高中文科数学立体几何知识点总结材料

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高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结

高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结

高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱的定义:有两个面是对应边平行的全等多边形,其余各面都是四边形,且相邻四边形的公共边都平行,由这些面围成的几何体叫棱柱。

棱柱的侧面都是平行四边形,侧棱平行且长度相等。

若侧棱垂直于底面,则为直棱柱;若底面是正多边形,则为正棱柱。

2) 棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体叫棱锥。

平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。

3) 棱台的定义:用平行于底面的平面截棱锥,截面与底面的部分叫棱台。

上下底面平行且是相似的多边形,侧面是梯形,侧棱交于原棱锥的顶点。

4) 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。

底面是全等的圆,母线与轴平行,轴与底面圆的半径垂直,侧面展开图是一个矩形。

5) 圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。

底面是一个圆,母线交于圆锥的顶点,侧面展开图是一个扇形。

6) 圆台的定义:以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。

上下底面是两个圆,侧面母线交于原圆锥的顶点,侧面展开图是一个扇环形。

7) 球体的定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。

球的截面是圆,球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、柱体、锥体、台体的表面积与体积1) 几何体的表面积为各个面的面积之和。

2) 特殊几何体表面积公式:直棱柱侧面积=底面周长×高圆锥侧面积=π×底面半径×母线正棱台侧面积=(上底+下底+侧棱)×高/2圆柱侧面积=2π×底面半径×高正棱锥侧面积=(底面周长1+底面周长2+侧棱)×高/2圆台侧面积=(上底半径+下底半径)×母线×π/2圆柱表面积=2π×底面半径×(底面半径+高)圆锥表面积=π×底面半径×(底面半径+母线)圆台表面积=π×(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半径×(上底半径-下底半径)/母线)3) 柱体、锥体、台体的体积公式:直棱柱体积=底面积×高圆柱体积=底面积×高=π×底面半径²×高圆锥体积=底面积×高/3=π×底面半径²×高/3圆台体积=底面积×高/3=(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半径)×高/3圆台的体积公式为V=(S+S'+√(SS'))h/3,其中S和S'分别为圆台的上下底面积,h为圆台的高。

高中立体几何知识点总结

高中立体几何知识点总结

一、空间点、线、面的位置关系1.1 点与点•点的定义:空间中的任意一点。

•点的坐标表示:a⃗=(a x,a y,a z)。

1.2 直线与直线•直线的定义:无限延伸的平面内的所有点。

•直线的方程表示:r⃗=(x,y,z),其中Ax+By+Cz+D=0。

1.3 直线与平面•直线的平面方程表示:r⃗=(x,y,z),其中Ax+By+Cz+D=0。

•直线与平面的交点表示:设直线上的点为P(x0,y0,z0),则有Ax0+ By0+Cz0+D=0。

1.4 平面与平面•平面的定义:无限延伸的平面内的所有点。

•平面的方程表示:r⃗=(x,y,z),其中Ax+By+Cz+D=0。

1.5 平面与空间体•平面与空间体的交线表示:设空间体上的点为P(x0,y0,z0),则有Ax0+By0+Cz0+D=0。

二、空间几何体2.1 柱体•柱体的定义:底面为圆形或矩形,顶面与底面平行的空间几何体。

•柱体的体积公式:V=底面积×高。

2.2 锥体•锥体的定义:底面为圆形或三角形,顶点在底面内的空间几何体。

•锥体的体积公式:V=1底面积×高。

32.3 球体•球体的定义:所有点与球心等距的空间几何体。

•球体的体积公式:V=4πR3。

32.4 空间四边形•空间四边形的定义:四个顶点在空间中的四边形。

•空间四边形的面积公式:S=12|a⃗×b⃗⃗|,其中a⃗和b⃗⃗为四边形的两条对角线。

三、空间角的计算3.1 线线角•线线角的定义:两条直线之间的夹角。

•线线角的计算公式:θ=arccos(|a⃗⃗⋅b⃗⃗||a⃗⃗||b⃗⃗|),其中a⃗和b⃗⃗为两条直线的方向向量。

3.2 线面角•线面角的定义:直线与平面之间的夹角。

•线面角的计算公式:θ=arccos(|n⃗⃗⋅a⃗⃗||n⃗⃗||a⃗⃗|),其中n⃗⃗为平面的法向量,a⃗为直线的方向向量。

3.3 面面角•面面角的定义:两个平面之间的夹角。

•面面角的计算公式:θ=arccos(|n⃗⃗1⋅n⃗⃗2||n⃗⃗1||n⃗⃗2|),其中n⃗⃗1和n⃗⃗2为两个平面的法向量。

高中立体几何知识点总结(通用5篇)

高中立体几何知识点总结(通用5篇)

高中立体几何知识点总结(通用5篇)高中立体几何知识点总结(通用5篇)总结是事后对某一阶段的学习、工作或其完成情况加以回顾和分析的一种书面材料,它能够给人努力工作的动力,为此要我们写一份总结。

你想知道总结怎么写吗?下面是小编为大家整理的高中立体几何知识点总结,欢迎大家借鉴与参考,希望对大家有所帮助。

高中立体几何知识点总结篇11、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、表示:用各顶点字母,如五棱台几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

高中立体几何基础知识点全集(图文并茂).

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高中立体几何基础知识点全集(图文并茂).第一篇:高中立体几何基础知识点全集(图文并茂).立体几何知识点整理姓名:一.直线和平面的三种位置关系: 1.线面平行 l 符号表示: 2.线面相交符号表示:3.线在面内符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。

m l m l l // // ⇒⎪⎪⎪⎪⎪ = ⋂⊂βαβα方法二:用面面平行实现。

m l m l // // ⇒⎪⎪⎪⎪⎪ = ⋂ = ⋂βγα γ β α方法三:用线面垂直实现。

若α α⊥ ⊥m l , ,则 m l //。

方法四:用向量方法: 若向量和向量共线且 l、l //。

2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。

α α α// //不重合, 则 m ml l m m l ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⊄⊂方法二:用面面平行实现。

α β β α //// l l ⇒⎪⎪⎪⊂方法三:用平面法向量实现。

若 n 为平面α的一个法向量, l n ⊥且α⊄ l , 则α // l。

3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。

βαα β // ' , ' , ' // ' // ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⊂⊂且相交且相交 m lm l m m l l 方法二:用线面平行实现。

βαβ α α // , // // ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⊂且相交m l m l 三.垂直关系: 1.线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。

αα ⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⊂ = ⋂⊥ ⊥ l AB AC A AB AC AB l AC l , m l方法二:用面面垂直实现。

αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎪⎪⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2.面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎪⎪⊂⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。

3.线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎪⎪⊂⊥αα方法二:三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎪⎪⊥⇒⊥⎪⎪⊂⎭方法三:用向量方法: 若向量和向量的数量积为 0,则m l ⊥。

