配完全平方公式
配完全平方公式及应用
3 ，则 x 2 2 xy 2 y 2 的值是______________
1 成为一个两数和的完全平方式，则（ 4
B. m 2 C. m 1 ） D. m 1 ） D．±12
1 2
9．要使 4 x mx A. m 2
10．如果 4 x2 mxy 9 y 2 是一个完全平方式，则 m 的值是（ A．6 B．±6 C．12
例 3. 若 a 2008, b 2009 , c 2010 , 求a 2 b 2 c 2 ab bc ac 的值.
例 4.(1) 已知 a 5b 4ab 4b 4 0 ，求 a+b.
2 2
(2) 已知 :13x 2 6 xy y 2 4 x 1 0, 求 x y x10的值.
【能力提升训练】
1． (
) 2 m 2 8m 16
． 4n
2 2．关于 x 的多项式 x 8 x k 是完全平方式，则 k =
3．若 (2 x M ) 2 4 x 2 12 x N ，则 M= 4.下列各式可以写成完全平方式的有（ ① x 2 xy y 2 A．1 个
2 2
2 2 ________， 有了 a 2ab 或 a 2ab 则第三项一定是______） ． 在某些较为复杂的题目中，
还需要利用一些分拆的技巧，需要注意．
【典型例题探究】
例 1. 如果(a +b )(a +b -6)+9=0，求 a +b
2 2 2 2 2 2
例 2．已知： x y z 2 ，求代数式 x3 4 y 2 4 z 2 4 xyz 的值.
2
完全平方公式的配方法
完全平方公式的配方法完全平方公式是初中数学知识中的重要概念之一，它是求解一元二次方程的一种常用方法。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为完全平方形式，从而更容易求解。
我们来看一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0（其中a、b、c为常数，a ≠ 0）。
为了方便起见，我们先假设a = 1，即方程为x^2 + bx + c = 0。
接下来，我们要将这个一元二次方程转化为完全平方形式。
为了实现这一目标，我们需要找到一个常数k，使得方程的左边可以写成一个完全平方的形式。
我们可以通过配方法来完成这个过程。
首先，我们将方程的左边的二次项和一次项的系数之和的一半平方，并加上一个恰当的常数。
即：(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2 = 0这样，我们就将原方程转化为了一个完全平方形式的方程。
其中，(x + b/2)就是我们要求解方程的一个解。
接下来，我们可以通过求解这个完全平方形式的方程来得到方程的解。
具体而言，我们可以将方程化简为：(x + b/2)^2 = (b/2)^2 - c然后，我们可以对方程两边开根号，得到：x + b/2 = ±√((b/2)^2 - c)我们将方程两边减去b/2，即可得到方程的解：x = -b/2 ±√((b/2)^2 - c)至此，我们通过配方法，成功地将一元二次方程转化为完全平方形式，并求解出了方程的解。
需要注意的是，在实际应用中，我们可能会遇到一些特殊情况。
例如，当方程的一次项系数b为0时，我们直接可以将方程化简为x^2 + c = 0，然后求解即可。
又如，当方程的常数项c为0时，我们可以将方程因式分解为x(x + b) = 0，然后求解即可。
完全平方公式的配方法是一种求解一元二次方程的常用方法。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为完全平方形式，从而更容易求解。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解方程，提高解题的效率。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中a，b和c是已知常数，而x是未知数。
完全平方公式的形式为 x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。
让我们详细解释一下完全平方公式的推导过程。
首先，我们要将二次方程写成平方的形式。
我们可以通过配方来完成这一步骤。
将二次方程移项，我们得到 ax^2 + bx = -c。
接下来，我们需要创建一个完全平方。
我们可以通过将b的一半平方加入方程的两边来实现这一点。
这意味着我们需要将b/2平方并加入方程两边。
形式上写为(b/2)^2通过这样做，我们可以将方程转变为一个完全平方的形式。
现在方程变为 (ax^2 + bx + (b/2)^2) = (b/2)^2 - c。
简化方程，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
将方程再次移项，我们得到 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
注意到，左边的式子是两个平方的差。
这是一个重要的公式，称为平方差公式。
平方差公式是 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2、应用这个公式，我们可以将方程进一步简化为 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。
通过移项，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。
然后，我们可以开始解方程。
