空间向量的夹角、距离计算
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
用空间向量研究距离、夹角问题
用空间向量研究距离问题课程标准学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用 1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、两个平行平面之间的距离. 2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点 用空间向量研究距离问题 1.点到直线的距离如图1-4-18,已知直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点,设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·u )u.在Rt △APQ 中,由勾股定理,得PQ= = .图1-4-182.点到平面的距离如图1-4-19,已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离就是AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.因此PQ=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|n |= = . 图1-4-19【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α外一点A 到平面α的距离,就是点A 与平面α内一点B 所成向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.( )(2)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.()(3)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.()3.解决立体几何中问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.探究点一点到直线的距离例1 如图1-4-20,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离.图1-4-20变式1 [2020·潍坊高二期末] 已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()B.1A.2√23C.√2D.2√2变式2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.[素养小结]用向量法求点到直线的距离的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量;(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线上的投影向量的长度;(4)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.探究点二点到平面的距离例2 如图1-4-21,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.图1-4-21变式如图1-4-22所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分别为AD,PC的中点.(1)求证:DE∥平面PFB;(2)求点E到平面PFB的距离.图1-4-22[素养小结]用向量法求点到平面的距离的步骤:(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系;(2)求点的坐标:写出(求出)相关点的坐标;(3)求向量:求出相关向量的坐标;(4)利用公式即可求得点到平面的距离.探究点三线面距和面面距例3 如图1-4-23所示,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=√3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1到平面ABE的距离.图1-4-23变式如图1-4-24,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面A1BC1与平面ACD1的距离.图1-4-24[素养小结](1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.拓展如图1-4-25,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F 分别为AB,BC的中点.求:图1-4-25(1)点D到平面PEF的距离;(2)直线AC到平面PEF的距离.1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离为()A.6√55B.4√55C.2√55D.√552.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.√66B.√63C.√36D.√333.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,则点B到平面ACD1的距离为()A.√3B.√33C.3√22D.324.如图1-4-26,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.图1-4-265.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=1,AD=DC=√3,Q 是线段A 1C 1上一点,且C 1Q=13C 1A 1,则点Q 到平面A 1DC 的距离为 .用空间向量研究距离问题参考答案【课前预习】知识点1.√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 √a 2-(a ·u )22.|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n |||AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |诊断分析 (1)× (2)√ (3)√ 【课中探究】探究点一例1 解:因为AB=1,BC=2,AA'=3, 所以A'(0,0,3),C (1,2,0),B (1,0,0), 所以直线A'C 的方向向量A'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-3). 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√14,所以点B 到直线A'C 的距离d=√|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-(|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) 2=√4-1614=2√357. 变式1 A [解析] ∵A (0,0,2),B (1,0,2),C (0,2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-2),∴点A 到直线BC 的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |√1-(cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >)2=1×√1-(-11×3)2=2√23.故选A .变式2 解:连接AF ,以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,设DA=2,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2). |EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(-2)2+12=√6,FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1+0×(-2)+(-2)×1=-1, FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗|=√6, 所以点A 到直线EF 的距离d=√|FA |2-(√6) 2=√296=√1746. 探究点二例2 解:以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),G (2,1,0), 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2). 设n=(x ,y ,z )是平面EFG 的法向量, 点A 到平面EFG 的距离为d ,则{n ·GE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·GF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{-2x +y +z =0,-x -y +2z =0,取z=1,得n=(1,1,1),所以d=|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√33,即点A 到平面EFG 的距离为√33.