高中数学立体几何知识点归纳总结

高中数学立体几何知识点归纳总结

③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边
长一半,构成四个直角三角形;如上图: SOB, SOH, SBH, OBH 为直角三角形
3.3 侧面展开图:正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的;
3.4
面积、体积公式:S
正棱锥侧=
1 2
ch
,S
正棱锥全=
推论 2:两条相交直线确定一个平面. 图形语言:
推论 3:两条平行直线确定一个平面. 图形语言:
用途:用于确定平面;
公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线两个
平面的交线.
用途:常用于证明线在面内,证明点在线上.
图形语言:
符号语言:
形语言,文字语言,符号语言的转化:
2.3 侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和 母线长为邻边的矩形.
A
O
B
2.4 面积、体积公式:
C'

轴截面
C
侧面
底面
S = 圆柱侧 2 rh ;S = 圆柱全 2 rh 2 r2 ,V 圆柱=S 底 h= r2h 其中 r 为底面半径,h 为圆柱高
3.棱锥
3.1 棱锥——有一个面是多边形,其余各 面是有一个公共顶点的三角形,由这些
母线 l

h
侧面
轴截面
A
r O
B 底面
S
我们把截面与底面之间的部分称为棱台.
5.2 正棱台的性质: ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; ②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是 正多边形; ③ 如右图:四边形 O`MNO,O`B`BO 都是直角梯 形

高中数学—立体几何知识点总结(精华版)

高中数学—立体几何知识点总结(精华版)

立体几何知识点一.根本概念和原理:1.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。

公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。

异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角:范围为( 0°,90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直。

a和一个平面内的任意一条直线都垂直,就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线,平面叫做直线a的垂面。

直,那么这条直线垂直于这个平面。

如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行。

行,那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。

面,那么这两个平面平行。

行。

8.〔1〕二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°,180°]〔2〕二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

立体几何初步知识点全总结

立体几何初步知识点全总结

立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。

1. 棱柱。

- 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

- 分类:- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

- 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱。

正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。

- 性质:- 侧棱都相等,侧面是平行四边形。

- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。

- 过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形。

2. 棱锥。

- 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

- 分类:- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

- 正棱锥:底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。

- 性质:- 正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高)。

- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

3. 棱台。

- 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台。

- 分类:由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。

- 性质:- 棱台的各侧棱延长后交于一点。

- 棱台的上下底面是相似多边形,侧面是梯形。

4. 圆柱。

- 定义:以矩形的一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

- 性质:- 圆柱的轴截面是矩形。

- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。

5. 圆锥。

- 定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

- 性质:- 圆锥的轴截面是等腰三角形。

- 平行于底面的截面是圆,截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。

6. 圆台。

- 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台。

高中数学立体几何知识点总结(全)

高中数学立体几何知识点总结(全)

高中数学立体几何知识点总结(全)垂直直线:两条直线的夹角为90度。

XXX.三.点与平面的位置关系点在平面上:点在平面内部;点在平面外:点在平面的一侧;点在平面上方或下方:需要指定一个方向向量,点在平面的哪一侧就取决于该方向向量与平面法向量的夹角。

四.直线与平面的位置关系直线在平面上:直线的每一点都在平面上;直线在平面内部:直线与平面没有交点;直线与平面相交:直线与平面有且只有一个交点;直线平行于平面:直线与平面没有交点,且方向向量与平面法向量垂直。

改写后:一、空间几何体的三视图空间几何体的三视图包括正视图、侧视图和俯视图。

其中,正视图是指从几何体的前面向后面正投影得到的投影图,反映了物体的高度和长度;侧视图是指从几何体的左面向右面正投影得到的投影图,反映了物体的高度和宽度;俯视图是指从几何体的上面向下面正投影得到的投影图,反映了物体的长度和宽度。

在三视图中,长对正,高平齐,宽相等是反映长、宽、高特点的简洁表述。

二、空间几何体的直观图斜二测画法是一种用于绘制空间几何体直观图的方法。

基本步骤包括建立适当的直角坐标系xOy,建立斜坐标系x'O'y',并画出对应图形。

在直观图中,已知图形平行于X轴的线段画成平行于X'轴,长度不变;已知图形平行于Y轴的线段画成平行于Y'轴,长度变为原来的一半。

直观图与原图形的面积关系是直观图面积为原图形面积的四分之一。

三、空间几何体的表面积与体积圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别为2πrl、πrl和πr(l+R),其中r表示底面半径,l表示母线长度,R表示上底面半径。

圆柱、圆锥、圆台的体积分别为Sh、S/3h和S(h/3),其中S为底面积,h为高度。

球的表面积和体积分别为4πR²和(4/3)πR³。

四、点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质包括三条公理,分别是公理1、公理2和公理3.直线与直线的位置关系有相交、平行和垂直;点与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、在平面外部、在平面上方或下方;直线与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、相交和平行。

高中文科数学立体几何知识点总结材料

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高中文科数学立体几何知识点总结材料立体几何知识点整理(文科)l 若向量 l 和向量 m 共线且 l 、m一. 直线和平面的三种地点关系:αm 不重合,则 l // m 。

1. 线面平行l2. 线面平行:α 符号表示:方法一:用线线平行实现。

lβ2. 线面订交α l // m m l //llAα符号表示:方法二:用面面平行实现。

3. 线在面内nl//ll //αlα符号表示:二. 平行关系:1. 线线平行:方法三:用平面法向量实现。

方法一:用线面平行实现。

若 n 为平面的一个法向量,n l 且 l,则ll //l // 。

ll // mmm方法二:用面面平行实现。

lβ//3. 面面平行:γl l // mαmm方法一:用线线平行实现。

方法三:用线面垂直实现。

l // l 'm // m'//若 l, m,则 l // m 。

l , m 且订交l ', m'且订交lβml' αm'高中文科数学立体几何知识点总结材料2. 面面垂直:方法一:用线面垂直实现。

C方法二:用线面平行实现。

βll //m ////l αl , m且订交mβllθAB方法二:计算所成二面角为直角。

α3. 线线垂直:方法一:用线面垂直实现。

lC AαBlllmmmα方法二:三垂线定理及其逆定理。

PPOlOAl PA三.垂直关系:A Ol1. 线面垂直:αl方法一:用线线垂直实现。

l AC 方法三:用向量方法:lAB若向量 l 和向量 m 的数目积为0 ,则 lm 。

AC lAB A AC,AB三. 夹角问题。

(一 )异面直线所成的角:方法二:用面面垂直实现。

(1) 范围: (0 ,90 ](2) 求法:Pβlnmlmlm, lα方法一:定义法。

αAθO步骤 1 :平移,使它们订交,找到夹角。

步骤 2 :解三角形求出角。

(常用到余弦定理 )余弦定理:aca 2b 2c 2θbcos2ab(计算结果可能是其补角 )方法二:向量法。

高二年级文科立体几何知识点

高二年级文科立体几何知识点

立体几何知识点第一章 空间几何体1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体、旋转体、简单组合体⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。

