判断．【详解】A、93=±，故该项不符合题意；B93=，故该项不符合题意；C 3=，故该项不符合题意；D 3=，故该项符合题意； 故选：D ．【点睛】此题考查二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据二次根式加法以及二次根式的性质逐项排查即可．【详解】解：A A 选项错误；B =+B 选项错误；C ＝22＝1，故C 选项错误；D =D 选项正确． 故答案为D ．【点睛】 本题主要考查了二次根式加法以及二次根式的性质，掌握二次根式的加法运算法则是解答本题的关键．4．C解析：C【分析】A 选项利用二次根式的化简判断即可；B 利用合并同类项的运算判断即可；C 利用积的乘方判断即可；D 利用同底数幂的除法判断即可；【详解】A 2= ，不符合二次根式的化简，故该选项错误；B 、22223x x x += ，不符合合并同类项的运算，故该选项错误；C 、()326328a ba b -=-，故该选项正确； D 、()523x x x -÷=- ，不符合同底数幂的除法，故该选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，合并同类项，整数指数幂，正确掌握公式是解题的关键； 5．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件可得出20210a ->，可得20210a -<，由此可将2021a -变形得出答案．【详解】由题意得：20210a ->，可得20210a -<， ∴2111(2021)(2021)(2021)2021202120212021a a a a a a a-=--=--=-----． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定出20210a ->． 6．D解析：D【分析】根据菱形的判定方法判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠OAB=∠ACD ，∵∠OAB=∠OAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴AD=CD ，∴四边形ABCD 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：D ．【点睛】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．7．B解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可． 【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF ，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ． 故选择：B ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．8．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO ，再根据AOD △与AOB 的周长相差3，可分情况得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=AO ，∵AOD △与AOB 的周长相差3，∴AB-AD=3，或AD-AB=3，∵AB=8，∴AD 的长为5或11，故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分．9．C解析：C【分析】根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求得CD ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝，根据△ABC 的面积为120，即11202AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】 解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，CD ＝()222223BC BD x x x -=-=，∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，∴AC ＝2BC ＝23x ，∵△ABC 的面积为120，∴1122312022ABC S AC BC x x =⨯⨯=⨯⨯=， 解得：2=203x ，∵211333=203=302222BCD S BD CD x x x =⨯⨯=⨯⨯=⨯， 故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．10．A解析：A【分析】先过点A 作AD ⊥OB ，根据△ABC 是等边三角形，求出AC=BC ，CD=BD ，∠ACB=60°，再根据点B 、C 的坐标，求出CB 的长，再根据勾股定理求出AD 的值，从而得出点A 的坐标．【详解】过点A 作AD ⊥OB ，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC ，CD=BD ，∠ACB=60°，∵点B的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，点C的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭∴BC=2，OC=12∴CA=2，∴CD=1，∴∵OD=CD-CO∴OD=1-12= 1 2∴点A的坐标是12⎛⎝．故选A．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A 的坐标．11．B解析：B【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即52ππ=5cm，矩形的宽是圆柱的高12cm．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线AB的长，即13==cm故选：B．【点睛】此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算．12．D解析：D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．【详解】在AB上取一点G，使AG＝AF∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB=5，∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEG （SAS ）∴FE ＝GE ，∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH ⊥AB 于H 点，则CH 的长即为CE+EG 的最小值，此时，AC BC AB CH =，∴CH=·AC AB BC=125， 即：CE+EF 的最小值为125，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．二、填空题13．2【分析】根据直角三角形的性质求出再根据三角形中位线定理计算即可【详解】解：在中是斜边上的中线分别为的中点是的中位线故答案为：2【点睛】本题考查的是直角三角形的性质三角形中位线定理掌握三角形的中位线 解析：2【分析】根据直角三角形的性质求出CD ，再根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，8AB =，118422CD AB ∴==⨯=， E 、F 分别为DB 、BC 的中点，EF ∴是BCD ∆的中位线，114222EF CD ∴==⨯=， 故答案为：2．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．0【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义得求出ab 的值代入计算即可【详解】由题意得解得∴ab=0故答案为：0【点睛】此题考查最简二次根式及同类二次根式的定义解二元一次方程组熟记定义是解题的关键 解析：0【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义得12233b a a b +=⎧⎨+=+⎩，求出a 、b 的值代入计算即可．【详解】由题意得12233b a a b +=⎧⎨+=+⎩， 解得10b a =⎧⎨=⎩， ∴ab=0，故答案为：0．【点睛】此题考查最简二次根式及同类二次根式的定义，解二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．15．20【分析】运用二次根式化简的法则先化简再得出的值即可【详解】解：∵∴∴故答案为：20【点睛】本题考查了二次根式的化简求值解题的关键是掌握二次根式运算法则解析：20【分析】运用二次根式化简的法则先化简，再得出a b ，的值即可．【详解】解：∵==，∴a 5=，b 4=，∴ab 20=，故答案为：20．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则．16．1【分析】由题可得即可得出再根据二次根式的性质化简即可【详解】由题可得∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简掌握二次根式的性质是解决问题的关键解析：1【分析】由题可得，30x -≥，即可得出20x -≤，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】由题可得，30x -≥，∴3x ≥，∴20x -≤，∴2()()23x x =----23x x =-+-+1=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．17．4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4利用矩形的性质得到BD=AC=4即可【详解】在矩形中∵四边形是矩形故答案为：4【点睛】此题考查矩形的性质直角三角形30度角的性质熟记各性质是解析：4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4，利用矩形的性质得到BD=AC=4即可．【详解】在矩形ABCD 中，90ABC ︒∠=，30,2ACB AB ︒∠==，2224AC AB ∴==⨯=，∵四边形ABCD 是矩形，4BD AC ∴==．故答案为：4．【点睛】此题考查矩形的性质，直角三角形30度角的性质，熟记各性质是解题的关键． 18．【分析】作MQ ⊥BCNF ⊥AB 交于点O 作根据AAS 证明△得到由得出从而得出OMON 的长最后由勾股定理可求出MN 【详解】解：作MQ ⊥BCNF ⊥AB 交于点O 作MK ⊥AB 于点K 作∵四边形ABCD 是矩形∴M解析：262【分析】作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，根据AAS 证明△M PM N NP ''≅∆得到PN MM ''=，NN M P ''=，由2BC AB =得出24NN '=，从而得出OM ，ON 的长，最后由勾股定理可求出MN ．【详解】解：作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MK ⊥AB 于点K ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，∵四边形ABCD 是矩形，∴MK//AD//BC∴∠90KMM KMQ '=∠=︒∴M '、M 、Q 三点共线，∵∠90MPN =︒，∴∠90M PM N PN ''+∠=︒，∠90N PN PNN ''+∠=︒∴∠M PM PNN ''=∠又∠90PM M PN N ''=∠=︒，MP PN =∴△M PM N NP ''≅∆∴10PN MM ''==，NN M P ''=又∵10ON M P N P N M N M N N ''''+='=+=+则11AB NN '=+，5054104(10)BC ON NN '=+-=-+又∵2BC AB =，即104(10)2(11)NN NN ''-+=+∴24NN '=∴1014OM NN '=-=，1034ON NN '=+=在Rt OMN ∆中，222214341352262()MN ON OM mm =+=+== 故答案为：2【点睛】此题主要考查了运用勾股定理示线段的长，作辅助线构造直角三角形是解答此题的关键． 19．4【分析】过A 作AP ⊥BC 于P 根据勾股定理以及垂线段最短即可得到结论【详解】解：过A 作AP ⊥BC 于P ∵AB=AC=5∴BP=BC=3在Rt △ABP 中由勾股定理得AP=4∵点P 是线段BC 上一动点∴AP解析：4【分析】过A 作AP ⊥BC 于P ，根据勾股定理以及垂线段最短即可得到结论．【详解】解：过A 作AP ⊥BC 于P ，∵AB=AC=5，∴BP=12BC=3， 在Rt △ABP 中，由勾股定理得，AP=4∵点P 是线段BC 上一动点，∴AP≥4所以，AP 的最小值为4故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，求出AP=4是解题的关键．20．【分析】根据中点的含义先求解作点C 关于AB 对称点则连接交AB 于P 连接此时的值最小由对称性可知于是得到再证明然后根据勾股定理即可得到结论【详解】解：为的中点作点C 关于AB 对称点交于则连接交AB 于P 连接 解析：25【分析】根据中点的含义先求解,BD 作点C 关于AB 对称点C '，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '，此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小，由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥于是得到90C BC '∠=︒，再证明4BC BC '==，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：4AC BC D ==，为BC 的中点，90ACB ∠=︒，2CD BD ∴==， 45CBA ∠=︒，作点C 关于AB 对称点C '，CC '交AB 于O ，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '．此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小．由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥ ∴90C BC '∠=︒，∴BC BC '⊥，点C 关于AB 对称点C '，∴AB 垂直平分CC '，∴4BC BC '==，根据勾股定理可得DC '=故答案为：【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）AC =【分析】（1）根据2AD BC =，E 为AD 的中点，证得四边形BCDE 是平行四边形，再根据BE=DE 即可证得结论；（2）根据AD ∥BC ，AC 平分BAD ∠，求出AD=2BC=2=2AB ，得到30ADB ∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，根据Rt ACD ∆求出答案即可．【详解】（1）证明：2AD BC =，E 为AD 的中点，DE BC ∴=．//AD BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形．90ABD ∠=︒，AE DE =，BE DE ∴=，则四边形BCDE 是菱形；（2）解：如答图所示，连接AC ，//AD BC ，AC 平分BAD ∠，BAC DAC BCA ∴∠=∠=∠．1AB BC ∴==．22AD BC ∴==，2AD AB ∴=，∴在Rt ABD ∆中，30ADB ∠=︒．30DAC ∴∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒．在Rt ACD ∆中2AD =，1CD ∴=， ∴223AC AD CD =-=．．【点睛】此题考查菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟记菱形的判定及性质是解题的关键． 22．（1）见详解；（2）见详解；（3）4833m <≤ 【分析】（1）根据旋转变换及三角形全等即可得解；（2）延长FD 到点G ，使DG=BE ，连接AG ，通过,ABE ADG △≌△AEF AGF ≌即可得解；（3）根据题意分两种情况∶P 与O 重合，H 与C 重合，通过构造全等三角形，求得MN=NQ ，再设BM=a ，则CM=4-a ，MN=QN=a+2，根据222MN CM CN =+，得出222(2)(4)2a a +=-+，进而得到a=43，求得AG 的长为于43；根据BM=43，可得48'433AG CM ==-=，进而分析计算即可得出m 的取值范围 ． 【详解】解∶ （1）结论∶ EF=BE+FD ．理由如下 ∶由旋转及题意知，F ，D ，G 三点共线，BE=DG ，AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∠EAF=12∠BAD, ∴∠GAF=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠EAF ，∴∠EAF=∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中， AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF AGF ≌∴.EF=FG ， 又∵FG=DG+DF=BE+DF ，∴EF=BE+DF.（2）结论EF=BE+DF 仍然成立．理由如下 ∶延长FD 到点G ，使DG=BE ，连接AG ，如图所示∶∵∠B+∠ADC ＝180°，180ADF ADG ∠+∠=︒ ，∴B ADG ∠=∠，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，,ABE ADG ∴△≌△∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，12EAF BAD ∠=∠ GAF DAF DAG FAD BAE BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠ ， ∴∠EAF=∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴,AEF AGF △≌△∴.EF=FG.又 ∴FG=DG+DF=BE+DF ，∴EF=BE+DF ．（3）①假设P 与O 重合， 如图，∵O 为EF 的中点，∴O 为正方形ABCD 的对称中心，过A 作AN //EF 交CD 于N ，则NF=AE=1， ∴DN=CN=2，过O 作''//G H GH 交AD 于'G ，交BC 于'H ，''AG CH ∴=，''DG BH = ,过A 作//''AM G H 交BC 于M ，∴''AG MH = ,'45G OE ∠=︒ ,∴∠MAN=45°,延长CD 到Q ，使DQ=BM ，由AB=AD ，∠B=∠ADQ ，BM=DQ ，可得△ABM ≌△ADQ ，∴AM=AQ,∠BAM=∠DAQ∵∠MAN=45°,∠BAD=90°,∴∠BAM+∠DAN=45°=∠DAQ+∠DAN=∠QAN,∴∠MAN= ∠QAN由AM=AQ ，∠MAN=∠QAN ，AN=AN ，可得△MAN ≌△QAN ， ∴MN=NQ设BM=a ，则CM=4-a ，MN=QN=a+2，∵222MN CM CN =+，()()222242a a ∴+=-+ ,解得∶a=43， ∴ BM=43, CM=83又∵'''AG CH MH ==，814'323AG ∴=⨯=， ②当H 与C 重合时，如图由①知BM=43 48''433AG CM ==-=∴， ∴m 的取值范围为∶4833m <≤ ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转变换以及正方形的性质，熟练掌握相关各个性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.23．12x +，33【分析】 首先计算括号里面的加法，再算括号外的除法，化简后，再代入x 的值可得答案．【详解】解：原式＝（22x x ++＋12x +）•3(3)(3)x x x -+-， ＝32x x ++•3(3)(3)x x x -+-， ＝12x +， 当x ＝3﹣2时，原式＝322-+＝3＝33． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确进行化简． 24．322【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可计算；【详解】解：原式＝243÷ ﹣63÷ +22 ＝22-2+22 ＝32． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可；在二次根式的混合运算中，如果能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往可以事半功倍；25．（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接EF 交BC 于点P ，根据两点之间线段最短结合等边三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）补全图形如下：（2）连接EF 交BC 于点P ，此时AP FP +的值最小．DE AD AD BC =⊥，，BC ∴为AE 的垂直平分线．2,CA CE AP EP ∴===．AP FP EP PF ∴+=+．,120AB AC AD BC BAC ︒=⊥∠=，，60BAD CAD ∴∠=∠=︒．ACE ∴为等边三角形．∵点F 是AC 的中点，1EF AC AF CF ∴⊥==，．在Rt CEF △中，90,1,2CFE CF EC ∠=︒==，3EF ∴=． AP FP ∴+3【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质和定理是解答此题的关键．26．（1）150°；（2）253（m 2）【分析】（1）连接BD ，可得∆ABD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理得∠DBC=90°，进而即可求解；（2）过点A 作AP ⊥BD 于点P ，可得AP=53，结合三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）连接BD ，∵10AB AD ==m ，∠A=60°∴∆ABD 是等边三角形，∴∠ABD=∠A=60°，BD=10AB AD ==m ，∵26CD =m ，24BC =m ，∴BD 2+BC 2=CD 2，∴∠DBC=90°，∴∠ABC=90°+60°=150°；（2）过点A作AP⊥BD于点P，则BP=DP=12BD=5m，AP=2253AD DP-=，∴四边形草地ABCD的面积=S∆ABD+S∆CBD=12BD∙AP+12BC∙BD=12×10×53+12×10×24=253+120（m2）．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形和等边三角形，是解题的关键．。
【鲁教版】初二数学下期中试卷(附答案)
一、选择题1．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，AC 是对角线，则CAB ∠的大小是 （ ）A ．22.5︒B ．21.5︒C ．23.5︒D ．24.5︒2．如图，周长为24的平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，AC CD ⊥且BE CE =，若6AC =，则AOE △的周长为（ ）．A ．6B ．9C ．12D ．15 3．一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是（ ）边形．A ．六B ．七C ．八D ．九4．一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个求，若摸到白球的概率为57，则盒子中原有的白球的个数为（ ） A ．10B ．15C ．18D ．205．如果a ，b ，c 是正数，且满足1a b c ++=，1115a b b c a c++=+++，那么a b a b b a cc c +++++的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．126．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x+=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组213202y yy a +⎧->⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩的解集为2y <-，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知a ＋1a ＝3，则a 2＋21a等于( ) A ．5B ．7C ．9D ．11 8．已知211x =+，则代数式222x x -+的值为（ ） A ．23B ．22C ．21D ．209．下列等式中从左到右边的变形是分解因式的是（ ） A ．()21a a b a ab a +-=+- B ．()2211a a a a --=-- C ．()()22492323a b a b a b -+=-++D ．1212x x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭10．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论： ①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝EC ；④∠A ＝∠EBC ； 其中一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 11．已知a ＜b ，下列变形正确的是( ) A ．a ﹣3＞b ﹣3 B ．2a ＜2b C ．﹣5a ＜﹣5b D ．﹣2a +1＜﹣2b +112．如图，AE 与BF 交于点O ，点O 在CG 上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法正确的是（ ）A ．BAE GCE ∠=∠B ．点O 到ABC 三边的距离相等 C ．AO BO CO ==D ．OG OE OF ==二、填空题13．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE ＝50m ，则AB 的长是_______m ．14．一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是边形__________边形． 15．方程31x xx x -=+的解是______． 16．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：3(1)441111a a a a a +-+==+---，212(1)332111a a a a a -+-==-+++．参考上面的方法，解决下列问题： （1）将1a a +变形为满足以上结果要求的形式：1aa =+_________； （2）①将321a a +-变形为满足以上结果要求的形式：321a a +=-_________；②若321a a +-为正整数，且a 也为正整数，则a 的值为__________． 17．若x ﹣y =2，xy =3，则x 2y ﹣xy 2=____．18．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()0,1，()1,0，()1,0-，一个电动玩具从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点1P 与点2P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称，第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点5P ，使得点5P 与点4P 关于点B 成中心对称……照此规律重复下去，则点2021P 的坐标为_________．19．若关于x 的不等式组0521x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解有且只有4个，则m 的取值范围是：__________．20．如图，在ABC 中，AB AC =，38A ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，则EBC ∠的度数为________．三、解答题21．综合与实践图形变换的基本方式有：平移变换、旋转变换、轴对称变换在数学综合与实践课上，张老师将两块含30°角的全等三角尺按图1方式摆放在一起，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°同时，要求班内各小组对图形进一步操作变换并提出问题，请你帮各小组进行解答，（独立思考）（1）张老师首先提出问题：图1中，四边形ABCD 是平行四边形吗？说明理由； （提出问题）（2）如图2．“励志”小组将Rt BCD 沿射线DB 方向平移到Rt B C D '''的位置，分别连接,AB DC ''，进一步提出问题：四边形AB C D ''是平行四边形吗？说明理由；（拓展延伸）（3）“慎密”小组提出的问题是：如图3，两个全等的三角尺重叠放在△ABD 的位置，将其中一个三角尺绕着点B 按逆时针方向旋转至△C D B 的位置，使点A 恰好落在边CB '上，AD 与BB '相交于点F ，若AD=8cm ，求BF 的长．22．先化简，再求值：222422244x x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中22x =-．23．计算：（1）（用公式法计算）（-2x +3y -1）（-2x -3y +1） （2）因式分解：()222416a a +-24．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到ADE （B ，D 两点为对应点）．（1）画出旋转后的图形； （2）连接BD ，求BDE ∠的度数．25．已知：直线1y kx k =+和()23y k x k =+-（0k ≠且3k ≠-）交于点A ． （1）若点A 的横坐标为2，求k 的值．（2）若直线1y kx k =+经过第四象限，求直线()23y k x k =+-所经过的象限． （3）点()1,P m y 在直线1y kx k =+上，点()2,Q m y 在直线()23y k x k =+-上，当1m >-时，始终有21y y >，求k 的取值范围．26．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90，BD 平分∠AB C 交AC 于点D ．（1）如图1，点F 为BC 上一点，连接AF 交BD 于点E ．若AB =BF ，求证：BD 垂直平分AF ．（2）如图2，CE ⊥BD ，垂足E 在BD 的延长线上．试判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点F 为BC 上一点，∠EFC =12∠ABC ，CE ⊥EF ，垂足为E ，EF 与AC 交于点M ．直接写出线段CE 与线段FM 的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】求出正八边形的内角和，算出每个内角的度数，再根据△ABC 为等腰三角形以及内角和为180°，可求出∠CAB 的大小 【详解】解：∵正八边形的内角和为：()8-2180=1080⨯︒︒ 每个内角的度数为10808=135︒÷︒ 又∵AB =BC∴△ABC 是等腰三角形∴()1=180-135=22.52CAB ∠︒︒︒ 故选：A 【点睛】本题考查多边形内角和与等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键2．B解析：B 【分析】依据平行四边形ABCD 的周长为24，即可得到AB+BC=12，再根据AO=12AC ，OE=12AB ，AE=12BC ，即可得到△AOE 的周长． 【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长为24， ∴AB+BC=12，∵平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，且BE=CE ， ∴AO=12AC=3，OE=12AB ， ∵AC ⊥CD ，且BE=CE ， ∴Rt △ABC 中，AE=12BC ， ∴△AOE 的周长=AO+AE+OE=3+12（BC+AB ）=3+12×12=9， 故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3．C解析：C 【分析】根据多边形的内角和等于它的外角和的3倍可列方程求得边数． 【详解】解：设多边形的边数为n ，根据题意得：（n−2）×180°＝360°×3． 解得n ＝8． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．4．D解析：D 【分析】设原来有x 个白球，则白球数为（5+x ）个，总数为（10+x+5）个，根据概率建立方程求解即可． 【详解】设原来有x 个白球，则白球数为（5+x ）个，总数为（10+x+5）个， 根据题意，得551057x x +=++，解得x=20，且x=20是所列方程的根， 故选D ． 【点睛】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率的意义，巧妙引入未知数建立方程求解是解题的关键．5．C解析：C 【分析】先根据题意得出a=1-b-c ，b=1-a-c ，c=1-a-b ，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵a ，b ，c 是正数，且满足a+b+c=1， ∴a=1-b-c ，b=1-a-c ，c=1-a-b ， ∴a b a b b a cc c +++++ =111a ca b b c a c a b b c ----++--+++ =1113a b b c a c++-+++ =53- =2 故选：C 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．6．C解析：C 【分析】 根据分式方程2311a x x+=--的解为非负数求得a>5，根据不等式组的解集为2y <-，求得2a ≥-，利用分式的分母不等于0得到x ≠1，即可得到a 的取值范围25a -≤≤，且x ≠1，根据整数的意义得到a 的整数值．【详解】 解分式方程2311a x x+=--，得53a x -=，∵分式方程2311ax x+=--的解为非负数， ∴503a-≥， 解得a ≤5，∵关于y 的不等式组213202y yy a +⎧->⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，得2y y a <-⎧⎨≤⎩， ∵不等式组的解集为2y <-， ∴2a ≥-， ∵x-1≠0， ∴x ≠1，∴25a -≤≤，且x ≠1，∴整数a 为：-2、-1、0、1、3、4、5，共有7个， 故选：C ． 