变式 解:(1)证明:以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P (0,0,2),F (1,0,0),B (2,2,0),E (0,1,1), 所以FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1), 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为DE ⊄平面PFB , 所以DE ∥平面PFB. (2)因为DE ∥平面PFB ,所以点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离. 设平面PFB 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +2y =0,-x +2z =0,取x=2,得n=(2,-1,1). 因为FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,0),所以点D 到平面PFB 的距离d=|FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√6=√63,所以点E 到平面PFB 的距离为√63.探究点三例3 解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A 1(1,0,2),A (1,0,0),E (0,√3,1),C (0,√3,0). 过点C 作AB 的垂线交AB 于点F ,易得BF=√3, ∴B (1,2√3,0),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3,1). 设平面ABE 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2√3y =0,-x -√3y +z =0,取x=1,得n=(1,0,1).∵AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),∴点A 1到平面ABE 的距离d=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√2=√2.∵直线A 1B 1到平面ABE 的距离等于点A 1到平面ABE 的距离, ∴直线A 1B 1到平面ABE 的距离为√2.变式 解:如图,建立空间直角坐标系,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),设平面ACD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),由n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得{-x +y =0,-x +z =0,取x=1,得n=(1,1,1),所以平面ACD 1的一个法向量为n=(1,1,1),因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),所以点B 到平面ACD 1的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√33. 因为平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离等于点B 到平面ACD 1的距离, 所以平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离为√33.拓展 解:(1)连接DE.∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD ⊥AD ,PD ⊥CD ,又AD ⊥CD , ∴可建立如图所示的空间直角坐标系,则P (0,0,1),A (1,0,0),C (0,1,0),E 1,12,0,F 12,1,0,∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,12,-1,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,12,0. 设平面PEF 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-12x +12y =0,x +12y -z =0,取x=1,则平面PEF 的一个法向量为n=1,1,32.易知DE⃗⃗⃗⃗⃗ =1,12,0,设D 到平面PEF 的距离为d , 则d=|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=|1+12|√172=3√1717, 故点D 到平面PEF 的距离为3√1717.(2)由(1)知,平面PEF 的一个法向量为n=1,1,32.∵EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,12,0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0), ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵AC ,EF 不共线,∴AC ∥EF ,又∵AC ⊄平面PEF ,EF ⊂平面PEF ,∴AC ∥平面PEF. 易得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,12,0,设直线AC 到平面PEF 的距离为h , 则h=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=12√172=√1717, 故直线AC 到平面PEF 的距离为√1717. 【课堂评价】1.B [解析] 如图,以B 为原点,分别以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),设∠ABE=θ,则cos θ=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗||BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√5=√55,则sin θ=√1-cos 2θ=2√55,故点A 到直线BE 的距离d=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=2×2√55=4√55. 2.D [解析] 以P 为原点,分别以PA ,PB ,PC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),易得平面ABC 的一个法向量为n=(1,1,1),则P 到平面ABC 的距离d=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√33.3.A [解析] 如图,以D 为原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则B (3,3,0),A (3,0,0),C (0,3,0),D 1(0,0,3),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,3,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0).设平面ACD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3x +3y =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3x +3z =0,取x=1,得n=(1,1,1),∴点B 到平面ACD 1的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√3.故选A . 4.√423 [解析] 连接GD 1.以D 为坐标原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D 1(0,0,2),F (1,1,0),G (0,2,1),所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,-1),GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,1),所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-1√3=1√3,|GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,所以点D 1到直线GF 的距离为√5-13=√423. 5.√33 [解析] 连接DQ ,建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,1),C (0,√3,1),A 1(√3,0,0),C 1(0,√3,0),由C 1Q=13C 1A 1,得Q √33,2√33,0,∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-1),DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√33,2√33,-1.设平面A 1DC 的法向量为n=(x ,y ,z ),由{n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3y =0,√3x -z =0,可取n=(1,0,√3),∴点Q 到平面A 1DC 的距离d=|DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√33.。
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题2
0 ≤ ≤ ,且 u, n ,或 u, n
2
2
2
un
sin | cos u n
un
讲
课
人
：
邢
启 强
4
学习新知 利用向量方法求二面角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中
不大于90°的二面角称为平面α与面β的夹角.
