含参数不等式恒成立问题的解题策略
含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略不等式是数学中的基础知识，它涉及到关系的研究，常用于数学等学科的计算。
它的解决方案可以用来帮助解决复杂的问题，或者提出观点并影响结果。
今天，我们将讨论如何解决含参不等式恒成立问题。
首先，让我们来讨论这种问题，即不等式含参恒成立问题，是指一个不等式变量以及一些参考变量满足不等式恒成立（比如x+y<5，当x=3，y=2时恒成立）的问题。
解决这类问题的思路主要有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。
1.学解法。
数学解法是常用的解决含参不等式恒成立问题的方法，通常需要先将输入的参数值代入不等式，然后利用求解方程的方法求解问题。
例如，当给定不等式为x+y<5，求解x=3,y=2时恒成立，则可以分别代入x=3和y=2，得到x+y<5，因此恒成立。
2.序求解法。
程序求解法是更加实用的方法，特别是在需要处理大量数据时。
它需要把不等式构造成一个程序，然后通过程序求解。
例如，当给定不等式为x+y<5时，可以用程序编写一段代码，把输入的参数代入不等式，并判断结果是否满足不等式，从而解决问题。
3.明方法。
证明方法是解决含参不等式恒成立的另外一种方法，即通过证明不等式恒成立来解决问题。
证明方法需要对不等式或者相关公式进行证明，以达到满足不等式恒成立的目的。
例如，当给定不等式为x+y<5时，可以通过证明x=3,y=2时，x+y也小于5，从而解决问题。
从以上内容可以看出，解决含参不等式恒成立的问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。
其中，数学解法是最常用的方法，而程序求解法和证明方法则能够更加实用地解决复杂的问题。
因此在解决含参不等式恒成立问题时，要根据问题的复杂程度选择适当的策略，从而有效解决问题。
综上所述，解决含参不等式恒成立问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法，根据不等式的复杂程度来选择适当的策略，从而有效求解问题。
把握这些解决含参不等式恒成立问题的策略，能够帮助我们有效解决复杂的问题，从而更快提出观点，影响结果。
含参数不等式恒成立问题解答策略
所 以 ｎ）为减 函数．
对 已知 条件综 合地 分析 、理性地 归纳 和抽象．
则当ｎ＞２时，有（詈）“＋（÷） ＜（詈） ＋（÷） ＝Ｌ
例 ５ 某单 位用 ２１６０万 元 购得 一 块空 地 ，计 划 在该空 地上 建 造一 栋 至少 １０层 、每 层 ２０００平 方 米
所 以 ｃ ＞ｎ ＋６ ．
与 圆 Ｍ ：（ 一４） ＋Ｙ ＝ｒ （ ０ ＞０）相 交 于 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 四个 点 ，求 ｒ的取 值 范围．
建为多 少 层？ （注 ：平 均综 合 费用 ＝平 均建 筑 费 用 ＋平均 购地 费用 ，平 均购 地费用 ＝购地 总费用／建筑 总面积 ）
；
解 ：设 楼 房 每 平 方 米 的平 均 综 合 费 用 为 厂（ ）
《数 学 之 友 》
２０１０年第 ｌ６期
翁
解 题 探 索
含参数不等式恒成立问题解答策略
李 国艳
（江苏 省 赣 榆 县 海 头 高级 中学 ，２２２１１１）
含 参数不 等式 恒成立 求参 数范 围的问题 是高考 的热点 问题 之一．这类 问题 易 于考 察 学生 综 合 运用 方程 、函数 、不 等式 等基础 知识 的能力 ，且方法 灵活 ， 有一定 的技 巧性．同时 ，此 类 问题 中常渗透着诸 多数 学思想 ，如 ：数 形结 合思想 、化归 思想 、函数 与方程思 想 、补集 思想等 ，因此 ，深受 命题者 青 睐．
：
一
＞ － ３，
由①得 一２ｋｘ＋ 一４＜０对任意 的 ∈［０，１］
恒 成 立 ，令 ｆ（ ） ＝ 一２ｋｘ＋ 一４，所 以 只 需
－ ３＜ｋ＜４；同理由②得 ．
综上 ，实数 七的取 值范 围是 一３＜七＜２．
从高考题看含参数不等式恒成立问题的解题策略
（ 若 ａ ， 厂 的单 调区问 ； Ｉ） ＝０ 求 （ ） （ 若ｚ Ⅱ） ≥０时 ， （ ） ， ａ的取值范围． － ｚ ≥０ 求 厂
解析 ： Ｉ 略． （ ） （ 由 厂 ） ０ 所 有 的 － Ｏ 立 ， 得 ： Ⅱ） （ ≥ 对 ｚ 成 ≥ 可 （） ＝０时 ，ＥＲ； １当 ａ （ ） ＞ ｏ时 ， ≤ ２当 ｎ ， ｇ ） 丁－ｘ
， （） ｘ ｘ ２矿 ＋ ｚ因 令＾ ＝ ｚ－ ＋ ｚ ２， ｚ ｅ
函数 一厂 ）ｘ （ （ ＥＤ）的上确 界为 ｒｉ｛ １ （ ≤ ａ ｎ Ｍ ． ） 厂
Ｍ ， ＥＤ）记作 Ｍ＿； ｘ ， 上 函数 一 厂 ） ｘ 的 下 确 界 为 （ （ ＥＤ） ｍａ ｛ ｌ （ ） Ｍ ， ＥＤ）记 作 Ｍｌ 于 是 ， 如 下 结 论 ： ｘＭ －工 ≥ 厂 ｘ ， 下 ． 有
含参数恒成立不等式问题的解题策略
含参数恒成立不等式问题的解题策略河南省三门峡市卢氏一高高三数学组（472200）赵建文 张贺忠 Eail:含参数不等式恒成立问题是高中数学中的一类重要问题，是高考考查的重点和热点，本文将这类问题的解题策略作以介绍，供同学们学习时参考.一、主元变换法例1已知关于x 的不等式243x px x p +>+-对24p -≤≤恒成立，求实数x 的取值范围.分析：本题是对含参数的不等式在某个区间上恒成立，用主元变换法处理.解析：将其化为关于p 的不等式：2(1)430x p x x -+-+>对24p -≤≤恒成立， 当x =1时，不等式化为0>0，不成立.当x ≠1时，关于p 的一次函数()f p =2(1)43x p x x -+-+在[-2,4]上的值恒为正值， 无论一次项系数1x -为正还是为负，只需要(2)0(4)0f f ->⎧⎨>⎩，即222(1)4304(1)430x x x x x x ⎧--+-+>⎪⎨-+-+>⎪⎩，解得5x <-或1x >. 所以实数x 的取值范围(,5)(1,)-∞-⋃+∞.点评：对含参数的不等式在某个区间上恒成立问题，若将其看成关于已知范围的变量的不等式更为简单，常将已知范围的变量看作主变量，化为关于已知范围的变量的不等式，结合对应的函数图像，得出其满足的条件，通过解不等式求解.二、数形结合法例2已知关于x 的不等式2x <log a x 对1(0,]2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 分析：本题是一边为二次式另一边是对数式的不等式问题，用数形结合法.解析：作出y =2x 和log a y x =的图像，由题意知对1(0,]2x ∈，y =2x 图像恒在log a y x =的图像的下方，故2111()log 22a a <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得1116a <<, 故实数a 的取值范围为1116a <<. 点评：对不等式经过移项等变形，可化为两边是熟悉的函数的形式，特别是可化为一边为多项式另一边是超越函数的不等式问题和含参数的一元二次不等式问题，常常用数形结合法，先构造函数，再作出其对应的函数的图像，结合图像找出其满足的条件，通过解不等式求出参数的范围.例3.对任意实数x 不等式12x x a +-->恒成立，求实数a 的取值范围.分析：设y =|1||2|x x +--,对任意实数x 不等式12x x a +-->恒成立即转化为求函数y =|1||2|x x +--的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令y =|1||2|x x +--=31211232x x x x -≤-⎧⎪--<<⎨⎪≥⎩在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数x 不等式12x x a +-->恒成立恒成立，只需3-<a .故实数a 的取值范围3-∞-（，）点评：本题中若将对任意实数x ，不等式12x x a+-->恒成立，求实数a 的取值范围，改为①任意实数x ，不等式12x x +--＜a 恒成立，求实数a 的取值范围，同样由图象可得a ＞3;②对任意实数x ，不等式12x x ++-＞a 恒成立，求实数a 的取值范围,构造函数，画出图象，得a ＜3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.三、分离变量法例3已知函数()f x 在R 上是减函数，对一切x R ∈不等式2(2sin )f m x -≤ 2(21cos )f m x ++成立，求实数m 的取值范围.