首先，我们要对两边的式子开根号，可以得到ax + b/2 = ±√((b^2/4) - c)。
接下来，我们继续化简。
我们将b/2移项，得到 ax = -b/2 ±√((b^2/4) - c)。
最后，我们将x与a相除，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
这就是完全平方公式的最终形式。
需要注意的是，完全平方公式只适用于二次方程。
对于高次方程，我们需要采用其他方法来求解。
总结起来，完全平方公式是一个用于求解二次方程的重要公式。
配成完全平方的技巧
配成完全平方的技巧在数学中，完全平方是指一个数可以表示为另一个整数的平方的形式，例如4、9、16等。
而有些数并不是完全平方，但是我们可以通过一些技巧将它们配成完全平方。
下面就来介绍一些配成完全平方的技巧。
1.加减法配方这是最基本的一种方法，即将一个数拆分成两个数的和或差的形式，然后再将其配成完全平方。
例如，对于数12，我们可以将其拆分成9+3，然后再将9配成3的平方，即12=3²+3。
2.乘法配方这种方法适用于两个数的乘积可以表示为一个完全平方的情况。
例如，对于数24，我们可以将其拆分成4×6，然后再将4和6配成2²和2²+2×2，即24=2²×(2²+2×2)。
3.公式配方有些数可以通过一些公式来配成完全平方。
例如，对于数10，我们可以使用差平方公式，即10=3²-1²，因此10可以表示为(3-1)²+2²。
4.负数配方有些数可以通过引入负数来配成完全平方。
例如，对于数15，我们可以将其拆分成16-1，然后再将1配成(-1)²，即15=4²-1²。
5.连续奇数配方对于一些连续的奇数，它们的和可以表示为一个完全平方。
例如，对于数9，我们可以将其拆分成1+3+5，然后再将它们配成(1+2)²-2²，即9=(1+2)²-2²。
配成完全平方的技巧有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法。
这些技巧不仅可以帮助我们更好地理解数学，还可以在实际应用中发挥重要作用。
完全平方公式的配方应用
完全平方公式的配方应用完全平方公式是一个常用的配方，可以用来进行简化和加速代数表达式的计算。
该公式指出：(a+b)² = a² + 2ab + b²该公式可以应用于以下情况：1. 因式分解如果一个代数表达式可以表示为 (a+b)²的形式，那么我们可以使用完全平方公式将其展开，并将其移到一个更简单的形式。
例如，考虑将以下代数表达式因式分解：x² + 8x + 16这个表达式可以表示为 (x+4)²，应用完全平方公式：(x+4)² = x² + 2(4)x + 4² = x² + 8x + 16因此，我们可以将 x² + 8x + 16 因式分解为 (x+4)²。
2. 完成平方如果有一个简单的代数表达式，我们可以使用完全平方公式将其转化为更简单的形式，这个过程被称为“完成平方”。
例如，考虑将以下代数表达式完成为平方：x² + 6x + 5这个表达式可以表示为 (x+3)² - 4，应用完全平方公式：(x+3)² - 4 = x² + 2(3)x + 3² - 4 = x² + 6x + 5因此，我们可以将 x² + 6x + 5 完成为平方形式 (x+3)² - 4。
3. 解一元二次方程一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0 ，其中a、b、c为常数，x为未知数。
我们可以使用完全平方公式来解一元二次方程。
例如，考虑解方程 x² - 4x - 5 = 0，我们可以将其变形为 (x-2)² - 9 = 0，应用完全平方公式：(x-2)² - 9 = 0(x-2)² = 9x-2 = ±√9x = 2±3因此，方程的根为 x = 2+3 或 x = 2-3，即 x = 5 或 x = -1。
完全平方公式的配方口诀
完全平方公式的配方口诀
学习完全平方公式的口诀，可以让我们更轻松地求解各种完全平方式问题。
首先，要记住完全平方公式的配方口诀：“收支相抵，两边相等；左边加开，右边也开；左边后去，右边也去；左边中括，右边也括。
”
其次，要了解完全平方公式的使用方法。
首先，在收支相抵和两边相等这两个步骤中，要将原本的式子改写成收支相抵和两边相等的形式；接下来，在“左边加开，右边也开”步骤中，要在左右两边各加上常数的平方。
接着，在“左边后去，右边也去”步骤中，要对左右两边各进行两次求和运算，将两个等式变成一个；最后，在“左边中括，右边也括”步骤中，将左右两边各加上一个根号，即可求出答案。
最后，在使用完全平方公式时，一定要加强复习，牢记口诀，仔细检查，以免出现计算错误。
只有牢记口诀，才能知道完全平方公式的用法，正确地运用它来解决完全平方式问题。
总之，学习完全平方公式的口诀，能够有效地帮助我们解决完全平方式问题，这时一个非常重要的步骤。
只有学会了口诀，充分掌握了使用方法，满足各种完全平方式问题，才能提高自己的数学能力，赢得学业上的胜利。
完全平方公式的配方法
完全平方公式的配方法假设有一个一次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知系数。
我们的目标是将这个一次方程转化为一个完全平方，即转化为 (px + q)^2 = 0 的形式。
我们令p=√a，q=b/2√a。
根据这个设定，我们可以推导出：(px + q)^2 = 0p^2x^2 + 2pqx + q^2 = 0根据二次方程的性质，我们可以得到：p^2=a2pq = bq^2=c由此，我们可以得到一个结论：(px + q)^2 = 0等价于 ax^2 + bx + c = 0这就是完全平方公式的推导过程。