【点睛】此题考查根据分式方程的解的情况求未知数的取值范围，根据不等式组的解集情况求未知数的取值范围，确定不等式的整数解，正确理解题意并计算是解题的关键．7．B解析：B 【分析】利用完全平方公式把221a a+变形成为21()2a a +-，代入解答即可． 【详解】221a a+=21()2a a +-=232-=7． 故选B ． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是把221a a+变形成为21()2a a +-． 8．B解析：B 【分析】先将多项式因式分解，再将x 的值代入求值. 【详解】222x x -+=22(1)111)122x -+=-+=，故选：B. 【点睛】此题考查了已知式子的值求多项式的值，多项式的因式分解，正确将多项式因式分解是解题的关键.9．C解析：C 【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义依次判断． 【详解】A 、()21a a b a ab a +-=+-这是整式乘法计算，故该项不符合题意；B 、()2211a a a a --=--，等式右侧不是整式的乘积，故该项不符合题意；C 、()()22492323a b a b a b -+=-++，故该项符合题意；D 、1212x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，等式右侧是乘积，但1x 不是整式，故该项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的定义是正确判断的关键．10．C解析：C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】 解：∵旋转， ∴AC DC =，但是旋转角不一定是60︒， ∴ACD △不一定是等边三角形， ∴AC AD =不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转，∴BC EC =，故③正确； ∵旋转，∴ACD BCE ∠=∠，∵等腰三角形ACD 和等腰三角形BCE 的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即A EBC ∠=∠，故④正确； ∵90A ABC ∠+∠=︒不一定成立， ∴90EBC ABC ∠+∠=︒不一定成立， ∴AB EB ⊥不一定成立，即②不一定正确．故选：C．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．11．B解析：B【分析】运用不等式的基本性质求解即可．【详解】由a＜b，可得：a﹣3＜b﹣3，2a＜2b，﹣5a＞﹣5b，﹣2a+1＞﹣2b+1，故选B．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是注意不等号的开口方向．12．B解析：B【分析】根据三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可以作判断．【详解】解：根据作图痕迹可知AE和BF为△ABC的角平分线，O为交点，根据三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可知点O到ABC三边的距离相等，故B选项正确，符合题意，其它选项皆不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了基本作图-角的平分线、角平分线的性质，明确三角形的角平分线交于同一点，且交点到三边的距离相等．二、填空题13．100【分析】先判断出DE是△ABC的中位线再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE问题得解【详解】∵点DE分别是ACBC的中点∴DE是△ABC的中位线∴AB=2DE=2解析：100【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×50=100米．故答案为100．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．14．八【分析】首先设这个多边形的边数为n 由n 边形的内角和等于180（n-2）即可得方程180（n-2）=1080解此方程即可求得答案【详解】解:设这个多边形的边数为n 根据题意得:180（n-2）=108解析：八【分析】首先设这个多边形的边数为n,由n 边形的内角和等于180︒（n-2）,即可得方程180（n-2）=1080,解此方程即可求得答案．【详解】解:设这个多边形的边数为n,根据题意得:180（n-2）=1080,解得:n=8,故答案为:八．【点睛】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单,注意熟记公式是准确求解此题的关键,注意方程思想的应用．15．【分析】两边同时乘以x(x+1)化分式方程为整式方程求解即可【详解】∵∴(x+1)(x-3)=∴-2x-3=∴2x+3=0∴x=经检验x=是原方程的解故填【点睛】本题考查了分式方程的解法熟练把分式方 解析：32-. 【分析】两边同时乘以x(x+1)，化分式方程为整式方程求解即可.【详解】 ∵31x x x x -=+， ∴(x+1)(x-3)= 2x ，∴2x -2x-3= 2x ，∴2x+3=0，∴x=32-， 经检验，x=32-是原方程的解， 故填32-.【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练把分式方程转化为整式方程是解题的关键，验根是解题的一个重要环节，不能忽视.16．2或6【分析】（1）根据材料中分式转化变形的方法即可把变形为满足要求的形式；（2）①根据材料中分式转化变形的方法即可把变形为满足要求的形式；②令可先求出a 与x 是整数时的对应值再从所得结果中找出符合条 解析：111a -+ 531a +- 2或6 【分析】（1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把1a a +变形为满足要求的形式； （2）①根据材料中分式转化变形的方法，即可把321a a +-变形为满足要求的形式；②令325311a x a a +==+--，可先求出a 与x 是整数时的对应值，再从所得结果中找出符合条件的a ，x 的值，即可得出结论．【详解】解：（1）1111111a a a a a +-==-+++； 故答案为：111a -+； （2）①323(1)553111a a a a a +-+==+---； 故答案为：531a +-； ②∵323(1)553111a a a a a +-+==+--- 令531x a =+-， 当x ， a 都为整数时，11a -=±或15a -=±，解得a ＝2或a ＝0或a ＝6或a ＝-4，当a ＝2时，x ＝8；当a ＝0时，x ＝-2；当a ＝6时，x ＝4；当a ＝-4时，x ＝2；∵x ， a 都为正整数，∴符合条件的a 的值为2或6．故答案为：2或6．【点睛】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键．17．6【分析】原式提取xy 利用提公因式法因式分解将各自的值代入计算即可求出值；【详解】解：∵x-y=2xy=3∴原式=xy （x-y ）==6【点睛】此题考查了提公因式法因式分解熟练掌因式分解是解本题的关键解析：6【分析】原式提取xy ，利用提公因式法因式分解，将各自的值代入计算即可求出值；【详解】解：∵x-y=2，xy=3，∴原式=xy （x-y ）=32⨯=6.【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌因式分解是解本题的关键．18．（-20）【分析】计算出前几次跳跃后点P1P2P3P4P5P6P7的坐标可以得出规律继而可求出点的坐标【详解】解：根据题意得：点P1（02）P2（2-2）P3（-42）P4（40）P5（-20）P6解析：（-2,0）【分析】计算出前几次跳跃后，点P 1、P 2、P 3、P 4、P 5、P 6、P 7的坐标，可以得出规律，继而可求出点2021P 的坐标．【详解】解：根据题意得：点P 1（0,2）、P 2（2，-2）、P 3（-4,2）、P 4（4,0）、P 5（-2,0）、P 6（0,0）、P 7（0,2），，∴每6次为一个循环，∵202163365÷=，∴点2021P 的坐标与点P 5的坐标相同，即为（-2,0），故答案为：（-2,0）．【点睛】此题考查坐标的变化规律探究，中心对称的定义，正确掌握中心对称的定义确定点的坐标，发现规律并运用解决问题是解题的关键．19．【分析】先解不等式组得到解集为：＜此时的整数解有且只有4个结合数轴分析可得到的取值范围【详解】解：由①得：＜由②得：所以不等式组的解集为：＜不等式组的整数解有且只有4个如图不等式组的整数解为＜故答案 解析：56m <≤【分析】先解不等式组，得到解集为：2x ≤＜m ，此时的整数解有且只有4个，结合数轴分析可得到m 的取值范围．【详解】解：0521x m x -<⎧⎨-≤⎩①② 由①得：x ＜m ，由②得：24,x -≤-2,x ∴≥所以不等式组的解集为：2x ≤＜m ，不等式组的整数解有且只有4个，如图，不等式组的整数解为2,3,4,5,5∴＜ 6.m ≤故答案为：56m <≤．【点睛】本题考查的是不等式组的整数解问题，掌握利用数轴分析得出不等式组中字母的取值范围是解题的关键．20．33°【分析】先根据等腰三角形的性质求出再根据垂直平分线的性质求解即可；【详解】∵在中∴∵的垂直平分线交点垂足为点∴AE=BE ∴∴；故答案是【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质垂直平分线的性解析：33°【分析】先根据等腰三角形的性质求出71ABC C ∠=∠=︒，再根据垂直平分线的性质求解即可；【详解】∵在ABC 中，AB AC =，38A ∠=︒，∴71ABC C ∠=∠=︒，∵AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，∴AE=BE ，∴38A ABE ∠=∠=︒，∴713833EBC ∠=︒-︒=︒；故答案是33︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．三、解答题21．（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）【分析】（1）根据全等三角形性质得，AB=CD ．AD=BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形；（2）根据平移的性质得//,BC B C BC B C ''''=，故//,AD B C AD B C ''''=，可得四边形AB C D ''是平行四边形；（3）根据直角三角形性质可证60,30,90ABC ABF AFB ︒︒︒∠=∠=∠=，根据勾股定理可得BF =【详解】解：(1)四边形ABCD 是平行四边形理由：因为两块三角尺全等，所以AB=CD ．AD=BC所以四边形ABCD 是平行四边形（2）四边形AB C D ''是平行四边形理由：四边形ABCD 是平行四边形，所以AD//BC ，AD=BC由平移的性质得//,BC B C BC B C ''''=//,AD B C AD B C ''''∴=所以四边形AB C D ''是平行四边形．(3)因为∠ADB=∠CB'D'=30°．∠ABD=∠B'D'C=90°．所以∠C=∠BAD=60°，．因为AD=8．所以AB=BC=4．所以60BAC ︒∠=．60,30,90ABC ABF AFB ︒︒︒∴∠=∠=∠=在Rt ABF ∆中，根据勾股定理得，BF =所以BF 的长为【点睛】考核知识点：平行四边形判定．理解平行四边形的判定方法是关键．22．2x --；【分析】首先把括号里进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算．【详解】 解：222422244x x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭=222244(2)22x x x x x x--+++- =222(2)(2)22x x x x x x--++- =2x --当22x =-时，原式=(22)2=2----．【点睛】本题是分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．23．（1）4x 2﹣9y 2+6y ﹣1；（2）22(2)(2)a a -+【分析】（1）先变形，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）（-2x +3y -1）（-2x -3y +1）=[-2x +(3y -1)][ -2x -(3y ﹣1)]=（﹣2x ）2﹣（3y ﹣1）2=4x 2﹣（9y 2﹣6y+1）=4x 2﹣9y 2+6y ﹣1；（2）()222416a a +-=22(44)(44)a a a a -+++=22(2)(2)a a -+．【点睛】本题考查整式的乘法运算、因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟记公式是解答的关键．24．（1）见解析；（2）22.5︒【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；（2）根据旋转可知AD=AB ，根据等腰三角形的性质可求．【详解】解：（1）旋转后的图形如图所示；（2）∵90C ∠=︒，AC BC =，∴45BAC ABC ∠=∠=︒．由旋转，得45DAE ADE ∠=∠=︒，AD AB = ∴18067.52DAB ADB ABD ︒-∠∠=∠==︒， ∴67.54522.5BDE ADB ADE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了旋转的性质和画图，等腰三角形的性质，解题关键是根据旋转的性质找到等边和等角．25．（1）3k =；（2）当3k <-时，直线()23y k x k =+-经过第一、二、四象限；当30k -<<时，直线()23y k x k =+-经过第一、二、三象限；（3）32k ≤-且3k ≠- 【分析】（1）把点A 的横分别代入1y kx k =+和()23y k x k =+-（0k ≠且3k ≠-），即可得解；（2）先根据1y kx k =+经过第四象限，求出k 的范围，再分两种情况讨论即可； （3）根据2132y y m k -=-，而1m >-时，始终有21y y >，可得出320k --≥，进而得出结果．【详解】解：（1）∵两条直线交于点A ，且点A 的横坐标为2，∴()223k k k k +=+-，得3k =．（2）∵直线1y kx k =+经过第四象限，∴0k <．∴当3k <-时，直线()23y k x k =+-经过第一、二、四象限；当30k -<<时，直线()23y k x k =+-经过第一、二、三象限．（3）由题意，得：1y km k =+，()23y k m k =+-，∴()()21332y y k m k km k m k -=+--+=-．∵1m >-时，总有210y y ->，∴320k --≥，得32k ≤-， ∴32k ≤-且3k ≠-． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，灵活运用一次函数的性质解决问题是本题的关键．26．（1）见解析；（2）BD=2CE ，理由见解析；（3）FM=2CE ．【分析】(1)由BD平分∠AB C，可得∠ABE=∠FBE，可证△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=12×180°=90°即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可证△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=12FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=12∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可证△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【详解】证明(1)∵BD平分∠AB C，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=12× 180°=90°，∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=1FM，2∴∠NMH=∠NBH，∠ABC=22.5°，∵∠EFC=12∴∠MNC=2∠NFH=2×1∠ABC=∠ABC，2∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键．。
【鲁教版】八年级数学下期中试题(及答案)
一、选择题1．如图，在ABC 中，2,30,105AC ABC BAC =∠=︒∠=︒，D 为AB 边上一点，连接CD ，15ACD =︒∠，把ACD △沿直线AC 翻折，得到ACD '△，CD '与BA 延长线交于点E ，则D E '的长为（ ）A 33+B 33-C 33+D 33- 2．3b -（a ﹣4）2＝0ab） A ．233B ．±233 C ．33D ．±333．下列各式中，错误的是（ ） A ．2(3)3=B ．233-=-C ．2(3)3=D 2(3)3-=-4．下列根式是最简二次根式的是（ ） A 18a B 2s C 0.5D 135．若0<x<1，则2211()4()4x x x x-++-等于（ ） A ．2xB ．－2xC ．－2xD ．2x6．已知点()0,0A ，()0,4B ，()3,4C t +，()3,D t ．记()N t 为ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则()N t 所有可能的值为（ ） A ．6、7B ．7、8C ．6、7、8D ．6、8、97．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCFα∠=︒-；②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（ ）A．①③④B．②③⑤C．①③④⑤D．②③④⑤8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C．13D．69．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（）A．8 B．83C．16 D．16310．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（）A．3B．5C．31-+或51-D．51+或3111．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC=12，BC=16，则AE的长为（）A．6 B．8 C．10 D．1212．如图，设每个小方格的边长都为113有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论①DCF ECF ∠=∠；②EF CF =；③3DFE AEF ∠=∠；④2BECCEFSS<中，一定成立的是_________．（请填序号）14．如图，边长分别为4和2的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结EG 并延长交BD 于点N ，交AD 于点M ．则线段MN 的长是__________．15．使式子1x +有意义x 的取值范围是________．16．若210|11|(12)0a b c -+-++=，则a b c ++的平方根是______．17．已知21620x x x-⋅-=，则x 的值为________．18．已知：如图，ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，ABD 是等边三角形，则CD 的长度为______．19．如图所示的网格是正方形网格，则CBD ABC ∠+∠=______°（点A ，B ，C ，D 是网格线交点）20．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB ＝24cm ，BC ＝12cm ，BF ＝7cm ，点M 在棱AB 上，且AM ＝6cm ，点N 是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N ，它需要爬行的最短路程为_______．三、解答题21．如图，四边形ABCD ，//BC AD ，P 为CD 上一点，PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥． （1）若80BAD ︒∠=，求ABP ∠的度数； （2）求证：=+BA BC AD ；（3）设3BP a =，4AP a =，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E 点F ．若AB EF =，求AE 的长（用含a 的代数式表示）．22．正方形ABCD 中，点E 是BD 上一点，过点E 作EF AE ⊥交射线CB 于点F ，连结CE ．（1）若AB BE =，求DAE ∠度数； （2）求证：CE EF = 23．计算： （1）362⨯ （2）327－412＋8 （3）()201535π---（4）()()()23132233223+-+-24．计算 （1）2201831125272-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭； （2）20(2)|12|(2)-+--；（3）2(1)16x -=；（4）321x +=25．如图，△ABC 中，AC ＝15，AB ＝25，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝12． （1）求线段AD 的长度；（2）判断△ABC 的形状并说明理由．26．阅读材料，并解决问题． 有趣的勾股数定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．一般地，若三角形三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足222=a b c +，那么数组()a b c ，，称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数()3，4,5以外，还提到()5，12,13，()7，24,25，()8，15,17，()20，21,29等勾股数．数学小组的同学研究勾股数时发现：设m ，n 是两个正整数，且m n >，三角形三边长a ，b ，c 都是正整数．下表中的a ，b ，c 可以组成一些有规律的勾股数()a b c ，，．m n abc通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数a b c ，，可以写成()2222mn b m n -+，，．解答下列问题：（1）表中b 可以用m ，n 的代数式表示为_____________． （2）若4m =，2n =，则勾股数()a b c ，，为______________． （3）小明通过研究表中数据发现：若1c b -=，则勾股数的形式可表述为()211k b b ++，，（k 为正整数），请你通过计算求此时的b ．(用含k 的代数式表示b )【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据三角形的内角和定理60CDE ∠=︒，再根据翻折的性质可得,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒，从而可得90,30CED D AE '∠=︒∠=︒，设D E x '=，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得(,3AE CE x ==+，最后在Rt ACE △中，利用勾股定理即可得．【详解】3150,105,ABC B D A AC C ∠=︒∠=∠=︒︒，30018BCD ABC BAC ACD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒， 60ABC BC CDE D ∴∠=∠+∠=︒，由翻折的性质得：,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒，30DCE ACD ACD '∴∠=∠+∠=︒，90,9030CED D AE D ''∴∠=︒∠=︒-∠=︒，设D E x '=，则2,AD AD x AE '===，(2DE AD AE x ∴=+=，在Rt CDE △中，((222,3CD DE x CE x ==+==+，在Rt ACE △中，222AE CE AC +=，即)(2223x ⎡⎤++=⎣⎦，解得x =或0x =<（不符题意，舍去），即D E '=故选：D ． 【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．2．A解析：A 【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a 、b 的值，再代入化简二次根式即可得． 【详解】由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：4030a b -=⎧⎨-=⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，3===， 故选：A ． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键．3．D解析：D【分析】根据算术平方根的意义，可得答案． 【详解】解：A 、2(3=，故A 计算正确，不符合题意；B 、3=-，故B 计算正确，不符合题意；C 、23=，故C 计算正确，不符合题意；D 3=，故D 计算错误，符合题意； 故选：D ． 【点睛】（a≥0）．4．B解析：B 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】A =BC 2=，不是最简二次根式，该选项不符合题意；D =，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查了最简二次根式．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5．D解析：D 【分析】利用完全平方公式以及二次根式的性质，结合0<x<1，进行化简，即可得到答案． 【详解】 ∵0<x<1， ∴1+x x ＞0，1-x x＜0，∴=11 |+||-| x xx x-=1+xx+1-xx=2x，故选D【点睛】||a=，是解题的关键．6．C解析：C【分析】分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．【详解】解：当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；当t=1.5时，A（0，0），B（0，4），C（3，5.5），D（3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；当t=2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力．7．D解析：D【分析】根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG，推出∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∵平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ， ∴BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°， ∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠BCD=180°-α，∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α， ∴①错误；②正确；∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α， ∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE ， 在△FBE 、△HAE 、△HDG 、△FCG 中，BF AH DH CF FBE HAE HDG FCG BE AE DG CG ===⎧⎪∠=∠=∠=∠⎨⎪===⎩， ∴△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG （SAS ）， ∴∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，③正确； ∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE ， ∴∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，⑤正确； ∴EH ⊥GH ，④正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．8．A解析：A 【分析】由菱形的性质得出OA ＝OC ＝6，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，则AC ＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH ＝12AB ，再由菱形的面积求出BD ＝8，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝12BD，∵菱形ABCD的面积＝12×AC×BD＝12×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝12BD＝4；故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH=12 BD．9．A解析：A【分析】由三角形底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC 时，三角形有最大面积．【详解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4又∵将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，∴FC=CD=4由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积∴△BCF面积的最大值是1144822BC FC=⨯⨯=故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．10．C解析：C【分析】分Q 在CB 延长线上和Q 在BC 延长线上两种情况分类讨论，求出CQ 长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q 在CB 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=， ∴BQ=CQ-BC=31-；如图2，当Q 在BC 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ+BC=31+；∴BQ 3131．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．11．C解析：C【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．【详解】解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：2222121620AB AC BC =+=+=，∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．∴1102AE BE AB ===， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 12．D解析：D【分析】13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，据此画两条以格点为端点且长度为13的线段．【详解】解：∵2232+=13， ∴13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB ，CD ，BE ，DF 的长都等于13；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．二、填空题13．②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥BC 交CD 于NFK ∥AB 交BC 于K 利用平行四边形的性质全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题【详解】解：如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥解析：②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．【详解】解：如图，延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CH ，∴∠A=∠FDH ，在△AFE 和△DFH 中，A FDH AFE HFD AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DFH ，∴EF=FH ，∵CE ⊥AB ，AB ∥CH ，∴CE ⊥CD ，∴∠ECH=90°，∴CF=EF=FH ，故②正确，∵DF=CD=AF ，∴∠DFC=∠DCF=∠FCB ，∵∠FCB ＞∠ECF ，∴∠DCF ＞∠ECF ，故①错误，∵FK ∥AB ，FD ∥CK ，∴四边形DFKC 是平行四边形，∵AD=2CD ，F 是AD 中点，∴DF=CD ，∴四边形DFKC 是菱形，∴∠DFC=∠KFC ，∵AE ∥FK ，∴∠AEF=∠EFK ，∵FE=FC ，FK ⊥EC ，∴∠EFK=∠KFC ，∴∠DFE=3∠AEF ，故③正确，∵四边形EBCN 是平行四边形，∴S △BEC =S △ENC ，∵S △EHC =2S △EFC ，S △EHC ＞S △ENC ，∴S △BEC ＜2S △CEF ，故④正确，故正确的有②③④．故答案为②③④．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．【分析】根据题意易证明和是等腰直角三角形再根据勾股定理即可求出MN 【详解】∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形∴∴和是等腰直角三角形∴∴在中故答案为：【点睛】本题考查正方形和平行线的性质等腰直角三角形 2【分析】根据题意易证明MND 和MDG 是等腰直角三角形，2DM DC GC =-=．再根据勾股定理即可求出MN ．【详解】∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形，//AD BE ．∴45DMG BEM MDN DGM ∠=∠=∠=∠=︒，∴MND 和MDG 是等腰直角三角形，∴422DG DM DC GC ==-=-=． ∴在Rt MND △中，2222MN MD === 2【点睛】本题考查正方形和平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理．