设平面α与面β的夹角为θ,平面α与面β的法向量分别为 n1, n2
则0
<
≤
2
,
n1, n2
, 或
n1, n2
cos | cos n1 n2 n1 n2
n1 n2
讲
课
人
：
邢
启 强
5
典型例题 例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都 是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点， 求直线AM和CN夹角的余弦值.
分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以 转化为求向量MA与CN夹角的余弦值.为此需 要把向量MA,CN用适当的基底表示出来，进 而求得向量MA,CN夹角的余弦值。
2
两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成
讲
课 人 ：
的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
邢
启 强
3
学习新知 利用向量方法求直线与平面所成的角
直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法 向量的夹角 。
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直 线AB的方向向量u,平面α的法向量为n,如图可得
讲
课
人
：
邢
启 强
6
典型例题 例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都 是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点， 求直线AM和CN夹角的余弦值.
空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解
空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。
1.4空间向量的应用-1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时
距离问题
核心素养
能用向量方法解决点到
直线、点到平面、互相
平行的直线、互相平行
的平面的距离问题.(直
观想象、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水
渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的
·1 = 0,
取 z=1,则 x=y=2,所以 n=(2,2,1).
|·1 1 |
所以点 B1 到平面 AD1C 的距离 d=
||
8
= 3.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
利用空间向量求点线距
例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求
点B到直线A1C1的距离.
)
3
A.
2
2
B.
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
=(2,1,1),且两平面的一个法向量 n=(-1,0,1),
|· |
∴两平面间的距离 d=
||
=
|-2+0+1|
2
=
2
2
.故选 B.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点
所以点 B 到直线 A1C1 的距离
1 1
2
d= |1 | - 1 ·|
= 8-
-1+3+0
空间向量的夹角和距离公式(讲课)
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R ) ;
a 1/b 1a 2/b 2a 2/b 2 . a b a1b 1a2b2a3b30;
二、距离与夹角 （1）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、 B(x2 , y2 ,z2)，则
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
D F 1 0 , 1 4， 1 (0 ,0 ,0 ) 0 , 1 4， 1 .
A1
E1 B1
B E 1D F 1 0 0 1 4 1 4 1 1 1 1 6 5,
| AM| 5 30 6.故 点 A到 直 线 EF的 距 离 为6.
2 10 4
4
课堂练习：
1 . 若 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 边 长 为 1 , E , F 分 别 是