接下来，我们将介绍一些使用完全平方公式的配方法。
配方法实际上就是将一次方程转化为完全平方，从而更方便地求解方程的根。
设有一个一次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知系数。
1. 首先，将方程中常数项移到等号的另一侧，得到 ax^2 + bx = -c。
2.其次，将方程两边同时除以a，得到x^2+(b/a)x=-c/a。
3.然后，将方程中的第二项一半的系数取出来，即将(b/a)/2提取出来，得到x^2+(b/a)x+[(b/a)/2]^2=-c/a+[(b/a)/2]^24.最后，将方程右侧进行化简，得到x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=-c/a+b^2/4a^2由此可得方程转化为完全平方的形式为(x+b/2a)^2=-c/a+b^2/4a^2通过完全平方公式，我们可以求解这个完全平方方程的解。
首先，我们将方程右侧的常数进行化简，然后对方程两边同时求平方根，即可得到方程的两个解。
配方法是一种很有用的工具，它可以将复杂的一次方程转化为完全平方的形式，从而简化计算过程。
通过熟练掌握完全平方公式的推导和配方法的应用，我们可以更轻松地求解二次方程的根。
总结起来，完全平方公式是一个将一次方程转化为完全平方的方法。
通过完全平方公式，我们可以将一次方程转化为 (px + q)^2 = 0 的形式，从而更方便地求解方程的根。
构造完全平方公式(配方)
构造完全平方式及应用姓名：【知识要点】1.构造完全平方,即利用公式2222222()2()a b ab a b a b ab a b ++=++-=-及把一个展开了的多项式配成另一个多项式的平方的形式,这个展开了的多项式称之为完全平方式.2.方法在于利用两项来确定第三项来配（如有22a b +了则第三项一定是2ab 或2ab -，有了22a ab +或22a ab -则第三项一定是2b ）．【浅探独学】1．填空(1)4a 2+449b 2=2(2)x 4+2x 2y 2+=2(3)2a 2b 2+18c 2d 2=2(4)-a 2-ab =22．(1)已知，4x 2+kxy +25y 2是完全平方式，则k =.(2)已知，x 2+12x +m 2是完全平方式，则m =.【深究群学】1.已知x 2+4x +y 2-6y +13=0，求x +y 的值.2.已知01461322=+--+a ab b a ，求a+b 的值.【提炼促学】1.求满足方程y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对(x ,y ).2.已知，x 4+4x 2+m 是完全平方式，则m =.变式：已知，x 4-4x 2+m 是完全平方式，则m =.【作业布置】1．请补上一项，使下列多项式成为完全平方式(1)a 2+4b 2=2(2)12a 2b +9b 2=2(3)-a 2-49b 2=2(4)4a 2+9b 2=22．已知(a 2+b 2)(a 2+b 2-6)+9=0，a 2+b 2=.3.已知224442,032y y xy x xy x ++--=--求的值。
4.已知，x 4+4x 2y 2+m 是完全平方式，则m =.。
配完全平方公式及应用例题巩固练习
配完全平方公式及应用【知识要点梳理】1.配完全平方公式：即利用公式________________及_______________把一个展开了的多项式配成另一个多项式的平方的形式,有些多项式可以刚好配成,则称之为完全平方式.2.配方的作用：① 降次：将一个复杂的等量关系转化为几个简单的等量关系.如：一个复杂的多项式可以配成形如）为常数，且0,0,(0)()(22>>=+++n m n m d c n b a m ，则可以得出a+b=0,c+d=0. ② 求最小值：若一个式子配成形如）为常数，且0,0,,()()(22>>++++n m k n m k d c n b a m ，则最小值为k .3.配方的方法就在于利用两项来确定第三项来配（如:有22a b +了则第三项一定是_____或________，有了22a ab +或22a ab -则第三项一定是______）．在某些较为复杂的题目中，还需要利用一些分拆的技巧，需要注意． 【典型例题探究】例1. 如果(a 2+b 2)(a 2+b 2-6)+9=0，求a 2+b 2例2．已知：2x y z =+=，求代数式322444x y z xyz +++的值.例3. 若ac bc ab c b a c b a ---++===222,2010,2009,2008求的值.例4.(1) 已知0444522=+--+b ab b a ，求a+b.(2) ()132210:136410,.x xy y x x y x -+-+=+⋅已知求的值例5. 当a,b 为何值时，多项式224618a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值.【基础达标演练】1. ( )2=14y 2-y+1 2. ( )2=9a 2-________+16b 2 3. x 2+10x+___________=(x+__________)2 4. x 2+21x -__________=(x-______)2 5. 如果a 2+ma+9是一个完全平方式，那么m=_________.6．如果22530a ab m -+是一个完全平方式，那么m= .7．如果(a+b)(a+b-2)+1=0，则a+b=_________8．已知32=-yx ，则222221y xy x +-的值是______________ 9．