根据题意证明MND 是等腰直角三角形在结合勾股定理求解是解答本题的关键． 15．x≥-1【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x+1≥0通过解该不等式即可求得x 的取值范围【详解】解：根据题意得x+1≥0解得x≥-1故答案为：x≥-1【点睛】此题考查了二次根式的意义和性解析：x≥-1【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x+1≥0，通过解该不等式即可求得x 的取值范围．【详解】解：根据题意，得x+1≥0，解得，x≥-1．故答案为：x≥-1．【点睛】（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．16．【分析】根据绝对值二次根式和偶次方的非负性得到abc 的值利用平方根的定义即可求解【详解】解：∵∴即∴∴的平方根是故答案为：【点睛】本题考查绝对值二次根式和偶次方的非负性以及平方根的定义掌握平方根的定 解析：3±【分析】根据绝对值、二次根式和偶次方的非负性得到a 、b 、c 的值，利用平方根的定义即可求解．【详解】解：∵2|11|(12)0b c -++=，∴100a -=，110b -=，120c +=，即10a =，11b =，12c =-，∴()1011129a b c ++=++-=，∴a b c ++的平方根是3±，故答案为：3±．【点睛】本题考查绝对值、二次根式和偶次方的非负性，以及平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．17．4或2【分析】先求出x 的取值范围然后分或求解即可；【详解】解：由题意得x≠0且x-2≥0∴x≥2且x≠0∵∴或当时则x2-16=0解得x=4或x=-4（舍去）；当时则x-2=0解得x=2；∴x 的值是解析：4或2【分析】先求出x 的取值范围，然后分2160x x-=0=求解即可； 【详解】解：由题意得x≠0，且x-2≥0，∴x≥2，且x≠0，∵2160x x-=， ∴2160x x-=0=，当2160x x -=时， 则x 2-16=0，解得x=4，或x=-4（舍去）；当20x -=时，则x-2=0，解得x=2；∴x 的值是4或2，故答案为：4或2．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式的值为零的条件，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．18．【分析】由勾股定理求出AB 根据等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2∠DAB=∠ABD=60°证出AB ⊥CD 于E 且AE=BE=1求出AE=CE=1由勾股定理求出DE 即可得出结果【详解】解：∵∠AC解析：31+【分析】由勾股定理求出AB ，根据等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，证出AB ⊥CD 于E ，且AE=BE=1，求出AE=CE=1，由勾股定理求出DE ，即可得出结果．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=()()2222222AC BC +=+=，∠CAB=∠CBA=45°， ∵ABD 是等边三角形，∴AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，∵AC=BC ，AD=BD ，∴AB ⊥CD 于E ，且AE=BE=1，在Rt △AEC 中，∠AEC=90°，∠EAC=45°，∴∠EAC=∠ACE=45°，∴AE=CE=1，在Rt △AED 中，∠AED=90°，AD=2，AE=1，∴DE=223AD AE -=，∴CD=31+．31．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识．运用勾股定理求出DE 是解决本题的关键．19．45【分析】做线段BA 关于BC 的对称线段BE 连接DE 先证明再证明△BDE 为等腰直角三角形得到∠DBE=45°问题得证【详解】解：如图做线段BA 关于BC 的对称线段BE 连接DE 则∠ABC=∠EBC ∴根据解析：45【分析】做线段BA 关于BC 的对称线段BE ，连接DE ，先证明CBD ABC DBE ∠+∠=∠，再证明△BDE 为等腰直角三角形，得到∠DBE=45°，问题得证．【详解】解：如图，做线段BA 关于BC 的对称线段BE ，连接DE ，则∠ABC=∠EBC ，∴CBD ABC CBD EBC DBE ∠+∠=∠+∠=∠， 根据勾股定理得221526BD =+=，222313BE =+=，222313DE =+= ，∴BE=DE ，222=26=BE DE BD +∴∠BED=90°，∴△BDE 为等腰直角三角形，∴∠DBE=45°，∴45CBD ABC ∠+∠=︒．故答案为：45【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理在网格中应用，根据题意作出线段BA 关于BC 的对称线段BE 是解题关键．20．cm 【分析】利用平面展开图有两种情况画出图形利用勾股定理求出MN 的长即可【详解】解：如图1∵AB=24cmAM ＝6cm ∴BM=18cm ∵BC=GF=12cm 点N 是FG 的中点∴FN=6cm ∵BF=7c493【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN 的长即可．【详解】解：如图1，∵AB=24cm，AM＝6cm，∴BM=18cm，∵BC=GF=12cm，点N是FG的中点，∴FN=6cm，∵BF=7cm，∴BN=7+6=13cm，∴MN=22+=493cm；1813如图2，∵AB=24cm，AM＝6cm，∴BM=18cm，∵BC=GF=12cm，点N是FG的中点，∴BP=FN=6cm，∴MP=18+6=24cm，∵PN= BF＝7cm，∴22+==cm．24762525∵49325，∴蚂蚁沿长方体表面爬到N493．493．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．三、解答题21．（1）50︒；（2）证明见解析；（3）52a 或3910a 【分析】（1）根据已知条件PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥以及三角形内角和，即可求得ABP ∠的度数；（2）延长BP 交AD 的延长线于点G ，由已知条件即可证明ABP AGP ≌，即可得到BA GA =，BP GP =，进而即可证明BCP GDP △≌△，即可得到=BC GD ，通过相等关系，即可证明=+BA BC AD ；（3）根据题意可知，可以分两种情况进行讨论，分别为：①当//AB EF 时，延长BP 交AD 的延长线于点G ，可知此时四边形ABFE 是平行四边形，可以求得AB 的长度，由（2）中证明的ABP AGP ≌，BCP GDP △≌△，可得BA GA =，BP GP =，=CP DP ，=BC GD ，进而可以证明CFP ≌DEP ，可得CF DE =，进而通过线段的等量关系求得AE 的长；②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，同①可得PFC PED △≌△，则CF DE =，则可得5BF AE BC AD AB a +=+==，由ABP △和梯形ABCD 的面积关系可得BH 的长度，通过勾股定理即可得到AH 的长度，通过证明Rt BHA △≌Rt FIE △，可得75AH EI a ==，进而通过等量关系即可得到AE 的长．【详解】（1）∵PA 平分BAD ∠，BP AP ⊥， ∴11804022BAP DAP BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒,90APB ∠=︒， ∴在Rt ABP 中，180180409050ABP BAP APB ∠=︒-∠-∠=-︒-︒=︒； （2）如图1，延长BP 交AD 的延长线于点G ，∵BP AP ⊥，PA 平分BAD ∠，∴90APB APG ∠=∠=︒，BAP GAP ∠=∠，在ABP △和AGP 中，BAP GAP ∠=∠，AP AP =，APB APG ∠=∠，∴ABP AGP ≌，∴BA GA =，BP GP =，∵//BC AD ，∴CBP DGP ∠=∠，在BCP 和GDP △中，CBP DGP ∠=∠，BP GP =，CPB DPG ∠=∠，∴BCP GDP △≌△，∴=BC GD ，∴BA GA AD GD AD BC ==+=+；（3）分两种情况讨论，①当//AB EF 时，如图2，延长BP 交AD 的延长线于点G ，∴由已知条件可知，此时四边形ABFE 是平行四边形，∴AE BF =，∵3BP a =，4AP a =，BP AP ⊥，∴在Rt ABP 中，222AB BP AP =+，解得，5AB a =，由（2）可知，ABP AGP ≌，∴5BA GA a ==，3BP GP a ==，由（2）可知，BCP GDP △≌△，∴=CP DP ，=BC GD ，∵//BC AD ，∴BFP GEP ∠=∠，在CFP 和DEP 中，CFP DEP ∠=∠，=CP DP ，CPF DPE ∠=∠，∴CFP ≌DEP ，∴CF DE =，∵=BC GD ，∴BC CF GD DE +=+,∴BF EG =，又∵四边形ABFE 是平行四边形，∴BF AE =,∴BF AE EG ==,∴25AG AE a ==， ∴52AE a =；图2②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，同①可得PFC PED △≌△，∴CF DE =，∴BF AE BF AD DE BF AD CF BC AD +=++=++=+，∴5BF AE BC AD AB a +=+==，在Rt ABP 中，2162ABP S BP AP a =⋅=△， 由（2）可知，梯形ABCD 的面积2212ABP S a ==△，梯形ABCD 的面积2122BC AD BH a +=⨯=， 解得，245BH a =， 在Rt ABH 中，2275AH AB BH a =-=， ∵//BC AD ，∴BH FI =，BF HI =，∵在Rt BHA △和Rt FIE △中，BH FI =，AB EF =，∴Rt BHA △≌Rt FIE △， ∴75AH EI a ==， ∴2()BF AE BF AH EI HI BF AH +=+++=+，∴2()BF AE BF AH +=+， ∴1110BF a =， ∴3910AE AB BF a =-=．图3【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的证明和性质、三角形面积、梯形面积、线段的和差、三角形内角和等知识，解答本题的关键是正确的作出辅助线，证明三角形全等．22．（1）22.5︒；（2）见解析.【分析】（1）用正方形对角线平分对角，等腰三角形性质计算即可；（2）借助正方形的性质，证明三角形全等，运用等角对等边证明即可.【详解】（1）∵ABCD 为正方形，∴45ABE ∠=︒．又∵AB BE =， ∴()11804567.52BAE ∠=⨯︒-︒=︒． ∴9067.522.5DAE ∠=︒-︒=︒（2）证明：∵正方形ABCD 关于BD 对称，∴ABE CBE △△≌，∴BAE BCE ∠=∠．又∵90ABC AEF ∠=∠=︒，∴BAE EFC ∠=∠，∴BCE EFC ∠=∠，∴CE EF =．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，等腰三角形的判定，运用正方形的性质，证明三角形的全等是解题的关键.23．（1）3；（2）3；（331－；（4）32－【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后进行二次根式的除法运算即可；（2）先把立方根、二次根式化简，然后合并即可；（3）先计算零指数幂和二次根式的除法，再计算加减法即可；（4）利用平方差公式和完全平方公式计算后再合并．【详解】解：（13=；（2=34-=3-=3；（3）)0π=1-=12-=1；（4）)(21-=31(1812)+--=2【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先计算乘除，再计算加减，掌握运算法则及乘法公式是关键．24．（1）－5；（2；（3）5x =或3x =-；（4）－1【分析】（1）分别利用乘方、负整数指数幂、算术平方根和立方根计算，再将结果相加减；（2）分别利用二次根式的性质、绝对值的性质和零指数幂化简（或计算），再将结果相加减；（3）两边直接开平方后，解一元一次方程即可；（4）移项合并后开立方即可．【详解】解：（1）原式=145(3)-+-+-=94-+=5-；（2）原式=211-；（3）2(1)16x -=两边同时开平方得：14x -=±，即14x =±，即5x =或3x =-；（4）321x +=移项后合并得：31x =-两边同时开立方得：1x =-．【点睛】本题考查实数的混合运算，利用平方根和立方根解方程．涉及的知识点有二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂、化简绝对值、平方根和立方根等．（1）（2）中能利用相关定义分别计算是解题关键；（3）（4）中主要用到的思想是降次．25．（1）9；（2）△ABC 是直角三角形，理由见详解．【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论．【详解】（1）∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，AC ＝15，CD ＝12，∴AD 2＝AC 2−CD 2＝152−122＝81，∵AD ＞0，∴AD ＝9；（2）△ABC 是直角三角形，理由如下：∵AB ＝25，AD ＝9，∴BD ＝AB−AD ＝25−9＝16，在Rt △CDB 中，∵∠BDC ＝90°，∴BC 2＝CD 2＋BD 2＝122＋162＝400，∵BC ＞0，∴BC ＝20，∵AC 2＋BC 2＝152＋202＝252＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．26．（1）2b mn =；（2）(12,16,20)；（3）222b k k =+【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把4m =，2n =代入()22222m n mn m n -+，，即可求解；（3）根据勾股定理求解即可；【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，∴2b mn =，故答案为：2b mn =；（2）当4m =，2n =时， a=m 2-n 2=42-22=12，2b mn ==2×4×2=16，c=m 2+n 2=42+22=20，∴勾股数()a b c ，，为(12,16,20)，故答案为：(12,16,20)；（3）根据题意，得222(21)(1)k b b ++=+，∴22244121k k b b b +++=++，解得222b k k =+．【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．。
五四制鲁教版数学八年级下册期中测试题(含答案)
五四制鲁教版数学八年级下册期中测试题（时间：90分钟满分：120分）一、选择题(每题3分，共36分)1.下列式子中，是最简二次根式的是( )A.√12B.√0.2√3D. √22.矩形具有而菱形不具有的性质是( )A.邻边相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直3.当x=2时，下列各式中，没有意义的是( )A.√x−2B.√2−xC.√x2−2D.√2−x24.下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判定菱形是正方形的是( ) 5.下列计算正确的是( )A.√(−5)2=−5B.√(−5)33=5C.−√52=−5D.√52−12=46.比较下列各组数中两个数的大小，正确的是( )A.−3>−√3B.32<1C.−13<−14D.√8>2√27.下列各式计算正确的是( )A.8√2−3√2=5B.5√2+3√3=8√5C.4√2×3√3=12√6D.4√2÷2√2=2√28.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O. 若∠AOB=60°,则ABBC=()A.12B.√3−12C.√32D.√339.射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=√2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长.如果a=5×10⁵m/s²,s=0.64m,那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为( ) A.0.4×10³m/sB.0.8×10³m/sC.4×10²m/sD.8×10²m/s10.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边长为2√6,点 B 在 x 轴的正半轴上，且. ∠AOC=60°,将菱形OABC绕原点O 逆时针方向旋转( 60°,，得到四边形OA'B'C'(点A'与点C 重合),则点. B′的坐标是( )A.(3√6,3√2)B.(3√2,3√6)C.(3√2,6√2)D.(6√2,3√6)11.如图,在矩形ABCD 中, AB=4,BC=6,，过对角线交点 O 作. EF⊥AC交AD于点 E,交 BC于点 F,连接CE,则△DEC的周长为( )A.10B.11C.12D.13(第11题) (第12 题)12.如图,在正方形 ABCD中,O 为对角线 AC 的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE=BA,连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB=2,则OF的长度为( )A.2B.√3C.1D.√2二、填空题(每题3 分，共18分)+√80的结果是____________.13.计算√125×√25√514.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,已知∠BOC=120°,DC=3cm,,则AC 的长为__________cm.的整数部分为__________，小数部分为3−√7__________.16.已知A=2√2x+1,B=3√x+3,C=√10x+3y,其中A, B为最简二次根式,且A+B=C,则2y−x的值为____________.17.如图,矩形 AEFG的顶点 E,F 分别在菱形 ABCD的边AB 和对角线 BD上,连接EG,CF,若EG=5,则CF的长为___________.第17题图第18题图18.如图,在正方形ABCD 中,点E,F分别在BC,CD上, △AEF是等边三角形，连接AC 交 EF 于点 G，给出下列结论：①BE=DF;②∠DAF =15°;③AC 垂直平分 EF;④BE +DF=EF;⑤S△CEF=2S△ABE,其中正确结论的序号为___________.三、解答题(19～21 题每题8分,22～24 题每题10 分,25题12分,共66分)19.计算:(1)(√5−√2)2+2√10;(2√2×√6√15√2√10−2.20.如图,点E 是正方形ABCD 内一点, △CDE是等边三角形，连接EB，EA.求证：△ADE≅△BCE.21.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O, DF⊥AC交BC于 F,垂足为E,已知∠ADF:∠FDC=3:2,求∠BDF的度数.22.【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：5+2√6=(2+3)+2√2×3=(√2)2+(√3)2+ 2√2×√3=(√2+√3)2;8+2√7=(1+7)+2√1×7=12+(√7)2+2×1×√7=(1+√7)2.【类比归纳】(1)请你仿照小明的方法将7+2√10化成另一个式子的平方.(2)请运用小明的方法化简；√11−6√2.【变式探究】(3)若a+2√21=(√m+√n)2,且 a,m,n均为正整数,求 a的值.23.如图,在菱形ABCD 中,M 为CD的中点，AM的延长线与BC 的延长线交于点 E，F 为 DC 延长线上一点，且CF=CD.(1)求证: △CME≅△DMA.(2)试判断四边形 BDEF 的形状，并证明你的结论.24.如图，在Rt△ABC中, ∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,,点D 从点 C 出发沿 CA 方向以4 cm/s的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 D，E 运动的时间是ts(0<t≤15).过点 D 作DF⊥BC于点 F，连接DE,EF.(1)求证：四边形 AEFD为平行四边形.(2)①当 t =___________时,四边形AEFD 为菱形. ②当 t =_______________时,四边形 DEBF 为矩形.25.已知点P 是菱形ABCD 对角线AC 上一点,点E 在BC 的延长线上，且 PE =PB. (1)如图①,求证: PD =PE.(2)如图②,当. ∠ABC =90°时,连接DE,则 DEBP 是否为定值?如果是，请求其值；如果不是，请说明理由.参考答案一、1. D 【点拨】 A.√12=√22,日罗√12不是最简二次根式; B.√0.2=√55,故 √0.2不是最简二次根式； √3=√33,故√3不是最简二次根式；D. √2是最简二次根式. 2. B 3. D4. B 【点拨】A.由AB=AD 不能判定菱形ABCD 是正方形，故A 不符合题意；B.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC=∠DAC,∵∠DAC =45°,∴ ∠DAB =90°,∴四边形 ABCD 是正方形,故 B 符合题意;C.由OA=OC 不能判定菱形ABCD 是正方形，故 C 不符合题意;D.由 ∠AOB=90°不能判定菱形ABCD 是正方形，故D 不符合题意.5. C 【点拨】 A.√(−5)2=5,原式计算错误；B.√(−5)33=−5,原式计算错误；C.−√52=−5,原式计算正确； D.√52−12=√24=2√6,原式计算错误. 6. C7. C 【点拨】A.原式 =5√2,所以 A 选项错误； B.5√2与3√3不能合并，所以B 选项错误；C.原式 =12×√2×3=12√6,所以C 选项正确；D.原式=2，所以D 选项错误. 8. D9. D 【点拨】 v =√2as =√2×5×105×0.64=8×10²(m s ⁄). 10. B11. A 【点拨】∵ 四边形 ABCD 为矩形, AB =4,BC =6,O 为对角线的交点,∴CD=AB =4,AD=BC=6, OA =OC. 又∵EF ⊥AC,∴EF 为AC 的垂直平分线.∴AE =EC.∴△DEC 的周长为 CD +DE +EC =CD +DE +AE =CD +AD =4+6=10. 12. D 【点拨】如图,连接AF,是正方 形, ∴AB =BE =BC,∠ABC =90 ∘,AC =∵ 四边形 ABCD √2AB =2√2,∴∠BEC =∠BCE,∴∠EBC =180°−2∠BEC,∴∠ABE =∠ABC −∠EBC =90°−(180°−2∠BEC)=2∠BEC −90°,∵ BF 平分. ∠ABE,∴∠ABF =∠EBF =12∠ABE =∠BEC −45°,∴∠BFE =∠BEC −∠EBF =45°,在 △BAF 和 △BEF 中, {AB =EB,∠ABF =∠EBF,BF =BF, ∴△BAF ≅△BEF (SAS ),∴∠BFE =∠BFA =45°, ∴∠AFC=∠BFA +∠BFE = 90°, ∵ O 为对角线AC 的中点, ∴OF =12AC =√2.二、13. 25+4√5【点拨】原式 =√25×√25+4√5=25+4√5. 14.6 15.2;√7−12【点拨】 3−√7=√7(3+√7)(3−√7)=3+√72,∴4<7<9,∴2<√7<3,∴52<3+√72<3,即3−√7的整数部分为2，则小数部分为3+√72−2=√7−12. 16.68 【点拨】∵A,B 为最简二次根式,且 A +B =C, ∴2x +1=x +3,解得 x =2,∴A =2√5,B =3√5,∴A +B =5√5=C,∴10x +3y =(5√5)2=125,将 x =2代入得 y =35,∴2y −x =2×35−2=68.17.5 【点拨】如图,连接AF,∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴∠ABF =∠CBF,AB =BC, 又∵ BF =BF,∴△ABF ≅△CBF (SAS ),∴AF =CF, ∵四边形AEFG 为矩形,∴EG=AF,∴EG=CF,∵EG=5,∴CF=5. 18.①②③⑤三、19.【解】( (1)(√5−√2)2+2√10=5−2√10+2+2√10=7; (2√2×√6√15−√2√10−2=2√2×615−4√210−2=45√5−45√5−2=−2.20.【证明】∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AD= BC, ∠ADC=∠BCD =90°,∵△EDC 是等边三角形,∴ED= EC,∠EDC =∠ECD=60°,∴∠ADE=∠BCE= 90°-60°=30°, 在△ADE 和△BCE 中,{AD =BC,∠ADE =∠BCE,ED =EC,∴ADE ≅BCE (SAS ).21.【解】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ADC=90°, AC =BD,CO =12AC,OD =12BD.∴CO =DO,∵∠ADF:∠FDC =3:2,∴∠FDC =25×90 ∘=36 ∘.∵DF ⊥AC,∴ ∠DEC=90°.∴ ∠DCO=90°-∠FDC=90°-36°=54°.∵CO=OD,∴∠ODC=∠DCO=54°,∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=54°-36°=18°.22.【解】 (1)7+2√10=(2+5)+2√5×2=(√2)2+(√5)2+2√2×√5=(√2+√5)2; (2)√11−6√2=√32+(√2)2−2×3×√2=√(3−√2)2=3−√2; (3)∵a +2√21=(√m +√n)2=m +n +2√mn,a,m,n 均为正整数，∴m +n =a,mn =21.又∵21=1×21或 3×7,∴mn =1×21或 3×7. ∴a =m +n =22或10.23.(1)【证明】∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴AD ∥BC,∴∠ECM =∠ADM, ∵ M 为 CD 的中点, ∴CM =DM,在 △CME 和 △DMA 中 {∠ECM =∠ADM,CM =DM,∠CME =∠DMA,∴△CME ≅△DMA (ASA );(2)【解】四边形 BDEF 是矩形,证明如下: ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴AD =BC =CD, 由(1)可知,△CME ≌△DMA ，∴CE ＝AD ，∴CE ＝BC. ∵CF =CD,∴四边形 BDEF 是平行四边形. ∵CD =BC,∴DF =BE,∴平行四边形 BDEF 是矩形.24.(1)【证明】由题意可知CD =4tcm,AE =2tcm,∠DFC =90°,∴∠B =90°,∠A =60°,∴∠C =30°,∴DF =12DC =2tcm.∴AE =DF.又∵DF ⊥BC,AB ⊥BC,∴AE ∥DF,∴ 四边形AEFD 为平行四边形.(2)①10 ②15225.(1)【证明】∵四边形 ABCD 是菱形,∴ BC = DC, ∠BCP =∠DCP.在△BCP和△DCP 中, {BC=DC,∠BCP=∠DCP,PC=PC,∴△BCP≅△DCP(SAS).∴ PB=PD.又∵ PE =PB,∴PD=PE.(2)【解】DEBP为定值. 设PE与CD交于点F.∵四边形ABCD 为菱形,∠ABC=90°,∴四边形 ABCD 是正方形.由(1)知△BCP≌△DCP,∴∠CBP=∠CDP.∵PE=BP,∴∠CBP=∠PEC.∴∠CDP=∠PEC.又∵∠CFE=∠DFP,∴180°-∠DFP-∠CDP=180°-∠CFE-∠PEC,即∠DPE =∠DCE. 易知∠DCE=90°.∴∠DPE=90°.又由(1)可知PD=PE,∴DE=√2PE.∴DEBP =DEPE=√2.。
【鲁教版】初二数学下期中试卷(带答案)(1)
一、选择题1．下列命题中，其逆命题是真命题的有（ ）个①全等三角形的对应角相等，② 两直线平行，同位角相等，③等腰三角形的两个底角相等，④正方形的四个角相等．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．若式子x 2-有意义，则x 的取值范围为( ) A ．x 2≥B ．x 2≠C ．x 2>D ．x 2< 3．下列计算正确的是（ ） A ．42=±B ．22423x x x +=C ．()326328a b a b -=-D ．()235x x x -=÷ 4．估计1(2622)2-⨯的值是（ ） A ．0到1之间 B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间 5．下列命题是假命题的是（ ）A ．全等三角形的周长相等B ．5-与20是同类二次根式C ．若实数a 0<，b 0<，则ab 0>D ．如果x y 0+=，那么x y 0+= 6．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，15CAE ∠=︒．连接OE ，则下面的结论：①DOC 是等边三角形；②BOE △是等腰三角形；③2BC AB =；④150∠=︒AOE ；⑤AOE COE S S =，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，30ACD ∠=︒，若ABC 的周长比AOB 的周长大10，则AB 的长为（ ）．A ．103B ．53C ．10D ．209．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．6，8，10B ．1，2，3C ．43，1，53D ．2，4，6 10．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ABC 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上．下列结论：其中正确的有（ ）①△ACE ≌△BCD ；②∠DAB ＝∠ACE ；③AE +AC ＝AD ；④AE 2+AD 2＝2AC 2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．已知锐角△ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB ＞BC ＞CA ，若边BC 上的高为AD ，则BD ﹣DC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 12．以下列各数作为长度的线段，能构成直角三角形的是（ ）A ．1,2,3B ．3,4,6C ．1,2,3D ．7,15,17 二、填空题13．如图，AC 是ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D =︒，则BAC ∠的度数是______．14．已知：如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使D C 、分别落在D C ''、的位置，若65EFB ︒∠=，则AED '∠的度数为_________．15．化简题中，有四个同学的解法如下： ①3(52)5252(52)(52)-==-++- ②(52)(52)525252+-==-++ ③()()()()a b a b a b a b a b a b --==-++- ④()()a b a b a b a b a b+-==-++ 他们的解法，正确的是___________．(填序号) 16．23-分母有理化后得__________． 17．二次根式3x -在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．若2DC =，1AD =，则BE 的长为__________．19．如图，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，边AC 落在数轴上，点A 表示的数是1，点C 表示的数是3．以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交数轴负半轴于点B 1，则点B 1所表示的数是_____．20．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．三、解答题21．已知：在Rt △ABC 中，90BAC ∠=，DE 是直角边AB 的垂直平分线，DBA ABC ∠=∠，连接AD ．求证：（1）四边形ADBC 是梯形；（2）12AD BC =． 22．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；②作边AC 的中点E ，连接DE ；（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．23．计算：10241|2|(2)23π-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭． 24．先化简，再求值：22121211x x x x x ÷---++，其中3x =． 25．如图，ABC 中，90C ∠=︒，16AC =，8BC =．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交AC 于点D ，求CD 的长．26．在等腰直角△ABC中，AB＝ AC， BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB 上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；①求证：∠BDP ＝∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先把每一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三组角分别对应相等的两个三角形全等”，逆命题是假命题，故①不符合题意；“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，故②符合题意；“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“在一个三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，故③符合题意；“正方形的四个角相等”的逆命题是“四个角相等的四边形是正方形”，逆命题是假命题，故④不符合题意；综上：符合题意的有②③．故选：.B【点睛】本题考查的是命题与逆命题，命题真假的判断，正方形的判定方法，掌握由原命题得到逆命题，以及判断命题的真假是解题的关键．