C C 1 , D 1 A 1 的 中 点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到 直 线 E F 的 距 离 .
D1
F A1
C1 B1
E
2021/3/11
D A
C B
9
课堂练习：
1 . 若 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 边 长 为 1 , E , F 分 别 是
C C 1 , D 1 A 1 的 中 点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到 直 线 E F 的 距 离 .
用空间向量研究距离夹角问题
用空间向量研究距离夹角问题引言在空间向量的研究中，距离和夹角是两个重要的概念。
本文将从理论和实际应用的角度探讨如何利用空间向量研究距离和夹角问题。
我们将首先介绍空间向量的定义和基本性质，然后讨论距离和夹角的计算方法和应用领域。
空间向量的定义和基本性质空间中的向量是用来表示有大小和方向的量的工具。
在三维空间中，一个向量可以表示为有序三元组，即(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
空间向量具有以下基本性质： 1. 零向量：所有分量均为零的向量，记作0。
零向量的大小为0，方向不确定。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 零向量与任何向量都是平行向量。
4. 位置向量：连接空间中两点的向量称为位置向量。
距离的计算方法在空间向量的研究中，距离是指空间中两点之间的直线距离。
假设有两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可通过以下公式计算：距离 =√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)夹角的计算方法夹角是指两个向量之间的角度。
对于两个非零向量A和B，它们之间的夹角θ可通过以下公式计算：夹角θ = arccos((A·B) / (|A|*|B|))其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。
应用领域距离和夹角在多个学科和领域中都有广泛的应用，下面我们将介绍其中几个领域的应用。
1. 几何学距离和夹角是几何学中最基本的概念，它们在几何图形的计算、形状分析等方面起着重要的作用。
例如，在三角形的计算中，可以利用距离和夹角的概念计算三角形的面积、周长等。
2. 物理学在物理学中，空间向量的概念和距离、夹角的计算方法被广泛应用于力学、电磁学等领域。
例如，在力学中，可以利用向量的夹角计算力的合成和分解，从而解决复杂的物理力学问题。
空间向量的距离和夹角公式
例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 D1 B1的中點，求證：EF⊥ DA1
例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 CD的中點，求證：D1F⊥ 平面ADE
例4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知
B1E1
D1F1
1 4
AB
，與BE1與DF1所成的角的余弦值。
BC=1，AA1=√6，M是棱CC1的中點，
求證：A1B⊥AM
C1
B1
A1
M
C
B
A
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(1) 求證：EF⊥B1C ；
D1
C1
A1 E
B1 H
D
G
C y
F
A
B
x
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
| a| | b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) 空間兩點間的距離公式 在空間直角坐標系中，已知A(x1 , y1 , z1),
B(x2 , y2 , z2)，則
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(2) 求EF與C1G所成的角的余弦； D1
C1
(3) 求FH的長。A1 EB1 H NhomakorabeaD
G
C y
F
利用空间向量求夹角求距离的求值问题
利用空间向量求夹角的问题
1、求两异面直线a 、b 所成的角θ，0,2πθ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
步骤：①求出直线a 的方向向量a ，求出直线b 的方向向量b
2、求直线a 与平面α所成的线面角θ，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