简单组合体的构成形式:①由简单几何体拼接而成;②由简单几何体截去或挖去一部分而成⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台2、空间几何体的三视图(1)定义:正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

(2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等” 3、空间几何体的直观图:斜二测画法的基本步骤:必修216P 4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积;l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积:l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积:l r S +⋅⋅=π侧面⑷体积公式:h S V ⋅=柱体 h S V ⋅=31锥体 ()13V h S S =+下台体上⑸球的表面积和体积:23443S R V R ππ==球球第二章 点、直线、平面之间的位置关系 一、几个公理:1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩公理1的作用:判断直线是否在平面内2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面若A ,B ,C 不共线,则A ,B ,C 确定平面α 推论1:过直线和直线外一点有且只有一个平面推论2:过两条相交直线有且只有一个平面推论3:过两条平行直线有且只有一个平面L θ∙l (注:扇形的弧长等于圆心角乘以半径.提醒圆心角为弧度角,例如60° π3弧度,45° π4弧度,90° π2弧度等等)1的长图中:扇形的半径长为l ,圆心角为θ,弧ABm公理2及其推论的作用:确定平面、判定多边形是否为平面图形的依据3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈ 且公理3作用:(1)判定两个平面是否相交的依据 (2)证明点共线、线共点等 4、公理4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行. 符号表示:,a b c b a c ⇒ 公理4作用:证明两直线平行5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,1212a a b b ''∠∠⇒∠∠ 且与方向相同=,1212180a a b b ''∠∠⇒∠+∠︒ 且与方向相反=作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等 二、空间两条直线的位置关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点 平行直线:同一平面内,没有公共点 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点 三、直线和平面的三种位置关系: 1.直线和平面平行符号表示: l2. 直线和平面相交符号表示:3. 直线在平面内符号表示:四、平面与平面的位置关系:1、平行:没有公共点 2、相交:有一条公共直线 五、平行关系: 1. 线线平行:证明两直线平行的常用方法:①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; ②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行;③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;a a ab b αβαβ⊂⇒=⎫⎪⎬⎪⎭④平行线的传递性:,a b c b a c ⇒⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;a ab b αβαγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭⑥垂直于同一平面的两直线平行; a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭2. 线面平行:方法一:判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

高中文科数学立体几何知识点总结

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ll//m立体几何知识点整理(文科)ml//m一.直线和平面的三种位置关系:αl1.线面平行方法二:用面面平行实现。

l//l//αl 符号表示:2.线面相交lβlαAα方法三:用平面法向量实现。

符号表示:3.线在面内nl若n 为平面的一个法向量,nl 且l,则l//。

lα α符号表示:二.平行关系:1.线线平行:l方法一:用线面平行实现。

l// ll//mm3.面面平行:方法一:用线线平行实现。

l//l' αl βm l' m'mm // l,mm ' 且相交//方法二:用面面平行实现。

l',m'且相交l//βll//m γ mmα方法二:用线面平行实现。

方法三:用线面垂直实现。

l//若l,m ,则l//m 。

m//// 方法四:用向量方法:l,m且相交βl m若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合,则l//m 。

α2.线面平行:方法一:用线线平行实现。

1/11WORD 格式lA αC B方法三:用向量方法:若向量l 和向量m 的数量积为0,则lm 。

三.垂直关系:三.夹角问题。

4.线面垂直:(一)异面直线所成的角:方法一:用线线垂直实现。

(1)范围:(0,90] lAC l ABAB AB AC AC,Al(2)求法: 方法一:定义法。

步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。

P nA θOα 方法二:用面面垂直实现。

步骤2:解三角形求出角。

(常用到余弦定理)余弦定理: βlmlacmlm,lcos2 a 2 b 2abc2 θbα(计算结果可能是其补角) 5.面面垂直:方法二:向量法。

转化为向量 方法一:用线面垂直实现。

C的夹角βllθ()计算结果可能是其补角:lA BαABAC ABACcos方法二:计算所成二面角为直角。

(二)线面角6.线线垂直:(1)定义:直线l上任取一点P(交点除外),作方法一:用线面垂直实现。

m l lmlmP O于O,连结AO,则AO为斜线PA在面内的射影,PAO(图中)为直线l与面所成的角。

文科立体几何知识点、方法总结高三复习

文科立体几何知识点、方法总结高三复习

立体几何知识点整理一.直线和平面的三种位置关系:1. 线面平行l符号表示:2. 线面相交符号表示:3. 线在面内符号表示:二.平行关系:1.线线平行:方法一:用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二:用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三:用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,,则ml//。

方法四:用向量方法:若向量l和向量m共线且l、m不重合,则ml//。

2.线面平行:方法一:用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二:用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三:用平面法向量实现。

若为平面α的一个法向量,⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行:方法一:用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二:用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三.垂直关系:1. 线面垂直:方法一:用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二:用面面垂直实现。

αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直:方法一:用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二:计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直:方法一:用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二:三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三:用向量方法:若向量和向量的数量积为0,则m l ⊥。

三.夹角问题。

(一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(︒︒ (2)求法: 方法一:定义法。

步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。

步骤2:解三角形求出角。

(常用到余弦定理) 余弦定理:abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二:向量法。

(完整版)立体几何知识点总结完整版

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立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法,理解三个公理及三个推论的内容及作用,初步掌握性质与推论的简单应用。

2、 空间两条直线的三种位置关系,并会判定。

3、 平行公理、等角定理及其推论,了解它们的作用,会用它们来证明简单的几何问题,掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。

4、 异面直线所成角的定义,异面直线垂直的概念,会用图形来表示两条异面直线,掌握异面直线所成角的范 围,会求异面直线的所成角。

5•理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算 ;掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6•了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念•掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图, 能识别上述的三视图所表示的立体模型, 会用斜二测法画出它们的直观图•7•空间平行与垂直关系的论证 •8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法,掌握三垂线定理及其逆定理,并能熟练解决有关问题 ,进一步掌握异面直线所成角的求解方法,熟练解决有关问题9•理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法(如:直接法、转 化法、向量法)•对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况)和距离公式计算距离。

【知识络构建】<— 翅MJL 何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 —I 吩间儿何体的三视图和吒现图 空何向話的槪念线性运算空间向园数呈积理和坐标运算【重点知识整合】1. 空间几何体的三视图专间儿何体空问点仁n线、平面ft置关系宀VIHI向虽与<体儿何(1) 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;(2) 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图;(3) 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.2. 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1) 建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角坐标系;(2) 画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox', Oy',使/ x Oy = 45。

高中数学立体几何知识点总结(超详细)