2．A解析：A【分析】因为二次根式的被开方数是非负数，所以x 20-≥，据此可以求得x 的取值范围．【详解】则x 20-≥，解得：x 2≥．故选：A【点睛】（a 0≥）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．C解析：C【分析】A 选项利用二次根式的化简判断即可；B 利用合并同类项的运算判断即可；C 利用积的乘方判断即可；D 利用同底数幂的除法判断即可；【详解】A 2= ，不符合二次根式的化简，故该选项错误；B 、22223x x x += ，不符合合并同类项的运算，故该选项错误；C 、()326328a ba b -=-，故该选项正确； D 、()523x x x -÷=- ，不符合同底数幂的除法，故该选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，合并同类项，整数指数幂，正确掌握公式是解题的关键； 4．B解析：B【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．【详解】解：2， ∵34<<，∴.122<<，故选：B ．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．5．D解析：D【分析】根据全等三角形的性质、同类二次根式的定义、实数的乘法法则、二次根式被开方数的非负性进行判断即可．【详解】解：A 、全等三角形的对应边相等，所以周长也相等，此选项正确，不符合题意；B =，C 、若实数a 0<，b 0<，则ab 0>，此选项正确，不符合题意；D 、令x=1，y=﹣1，满足x+y=0无意义，此选项错误，符号题意，故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假判断，熟练掌握全等三角形的性质、、同类二次根式的定义、实数的乘法法则、二次根式被开方数的非负性是解答的关键．6．B解析：B【分析】判断出△ABE 是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB ＝30°，再判断出△ABO ，△DOC 是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB ＝AB ，再求出OB ＝BE ，可判断②，由直角三角形的性质可得BC AB ，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE ＝75°，再根据∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOE ＝135°，可判断④；由面积公式可得AOE COE SS =可判断⑤；即可求解．【详解】解：∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ＝45°，∴∠AEB ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB ＝BE ，∵∠CAE ＝15°，∴∠ACE ＝∠AEB−∠CAE ＝45°−15°＝30°，∴∠BAO ＝90°−30°＝60°，∵矩形ABCD 中：OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴△ABO 是等边三角形，△COD 是等边三角形，故①正确；∴OB ＝AB ，又∵ AB ＝BE ，∴OB ＝BE ，∴△BOE 是等腰三角形，故②正确；在Rt △ABC 中∵∠ACB=30°∴BC，故③错误；∵∠OBE ＝∠ABC−∠ABO ＝90°−60°＝30°＝∠ACB ，∴∠BOE ＝12（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOE ＝60°＋75°＝135°，故④错误；∵AO ＝CO ，∴AOE COE S S =，故⑤正确；故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．7．C解析：C【分析】求得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD =AD•BD ；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △AOD 中，AO ＞AD ，即可得到AO ＞DE ；依据O 是BD 中点，E 为AB 中点，可得BE=DE ，利用三角形全等即可得OE ⊥BD 且OB=OD ．【详解】解：在ABCD 中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED ，∴△ADE 是等边三角形，12AD AE AB ∴==， ∴E 是AB 的中点，∴DE=BE ，1302BDE AED ︒∴∠=∠=， ∴∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，∴S ▱ABCD =AD•BD ，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，∴∠CDB=∠BDE ，∴DB 平分∠CDE ，故②正确；∵Rt △AOD 中，AO ＞AD ，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误；∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE∵OE =OE∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．8．A解析：A【分析】由矩形的性质和已知条件求出3，BC=10，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，∠ABC=90°，AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD=30°，∴3，∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB＋AO＋BO，又∵ABC的周长比△AOB的周长长10，∴AB+AC+BC-（AB＋AO＋BO）=BC=10，∴3103故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，求出BC 的长是解题的关键．9．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理带入判断即可；【详解】A 、2226810+=，能组成直角三角形；B、2221+= 能组成直角三角形； C 、22245()1()33+= ，能组成直角三角形；D、22224+≠ ，不能组成直角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的运算，正确掌握勾股定理的逆运算是解题的关键； 10．C解析：C【分析】由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出②正确；由SAS 证出△ACE ≌△BCD ，①正确；证出△ADB 是直角三角形，由勾股定理得出④正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出③不正确；即可得出答案．【详解】解：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∠E ＝∠CDE ＝45°，∠CAB ＝∠CBA ＝45°， ∵∠DAB +∠CAB ＝∠ACE +∠E ，∴∠DAB ＝∠ACE ，故②正确；∴∠ACE +∠ACD ＝∠ACD +∠DCB ＝90°，∴∠ACE ＝∠DCB ，在△ACE 和△BCD 中，CA CB ECA DCB CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），故①正确；∴AE ＝BD ，∠CEA ＝∠CDB ＝45°，∴∠ADB ＝∠CDB +∠EDC ＝90°，∴△ADB 是直角三角形，∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴AD 2+AE 2＝AB 2，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝2AC ，∴AE 2+AD 2＝2AC 2，故④正确；在AD 上截取DF ＝AE ，连接CF ，如图所示：在△ACE 和△FCD 中， 45AE FD E CDF CE CD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△FCD （SAS），∴AC ＝FC ，当∠CAF ＝60°时，△ACF 是等边三角形，则AC ＝AF ，此时AE +AC ＝DF +AF ＝AD ，故③不正确；故选：C ．【点睛】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 11．B解析：B【分析】根据勾股定理,因AD 为公共边可以得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2再把三边关系代入解答即可．【详解】解：设BC ＝n ，则有AB ＝n ＋1，AC ＝n ﹣1，AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2，∴ AB 2﹣AC 2＝BD 2﹣CD 2∴ （n ＋1）2﹣（n ﹣1）2＝（BD ﹣CD ）n ，∴BD ﹣CD ＝4，故选：B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 BD ﹣CD 的长是解题关键．12．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、222123+≠，∴不能构成直角三角形，故A 错误；B 、222346+≠，∴不能构成直角三角形，故B 错误；C 、(22212+=，∴能构成直角三角形，故C 正确； D 、22271517+≠，∴不能构成直角三角形，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．二、填空题13．【分析】由四边形ABCD 是平行四边形得到∠ABC=∠D=102°再AD=AE=BE 得出∠EAB=∠EBA ∠BEC=∠BCA 继而得到∠ACB=2∠BAC 再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-解析：26︒【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE ，得出∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，继而得到∠ACB=2∠BAC ，再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC 求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ， ∠ABC=∠D=102°，∵AD=AE=BE ，∴BC=AE=BE ，∴∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，∵∠BEC=∠EAB ＋∠EBA=2∠EAB ，∴∠ACB=2∠BAC ，∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，∴3∠BAC=78°，即∠BAC=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识．14．【分析】由长方形纸片可得再求解由折叠的性质求解结合平角的定义可得答案【详解】解：长方形纸片由折叠可得：故答案为：【点睛】本题考查的是矩形与折叠平行线的性质简单题解题的关键是理解折叠的性质解析：50︒【分析】由长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒可得//,AD BC 再求解,DEF ∠ 由折叠的性质求解,D EF '∠ 结合平角的定义可得答案．【详解】 解： 长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒，//,AD BC ∴65DEF EFB ∴∠=∠=︒，由折叠可得：65D EF DEF '∠=∠=︒，180180656550.AED D EF DEF ''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：50.︒【点睛】本题考查的是矩形与折叠，平行线的性质，简单题，解题的关键是理解折叠的性质． 15．①②④【分析】对于分子分母都乘以分母的有理化因式计算约分后可判断①对于把分子化为再分解因式约分后可判断②对于当时分子分母都乘以分母的有理化因式计算约分后可判断③对于把分子化为再分解因式约分后可判断④解析：①②④【分析】-，计算约分后可判断①，对于，把分子化为22-，再分解因式，约分后可判断②，对于0≠，计算约分后可判断③，把分子化为22-，再分解因式，约分后可判断④，从而可得答案．【详解】()()22333====-故①符合题意；22-===，故②符合题意；≠时，()a ba b-===-故③不符合题意；22-===故④符合题意；故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是分母有理化，掌握平方差公式的应用，分母有理化的方法是解题的关键．16．【分析】根据分数的性质：分子分母同时乘以计算求出结果【详解】故答案为：【点睛】此题考查分数的性质分母有理化的计算方法根据分母得到分子分母都乘以使分母有理化是解题的关键解析：2+【分析】根据分数的性质：分子、分母同时乘以2+【详解】2==，故答案为：2+【点睛】此题考查分数的性质，分母有理化的计算方法，根据分母得到分子、分母都乘以2+分母有理化是解题的关键．17．【分析】根据二次根式的性质被开方数大于等于0列出不等式即可求解【详解】由题意得：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式熟练掌握二次根式的性质并列出不等式是解决本题的关键解析：3x≥【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列出不等式即可求解．【详解】x-由题意得：30x解得：3x．故答案为：3【点睛】本题主要考查了二次根式，熟练掌握二次根式的性质并列出不等式是解决本题的关键．18．【分析】根据是的垂直平分线得到BD=CDBE=CE推出∠DBC=∠C根据BD平分推出∠ABD=∠CBD=∠C求出∠C=得到DE=1利用勾股定理求出CE即可得到BE【详解】∵是的垂直平分线∴BD=CD【分析】根据DE是BC的垂直平分线，得到BD=CD，BE=CE，推出∠DBC=∠C，根据BD平分∠，推出∠ABD=∠CBD=∠C，求出∠C=30，得到DE=1，利用勾股定理求出CE即可ABC得到BE．【详解】∵DE是BC的垂直平分线，∴BD=CD,BE=CE，∴∠DBC=∠C，∠，∵BD平分ABC∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠CBD=∠C，∵∠ABD+∠CBD+∠C=90︒，∴∠C=30，DC=，∵2∴DE=1，∴=，【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，熟记线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．19．1﹣2【分析】先求出AC的长度再根据勾股定理求出AB的长度然后根据数轴的特点从点A向左AB个单位即可得到点B1【详解】解：根据题意AC＝3﹣1＝2∵∠ACB＝90°AC＝BC∴AB＝∴点B1表示的数解析：1﹣22【分析】先求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB的长度，然后根据数轴的特点，从点A向左AB个单位即可得到点B1．【详解】解：根据题意，AC＝3﹣1＝2，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AB＝2222AC BC+=+=2222∴点B1表示的数是1﹣22．故答案为：1﹣22．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理求出AB．20．12【分析】依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC=（x﹣1）尺因为BE=10尺所以BC=5尺利用勾股定理求出x的值即可得到答案【详解】解：依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC解析：12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，解之得x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD ，利用等边对等角可得到∠DBA=∠DAB ，进而可以证明AD ∥BC ，可以证出四边形ADBC 是梯形；（2）延长DE 交BC 于F ，证明△BDE ≌△BFE ，从而得出四边形ACFD 是平行四边形，进而得出结论．【详解】证明：（1）如图，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴∠DBA=∠DAB ，∵∠DBA=∠ABC ，∴∠ABC=DAB ，∴AD ∥BC ，∵AC 与BD 不平行，∴四边形ADBC 是梯形，（2）如图，延长DE 交BC 于F ，∵∠DBA=∠ABC ，BE=BE ，∠DEB=∠BEF=90°，∴△BDE ≌△BFE ，∴BF=BD=AD ，∵∠BAC=∠BEF=90°，∴DF ∥AC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形，∴AD=FC ，FC=BF=AD ， ∴12AD BC ． 【点睛】此题主要考查了梯形的判定，垂直平分线的性质以及平行四边形的判定和性质等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及作出辅助线（延长DE 交BC 于F ），是解决问题的关键．22．（1）①见解析；②见解析；（2）6.5【分析】（1）①以A 为圆心，小于AB 的长度为半径画圆，交AB 、AC 于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A ，即可得到BAC ∠的平分线，再画出它与BC 的交点D ；②作线段AC 的垂直平分线，即可找到线段AC 的中点E ，连接DE ；（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得152BD BC ==，AD BC ⊥，用勾股定理求出AB 的长，再根据中位线的性质得到DE 的长．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴152BD BC ==，AD BC ⊥， 在Rt ABD △中，2213AB AD BD =+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点，∴1 6.52DE AB ==， 故答案是：6.5．【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．23．1．【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂、零指数幂逐项计算即可求解．【详解】101|(2)2π-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭12=+-+1=．【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂是解题的关键．24．1x -，【分析】 首先将原式分子分母因式分解，先算除法，再算减法，最后把x 的值代入进行计算即可．进而化简求出答案．【详解】解：原式=22121211x x x x x -+⋅--+ =()()()2112111x x x x x -⋅-+-+ =()1211x x x x --++ =()()1211x x x x x x --++ =1x-当x ==3- 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（1）见解析；（2）6CD =【分析】（1）分别以A ，B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 即可． （2）设CD=x ，则AD=BD=16-x ，在Rt △BCD 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图直线MN即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA=DB，设CD=x，则AD=BD=16-x，在Rt△BCD中，∵BD2=BC2+CD2，∴()222-=+，168x xx=，解得6∴CD=6．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质,勾股定理的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．26．（1）见解析；①见解析；②BC-BD2；见解析；（2）BD-BC2BP【分析】（1）根据题意补全图形即可：①设PD与BC的交点为E，根据三角形内角和定理可求解；②过点P作PF⊥BP交BC于点F．证明△BPD≌△FPC，即可得到结论；（2）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，证明△HPC≌△BPD即可．【详解】解：（1）补全图形，如图．①证明：如图①，设PD与BC的交点为E．根据题意可知，∠CPD=90°．∵BC⊥l，∴∠DBC=90°．∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．∵∠BED=∠PEC∴∠BDP=∠PCB．②BC-BD=2BP．证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．∵AB= AC， A=90°，∴∠ABC=45°．∴BP=PF，∠PFB=45°．∴∠PBD=∠PFC=135°．∴△BPD≌△FPC．∴BD=FC．∵BF2BP，∴BC -BD=2BP ．（3）过点P 作PH ⊥BP 交CB 的延长线于点H ，如图③，∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC∴∠PDM=∠BCM∵∠ABC=∠ACB=45°∴∠HBP=45°∴∠DBP=45°∵∠BPH=90°∴∠BHP=45°∴HP=BP∴2HB PB =又∠DPC=90°∴∠HPC=∠BPD ，在△HPC 和△BPD 中，HP BP BPD HPC PHC PBD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△HPC ≌△BPD∴2BP BC +∴BD -BC 2BP ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．。
鲁教版八年级(下册)数学期中测试题(含答案)
鲁教版八年级下册数学期中测试题一.选择题（每题3分，共36分）1.已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数m m -2的值等于（ ） A.-1 B.0 C.1 D.22. 下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是 （ ）A ．两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C ．有两个锐角的和等于90°D ．角和等于180° 3. 已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 如图所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 中点 B ．BC 中点C ．AC 中点D ．∠C 的平分线与AB 的交点5. 今年某市粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年该市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．45250x +=B ．245(1)50x += C ．250(1)45x -= D ．45(12)50x +=6. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值围是( ) A.1k >- B. 1k >-且0k ≠ C.1k < D.1k <且0k ≠7.如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是（ ） A.(4，0) B.（1.0） C.（-22，0） D.（2，0）8. 用配方法将二次三项式542++a a 变形，结果是 （ ） A. 1)2(2+-a B. 1)2(2++a C. 1)2(2--a D. 1)2(2-+a 9. 将一长方形纸片按如图所示的方式折叠，B C ，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．95°1 2 3 4 -1 12 xy A0 A10. 小颖是个围棋迷，老师说，那么我就用围棋盘考考你，我在围棋盘上点A 、B 、C 处分别放一个棋子，小颖你能知道这是一个什么三角形吗？如图所示，设小方格边长为1，小颖想了几分钟，大叫我知道了.同学们你能确定△ABC 是（ ）A. 等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D. 直角三角形11. 已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．7D ．3 12. 如图，在Rt△ABC 中，90∠=A ，AB =AC ＝86，点E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，则△CEF 的面积是（ ）A ． 16B ． 18C ． 66D ． 76 二.填空题（每题3分，共15分）13. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE⊥AB，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为__ cm..14. 一元二次方程2260x -=的解为___________________．15. 请给出一元二次方程0___________82=+-x x 的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根.16. 若一个三角形的三边长均满足方程29180x x -+=，则此三角形的周长为 .17.电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB =AC =BC =6．如果跳蚤开始时在BC 边的P 0处，BP 0=2．跳蚤第一步从P 0跳到AC 边的P 1（第1次落点）处，且CP 1= CP 0；第二步从P 1跳到AB 边的P 2（第2次落点）处，且AP 2=AP 1；第三步从P 2跳到BC 边的P 3（第3次落点）处，且BP 3= BP 2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点P 2009与点P 2010之间的距离为_________．三.解答题(每题7分，共49分)18. 解下列方程：(1)2(3)4(3)0x x x -+-=; (3分) (2)2213x x +=.(4分)DCBAECFAE ABCP 1P 2319. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明． （1）你添加的条件是：____________ ； （2）证明：20.如图：△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，BD =CD ，∠BAD =30°，求证: △ABC 是等边三角形．21．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且——=115(1)求k 的值；（2）求++8的值。
【鲁教版】初二数学下期中试题及答案
20．如图，在 中， ， ， 是线段 上的动点（不含端点 、 ），若线段 的长是正整数，则点 的个数共有______个．
三、解答题
21．已知：如图，在梯形 中， 平分 ，若以点 为圆心， 长为半径作弧，交边 于点 ，联结 、 、 ．
A．m2+6m+9＝0B．m2﹣6m+9＝0C．m2+6m﹣9＝0D．m2﹣6m﹣9＝0
10．如图，在 中， ， ，AE平分 ，交 于点 ， 为AE上一点，且 ， ，连接 ．过点作 ，垂足为点 ．则下列结论正确的有（）
① ；② ；③ ；④ 的面积为
A．1B．2C．3D．4
11．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）
一、选择题
1．如图，将菱形纸片 折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形 的边长为4， ，则 的值是（）
A． B．2C． D．4
2．一个等腰三角形两边的长分别为 和 ，则这个三角形的周长为( )
A． B．
C． 或 D．无法确定
3．二次根式 ， ， ， ， 中，是最简二次根式的个数有（）
6．C
解析：C
【分析】
分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
【详解】
解：当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；
鲁教版初二下学期期中考试数学试题
（鲁教版）初二下学期期中考试数学试题一、填空题（每小题3分，满分30分）1、如图将△BAC绕点A沿顺时针方向旋转60°至△DAE的位置.若∠BAC=120°，则△ABD是______三角形.第1题图第2题图第6题图第12题图2、如图，图案绕中心旋转_______度(填最小度数)和原来图案互相重合。
.3、将面积为12cm2的正方形ABCD向上平移3cm，得到图形EFGH，则EFGH是_____形，面积等于______cm2.4、若菱形的对两条对角线长分别是10㎝和24㎝，则这菱形的面积为。
5、平行四边形的两邻角比为3：2，则这四边形的内角的度数分别是。
6、如图是一个四边形ABCD，已知AB＝DC，若再加上一个条件，就可证明它是一个平行四边形，这个条件可以是．7、若一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，则它是边形。
8、十边形的内角和是度。
9、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形面积是49cm2，则AF= ；10、等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别是15cm、49cm,则腰长= ______ .二、选择题（每小题3分，满分30分）11、下列图形中，是由（1）仅通过平移得到的是（）12、如图ΔABC和ΔADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是( )A. ΔABC和ΔADEB. ΔABC和ΔABDC. ΔABD和ΔACED. ΔACE和ΔADE13、下列说法正确的是（）A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到14、菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为（）A、4B、6 C．、8 D、1015、下列说法正确的是（）A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；B、对角线相等的四边形是矩形；C、对角线相等的菱形是正方形；D、对角线互相垂直的四边形是菱形。
初二鲁教版数学期中试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，哪个数是正数？A. -3B. 0C. 2D. -52. 若a > b，则下列哪个不等式成立？A. a - b > 0B. a + b > 0C. a - b < 0D. a + b < 03. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 等腰三角形B. 矩形C. 平行四边形D. 正方形4. 下列哪个函数是反比例函数？A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2D. y = x^35. 若一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积V为：A. V = a + b + cB. V = ab + bc + acC. V = abcD. V = a^2 + b^2 + c^26. 下列哪个数是质数？A. 49B. 51C. 53D. 557. 下列哪个方程的解为x = 2？A. 2x - 3 = 1B. 3x + 2 = 8C. 4x - 1 = 7D. 5x + 3 = 108. 若一个角的度数为90°，则它是一个：A. 锐角B. 钝角C. 直角D. 平角9. 下列哪个数是分数？A. 0.5B. 0.75C. 1.25D. 2.510. 下列哪个图形是中心对称图形？A. 等腰三角形B. 矩形C. 平行四边形D. 正方形二、填空题（每题3分，共30分）11. 5的平方根是__________。
12. 3x - 4 = 11的解为x = ________。
13. 下列数的倒数分别是：1/2 = ________，2/3 = ________。
14. 一个圆的半径是5cm，则它的直径是__________cm。
15. 若一个长方形的长是8cm，宽是6cm，则它的周长是__________cm。
16. 若一个等边三角形的边长是10cm，则它的面积是__________cm²。
17. 下列数的平方分别是：2² = ________，3² = ________。
【鲁教版】初二数学下期中试题(附答案)