步骤：①求出直线a 的方向向量a ，求出平面α的法向量μ，并设两向量a 与μ所成角为ϕ
3、求平面α与平面β所成的二面角θ，[]0,θπ∈
步骤：①求出平面α的法向量n ，求出平面β的法向量m ，并设两向量n 与m 所成角为ϕ ②cos n m
n m ϕ=，并求出两向量n 与m 所成角ϕ
③判断求角：两法向量n 与m 的方向一内一外时，θϕ=
两法向量n 与m 的方向同内、同外时，θπϕ=-
利用空间向量求距离的问题
1、求平面α外一点B 到平面α的距离d 步骤：①在平面α内找一点A 得到AB ，求出平面α的法向量n
2、求两异面直线a 、b 的公垂线的长d 步骤：①在直线a 上找一点A ，在直线b 上找一点B ,得到AB
②求出直线a 的方向向量a ，求出直线b 的方向向量b ，在利用求法向量的方法n ，
要求n a ⊥，n b ⊥
3、已知直线a 与平面α平行，求直线a 到平面α的距离d 步骤：①在直线a 上找一点A ，在平面α内找一点B ,得到AB
②求出平面α的法向量n
4、已知平面α与平面β平行，求平面α到平面β的距离d 步骤：①在平面α内找一点A ，在平面β内找一点B ,得到AB
②求出平面 的法向量n。
高三数学空间向量夹角与距离
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
a//b
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3（λ∈R）
a⊥b
a1b1+a2b2+a3b3=0
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：
确实是一种不好的行为，它会给人们带来不幸和灾难，但也有些“闯祸”恰恰是对旧事物的破坏，对旧传统的反叛，因此，就带有一种革命性的色彩，具有创新的内涵。你可以写写生活中的这类事件，也可以虚构故事来表现这一道理。 25、21世纪世界教育的核心主题之一是“学会共同生 活，”而“学会共同生活”的核心内容是“学会合作”。 试围绕“学会合作”的话题，写一篇600字左右的文章，题目自拟，文体不限。 思路点拨 合作的领域很多，同学们可以从自己的学习与生活中选取材料，可以写与老师、家长、同学、朋友等熟悉的人合作，也可以写与陌生人合作，还 可以写与集体的合作，更可以写与“自己”合作（学会用理智控制自己的感情，或自己的毅力与勤奋等）。可从大处着眼，也可以从小处说起；可高层建瓴叙谈，也可以小见大行文；既可写正面的（成功的）合作经历，也可写反面的（失败的）合作经历。可以写记叙文，也可写议。可以表达 这样的主题：合作是事业取得成功的保，合作万事兴。 26、阅读下面的材料，根据要求作文。 1830年，法国作家雨果同出版商签订合同，半年内交出一部作品。于是，雨果把外出的所有衣服锁进柜子里，把钥匙扔进了湖里，彻底断了外出会友和游玩的念头，一心写作，文学巨著《巴黎圣母 院》就是这样写成的。是的，在漫漫人生路上，往往只有不留下退路，才更容易赢得出路。当我们难以驾驭自己的惰性和欲望，不能专心致志地前行时，不妨也采取一些斩断退路之举，逼着自己全力以赴地寻找出路，走向成功。 请以“不留退路，才有出路”为题写一篇作文，所写内容必须 与“退路和出路”有关，文体不限，文题自拟，不得少于800字，不得抄袭。 27、阅读下面的材料，根据要求作文。 登山的人，有的目不旁视，奋力攀登，他执著于到达峰顶的瞬间风光；有的则流连沿途风景，且走且赏，山顶不过是他歇脚的地方。不只登山，生活也是这样：两种心态，两 种行为，两种价值观。你怎么看待这个问题呢？ 请以“进取心与平常心”为题，联系现实生活，写一篇文章。自定立意，自拟标题，自选文体，不少于800字。 28、阅读下面的材料，根据要求作文。 巴豆，药性最能泻，但只要用量适度，非但不会引起腹泻，反倒能治好腹泻，剂量大了才会 引起严重腹泻。 由此，你会得到哪些启示？请以“度”为题，写一篇作文。题目自拟，立意自定，文体自选，不少于800字。 29、联系生活实际，以“包装”为题，写一篇不少于800字的作文，立意自定，题目自拟，文体不限。 [写作提示]联系现实生活，说明包装是为了使产品美观，吸引 消费者乐于购买，收到外观与内质相得益彰的效果。而今有些“包装”，诸如歌星矫揉造作，打扮过分；商品包装花样翻新；房屋装修华而不实。凡此种种，其效果适得其反，追求形式而损害了内容。要结合画面寓意予以剖析。 30、阅读下面的材料，根据要求作文。 两只蚂蚁想翻越一段墙， 寻找墙那边的食物。这段墙长有20米，高有10米。其中一只蚂蚁来到墙脚就毫不犹豫地向上爬去，可每爬到大半时，就会因劳累跌落下来。可是它不气馁，它相信只要付出就会有回报。一次次跌下来，它都迅速地调整一下自己，重新开始向上爬。 而另一只蚂蚁观察一下，决定绕过这段墙。 很快地，这只蚂蚁绕过这段墙来到食物面前，开始享用起来；而那只“勇敢”“坚定”的蚂蚁还在不停地跌落下去，又重新开始。 