要使2144x mx ++成为一个两数和的完全平方式，则（ ）A.2m =-B.2m =C.1m =D.1m =-10．如果2249x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．6B ．±6C ．12D ．±1211．如果22()8y a y y b +=-+，那么a,b 的值分别为（ ）A ．a=4，b=16B ．a=－4，b=－16C ．a=4，b=－16D ．a=－4，b=1612. 若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 满足等式2222)()(3c b a c b a ++=++.试说明该三角形是等边三角形.【能力提升训练】1．168)(22++=m m2．关于x 的多项式k x x +-82是完全平方式，则k = ．3．若N x x M x +-=-124)2(22，则M= ，N= ．4.下列各式可以写成完全平方式的有（ ）①22y xy x ++ ②2241b ab a +- ③2244n mn m ++ ④291a a +- A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．如果x 2+y 2-4x-6y+13=0，求xy ．6．若3-=-y x ，求xy y x -+222的值．【走近中考前沿】1.（宁波中考）已知ac bc ab c b a c b b a ++=++=-=-求,1,532222.（河南中考）已知,21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a 求bc ac ab c b a ---++222【数学竞赛花园】* 1.已知4x 2+x 4+M （M 是单项式）是一个完全平方式，则M 可以有哪几种结果?* 2.若0))((4)(2=----z y y x x z ，求x+z 与y 的关系.* 3. 已知a,b,c 满足a 2+2b=7,b 2-2c=-1,c 2-6a=-17,求a+b+c 的值.* 4．若1003722=+b a ，1007322=+d c ，10037=+bc ad ，求cb d a -的值.。
完全平方与配方法
完全平方公式与配方法马升爱学习目标:1.理解完全平方公式及其应用；2.掌握配方法；3.熟练用配方法因式分解和解一元二次方程；4.在配方的过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。
学习重难点：理解并掌握配方法及其应用。
学习过程：一.完全平方公式记忆完全平方公式(a+ b) 2= ________________________ (a-b) 2= _________________ 1.运用完全平方公式计算：(1)(x+3y) 2=(-a-b) 2=(2)⑶(x+ y)・(2x + 2y)=(4) (a+ b) •(— a— b)=⑸(a+b+c) 2=分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，—’可先变形为H 1或1 -或者」1，再进行计算.2、公式的变形：'练习：已知实数a、b满足(a+ b) 2=10，ab=1。
求下列各式的值：(1) a2+b2; (2)( a— b) 2.配方法配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式（a b）2 a2 2ab b2 1 •把下列各式配成完全平方式(1) x2lx22 x(2) x x2 x3(3) x2-x2 xa(4) x2x 225 x2 .若 x +6x+m n是'个元全平方式，则m的值是（）A . 3B . -3C . ± 3D .以上都不对3.配方法应用：③ x2+6x+4= x2+6x+ - +4=(x+ ) 2-④ x2+4x+1=x+4x+ -+仁(x+ ) 2-⑤x2-8x-9=x 2-8x+ --9=(x- ) 2-⑥ x2+3x-4=x 2+3x+ --4=(x+ ) 2-4.用配方法解一元二一次方程.其步骤是：①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为2 22 4x2 px q的形式；②方程两边都加上号，把方程化为x I 叮③当p2 4q 0时，利用开平方法求解.(1). 用配方法解方程 2 2 .x x 10，正确的解法是（) •A.21 x-8，x 1 2 22B. x - 8 原方程无实数根.3 9 3 3 3 9C.22x5，x2 522D. x5 原方程无实数根.3 9' 3 392 •用配方法解下列方程:2(2) 3x 9x 2 0(3) x 2 2ax b 2 a 2(1) x 2x 12(4) x 2+4x-12=0。
配方法解一元二次方程
或 mx n
p
.
P31 练习
22.2.1 配方法 （2）
问题2
要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且 面积为16 m , 场地的长和宽应各是多少?
2
2
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积
为16m ,列方程
X(x+6)=16
即
x
2
6 x 16 0
怎样解?
想一想解方程x 6 6 x16 160 0的流程怎样 x x 移项
22.2.1 配方法 （1）
完全平方公式：
a a
2
2 ab b 2 ab b
2
2
(a b) (a b )
2
;
2
2
.