分析:先用函数的单调性化为关于x 的不等式，再用分离变量法，化为一端关于m 的式子另一端是关于x 的式子的不等式，解析：∵函数()f x 在R 上是减函数，对一切x R ∈不等式2(2sin )f m x -≤ 2(21cos )f m x ++成立，∴22sin m x -≥221cos m x ++对一切x R ∈恒成立，∴221m m --≥2cos 2sin x x +对一切x R ∈恒成立，设()g x =2cos 2sin x x +， ∴221m m --≥max [()]g x ()g x =2cos 2sin x x +=2sin 2sin 1x x -++=2(sin 1)2x --+，当sin x =1即x =22k ππ+（k Z ∈）时，max [()]g x =2， ∴221m m --≥2， 解得x ≤1-或x ≥3，∴实数m 的取值范围为x ≤1-或x ≥3.点评：对含参数不等式的在某个范围上恒成立求参数范围问题,若容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，即化为不等式()f x <()g m (或()f x >()g m )在x 的某个范围上恒成立问题,则()g m <min [()]f x (()g m >max [()]f x ),先求出()f x 的最值，将其转化为关于m 的不等式问题，通过解不等式求出参数m 的取值范围.四、分类讨论法例4当x ∈[2,8]时，不等式221log a x -＞1-恒成立，求实数a 的取值范围.分析：本题不等式左边是对数式，底数含参数，故需要对底数分类讨论.解析：原不等式可化为：221log a x -＞22211log 21a a --， 当0＜221a -＜1 ①时，对数函数是减函数，则原不等式等价于：2121a -＞x 对x ∈[2,8]恒成立， ∴2121a -＞max x ， ∵当x ∈[2,8]时，max x =8， ∴2121a -＞8，②解①②得，34-＜a ＜2-或2＜a ＜34； 当221a -＞1 ③时，对数函数是增函数，则原不等式等价于：2121a -＜x 对x ∈[2,8]恒成立， ∴2121a -＜min x ， ∵当x ∈[2,8]时，min x =2， ∴2121a -＜2，④解③④得，a ＜1-或 a ＞1，综上所述，实数a 的取值范围为33(,1)(,)()(1,)4224-∞-⋃--⋃⋃+∞. 点评：对含参数恒成立的不等式问题，若参数取值不同，是不同的不等式或解法不同时，可对参数进行分类讨论进行求解，注意分类要做到不重不漏.五、判别式法例5不等式2222463x mx m x x ++++＜1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：本题左边是分子和分母都为关于x 二次三项式，可用判别式法.解析：∵2463x x ++＞0恒成立，∴原不等式可化为：22(62)3x m x m +-+-＞0对x ∈R 恒成立，∵2>0， ∴∆=2(62)42(3)m m --⨯-＜0，解得1＜m ＜3，∴实数m 的取值范围为（1，3）.点评：对可化为关于x 一元二次不等式对对x ∈R （或去掉有限个点）恒成立，常用判别式法.先将其化为关于x 一元二次不等式，结合对应的一元二次函数图像，确定二次项系数与判别式满足的条件，化为关于参数的不等式问题，通过解不等式求解.注意二次是否可为0.六、最值法例6若已知不等式4(4)13x x x a -->+-对x ∈[3,2)-恒成立，求实数a 的取值范围. 分析：本题是一元二次不等式在某个区间上恒成立问题，将其化为一边是关于x 的二次式的另一边为0的形式，其对应的函数最值易求，故用最值法.解析：原不等式可化为：21613x x a ++-＜0对x ∈[3,2)-恒成立， 设()f x =21613x x a ++-(x ∈[3,2]-)=2855()39x a +--，对称轴x =83-∈[3,2)-且离2远，故x =2时，max [()]f x =473a -， 要使21613x x a ++-＜0对x ∈[3,2)-恒成立，只需max [()]f x =473a -≤0即可， 解得a ≥473，∴实数a 的取值范围为47[,)3+∞. 点评：对含参数的不等式恒成立问题，可将其化为()f x ＞0（或()f x ＜0）在x 的某个范围上恒成立问题，则0<min [()]f x (0>max [()]f x ),先求出()f x 的最值，将其转化为关于m 的不等式问题，通过解不等式求出参数m 的取值范围.。
含参数不等式恒成立问题的求解策略
＋（ ａ ） ２ 一３ ≤０恒 成立
§
＜ ６在 ∈［一 ， ］ ２ ２ 时恒成立．
ｆ ０
【。 （ａ １ 一ａ２ 一 ） ０ Ａ ＝ ３ 一 ） ４（ａ １≤
ｆ ２ 显然 ｎ ） ａ＜ （ ≠２
由 ［ ２ ］ 一 ＋ ∈÷ ， ， ～ ＋ ＞ 于 ∈ 一， 时， １ ［ ７ 即 １ ２ ］
ｎ ≤Ｏ ）
对 于 二 次 函 数 ＿ ）＝ 厂 （ 似 ＋ ＋ｃ ａ ， （ ≠Ｏ ∈Ｒ） 有 ，
匣 成 立 甘
…
…
匣成 立 甘
ｌ ＞ 对 ∈ 厂 ）０ （ Ｒ恒成立舒｛
Ｌ ＜０ Ａ
ｒ ＜０ ０
（ ＜ 对 ∈Ｒ恒 ） ０
成立甘 ｛
．
Ｌ ＜０ Ａ
例 ３ 已知 二 次 函数 ＿ ） 足 Ｌ ２ ０ ： 厂 满 厂 （ （一 ）＝ ， 且 ３ ５ （ ≤２ ＋ ＋７对 一 切 实 数 都成 立． ＋ ≤厂 ） ７ （ ） － 一１ 的值 ；２ 求 ＿ ） １求 厂 （ ） （ ） 厂 的解 析式 ． （
Ｉ 羹
方 法点拨
ｌ
歉 攀
卿枉线
含参不等式 的求解是 高考 、 竞赛 中的热点 问题 ， 而这类 习题 中含参数不 等式恒 成立 的问题 ， 方法 灵活多 样 ， 不 少 令 同学望而生畏 ， 束手无策． 本文将结 合实例 ， 谈谈这 类习题 的
常 见求 解 策 略 ． １ 利 用 一 次 函数 的 性 质 ．
ｆ 成甘 ≥ 恒立 ＞， 一。。０ —Ｉ３＞，得÷＜ ＜ ㈩…噎立 ｆ 成骨 ０即１ｌ；＞且１３ｇ ｏ解 Ⅱ 沤 ｇ 。Ⅱ
ｍ）＜ ０
ｎ ）＜０
２ 利 用二 次 函 数 的 判 别 式 ．
求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”
乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸乸思路探寻含参不等式恒成立问题的常见命题形式有：（1）证明含参不等式恒成立；（2）在确保某个含参不等式恒成立的情况下，求参数的取值范围；（3）在已知变量的约束条件的情况下，求含参不等式中参数的取值范围.含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，其解法灵活多变，常常令考生头疼不已.对此，笔者将结合实例，介绍求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”.一、分离参数分离参数法是求解含参不等式恒成立问题的常用方法，该方法适用于求参数和变量可分离的情形.运用分离参数法解题的一般步骤为：1.根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；2.将含有变量一侧的式子当成一个函数，判断出函数的单调性，并根据函数的单调性求出函数在定义域内的最值；3.将问题进行等价转化，建立新的不等式，如将a ≥f (x )恒成立转化为a ≥f (x )max ；将a ≤f (x )恒成立转化为a ≤f (x )min .例1.已知函数f (x )=1+ln xx，当x ≥1时，不等式f (x )≥k x +1恒成立，求实数k 的取值范围.解：由f (x )≥k x +1，得1+ln x x ≥k x +1,将其变形可得(x +1)(1+ln x )x≥k ，设g (x )=(x +1)(1+ln x )x，则g ′(x )=[(x +1)(1+ln x )]′·x -(x +1)(1+ln x )x 2=x -ln xx 2,令h (x )=x -ln x ，则h ′(x )=1-1x,当x ≥1时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[)1,+∞上单调递增，所以h (x )min =h (1)=1>0，从而可得g ′(x )>0，故函数g (x )在[)1,+∞上单调递增，所以g (x )min =g (1)=2，因此k 的取值范围为k ≤2.观察不等式1+ln x x ≥k x +1，发现参数k 可以从中分离出来，于是采用分离参数法，先将参数、变量分离，使不等式变形为(x +1)(1+ln x )x≥k ；再构造函数g (x )，对其求导，根据导函数与函数的单调性判断出函数的单调性，即可求出g (x )在x ∈[)1,+∞上的最小值，使k ≤g (x )min ，即可得到实数的取值范围.通过分离参数，便将含参不等式恒成立问题转化为函数最值问题来求解，这样便可直接利用函数的单调性来解题.