一、选择题1．如图，在ABC 中，2,30,105AC ABC BAC =∠=︒∠=︒，D 为AB 边上一点，连接CD ，15ACD =︒∠，把ACD △沿直线AC 翻折，得到ACD '△，CD '与BA 延长线交于点E ，则D E '的长为（ ）A ．33+B ．33-C ．33+D ．33- 2．已知0<x<3，化简2(21)x =+-|x-5|的结果是（ ）A ．3x-4B ．x-4C ．3x+6D ．-x+63．下列计算中正确的是（ ）． A ．5611+=B ．()255-=-C ．1234÷=D ．1233-= 4．下列运算中错误的是（ ）A ．236⨯=B ．133=C ．322252+=D ．32230-=5．下列计算正确的是（ ）A ．336a a a +=B ．2331-=C ．()325x x =D ．642b b b ÷= 6．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，E 是边AD 上一动点，将△CDE 沿CE 折叠，得到△CFE ，则△BCF 面积的最大值是（ ）A ．8B ．83C ．16D ．1638．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα=9．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°10．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱粮仓模型．如图BC 是底面直径，AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A ，C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）A ．10πcmB ．20πcmC ．2cmD ．2cm 11．已知ABC 中，a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边，下列条件中不能判断ABC 是直角三角形的是（ ）A ．::3:4:5ABC ∠∠∠=B ．C A B ∠=∠-∠ C ．222+=a b cD ．::6:8:10a b c =12．如图，在等腰Rt △ABC ，90ABC ∠=︒，O 是ABC 内一点，10OA =，42OB =6OC =，O '为ABC 外一点，且CBO ABO '≅△△，则四边形AO BO '的面积为（ ）A ．10B ．16C ．40D ．80二、填空题13．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．14．如图，在四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ⊥顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D …如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，下列结论正确的有__________．①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b +．15．1248________________． 16．若2＜x ＜32(2)|3|x x --的正确结果是_____．17．己知0a ≥2a a =．请你根据这个结论直接填空：（19=______；（2）若22120202021x +=+21x +______18．如图，已知圆柱体底面圆的半径为aπ，高为2,AB CD、分别是两底面的直径，,AD BC是母线．若一只蚂蚁从A点出发，从侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）19．在平面直角坐标系中有两点A(5，0)，B(2，1)，如果点C在坐标平面内，且由点A、O、C连成的三角形与△AOB全等（△AOC与△AOB不重合），则点C的坐标是_________ 20．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3．以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1，则点B1所表示的数是_____．三、解答题21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝3时，PB＝cm．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？（3）四边形PBQD能否成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．22．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若CAD DBC∠=∠．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH CE⊥，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE OF=．23．计算：（1）27125032-+； （2）()3218722-+÷24．先化简，再求值：22111121x x x x x x --÷+--+，其中x ＝3+1． 25．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是边BC 上的两点，AD ＝AE ，点E 关于直线AC 的对称点是点M ，连接AM ，DM ；（1）如图1，当∠BAC ＝60°时；①依题意补全图形；②若∠BAD ＝α，则∠AEB ＝ ；（用含α的式子表示）；③求证：DA ＝DM ；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，依题意补全图形，用等式表示线段DC ，EC ，AM 之间的数量关系，并证明．26．如图，每个小正方形的边长均为1可以得到每个小正方形的面积为1．（1）请在图中的55⨯13（2）请在数轴上表示出113-+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先根据三角形的内角和定理60CDE ∠=︒，再根据翻折的性质可得,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒，从而可得90,30CED D AE '∠=︒∠=︒，设D E x '=，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得(3,323AE x CE x ==+，最后在Rt ACE △中，利用勾股定理即可得．【详解】 3150,105,ABC B D A AC C ∠=︒∠=∠=︒︒，30018BCD ABC BAC ACD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，60ABC BC CDE D ∴∠=∠+∠=︒，由翻折的性质得：,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒， 30DCE ACD ACD '∴∠=∠+∠=︒，90,9030CED D AE D ''∴∠=︒∠=︒-∠=︒，设D E x '=，则2,3AD AD x AE x '===，(23DE AD AE x ∴=+=，在Rt CDE △中，((222223,323CD DE x CE CD DE x ==+=-=+， 在Rt ACE △中，222AE CE AC +=，即)(22233232x x ⎡⎤++=⎣⎦， 解得336x =或3306x -+=<（不符题意，舍去），即36D E '= 故选：D ．【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．2．A解析：A【分析】先根据0<x<3判定2x+1和x-5的正负，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可．【详解】解：∵0<x<3∴2x+1＞0，x-5＜0∴=2x+1+x-5=3x-4．故答案为A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据0<x<3判定2x+1和x-5的正负是解答本题的关键．3．D解析：D【分析】根据二次根式的性质，对各个选项逐一分析，即可得到答案．【详解】不可直接相加运算，故选项A 错误；5=，故选项B 错误；2==，故选项C 错误；==D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的整式；解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的性质，从而完成求解．4．D解析：D【分析】根据二次根式的乘法法则对A 进行判断；根据二次根式的除法法则对B 进行判断；根据二次根式的加减法对C 、D 进行判断．【详解】解：A ，所以A 选项的计算正确；B＝3，所以B 选项的计算正确；C 、原式＝，所以C 选项的计算正确；D 、原式＝＝，所以D 选项的计算错误；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5．D解析：D【分析】依次根据合并同类项法则，二次根式的加减、幂的乘方和同底数幂的除法判断即可．【详解】解：A. 3332a a a +=，故该选项错误；B. =C. ()32236x x x ⨯==，故该选项错误；D. 64642b b b b -÷==，故该选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查幂的相关计算，合并同类项和二次根式的加减．掌握相关运算法则，能分别计算是解题关键．6．C解析：C【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形ABCD 是平行四边形，,AO OC BO DO ∴==．ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=．根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∠∠∴=．,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=．AO OD ∴=．,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④,DAO BAO BO DO ∠∠==，AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 7．A解析：A【分析】由三角形底边BC 是定长，所以当△BCF 的高最大时，△BCF 的面积最大，即当FC ⊥BC 时，三角形有最大面积．【详解】解：在菱形ABCD 中，BC=CD=AB=4又∵将△CDE 沿CE 折叠，得到△CFE ，∴FC=CD=4由此，△BCF 的底边BC 是定长，所以当△BCF 的高最大时，△BCF 的面积最大，即当FC ⊥BC 时，三角形有最大面积∴△BCF 面积的最大值是1144822BC FC =⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．8．A解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠ M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．B解析：B【分析】利用平行四边形的性质解决问题即可【详解】解：在平行四边形ABCD中，∵BC∥AD，∴∠A+∠B=180°，∵∠B=4∠A，∴∠A=36°，∴∠C=∠A=36°，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．C解析：C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC=A'C，且点C为BB'的中点，∵AB=5cm，BC=1×10=5cm，2∴装饰带的长度=2AC=2222+=+=cm，2255102AB BC故选：C．【点睛】本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．11．A解析：A【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【详解】解：A、∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；B、因为∠C=∠A-∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形；C、因为a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形；D、因为a：b：c=6：8：10，设a=6x，b=8x，c=10x，（6x）2+（8x）2=（10x）2，故△ABC 是直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．12．C解析：C【分析】连结OO′．先由△CBO≌△ABO′，得出OB=O′B=42，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，根据等式的性质得出∠O′BO=90°，由勾股定理得到O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，则O′O=8．再利用勾股定理的逆定理证明OA2+O′O2=O′A2，得到∠AOO′=90°，那么根据S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′，即可求解．【详解】解：如图，连结OO′．∵△CBO≌△ABO′，∴2OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA，∴∠O′BO=90°，∴O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，∴O′O=8．在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，∴OA2+O′O2=O′A2，∴∠AOO′=90°，∴S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′=12×6×8+1222=24+16=40．故选：C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键．二、填空题13．【分析】过点M作于N则可得MN是的中位线利用三角形中位线定理可得MN=AC=3BN=CN=BC=4设CF=x 则NF=4-x 由折叠的性质可得MF=CF 在中利用勾股定理即可求解【详解】解：过点M 作于N ∵ 解析：258 【分析】过点M 作MN BC ⊥于N ，则//MN AC ，可得MN 是Rt ABC △的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，由折叠的性质可得MF=CF ，在Rt MNF △中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点M 作MN BC ⊥于N ，∵90ACB ∠=︒，MN BC ⊥，∴//MN AC ，∵M 是AB 的中点，∴MN 是Rt ABC △的中位线，∴MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4， 设CF=x ，则NF=4-x ，∵将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，∴MF=CF=x ，在Rt MNF △中，222MN NF MF +=，∴()22234x x +-=，解得258x =， ∴CF=258． 故答案为：258． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．14．②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形是矩形四边形是菱形四边形是矩形四边形是菱形从而可得到规律序号n 是奇数时四边形是矩形当序号n 是偶数时四边形是菱形再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题【 解析：②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，从而可得到规律，序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题．【详解】解： 1111,,,A B C D 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，1111111111//,,//,,22A B AC A B AC C D AC C D AC ∴== 11//,A D BD 11111111//,,A B C D A B C D ∴=∴ 四边形1111D C B A 是平行四边形，,AC BD ⊥ 11//,A B AC 11//,A D BD1111,A B A D ∴⊥∴ 四边形1111D C B A 是矩形，1111,AC B D ∴=如图，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，∴ 2211221111,,22A B AC A D B D == 四边形2222A B C D 是平行四边形， 2222,A B A D ∴=∴ 四边形2222A B C D 是菱形，故①不符合题意，2222,A C B D ∴⊥同理可得：四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，故②符合题意，······总结规律：四边形n n n n A B C D ， 当序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，111111111111,,2222A B C D AC a A D B C BD b ======∴ 四边形1111D C B A 的周长为,a b + 如图， 四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，222222112211,,,A C B D A C A D B D A B ∴⊥==由中位线的性质同理可得：33332233332211111111,,22242224A DBC BD a a D C A B A C b b ===⨯====⨯= 所以四边形3333A B C D 的周长为()1,2a b + 由规律可得：四边形5555A B C D 是矩形， 同理可得：四边形5555A B C D 的周长是()11.224a b a b +⨯+=故③符合题意． 故答案为②③．【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．15．【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查二次根式的乘法熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键 3【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】 124812438⨯= 3【点睛】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键． 16．【分析】根据二次根式的性质绝对值的性质先化简代数式再合并【详解】解：∵2＜x＜3∴|x﹣2|＝x﹣2|3﹣x|＝3﹣x原式＝|x﹣2|+3﹣x＝x﹣2+3﹣x＝1故答案为：1【点睛】此题考查化简求值解析：【分析】根据二次根式的性质，绝对值的性质，先化简代数式，再合并．【详解】解：∵2＜x＜3，∴|x﹣2|＝x﹣2，|3﹣x|＝3﹣x，原式＝|x﹣2|+3﹣x＝x﹣2+3﹣x＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查化简求值，整式的加法法则，正确掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键．17．4041【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简即可；（2）先利用平方差公式得到x＝2020×4042再利用平方差公式可计算出2x＋1＝40412然后根据二次根式的性质计算【详解】（1）；故答案为：解析：4041【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简即可；（2）先利用平方差公式得到x＝2020×4042，再利用平方差公式可计算出2x＋1＝40412，然后根据二次根式的性质计算．【详解】（1=3=；故答案为：3；（2）∵x＋1＝20202＋20212，∴x＝20202＋20212−1＝20202＋（2021＋1）（2021−1）＝2020×（2020＋2022）＝2020×4042，∴2x＋1＝2×2020×4042＋1＝4040×4042＋1＝（4041−1）（4041＋1）＋1＝40412−1＋1＝40412，∴=．4041故答案为：4041．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：利用二次根式的基本性质进行化简；利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．18．【分析】要求一只蚂蚁从A点出发从侧面爬行到C点蚂蚁爬行的最短路线利用在圆柱侧面展开图中线段AC的长度即为所求【详解】解：圆柱的展开图如下在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求在Rt △ABC 中AB= 解析：2+4a【分析】要求一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，蚂蚁爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求．【详解】解：圆柱的展开图如下，在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求，在Rt △ABC 中，AB=π•a π=a ，BC=2，则：2222=+=4AC AB BC a +，所以2+4a 2+4a2+4a ．【点睛】本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图． 19．或或【分析】设点C 的坐标为先根据两点之间的距离公式可得的值再根据全等三角形的性质建立方程组解方程组即可得【详解】设点C 的坐标为由题意分以下两种情况：（1）当时则即解得或则此时点C 的坐标为或（与点B 重 解析：(2,1)-或(3,1)-或(3,1)【分析】设点C 的坐标为(,)C a b ，先根据两点之间的距离公式可得2222,,,AC OC AB OB 的值，再根据全等三角形的性质建立方程组，解方程组即可得．【详解】设点C 的坐标为(,)C a b ， (5,0),(0,0),(2,1)A O B ，222(5)AC a b ∴=-+，222OC a b =+，222(25)(10)10AB =-+-=，222(20)(10)5OB =-+-=，由题意，分以下两种情况：（1）当AOC AOB ≅时，则,AC AB OC OB ==，2222,AC AB OC OB ∴==，即2222(5)105a b a b ⎧-+=⎨+=⎩， 解得21a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=⎩， 则此时点C 的坐标为(2,1)C -或(2,1)C （与点B 重合，不符题意，舍去）； （2）当OAC AOB ≅时，则,AC OB OC AB ==，2222,AC OB OC AB ∴==，即2222(5)510a b a b ⎧-+=⎨+=⎩， 解得31a b =⎧⎨=-⎩或31a b =⎧⎨=⎩， 则此时点C 的坐标为(3,1)C -或(3,1)C ；综上，点C 的坐标为(2,1)-或(3,1)-或(3,1)，故答案为：(2,1)-或(3,1)-或(3,1)．【点睛】本题考查了两点之间的距离公式、全等三角形的性质、利用平方根解方程等知识点，熟练掌握全等三角形的性质，并正确分两种情况讨论是解题关键．20．1﹣2【分析】先求出AC 的长度再根据勾股定理求出AB 的长度然后根据数轴的特点从点A 向左AB 个单位即可得到点B1【详解】解：根据题意AC ＝3﹣1＝2∵∠ACB ＝90°AC ＝BC ∴AB ＝∴点B1表示的数解析：1﹣【分析】先求出AC 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长度，然后根据数轴的特点，从点A 向左AB 个单位即可得到点B 1．【详解】解：根据题意，AC ＝3﹣1＝2，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴AB==∴点B1表示的数是1﹣故答案为：1﹣．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理求出AB ．三、解答题21．（1）15；（2）t＝6或233；（3）能，t＝5.【分析】（1）先求出AP，即可求解；（2）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；（3）由菱形的性质可求DP＝BP，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）当t＝3时，则AP＝3×1＝3cm，∴PB＝AB﹣AP＝18﹣3＝15cm，故答案为：15．（2）若四边形PBCQ是平行四边形，∴PB＝CQ，∴18﹣t＝2t，∴t＝6，若四边形PQDA是平行四边形，∴AP＝DQ，∴t＝23﹣2t，∴t＝233，综上所述：t＝6或233；（3）如图，若四边形PBQD是菱形，∴BP＝DP，∵222AP AD DP+=，∴22144(18) AP AP+=-，∴AP＝5，∴t＝51＝5，∴当t＝5时，四边形PBQD为菱形．【点睛】本题考查了平行四边形，菱形的判定，勾股定理，分类思想，熟练掌握菱形的判定定理，灵活运用分类思想是解题的关键.22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由菱形的性质得出//AD BC ，2,2BAD DAC ABC DBC ∠∠∠∠==，得出180BAD ABC ∠+∠=︒，证出BAD ABC ∠=∠，求出90BAD ∠=︒，即可得出结论；（2）由正方形的性质得出11,,,22AC BD AC BD CO AC DO BO ⊥===，得出90COB DOC ∠∠==︒，CO DO =，证出ECO EDH ∠∠=，证明ΔΔ()ECO FDO ASA ≅，即可得出结论．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是菱形，//,2,2AD BC BAD DAC ABC DBC ∠∠∠∠∴==，180BAD ABC ∴∠+∠=︒CAD DBC ∠=∠BAD ABC ∴∠=∠2180BAD ∠∴=︒90BAD ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形；（2）证明：四边形ABCD 是正方形，11,,,22AC BD AC BD CO AC DO BO ∴⊥===， 90,COB DOC CO DO ∠∠∴==︒=DH CE ⊥，垂足为H ，,9090DHE EDH DEH ∠∠∠︒︒∴=+=，90ECO DEH ∠∠+=︒ECO EDH ∠∠∴=，在ΔECO 和ΔFDO 中，90ECO EDH CO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，ΔΔ()ECO FDO ASA ∴≅OE OF ∴=．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．23．（1）6；（2）7．【分析】（1）利用二次根式的除法运算计算后，再分别计算算术平方根，相加、减即可； （2）利用二次根式的除法运算计算后，再分别计算算术平方根，相加、减即可．【详解】解：（1）原式=3-2+5=6；（2==4-3+6=7．【点睛】0,0)a b=≥>是解题关键．24．11x x -+，3． 【分析】 先根据分式的混合运算法则化简原式，然后再将x 的值代入计算即可．【详解】 解：22111121x x x x x x --÷+--+ 21(1)1(1)(1)1x x x x x x -=-++--111x x x =-++ 11x x -=+，当1x =时，原式==3=．【点睛】本题主要考查分式的混合运算和化简求值，分母有理化，灵活运用分式的混合运算顺序和运算法则是解答本题的关键．25．（1）①见解析；② 60°＋α；③见解析；（2）2222DC EC AM +=；见解析【分析】（1）①根据题意可直接进行作图；②由题意易得△ABC 是等边三角形，则有∠B=∠C=60°，由AD=AE ，则有∠ADE=∠AED ，然后问题可求解；③由②易得∠DAM=60°，由轴对称的性质可得AD=AE=AM ，进而可得△ADM 是等边三角形，然后问题可求证；（2）由题意易证△DMC 是直角三角形，则有222DC CM DM +=，进而可证△ADM 是等腰直角三角形，则有2DM AM =，从而等量代换即可求解．【详解】（1）解：①由题意可得如图所示：②解：∵∠BAC=60°，AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵AD=AE ，∠BAD ＝α，∴∠ADE=∠AEB=60°＋α故答案为60°＋α；③证明：由②可得∠BAD=∠EAC ，∵∠BAC=60°，∴∠BAD+∠DAC=60°，∵点E 关于直线AC 的对称点是点M ，∴AC 垂直平分EM ，∴AE=AM ，∠EAC=∠MAC ，∴∠MAC=∠BAD ，DA ＝MA ，∴∠MAC+∠DAC=60°，∠DAM ＝60°，∴△ADM 是等边三角形，∴DA ＝DM ；（2）由题意可得如图所示：线段DC，EC，AM之间的数量关系：222+=2DC EC AM证明：∵点E关于直线AC的对称点是点M，∴AC垂直平分EM，∴AE=AM，∠EAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAD，DA＝MA，∵∠BAC=90°，∴∠DAM=90°，∴△DAM是等腰直角三角形，∴2=，DM AM∵AC垂直平分EM，∴EC=CM，∵∠ACB=45°，∴∠ACB=∠ACM=45°，∴∠MCD=90°，∴在Rt△DMC中，222+=，DC CM DM∴222+=．2DC EC AM【点睛】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质是解题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可知，作13的长的线段时，可以作一个直角边分别为2和3的直角三角形，它的斜边长即所求；（2）先作出边长是13的线段，再以原点为圆心，13为半径画弧，与数轴的正半轴相交于点A，再以A为圆心，1为半径画弧，与OA相交于点B，则OB为所求．【详解】解：（1）如图所示，ABCD为所求作正方形．-（2）如图所示，OB=113．【点睛】本题考查了勾股定理，利用勾股定理作图时找出相应线段是解题的关键．。
【鲁教版】初二数学下期中试卷带答案
D、 不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
利用二次根式的性质进行化简判断选项的正确性．
【详解】
C．2 D．
二、填空题
13．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为______cm2．
14．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的图形就用了这种分割方法若 ，正方形ODCE的边长为1，则BD等于___________．
又∵□ABCD的面积为52cm2，
∴△ACE的面积为13cm2．
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出△ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的 ．
2．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
【详解】
解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意；
（3）若AB＝10，AF+BF＝12，求EG的长．
26．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线 成轴对称的△A′B′C′；
（2）在直线 上找一点P，使PB+PC的和最小，并算出这个最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
【详解】
解： ，故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
，故④错误；
【鲁教版】初二数学下期中试卷(附答案)