很多时候，我们赞扬那些做事情锲而不舍的人，但是往往忽视方向的选择与方法的运用。实际上，成功需要坚持，也需要方向、机遇、方法。请以“坚持与选择” 为题写一篇不少于800字的文章。立意自定，文体自拟。 三、半命题作文预测 31、请以“听听那 的声音”为题，写一篇作文。可讲述你自己或身边的故事，抒发你的真情实感，也可阐明你的思想观点。 【注意】①把题目补充完整。②立意自定，角度自选。③除诗歌外，文体不限。④不少 于800字。⑤不得抄袭。 写作点拨 这个命题非常贴近学生的生活可以写自然界的各种声音，也可以写家庭中、社会上的各种声音，还可以写心灵的声音等等等等。而我们要选择的，是最最触动我们心灵的声音。 32、阅读下面材料，按要求作文。 喧闹、快节奏的生活和工作给人们带来了满 足，也带来了烦恼。心灵时常被搓揉得疲惫不堪。那么，我们该到哪里去寻找心灵的憩息地呢？ 请以“让心灵在 中憩息”为标题写一篇文章，文体自选，立意自定，字数不少于800，不得抄袭和套作。 思路点拨 这是一篇半命题作文。文题“让心灵在 中憩息”包含着一定的哲理意义。审题 立意的关键在于明确设定“心灵”与“憩息”的含义，并准确把握“憩息”的条件。可以选择宽容、爱等。 33、“? 的滋味” 以“? 的滋味”为题，写一篇记叙文。 要求：①补全题目；②自定立意；③不少于800字。 思路点拨： 文题中的“滋味”本义是“味道”，喻义是“某种感受”。 为此，本文的写作要注意以下三点：一是缘事生感。必须叙写一个中心事件，或围绕一个中心叙写一组事件，在此基础上生发出自己的内心感受。而且，只有事件叙写得“厚实”，生发的感受才会“真切”。那种通篇无事、跟着感觉走的文章只会给人以无病呻吟、为赋新词强说愁之感。二是 多法生感。对于“感受”的生发，既可先“事”后“感”，卒章生发，升华情感；也可将“感受”融化在“事件”的叙写过程之中，“生发”于无痕。三是用足描写。中学生的生活一般都是风平浪静的，很难“惊世骇俗”，很难给人以“超级震撼”。那么，要想在“平凡的世界”里生发出让 人怦然心动的感受，就必须用敏锐的触觉去捕捉，用细腻的笔触去描写生活中那些让人的心灵为之一颤的场景、画面、镜头，让读者的心弦在你柔柔地拨弄下产生出共鸣，这样才能收到“平凡的人给我以最多感动”的构思之效。 34、阅读下面的文字，根据要求作文。 人类要面对自然，个人
空间向量求距离的数学公式
空间向量求距离的数学公式
在数学和物理学中，空间向量是指具有大小和方向的量，通常
用来描述物体在空间中的位置或运动。
当我们需要计算两个空间向
量之间的距离时，可以使用数学公式来求解。
这个公式可以帮助我
们确定两个点之间的距离，无论这些点是在二维空间还是三维空间中。
在二维空间中，我们可以使用以下公式来计算两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离：
d = √((x2 x1)² + (y2 y1)²)。
这个公式叫做欧几里得距离公式，它是通过两点之间的直线距
离来计算的。
在三维空间中，我们可以将这个公式扩展为：
d = √((x2 x1)² + (y2 y1)² + (z2 z1)²)。
这个公式同样适用于计算两个点在三维空间中的距离。
这些公
式都是基于空间中的直线距离来计算的，它们可以帮助我们在数学
和物理问题中确定物体之间的距禿。
除了直线距离外，我们还可以使用向量的点积来计算两个向量
之间的距离。
如果我们有两个向量A和B，它们的点积可以通过以
下公式来计算：
A·B = |A| |B| cos(θ)。
其中|A|和|B|分别是向量A和B的大小，θ是它们之间的夹角。
然后我们可以使用点积来计算向量之间的夹角，从而得到它们之间
的距离。
这些数学公式为我们提供了不同的方法来计算空间向量之间的
距离，它们可以帮助我们在数学、物理和工程领域中解决各种问题。
通过理解这些公式，我们可以更好地理解空间中物体之间的相对位
置和距禿，从而更好地应用它们在实际问题中。
1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题
探究 已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于 是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题1
距离问题
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工
讲 课
具在邢
启 强
2
新课引入
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵 的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上 选择一个点,通过一条管道把水引到田地中 的一个点P处,要想使这个管道的长度理论 上最短,应该如何设计?