二、数形结合数形结合法是解答数学问题的重要方法.在解答含参不等式问题时，将数形结合起来，可有效地提升解题的效率.有些含参不等式中的代数式为简单基本函数式、曲线的方程、直线的方程，此时可根据代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过研究函数图象、曲线、直线、点之间的位置关系，确定临界的情形，据此建立新不等式，从而求得参数的取值范围.例2.已知f (x )=ìíî3x +6,x ≥-2,-6-3x ,x <-2,若不等式f (x )≥2x -m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：由题意可设g (x )=2x -m ，则函数g (x )、f (x )的图象如图所示.要使对任意x ,f (x )≥g (x )恒成立，则需使函数f (x )的图象恒在g (x )图象的上方，由图可知，当x =-2时，f (x )的图象与g (x )的图象有交点，而此时函数f (x )取最小值，即f (-2)=0，因此，只需使g (-2)=-4-m ≤0，解得m ≥-4.故实数m 的取值范围为m ≥-4.函数f (x )与g (x )都是常见的函数，容易画出其图象，于是采用数形结合法，画出两个函数的图象，将问题转化为函数f (x )的图象恒在g (x )图象的上方时，求参数的取值范围.运用数形结合法求解含参不等式恒成立问题，需将数形结合起来，将问题进行合理的转化，如若对∀x ∈D ,f (x )<g (x )恒成立，则需确保函数f (x )的图象始终在g (x )的下方；若对∀x ∈D ,f (x )>g (x )恒成47立，则确保函数f(x)的图象始终在的上方即可.三、变更主元我们常常习惯性地将x看成是主元，把参数看成辅元.受定式思维的影响，在解题的过程中，我们有时会陷入解题的困境，此时不妨换一个角度，将参数视为主元，将x看作辅元，通过变更主元，将问题转化为关于新主元的不等式问题，这样往往能够取得意想不到的效果.例3.对任意p∈[-2,2]，不等式(log2x)2+p log2x+1> 2log2x+p恒成立，求实数x的取值范围.解：将不等式(log2x)2+p log2x+1>2log2x+p变形，得：p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0，设f(p)=p(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1，则问题等价于对任意p∈[-2,2]，f(p)>0恒成立，由于f(p)是关于p的一次函数，所以要使不等式恒成立，只需使ìíîf(-2)=-2(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0, f(2)=2(log2x-1)+(log2x)2-2log2x+1>0,解得：x>8或0<x<12，故实数x的取值范围为x>8或0<x<12.若将x当成主元进行求解，那么解题的过程将会非常繁琐.由于已知p的取值范围，要求满足不等式条件的实数x的取值范围，所以考虑采用变更主元法，将p看成是主元，构造关于p的一次函数，根据函数的图象建立使不等式恒成立的不等式组，即可求出实数x的取值范围.通过变更主元，便可从新的角度找到解题的思路，从而化难为易.四、分类讨论当不等式左右两边的式子较为复杂，且含有较多的不确定因素时，就需采用分类讨论法来解题.用分类讨论法求解含参不等式恒成立问题，需先确定哪些不确定因素会对参数的取值有影响；然后将其作为分类的对象，并确定分类的标准，对每一种情形进行分类讨论；最后综合所有的结果，就可以得到完整的答案.例4.已知f(x)=x|x-a|-2，若当x∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数a的取值范围.解：①当x=0时，f(x)=-2<0，不等式显然成立，此时，a∈R；②当x∈(0,1]时，由f(x)<0，可得x-2x<a<x+2x，令g(x)=x-2x,h(x)=x+2x，则g′(x)=1+2x2>0，可知g(x)为单调递增函数，因此g(x)max=g(1)=-1；则h′(x)=1-2x2<0，可知h(x)为单调递减函数，因此h(x)min=h(1)=3，此时-1<a<3.综上可得，实数a的取值范围为-1<a<3.本题的函数式中含有绝对值，需对x的取值进行分类讨论，即分为x=0和x∈(0,1]这两种情况进行讨论，建立使不等式恒成立的关系，如当x∈(0,1]时，需使æèöøx-2x max<a<æèöøx+2x min，即可解题.五、利用判别式法判别式法通常只适用于求解二次含参数不等式恒成立问题.运用该方法解题的一般步骤为：首先根据不等式的特点构造一元二次方程；然后运用一元二次方程的判别式对不等式恒成立的情形进行讨论、研究；最后得出结论.一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0,x∈R)，有：（1）若对任意x∈R,f(x)>0恒成立，则ìíîa>0,Δ=b2-4ac<0;（2）对任意x∈R,f(x)<0恒成立，则{a<0,Δ=b2-4ac<0.例5.设f(x)=x2-2mx+2，当x∈[-1,+∞)时，f(x)≥m 恒成立，求实数m的取值范围.解：设F(x)=x2-2mx+2-m，令x2-2mx+2-m=0，则Δ=4m2-4(2-m)，当Δ≤0，即-2≤m≤1时，F(x)≥0显然恒成立；当Δ=4m2-4(2-m)>0时，F(x)≥0恒成立的充要条件为：ìíîïïïïΔ>0,F(-1)≥0,--2m2<-1,解得：-3≤m<-2，所以实数m的取值范围为-3≤m≤1.运用判别式法求解含参二次不等式恒成立问题，关键是确保在定义域范围内，二次函数F(x)的图象恒在x轴的上方或下方，根据方程F(x)=0无解，建立关于判别式的关系式.本文介绍了几种求解含参不等式恒成立问题的方法，这些方法的适用情形各不相同.但不论采用何种方法，都要对问题进行具体的分析，针对实际情况，选用最恰当的方法，才能达到事半功倍的效果.（作者单位：广东省东莞市第一中学）思路探寻48。
含参数的方程、不等式的问题解题策略
含参数的方程、不等式的问题解题策略含参数的方程、不等式的问题是历年高考常考的题型，由于含有参数对很多同学来说感到困难重重，一重困难是选择什么样的解题方法（如2012年山东卷第12题)，二重困难是含参数问题涉及到的分类讨论(如2017年全国卷1第21题)，根据我多年的研究发现，（1）这类题目解题方法有规可循，基本方法有：分离参数构建函数，不分离参数构建函数，半分离参数构建函数，总之，如何构建函数是解题的关键。
（2）很多求参数取值范围的问题，其实有时可以避开分类讨论这个陷阱。
本文就结合实例谈谈这类问题的求解策略。
一、分离参数构建函数：若方程或不等式中的参数容易分离出来，即参数分离 在方程或不等式的一边，另一边是关于自变量的函数，分离后的函数不复杂，容易求出导函数，容易研究函数的性质，就选择分离参数法构建函数。
例1（2017年全国高考卷1第21题）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+-- 若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.分析：2f(x)=ae (-2)e x x a x +-有两个零点，转化为方程2(2)0x x ae a e x +--=有两个根先分离参数22a x x x e x e e +=+，令222(1)(21)()g ()(1)x x x x x x x e x e x e g x x e e e e +-+-+'==++，设1x h x -+（x)=-e ，则()h x 递减，(0)0h =当(,0)x ∈-∞时()0h x > ()0g x '∴>()g x ∴递增，当(0,)x ∈+∞时，()0,()0,()h x g x g x '<∴<∴递减，所以当x →+∞时()0g x →,当x →-∞时，g(x)-→∞如图01a ∴<<评析：查阅高考评分标准，看出对参数a>0共分了三种情况讨论：（1）a=1（2）a>1（3）0<a<1，其中0<a<1时，要用函数零点的判定定理，找区间端点时非常困难，绝大多数同学完成不了。
含参数不等式的恒成立的求解策略
对 ∈Ｒ恒 成立 ㈢
解： 若 一０ 则 不 论 ｎ取 何 值 ， （ ≥ ０显 然 成 ， ＿ ） 厂
立；
当 ＞０ 即 ∈（ ，］ ， （ ＝ ｎ 。 ｚ ≥Ｏ ， ｏ １ 时 厂 ）＝ 一３ 十１ ＝
可化 为 ｎ ≥ 一 ．
设 （一 一 ，ｇ ） ｇ）≥ 专则 一 （
中学 教 学 参 考
解 题 方 法 与 技 巧
含 参数 不 等 式 的恒 成 立 的 求解 策 略
浙 江 慈溪实验 高级 中学 （ １ ３ ０ 李 书庆 ３ ５Ｏ ）
