等腰三角形、角平分线、中垂线doc资料
角平分线等腰三角形
角平分线与等腰三角形江苏 刘顿角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．一、角平分线+平行线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ．简析 要证AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角形，故AE ＝AP ．例2 如图3，在△ABC 中，∠BAC ，∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB，BC 于点D ，E ．试猜想线段AD ，CE ，DE 的数量关系，并说明你的猜想理由． 简析 猜想：AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA ，OC 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ． 例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E ，F 分别在BD ，AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．简析 由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ．二、角平分线+垂线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若C A B E D O图3 图4 F C D E B A M 图2F B A C D P E 图1① D ② C D C ④F C DAD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形．例4 如图6，已知等腰R ｔ△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ．简析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，并在图5的揭示之下，延长线BA ，CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，故BF ＝2CD ．三、作倍角的平分线→等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形．如图7中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形．例5 如图8，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°．简析 由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对∠ACB ＝2∠B 进行技术处理，即作CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则由∠ACB ＝2∠B 知∠B ＝∠BCD ，即△DBC 是等腰三角形，而DE ⊥BC ，所以BC ＝2CE ，又BC ＝2AC ，所以AC ＝EC ，所以易证得△ACD ≌△ECD ，所以∠A ＝∠DEC ＝90°．E 图5 AB C D 图6 B F DE C A 图7 B C D A E 图8 C B A D。
初中数学三角形(二)三角形的角平分线和中垂线
三角形的角平分线和中垂线姓名时间【教学目标】1．要求学生掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这四个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线和中垂线的性质定理和判定定理的证明3．能够作已知角的角平分线，和已知线段的中垂线，并会熟练地写出已知、求作和作法.【教学重点】角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理。
【教学难点】掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理并进行证明。
【本节知识点】1、垂直平分线性质及判定定理判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.2、角平分线性质及判定定理判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.定理：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等.3、用尺规作图画线段垂直平分线，已知角的平分线.【经典练习】三角形的角平分线的性质及定理一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=___度.5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）三、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF ②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.2.已知，如左下图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AE=6，求四边形AFDE的周长.三角形的中垂线的性质及定理一、判断题1.如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线2.如图（1），射成OE为线段CD的垂直平分线3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD4.如图（3），PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线（1）（2）（3）二、填空题1.如右上图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.2.如左下图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.图6EDCA3.如右上图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ .4.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.5.如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.6.如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.7.如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在_____上.（1）（2）（3）8.如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是_________的垂直平分线.三、选择题1.下列各图形中，是轴对称图形的有多少个①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个2.如左下图，AC=AD，BC=BD，则A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对3.如右上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm四、解答题如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF.求证：OP 垂直平分EF. 一题多变例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。
中考数学10大类辅助线
中考数学10大类辅助线
中考数学中，常见的辅助线有以下10大类：
1.垂直辅助线：通过一个点和另一直线的垂直线，常用于求两条
直线的垂直关系、求直角三角形等问题。
2.平行辅助线：通过一点和一条直线，与已知的另一直线平行，
常用于求两条直线的平行关系、求平行四边形等问题。
3.中垂线：将一个线段的中点与另一点相连的线段，用于求线段
的中点、判断三角形的等腰性质等问题。
4.角平分线：将一个角分成两个相等的角的线段，通常用于求角
的平分线、求角的刻度等问题。
5.对称辅助线：通过一个点，找到与已知点关于某一直线对称的点，用于求对称点的位置、对称图形等问题。
6.高线：将一个顶点到对立边的垂线段，常用于求三角形的高度、找到垂心等问题。
7.过定点画圆：通过一个已知点和一个已知的半径，画出以该点为圆心的圆，常用于求圆的位置关系、圆与线的交点等问题。
8.过三点画圆：通过给定的三个点，画出以这三点为圆上三个点的圆，用于求圆与三角形的关系等问题。
9.共轭辅助线：通过两个点，在给定条件下找到与已知直线共轭的直线，常用于求一对共轭角、共轭点等问题。
10.谁是谁的辅助线：在解题过程中，发现和已知量之间存在特定的几何关系时，可以将某个量作为另一个量的辅助线，通过推导或等式的变形求解。
以上是中考数学中常用的10大类辅助线。
通过合理地运用这些辅助线，可以帮助我们更好地解决各种几何问题，提高解题的效率和准确性。
角平分线,垂直平分线,等腰三角形,等边三角形,含30°角的三角形