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立体几何知识梳理一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体.其中,这条直线称为旋转体的轴.(二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义:由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱. 1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧(c 是底周长,h 是高)S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义(1) 棱锥:当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥.(2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥.棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;Ⅲ、两个特征三角形:(1)POH ∆(包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径);(2)POB ∆(包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径) 正棱锥侧面积:1'2S ch =正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:13V Sh =棱椎(S 为底面积,h 为高)正四面体:各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题. 对棱间的距离为a 2(正方体的边长) 正四面体的高a 6(正方体体对角线l 32=) 正四面体的体积为32a (正方体小三棱锥正方体V V V 314=-) 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线:l l 2161=) 3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台. 3.2 正棱台的结构特征(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;(2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面也是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点. 4 、圆柱的结构特征4.1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲ABC D POH面所围成的几何体叫圆柱.4.2 圆柱的性质(1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆;(2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.4.3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.4.4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高)V圆柱= S底h = πr2h5、圆锥的结构特征5.1 圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.5.2 圆锥的结构特征(1)平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;(2)轴截面是等腰三角形;图1-5 圆锥(3)母线的平方等于底面半径与高的平方和:l2 = r2 + h25.3 圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形.6、圆台的结构特征6.1 圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为圆台.6.2 圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;⑵圆台的截面是等腰梯形;⑶圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究.6.3 圆台的面积和体积公式S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)V圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)7 球的结构特征7.1 球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体.空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体.7-2 球的结构特征⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面;⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:r 2 = R 2 – d 2 ⑶注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体,球直径等于正方体对角线; 球外切正方体,球直径等于正方体的边长. 7-3 球的面积和体积公式S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径); V 球 = 4/3 π R 3 (三)空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和圆柱的表面积 :222S rl r ππ=+圆锥的表面积:2S rl r ππ=+圆台的表面积:22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积:24S R π= 空间几何体的体积柱体的体积 :V S h =⨯底;锥体的体积 :13V S h =⨯底台体的体积:1)3V S S h =++⨯下上(;球体的体积:343V R π=斜二测画法:(1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2)平行于y 轴的线长度变半,平行于x ,z 轴的线长度不变;二 、点、直线、平面之间的关系(一)、立体几何网络图:1、线线平行的判断:(1)平行于同一直线的两直线平行.(3)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(6)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(12)垂直于同一平面的两直线平行.2、线线垂直的判断:(7)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.(8)三垂线逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直.如图,已知PO⊥α,斜线PA在平面α内的射影为OA,a是平面α内一条直线.①三垂线定理:若a⊥OA,则a⊥PA.即垂直射影则垂直斜线.②三垂线定理逆定理:若a⊥PA,则a⊥OA.即垂直斜线则垂直射影.(10)若一直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于平面内所有直线.补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条.3、线面平行的判断:(2)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(5)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.判定定理:性质定理:★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法):lα=∅,则l∥α (用于判断);⑵利用判定定理:线线平行线面平行(用于证明);⑶利用平面的平行:面面平行线面平行(用于证明);⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断).2线面斜交和线面角:l∩α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ.2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°]注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°;当直线垂直于平面时,θ=90°4、线面垂直的判断:(9)如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面.(11)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.(14)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.(16)如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面.判定定理:性质定理:(1)若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线.即:(2)垂直于同一平面的两直线平行.即:★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义,用反证法证明.⑵利用判定定理证明.⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面.⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个.⑸如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该直线垂直于另一平面.5、面面平行的判断:(4)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行.(13)垂直于同一条直线的两个平面平行.6、面面垂直的判断:(15)一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直.判定定理:性质定理:(1)若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为90°;(2)(二)、其他定理结论:(1)确定平面的条件:①不共线的三点;②直线和直线外一点;③两条相交直线;④两条平行直线;(2)直线与直线的位置关系:相交;平行;异面;直线与平面的位置关系:在平面内;平行;相交(垂直是它的特殊情况);平面与平面的位置关系:相交;;平行;(3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等;如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;(4)射影定理(斜线长、射影长定理):从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长;反之,斜线段相等的射影相等;斜线段较长的射影也较长;垂线段比任何一条斜线段都短.(5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角.(6)异面直线的判定:①反证法;②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线.(7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内.(8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线.(三)、唯一性定理结论:(1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直.(2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行.(3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行.四、空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形)(1)异面直线所成的角:平移转化,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线o o(2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为o 0; ②线面垂直:线面所成的角为o 90;③斜线与平面所成的角:射影转化,即转化为斜线与它在平面内的射影所成的角.o o 线面所成的角范围090o o α≤≤ (3)二面角:关键是找出二面角的平面角,o o α≤<; 五、距离的求法:(1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长.求它们首先要找到表示距离的线段,然后再计算.注意:求点到面的距离的方法:①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上); ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质); ③体积法:利用三棱锥体积公式.。

高中数学立体几何知识点归纳总结

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高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体(一)空间几何体的结构特征(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中,这条定直线称为旋转体的轴。

(2)柱,锥,台,球的结构特征1.棱柱棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系:①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为平行四边形侧棱垂直于底面底面为矩形底面为正方形棱柱的性质:①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。

长方体的性质:①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和;【如图】222211AC AB AD AA =++②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ,,,那么222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=;③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则222cos cos cos 2αβγ++=,222sin sin sin 1αβγ++=.侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 面积、体积公式:2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底,V (其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 面积、体积公式:S =2rh π;S=222rh r ππ+,V=Sh=2r h π(其中r 为底面半径,h 为圆柱高) 3.棱锥棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

高中数学立体几何知识点

高中数学立体几何知识点

高中数学立体几何知识点(大全)一、【空间几何体结构】1.空间结合体:如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小,而不考虑其它因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形,就叫做空间几何体。

2.棱柱的结构特征:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,每相邻两个四边形的公共边互相平行,由这些面围成的图形叫做棱柱。

棱柱(1):棱柱中,两个相互平行的面,叫做棱柱的底面,简称底。

底面是几边形就叫做几棱柱。

(2):棱柱中除底面的各个面。

(3):相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

(4):侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱的表示:用表示底面的各顶点的字母表示。

如:六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’3.棱锥的结构特征:有一个面是多边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共定点,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

棱锥4.圆柱的结构特征:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

圆柱(1):旋转轴叫做圆柱的轴。

(2):垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。

(3):平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。

(4):无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆柱用表示它的轴的字母表示,如:圆柱O’O(注:棱柱与圆柱统称为柱体)5.圆锥的结构特征:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

圆锥(1):作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。

(2):另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。

(3):直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

(4):作为旋转轴的直角边与斜边的交点。

(5):无论旋转到什么位置,直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。

圆锥可以用它的轴来表示。

如:圆锥SO(注:棱锥与圆锥统称为锥体)二、【棱台和圆台的结构特征】1.棱台的结构特征:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台。

棱台(1):原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。

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(完整)高中文科数学立体几何部分整理.doc立体几何高中文科数学立体几何部分整理第一章空间几何体(一)空间几何体的三视图与直观图1.投影:区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图;侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图;正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图;注:(1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边,“高度”与正视图相等,“宽度”与俯视图。

(简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽” .( 2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。