个变 量 的范 围 已知 ， 一 个 变 量 为所 求 ， 先 确 定 某 另 则
一
变 量 （ 本 是 已 知 范 围 的 那 个 变 量 ） 自变 量 ， 一 基 为 另
≥可 为≤ 一 ｇｚ ０化 以≥ ，（一 ）
４ 从 而 ＆ ４ 综 上 ｎ＝ ４ ， ≤ ． ＝ ． ＝
＞．（ ０ ｇ）
在 区间［ ， ） 一１ ０ 上单 调递增 ， 因此 ｇ ） （ ） （ Ⅱ 一ｇ 一１ 一 Ⅲ
含参 数不 等式 的恒 成 立 问 题 主 要是 运 用 等 价 转
解 得 ￡ 一 ９或 ３ ≤ ≥ ． 五 、 类讨论 求最值 分
∈，ｃ 。 ∈ 成㈢ 厂＜ Ｒ ，对 Ｒ 立｛ ｃ 。 恒 有 ＞
Ｉ “＜ Ｏ，
【 ５ 设 函数 － ） 。 ３ 例 】 厂 （ 一ｎ 一 ＋ １ ∈Ｒ） 若 （ ，
对 于任 意 的 ∈［ ， ］ 一１ １ 都有 － ） 厂 ≥０成立 ， （ 求实数 口
变量 为应 变量 ， 然后 再利 用 函数 的最 值．
四 、 形 结 合 数
【 ４ 若 对 于 ｚ∈ （ 例 】 一１ ３ ， ｚ 一２ｚ ， ） ３ 。 ｆ 一 ≤ Ｏ
含字母参数的不等式恒成立问题解题策略课件
三角函数实例解析
总结词
利用三角函数的性质和图像，解决含字母参数的不等式恒成立问题。
详细描述
三角函数是数学中一类特殊的函数，具有丰富的性质和图像特征。在解决含字母参数的不等式恒成立 问题时，可以充分利用三角函数的性质和图像，将问题转化为与三角函数相关的问题，从而简化问题 的复杂度，找到解决问题的突破口。
数形结合法
总结词
通过数形结合的方式，将不等式问题转化为几何图形问题，利用几何 意义求解。
详细描述
首先根据不等式的性质和变量的取值范围，画出相应的几何图形，然 后利用几何意义求解不等式的解集。
适用范围
适用于涉及多个变量和参数的不等式问题，可以通过数形结合将问题 直观化。
注意事项
在数形结合时，需要注意图形的准确性和不等式的性质，以及几何意 义的应用条件。
含字母参数的不等式恒 成立问题解题策略课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 含字母参数不等式恒成立的性质 • 解题策略和技巧 • 实例解析 • 总结与展望
01 引言
问题的背景和重要性
01
含字母参数的不等式恒成立问题 在数学中具有广泛的应用，是数 学教学中的重要内容。
02
解决这类问题需要学生掌握不等 式的性质、函数的最值求法等知 识，有助于提高学生的数学思维 能力和解决问题的能力。
性。
04 实例解析
代数实例解析
总结词
通过代数方法，利用不等式的性质和转化技巧，解决含字母参数的不等式恒成立问题。
详细描述
在解决含字母参数的不等式恒成立问题时，代数方法是常用的手段之一。通过观察不等式的结构，利用不等式的 性质和转化技巧，如分离参数法、参数讨论法、数形结合法等，可以将问题转化为更易于解决的形式，从而找到 解决问题的途径。
含参不等式恒成立问题的解题策略
含参不等式恒成立问题的解题策略
作者：卫根柱
来源：《新课程·中学》2018年第01期
近年来全国各地高考数学试题中，含参不等式恒成立问题的考查非常普遍。
由于新课标高考对导数应用的加强，含参不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点。
在教授含参不等式恒成立问题时，教师应教会学生掌握解题的关键，即读懂题、懂得把所学的知识灵活地转化为解决实际问题的能力，唯有此，在遇到一题多解时，才能直接选用最优的解题方法提高解题效率。
以下笔者以自己的实际教学为例，谈谈这类问题的解题策略，希望为高中数学教学发展贡献一份力量。
高一数学 不等式恒成立问题中的参数求解策略
不等式恒成立问题中的参数求解策略摘要：不等式恒成立问题的题目一般综合性都比较强，本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略关键词：不等式；恒成立；求解策略在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一、可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
常常有以下两类情况： ㈠可化为二次函数在R 上恒成立问题 设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
例1 对于x ∈R ，不等式0m 3x 2x 2≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解：不妨设m 3x 2x )x (f 2-+-=，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使)R x (0)x (f ∈≥，只需0≤∆，即0)m 3(4)2(2≤---，解得]2(m 2m ，-∞∈⇒≤。
变形：若对于x ∈R ，不等式03mx 2mx 2>++恒成立，求实数m 的取值范围。
此题需要对m 的取值进行讨论，设3mx 2mx )x (f 2++=。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<03m 0<<⇒。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知)30[m ，∈。
关键点拨：对于有关二次不等式0c bx ax 2>++（或<0）的问题，可设函数c bx ax )x (f 2++=，由a 的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x 轴的交点问题，由判别式进行解决。
破解含参不等式恒成立的5种常用方法
破解含参不等式恒成立的5种常用方法含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。
对含有参数的不等式 恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。
一 分离参数法分离参数法是解决含问题的基本思想之一。
对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等 式的性质将参数分离出来 ，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。
例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。
分析 ：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。
解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。
)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。
于是工的取值范围为43-≥a 。
【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。
如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。
解这类问题时一定要注意区间的端点值。
二 数形结合法数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。
含参不等式恒成立问题的求解方法
2
求实数 a 的取值范围． 解析 构造辅助函数 g(x) f (x) ax (x 1) ln(x 1) ax ，原问题变为
g(x) 0 对所有的 x 0 恒成立，注意到 g(0) 0 ，故问题转化为 g(x) g(0) 在
令
y x 1 ，由 x 0,1，所以 y [1, 2] ，则：
2x x 1 2 y 2 y 2, 所以， t 2 y 2 y 2 ，当 y [1, 2] 时恒成立．
因为 h( y) 2 y 2 y 2 在 y [1, 2] 上有最大值 h(1) 1 ，所以 t 1有
2
2
2
综上得： a (, 6 ) 1,．
2 例 3.2 不等式 2x2 2kx k 1 对 x R 恒成立，求实数 k 的取值范围．
4x2 6x 3 解 因为 4x2 6x 3 4(x 3)2 3 0 ，所以原不等式等价于 2x2 2kx k
44 4x2 6x 3，即 2x2 (6 2k)x (3 k) 0对 x R恒成立 ．
f (x) g(x) 在 0 x 1 时恒成立．
这种方法是解决参数不等式恒成立问题最常用的一种方法，也体现这类问题 的常规性，不仅是函数问题，在数列问题中也很适用 ．
1
例 1.2 求所有的实数 k，使得不等式 a3 b3 c3 d 3 1 k(a b c d ) 对
任意的 a,b, c, d 1,都成立
解 当 a b c d 1时，有 3 (4)k ，
k 3 4
又当 a b c d 1 时，有 3 2k ，