角平分线1.角平分线的定义一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.应用格式：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC2.角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用格式：∵OP 是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB，∴PD = PE3.角平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.判定方法一：定义法应用格式：∵∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分线判定方法二：点距法应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P 在∠AOB的平分线上.注意：距离—垂直A DOPEC线段垂直平分线1.垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.应用格式：∵直线PC是线段AB的垂直平分线.∴PC⊥AB，AC=BC.2.垂直平分线性质线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等应用格式：∵PC⊥AB，AC =CB (因为PC是AB的垂直平分线)∴PA =PB，3.垂直平分线的判定到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上作用1：判断一个点是否在线段的垂直平分线上应用格式：∵PA =PB，∴点P 在AB 的垂直平分线上．作用2：判断一条直线是线段的垂直平分线的方法判定方法一：定义法应用格式：∵AC =CD，PC ⊥AB，∴直线PC 是线段AB 的垂直平分线．判定方法二：两点法应用格式：∵MA=MB，PA =PB，∴直线PM 是线段BC 的垂直平分线PA BCPA BCM等腰三角形1. 等腰三角形的定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2. 等腰三角形的性质性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）应用格式：∵AB=AC （已知） ∴∠B=∠C （等边对等角）性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（三线合一，知一推二）. ∵AD 是∠BAC 的角平分线∴AD 是底边BC 的高（_AD_ ⊥_BC_） ， AD 是底边BC 的中线（_BD_ =_CD_）3. 等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形（等角对等边）. 应用格式：在△ABC 中， ∵∠B=∠C ， （注意：两角需在同一个三角形中） ∴ AC=AB （等角对等边） 即△ABC 为等腰三角形.等边三角形等边三角形的判定判定方法一：三边法 判定方法二：三角法 判定方法三：等腰三角形法有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.含30°角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式：∵ 在Rt∵ABC 中，∵C =90°，∵A =30°，∵ BC =21AB ．ABCDABC。
等腰三角形角平分线定理垂直平分线定理
如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD,求∠A的度数
设∠A为x
∵CA=CB
∴ ∠A=∠B=x
E
∵DF=DB
∴∠F=∠B=x
∴ ∠A=∠B= ∠F =x
∴∠ADE=2x
∵AE=AD
∴∠AED=∠ADE=2x
∴ ∠A=180÷5=36°
△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作 DG//BC,交AB于点G，在GD的延长线上取 一点E，使DE=DC，连接AE,BD。 （1）求证△AGE≌△DAB。
下列命题中真命题的个数是( B)； ①等边三角形也是等腰三角形，任何一 边都可以作为底或腰； ②不等边三角形是遍都不相等的三角形 ； ③不等边三角形是三边不都相等的三角 形； ④三角形按边可分为不等边三角形、等 腰三角形、等边三角形。 A.1 B.2 C.3 D.4
已知一个三角形的边长为4cm，5cm，且第 三边长x为整数，问： （1）由4cm,5cm,xcm为边可组成多少个不同
∠CAD+∠C=90°， ∴∠BFD=∠CAD
又∵∠AFE=∠BFD
∴∠CAD=∠AFE， ∴EA=EF（等角对等边）， ∴E在AF的垂直平分线上
谢谢！
谢谢！
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD 垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F
，求证：BD＝2CE．
F A
E D
B
C
如图，在△ABC中，已知AB＝AC， ∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC， EC＝BD，DF＝FE． 求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）AF⊥DE．
∵ＢＰ，ＣＰ分别是△ABC的外角平 分线
∴PE=PQ, PF=PQ ∴PE=PF ∵ＰＥ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＡＣ ∴点P在∠A的平分线上
人教版数学八年级上册第十三章中垂线(角平分线)与等腰三角形联手巧解题
中垂〔角平分〕线与等腰三角形联手巧解题角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．一、角平分线与等腰三角形例1、如图1，在△ABC中，∠BAC，∠BCA的平分线相交于点O，过点O 作DE∥AC，分别交AB，BC于点D，E．试猜测线段AD，CE，DE的数量关系，并说明你的猜测理由．分析：当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．由于OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，DE∥AC，可得△ADO 和△CEO均是等腰三角形，那么DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DE。
解：AD+CE＝DE．理由如下：OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠OAC=∠DAO，∠OCA=∠OCE，因为DE∥AC，所以∠DOA=∠OAC，∠EOC=∠OCA，所以∠DOA=∠DAO，∠EOC=∠OCE，所以DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DO+EO=DE。
．例2、如图2，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F．说明：AE＝AP．分析：要说明AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，那么可以作AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以AD∥EF，所以可得到△AEP是等腰三角形，故AE＝AP．解：作AD平分∠BAC，那么∠BAD=∠CAD，因为AB=AC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以∠ADC=∠EFC=90°，所以AD∥EF，所以∠BAD=∠E，∠CAD=∠APE，所以∠E=∠APE，所以AE=AP。
二、中垂线与等腰三角形例3、如图3，在Rt ABC∠=︒，DE是AB的垂直平分线，△中，90C交BC于D，E是垂足，∠CA D∶∠CAB＝1∶3 ，求∠B的度数．分析：由DE是AB的垂直平分线，得DA＝DB，从而DAB B∠=∠，从而找到CAB∠与B∠的关系，再根据三角形内角和定理可求．解：因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，所以DAB B∠=∠.设CAD xB DAB x∠=∠=︒．CAB x∠=︒，所以3∠=︒，所以2因为90x x x︒+︒+︒=︒．∠+∠+∠=︒，所以2290CAD DAB B解得18∠=︒=︒．B xx︒=︒，所以236例4 、如图4，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，且∠BAC=115º，∠EAF的度数．分析：要求∠EAF的度数，可采用整体思想，结合条件“垂直平分线〞得“线段相等〞，进一步可得∠B=∠EAB，∠C=∠F AC，而∠B+∠C=180º-∠BAC=65º，从而可求得∠EAF的度数．解：因为EM、FD分别是AB、AC的垂直平分线，所以EB=EA，FC=FA．所以∠B=∠EAB，∠C=∠F AC．因为∠B+∠EAB+∠C+∠F AC+∠EAF=180º，所以∠EAF=180º-2〔∠B+∠C〕，而∠BAC=115º．所以B+∠C=180º-115º=65º，所以∠EAF=180º-130º=50º．。
垂直平分线角平分线等腰三角形
第一章基本解题技巧：基本解题技巧1：看到线段的垂直平分线，找，则1、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= 。
2、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝440，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝ 。
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠B ＝150，AB 的中垂线DE 交BC 于D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则AC ＝ 。
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC ＝10，则AB ＝ 。
5、如图，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。
6、如图：等边ACB ABC ABC ∠∠∆,的的平分线交于点O,BO 、CO 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，如果AB=12， 那么EF= 。
第2题图NMDCBA第3题图EDCBA 第4题图EAB CD基本解题技巧2：看到角平分线+平行找7，已知，如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BF 平分∠ABC ；CF 平分∠ACB ，交DE 于F 点，BD+EC=13，则DE 的长为______。
基本解题技巧3：看到角平分线找 ， 则8、已知如图Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ， DE ⊥AB ，若AB=25，AC=24，BC=7，求AE 、BE 的长及△BED 的周长。
第一章辅助线1：看到线段的垂直平分线，找 如果找不到， 则可以 辅助线2：看到角平分线找 如果找不到，则可以9、如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680，那么∠P ＝ 。