一、选择题1．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）A ．三个内角之比为1︰2︰3B ．一边上的中线等于该边的一半C ．三边为111,,12135D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、2．下列运算正确的是（ ）．A ．235+=B ．3223-=C ．236⨯=D ．632÷= 3．如x 为实数，在“(31)-□x ”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x 不可能是（ ）A ．31-B ．31+C ．33D ．13- 4．下列计算正确的是（ ）A ．532-=B ．5315⨯=C ．2(22)16=D ．13= 5．下列计算正确的是（ ）A ．336a a a +=B ．2331-=C ．()325x x =D ．642b b b ÷= 6．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．正方形7．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．202058．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．29．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( )A ．若∠ACP=45°， 则CP=5B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5C ．若∠ACP=45°，则CP=245D ．若∠ACP=∠B ，则CP=24510．如图，以AB 为直径的半圆O 过点C ，4AB =，在半径OB 上取一点D ，使AD AC =，30CAB ∠=︒，则点O 到CD 的距离OE 是（ ）A ．2B ．1C ．2D ．2211．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，与BC 相交于点D 连接AD ，若AC ＝5，△ACD 的周长为17，则斜边AB 的长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1412．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．152B ．152C ．3D ．125二、填空题13．正三角形ABC 中，已知AB =6，D 是直线AC 上的动点，CE ⊥BD 于点E ，连接AE ，则AE 长的取值范围是_______________．14．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a +1|﹣22(1)()b a b -+-＝_____．15．若224y x x =-+-+，则y x 的平方根是__________．16．计算：2131|32|2218-⎛⎫---+÷= ⎪⎝⎭_________． 17．如图，将Rt △ABC 沿着点B 到A 的方向平移到△DEF 的位置，BC ＝8，FO ＝2，平移距离为4，则四边形AOFD 的面积为__．18．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，25AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．19．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若∠APB ＝α，则∠BPC 的度数为 ____（用含α的式子表示）．20．已知一个三角形三边的长分别为5,10,15，则这个三角形的面积是_________________．三、解答题21．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．参考答案22．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得到GFC ．（1）求证：BE DG =（2）若四边形ABFG 是菱形，且60B ︒∠=，求:AB BC 的值．23．计算（121850（2）()()()2323331244272⎛⎫---- ⎪⎝⎭． 24．计算：24613225．在ABC 中，,90︒=∠=AB AC BAC ．（1）如图1，点,P Q 在线段BC 上，,15AP AQ BAP ︒=∠=，求AQB ∠的度数；（2）点,P Q 在线段BC 上（不与点,B C 重合），AP AQ =，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接,AM PM ．①依题意将图2补全；②用等式表示线段,,BP AP PC 之间的数量关系，并证明．26．如图，已知ABC 中，90ACB ︒∠=，过点B 作//BD AC ，交ACB ∠的平分线CD 于点D CD ，交BC 于点E ．（1）求证：BC BD =；（2）若36AC AB ==，，求CD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据直角三角形的判定条件分别判断即可；【详解】三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意；直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；22211112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 符合题意；三边长的关系为()()()()222222220mn m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键． 2．C解析：C【分析】二次根式的加减法法则，乘除法法则计算并依次判断．【详解】A ∴A 选项不符合题意；B 选项：原式=∴B 选项不符合题意；C 选项：原式==∴C 选项符合题意；D =∴D 选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】此题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减法法则，乘除法法则是解题的关键． 3．C解析：C【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．【详解】解：A 、1)1)0-=，故选项A 不符合题意；B 、1)1)2⨯=，故选项B 不符合题意；C 1与C 符合题意；D 、1)(10+-=，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键． 4．B解析：B【分析】根据二次根式加减法、乘除法的法则分别计算即可得到答案．【详解】A A 错误；B ==B 正确；C 、28=，故选项C 错误；D==D 错误； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．5．D解析：D【分析】依次根据合并同类项法则，二次根式的加减、幂的乘方和同底数幂的除法判断即可．【详解】解：A. 3332a a a +=，故该选项错误；B. =C. ()32236x x x ⨯==，故该选项错误；D. 64642b b b b -÷==，故该选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查幂的相关计算，合并同类项和二次根式的加减．掌握相关运算法则，能分别计算是解题关键．6．A解析：A【分析】画出图形，根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵E ，F ，G ，H 是菱形各边的中点，∴EF ∥BD ，FG ∥AC ，∴EF ⊥FG ，同理：FG ⊥HG ，GH ⊥EH ，HE ⊥EF ，∴四边形EFGH 是矩形．故选：A ．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．7．B解析：B【分析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意，以此类推，215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为15)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．8．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC ，利用勾股定理求出BC ，再根据三角形中位线定理求出DE ．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC ，设BC=x，则AB=2x，∴()222483x x=+，解得：x=8或-8（舍），∴BC=8，∵D是AC边的中点，DE AC⊥，∴DE=12BC=4，故选C．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．9．D解析：D【分析】四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线， B、D选项CP为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线等于245，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D选项．【详解】解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，∴22228610AB AC BC+=+=，当CP为AB的中线时，152CP AB==，若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°，∴∠A+∠ACP =90°，∴∠APC=90°，即CP 为AB 的高线，∵BC≠AC ，∴CP 与中线不重合，不等于5，故B 选项错误；当CP 为AB 的高线时，1122ABC S AC BC AB PC =⋅=⋅△, 即11861022PC ⨯⨯=⨯⋅，解得245PC =, 故D 选项正确，C 选项错误．故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．10．A解析：A【分析】在等腰ACD ∆中，顶角30A ∠=︒，易求得75ACD ∠=︒，根据等边对等角，可得30OCA A ∠=∠=︒，由此可得45OCD ∠=︒，即OCE ∆是等腰直角三角形，则OE =【详解】∵AC AD =，30A ∠=︒，∴75ACD ADC ∠=∠=︒，∵AO OC =，∴30OCA A ∠=∠=︒，∴45OCD ∠=︒，即OCE ∆是等腰直角三角形． 在等腰Rt OCE ∆中，2OC =，因此 OE =故选：A ．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识的应用． 11．C解析：C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA DB =，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：DE 是AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，ACD ∆的周长为17，17AC CD AD ∴++=，17AC CD DB AC BC ∴++=+=，5AC =，17512BC ∴=-=， 由勾股定理得，2213AB AC BC =+=，故选：C ．【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12．D解析：D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB=5，∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEG （SAS ）∴FE ＝GE ，∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH ⊥AB 于H 点，则CH 的长即为CE+EG 的最小值，此时，AC BC AB CH =，∴CH=·AC AB BC=125， 即：CE+EF 的最小值为125，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．二、填空题13．≤AE≤【分析】取BC 中点O 利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE 再利用三角形三边关系即可求解【详解】解：取BC 中点O 连接OAOE ∵△ABC 正三角形且AB=6∴AO ⊥BCBO=OC=BC 解析：333-≤AE ≤333+ 【分析】取BC 中点O ，利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE ，再利用三角形三边关系即可求解．【详解】解：取BC 中点O ，连接OA 、OE ，∵△ABC 正三角形，且AB=6，∴AO ⊥BC ，BO=OC=12BC=12AB=3， ∴22226333AB BO -=-=，在△OAE 中，OA-OE<AE< OA+OE ，当O 、A 、E 在同一直线上时，取等号，∴OA-OE ≤AE ≤OA+OE ，∴333≤AE 333≤，故答案为：333≤AE 333≤．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边的关系，注意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．14．﹣2a 【分析】依据数轴即可得到a+1＜0b ﹣1＞0a ﹣b ＜0即可化简|a+1|﹣【详解】解：由题可得﹣2＜a ＜﹣11＜b ＜2∴a+1＜0b ﹣1＞0a ﹣b ＜0∴|a+1|﹣＝|a+1|﹣|b ﹣1|+|解析：﹣2a ．【分析】依据数轴即可得到a +1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，即可化简|a +1|．【详解】解：由题可得，﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，∴a +1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，∴|a +1|＝|a +1|﹣|b ﹣1|+|a ﹣b |＝﹣a ﹣1﹣（b ﹣1）+（﹣a +b ）＝﹣a ﹣1﹣b +1﹣a +b＝﹣2a ，故答案为：﹣2a ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简．15．【分析】根据二次根式的有意义的条件得出x 值进而求出y 代入计算即可【详解】解：要使有意义则：∴∴∴∴的平方根为故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的有意义的条件解题的关键是掌握被开方数大于或等于零 解析：4±【分析】根据二次根式的有意义的条件得出x 值，进而求出y ，代入计算即可．【详解】解：要使4y =有意义，则：2020x x -≥⎧⎨-≥⎩， ∴2x =，∴4y =，∴=4=±，∴y x 的平方根为4±，故答案为：4±．【点睛】本题考查了二次根式的有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于或等于零． 16．【分析】根据负整数指数幂定义绝对值的性质二次根式的除法计算法则依次计算再计算加减法即可【详解】解：原式==故答案为：【点睛】此题考查计算能力正确掌握负整数指数幂定义绝对值的性质二次根式的除法计算法则解析：243+ 【分析】 根据负整数指数幂定义，绝对值的性质，二次根式的除法计算法则依次计算，再计算加减法即可.【详解】解：原式=42333-++=243+．故答案为：243+.【点睛】此题考查计算能力，正确掌握负整数指数幂定义，绝对值的性质，二次根式的除法计算法则是解题的关键.17．【分析】根据平移的性质判断AD ＝CF ＝BE ＝4AD ∥CF 再根据平行四边形的面积和三角形面积公式解答即可【详解】如图连接CF 由平移的性质知AD ＝CF ＝BE ＝4AD ∥CF ∴四边形ACFD 为平行四边形∴＝解析：28【分析】根据平移的性质，判断AD ＝CF ＝BE ＝4，AD ∥CF ，再根据平行四边形的面积和三角形面积公式解答即可．【详解】如图，连接CF ．由平移的性质知，AD ＝CF ＝BE ＝4，AD ∥CF ，∴四边形ACFD 为平行四边形．∴ACFD S ＝AD •BC ＝4×8＝32，∵FO ＝2，∴S △FOC ＝12OF •BE ＝1242⨯⨯＝4， ∴AOFD S 四边形＝ACFD FOC S S -＝32-4＝28．故答案为28．【点睛】本题考查图形的平移以及平行四边形的判定．根据题意得出AOFD S 四边形＝ACFD FOC SS -是解答本题的关键． 18．【分析】根据中点的含义先求解作点C 关于AB 对称点则连接交AB 于P 连接此时的值最小由对称性可知于是得到再证明然后根据勾股定理即可得到结论【详解】解：为的中点作点C 关于AB 对称点交于则连接交AB 于P 连接 解析：25【分析】根据中点的含义先求解,BD 作点C 关于AB 对称点C '，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '，此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小，由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥于是得到90C BC '∠=︒，再证明4BC BC '==，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：4AC BC D ==，为BC 的中点，90ACB ∠=︒，2CD BD ∴==， 45CBA ∠=︒，作点C 关于AB 对称点C '，CC '交AB 于O ，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '．此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小．由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥ ∴90C BC '∠=︒，∴BC BC '⊥，点C 关于AB 对称点C '，∴AB 垂直平分CC '，∴4BC BC '==，根据勾股定理可得22422 5.DC '+=故答案为：5【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．19．【分析】由图可知AC 的长根据勾股定理可以求得PAPC 的长再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC 的形状从而可以得到∠CPA 的度数然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB 的度数【详解】设网格的长度为1则解析：90-α︒【分析】由图可知AC 的长，根据勾股定理可以求得PA 、PC 的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC 的形状，从而可以得到∠CPA 的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB 的度数．【详解】设网格的长度为1，则== ，AC=6222AP PC AC +=∴ △PAC 为等腰直角三角形∴∠CPA=90︒∴∠BPC=∠CPA−∠APB=90-α︒故答案为：90-α︒【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．【分析】根据勾股定理的逆定理判断这是一个直角三角形再结合面积公式求解【详解】解：∵∴∴该三角形为直角三角形∴其面积为故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则熟练掌握勾股定理【分析】根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解．【详解】解：∵2215+=，215=，∴222+=，∴该三角形为直角三角形，∴其面积为12=【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 三、解答题21．（1）BDE 是等腰三角形，证明见解析；（2）3AE =．【分析】（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x 即可．【详解】（1）BDE 是等腰三角形，理由是：由折叠得：EBD DBC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴ADB DBC ∠=∠，∴ADB EBD ∠=∠，∴BE DE =，∴BDE 是等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-， ∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∴在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴3AE =．【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．22．（1）见详解；（2）AB ：BC=2：3．【分析】（1）根据平移的性质，可得：AE=CG ，再证明Rt △ABE ≌Rt △CDG 即可得到BE=DG ；（2）根据四边形ABFG 是菱形，得出AB=BF ；根据条件找到满足AB=BF 的AB 与BC 满足的数量关系即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ．∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成．∴CG ⊥AD ．∴∠AEB=∠CGD=90°．∵AE=CG ，AB=CD ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDG （HL ）．∴BE=DG ；（2）∵四边形ABFG 是菱形∴AB ∥GF ，AG ∥BF ，∵Rt △ABE 中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=12AB ．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半） ∵四边形ABFG 是菱形，∴AB=BF ．∴BE=CF ，∴EF=12AB ， ∴BC=32AB ， ∴AB ：BC=2：3．【点睛】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等和平行四边形的性质以及菱形的性质．23．（1）；（2）-36【分析】（1）由二次根式的性质进行化简，再计算加减运算即可；（2）先由乘方、二次根式的性质、立方根进行化简，然后计算乘法，再计算加减即可．【详解】（1）解：原式=(135=+-=（2）原式()()184434=-⨯+-⨯-3213=---36=-． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．24．2【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可计算；【详解】2＝+2＝322． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可；在二次根式的混合运算中，如果能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往可以事半功倍；25．（1）60︒；（2）①见解析；②2222PC BP AP +=，证明见解析【分析】（1）根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以得解；（2）①根据轴对称的意义和性质可以作出图形；②连结MC ，然后根据轴对称的性质和直角等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质可以得到解答．【详解】解：（1）∵在ABC 中，,90AB AC BAC ︒=∠=，45B C ︒∴∠=∠=.APQ ∠是ABP △的一个外角，APQ B BAP ∴∠=∠+∠.15BAP ︒∠=，60APQ ︒∴∠=.AP AQ =，60AQB APQ ︒∴∠=∠=．（2）①如图，由题意可得补全图如下：②2222PC BP AP +=，理由如下：如上图，连接MC .,90AB AC BAC ︒=∠=，45B ACB ︒∴∠=∠=.AP AQ =，APQ AQP ∴∠=∠.BAP CAQ ∴∠=∠.ABP ACQ ∴△≌△.BP CQ ∴=.∵点Q 关于直线AC 的对称点为M ，,,,45AQ AM CQ CM CAM CAQ ACM ACQ ︒∴==∠=∠∠=∠=.,45,AP AM B ACM BAP CAM ︒∴=∠=∠=∠=∠，∴△ABP ≌△ACM ，∴BP=CM ，90BAC PAM ︒∴∠=∠=.在Rt APM △中，,90AP AM PAM =∠=︒，PM ∴=.45ACQ ACM ︒∠=∠=，90PCM ︒∴∠=.在Rt PCM 中，90PCM ︒∠=，222PC CM PM ∴+=，2222PC BP AP ∴+=【点睛】本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握直角等腰三角形和三角形的性质、轴对称的意义和性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理的应用是解题关键．26．（1）见详解；（2）【分析】（1）由平行线的性质得∠ACD=∠BDC ，根据平分线的性质得∠ACD=∠BCD ，进而即可得到结论；（2）先证明∠CBD=90°，结合勾股定理，即可求解．【详解】（1）∵// BD AC ，∴∠ACD=∠BDC ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠BCD ，∴∠BDC=∠BCD ，∴BC BD =；（2）∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠BDC+∠BCD=90°，∴∠CBD=180°-90°=90°，∵在Rt ABC 中，BC ===，∴BC BD ==∴在Rt BCD △中，CD ==． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．。
【鲁教版】初二数学下期中试题(及答案)
一、选择题1．当x 为何值时，1x -在实数范围内有意义（ ） A ．1x > B ．1≥x C ．1x < D ．1x ≤ 2．下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）22313,,1,4,1,(0),212a m x m a a a ⎛⎫+--+<⎪⎭ A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3．下列二次根式中，能与2合并的是（ ）A ．23B ．48C ．20D ．184．下列命题是假命题的是（ ）A ．全等三角形的周长相等B ．5-与20是同类二次根式C ．若实数a 0<，b 0<，则ab 0>D ．如果x y 0+=，那么x y 0+= 5．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）A ．AB ∥CD ，AD ∥BCB ．AD ∥BC ，AB ＝CD C ．OA ＝OC ，OB ＝OD D ．AB ＝CD ，AD ＝BC6．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠7．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A ．3B ．423C ．2D ．3529．如图，在等腰ABC ∆中，,AB AC =点E 为AC 的中点，且CD CE =．若60,4A EF cm ∠=︒=，则DF 的长为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cm 10．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22B 2C 21D ．111．如图，在长为10的线段AB 上，作如下操作：经过点B 作BC AB ⊥，使得12BC AB =；连接AC ，在CA 上截取CE CB =；在AB 上截取AD AE =，则AD 的长为（ ）A ．555-B ．1055-C ．10510-D ．555+ 12．以下列各数作为长度的线段，能构成直角三角形的是（ ） A ．1,2,3 B ．3,4,6 C ．1,2,3D ．7,15,17 二、填空题13．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______． 14．在△ABC 中， AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，且CE <AC ．若AD =6，AB =10，则CE =___________15．计算：2210(15)-=_____，818+=______．16．计算1112|13|()23----+的值是_____ 17．计算：3124-=________． 18．长方形零件图ABCD 中，2BC AB =，两孔中心M ，N 到边AD 上点P 的距离相等，且MP NP ⊥，相关尺寸如图所示，则两孔中心M ，N 之间的距离为__________mm ．19．如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，10AB =，8AC =，D 是AB 的中点，M 是边AC 上一点，连接DM ，以DM 为直角边作等腰直角三角形DME ，斜边DE 交线段CM 于点F ，若2MDF MEF S S =，则CF 的长为________．20．如图，在53⨯的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，则ABC ACB ∠+∠=_________．三、解答题21．如图，在正方形ABCD 中，10cm AB BC CD AD ====，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，点E 在边AB 上，且4cm AE =，如果点P 在线段BC 上以2cm/秒的速度B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动，设运动时间为t 秒．（1）若点Q 与点P 的运动速度相等，经过2秒后，BPE 与CQP 是否全等？请说明理由；（2）若点Q 与点P 的运动速度不相等，则当t 为何值时，BPE 与CQP 全等？此时点Q 的运动速度为多少？22．已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE ．（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．23．计算：412182432+-⨯． 24．计算：1(27)33-÷． 25．观察下边图形，每个小正方形的边长为1．（1）则图中阴影部分的面积是_______，边长是_______，并在数轴上准确．．地作出表示阴影正方形边长的点．（2）已知x 为阴影正方形边长的小数部分．．．．，y 为15的整数部分．．．．． 求：①,x y 的值；②2()x y +的算术平方根．26．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A 在离水面的BD 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处D 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性解答．【详解】由题意得：x-1>0，解得x>1，故选：A．【点睛】此题考查未知数的取值范围的确定，掌握分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性是解题的关键．2．A解析：A【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【详解】当m＜0对于任意的数x，x2+1＞0是三次方根，不是二次根式；﹣m2﹣1＜03(0)a是二次根式；当a＜12时，2a+1可能小于00)a，共3个，故选：A．【点睛】主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．3．D解析：D【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可．【详解】的同类二次根式．A 63无法合并，故A 错误；B 43无法合并，故B 错误；C 25无法合并，故C 错误；D 32可以合并，故D 正确． 故选D ．【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 4．D解析：D【分析】根据全等三角形的性质、同类二次根式的定义、实数的乘法法则、二次根式被开方数的非负性进行判断即可．【详解】解：A 、全等三角形的对应边相等，所以周长也相等，此选项正确，不符合题意；B =，C 、若实数a 0<，b 0<，则ab 0>，此选项正确，不符合题意；D 、令x=1，y=﹣1，满足x+y=0无意义，此选项错误，符号题意，故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假判断，熟练掌握全等三角形的性质、、同类二次根式的定义、实数的乘法法则、二次根式被开方数的非负性是解答的关键．5．B解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．【详解】A 、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；B 、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；C 、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；D 、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．6．D解析：D【分析】先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB=∠EBA，∵点F是AB的中点，∴AF=BF，∵∠AFD=∠BFE，∴△ADF≌△BEF，∴AD=BE，∵AD∥BE，∴四边形AEBD是平行四边形，A、当BAD BDA∠=∠时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；D、当DE平分ADB∠时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，∵DA=DF，DG=DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG，∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE=12（∠ADF+∠CDF）=45°，∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.8．D解析：D【分析】首先设AG＝x，由矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A′B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4-x）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【详解】解：设AG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∴BD5，由折叠的性质可得：A′D＝AD＝3，A′G＝AG＝x，∠DA′G＝∠A＝90°，∴∠BA′G＝90°，BG＝AB-AG＝4-x，A′B＝BD-A′D＝5-3＝2，∵在Rt△A′BG中，A′G2+A′B2＝BG2，∴x2+22＝（4-x）2，解得：x＝32，∴AG＝32，∴在Rt△ADG中，DG=．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．9．A解析：A【分析】由已知可得DF ⊥AB ，∠D=∠AEF=30°,所以根据含30°角的直角三角形性质可以算得DF 的值．【详解】解：∵AB=AC,∠A=60°，∴ΔABC 为等边三角形，∴∠ACB=60°,∵CD=CE ，∴∠CED=∠D=12∠ACB=30°， ∴∠AEF=30°， ∴∠AFE=180°-∠A-∠AEF=90°，∵EF=4cm ，∴设AF=x ，则AE=2x ，∴由勾股定理得：22244x x +=，∴∴AF AE == ∴2BF AB AF AE AF =-=-=∵∠D=30°， ∴2BD BF ==， ∴22223DF BD BF BF =-=，∴DF=16412BF ==-=， 故选A ．【点睛】本题考查等边三角形与直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形与直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用是解题关键． 10．B解析：B【分析】连接BP ，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，1，证明△BDP ≌△EDP ，推出BP=EP ，当点P 与点D 重合时，即可求出PEC ∆的周长的最小值．【详解】连接BP ，在Rt ABC ∆中，90,45B BCA ︒∠=∠=︒，∴∠BAC=45BCA ∠=︒，AB=BC ， ∴2222(2)2AB AC ===，∴AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，∴CE=21-，在△BDP 和△EDP 中，BD ED BDP EDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDP ≌△EDP ，∴BP=EP ，∴当点P 与点D 重合时，PE+PC=PB+PC=BC 的值最小，此时PEC ∆的周长最小， PEC ∆的周长的最小值为BC+CE=1+21-=2，故选：B ．． 【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP ≌△EDP ，由此推出当点P 与点D 重合时PEC ∆的周长最小，合情推理科学论证．11．A解析：A【分析】由勾股定理求出AC=55AD=AE=AC-CE=55-5即可．