2
2
k 3 ． 4
破解含参不等式问题的几个“妙招”
含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
含参数不等式恒成立问题求解策略论文
含参数不等式恒成立问题的求解策略含参数不等式恒成立问题是历年高考、竞赛中的热点问题，由于这类问题灵活多变、综合性强，令不少学生望而生畏，束手无策。
但如果我们掌握解决恒成立问题的多种常见求解方法，通过化归的思想还是能解决此类问题的。
例题1已知不等式x2-2ax+1＞0对x∈1，2恒成立，其中a＞0．求实数a的取值范围．分析：思路1.通过化归最值，直接求函数f（x）=x2-2ax+1的最小值解决，即fmin（x）＞0；思路2.通过分离变量，转化到a＜■=■（x+■）解决，即a＜（■）min；思路3.通过数形结合，化归到x2+1＞2ax作图解决，即y=x2+1图像在y=2ax图像的上方．简解：思路1．按对称轴ｘ＝ａ与区间1，2的关系分类讨论：当０＜ａ＜１时，fmin（x）＝f（１）＝２－２ａ＞0，∴０＜ａ＜１；当１＜ａ＜２时，fmin（x）＝f（ａ）＝１－ａ２＞0，此时ａ不存在；当ａ＞２时，fmin（x）＝f（２）＝５－４ａ＞0，此时亦ａ不存在．综上所述，ａ的取值范围是０＜ａ＜１．思路2．由x2-2ax+1＞0得a＜■=■（x+■），x∈1，2，得０＜ａ＜１．思路3．图略．思考：x2-2ax+1＞0→x３-2ax+1＞0→ｌｎｘ-2ax+1＞0，该如何处理？小结：解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解．例题2已知函数f（ｘ）＝x2-2ax+1，ｇ（ｘ）＝■，其中ａ＞0，ｘ≠０．（1）对任意x∈1，2，都有f（ｘ）＞ｇ（ｘ）恒成立，求实数ａ的取值范围；（2）对任意x１∈1，2，ｘ２∈２，４，都有f（x１）＞ｇ（ｘ２）恒成立，求实数ａ的取值范围；分析：（1）思路、等价转化为函数f（ｘ）－ｇ（ｘ）＞０恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．（2）思路、对在不同区间内的两个函数f（ｘ）和ｇ（ｘ）分别求最值，即只需满足fｍｉｎ（ｘ）＞ｇｍａｘ（ｘ）即可．简解：（1）由x2-2ax+1－■＞０得ａ＜■成立，只需满足φ（ｘ）＝■的最小值大于ａ即可．对φ（ｘ）＝■求导，φ（ｘ）＝■＞０，故φ（ｘ）在x∈1，2是增函数，φmin（ｘ）＝φ（１）＝■，所以ａ的取值范围是０＜ａ＜■．（2）略.例题3设函数ｈ（ｘ）＝■＋ｘ＋ｂ，对任意x∈1，2，都有ｈ（ｘ）≤１０在x∈■，１恒成立，求实数ｂ的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，ｈ（ｘ）≤１０得ｈｍａｘ（ｘ）≤１０；方法2：变量分离，b≤１０-（■＋ｘ）或a≤-x2+（10-b）x；方法3：变更主元，φ（a）=■·a+x+b-10≤0，a∈■，2简解：方法1:对ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）+x+b=■＋ｘ+b求导，ｈ＇（ｘ）=1-■=■，得x=■（极小值点），x=-■（极大值点），故（-∞，-■）增，（-■，0）减，（0，■）减，（■，+∞）增．由此可知，ｈ（ｘ）在■，１上的最大值为ｈ（■）与ｈ（１）中的较大者．∴ｈ（■）≤１０ｈ（１）≤１０得４ａ＋■＋ｂ≤１０１＋ａ＋ｂ≤１０得ｂ≤■－４ａｂ≤９－ａ，对于任意a∈■，2 ，得ｂ的取值范围是ｂ≤■．方法2、3略.思考：（2010年绍兴市一模数学试卷理第17题改编）在区间ｔ，ｔ＋１上满足不等式ｘ３－３ｘ＋１≤１恒成立，求实数ｔ的取值范围．分析：利用数形结合思想，对函数f（ｘ）＝ｘ３－３ｘ＋１作图．图解：由图可知ｔ∈０，■－１通过这些例题的分析，我们再次领略了解决恒成立问题的多种常见求解四种方法，（1）化归最值（2）变量分离（3）变更主元（4）数形结合。
谈谈求解含参指对不等式恒成立问题的两种思路
含参不等式恒成立问题往往较为复杂.含参指对不等式恒成立问题的难度较大，侧重于考查同学们的分析、运算能力.本文结合一道含参指对不等式恒成立问题，谈一谈解答此类问题的思路.例题：已知实数λ>0，若对任意x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，求实数λ的取值范围．本题看似简单，实则难度较大.题目中不仅涉及指数式“eλx”和对数式“ln x”，而且涉及参数“λ”，需将问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质来求解.一、利用函数的性质解答含参指对不等式恒成立问题，通常需根据不等式的结构特征，构造合适的函数模型，将问题转化为函数最值问题，如将f(x)≥a恒成立转化为f(x)min≥a，将f(x)≤a恒成立转化为f(x)max≤a.然后对函数求导，讨论导函数与0之间的关系，判断出函数的单调性，求得函数的最值，从而确定参数的取值范围.解法1.由题意可知x>1，在λeλx≥ln x的两边同乘以x得λxeλx≥x ln x，变形得λx∙eλx≥ln x∙e ln x，设f(t)=te t(t>0)，则f(λx)≥f(ln x)，对其求导得f′(t)=e t+te t=(1+t)e t>0，所以函数f(t)在(0,+∞)上单调递增.由λ>0,x>1知λx>0,ln x>0，可知λx≥ln x对任意x>1恒成立.因为λx≥ln x，则λ≥ln x x对任意x>1恒成立，设g(x)=ln x x，其中x>1，则λ≥g(x)max.对函数求导得g′(x)=1-ln x x2，所以当1<x<e时，g′(x)>0；当x>e时，g′(x)<0，因此函数g(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，从而可得g(x)max=g(e)=1e，所以λ≥1e.先构造函数f(t)=te t(t>0)，根据导函数与函数的单调性之间的关系判断出函数的单调性，将不等式转化为λx≥ln x；然后将不等式变形为λ≥ln x x，并构造函数g(x)=ln x x，将问题转化为λ≥g(x)max；再对函数g(x)求导，研究其导函数的性质，从而判断出函数的单调性，求得g(x)max，即可确定参数λ的取值范围.解法2.由题意可知x>1，在λeλx≥ln x的两边同乘以x得λxeλx≥x ln x，变形即得eλx∙ln eλx≥x∙ln x，设f(t)=t ln t(t>1)，则f(eλx)≥f(x).对函数求导得f′(t)=ln t+t×1t=1+ln t>1>0，所以函数f(t)在(1,+∞)上单调递增.由λ>0,x>1知eλx>1，从而可得eλx≥x，即λx≥ln x，所以λ≥ln x x对任意x>1恒成立.下同解法1，过程略.先将不等式进行适当的变形，得到eλx∙ln eλx≥x∙ln x.仔细观察该式可发现不等式左右两边的式子为同构式，于是构造函数f(t)=t ln t(t>1)，对函数求导，讨论导函数的性质，进而判断出函数的单调性，将问题转化为使λ≥ln x x恒成立问题，即使λ≥æèöøln x x max.利用函数的单调性求得函数ln x x的最值，即可解题.思路探寻49思路探寻解法3.由题意可知x>1，在λeλx≥ln x的两边同乘以x得λxeλx≥x ln x，在该不等式的两边同时取对数得λx+ln(λx)≥ln x+ln(ln x).设f(t)=t+e t(t>0)，则f(λx)≥f(ln x).对函数求导得f′(t)=1+e t>0，所以函数f(t)在(0,+∞)上单调递增.由λ>0,x>1知λx>0,ln x>0，从而得出λx≥ln x对任意x>1恒成立，所以λ≥ln x x对任意x>1恒成立.以下同解法1，过程略.先将不等式的两边同时乘x；再取自然对数得到不等式λx+ln(λx)≥ln x+ln(ln x)，即可构造出同构式，进而构造出函数f(t)=t+e t(t>0)；然后借助导数法判断出函数的单调性，利用函数的单调性求得函数的最值，就能顺利求得参数的取值范围.二、数形结合运用数形结合法解答含参指对不等式恒成立问题，实质上是用函数的图象来解题.在解题时，需先根据不等式的结构特征，构造出函数模型，可构造一个函数，也可构造两个函数；然后在同一个坐标系中画出函数的图象，仔细研究函数图象中的最高点、最低点、单调性以及图象的变化趋势，从而找出使不等式恒成立的临界情形，据此建立不等式，求得参数的取值范围.解法4.由解法1得λx≥ln x对任意x>1恒成立，将动直线y1=λx绕着坐标原点旋转，由图1可知，当直线y1=λx与曲线y2=ln x()x>1相切时，直线始终在曲线的上方（包含两个图象的公共点），设直线y1=λx与曲线y2=ln x相切于点(x0,ln x0)，由y′=1x可得1x0=ln x0x0，解得x0=e，所以直线y1=λx与曲线y2=ln x相切的斜率为1e，即λ=1e，所以λ≥1e.