10、如图：ABC ∆中，05.22=∠B ,AB 的垂直平分线交BC 于D,BC AE ⊥于E,AC DF ⊥于F,交AEABCD EABCD E F42 3 1求证：GE=EC11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ．求证：CM =2BM ．12．7、如图，BD 是ABC ∆的角平分线，E 是BC 边上的一点，且0180=∠+∠BED A ,求证：DA=DE13、如图：在正方形ABCD 中E 是边AB 上的任意一点，F 是边BC 延长线上的一点，EF 交边CD 于点G ，（1）求证：点D 在线段EF 的垂直平分线上（2）如果EF 交正方形的对角线BD 于点P ，BP=BE,求证：EP=FG辅助线3：看到角平分线还常考虑构造 来证线段和角相等。
等腰三角形、垂直平分线、角平分线的有关计算证明问题
垂直平分线、角平分线的有关证明问题一、主要知识点(1)线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(2)角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
(3)逆命题、互逆命题的概念，及反证法如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
二、重点例题分析例1：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。
（垂直平分线的性质）例2：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。
求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
（用定义去证）AC D EB例3：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。
（连AE ，AG ）AB E G C例4：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。
求证：BE 垂直平分CD 。
（证全等）CEA D BF例5：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，与∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外例6、如图所示，AB>AC，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE AB ⊥于E ，DF AC F ⊥于，求证：BE=CF 。
（角平分线与垂直平分线的性质的综合应用）AEB MC F【相应练习】1．下列命题中正确的命题有（ ）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、已知：如图4，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC=5、如图5，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B=∠BAE ，∠C=∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。
初中数学 等腰三角形和垂直平分线
等腰三角形和垂直平分线模块一等腰三角形1．等腰三角形等腰三角形解释定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边．性质（1）两腰相等、两底角相等．（2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形和等腰直角三角形等边三角形等腰直角三角形1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形．2．性质：三边都相等，三角都是60︒．3．判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是90︒的三角形叫做等腰直角三角形．2．性质：两个底角为45︒．3．判定：有一个角是90︒的等腰三角形是等腰直角三角形．模块二垂直平分线垂直平分线解释示例定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线．如图，若AC BC=，AB CD⊥，则直线DE就是线段AB的垂直平分线．性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，已知直线DE是线段AB的垂直平分线，则DA DB=．A BDCEADCEB判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．如图，若DA DB=，则点D在线段AB的垂直平分线上．（1）（2015—2016年七育周练）等腰三角形的一边长为10，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长是__________．（2）等腰三角形的一边长为6cm，且周长为16cm，则这个三角形的底边为_________．（3）等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则该三角形底角的度数为__________．（4）等腰三角形一个角为30︒，则这个三角形腰上的高与底边所夹角的度数为_____．（5）等腰三角形一腰上的中线将三角形的的周长分为两部分，分别是12与15，则腰长为__________．【解析】（1）24；（2）4cm或6cm；（3）30︒或80︒；（4）30︒或15︒；（5）①12315a ba+=⎧⎨=⎩；=57ab⎧⎨=⎩，腰长为10；②31215aa b=⎧⎨+=⎩；=411ab⎧⎨=⎩，腰长为8．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的定义，腰或底角不确定．（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，则这个等腰三角形的顶角为______．（2）已知BD是等腰ABC△一腰上的高，且50ABD∠=︒，则ABC△的底角为_______．【解析】（1）45︒或135︒（提示：等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形）；（2）20︒或40︒或70︒；EDC BA2abaaaab2a模块一等腰三角形例题1例题2若ABC △为钝角三角形时，A ∠为顶角时，三内角大小为140︒，20︒，20︒； 若ABC △为钝角三角形时，A ∠为底角时，三内角大小为100︒，40︒，40︒； 若ABC △为锐角三角形时，A ∠为顶角，三内角大小为40︒，70︒，70︒．【教师备课提示】这道题主要考查分类讨论，锐角等腰和钝角等腰．（1）如图3-1，在第1个1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得在第2个12A CA △中，121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得在第3个23A DA △中，232A A A D =；……，按此做法进行下去，第n 个三角形中以n A 为顶点的内角的度数为_____________．（2）如图3-2的钢架中，焊上13根钢条来加固钢架．若1223131414AP PP P P P P P A =====，则C 的度数是___________．图3-1 图3-2【解析】（1）1602n︒；（2）12︒． 【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的性质结合外角倒角找规律．（1）如图4-1，ABC △中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且BD CF =，BE CD =，G 是EF 的中点，求证：DG EF ⊥.（2）（14—15年嘉祥期末）如图4-2，在ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，BM AN =，点D 是BC 的中点，连接AD ． ①求证：AD BD =；②求证：DM DN =，且DM DN ⊥．图4-1 图4-2A n A 4A 3A 2A 1EDCB AP 14P 13P 12P 11P 10P 9P 8P 7P 6P 5P 4P 3P 2P 1A例题3例题4A MBCNA B E GFD C【解析】（1）连接ED、DF，AB AC=，B C∴∠=∠，在EDB△和DFC△中BD CFB CBE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)EDB DFC∴△△≌，DE DF∴=，G是EF的中点，∴DG EF⊥．（2）①AB AC=，90BAC∠=︒，45B C∴∠=∠=︒点D是BC的中点，1452BAD BAC∴∠=∠=︒，AD BD∴=，②由①知45DAN∠=︒在ADN△和BDM△中AN BMDAN DBMAD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ADN BDM∴△△≌，DM DN∴=，MDB NDA∠=∠，90ADB∠=︒，DM DN∴⊥．【教师备课提示】这两道小题主要考查等腰三角形三线合一的性质结合全等．（1）如图，ABC△中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：ABC△是等腰三角形．（2）如图，ABC△中，AD是BAC∠的角平分线，AD是BC边上的高，求证：ABC△是等腰三角形．（3）如图，ABC△中，AD是BAC∠的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：ABC△是等腰三角形．【解析】（1）AD为BC中垂线，所以AB AC=，所以ABC△是等腰三角形（2）ABD△和ACD△中，D CBAFEDCBA 例题5ABEG FD C∴ABD ACD △≌△，∴AB AC =， ∴ABC △是等腰三角形（3）过点D 作DF AC ⊥于点F ，作DE AB ⊥于点E ，∵AD 是BAC ∠的角平分线，DF AC ⊥，DE AB ⊥，∴DE DF =， ∵AD 为中线，∴ADB ADC S S =△△，∵，，∴，∴ABC △是等腰三角形．