填一填
(1) (2) (3) (4)
x
2
1 2 x _____
2
1 ( x ___) 4 ( x ___)
2
x y y
2
4 8 x _ 6 x 1500 由此可得
x
2
25
这种解法叫做什么? 直接开平方法
x 5， 即
x
1
5， 2 5 x
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
活动1 做一做
2．对照上述解方程的过程，你能解 下列方程吗？从中你能得到什么结论？
ax bx c 0
2
课堂小测
用配方法解下列方程：
(1) x 2 x 5
2
(2) x 5 x 6 0
2
(3)3 x x 6 0
完全平方公式与配方法(学生版)
完全平方公式与配方法1．先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若2222690m n mn n ++-+=，求m 和n 的值．解：2222690m n mn n ++-+=，2222690m mn n n n ∴+++-+=．22()(3)0m n n ++-=，0m n ∴+=且30n -=．3m ∴=-，3n =．问题（1）已知22610210x xy y y ++++=，求x y -的值；（2）求代数式22241x x y y ++--的最小值；（3）比较代数式221x -与45x -的大小．2．阅读材料：把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即2222()a ab b a b ±+=±．例如：2(1)3x -+、2(2)2x x -+、2213(2)24x x -+是224x x -+的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出242x x -+三种不同形式的配方；（2）将22a ab b ++配方（至少两种形式）；（3）已知2223240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．3．当a ，b 取任意有理数时，代数式（1）222(1)(21)a a ++-；（2）2712a a -+；（3）22(43)(4)a b -+-；（4）2|324|31213a b a a --+-+中，其值恒为正的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知2(1)16x m x --+是一个完全平方式，则m 的值等于 ．5．用配方法说明：不论m 取何值，代数式2817m m ++的值总大于零，并求出m 为何值时，代数式2817m m ++有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？6．当x ，y 为何值时，多项式224628x y x y +-++有最小值，求出这个最小值．7．如果2236(1)25x m xy y +++是一个完全平方式，求m 的值．8．已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足22222()0a b c a b c ++-+=，请判断ABC ∆的形状，并说明理由．9．阅读材料：数学课上，老师在求代数式245x x -+的最小值时，利用公式2222()a ab b a b ±+=±，对式子作如下变形：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+ 因为2(2)0x -，所以2(2)11x -+．当2x =时，2(2)11x -+=，因此2(2)1x -+有最小值1，即245x x -+的最小值为1． 通过阅读，解决下列问题：（1）代数式2106x x +-的最小值为 ；（2）当x 取何值时，代数式268x x -++的值有最大值或最小值，并求出最大值或最小值；（3）试比较代数式242x x -与2269x x +-的大小，并说明理由．。
配方法
【配方法】 对一个多项式进行恒等变形,使之出现完全平方式,并化成平方的形式,叫做配方,它是完全平方公式的逆用。
配方时主要用到下面两个公式:（1） ()2222b a b ab a +=++; （2） ()2222b a b ab a -=+-.★ 配方法用于解一元二次方程用配方法解一元二次方程 02=++c bx ax ()0≠a 共分六步: 一移、二化、三配、四开、五转、六解 。
（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号; c bx ax -=+2（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1; ac x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方; 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开 直接开平方; a acb a b x 2422-±=+ （当ac b 42-=∆≥0时 方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb abx 2422-=+ 或 aacb a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程, 得到一元二次方程的两个解.aacb b x a ac b b x 24,242221---=-+-=.说明: 由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程 02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件 是ac b 42-=∆≥0,求根公式为: aacb b x 242-±-= 。
例1. 用配方法解方程: 01422=++x x.解: 1422-=+x x()22121112112212222±=+=++-=++-=+x x x x x x ∴ 221=+x 或 221-=+x ∴ 221,22121--=+-=x x .习题1. 用配方法解下列方程: （1）011242=--x x ; （2）03232=-+x x .★ 配方法用于证明代数式的值例2. 已知代数式752+-x x ,用配方法说明,不论x 取何值,这个代数式的值总是正数。
七年级数学知识点精讲精练——完全平方公式变形应用与配方法