3.直观图:3.1 直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。

直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

3.2 斜二测法:step1:在已知图形中取互相垂直的轴 Ox 、 Oy ,(即取 xoy 90 );step2:画直观图时,把它画成对应的轴 o ' x ',o ' y' ,取 x ' o ' y' 45 (or 135 ) ,它们确定的平面表示水平平面;step3:在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于 x 轴(或在 x 轴上)的线段保持长度不变,平行于y 轴(或在 y 轴上)的线段长度减半。

结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的2倍 .4解决两种常见的题型时应注意:(1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”.(2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。

【例题点击】将正三棱柱截去三个角(如图1 所示 A ,B , C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2 所示方向的侧视图(或称左视图)为()HA G ABBB侧视BBBCCIEDEDEEEEA .B .C .D .立体几何解:在图 2 的右边放扇墙 (心中有墙 ), 可得答案 A(二)立体几何1.棱柱1.1 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结

高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结

立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱的定义:有两个面是对应边平行的全等多边形,其余各面都是四边形,且相邻四边形的公共边都平行,由这些面围成的几何体叫棱柱。

棱柱的性质:侧面都是平行四边形;侧棱都平行,侧棱长都相等。

直棱柱:侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。

正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

(2)棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体叫棱锥。

棱柱的性质:平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。

(3)棱台的定义:用平行于底面的平面截棱锥,截面与底面的部分叫棱台。

棱台的性质:①上下底面平行且是相似的多边形;②侧面是梯形;③侧棱交于原棱锥的顶点。

(4)圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。

圆柱的性质:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。

圆锥的性质:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台的定义:以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。

圆台的性质:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇环形。

(7)球体的定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。

球的性质:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。

(2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,'h 为斜高,l 为母线)ch S =直棱柱侧面积rhS π2=圆柱侧'21ch S =正棱锥侧面积 rlS π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表(3)柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=++=++圆台(4)球体的表面积和体积公式:V 球=343R π ; S 球面=24Rπ3、平面及基本性质公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P公理3 不共线三点确定一个平面(推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线)4、空间两直线的位置关系共面直线:相交、平行(公理4) 异面直线 5、异面直线(1)对定义的理解:不存在平面α,使得α⊂a 且α⊂b (2)判定:反证法(否定相交和平行即共面) 判定定理:15P★(3)求异面直线所成的角:①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角,再解三角形.②向量法 |||||,cos |cos b a b a =><=θ (注意异面直线所成角的范围]2,0(π(4)证明异面直线垂直,①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明;②向量法 0=⋅⇔⊥b a b a(5)求异面直线间的距离:大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.6、 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系A a a a =⋂⊂ααα,//,2、直线与平面平行的判定(1)判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ (线线平行,则线面平行17P )(2)面面平行的性质:βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ (面面平行,则线面平行) 3、直线与平面平行的性质b a b a a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂⊂βαβα (线面平行,则线线平行18P )★4、直线与平面垂直的判定 (1)直线与平面垂直的定义的逆用a l a l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα, (2)判定定理:αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, (线线垂直,则线面垂直23P )(3)αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a // (25P 练习 第6题) (4)面面垂直的性质定理:βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , (面面垂直,则线面垂直51P )(5)面面平行是性质:βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l // 5、射影长定理★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜7、 两个平面的位置关系:空间两个平面的位置关系 相交和平行8、两个平面平行的判定 (1)判定定理:βαβαα//,,//,//⇒⎭⎬⎫=⋂P b a b a b a (线线平行,则面面平行19P )(2)βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 (3)βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 (21P 练习 第2题) 9、两个平面平行的性质(1)性质1:βαβα//,//a a ⇒⊂(2)面面平行的性质定理: b a b a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα (面面平行,则线线平行20P )(3)性质2:βαβα⊥⇒⊥l l ,// 10、两个平面垂直的判定与性质(1)判定定理:βααβ⊥⇒⊂⊥a a , (线面垂直,则面面垂直50P )(2)性质定理:面面垂直的性质定理:βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , (面面垂直,则线面垂直51P )12、 空间角:异面直线所成角(9.1);斜线与平面所成的角 )2,0(π(1)求作法(即射影转化法):找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足. (2)向量法:设平面α的法向量为n ,则直线AB 与平面α所成的角为θ,则|||||,cos |sin n AB n AB =><=θ )2,0(πθ∈(3)两个重要结论最小角定理48P :21cos cos cos θθθ= ,,26P 例4 28P 第6题 13、空间距离:求距离的一般方法和步骤 (1)找出或作出有关的距离; (2)证明它符合定义;(3)在平面图形内计算(通常是解三角形) 求点到面的距离常用的两种方法 (1)等体积法——构造恰当的三棱锥;(2)向量法——求平面的斜线段,在平面的法向量上的射影的长度:||n d =直线到平面的距离,两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离① 定义:和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分(公垂线段) ② 求法:法1 找出两异面直线的公垂线段并计算,法2 转化为点面距离向量法 ||n n AB d =(A ,B 分别为两异面直线上任意一点,n 为垂直于两异面直线的向量) 注意理解应用:θcos 22222mn d n m l ±++=二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法:()1求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:在空间任取一点O ,作a OA =,b OB =,则a b BA =-.()2求两个向量和的运算称为向量的加法:在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ,则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则. 2、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量,称为向量的数乘运算.当0λ>时,a λ与a 方向相同;当0λ<时,a λ与a 方向相反;当0λ=时,a λ为零向量,记为0.a λ的长度是a 的长度的λ倍.3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.4、向量共线充要条件:对于空间任意两个向量a ,()0b b ≠,//a b 的充要条件是存在实数λ,使a b λ=.5、平行于同一个平面的向量称为共面向量.6、向量共面定理:空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ,y ,使x y C AP =AB +A ;或对空间任一定点O ,有x y C OP =OA +AB +A ;或若四点P ,A ,B ,C 共面,则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=.7、已知两个非零向量a 和b ,在空间任取一点O ,作a OA =,b OB =,则∠AOB 称为向量a ,b 的夹角,记作,a b 〈〉.两个向量夹角的取值范围是:[],0,a b π〈〉∈.8、对于两个非零向量a 和b ,若,2a b π〈〉=,则向量a ,b 互相垂直,记作a b ⊥.9、已知两个非零向量a 和b ,则cos ,a b a b 〈〉称为a ,b 的数量积,记作a b ⋅.即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉.零向量与任何向量的数量积为0. 10、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积. 11、若a ,b 为非零向量,e 为单位向量,则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉;()20a b a b ⊥⇔⋅=; ()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向,2a a a ⋅=,a a a =⋅; ()4cos ,ab a b a b⋅〈〉=;()5a b a b ⋅≤.12、空间向量基本定理: 若三个向量a ,b ,c 不共面,则对空间任一向量p ,存在实数组{},,x y z ,使得p xa yb zc =++.13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 14、设1e ,2e ,3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以1e ,2e ,3e 的公共起点O 为原点,分别以1e ,2e ,3e 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O .则对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量p OP =.存在有序实数组{},,x y z ,使得123p xe ye ze =++.把x ,y ,z 称作向量p 在单位正交基底1e ,2e ,3e 下的坐标,记作(),,p x y z =.此时,向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z .15、设()111,,a x y z =,()222,,b x y z =,则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++.()2()121212,,a b x x y y z z -=---. ()3()111,,a x y z λλλλ=.()4121212a b x x y y z z ⋅=++.()5若a 、b 为非零向量,则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=.()6若b ≠,则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===.()721a a a x =⋅=+()821cos ,x a b a b a bx ⋅〈〉==+.()9()111,,x y z A ,()222,,x y z B =,则(d x AB =AB = 16、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点O ,它们的方向向量分别为a ,b .P 为平面α上任意一点,存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+,这样点O 与向量a ,b 就确定了平面α的位置.17、直线l 垂直α,取直线l 的方向向量a ,则向量a 称为平面α的法向量.18、若空间不重合两条直线a ,b 的方向向量分别为a ,b ,则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈,0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=.19.0a n a n ⇔⊥⇔⋅=,//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=.20、若空间不重合的两个平面α,β的法向量分别为a ,b ,则////a b αβ⇔⇔a b λ=,0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.21、设异面直线a ,b 的夹角为θ,方向向量为a ,b ,其夹角为ϕ,则有cos cos a b a bθϕ⋅==.22、设直线l 的方向向量为l ,平面α的法向量为n ,l 与α所成的角为θ,l 与n 的夹角为ϕ,则有sin cos l n l nθϕ⋅==.23、设1n ,2n 是二面角l αβ--的两个面α,β的法向量,则向量1n ,2n 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角l αβ--的平面角为θ,则1212cos n n n n θ⋅=.24、在直线l 上找一点P ,过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ,则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=.25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算.26、点P 是平面α外一点,A 是平面α内的一定点,n 为平面α的一个法向量,则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=。