【教师备课提示】这道题主要考查三线合一的性质倒过来推等腰三角形．（1）如图6-1，P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF ⊥BC 于点F ，AD BC ⊥于点D ，求证：PE PF AD +=．（2）如图6-2，如果P 为等腰三角形ABC 的底边BA 延长线上的任意一点，其余条件保持不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；不成立，请求出PE ，PF 和AD 三边满足的关系．（3）如果P 为等腰三角形ABC 的底边AB 延长线上的任意一点，请直接写出PE ，PF 和AD 三边满足的关系．（4）如图6-3，如果ABC △是等边三角形，点P 为三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系，并说明理由．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）连接CP ．∵APC BPC ABC S S S ∆∆∆+=， 即111222AC EP BC PF BC AD ⋅+⋅=⋅， 而AC BC =，∴PE PF AD +=；（2）连接CP ，由CPB CPA CAB S S S ∆∆∆-=，=90BAD CAD AD ADADB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩12ADB S AB DE =⋅⋅△12ADC S AC DF =⋅⋅△AB AC =AB CE D PF ABCEDP F AB CDEG PF 例题6得：111222BC PF AC PE BC AD⋅-⋅=⋅又∵AC BC=，∴PF PE AD-=；（3）PE PF AD-=；（4）连接CP、AP、BP，∴APC PBC APB ABCS S S S∆∆∆∆++=，∴11112222AC EP BC PF AB PG BC AD⋅+⋅+⋅=⋅，而AC BC AB==，∴EP FP GP AD++=．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的一个常见题型，面积法．（1）如图7-1，AB AC=，54A∠=︒，DE垂直平分AB交AC于E，垂足为D，ABC△周长为28cm，8cmBC=，则BCE△的周长为__________，EBC∠=__________．（2）如图7-2，ABC△的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若150BAC DAE∠+∠=︒，则BAC∠的度数为___________．图7-1 图7-2【解析】（1）18cm，9︒；（2）110︒．【教师备课提示】这道题主要考查垂直平分线的性质．A BCEDPFA BCEDPFA BCDEGPFCBEDAHFEDCBA模块二垂直平分线例题7（1）如图8-1，已知：在ABC △中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ．求证：EG EC =．（2）如图8-2，ABC △中，AB AC =，54BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿EFCE 在BC 上，F 在AC 上折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC∠为____________．【解析】（1）连接AD ，∵D 为AB 的垂直平分线上一点，∴DA DB =，22.5B ∠=︒，∴22.5BAD B ∠=∠=︒， ∴45ADE ∠=︒，AE BC ⊥，∴45DAE ADE ∠=∠=︒， ∴AE DE =，DF AC ⊥，90FDC C ∴∠+∠=︒， 又∵90EAC C ∠+∠=︒，∴EAC EDG ∠=∠， 在EDG △和EAC △中 EAC EDG ED EAAEC DEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)EDG EAC ∴△≌△，∴EG EC =．（2）如图，连接OB 、OC ， ∵54BAC ∠=︒，AO 为BAC ∠的平分线，∴11542722BAO BAC ∠=∠=⨯︒=︒，又∵AB AC =，∴11(180)(18054)6322ABC BAC ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA OB =，∴27ABO BAO ∠=∠=︒， ∴632736OBC ABC ABO ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线，∴点O 是ABC △的外心，∴OB OC =，∴36OCB OBC ∠=∠=︒，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE CE =，∴36COE OCB ∠=∠=︒，在OCE △中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．GF EDCBA例题8 ABCDEF G BA OF CEB A O FC E证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．【解析】如图，在ABC△中，设AB、AC的垂直平分线相交于点O，连接OA、OB、OC，由垂直平分线的性质可知：OA OB=，OA OC=，∴OB OC=，∴点O在BC的垂直平分线上，∴三角形三边的垂直平分线交于一点．（1）已知一个等腰三角形的两条边分别为3cm和4cm，则这个三角形的周长为______．（2）等腰三角形的一个外角为100︒，则顶角为__________．（3）等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为6和12两部分，则腰长为________．（4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，则这个等腰三角形的底角为______．【解析】（1）10cm或11cm；（2）20︒或80︒；（3）8；（4）65︒或25︒．（1）（武侯区期末）如图，在下列三角形中，若AB AC=，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个AB C①AB C②③④364590108AB CAB C例题9复习巩固模块一等腰三角形演练1演练2OCBA（2）如图，AOB ∠是一个钢架，且10AOB ∠=︒，为了使钢架更加牢固，需要在内部添加一些钢管EF 、FG 、GH 、HI ，且有OE EF FG GH HI ====，则IHB ∠=__________．（3）如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE AD =，则EDC ∠=（ ）度． A ．30 B ．20 C ．25 D ．15【解析】（1）C ；（2）50︒；（3）D ． 【解析】【解析】如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE CF =，BD CE =． （1）求证：DEF △是等腰三角形； （2）当40A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．【解析】（1）AB AC =，B C ∴∠=∠，在EDB △和FEC △中： BE CF B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ (SAS)EDB FEC ∴△△≌，DE EF ∴=，DEF ∴△是等腰三角形． （2）40A ∠=︒，70B C ∴∠=∠=︒，110EFC FEC ∴∠+∠=︒，由（1）知EFC DEB ∠=∠，110DEB FEC ∴∠+∠=︒，70DEF ∴∠=︒．（1）如图4-1：已知等边ABC △中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE CD =，DM BC ⊥，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．（2）如图4-2，等边三角形ABC 中，E ，D 分别在AC ，BC 上，且AE DC =，求AD 与BE 所夹锐角的度数．图4-1 图4-2【解析】（1）连接BD ，演练3演练4PDA B C EO EF H B AGIA BCD EA BCEFDB A M E D∵ABC△为等边三角形，D为AC中点，∴1302DBC ABC∠=∠=︒，∵CD CE=，∴CDE E∠=∠，又∵等边ABC△中60ACB∠=︒，∴160302E∠=⨯︒=︒,∴CBD E∠=∠，∴BD ED=，又∵DM BE⊥，∴M为BE中点．（2）60︒．（1）（15年育才期末）如图5-1，在ABC△中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若ADC△的周长为7cm，2cmAC=，则BC的长为（）．A．4cm B．5cm C．3cm D．以上答案都不对（2）（15年嘉祥半期）如图5-2，50ABC∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABC∠的平分线BE交AD于点E，连接EC，则AEC∠的度数是______________．图5-1 图5-2【解析】（1）B；（2）115︒．如图，在ABC△中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F，EG AC⊥的延长线于G．求证：BF CG=．模块二垂直平分线演练5演练6BAM C EDAEB D CAB CDEABFD CGEABFD CGE笔 记 区【解析】连接BE 、CE ．DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=， AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥， EF EG ∴=，又90BFE CGE ∠=∠=︒， Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△， BF CG ∴=．。
角平分线、垂直平分线、等腰三角形
例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，
DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.