完全平方公式变形与配方法【知识点】1．完全平方式完全平方式的定义：a2±2ab+b2=（a±b）2口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号看前方”．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”2．配方法配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．【典型例题】（2017春•秦淮区秦外期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求2x﹣y的值；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．【解答】解：（1）x 2﹣4x +1的两种配方分别为：x 2﹣4x +1=（x ﹣2）2﹣3，x 2﹣4x +1=（x ﹣1）2﹣2x ；（2）由x 2+y 2﹣4x +6y +13=0得：x 2﹣4x +4+y 2+6y +9=0，∴（x ﹣2）2+（y +3）2=0解得：x =2，y =﹣3∴2x ﹣y =4+3=7；（3）a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c +4=（a 2﹣ab +14b 2）+（34b 2﹣3b +3）+（c 2﹣2c +1） =（a 2﹣ab +14b 2）+34（b 2﹣4b +4）+（c 2﹣2c +1） =（a ﹣12b ）2+34（b ﹣2）2+（c ﹣1）2=0，从而有a ﹣12b =0，b ﹣2=0，c ﹣1=0， 即a =1，b =2，c =1，故a +b +c =4．【练习】1．若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9=0，则m n 2的值为 ．2．若|m ﹣1|+n 2+6n +9=0，那么m = ，n = ．3. （2016春•玄武区校级期中）阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣6n +9）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣3）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣3）2=0，∴n =3，m =3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy +2y 2+8y +16=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣12a ﹣16b +100=0，求△ABC 的最大边c 可能是哪几个值？4.（2016春•南外期中）先阅读后解题：若m 2+2m +n 2﹣6n +10=0，求m 和n 的值．解：等式可变形为：m 2+2m +1+n 2﹣6n +9=0即 （m +1）2+（n ﹣3）2=0因为（m +1）2≥0，（n ﹣3）2≥0，所以 m +1=0，n ﹣3=0即 m =﹣1，n =3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x 2+y 2+x ﹣6y +374=0，求x y 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣6b +11=0，则△ABC 的周长是 ；（3）a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是 ．5.阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．例如：x 2﹣2x +4=x 2﹣2x +1+3=（x ﹣1）2+ ；x 2﹣2x +4=x 2﹣4x +4+2x =（x ﹣2）2+ ；x 2﹣2x +4=14x 2﹣2x +4+34x 2=（12x ﹣2）2+ 是x 2﹣2x +4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x 2﹣4x +9配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）将a 2+3ab +b 2配方（写两种形式即可，需写配方过程）；（3）已知a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0，求a ﹣b +c 的值．【练习解析】1.解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2=0，∴m+n=0且n﹣3=0，∴m=﹣3，n=3，∴mn2=−332=﹣13．故答案为﹣13．2. 解：∵|m﹣1|+n2+6n+9=0，∴|m﹣1|+（n+3）2=0，∵|m﹣1|≥0，（n+3）2≥0∴|m﹣1|=0，（n+3）2=0解得m=1，n=﹣3故应填：1，﹣3．3. 解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）=0，∴（x﹣y）2+（y+4）2=0，∴（x﹣y）2=0，（y+4）2=0，∴x=﹣4，y=﹣4，∴xy=﹣4×（﹣4）=16；（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100=0，∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）=0，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2=0，∴（a﹣6）2=0，（b﹣8）2=0，∴a=6，b=8，∵△ABC的最大边是c，∴8＜c＜14，∵c是正整数，∴c可能是9，10，11，12，13．4. 解：（1）等式可变形为：x 2+x +14+y 2﹣6y +9=0， 即（x +12）2+（y ﹣3）2=0 ∵（x +12）2≥0，（y ﹣3）2≥0，∴x +12=0，y ﹣3=0， 即x =﹣12，y =3．x y =（﹣12）3=﹣18；（2）等式可变形为（√2a ）2﹣4a +（√2）2+b 2﹣6b +9=0， 即（√2a ﹣√2）2+（b ﹣3）2=0， ∵（√2a ﹣√2）2≥0，（b ﹣3）2≥0， ∴√2a ﹣√2=0，b ﹣3=0， 即a =1，b =3，由三角形三边的关系，得 2＜c ＜4，又∵a 、b 、c 都是正整数， ∴c =3，△ABC 的周长是3+3+1=7；（3）原式=a 2﹣4a +4+b 2﹣10b +25+1 =（a ﹣2）2+（b ﹣5）2+1 ∵（a ﹣2）2≥0，（b ﹣5）2≥0， ∴a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是1， 故答案为：7，1．5. 解：（1）（x ﹣2）2+5，（x ﹣3）2+2x ；（2）a 2+3ab +b 2=a 2+3ab +（32b ）2﹣（32b ）2+b 2=（a +32b ）2﹣54b 2； a 2+3ab +b 2=a 2+2ab +b 2+ab =（a +b ）2+ab ；（3）∵a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0， ∴（a 2+b 2﹣2ab ）+（c 2+2c +1）=0 即（a ﹣b ）2+（c +1）2=0， ∴a ﹣b =0且c =﹣1， ∴a ﹣b +c =﹣1．。
配方法常用公式
配方法常用公式
嘿，咱今儿个就来唠唠配方法常用公式这档子事儿！
配方法啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！你想想，那些看起来乱七八糟的式子，通过配方法就能变得整整齐齐，多有意思呀！