【详解】解：∵BC ⊥AB ，AB=10，CE ＝BC=1110522AB =⨯=， ∴222210555AB BC +=+=∴AD=AE=AC-CE=555，故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、222123+≠，∴不能构成直角三角形，故A 错误；B 、222346+≠，∴不能构成直角三角形，故B 错误；C 、(22212+=，∴能构成直角三角形，故C 正确；D 、22271517+≠，∴不能构成直角三角形，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．二、填空题13．4【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得【详解】∵D 是AB 的中点∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质熟记性质是解题的关键解析：4．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得2AB CD =．【详解】∵90C ∠=︒，D 是AB 的中点，∴2AB CD =，∴118422CD AB ==⨯=． 故答案为：4．【点睛】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 14．【分析】先根据勾股定理求得AB 再做△ABD 的中位线EF 可得EF=3BF=DF=4从而可得CF=1再次利用勾股定理即可求得CE 【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线AD=6AB=10∴∠D=90°∵CE 是【分析】先根据勾股定理求得AB ，再做△ABD 的中位线EF ，可得EF=3，BF=DF=4，从而可得CF=1，再次利用勾股定理即可求得CE ．【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线，AD =6，AB =10，∴∠D=90°，22BD AB AD 8=-=，∵CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，∴152CD AE BE AB ====， 取BD 的中点F,连接CF ，∴EF 为△ABD 的中位线，∴132EF AD ==,EF//AD ， ∴∠EFB=∠D=90°， 在Rt △BEF 中，根据勾股定理， 2222534BF BE EF =-=-=,∴DF=BD-BF=8-4=4，∴CF=CD-DF=5-4=1，在Rt △CEF 中，根据勾股定理，22221310CE CF EF +=+=10【点睛】本题考查三角形中位线的定理，勾股定理．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．15．-5【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出即可；（2）首先化简二次根式进而合并求出即可；【详解】故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的运算正确掌握二次根式的性质是解题关键解析：-5 52【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出即可；（2）首先化简二次根式，进而合并求出即可；【详解】210155=-=-故答案为：-【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．16．【分析】直接利用二次根式的性质绝对值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质正确掌握相关运算法则是解题关键解析：3【分析】直接利用二次根式的性质，绝对值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】11|1()2---+21=3=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．17．【分析】先根据二次根式的性质化简再合并即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算属于基础题目熟练掌握基本知识是解题关键【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并即可．【详解】22==，【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题关键．18．【分析】作MQ ⊥BCNF ⊥AB 交于点O 作根据AAS 证明△得到由得出从而得出OMON 的长最后由勾股定理可求出MN 【详解】解：作MQ ⊥BCNF ⊥AB 交于点O 作MK ⊥AB 于点K 作∵四边形ABCD 是矩形∴M 解析：262【分析】作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，根据AAS 证明△M PM N NP ''≅∆得到PN MM ''=，NN M P ''=，由2BC AB =得出24NN '=，从而得出OM ，ON 的长，最后由勾股定理可求出MN ．【详解】解：作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MK ⊥AB 于点K ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，∵四边形ABCD 是矩形，∴MK//AD//BC∴∠90KMM KMQ '=∠=︒∴M '、M 、Q 三点共线，∵∠90MPN =︒，∴∠90M PM N PN ''+∠=︒，∠90N PN PNN ''+∠=︒∴∠M PM PNN ''=∠又∠90PM M PN N ''=∠=︒，MP PN =∴△M PM N NP ''≅∆∴10PN MM ''==，NN M P ''=又∵10ON M P N P N M N M N N ''''+='=+=+则11AB NN '=+，5054104(10)BC ON NN '=+-=-+又∵2BC AB =，即104(10)2(11)NN NN ''-+=+∴24NN '=∴1014OM NN '=-=，1034ON NN '=+=在Rt OMN ∆中，222214341352262()MN ON OM mm =+=+==故答案为：2【点睛】此题主要考查了运用勾股定理示线段的长，作辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．19．3【分析】作DG ⊥AC 于GEH ⊥AC 于H 则∠DGM ＝∠MHE ＝90°DG ∥BC 由勾股定理得出BC ＝6证出DG 是△ABC 的中位线得出DG ＝BC ＝3AG ＝CG ＝AC ＝4证明△MDG ≌△EMH （ASA ）得解析：3【分析】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ，由勾股定理得出BC ＝6，证出DG 是△ABC 的中位线，得出DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4，证明△MDG ≌△EMH （ASA ），得出MG ＝EH ，由三角形面积关系得出DG ＝2EH ＝3，得出MG＝EH ＝32，再证明∆DGF~∆EHF ，从而求出GF ，进而即可得出答案． 【详解】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，如图所示：则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8， ∴BC6=，∵DG ∥BC ，D 是AB 的中点，∴DG 是△ABC 的中位线，∴DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4， ∵△DME 是等腰直角三角形，∴∠DME ＝90°，DM ＝ME ，∵∠DMG ＋∠GDM ＝∠DMG ＋∠EMH ＝90°，∴∠GDM ＝∠EMH ，在△MDG 和△EMH 中，DGM MHE DM MEGDM EMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△MDG ≌△EMH （ASA ），∴MG ＝EH ，∵S △MDF ＝2S △MEF ，∴DG ＝2EH ＝3，∴MG ＝EH ＝32， ∵DG ∥EH ，∴∆DGF~∆EHF ， ∴21DG GF EH HF ==，∵GH=MH-MG=DG-MG=3-32=32， ∴GF=32×221+=1， ∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3，故答案是：3．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键．20．45°【分析】延长BA 到格点D 得到根据勾股定理求出ADCDAC 长度再进一步证明△ADC 为等腰直角三角形问题得解【详解】解：如图延长BA 到格点D 则根据勾股定理得∴AD=CD ∴∠ADC=90°∴∠DAC解析：45°【分析】延长BA 到格点D ，得到ABC ACB DAC ∠+∠=∠，根据勾股定理求出AD 、CD 、AC 长度，再进一步证明△ADC 为等腰直角三角形，问题得解．【详解】解：如图，延长BA 到格点D ，则ABC ACB DAC ∠+∠=∠，根据勾股定理得，22=12=5AD +22=12=5CD +22=13=10AC +∴AD=CD ，222=AD CD AC +，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=∠DCA=45°，∴45ABC ACB ∠+∠=︒．故答案为：45°．【点睛】本题考查了勾股定理与逆定理，理解两个定理是解题关键．三、解答题21．（1）全等，理由见解析；（2）52t =秒，点Q 的运动速度为12cm/s 5． 【分析】（1）由题意可得BP ＝CQ ，BE ＝CP ，由“SAS”可证△BPE ≌△CQP ；（2）由全等三角形的性质可得BP ＝CP ＝5，BE ＝CQ ＝6，即可求点Q 的速度．【详解】解：（1）全等．理由：由题意：2BP CQ t ==，当2t =时，4BP CQ ==， 10AB BC ==，4AE =，1046BE CP ∴==-=，在BPE ∆与CQP ∆中BP CQ B C BE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPE CQP ∴∆≅∆；（2）P 、Q 运动速度不相等，BP CQ ∴≠，90B C ∠=∠=︒，∴当BP CP =，CQ BE =时，BPE CPQ ∆≅∆，152BP CP BC ∴===，6CQ BE ==， ∴当5522t =÷=（秒）时，BPE CPQ ∆≅∆， 此时点Q 的运动速度为5126(/)25cm s ÷=． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质解决问题是本题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意可得到//AB CE ，从而再证明AB CE =即可得出结论；（2）结合（1）的结论可以得到//BC AD ，BCE D ∠=∠，再根据2AFC D ∠=∠推出FEC FCE ∠=∠，从而得到FC FE =即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB CD ，AB CD =，即//AB CE ，∵DC CE =，∴AB CE =，∴四边形ABEC 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BC AD ，BCE D ∠=∠，∵四边形ABEC 是平行四边形，又∵AFC FEC BCE ∠=∠+∠，∴当2AFC D ∠=∠时，则有FEC FCE ∠=∠，∴FC FE =，AE BC =，∴四边形ABEC 是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键．23【分析】直接化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】﹣＝＝【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的性质能分别化简是解题关键．24．83【分析】根据二次根式的运算法则计算即可求解．【详解】解：原式=3333⎛⎫-÷⎪⎪⎝⎭8333=÷83=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟知运算法则并能正确将二次根式进行化简是解题关键．25．（1）13，13，图见解析；（2）①133,3x y=-=，②13．【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用勾股定理和算术平方根的定义求出边长，最后利用勾股定理作出边长表示的无理数即可；（2）①利用无理数估算的方法即可求得x和y；②将①中的x和y代入计算，并求算术平方根．【详解】解：（1）阴影部分面积155432132=⨯-⨯⨯⨯=，边长=222313+=，在图中数轴上作出表示阴影正方形边长的点如图所示：故答案为：1313（2）①∵91316<<，91516<<，∴3134<<，3154<<，∵x为阴影正方形边长的小数部分，y15∴133,3x y==，②由①得，133,3x y==，∴22()1333)13x y+=+=13【点睛】本题考查实数与数轴，用勾股定理表示无理数．掌握等面积法是解决（1）的关键，(2)中需注意小数部分=原数-整数部分．26．5【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案．【详解】如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m，∴AC=2222+=+=m，1.20.5 1.3CE AE∴1.3÷0.2＝6.5s，答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．。
【鲁教版】初二数学下期中试卷(带答案)
一、选择题1．如图，在ABC 中，点D 在BC 上，且CD CA =，CF 平分ACB ∠，E 是AB 的中点，7BC =，4AC =，则EF 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．3D ．6 2．如图，将四边形ABCD 去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF ，则∠1与∠2的和为( )A ．60°B ．108°C ．120°D ．240°3．如图，下列哪组条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形（ ）A ．AB ∥CD ，AB ＝CDB ．AB ∥CD ，AD ∥BC C ．OA ＝OC ，OB ＝OD D ．AB ∥CD ，AD ＝BC4．据悉，华为Mate40 Pro 和华为Mate40 Pro+搭载业界首款5nm 麒麟90005GSoC 芯片，其中5nm 就是0.000000005m ．将数据0.000000005用科学记数法表示为（ ） A ．9510-⨯ B ．80.510-⨯ C ．7510-⨯ D ．7510⨯ 5．冬季来临，为防止疫情传播，某学校决定用420元购买某种品牌的消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价购买多了20瓶，求原价每瓶多少元．设原价每瓶x 元，则可列出方程为（ ）A ．420420200.5x x -=- B ．420420200.5x x -=+ C ．420420200.5x x -=+ D ．420200.5x =- 6．如图，在数轴上表示2224411424x x x x x x-++÷-+的值的点是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N 7．下列四个多项式，可能是x 2＋mx －3 （m 是整数）的因式的是（ ） A ．x －2 B ．x ＋3 C ．x ＋4 D ．x 2－1 8．若2x y -=，3xy =，则22x y xy -的值为（ ）A ．1B ．1-C ．6D ．6- 9．下列各式从左边到右边的变形属于因式分解的是（ ）A ．6ab ＝2a •3bB ．a （x +y ）＝ax +ayC ．x 2+4x +4＝x （x +4）+4D ．a 2﹣6a +9＝（a ﹣3）2 10．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知不等式组1113x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．212．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，DE 垂直平分AB ，已知40ADE ∠=︒，则DBC ∠度数为（ ）A ．5︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒二、填空题13．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．14．如图ABC 的中线AE 、BD 交于点G ，过点D 作//DM BC 交AE 于点M ，则AMD 、DMG △和BEG 的面积之比为______．15．已知：23a b =，则a b b +=______． 16．已知1112a b -=，则ab a b-的值是________． 17．分解因式：224ma mb -=______．18．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后，得到正方形OA 1B 1C 1；第2次将正方形OA 1B 1C 1绕点O 逆时针旋转45°后，得到正方形OA 2B 2C 2；.....按此规律，绕点O 旋转得到正方形OA 2020B 2020C 2020，则点B 2020的坐标为______．19．已知：a 、b 、c 是三个非负数，并且满足326a b c ++=，231a b c +-=，设37m a b c =+-，设s 为m 的最大值．则s 的值为__________．20．上午9时，一条船从海岛A 出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛B 处，如图，海岛A 在灯塔C 的南偏西32°方向，灯塔C 在海岛B 的北偏东64°方向，则灯塔C 到海岛B 的距离是______海里．三、解答题21．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在AB 、CD 边上，且AE CF =． 求证：四边形BFDE 是平行四边形．22．先化简，再求值：23222122a b a b a ab a a a b ab --⎛⎫-÷⎪+++⎝⎭，其中20a b +-=． 23．已知7,12a b ab -==- （1）求22ab a b -的值（2）求22a b +的值24．（1）画图：图①为正方形网格，画出ABC 绕点O 顺时针．．．旋转90︒后的图形． （2）尺规作图：在图②中作出四边形ABCD 关于点O 对称的图形（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将作图痕迹涂黑）．25．列方程解应用题：七年级1班计划购买一批书包和词典作为“迎新知识竞赛”活动奖品，了解到每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．（1）求每个书包和每本词典的价格；（2）若该班计划用900元购买40份（即书包、词典的总数量）奖品，设其中购买了m 个书包，请写出余下的钱的代数式，当余下的钱为最小值时，问该班购买书包和词典的数量各是多少？26．如图：已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，点D 是AB 上任意一点，AE AB ⊥，且AE BD =，DE 与AC 相交于点F ．试判断CDE △的形状，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质得到DF=AF ，根据点E 是AB 的中点，推出EF 是△ABD 的中位线，由此得到EF=12BD 计算得出答案． 【详解】∵CD CA =，CF 平分ACB ∠，∴DF=AF，CD=4，∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF=12BD=12(BC-CD)=1.5，故选：A．【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，三角形的中位线的性质定理，熟记等腰三角形的三线合一的性质进行证明是解题的关键．2．D解析：D【分析】利用四边形的内角和得到∠B＋∠C＋∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B＋∠C＋∠D的度数即为所求的度数．【详解】∵四边形的内角和为（4−2）×180°＝360°，∴∠B＋∠C＋∠D＝360°−60°＝300°，∵五边形的内角和为（5−2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＝540°−300°＝240°，故选D．【点睛】本题考查多边形的内角和知识，求得∠B＋∠C＋∠D的度数是解决本题的突破点．3．D解析：D【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【详解】根据平行四边形的判定，A、B、C均符合是平行四边形的条件，D则不能判定是平行四边形．故选D．【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．4．A解析：A【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤＜； 【详解】0.000000005=9510-⨯ ，故选：A ．【点睛】本题考查了科学记数法的形式，正确理解科学记数法是解题的关键；5．A解析：A【分析】根据“原价买的瓶数-实际价格买的瓶数=20”列出方程即可．【详解】 解：原价买可买420x 瓶，经过还价，可买4200.5x -瓶．方程可表示为： 420420200.5x x-=-． 故选：A ．【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意还价前后商品的单价的变化．6．C解析：C【分析】先进行分式化简，再确定在数轴上表示的数即可．【详解】 解：2224411424x x x x x x-++÷-+ 2(2)14(2)(2)(2)x x x x x x -=+⨯+-+， 2422x x x -=+++， 242x x -+=+， 22x x +=+， =1，在数轴是对应的点是M ，故选：C ．【点睛】本题考查了分式化简和数轴上表示的数，熟练运用分式计算法则进行化简是解题关键． 7．B解析：B【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案．【详解】∵k 为整数，且常数项﹣3=（﹣1）×3=（﹣3）×1，∴23(1)(3)x mx x x +-=+-或(1)(3)x x -+，故选B ．【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键．8．C解析：C【分析】原式首先提公因式xy ，分解后，再代入求值即可．【详解】∵2x y -=，3xy =，∴22()326xy x x x y y y =-=⨯=-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了提公因式分解因式，关键是正确确定公因式．9．D解析：D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.【详解】解：A 、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B 、从左到右的变形，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C 、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D 、从左到右的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D.【点睛】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成整式的积的性质，叫做将多项式因式分解也叫做分解因式，掌握多项式的因式分解与整式乘法之间的区别是解题的关键.10．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D .【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合. 11．D解析：D【分析】首先解不等式组，求得其解集，又由数轴知该不等式组有3个整数解即可得到关于a 的方程，解方程即可求得a 的值．【详解】解：∵1113x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩， 解不等式1x a -<-得：1x a <-， 解不等式113x -≤得：2x ≥-， ∴不等式组的解集为：21x a -≤<-，由数轴知该不等式组有3个整数解，所以这3个整数解为-2、-1、0，则11a -=，解得：2a =，故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD ，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC ，即可得出答案．【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，∴AD=BD ，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD ，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°-40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠A ）=65°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键．二、填空题13．【分析】根据求出根据多边形内角和公式求出五边形的内角和即可得到答案【详解】∵∴∵五边形内角和=∴==故答案为：【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补多边形内角和公式熟记多边形内角和计算公式是解题的关键 解析：360︒【分析】根据//AE BC 求出180A B ∠+∠=︒，根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE 的内角和，即可得到答案．【详解】∵//AE BC ，∴180A B ∠+∠=︒，∵五边形内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，∴C D E ∠+∠+∠=540180︒-︒=360︒，故答案为：360︒．【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．14．3∶1∶4【分析】根据题意可证根据三角形中位线定理可得MD ∶BE ＝1∶2则这两个三角形面积之比为1∶4利用三角形中位线定理可证得AM ∶MG ＝3∶1和面积之比为3∶1将以上两个结论合并即可【详解】解：解析：3∶1∶4【分析】根据题意可证G DMG BE ∽，根据三角形中位线定理可得MD ∶BE ＝1∶2，则这两个三角形面积之比为1∶4，利用三角形中位线定理可证得AM ∶MG ＝3∶1，AMD 和DMG △面积之比为3∶1，将以上两个结论合并即可．【详解】解：∵AE 、BD 是ABC 的中线，//DM BC ， ∴12DM EC =，12DM BE =， ∵DME BEM ∠=∠，MDB EBD ∠=∠，∴G DMG BE ∽， ∴14DMG BEG SS =∶∶；∵G DMG BE ∽，∴12MG EG =∶∶，13MG ME =∶∶，∵AM ME =，∴31AM MG =∶∶，∴31AMD DMG SS =∶∶ ∴314AMD DMG BEG S S S =∶∶∶∶．故答案为：3∶1∶4．【点睛】本题考查了与三角形中位线有关的面积问题，利用三角形中位线性质与判定定理确定线段之间的比例是解题关键．15．【分析】根据题意可设a ＝2kb ＝3k 代入计算即可【详解】解：∵∴设a ＝2kb ＝3k ∴故答案为：【点睛】本题考查了分式的求值根据题意设a ＝2kb ＝3k 是解决本题的关键 解析：53【分析】根据题意可设a ＝2k ，b ＝3k ，代入计算即可．【详解】解：∵23a b =， ∴设a ＝2k ，b ＝3k ， ∴23533a b k k b k ++==， 故答案为：53． 【点睛】本题考查了分式的求值，根据题意设a ＝2k ，b ＝3k 是解决本题的关键．16．－2【分析】先把所给等式的左边通分再相减可得再利用比例性质可得再利用等式性质易求的值【详解】解：∵∴∴即∴故答案为：-2【点睛】本题考查了分式的加减法代数式求值解题的关键是通分得出是解题关键解析：－2【分析】先把所给等式的左边通分，再相减，可得12b a ab -=，再利用比例性质可得()2ab a b =--，再利用等式性质易求ab a b -的值. 【详解】解：∵1112a b -=， ∴12b a ab -=， ∴()2ab b a =-，即()2ab a b =--， ∴2ab a b=--. 故答案为：-2.【点睛】 本题考查了分式的加减法，代数式求值，解题的关键是通分，得出12b a ab -=是解题关键. 17．【分析】应先提取公因式m 再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；【详解】故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法公式法分解因式关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解解析：()()22m a b a b -+【分析】应先提取公因式m ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；【详解】()()()22224422ma mb m a b m a b a b -=-=+- ，故答案为：()()22m a b a b +-．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．18．（-1-1）【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心以OB 为半径的圆上运动由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OABC 相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°可得对应点B 的坐标解析：（-1，-1）【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形O A 1 B 1 C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【详解】解：∵四边形OABC 是正方形，且OA =1，∴B （1，1）；连接OB ，由勾股定理得：OB = 2，由旋转得：OB = OB 1= OB 2=OB 3=…=2； ∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，依次得到∠AOB =∠BO B 1=∠B 1O B 2=…=45°，∴B 1（0，2），B 2（-1，1），B 3（-2，0），B 4（-1，-1），...，发现是8次一循环，所以2020÷8=252 (4)∴点B 2020的坐标为（-1，1）．故答案为（-1，-1）．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
【鲁教版】初二数学下期中试卷及答案