B
练习：
2. 如图所示，直线 表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
例2：△ABC中，AB=AC，BD、CE为角平分线，AH⊥CE于F交BC于H，AG⊥BD于G.
求证：(1)AC=CH (2)AF=AG.
课后作业：
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：________
教师评定：
1、学生上次作业评价： ○特别满意 ○满意 ○一般 ○差
2、线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，
并且这一点到三个顶点的距离相等.（三种情况）
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
龙文教育个性化辅导授课案
教师：学生时间：年_月__日__段第__次课
课题
垂直平分线与角平分线的性质和应用
考点分析
重点难点
垂直平分线与角平分线的性质和应用、等腰三角形
授课内容
一、线段的垂直平分线
1、垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段的中垂线、角平分线与等腰三角形
线段的中垂线、角平分线与等腰三角形等腰三角形1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．3．等腰三角形的性质：(1)两腰相等．(2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.判定定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 4．等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．6．等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90︒，底角等于45︒，两直角边相等．等腰直角三角形的判定：(1)顶角为90︒的等腰三角形．(2)底角为45︒的等腰三角形．8．含30︒角的直角三角形的重要结论在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．一、等腰三角形的性质【例1】 如图所示，已知ABC ∆中，D 、E 为BC 边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =．AB CD E【例2】 如图，MAN ∠是一个钢架，10MAN ∠=︒，在其内部添加一些钢管CD DE EF FG ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，添加的钢管都与AC 相等．（1）当添加到第四根钢管时，求FGM ∠的度数．（2）假设OM ON ，足够长，能无限地添加下去吗？如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根？【例3】 某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( ) A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm【例4】 从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的( )A ．两腰长的和 Ｂ．周长一半Ｃ．周长 Ｄ．一腰长与底边长的和【例5】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长．【例6】 已知等腰三角形的周长为12，腰长为x ，求x 的取值范围．【例7】 若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒【例8】 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25︒，则该三角形的一个底角为( )A ．32.5︒B ．57.5︒C ．65︒或57.5︒D ．32.5︒或57.5︒【例9】 在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．EDCBA【例10】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．E D CB A【例11】 下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60︒，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是( ) A ．只有命题①正确 B ．只有命题②正确 C ．命题①、②都正确 D ．命题①、②都不正确【例12】 如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转°60得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？O DCBA【例13】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．（1）求证：AD CE =；（2）求DFC ∠的度数．FE DCBA【例14】 如图，三角形ABC 中，AB BC CA ==，AE CD =，AD ，BE 相交于P ，BQ 垂直AD 于Q ，求证：2BP PQ =．P QA BCDE。
专题04 解三角形中的中线、垂线、角平分线(解析版)
专题04 解三角形中的中线、垂线、角平分线常见考点考点一 中线问题典例1．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos C c B +=，且23C π=． （1）求A 的大小；（2）若ABC 的周长为8+AC 边上中线BD 的长度． 【答案】 （1）6A π=（2）【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的周长可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）sin cos C c B +=，sin sin cos B C C B C +=， 因为()0,,sin 0C C π∈≠，cos B B +=sin 6B π⎛⎫+=⎪⎝⎭ 因为23C π=，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,662B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以63B ππ+=，即6B π=，所以6A π=（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，故2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅，代入数据解得：=AB ，因为ABC 的周长为8+28x +=+4x =，所以4,BC AC AB ===122DC AC ==, 在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为变式1-1．已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos C c B +，且2π3C =. （1）求A 的大小；（2）若ABC 的面积为AC 边上中线BD 的长度. 【答案】 （1）6π.（2） 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的面积公式可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）解：由正弦定理得2sin b R B =，2sin c R C =，R 为外接圆半径且 0R ≠sin cos C c B +，2sin sin 2sin sin 2sin R B C R B B R C +=，因为(0,)C π∈，所以sin 0C >cos B B +=2(sin cos cos sin )66B B ππ+所以sin()6B π+=2,3C A B C ππ=++=，则662B πππ<+<，所以63B ππ+=，得6B π=，所以6A B C ππ=--=；（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，则2211sin 2224ABCSab C x x ==⨯⨯==解得4x =，则12,42DC AC BC ===，在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为变式1-2．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos()cos sin cos 0c B A c C A C -++=.（1）求C ；（2）若4c =，求AB 的中线CD 长度的最小值. 