高中数学立体几何知识点总结(超详细)

高中数学立体几何知识点总结(超详细)

立体几何知识梳理一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体.其中,这条直线称为旋转体的轴.(二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义:由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱. 1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧(c 是底周长,h 是高)S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义(1) 棱锥:当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥.(2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥.棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;Ⅲ、两个特征三角形:(1)POH ∆(包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径);(2)POB ∆(包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径) 正棱锥侧面积:1'2S ch =正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:13V Sh =棱椎(S 为底面积,h 为高)正四面体:各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题. 对棱间的距离为a 2(正方体的边长) 正四面体的高a 6(正方体体对角线l 32=) 正四面体的体积为32a (正方体小三棱锥正方体V V V 314=-) 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线:l l 2161=) 3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台. 3.2 正棱台的结构特征(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;(2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面也是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点. 4 、圆柱的结构特征4.1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲ABC D POH面所围成的几何体叫圆柱.4.2 圆柱的性质(1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆;(2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.4.3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.4.4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高)V圆柱= S底h = πr2h5、圆锥的结构特征5.1 圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.5.2 圆锥的结构特征(1)平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;(2)轴截面是等腰三角形;图1-5 圆锥(3)母线的平方等于底面半径与高的平方和:l2 = r2 + h25.3 圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形.6、圆台的结构特征6.1 圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为圆台.6.2 圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;⑵圆台的截面是等腰梯形;⑶圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究.6.3 圆台的面积和体积公式S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)V圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)7 球的结构特征7.1 球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体.空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体.7-2 球的结构特征⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面;⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:r 2 = R 2 – d 2 ⑶注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体,球直径等于正方体对角线; 球外切正方体,球直径等于正方体的边长. 7-3 球的面积和体积公式S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径); V 球 = 4/3 π R 3 (三)空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和圆柱的表面积 :222S rl r ππ=+圆锥的表面积:2S rl r ππ=+圆台的表面积:22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积:24S R π= 空间几何体的体积柱体的体积 :V S h =⨯底;锥体的体积 :13V S h =⨯底台体的体积:1)3V S S h =++⨯下上(;球体的体积:343V R π=斜二测画法:(1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2)平行于y 轴的线长度变半,平行于x ,z 轴的线长度不变;二 、点、直线、平面之间的关系(一)、立体几何网络图:1、线线平行的判断:(1)平行于同一直线的两直线平行.(3)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(6)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(12)垂直于同一平面的两直线平行.2、线线垂直的判断:(7)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.(8)三垂线逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直.如图,已知PO⊥α,斜线PA在平面α内的射影为OA,a是平面α内一条直线.①三垂线定理:若a⊥OA,则a⊥PA.即垂直射影则垂直斜线.②三垂线定理逆定理:若a⊥PA,则a⊥OA.即垂直斜线则垂直射影.(10)若一直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于平面内所有直线.补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条.3、线面平行的判断:(2)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(5)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.判定定理:性质定理:★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法):lα=∅,则l∥α (用于判断);⑵利用判定定理:线线平行线面平行(用于证明);⑶利用平面的平行:面面平行线面平行(用于证明);⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断).2线面斜交和线面角:l∩α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ.2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°]注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°;当直线垂直于平面时,θ=90°4、线面垂直的判断:(9)如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面.(11)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.(14)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.(16)如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面.判定定理:性质定理:(1)若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线.即:(2)垂直于同一平面的两直线平行.即:★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义,用反证法证明.⑵利用判定定理证明.⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面.⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个.⑸如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该直线垂直于另一平面.5、面面平行的判断:(4)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行.(13)垂直于同一条直线的两个平面平行.6、面面垂直的判断:(15)一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直.判定定理:性质定理:(1)若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为90°;(2)(二)、其他定理结论:(1)确定平面的条件:①不共线的三点;②直线和直线外一点;③两条相交直线;④两条平行直线;(2)直线与直线的位置关系:相交;平行;异面;直线与平面的位置关系:在平面内;平行;相交(垂直是它的特殊情况);平面与平面的位置关系:相交;;平行;(3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等;如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;(4)射影定理(斜线长、射影长定理):从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长;反之,斜线段相等的射影相等;斜线段较长的射影也较长;垂线段比任何一条斜线段都短.(5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角.(6)异面直线的判定:①反证法;②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线.(7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内.(8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线.(三)、唯一性定理结论:(1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直.(2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行.(3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行.四、空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形)(1)异面直线所成的角:平移转化,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线o o(2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为o 0; ②线面垂直:线面所成的角为o 90;③斜线与平面所成的角:射影转化,即转化为斜线与它在平面内的射影所成的角.o o 线面所成的角范围090o o α≤≤ (3)二面角:关键是找出二面角的平面角,o o α≤<; 五、距离的求法:(1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长.求它们首先要找到表示距离的线段,然后再计算.注意:求点到面的距离的方法:①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上); ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质); ③体积法:利用三棱锥体积公式.。