咱先来说说完全平方公式，这可是配方法的得力助手呢！
(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²，就这俩家伙，用处可大了去了。
比如说，给你个式子 x²+6x，那咱就可以把它变成 x²+6x+9-9 呀，这不就
变成了(x+3)²-9 嘛！是不是一下子就感觉清晰了好多？
还有啊，有时候遇到一些式子，乍一看没啥头绪，但是你一旦用配
方法，嘿，那效果，立竿见影！就好像你在黑暗中摸索，突然找到了
一盏明灯。
比如说，有个式子是 x²+4x-5，那咱就可以这样配：x²+4x+4-4-
5=(x+2)²-9，这样不就好处理多啦？
再比如，y²-2y+3，这咋配呢？那就变成 y²-2y+1+2=(y-1)²+2 呗！
配方法就像是一个魔法，能把那些复杂的式子变得简单易懂。
它就
像个聪明的小精灵，在数学的森林里蹦蹦跳跳，帮我们解决难题呢！
你说，这配方法常用公式是不是特别神奇呀？咱学会了它，就像是有了一把利器，在数学的道路上披荆斩棘呀！那些难题都不再可怕，都能被咱轻松搞定！
总之呢，配方法常用公式可是数学里的宝贝，咱可得好好掌握它，让它为咱的数学学习助力呀！你还在等啥呢，赶紧去多练练，把它用得滚瓜烂熟吧！哈哈！。
完全平方公式及其应用
完全平方公式及其应用一、公式及其变形1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2）公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意：222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
2、公式变形 (1)+（2）得:2222()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22()()4a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=-3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++二、题型题型一、完全平方公式的应用例1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k =2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =题型三、公式的逆用1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2．5．代数式xy －x 2－41y 2等于（ ）2题型四、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____.2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy+=_______.5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？题型五、完全平方公式的变形技巧1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
配凑法公式
配凑法公式配凑法是数学中一种常用的解题方法，适用于一些函数或表达式的转化、化简或求解问题。
以下是常见的配凑法公式：1. 等价变形：- 奇偶性变换：- 若函数为奇函数，则配凑为偶函数形式，如$f(x) = |x|$可以配凑为$f(x) = \sqrt{x^2}$。
- 若函数为偶函数，则配凑为奇函数形式，如$f(x) = x^2$可以配凑为$f(x) = |x|\sqrt{x^2}$。
- 指数对数变换：- 若函数中含有指数函数，可配凑为形如$a^{bx}$的形式。
- 若函数中含有对数函数，可配凑为形如$\log_a(x)$的形式。
2. 完全平方公式：- $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$- $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$3. 平方差公式：- $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$4. 完全立方公式：- $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$- $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$5. 差平方公式：- $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$6. 和差化积公式：- $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$- $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$- $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tanB}$这些公式可根据题目的具体要求灵活运用，并且在解题过程中，可能需要结合其他数学知识和技巧来得到最终的结果。
完全平方公式详解
完全平方公式详解首先，我们从一个二次方程ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0）开始推导完全平方公式：1. 将二次方程移到等号的右边，得到ax^2 + bx = -c。
2. 将二次方程左边的项进行配方，即将x^2和x项分别平方，得到(a/2*x + b/2)^2 = b^2/4 - ac。
现在我们求解完全平方公式的步骤如下：1.检查二次方程是否为完全平方。
即检查a、b和c的值是否满足公式。
若满足，则进一步求解；否则，无实数解。
2. 根据完全平方公式，我们可以得到两个根的表达式：x1 = (-b +√(b^2-4ac))/(2a)和x2 = (-b - √(b^2-4ac))/(2a)。
3. 计算√(b^2-4ac)的值。
a. 首先，计算判别式D = b^2-4ac。
b.如果D>0，即判别式大于零，说明二次方程有两个不相等的实数根。
c.如果D=0，即判别式等于零，说明二次方程有两个相等的实数根。
d.如果D<0，即判别式小于零，说明二次方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
接下来，我们举例说明完全平方公式的使用。
例1：求解二次方程2x^2-5x+3=0的根。
首先，将方程的系数代入完全平方公式中：a=2,b=-5,c=3根据公式 x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)，我们可以得到：x1=(-(-5)+√((-5)^2-4*2*3))/(2*2)=(5+√(25-24))/4=(5+√1)/4=(5+1)/4=6/4=3/2x2=(-(-5)-√((-5)^2-4*2*3))/(2*2)=(5-√(25-24))/4=(5-√1)/4=(5-1)/4=4/4=1因此，二次方程2x^2-5x+3=0的根为x1=3/2和x2=1例2：求解二次方程x^2+4x+4=0的根。