【答案】 （1）23C π=（2【分析】（1）利用正弦定理可得[cos()cos()]sin sin cos B A A B C B A C --+=-，结合三角恒等变换可得结果；（2）由题意可得22224402222CD b CD a CD CD+-+-+=⨯⨯⨯⨯，即22228CD a b =+-，结合余弦定理及均值不等式可得结果. （1）因为cos()cos sin cos 0c B A c C A C -++=，所以cos()cos sin cos c B A c C A C -+=-，即[cos()cos()]sin sin cos B A A B C B A C --+=-，整理得2sin sin sin sin cos C A B B A C =-，因为A ，B 为三角形内角，所以0A π<<，0B π<<，所以sin 0A ≠，sin 0B ≠，所以sin C C =，即tan C = 又因为0C π<<，所以23C π=； （2）因为ADC BDC π∠+∠=，所以22224402222CD b CD a CD CD+-+-+=⨯⨯⨯⨯， 整理得22228CD a b =+-，在三角形ABC 中，由余弦定理得22222242cos3a b ab a b ab π=+-=++. 因为222a b ab +≤，当且仅当a b =时取等号，所以()()22222222131622a b ab a b a b a b =++≤+++=+，即22323a b +≥，所以22232828833CD a b =+-≥-=，即CD ≥，即CD变式1-3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝a cos C sin A ，点M 是BC 的中点. （1）求A 的值；（2）若a AM 长度的最大值. 【答案】（1）3π；（2）32【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简b ＝a cos C sin A 即得解； （2）由余弦定理和基本不等式得b 2＋c 2≤6，由已知得AM →＝2AB AC →→+，平方后利用基本不等式即得解. （1）解：因为b ＝a cos C sin A ，根据正弦定理得sin B ＝sin A cos C C sin A ，所以sin （A ＋C ）＝sin A cos C C sin A ，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C C sin A ，所以cos A sin C C sin A .因为sin C ≠0，所以tan A又0＜A ＜π，所以A ＝3π.（2）解：在ABC 中，由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝3.因为bc ≤222b c +，当且仅当b ＝c 时取等号，所以b 2＋c 2≤6.因为AM 是BC 边上的中线，所以AM →＝2AB AC →→+，两边平方得|AM →|2＝14（b 2＋c 2＋bc ）≤142222()2b c b c +++＝14×32×（b 2＋c 2）＝94，当且仅当b ＝c AM 的长度取得最大值32.考点二 垂线问题典例2．设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos a c BC b-=． （1）求角B 的大小；（2）若边AB 上的高为4c ，求cos C ． 【答案】 （1）4B π=；（2）cos C = 【分析】（1）利用余弦定理可求得tan 1B =，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出a =，利用余弦定理可得出b =，再代入sin cos a c B C b -=即可得解. （1）解：由余弦定理，得222sin 2a b c a c B ab b+--=， 所以，()2222sin a b c a a c B +-=-，所以，2222sin b a c ac B =+-，又因为2222cos b a c ac B =+-，所以，sin cos B B =，则tan 1B =，()0,B π∈，因此，4B π=.（2）解：因为ABC的面积21sin 28c S ac B ===，则a =，由余弦定理，得22222252cos 28b a c ac B c c c ⎫=+-=+-⨯=⎪⎪⎝⎭，所以，b ，所以，sin cos a c B C b -== 变式2-1．在△ABC 中内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos +=ac B b C A. （1）求角A .（2）若2,3b c ==，求a 边上的高AH . 【答案】 （1）3A π=（2）7【分析】（1）根据正弦定理边化角得sin cos sin()2A A B C ⋅+=，进而得1cos 2A =，故3A π=； （2）由余弦定理得a =. （1）解：由题知，cos (cos cos )2aA cB bC ⋅+⋅=， 由正弦定理知，sin cos (sin cos sin cos )2AA CB BC ⋅⋅+=， 即sin cos sin()2AA B C ⋅+=. 又B C A +=π-，且sin 0A ≠. 所以1cos 2A =， 由于()0,A π∈. 所以3A π=.（2）解：由余弦定理得：2222cos 4967a b c bc A =+-⋅=+-=，解得a =又11sin 22ABC S bc A a AH ==⋅△，2,3b c ==，所以23AH ⨯==变式2-2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c <<，三角形三边上的高之比为2:3:4. （1）求cos C 的值；（2）若E 为边AC 上一点，30CEB ∠=︒，3BC =，求BE 的长. 【答案】 （1）1124-（2【分析】()1由于a b c <<，则三边a ，b ，c 上的高之比为123::4:3:2h h h =，根据123111222ABC S ah bh ch ===△，得出432a b c ==，并利用余弦定理求出cos C 的值； ()2利用()1中cos C 的值求出sin C 的值，进而利用正弦定理求出BE 的长.（1）解：由于a b c <<，则三边a ，b ，c 上的高之比为123::4:3:2h h h =. 又因为123111222ABC S ah bh ch ===△，则432a b c ==. 设43212a b c x ===，则3a x =，4b x ，6c x =. 在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a b c C ba+-=222291636112424x x x x +-==-. （2） 解：将11cos 24C =-代入22sin cos 1C C +=，得2223513sin 1cos 24C C ⨯=-=，又()0,C π∈，则sin C ==. 在EBC 中，由正弦定理得sin sin BC BECEB C=∠，则6BE ==变式2-3．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边c 上的高为2cos ,ab Cab c= （1）求cos C ；（2）若ABC 的周长为4，求边c 的长. 【答案】（1（2 【分析】（1）利用等面积法，结合三角形的面积公式以及同角三角函数关系，即可容易求得； （2）由余弦定理，结合已知条件，即可容易求得. （1） 由12c ⨯2cos ab C c 1sin 2ab C =⋅，可得tan 2C =，故0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又22sin 2cos ,sin cos 1C C C C =+=，解得：cos C =，又0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos C = （2）若ABC 的周长为4，即可得：4a b c ++=，又ab()22222222a b ab c a b c ab ab +--+-===解得：c =考点三 角平分线问题典例3．在①πsin sin 3a Bb A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+sinsin 2B Ca B +=三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足___________. （1）求角A ；（2）若A 的角平分线AD 长为1，且6b c +=，求sin sin B C 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 （1）2π3A = （2）320【分析】（1）选①，先用正弦定理，再求解角；选②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；选③，先用正弦定理、诱导公式、二倍角公式，再根据特殊三角函数值求解. （2）由面积公式得bc b c =+，再用余弦定理得a =，再由2sin sin sin a b cR A B C===转化计算即可求解. （1）选①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得，πsin sin sin sin 3A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.