2024年高考数学立体几何知识点总结

2024年高考数学立体几何知识点总结

2024年高考数学立体几何知识点总结高考数学中的立体几何,是考查考生对空间图形的认识和理解,以及解决问题的能力。

以下是2024年高考数学立体几何的主要知识点总结:一、立体几何的基本概念1. 空间直角坐标系:了解三维空间的坐标系,掌握在空间直角坐标系下求两点之间距离和判定点与多面体关系的方法。

2. 几何体的分类与特征:了解各种几何体的定义、特征和性质,包括点、直线、平面、多面体等,熟悉各种几何体的命名和常见几何体的特征。

二、多面体与球的性质1. 正多面体:熟悉正多面体的定义、性质和相关定理,如正四面体、正六面体、正八面体等的性质,掌握计算正多面体的体积和表面积的方法。

2. 欧拉定理:了解欧拉定理的内容和证明思路,应用欧拉定理求解相应问题。

3. 球的性质:了解球的定义、性质和相关定理,如球面上的点和圆应用球的性质进行计算。

三、立体空间的位置关系1. 空间几何体的位置关系:了解空间几何体之间的位置关系,包括平行与垂直关系、相交与平面关系、点在立体内部与外部的关系等。

2. 空间向量的应用:熟悉空间向量的概念、性质和运算,掌握使用空间向量判断几何体的位置关系的方法。

四、立体几何中的投影1. 投影的概念与性质:了解投影的基本概念和性质,包括平行投影和斜投影的性质,熟悉使用投影解决几何问题的方法。

2. 截痕法与截面应用:掌握截痕法求解几何问题的基本思路和方法,熟练运用截痕法和截面方法解决立体几何问题。

五、向量运算在立体几何中的应用1. 向量投影的应用:了解向量投影的概念和性质,应用向量投影解决立体几何中的相关问题。

2. 向量混合积和向量积的应用:掌握向量混合积和向量积的定义和性质,应用向量混合积和向量积求解相关问题。

六、空间坐标系中的方向余弦与方向角1. 方向余弦的概念与性质:了解方向余弦的概念和性质,掌握方向余弦在立体几何中的应用方法。

2. 方向角的概念与计算:了解方向角的定义和计算方法,熟练求解立体几何中与方向角相关的问题。

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立体几何知识点整理(文科)一.直线和平面的三种位置关系:1. 线面平行l符号表示:2. 线面相交符号表示:3. 线在面内符号表示:二.平行关系:1.线线平行:方法一:用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二:用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三:用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,,则ml//。

方法四:用向量方法:若向量l和向量m共线且l、m不重合,则ml//。

2.线面平行:方法一:用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二:用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三:用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量,ln⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行:方法一:用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmlll方法二:用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l三.垂直关系: 1. 线面垂直:方法一:用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二:用面面垂直实现。

αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直:方法一:用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二:计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直:方法一:用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二:三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三:用向量方法:若向量l 和向量m 的数量积为0,则m l ⊥。

三. 夹角问题。

(一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(︒︒ (2)求法: 方法一:定义法。

步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。

步骤2:解三角形求出角。

(常用到余弦定理) 余弦定理:abc b a 2cos 222-+=θ (计算结果可能是其补角)方法二:向量法。

转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角):=θcos (二) 线面角(1)定义:直线l 上任取一点P (交点除外),作PO ⊥α于O,连结AO ,则AO 为斜线PA 在面α内的射影,PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。

(2)范围:]90,0[︒︒当︒=0θ时,α⊂l 或α//l 当︒=90θ时,α⊥l (3)求法: 方法一:定义法。

步骤1:作出线面角,并证明。

步骤2:解三角形,求出线面角。

(三) 二面角及其平面角(1)定义:在棱l 上取一点P ,两个半平面内分别作l 的垂线(射线)m 、n ,则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。

(2)范围:]180,0[︒︒ (3)求法:方法一:定义法。

步骤1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。

步骤2:解三角形,求出二面角的平面角。

方法二:截面法。

步骤1:如图,若平面POA 同时垂直于平面βα和,则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。

步骤2:解三角形,求出二面角。

方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

步骤一:计算121212cos n n n n n n ⋅<⋅>=⋅u r u u r u r u u r步骤二:判断θ与12n n <⋅>u r u u r的关系,可能相等或者互补。

四. 距离问题。

1.点面距。

方法一:几何法。

步骤1:过点P 作PO ⊥α于O ,线段PO 即为所求。

步骤2:计算线段PO 的长度。

(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法)2.线面距、面面距均可转化为点面距。

3.异面直线之间的距离方法一:转化为线面距离。

m如图,m 和n 为两条异面直线,α⊂n 且α//m ,则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。

方法二:直接计算公垂线段的长度。

方法三:公式法。

如图,AD 是异面直线m 和n 的公垂线段,'//m m ,则异面直线m 和n 之间的距离为: θcos 2222ab b a c d ±--=五. 空间向量(一) 空间向量基本定理ABCD1A1C1B若向量c b a ,,为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量p ,都存在唯一的有序实数对z y x 、、,使得c z b y a x p ++=。

(二) 三点共线,四点共面问题 1. A ,B ,C 三点共线⇔OA xOB yOC =+u u u r u u u r u u u r,且1x y +=当21==y x 时,A 是线段BC 的 A ,B ,C 三点共线⇔AC AB λ= 2. A ,B ,C ,D 四点共面⇔OA xOB yOC zOD =++u u u r u u u r u u u r u u u r,且1x y z ++=当13x y z ===时,A 是△BCD 的 A ,B ,C ,D 四点共面⇐AD y AC x AB += (三)空间向量的坐标运算1. 已知空间中A 、B 两点的坐标分别为:111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z 则:AB =u u u r;=B A d ,AB =u u u r2. 若空间中的向量111(,,)a x y z =r,),,(222z y x =则a b +=r r a b -=r ra b ⋅=r r cos a b <⋅>=r r六.常见几何体的特征及运算 (一) 长方体1. 长方体的对角线相等且互相平分。

2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为αβγ、、,则222cos cos cos αβγ=++若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为αβγ、、,则222cos cos cos αβγ=++ 3.若长方体的长宽高分别为a 、b 、c ,则体对角线长为 ,表面积为 ,体积为 。