一、选择题1．如图，在ABC 中，点D 在BC 上，且CD CA =，CF 平分ACB ∠，E 是AB 的中点，7BC =，4AC =，则EF 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．3D ．6 2．如图，将四边形ABCD 去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF ，则∠1与∠2的和为( )A ．60°B ．108°C ．120°D ．240°3．如图，平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且14,5AC BD CD +==，则ABO ∆周长是（ ）A ．10B ．14C ．12D ．22 4．已知112a b -=，则a b ab -的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 5．若关于x 的一元一次不等式组312(2)213x x x a +≤-⎧⎪-⎨<⎪⎩的解集为x≤－5，且关于x 的分式方程24233ax x x ++=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．06．H7N9病毒直径为30纳米，已知1纳米=0.000 000 001米．用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（ ）A ．93010-⨯米B ．83.010-⨯米C ．103.010-⨯米D ．90.310-⨯米 7．若a + b = 3，a 2-b 2=6，则a - b 等于（ ） A ．1B ．2C ．-2D ．-1 8．下列多项式中，不能用乘法公式进行因式分解的是（ ） A ．a 2﹣1B ．a 2+2a +1C ．a 2+4D ．9a 2﹣6a +1 9．下列等式中从左到右边的变形是分解因式的是（ ） A ．()21a a b a ab a +-=+-B ．()2211a a a a --=--C ．()()22492323a b a b a b -+=-++D ．1212x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭10．下列说法中正确的是（ ） A ．如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形一定也是轴对称图形；B ．如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形一定也是轴对称图形；C ．如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形一定也是旋转对称图形；D ．如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形一定也是中心对称图形；11．如图，一次函数1y ax b 与一次函数24y kx =+的图象交点()1,3P ，则下列说法正确的个数是（ ） ①1x =是方程3ax b +=的一个解； ②方程组4y ax b y kx =+⎧⎨=+⎩的解是31x y =⎧⎨=⎩；③不等式4ax b kx +>+的解集是1x >； ④不等式44ax b kx +<+<的解集是01x <<．A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，ABC 中，BAC 60∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分ADF ∠；④2AB AC AE +=．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③④C ．①②④D ．②④二、填空题13．如图，在ABC 中，13AB AC ==，10BC =．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的动点，且5DE =．连接DN ，EM ，则图中阴影部分的面积和为______．14．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线15．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：31122=+，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；如果假分式2412+++x x x 的值为整数，则x 的负整数值为______． 16．如果分式126x x --的值为零，那么x ＝________ ． 17．分解因式：2a 2﹣8＝______．18．如图，正方形ABCD 旋转后能与正方形CDEF 重合，那么点A ，B ，C ，D 中，可以作为旋转中心的有______个．19．一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）的图象如图所示，则一元一次不等式﹣kx ＋2k ＋b ＞0的解集为_____．20．如图，在ABC 中，10,12,CA CB AB AB ===边上的中线8,CD AE =平分BAC ∠，P 是线段AE 上的一点，,PF AB PG BC ⊥⊥，若:1:2PF PG =，则PG =_________．三、解答题21．已知直线y=kx+b 经过点A （5，0），B （1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线y=2x ﹣4与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标，并根据图象，直接写出关于x 的不等式2x ﹣4＞kx +b 的解集．（3）动点P 在y 轴上运动，动点Q 在x 轴上运动，是否存在以P 、Q 、A 、C 为顶点，且以AC 为边的平行四边形，若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．解方程：3155x x x -=-+． 23．探究题．（1）若28a ab m +=+，217b ab m +=-，求+a b 的值；（2）若实数x y ≠，且220x x -=，220y y -=，求x y +的值．24．如图，点D 是等边三角形ABC 内一点，连接DA ，DC ，将DAC △绕点A 顺时针旋转60︒，点D 的对应点为E ．（1）画出旋转后的图形；（2）当C，D，E三点共线时，求BEC∠的度数．25．解不等式组68491153x xxx+>+⎧⎪+⎨≤-⎪⎩，并把不等式组的解在数轴上表示出来．26．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质得到DF=AF，根据点E是AB的中点，推出EF是△ABD的中位线，由此得到EF=12BD计算得出答案．【详解】∵CD CA =，CF 平分ACB ∠，∴DF=AF ，CD=4，∵E 是AB 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF=12BD=12(BC-CD)=1.5， 故选：A ．【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，三角形的中位线的性质定理，熟记等腰三角形的三线合一的性质进行证明是解题的关键．2．D解析：D【分析】利用四边形的内角和得到∠B ＋∠C ＋∠D 的度数，进而让五边形的内角和减去∠B ＋∠C ＋∠D 的度数即为所求的度数．【详解】∵四边形的内角和为（4−2）×180°＝360°，∴∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°−60°＝300°，∵五边形的内角和为（5−2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＝540°−300°＝240°，故选D ．【点睛】本题考查多边形的内角和知识，求得∠B ＋∠C ＋∠D 的度数是解决本题的突破点． 3．C解析：C【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO ，BO=DO ，AB=CD=5，再利用已知求出AO+BO 的长，进而得出答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO ，BO=DO ，AB=CD=5，∵AC+BD=14，∴AO+BO=7，∴△ABO 的周长是：AO+BO+ AB=7+5=12．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO 的值是解题关键．4．B解析：B【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：∵112a b -=， ∴2b a ab-=， ∴原式＝﹣2，故选：B ．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 5．D解析：D【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集得到a 的范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负数得到a 的值，即可求解．【详解】解：不等式组整理得：523x x a -⎧⎨<+⎩， 由解集为5x -，得到235a +>-，即4a >-，分式方程去分母得：()2234ax x --+-=，整理得：(2)12a x -=， 解得：122x a=-， 由x 为非负整数，且3x ≠，得到21a -=，2，3，6，12，解得1a =或0或1-或4-或10-4a >-，1a或0或1-，符合条件的所有整数a 的和为1010+-=．故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．B解析：B【分析】由于1纳米=10-9米，则30纳米=30×10-9米，然后根据幂的运算法则计算即可．【详解】解：1纳米=0.000 000 001米=10-9米，30纳米=30×10-9米=3×10-8米．故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法-表示较小的数：用a×10n （1≤a ＜10，n 为负整数）表示较小的数． 7．B解析：B【分析】根据平方差公式将a 2-b 2=6进行变形，再把a+b=3代入求值即可．【详解】解：∵a+b=3，∴a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）=3（a-b ）=6，∴a-b=2，故选：B ．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答此题的关键．8．C解析：C【分析】直接利用公式法分别分解因式进而得出答案．【详解】A 、a 2﹣1＝（a+1）（a ﹣1），可以运用公式法分解因式，不合题意；B 、a 2+2a+1＝（a+1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；C 、a 2+4，无法利用公式法分解因式，符合题意；D 、9a 2﹣6a+1＝（3a ﹣1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了公式法，正确运用乘法公式是解题的关键．9．C解析：C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义依次判断．【详解】A 、()21a a b a ab a +-=+-这是整式乘法计算，故该项不符合题意； B 、()2211a a a a --=--，等式右侧不是整式的乘积，故该项不符合题意； C 、()()22492323a b a b a b -+=-++，故该项符合题意；D 、1212x x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，等式右侧是乘积，但1x 不是整式，故该项不符合题意； 故选：C ．【点睛】 此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的定义是正确判断的关键．10．C解析：C【分析】根据旋转对称图形、轴对称图形、中心对称图形的定义及性质判断各选项即可得出答案．【详解】A 、如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形不一定是轴对称图形，故选项不符合题意；B 、如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形不一定是轴对称图形，如平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项不符合题意；C 、如果一个图形是中心对称图形，那么这个图形一定也是旋转对称图形，故选项符合题意；D 、如果一个图形是旋转对称图形，那么这个图形不一定也是中心对称图形，当一个旋转对称图形没有旋转180︒则不是中心对称图形，故选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转对称图形、轴对称图形、中心对称图形，属于基础题，注意掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．11．C解析：C【分析】根据函数图象上点的特征和方程及不等式的关系可以直接作出判断．【详解】解：①如图所示，一次函数1y ax b 与一次函数24y kx =+的图象交于点(1,3)P ，则点(1,3)P 位于直线1y ax b 上，所以1x =是方程3ax b +=的一个解，故①说法正确． ②如图所示，一次函数1y ax b 与一次函数24y kx =+的图象交于点(1,3)P ，则方程组4y ax b y kx =+⎧⎨=+⎩的解是13x y =⎧⎨=⎩，故②说法错误． ③如图所示，一次函数1y ax b 与一次函数24y kx =+的图象交于点(1,3)P ，则不等式4ax b kx +>+的解集是1x >，故③说法正确． ④如图所示，一次函数1y ax b 与一次函数24y kx =+的图象交于点(1,3)P ，且直线24y kx =+与y 轴的交点是(0,4)，则不等式44ax b kx +<+<的解集是01x <<，故④说法正确．综上所述，说法正确的个数是3，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y kx b=+的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y kx b=+在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．12．C解析：C【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD，DF=12AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD．同理：DF=12 AD．∴DE+DF=AD．∴②正确．③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC 是否等于60°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．二、填空题13．30【分析】连接MN 根据题意可以得到MN 是三角形ABC 的中位线过点A 作AF 垂直于BC 与点F 进而求解面积即可；【详解】连接MN ∵MN 分别是ABAC 的中点∴MN 为三角形ABC 的中位线∵BC=10∴过点A解析：30【分析】连接MN ，根据题意可以得到MN 是三角形ABC 的中位线，过点A 作AF 垂直于BC 与点F ，进而求解面积即可；【详解】连接MN ，∵ M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴ MN 为三角形ABC 的中位线，∵BC=10，∴ 152MN BC == ， 过点A 作AF 垂直于BC 与点F ，∵AB=AC=13，∴点F 为BC 的中点，∴152BF BC ==， ∴22=135=12AF - ，∴阴影部分的高为12，∵MN=DE=5，∴1=512=302S ⨯⨯阴影 ， 故答案为：30．【点睛】本题考查了三角形的面积和中位线的性质，掌握数形结合的方法是解题的关键； 14．11【分析】先根据题意求出多边形的边数再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答【详解】设多边形的边数为n 则有(n-2)•180＋360=2520解得：n=1414-3=11即从这个多解析：11【分析】先根据题意求出多边形的边数，再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答．【详解】设多边形的边数为n ，则有(n -2)•180＋360=2520，解得：n =14，14-3=11，即从这个多边形的一个顶点出发共有11条对角线，故答案为11．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线，得到多边形的边数是解本题的关键．15．【分析】先把分式化为真分式再根据分式的值为整数确定的值【详解】解：分式的值为整数或的负整数值为故答案为：【点睛】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形解题的关键是理解真分式的定义解析：1-、3-、5-【分析】先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定x 的值．【详解】 解：2412+++x x x ()223=2x x +-+ 3=22x x +-+ 分式2412+++x x x 的值为整数， 21x ∴+=±或3x =±1x ∴=-、3-、5-、1∴x 的负整数值为1x =-、3-、5-，故答案为：1-、3-、5-．【点睛】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形，解题的关键是理解真分式的定义． 16．1【分析】根据分式的值为零可得解方程即可得【详解】由题意得：解得分式的分母不能为零解得符合题意故答案为：1【点睛】本题考查了分式的值为零正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键解析：1【分析】根据分式的值为零可得10x -=，解方程即可得．【详解】由题意得：10x -=，解得1x =，分式的分母不能为零，260x ∴-≠，解得3x ≠，1x ∴=符合题意，故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的值为零，正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键． 17．2（a+2）（a-2）【分析】先提取公因式2再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【详解】解：2a2-8=2（a2-4）=2（a+2）（a-2）故答案为：2（a+2）（a-2）【点睛】本题考查了用提解析：2（a+2）（a-2）【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】解：2a2-8，=2（a2-4），=2（a+2）（a-2）．故答案为：2（a+2）（a-2）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．2【分析】根据旋转的性质分类讨论确定旋转中心【详解】把正方形ABCD 绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合则旋转中心为点D；把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合则旋转中解析：2【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．【详解】把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；综上，可以作为旋转中心的有2个．故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．19．x＜4【分析】根据函数图象可以得到一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交x 轴于点（﹣20）y随x的增大而增大从而可以得到k和b的关系k＞0然后即可得到不等式﹣kx＋2k＋b＞0的解集【详解】解：由图解析：x＜4【分析】根据函数图象可以得到一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交x轴于点（﹣2，0），y随x的增大而增大，从而可以得到k和b的关系，k＞0，然后即可得到不等式﹣kx＋2k＋b＞0的解集．【详解】解：由图象可得，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交x轴于点（﹣2，0），y随x的增大而增大，∴﹣2k＋b＝0，k＞0，∴b ＝2k ，∴不等式﹣kx ＋2k ＋b ＞0可以化为：﹣kx ＋2k ＋2k ＞0，解得：x ＜4，故答案为：x ＜4．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答解答．20．【分析】连接PBPC 过P 作PH ⊥AC 垂足为H 设PF=x 求出CD 的长从而算出△ABC 的面积再根据S △ABC=S △ABP+S △ACP+S △BCP=求出x 值可得结果【详解】解：连接PBPC 过P 作PH ⊥AC 解析：167【分析】连接PB ，PC ，过P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，设PF=x ，求出CD 的长，从而算出△ABC 的面积，再根据S △ABC =S △ABP +S △ACP +S △BCP =21x ，求出x 值，可得结果．【详解】解：连接PB ，PC ，过P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，∵AP 平分∠BAC ，∴PF=PH ，设PF=x ，则PH=x ，PG=2x ，∵CA=CB=10，CD 是AB 中线，AB=12，∴AD=BD=6，则=8，∴S △ABC =12AB CD ⨯⨯=48， 又S △ABC =S △ABP +S △ACP +S △BCP =()12AB PF AC PH BC PG ⨯⋅+⋅+⋅ =()11210202x x x ⨯++ =21x=48解得：x=167， 即PG=167， 故答案为：167．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是利用△ABC 的面积列出方程．三、解答题21．（1）5y x =-+；（2）3x >；（3）存在，（0，2）或（0，2-）．【分析】（1）利用待定系数法把点A （5，0），B （1，4）代入y kx b =+可得关于k 、b 得方程组，再解方程组即可；（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可求得点C 的坐标；根据C 点坐标可直接得到关于x 的不等式2x ﹣4＞kx +b 的解集；（3）分CQ 为对角线和CP 为对角线时两种情况讨论，利用平行四边形的性质求解即可．【详解】（1）∵直线y kx b =+经过点A （5，0），B （1，4），∴504k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得15k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为：5y x =-+；（2）∵若直线24y x =-与直线AB 相交于点C ，∴524y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得32x y =⎧⎨=⎩， ∴点C （3，2）；根据图象：当3x >时，直线24y x=﹣在直线y kx b =+的上方， ∴不等式2x ﹣4＞kx +b 的解集为：3x >；（3）存在，理由如下：当CQ 为对角线时，如图1所示：根据平行四边形的性质得PC ∥AQ ，∴点P 的纵坐标与点C 的纵坐标相等，此时点P 的坐标为（0，2）；当CP 为对角线时，如图2所示：根据平行四边形的性质得PC 的中点在x 轴上，设点P 的坐标为（0，n ）， 则202n ，解得2n =-，此时点P 的坐标为（0，2-）；综上，点P 的坐标为（0，2）或（0，2-）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息，利用数形结合思想解决问题．22．20x =-【分析】先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解即可；【详解】解：得方程两边同乘()()55+-x x()()253525x x x x +--=-22531525x x x x +-+=-240x =-检验：当20x =-时，()()550x x +-≠，所以，原分式方程的解为20x =-．【点睛】本题考查了分式方程的解法．题目相对简单．求解本题需要注意：（1）分式方程需检验；（2）去分母时勿漏乘不含分母的项．23．（1）5a b +=±；（2）2x y +=．【分析】（1）首先把两式相加，然后根据完全平方公式计算即可；（2）把两式相减，进一步分组因式分解整理得出答案即可．【详解】解：（1）∵28a ab m +=+，217b ab m +=-，两式相加得：22817a ab b ab m m +++=++-，∴()225a b +=， ∴5a b +=±；（2）∵22?0x x -=，22?0y y -=， 两式相减得：()22220x x y y ---=， ∴()()()20x y x y x y +---=，∴()()20x y x y +--=，∵x y ≠，∴20x y +-=，则2x y +=．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法和完全平方公式，平方差公式是解决问题的关键．24．（1）见解析；（2）60°【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；（2）由旋转可得∠AEB=∠ADC ，再证明△ADE 为等边三角形得∠AED=∠ADE=60゜，进一步可得答案；【详解】解：（1）如图，EAB ∆是所求作的DAC △绕点A 顺时针旋转60︒后得到的三角形．（2）连接DE．∵△ABC为等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60゜由旋转可得，△ABE≌△ACD∴∠AEB=∠ADC，∠CAD=∠BAE，AD=AE∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=60゜∴∠BAE+∠BAD=∠DAE=60゜∴△ADE为等边三角形∴∠AED=∠ADE=60゜∴∠ADC=180゜-60゜=120゜∴∠AEB=120゜∴∠BEC=∠AEB-∠AED=120゜-60゜=60゜【点睛】此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识解答此题的关键．25．12＜x≤1，数轴见详解【分析】首先解每个不等式，然后在数轴上表示出来，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【详解】6849...115...3x x x x +>+⎧⎪⎨+≤-⎪⎩①②， 解①得：x ＞12， 解②得：x≤1，数轴上表示如下：∴不等式组的解是：12＜x≤1． 【点睛】 本题考查了不等式组的解法，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．26．（1）①AE ＝BF ；②见解析；（2）AE ＝BF ﹣CD 或AE ＝CD ﹣BF【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD ＝AB ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD ＝∠FBD ＝120°，推出△ADE ≌△BDF ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE 上截取BG ＝BD ，连接DG ，得到△GBD 是等边三角形．同理，△ABC 也是等边三角形．求得AG ＝CD ，通过△DGE ≌△DBF ，得到GE ＝BF ，根据线段的和差即可得到结论；（2）如图3，连接DG ，由（1）知，GE ＝BF ，AG ＝CD ，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG ，由（1）知，GE ＝BF ，AG ＝CD ，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】解：（1）①如图1，∵BA ＝BC ，∠EBD ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AD ＝AB ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝60°，∴∠EAD ＝∠FBD ＝120°，∵DE ＝DF ，∴∠E ＝∠F ，在△AEC 与△BCF 中，E F EAD FBD AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BDF（AAS），∴AE＝BF；故答案为：AE＝BF；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，∵∠EBD＝60°，BG＝BD，∴△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．∴AG＝CD，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，∴∠DGE＝∠DBF＝120°，在△DGE与△DBF中，E FEGD FBDDG BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGE≌△DBF（AAS），∴GE＝BF，∴AE＝BF＋CD；（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝EG﹣AG；∴AE＝BF﹣CD，如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝AG﹣EG；∴AE＝CD﹣BF，故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用截长补短的方法做辅助线构造全等三角形和等边三角形，运用类比的方法解决问题．。
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初二数学期中测试题
一、选择题，把你觉得正确的答案代号填在题后的表格中。
1．把方程7x 2y 15-=写成用含x 的代数式表示y 的形式，得（ ）
A ．
x=
2．下列命题是真命题的是（ ）
A 、同旁内角互补
B 、直角三角形的两锐角互余
C 、 三角形的一个外角等于它的两个内角之和
D 、三角形的一个外角大于内角
3、下列图形中，由，能得到的是（ ）
4、如果│x+y －1│和2（2x+y －3）2
互为相反数，那么x ，y 的值为（ ） A ．1
122
(2211)
x x x x B C D y y y y ==-==-⎧⎧⎧⎧⎨
⎨
⎨
⎨
==-=-=-⎩⎩⎩⎩ 5、从方程组 ⎪⎩
⎪⎨⎧+=-=451
2
2m y m x 中得出x 与y 的关系是（ ） （A ）y=5x+9 （B ）y=5x －1 （C ）y=
5951-x （D ）y=5151+x
6. 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰
好是直角三角形的概率为（ ）
A ．3
1 B ．
21
C ．
32 D ．
4
3
7．如图，直线L 1∥L 2 ,则∠α为（ ）.
A.1500
B.1400
C.1300
D.1200
8．关于x ，y 的二元一次方程组59x y k
x y k
+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k 的值是（ ）
A ．k=－
34 B ．k=34 C ．k=43 D ．k=－43
9. 如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，则下列各式中正确的是 （ ）
A. ∠1+∠2＞∠3
B.∠1+∠2=∠3
C. ∠1+∠2＜∠3
D. ∠1+∠2与∠3无关 10．两位同学在解方程组时，甲同学由⎩⎨
⎧=-=+872y cx by ax 正确地解出⎩⎨⎧-==2
3
y x ，乙同学因把C 写错了解
得 ⎩
⎨⎧=-=22y x ，那么a 、b 、c 的正确的值应为（ ）
A 、a ＝4，b ＝5，c ＝－1
B 、a ＝4，b ＝5，c ＝－2
C 、a ＝－4，b ＝－5，c ＝0
D 、a ＝－4，b ＝－5，c ＝2 11. 已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨
+=⎩和25
51x y x by -=⎧⎨+=⎩
有相同的解，则a ，b 的值为 （ ）
Ａ．1
2a b =⎧⎨=⎩
Ｂ．4
6a b =-⎧⎨=-⎩
Ｃ．6
2a b =-⎧⎨=⎩
Ｄ．142a b =⎧⎨=⎩
12、如图1，宽为50 cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A. 400 cm 2
B. 500 cm 2
C. 600 cm 2
D. 4000 cm 2
215
152715157 (7722)
x x y x x B x C y D y ----=
=
=A B C D ∥12∠=∠D
A C
B
32
1
A B
C
D
A C
B D
1 2 A C
B
D
1
2
A ．
B ．
1 2 A C
B D
C ．
B D C
A D ．
1
2 1100
500
L 1
L 2
α
二、填空题
13、把命题“等角的补角相等”写成“如果……那么……”的形式是：
________________________________________________________ _____________。
14
方程组
2332
s t s t
+-=
=4的解为________．
15．如图，已知AB ∥CD ，∠E=80°，∠B=30°，则∠C = °. 16．在一本书上写着方程组2
1x py x y +=⎧⎨
+=⎩的解是
0.5
x y =⎧⎨
=⎩口
，其中，y 的值被墨渍盖住了，不过，我们仍能根据上面的信息求出y= ，p ＝________。
17、如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2=_______
18、如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______
三、解答题
1．用代入法解方程组257320
x y x y -=⎧⎨-=⎩
2、用加减法解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+24
426
3n m n
m
3、已知：如图，∠1=∠2， 求证：∠3+∠4=1800
4、在下列证明过程中的空白处填写正确的内容,括号内填写理由. 如图AB ∥CD ， ∠1=∠2，∠3=∠4，试证明: AD ∥BE
解：∵AB ∥CD （已知）
∴∠4=∠_____（ ） ∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠_____（ ） ∵∠1=∠2（已知）
∴∠ 1+∠CAF=∠2+∠CAF （ ） 即 ∠_____ =∠_____（ ） ∴∠３＝∠_____
∴ＡＤ∥ＢＥ（ ） N M
F D
E
C
B
A
4
3
2
1A C
B D
E
5、小明和小华做游戏,将分别标有A,B,C的小球（除标号外完全相同）放入一个不透明的袋子中,
又把一个圆盘三等分，标上字母A,B,C。
约定：如果从袋子中所摸出球上字母与转盘停止后指针所指的字母相同，则小明得一分；如果不同，则小华得1分
（1）你认为这个游戏对双方是否公平？为什么？
（2）如果上述游戏对双方不公平，你能设计一个对双方都公平的游戏吗
6、山东省某些著名风景旅游景点于5月1前后相继开放，为为更好的吸引游客前去游览，某景点
购票人数1～50 51～100 100人以上
每人门票（元）13元11元9元
今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．
（1）请你判断乙团的人数是否也少于50人．
（2）求甲、乙两旅行团各有多少人？7、甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨迹遮盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲（千米）、s乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．
（1）乙车的速度为千米/时；
（2）分别求出s甲、s乙与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（3）求出两城之间的路程，及t为何值时两车相遇；
（4）当两车相距300千米时，求t的值．
C
B A
8、在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB ∥CD ，点P 在AB 、CD 内部，探究∠ABP 、∠CDP ，∠BPD 的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你继续完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成（2）-（4）.
（1）连接BD .
∵AB ∥CD
∴∠ +∠BDC =1800 ( )
即∠ABP+∠CDP + =1800
∴∠ABP+∠CDP=1800 --
又∵∠P+∠1+∠2=1800（ ） ∴∠P=1800--∠1--∠2．（ ） ∴∠P=∠ABP+∠CDP （ ）
（2）如图，若AB ∥CD ，当点P 向右移动到如图位置时，仿
照(1)探索∠ABP 、∠CDP ，∠BPD 的关系,你得到的等量关系是 .
（3）如图，若AB ∥CD ，当点P 向右移动到如图位置时，∠ABP 、∠CDP ，∠BPD 的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由.
(4) 如图，若AB ∥CD ，当点P 向右移动到如图位置时，直接写出∠ABP 、∠CDP ，∠BPD 的关系 。
⑸如图，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，直接写出∠BPD 、∠B 、∠D 、∠BQD 之间的数量关系 。
2
1
P
D
C
B A
P
D
C
B
A
P
D
C
B
A P
C
D
B
A
Q
图3
P
D C
B
A
P D C B
A。