即πsin sin 3A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π3A A =-（舍）或ππ3A A +-= 所以2π3A =；选②()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+得，()()()a b a b b c c +-=+ 即222b c a bc +-=-由2221cos 22b c a A bc +-==-， 又()0,πA ∈，所以2π3A =；选③sinsin 2B C a B +=sin 2B CA +=2sin cos 222A AA =，因为cos02A ≠，所以sin 2A 又()0,πA ∈，所以2π3A =.（2）由ABD ACD ABC S S S +=△△△)b c +，即6bc b c =+=，由余弦定理，()22222cos 36630a b c bc A b c bc =+-=+-=-=. 解得a =由正弦定理，2sin sin sin a b cR A B C==== 263sin sin 44020bc B C R ⋅===. 所以sin sin B C 的值为320.变式3-1．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 （1）若1cos 4A =，求BDC 的面积; （2）若4CD AD -=，求CD 长. 【答案】（1 （2）6 【分析】（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =. （1）解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得sin A 由正弦定理可得sin sin BD AB A ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠所以1sin sin 2ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以sin sin CDB ADB ∠=∠=， 因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故7cos 8CDB ∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以11sin 6222BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯=（2）解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（ 在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅ 因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.变式3-2．在△ABC 中，点D 在边BC 上，AD 为∠A 的角平分线，AC AD ==2CD =. （1）求sin BAC ∠的值； （2）求边AB 的长. 【答案】 （1）2425（2【分析】（1）先利用余弦定理可求cos CAD ∠，再利用同角的三角函数基本关系式和倍角公式可求sin BAC ∠. （2）利用BAC DAC DAB S S S =+△△△可得关于AB 的方程，从而可求边AB 的长. （1）在ACD △中，由余弦定理可得164cos 205CAD ∠===，而CAD ∠为三角形内角，故3sin 5CAD ∠=，因为AD 为∠A 的角平分线，故24sin 2sin cos 25BAC CAD CAD ∠=∠∠=. （2）因为BAC DAC DAB S S S =+△△△，所以111sin sin sin 222AC AD CAD AB AD BAD AB AC BAC ⨯⨯∠+⨯⨯∠=⨯⨯∠，313124525225AB AB +=，解得AB =变式3-3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足（a +2b ）cos C +c cos A =0. （1）求角C 的大小；（2）设AB 边上的角平分线CD 长为2，求△ABC 的面积的最小值. 【答案】 （1）2π3； （2） 【分析】（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案； （2）在ACD △和BCD △中，分别运用正弦定理，进而求出c =ABC 中再次运用正弦定理得到1sin 1sin A B⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案. （1）根据题意，由正弦定理可知：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A ++=，则()()2sin cos sin 02sin cos sin 2sin cos sin 0B C A C B C B B C B π++=⇒+-=+=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，则1cos 2C =-，而0C π<<，于是23C π=. （2）由（1）可知，3ACD BCD π∠=∠=，在ABC 中，设(0)AD m m c =<<，则||BD c m =-，在ACD △中，由正弦定理得：2sin sin3m m A π=⇒=在BCD △中，由正弦定理得：2sin sin3c m c m c m B π-=⇒-⇒=所以c =+在ABC中，由正弦定理得：1sin 1sin sin sin sin sin Aa b a b A B A B B⎧=⎪⎪==⇒==⎨⎪⎪⎩，所以1111122c c a b a b ⎛⎫==+⇒+= ⎪⎝⎭.由基本不等式可得：111162ab ab+=≥≥，当且仅当4a b ==时取“=”.于是，1sin 2ABCS ab C ==≥即△ABC的面积的最小值为巩固练习练习一 中线问题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 0a b A -=. （1）求角B 的大小； （2）若23C π=，ABC的周长为4+BC 边上的中线AD 的长.【答案】 （1）π6或5π6； （2【分析】(1)结合正弦定理边化角即可求解； (2)求出△ABC 的边长，解△ACD 即可﹒ （1）∵2sin 0a b A -＝，又由正弦定理得sin sin a B b A ＝，∴sin 2sin 0sin a Ba A A-⋅＝， 则1π2sin 0012sin 0sin 026a a B a B B B B π-∴-∴＝，＞，＝，＝，＜＜，＝或5π6； （2） ∵C 23π＝，∴π6B ＝，∴π6A B C π--＝＝， 作CH AB ⊥于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∴H 为AB 中点，CH 为∠ACB 平分线，∴π6CAH ∠＝，设2CH x AC x AH AB ＝，＝，＝，＝，∴||224AC BC AB x x ＋＋＝＋＋＝＋∴12x AC BC ＝，＝＝， 取BC 中点为D ，在△ACD 中，由余弦定理得222||||cos 2AC CD AD ACD AC CD∠-⋅⋅＋＝，即22π41||1cos 32212AD --⨯⨯＋＝＝，解得AD ＝∴BC ﹒2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，S 是该三角形的面积，且 24sin(3)sin ()cos(2)124A A A πππ-+-- （1）求角A 的大小；（2）若角A 为锐角，1,b S ==BC 上的中线AD 的长.【答案】（1）233ππ，（2 【解析】试题分析：（1）根据诱导公式，降幂公式，二倍角公式将题中式子化简为sin A =，再根据A 为三角形内角即可求出A ；（2）根据角A 为锐角和（1）可得3A π=，然后根据三角形的面积公式再结合条件1,b S =C 的值，而求边BC 上中线AD 的长有两种思路，法一：由于AD 为BC 边上的中线，则根据向量加法的平行四边形法则可得()12AD AB AC =+，然后两边平方即可求出AD 也即为AD 的长；法二 ：先根据cos A 利用余弦定理求出a 的值，再在ADC ∆和ABC ∆中两次利用余弦定理即可求出AD 的值. 试题解析：（1）原式因（2）因A 为锐角，则而面积解法一：又由余弦定理，又，即解法二：作CE 平行于AB ，并延长AD 交CE 地E ， 在△ACE 中，又即这样3．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，若222b c a bc +-=. （1）求角A 的大小；（2）若a =BC 边上的中线AM 的最大值.【答案】（1）3π；（2）32.