练习: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分
别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，
求点 B 到平面 EFG 的距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
(1) 5 (2) 30 (3) 2 (4) 1 3 3 33
讲
课
人
：
邢
启 强
12
讲
课
人
：
邢
启 强
4
学习新知 点到平面的距离
2.向量法求点到平面的距离： 如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PQ⊥ 于 Q,连结 QA.
P
则 d=| QP |=| AP | cosAPO.
n
∵QP ⊥ , n , ∴QP ∥n .
A Q
用空间向量研究距离、夹角问题(一)(人教A版2019选修一)高二数学
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1， 3 )，A( B(0,2,0)，
∴A→1B＝(－ 3，1，－ 3)， O→1A＝( 3，－1，－ 3)．
3 ，0,0)，A1(
3 ，1，
3 )，
∴|cos〈A→1B，O→1A〉|＝||AA→→11BB|··|OO→→11AA||
系？
条件
平面α，β的法向量分别为 u，v，α，β所构成的二面 角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系 计算
θ＝φ cos θ＝cos φ
θ＝π－φ cos θ＝－cos φ
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相 等．( × ) (2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面 角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|.( × ) (3)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所 成向量A→B的长度．( × ) (4)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1， n2，则θ＝〈n1，n2〉．( × )
则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)， A→E ＝(0,1,1)， A→D1 ＝(－1,0,2)，D→E＝(1,1,1)
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则－ y＋x＋ z＝20z＝0
令z＝1，则n＝(2，－1,1)
∴cos〈n，D→E〉＝2－31·＋61＝
(2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，则 C(2,2,0)，D(0,4,0)，F(2,0,4) ∴A→D＝(0,4,0)，C→D＝(－2,2,0)，C→F＝(0，－2,4) 设n＝(x，y，z)是平面CDF的一个法向量，则
用空间向量求直线间的夹角、距离
用空间向量求直线间的夹角、距离
1、定义：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，则把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
2、在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。
求异面直线所成角的步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。
B、证明作出的角即为所求角；
C、利用三角形来求角。
3、两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量与，在空间中任取一点O，作
，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作。
注：（1）规定：，当=0时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记。
（2）两个向量的夹角唯一确定且。
4、空间向量夹角的坐标表示：。
设，
则AB两点间的距离。
1.4.2.1用空间向量解决夹角、距离问题(一)
则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)， A→E ＝(0,1,1)， A→D1 ＝(－1,0,2)，D→E＝(1,1,1)
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则－ y＋x＋ z＝20z＝0
令z＝1，则n＝(2，－1,1)
∴cos〈n，D→E〉＝2－31·＋61＝
又A→D是平面AEFB的一个法向量，
∴cos 〈n，A→D〉＝|nn|··A|→A→DD|＝23
∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为23.
方法归纳
利用法向量求二面角的大小的一般步骤 1．建立适当的空间直角坐标系． 2．分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量． 3．求出两个法向量的夹角的余弦值． 4．确定二面角的平面角的大小，方法有：(1)根据几何图形直 观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正 负；(2)依据“同进同出互补，一进一出相等”求解；(3)在二面角 的一个半平面内取一点P，过P点作另一个半平面所在平面的垂 线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐二面角，若垂 足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝二面角．
A. 2 B. 3 C. 5 D．3
解析：
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可 知A(1,0,0)，B(0，2,0)，C(0,0,2)，∴ A→B ＝(－1,2,0)， B→C ＝(0，－ 2,2)，|A→B|＝ 1＋4距离d＝ 5－2＝ 3. 答案：B
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC， AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面
ABCD，直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为
5 5.