我们先将不等式λx≥ln x两边的式子分别构造成函数y1=λx、y2=ln x；然后在同一个坐标系中画出直线y1=λx与曲线y2=ln x的图象，通过改变直线y1=λx的位置，找到使λx≥ln x恒成立的临界情形：当直线y1=λx与曲线y2=ln x()x>1相切时；再根据导数的几何意义和直线的斜率公式求得切点的坐标，即可求得直线的斜率，进而求得参数的取值范围.图1图2解法5.因为λ>0，所以不等式λeλx≥ln x可变形为eλx≥ln xλ，则当x>1时，函数y=eλx的图象始终在函数y=ln xλ的图象的上方（包含两个函数图象的公共点）.由y=eλx可得x=ln yλ，所以函数y=eλx的反函数为y=ln xλ，而函数y=eλx与y=ln xλ的图象关于直线y=x对称，在同一坐标系内画出函数y=eλx与y=ln xλ的图象，以及直线x=m(m>1)，如图2所示，设直线与函数y=eλx,y=x,y=ln xλ分别交于点A,B,C.根据函数y=eλx与y=ln xλ的图象位置关系，可得yA≥y B，即eλm≥m，将其变形得λm≥ln m.则λx≥ln x对任意x>1恒成立.下同解法1，过程略.我们先根据不等式的特点，构造函数y=eλx与y=ln xλ，将问题转化两个函数图象的位置关系问题；然后画出两个函数的图象，结合图象讨论其位置关系，找出临界情形，从而求得问题的答案.可见，解答含参指对不等式恒成立问题，需从函数的图象和性质入手，根据不等式的结构特征，将其进行合适的变形，以构造出不同形式的函数，通过研究其函数的性质、图象，来获得问题的答案.（作者单位：山东省单县第二中学）50。
含参不等式恒成立问题的解题策略
含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”是近几年来高考命题的热点。
它把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本节课就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
孤立参数法一、例题讲解1、 孤立参数法（首选方法）在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。
例1、 已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
2、 转化为一次函数或二次函数恒成立的情况例2、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
例3、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
3、 分类讨论思想在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例4、已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0. 若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.4、 数形结合思想数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。
我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。
含参不等式恒成立问题的八大转化策略
１ 对 Ｅ［ ， ］ ０ ２ 恒成立 ” 要理解为“ ［ ， 中任 意一个 ， ＜ ， 对 ０２］ ． ２ ７
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【 评注】 值得注意的是 在求解过程 中原命题 应看成是全 称
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【 评注 】 此题在求解过程中“ ＜
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含参不等式恒成立问题解题策略探究
含参不等式恒成立问题解题策略探究含参不等式恒成立问题解题策略探究李世文（甘肃省白银市景泰县第二中学，甘肃㊀白银㊀７３０４００）ʌ摘要ɔ含参不等式恒成立问题是新高考数学试卷中的重点与热点，设置的场景与知识模块新颖多样，内涵丰富，解法灵活，成为高考命题者青睐的一种基本题型．文章结合一道高考模拟卷中的函数与导数问题，就含参不等式恒成立问题的破解策略与技巧方法加以 一题多解 剖析，旨在提升学生的数学解题能力，开拓其数学思维，引领并指导其进行解题研究与复习备考．ʌ关键词ɔ含参不等式；恒成立；策略探究ʌ基金项目ɔ本文系甘肃省教育科学 十四五 规划２０２３年度 普通高中数学新课程实验跟踪与质量监测教改实验项目 专项课题‘高中数学选择性必修课程 函数 主题教学设计与实施研究“（课题立项号：ＧＳ［２０２３］ＧＨＢＺＸ０００３）．㊀㊀含参不等式恒成立问题，是近年新高考数学命题中的一类非常典型的热点题型，有时以小题（选择题或填空题）形式出现，有时以解答题形式出现，均是难得的压轴题，题型新颖，变化多样．此类问题难度较大，解题思维灵活多变，能够很好地考查学生的基础知识㊁基本能力与解题经验，具有较好的选拔性与区分度，深受各方关注．下面笔者就以一道高考数学模拟卷中的含参不等式恒成立背景下求参数取值范围的问题来展开探究，剖析解决此类问题的基本策略与技巧方法．一㊁例题呈现例题㊀已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１＋ａｌｎａｘ＋１æèçöø÷，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求ｆ（ｘ）的极值；（２）若ｆ（ｘ）ȡ２ａ（１＋ｌｎａ），求实数ａ的取值范围．此题中，第一小题通过参数的确定值来求解对应函数的极值问题，依托问题场景的创设，借助两次求导处理来分析函数的单调性，进而确定对应的极值问题．而第二小题，以含参不等式恒成立的创新设置，通过指数函数㊁对数函数的复合形式作为基本载体，进而确定参数的取值范围．这里可以借助不等式恒成立的恒等变形与转化，利用同构函数法㊁隐零点法㊁放缩法以及反函数法等常见的思维方法来切入与分析，在一定程度上合理引导学生开拓数学解题思维，掌握更加丰富的解题技巧㊁方法．二㊁解题探究解析㊀（１）当ａ＝２时，ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１＋２ｌｎ２ｘ＋１æèçöø÷，定义域为（－１，＋ɕ），则ｆᶄ（ｘ）＝ｅｘ－１＋（ｘ＋１）２ｘ＋１æèçöø÷ᶄ＝ｅｘ－１－２ｘ＋１，令函数ｇ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ），则ｇᶄ（ｘ）＝ｅｘ－１＋２（ｘ＋１）２＞０在（－１，＋ɕ）上恒成立，所以ｇ（ｘ）在（－１，＋ɕ）上单调递增，又ｆᶄ（１）＝ｅ１－１－２１＋１＝０，所以当ｘɪ（－１，１）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，当ｘɪ（１，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，故ｆ（ｘ）在（－１，１）上单调递减，在（１，＋ɕ）上单调递增，所以ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１＋２ｌｎ２ｘ＋１æèçöø÷在ｘ＝１处取得极小值，极小值为ｆ（１）＝ｅ１－１＋２ｌｎ（２１＋１）＝１，无极大值．（２）方法１（同构函数法）㊀由题意可得ｅｘ－１＋ａｌｎａｘ＋１æèçöø÷ȡ２ａ（１＋ｌｎａ），因为ａ＞０，所以以上不等式两边同时除以ａ可得ｅｘ－１ａ＋ｌｎａｘ＋１æèçöø÷ȡ２（１＋ｌｎａ），变形为ｅｘ－１－ｌｎａ＋（ｘ－１－ｌｎａ）ȡｘ＋１＋ｌｎ（ｘ＋１），即ｅｘ－１－ｌｎａ＋（ｘ－１－ｌｎａ）ȡｅｌｎ（ｘ＋１）＋ｌｎ（ｘ＋１），４３１同构函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ＋ｘ，则以上不等式等价于ｈ（ｘ－１－ｌｎａ）ȡｈ（ｌｎ（ｘ＋１）），因为ｈᶄ（ｘ）＝ｅｘ＋１＞０恒成立，所以ｈ（ｘ）＝ｅｘ＋ｘ在Ｒ上单调递增，所以ｘ－１－ｌｎａȡｌｎ（ｘ＋１），即ｘ－１－ｌｎ（ｘ＋１）ȡｌｎａ，构造函数ｕ（ｘ）＝ｘ－１－ｌｎ（ｘ＋１），ｘɪ（－１，＋ɕ），则ｕᶄ（ｘ）＝１－１ｘ＋１＝ｘｘ＋１，当ｘɪ（－１，０）时，ｕᶄ（ｘ）＜０，当ｘɪ（０，＋ɕ）时，ｕᶄ（ｘ）＞０，故ｕ（ｘ）＝ｘ－１－ｌｎ（ｘ＋１）在（－１，０）上单调递减，在（０，＋ɕ）上单调递增，所以ｕ（ｘ）＝ｘ－１－ｌｎ（ｘ＋１）在ｘ＝０处取得极小值，也是最小值，故ｕ（ｘ）ｍｉｎ＝ｕ（０）＝－１，所以－１ȡｌｎａ，解得ａɤ１ｅ，由于ａ＞０，故实数ａ的取值范围为０，１ｅæèçùûúú．