首先，将方程的系数代入完全平方公式中：a=1,b=4,c=4根据公式 x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)，我们可以得到：x1=(-4+√(4^2-4*1*4))/(2*1)=(-4+√(16-16))/2=(-4+0)/2=-4/2=-2x2=(-4-√(4^2-4*1*4))/(2*1)=(-4-√(16-16))/2=(-4-0)/2=-4/2=-2因此，二次方程x^2+4x+4=0的根为x1=-2和x2=-2通过以上的例子，我们可以看出，完全平方公式可以用于求解二次方程的根。
人教版初三数学上册 一元二次方程的解法 讲义
一元二次方程的解法一元二次方程的解法：1.直接开平方法、2.配方法、3.公式法、4.因式分解法一、直接开平方法：利用“开平方根”得出“±”两个数从而解出方程281x = 2121x = 2144x =2375x = 22274x += 238139x -=22(1)6x -= 23(2)250x ++= 211(32)10121x -+=方程492=x 与a x =23的解相同，则a = 。
二、配方法：配成完全平方公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2或(a-b)2=a 2-2ab+b 2关键两步！！！！！！1. 二次项系数化为12. 加上一次项系数一半的平方1、2x 2-3x+1=0变为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对2、以配方法解3x 2＋4x ＋1＝0时，我们可得下列哪一个方程式？( )A 、(x ＋2)2＝3B 、(3x ＋23)2＝ 54C 、(x ＋23)2＝13D 、(x ＋23)2＝193、2x 2+4x+10=12中，可以配方得到( )A 、2(x+1) 2=3B 、2(x+2) 2=3C 、(2x+1) 2=3D 、(2x+1)2=54、用配方法填空++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2)25x x -+ +=x ( 2)；-2x 3(x += 2)212x x -+ +=x ( 2)；-2x 9(x += 2)232x x -+ +=x ( 2)；-2x 11(x += 2)5、用配方法解下列方程：x 2+6x-27=0 2x 2+6x-8=0 2x 2+5x-8=0三、公式法：先化为一般式，再套公式2b x a -±=，其中24b ac∆=-1、用公式法解下列方程：3x 2+4x+1=2 2x 2+3x+1=34x 2+x+1=52、若代数式5242--x x 与122+x 的值互为相反数，则x 的值是 。
高中数学解题基本方——配方法
高中数学解题基本方——配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、基础再现1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
配完全平方及应用
姓名： 日期：
【知识要点】
1.配完全平方,即利用公式2222222()2()a b ab a b a b ab a b ++=++-=-及把一个展开了的多项式配成另一个多项式的平方的形式,有些多项式可以刚好配成,则称之为完全平方式.
2.配方的作用一般有：
①求最小值：如果一个式子配成了形如22()()(,.,.)m a b n c d k m n k ++++其中为常数,且m,n 同正的形式，则其可取的最小值为k .
②降次：将一个复杂的等量关系本转化为几个简单的等量关系，如一个复杂的多项式可以配成形如22()()0(.),0,0m a b n c d m n a b c d +++=+=+=为常数,且m,n 同号则可以得出．
3.配方的方法就在于利用两项来确定第三项来配（如有22a b +了则第三项一定是
2ab 或2ab -，有了22a ab +或22a ab -则第三项一定是2b ）
．不过，在某些较为复杂的题目中，还需要利用一些分拆的技巧，需要注意．
【课前热身】
1．填空：x 2+( )+
4
1=( )2； 4x 2+12xy+( ) =( )2； 21x 2-6xy+( ) =( )2； 2x 2+( )+18y 2 =( )2；
2．如果(x+y)2—4(x+y)+4=0，则x+y=_____________
3．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，则x+y=__________
4．已知2216x ax ++是一个完全平方式，则a 的值等于
5．如果4x 2—axy+9y 2是一个完全平方式，则a 的值是
【典型例题】
例1．（1）已知0122
=--a a ，求841a a +的值． （2）已知()21a b +=，()225a b -=．求22a b ab ++．
例2．当a ,b 为何值时，多项式224618a b a b +-++有最小值？并求出这个最小值。
例3．求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值。
例4．已知x 、y 满足不等式2x 2+3y 2+5≤4x+6y,求x+y 的值. 例5．若a 、b 、c 为正数，且满足444222222,a b c a b b c c a ++=++那么a 、b 、c 之间有什么关系？为什么？
【经典练习】
1．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，则x+y=__________
2．如果x 2+y 2-2x+6y+10=0，则x+y=
3．如果22530a ab m -+是一个完全平方式，那么m = 。
4.将下列各式配成完全平方与一个常数的和。
（1）23x x -+ （2）2459x x +-
5.如果(a 2+b 2)(a 2+b 2-6)+9=0，求a 2+b 2
6.（1）如果x 2+y 2-4x-6y+13=0，求xy （2）已知0444522=+--+b ab b a ，求a+b
7．已知的值则ca bc ab c b a c b b a ---++=--=-222,5,2。
8．已知22242221,032y y xy x x y x ++--=--求的值。
9．可取的最小值为多少则若222,3
2211z y x z y x ++-=+=-？ 10（思考题）．若1003722=+b a ，1007322=+d c ，10037=+bc ad ，求c d b a
-
的值. 课后作业
1．计算：
（1）222)2
131(y x +- （2）22)23
1()231(y x y x --+- 2．将下列各式配成完全平方与一个常数的和。
(1)324
12++x x (2)7642++x x (3)1362++x x (4)1152+-x x。