(1)求异面直线PB与CD所成的角；
空间向量的夹角和距离公式
空间向量的夹角和距离公式
cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)
其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，A，和，B，表示向量A和向量B的模。
点乘的计算方法如下：
A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。
模的计算方法如下：
A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)
B，=√(B1^2+B2^2+B3^2)
其中，^2表示求平方根的操作。
夹角θ的取值范围是[0,π]，即0到180度。
此外，空间向量的夹角还可以通过向量的叉乘计算。
设有两个三维向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
sinθ = ，A × B， / (，A， * ，B，)
其中，A×B表示向量A和向量B的叉乘。
叉乘的计算方法如下：
A×B=(A2*B3-A3*B2,A3*B1-A1*B3,A1*B2-A2*B1)
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。
距离公式：
两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
其中，^2表示求平方根的操作。
这个公式适用于二维和三维空间的点之间的距离计算。
总结起来，空间向量的夹角可以通过点乘和叉乘计算，距离可以通过
坐标差的平方和再开方计算。
这些公式在物理学、几何学和计算机图形学
等领域有广泛应用。
用空间向量研究距离、夹角问题
直角坐标系.
C
D
F
B
D1
C1
A1
E
B1
问：应用向量方法求距离，共同点是什么？
问：为此我们要做什么准备？
z
以D1为原点，D1 A1，D1 C1，
A
D1 D所在直线为x轴、y轴、
C
D
z轴，建立如图所示的空间
F
B
D1
直角坐标系.
C1
A1
E
x
B1
y
问: 相关点的坐标是什么？
A(1，0，1)，B(1，1，1)，
)
A
Q
= ∙
P
平面 α的法向量为n
A是平面α内的定点
点P 到平面 α的距离
n
A
∙
∙
= ∙
=
=
α
Q
小结：整理向量方法求距离的相关公式
距离问题
图示
两点间的距离
点到直线
的距离
两平行线之间
的距离
点到平面
的距离
向量法距离公式
Q
P
=
u
的距离可以转化为点到平面的距离.
P
β
P
α
n
α
n
A
Q
A
Q
= ∙
直线到平面的距离
∙
∙
=
=
两个平行平面间的距离
P
β
P
α
n
α
n
A
Q
A
Q
例题小结
2.用向量方法解决距离问题的“三步曲”：
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空间向量的夹角、距离计算
1.已知A (2，-5,1)，B (2，-2,4)，C (1，-4,1)，则直线AC 与AB 的夹角为（ ）
A.300
B.450
C.600
D.900
2.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( )
A ．0°
B ．45°
C ．90°
D ．180°
3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是a =（0,2,1），b =（，
，
），那么这条直线与平面的夹角为( ) A. 900 B. 600 C.450 D. 300
4. 边长为a 的正六边形ABCDEF 所在平面为α，PA ⊥α且PA ＝a ，则PC 与α所成的角为
( )
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. 90°
5．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( ) A.66a B.306a C.34a D.63
a 6. 已知向量n =（1,0，-1）与平面α垂直，且α经过点A （2,3,1），则点P （4,3,2）到α的距离为( ) A. 1 B. C. D. 2
7.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )
A ．120°
B ．60°
C ．30°
D ．60°或30°
8．设ABCD ，ABEF 都是边长为1的正方形，FA ⊥面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角等于( )
A ．45°
B ．30°
C ．90°
D ．60°
9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( )
A ．0 B.37070 C ．－37070 D.7070
10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.155 11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为 ( )
A.19
B.49 5
C.29 5
D.23
12. 已知a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 1在a 上，向量b 1在b 上，a 1＝(1,0,1)，
b 1＝(－1,2,1)，则α，β所成二面角的大小为________．
13. 正三角形PAB与正方形ABCD所在平面互相垂直，正方形的边长为a，则点D到直线PB 的距离是_____．
14．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
15．已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E是BC的中点．则直线A′C与DE 所成角的余弦值为________．
16．如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝ 6.
(1)求证：PA⊥B1D1；(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值．
17.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1
2 PD．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．
18.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝6，E是棱PB 的中点．
(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD＝3，求二面角AECD的平面角的余弦值．
19. 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝22，M为AB的中点．
(1)求证：AC⊥SB；(2)求点B到平面SCM的距离．。