解后反思㊀该解法根据题设条件中不等式恒成立的恒等变形与转化，合理寻找共性，构建同型，借助同构思维㊁同构函数，利用函数的单调性加以简化不等式，并借助分离变量㊁结构对应函数的构建以及函数的单调性判断，利用函数最值的求解来转化，进而得以确定对应的参数取值范围问题．同构思维是解决此类函数与导数解答题中经常应用的一种基本数学思维，其特点就是不等式中同时出现ｅｘ与ｌｎｘ的相关项．方法２（隐零点法）㊀令函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－２ａ（１＋ｌｎａ）＝ｅｘ－１－ａｌｎ（ｘ＋１）－２ａ－ａｌｎａ，ｘɪ（－１，＋ɕ），则ｇᶄ（ｘ）＝ｅｘ－１－ａｘ＋１＝（ｘ＋１）ｅｘ－１－ａｘ＋１，令函数ｈ（ｘ）＝（ｘ＋１）ｅｘ－１－ａ，ｘɪ（－１，＋ɕ），则ｈᶄ（ｘ）＝（ｘ＋２）ｅｘ－１＞０恒成立，所以函数ｈ（ｘ）在（－１，＋ɕ）上单调递增，又ｈ（－１）＝－ａ＜０，ｈ（ａ）＝（ａ＋１）ｅａ－１－ａ＞（ａ＋１）㊃ａ－ａ＝ａ２＞０，根据函数零点的存在性定理，可得存在唯一ｘ０ɪ（－１，ａ），使得ｈ（ｘ０）＝０，此时（ｘ０＋１）ｅｘ－１－ａ＝０，整理可得ｌｎ（ｘ０＋１）＝ｌｎａ－（ｘ０－１），则当ｘɪ（－１，ｘ０）时，ｈ（ｘ）＜０，则ｇᶄ（ｘ）＜０，函数ｇ（ｘ）单调递减；当ｘɪ（ｘ０，＋ɕ）时，ｈ（ｘ）＞０，则ｇᶄ（ｘ）＞０，函数ｇ（ｘ）单调递增，所以ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（ｘ０）＝ｅｘ－１－ａｌｎ（ｘ０＋１）－２ａ－ａｌｎａ＝ａｘ０＋１－ａ［ｌｎａ－（ｘ０－１）］－２ａ－ａｌｎａ＝ａｘ０＋１＋ａ（ｘ０＋１）－４ａ－２ａｌｎａȡ２ａｘ０＋１㊃ａ（ｘ０＋１）－４ａ－２ａｌｎａ＝－２ａ－２ａｌｎａ，当且仅当ａｘ０＋１＝ａ（ｘ０＋１），即ｘ０＝０时等号成立，要使得ｆ（ｘ）ȡ２ａ（１＋ｌｎａ）恒成立，则ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝－２ａ－２ａｌｎａȡ０，由于ａ＞０，则有－２－２ｌｎａȡ０，解得０＜ａɤ１ｅ，故实数ａ的取值范围为０，１ｅæèçùûúú．解后反思㊀根据题设条件中不等式恒成立的恒等变形与转化，实现不等式问题函数化，进而结合带参函数的构建与求导处理，通过确定函数的隐零点，利用代换思维以及基本不等式的应用来确定函数的最小值，为问题的解决提供条件．利用函数的隐零点思维解题时要注意优化隐零点的取值范围是关键，也是破解问题的重点之一．方法３（放缩法）㊀由题意可得ｅｘ－１＋ａｌｎａｘ＋１æèçöø÷ȡ２ａ（１＋ｌｎａ），因为ａ＞０，所以以上不等式两边同时除以ａ可得ｅｘ－１ａ＋ｌｎａｘ＋１æèçöø÷ȡ２（１＋ｌｎａ），变形为ｅｘ－ｌｎａ－１－ｌｎ（ｘ＋１）－ｌｎａ－２ȡ０，（∗）利用重要不等式有ｅｘ－ｌｎａ－１ȡｘ－ｌｎａ，当且仅当ｘ－ｌｎａ＝１时等号成立，ｌｎ（ｘ＋１）ɤｘ，当且仅当ｘ＝０时等号成立，所以ｅｘ－ｌｎａ－１－ｌｎ（ｘ＋１）－ｌｎａ－２ȡｘ－ｌｎａ－ｘ－ｌｎａ－２＝－２ｌｎａ－２，当且仅当ｘ－ｌｎａ＝１，ｘ＝０，{即ａ＝１ｅ，ｘ＝０ìîíïïï时等号成立，要使得不等式（∗）恒成立，则有－２ｌｎａ－２ȡ０，解得ａɤ１ｅ，由于ａ＞０，故实数ａ的取值范围为０，１ｅæèçùûúú．解后反思㊀根据题设条件中不等式恒成立的恒等变形与转化，利用双切线重要不等式的结论进行合理的放缩处理，为不等式的构建提供条件．此类函数与导数解答题中放缩法应用的关键就是利用一些重要不等式进行放缩与变形．方法４（反函数法）㊀由题意可得ｅｘ－１＋ａｌｎａｘ＋１æèçöø÷ȡ２ａ（１＋ｌｎａ），因为ａ＞０，所以以上不等式两边同时除以ａ可得ｅｘ－１ａ＋ｌｎａｘ＋１æèçöø÷ȡ２（１＋ｌｎａ），５３１变形为ｅｘ－１ａȡｌｎ（ｘ＋１）＋ｌｎａ＋２，令ｔ＝ｘ＋１＞０，问题转化为不等式ｅｔ－２ａȡｌｎｔ＋ｌｎａ＋２恒成立，而函数ｙ＝ｅｔ－２ａ与ｙ＝ｌｎｔ＋ｌｎａ＋２互为反函数，则问题转化为不等式ｔȡｌｎｔ＋ｌｎａ＋２恒成立，也即ｌｎａɤｔ－ｌｎｔ－２恒成立，构造函数ｈ（ｔ）＝ｔ－ｌｎｔ－２，ｔɪ（０，＋ɕ），则ｈᶄ（ｔ）＝１－１ｔ＝ｔ－１ｔ，当ｔɪ（０，１）时，ｈᶄ（ｔ）＜０，当ｔɪ（１，＋ɕ）时，ｈᶄ（ｔ）＞０，故ｈ（ｔ）＝ｔ－ｌｎｔ－２在（０，１）上单调递减，在（１，＋ɕ）上单调递增，所以ｈ（ｔ）＝ｔ－ｌｎｔ－２在ｔ＝１处取得极小值，也是最小值，故ｈ（ｔ）ｍｉｎ＝ｈ（１）＝－１，所以ｌｎａɤ－１，解得ａɤ１ｅ，由于ａ＞０，故实数ａ的取值范围为０，１ｅæèçùûúú．解后反思㊀根据题设条件中不等式恒成立的恒等变形与转化，通过参数的整体化思维，利用两相关函数互为反函数，结合反函数的图像与性质恒等变形并优化对应的不等式，进而借助分离变量㊁结构对应函数的构建以及函数的单调性判断，利用函数最值的求解来转化，进而得以确定对应的参数取值范围．反函数法可以很好地优化恒成立的不等式，合理使问题得以简捷化处理．三㊁变式拓展含参不等式恒成立问题具有灵活多变的解题方式，是 一题多解 的重要场所，而且在各类题型中均能较好展开．而在此 一题多解 的基础上，深度学习，进行 一题多变 ，可以充分展开此类创新综合应用题的魅力，达到发散思维㊁开拓方法㊁巩固相关基础知识与基本方法的目的．ʌ变式ɔ若存在ｘɪ（０，＋ɕ），使得不等式ｅｘ－ａｌｎｘ＜ａｌｎａ成立，则实数ａ的取值范围为．解析㊀依题意知ａ＞０，由于存在ｘɪ（０，＋ɕ），使得不等式ｅｘ－ａｌｎｘ＜ａｌｎａ成立，即ｅｘａ－ｌｎｘ＜ｌｎａ成立，则知ｅｘａ－ｌｎａ＜ｌｎｘ成立，亦即ｅｘ－ｌｎａ＋（ｘ－ｌｎａ）＜ｘ＋ｌｎｘ＝ｅｌｎｘ＋ｌｎｘ成立，同构函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ｘ，易知函数ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，所以只需ｘ－ｌｎａ＜ｌｎｘ成立，即ｌｎａ＞ｘ－ｌｎｘ成立，令函数ｇ（ｘ）＝ｘ－ｌｎｘ，ｘɪ（０，＋ɕ），求导有ｇᶄ（ｘ）＝１－１ｘ＝ｘ－１ｘ，由ｇᶄ（ｘ）＝０解得ｘ＝１，所以当ｘɪ（０，１）时，ｇᶄ（ｘ）＜０；当ｘɪ（１，＋ɕ）时，ｇᶄ（ｘ）＞０；所以函数ｇ（ｘ）在（０，１）上单调递减，在（１，＋ɕ）上单调递增，所以ｇ（ｘ）ȡｇ（１）＝１，即ｌｎａ＞１，ａ＞ｅ，所以实数ａ的取值范围为（ｅ，＋ɕ），故填答案：（ｅ，＋ɕ）．四㊁教学启示（一）总结方法，归纳策略破解此类含参不等式恒成立问题，主要从以下三个方面入手：函数视角切入㊁不等式视角切入㊁数形直观切入，基本的技巧策略主要有：构造函数法与隐零点法，基于不等式基本性质或重要不等式的放缩法，基于函数图像的数形结合法，以及反函数法㊁判别式法㊁更换主元法等，学生应结合具体问题场景，合理选择对应的视角切入，利用对应的方法进行解题㊁应用．（二）交汇思想，提升能力含参不等式恒成立问题的创设场景多变，自身可以巧妙融合函数与方程㊁不等式㊁函数与导数等众多的数学基础知识，同时在求解过程中还涉及函数与方程㊁转化与化归㊁分类讨论及数形结合等基本数学思想方法，求解方法多种多样，需要学生不断去领悟㊁体会与总结，对于锻炼学生的综合解题能力与逻辑推理能力，培养学生思维的灵活性㊁创造性等都有着非常独特的作用．结㊀语对于含参不等式恒成立问题，教师应巧妙地通过对问题的深入分析与挖掘，进行合理的 一题多解 ，并依托 一题多解 的思维拓展与探究，引导学生深度学习，进而 一题多变 ，从而在解题研究与学习的层面上有效深入探究与应用，构建更加完善的数学知识网络体系，优化数学思维品质，提升数学解题能力，合理培养数学核心素养．ʌ参考文献ɔ［１］洪锐敏．２０２２年新高考Ⅰ卷函数与导数解答题的解法探究与推广［Ｊ］．中学数学研究（华南师范大学版），２０２３（１８）：３１－３４．［２］王咏梅．谈谈用导数法解答两类函数问题的路径［Ｊ］．语数外学习（高中版上旬），２０２３（２）：４５－４６．［３］郑笑容，杨恩彬．审度时宜㊀虑定而定：例谈函数与导数解答题的求解策略［Ｊ］．福建中学数学，２０２２（７）：３７－４０．［４］敖羚峰．高中数学导数试题分析㊁解题错误与教学对策研究［Ｄ］．上海：华东师范大学，２０２１．６３１。
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解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般地，若函数()x f 的定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()Mx f ≥⇔min （()M x f ≥有解⇔M max )(x f ≤）；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔m a x（()M x f ≤有解⇔M x f ≤m i n )(）.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022s in 2c o s 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。