(二) 正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。

(三) 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。

(四) 正多面体:每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。

(只有五种正多面体)(五) 棱锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。

(六) 体积:=棱柱V =棱锥V (七) 球1.定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。

2. 设球半径为R ,小圆的半径为r ,小圆圆心为O 1,球心O 到小圆的距离为d ,则它们三者之间的数量关系是 。

3. 球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

4.球的表面积公式: 体积公式:高考题典例考点1 点到平面的距离例1如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点.(Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ;(Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小;(Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离.解答过程(Ⅰ)取BC 中点O ,连结AO .ABC Q △为正三角形,AO BC ∴⊥.Q 正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11BCC B ,AO ∴⊥平面11BCC B .连结1B O ,在正方形11BB C C 中,O D ,分别为1BC CC ,的中点, 1B O BD ∴⊥, 1AB BD ∴⊥.在正方形11ABB A 中,11AB A B ⊥, 1AB ∴⊥平面1A BD .于F ,连结(Ⅱ)设1AB 与1A B 交于点G ,在平面1A BD 中,作1GF A D⊥AF ,由(Ⅰ)得1AB ⊥平面1A BD .1AF A D ∴⊥, AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角.在1AA D △中,由等面积法可求得455AF =,又1122AG AB ==Q , 210sin 4455AG AFG AF ∴===∠.所以二面角1A A D B --的大小为10arcsin 4.(Ⅲ)1A BD △中,1115226A BD BD A D A B S ===∴=△,,,1BCD S =△.在正三棱柱中,1A 到平面11BCC B 的距离为3.设点C 到平面1A BD 的距离为d .由11A BCD C A BD V V --=,得111333BCD A BD S S d =g g △△,1322BCD A BD S d S ∴==△△.∴点C 到平面1A BD 的距离为2.ABC D1A1C1BO F考点2 异面直线的距离例2 已知三棱锥ABC S -,底面是边长为24的正三角形,棱SC 的长为2,且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点,求CD 与SE 间的距离.解答过程: 如图所示,取BD 的中点F ,连结EF ,SF ,CF ,EF ∴为BCD ∆的中位线,EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF ,CD∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又Θ线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF的距离,设其为h ,由题意知,24=BC ,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、BD 的中点,2,2,621,62=====∴SC DF CD EF CD 33222621312131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ∆中,3222=+=CE SC SE在Rt SCF ∆中,30224422=++=+=CF SC SF又3,6=∴=∆SEF S EF Θ 由于h S V V SEF CEF S SEF C ⋅⋅==∆--31,即332331=⋅⋅h ,解得332=h 故CD 与SE 间的距离为332. 考点3 直线到平面的距离例3. 如图,在棱长为2的正方体1AC 中,G 是1AA 的中点,求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程:解析一BD Θ∥平面11D GB ,BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求,以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥Θ,A A D B 111⊥,⊥∴11D B 平面11ACC A ,BACDOGH 1A 1C 1D1B 1O又⊂11D B Θ平面11D GB ∴平面1111D GB ACC A ⊥,两个平面的交线是G O 1, 作G O OH 1⊥于H ,则有⊥OH 平面11D GB ,即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中,222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD Θ∥平面11D GB ,BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求,以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ,将它视为三棱锥11D GB B -的高,则,由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V ,,36264==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离.考点4 异面直线所成的角例4如图,在Rt AOB △中,π6OAB ∠=,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --的直二面角.D 是AB 的中点. (I )求证:平面COD ⊥平面AOB ;(II )求异面直线AO 与CD 所成角的大小. 解答过程:(I )由题意,CO AO ⊥,BO AO ⊥,OCADBEBOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角,CO BO ∴⊥,又AO BO O =Q I ,CO ∴⊥平面AOB ,又CO ⊂平面COD .∴平面COD ⊥平面AOB .(II )作DE OB ⊥,垂足为E ,连结CE (如图),则DE AO ∥, CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角.在Rt COE △中,2CO BO ==,112OE BO ==,CE ∴=又12DE AO ==.∴在Rt CDE △中,tan CE CDE DE =∴异面直线AO 与CD所成角的大小为小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:①平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π.考点5 直线和平面所成的角例5. 四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =o ∠,2AB =,BC =SA SB ==(Ⅰ)证明SA BC ⊥;(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. 解答过程:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥底面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =,又45ABC =o ∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥,由三垂线定理,得SA BC ⊥.DBCASODBCAS(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC ∥, 故SA AD ⊥,由AD BC ==SA =AO =,得 1SO =,SD =. SAB △的面积112S AB =连结DB ,得DAB △的面积21sin13522S AB AD ==o g 设D 到平面SAB 的距离为h ,由于D SAB S ABD V V --=,得121133h S SO S =g g,解得h = 设SD 与平面SAB 所成角为α,则sin h SD α===所以,直线SD 与平面SBC所成的我为小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,③计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点6 二面角例6.如图,已知直二面角PQ αβ--,A PQ ∈,B α∈,C β∈,CA CB =,45BAP ∠=o ,直线CA 和平面α所成的角为30o .(I )证明BC PQ ⊥ (II )求二面角B AC P --的大小.过程指引:(I )在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ,连结OB . 因为αβ⊥,PQ αβ=I ,所以CO α⊥, 又因为CA CB =,所以OA OB =.而45BAO ∠=o ,所以45ABO ∠=o ,90AOB ∠=o , 从而BO PQ ⊥,又CO PQ ⊥,所以PQ ⊥平面OBC .因为BC ⊂平面OBC ,故PQ BC ⊥. (II )由(I )知,BO PQ ⊥,又αβ⊥,PQ αβ=I ,BO α⊂,所以BO β⊥.过点O 作OH AC ⊥于点H ,连结BH ,由三垂线定理知,BH AC ⊥.故ABCQα β P AB CQαβ POHBHO ∠是二面角B AC P --的平面角.由(I )知,CO α⊥,所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角,则30CAO ∠=o ,不妨设2AC =,则AO =sin 30OH AO ==o. 在Rt OAB △中,45ABO BAO ∠=∠=o ,所以BO AO ==,于是在Rt BOH △中,tan 2BOBHO OH∠===.故二面角B AC P --的大小为arctan 2. 小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点7 利用空间向量求空间距离和角例7. 如图,已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体, 点E 在1AA 上,点F 在1CC 上,且11AE FC ==. (1)求证:1E B F D ,,,四点共面;垂足为(2)若点G 在BC 上,23BG =,点M 在1BB 上,GM BF ⊥,H ,求证:EM ⊥平面11BCC B ;(3)用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小,求tan θ. 过程指引:(1)如图,在1DD 上取点N ,使1DN =,连结EN ,CN ,则1AE DN ==,12CF ND ==.因为AE DN ∥,1ND CF ∥,所以四边形ADNE ,1CFD N 都为平行四边形.从而EN AD ∥,1FD CN ∥. CBAHMDEF1B1A1D1CCAHMDE F 1B1A1D1CN又因为AD BC ∥,所以EN BC ∥,故四边形BCNE 是平行四边形,由此推知CN BE ∥,从而1FD BE ∥.因此,1E B F D ,,,四点共面.(2)如图,GM BF ⊥,又BM BC ⊥,所以BGM CFB =∠∠,tan tan BM BG BGM BG CFB ==g g ∠∠23132BC BG CF ==⨯=g. 因为AE BM ∥,所以ABME 为平行四边形,从而AB EM ∥. 又AB ⊥平面11BCC B ,所以EM ⊥平面11BCC B .(3)如图,连结EH .因为MH BF ⊥,EM BF ⊥,所以BF ⊥平面EMH ,得EH BF ⊥.于是EHM ∠是所求的二面角的平面角,即EHM θ=∠.因为MBH CFB =∠∠,所以sin sin MH BM MBH BM CFB ==g g ∠∠1BM ===, tan EM MH θ==。

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