【解析】由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ 因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立，又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时, ()012442<+-=∆m m m 2∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (故由①②③可知：21-≥m . 例二 定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若()()02933<--+⋅x x x f k f 对任意x ∈R 恒成立，求实数k 分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2＞0对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)， ①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．()()()2932933++-=---<⋅x x x x x f f k f ， 2933++-<⋅x x x k 即()023132>+⋅+-x x k 对于任意R x ∈恒成立.令t=3x ＞0，、问题等价于()0212>++-t k t 对于任意0>t 恒成立.令()()212++-=t k t t f ,其对称轴为直线21k x +=当021<+k ,即1-<k 时, ()020>=f 恒成立,符合题意,故1-<k ; 当021≥+k 时,对于任意0>t ,()0>t f 恒成立()⎪⎩⎪⎨⎧<⨯-+=∆≥+⇔02410212k k ， 解得2211+-<≤-k综上所述,当221+-<k 时,()()02933<--+⋅x x x f k f 对于任意R x ∈恒成立.本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷.t =m分离系数,由2933++-<⋅x x x k 得1323-+<x x k . 由于R x ∈,所以03>x ,故1221323-≥-+=x x u ,即u 的最小值为122-. 要使对于R x ∈不等式1323-+<x x k 恒成立,只要122-<k 说明: 上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．例三 已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。
若函数x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
分析：利用导数将“函数)(x f 在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“0)(≥'x f 在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数023)(2≥++-='t x x x f 在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分离系数法将t 分离出来，通过讨论最值来解出t 的取值范围。
【解析】依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(。
则t x x x f ++-='23)(2，若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)(≥'x f 恒成立。
∴0)(≥'x f x x t 232-≥⇔在（-1，1）上恒成立。
考虑函数x x x g 23)(2-=，（如图4）由于)(x g 的图象是对称轴为31=x ， 开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥⇔g t即5≥t 。
而当5≥t 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数。
故t 的取值范围是5≥t .数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化．因此，更要重视转化的数学思想．含参数不等式恒成立问题中参数范围确定的具体方法：1：分离参数法例 1：设()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。
该题题型新颖，许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。
因为图4y)这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。
但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。
下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法：例如上面的这道高考题，我们根据其特征可以用分离参数法来解决。
所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。
这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。
我们来分析一下这道题的特征：因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子()()a n n x x x +-+++121 就必须也是正数。
并容易看出，可以将a 分离出来。
分析： 当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔>+-+++x x x xx x n n n a a n n 11210121 令()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x n n n x 1121 ϑ，只要对()x ϑ在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。
故我们可以利用函数的最值分离出参数a 。
解： 由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得：()0121>+-+++a n n xx x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔x x x n n n a 1121 ，由指数函数单调性知上式右边的函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x n n n x 1121 ϑ的最大值是()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n 1211 ϑ＝()n -121 故 a>()n -121 一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 ()0,≥λx f , （ D x ∈λ为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为()()()()()x f f x f f 2221≤≥λλ或的形式；（2） 求()x f 2在∈x D 时的最大（或最小）值；（3） 解不等式()()()()x f x f f min 2max 21≤≥或λ 得λ的取值范围。
思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
变式：不等式-2cos 2x +4sinx-k 2+k<0对一切实数x 恒成立，求参数k 的取值范围。
分析与解：所给不等式可化为：（2 sinx+1）2< k 2-k+3<==>（2 sinx+1）2max < k 2-k+3 而（2 sinx+1）2max =9 ∴k 2-k+3=9，解之得：k > 3或k < -2故k 的取值范围是（-∞，-2）∪（3，+∞）。
利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。
例 2： 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实数m范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。