【分析】（1）由已知等式可推导得到cos A ，由此可求得A ；（2）在ABC 中，利用余弦定理和基本不等式可求得3bc ≤；在ABM 中，利用余弦定理可化简整理得到()22334bc AM +-=，由3bc ≤可求得最大值. 【详解】 （1）222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，又()0,A π∈，3A π∴=； （2）在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-=， 2232b c bc bc ∴+=+≥（当且仅当b c =时取等号），3bc ∴≤； 又222cos 2a c b B ac+-=，在ABM 中，由余弦定理得：2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅⋅，()22222222223322942444bc a a c b c b a AM c ac ac +-+-+-∴=+-⋅==≤，32AM ∴≤，即中线AM 的最大值为32.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin B C A B C +=+． （1）求A ；（2）若6b c +=，求ABC 的中线AM 的最小值．【答案】（1）3A π=；（2 【分析】(1)先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理计算即得；(2)用,AB AC 表示出AM ，借助向量模的计算公式及均值不等式推理计算即得. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理化222sin sin sin sin sin B C A B C +=+为222b c a bc +=+，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，而0A π<<，则3A π=，所以3A π=；（2）因AM 是ABC 的中线，则()12AM AB AC =+，由(1)知3A π=， 于是得221()4AM AB AC =+22211()[()]44b c bc b c bc =++=+-22127[()()]424b c b c ++-=≥，当且仅当b =c 时取“=”，则33AM ≥所以ABC 的中线AM练习二 垂线问题5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .222sin sin sin sin sin A C B A C +=+. （1）求角B ；（2）若b =sin 3sin A C =，求BC 边上的高.【答案】（1）3π；（2 【分析】（1）利用正弦定理角化边得到222a c b ac +-=，进而结合余弦定理即可求出结果； （2）由正弦定理得3a c =，再利用余弦定理求出1c =，即得BC 边上的高． 【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.由正弦定理可得222a c b ac +=+，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==， 所以3B π=；（2）由sin 3sin A C =，得3a c =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222793c c c =+-，因为0c >，解得1c =，所以BC 边上的高为sin c B . 6．已知锐角三角形ABC 中，sin(A +B )=35，sin(A - B )=15（1）求证: tan A =2tan B（2）设AB =3，求AB 边上的高CD .【答案】（1）证明见解析；（2）2 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式求得21sin cos cos sin 55A B ,A B ==，再结合同角的商数关系即可得出结论；（2）结合同角的基本关系求出()tan A B +，利用（1）的结论与两角和的正切公式即可求出tan tan A,B 的值，然后结合平面图形的几何性质即可求出结果. 【详解】（1）证明：因为sin(A +B )=35，sin(A - B )=15， 所以31sin cos cos sin sin cos cos sin 55A B A B ,A B A B +=-=,21sin cos cos sin 55A B ,A B ==， 所以sin cos 2cos sin A BA B=，即tan 2tan A B =；（2）因为三角形ABC 为锐角三角形，所以<2A B π+<π，又因为sin(A +B )=35，所以()4cos 5A B +=-，因此()3tan 4A B +=-，所以tan tan 31tan tan 4A B A B +=--⋅，结合tan 2tan A B =，因为tan 0tan 0A ,B >>，解得tan 2tanA B =+=又因为tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+=，又因为AB =3，所以2CD =故AB 边上的高CD 为27．在①2sin cos cos cos a C B C C =；②2cos 2c B b a +=；③(2)cos cos b a C c A -= 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且满足． （1）求sin C ；（2）已知5a b +=，ABC ∆ABC ∆的边AB 上的高h ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（12 【分析】（1）根据2sin cos cos cos a C B C C =，由正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到sin C C =求解；（2）结合（1）利用正弦定理得到c ，再利用余弦定理得到3ab =，然后利用三角形面积公式求解． 选择条件②：（1）根据2cos 2c B b a +=，利用正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到sin (12cos )0B C -=求解；（2）结合（1）利用正弦定理得到c ，再利用余弦定理得到3ab =，然后利用三角形面积公式求解． 选择条件③：（1）根据2cos 2c B b a +=，利用正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到2sin cos sin()sin B C A C B =+=求解；（2）结合（1）利用正弦定理得到c ，再利用余弦定理得到3ab =，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】 选择条件①：（1）因为2sin cos cos cos a C B C C =，所以由正弦定理得，2sin sin cos cos A C C C B C =，即sin sin (sin cos sin cos )A C C C B B C =+，故sin sin sin A C C A =．又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以sin C C =，所以tan C = 由(0,)C π∈，可得3C π=．所以sin sin3C π==（2）由正弦定理得243c π==， 由余弦定理得22222cos()3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以2()163a b ab +-=，解得3ab =．于是得ABC ∆的面积为11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab Ch c===（1）因为2cos 2c B b a +=，由正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A +=，即2sin cos sin 2sin()2sin cos 2cos sin C B B B C B C B C +=+=+，于是sin (12cos )0B C -= 在ABC ∆中，sin 0B ≠，所以1cos 2C =， 由(0,)C π∈，可得3C π=．所以sin sin3C π==（2）由正弦定理得243c π==， 由余弦定理得22222cos()3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以2()163a b ab +-=，解得3ab =．于是得ABC ∆的面积为11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab Ch c=== 选择条件③：（1）因为(2)cos cos b a C c A -=，所以由正弦定理得，(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=， 所以2sin cos sin()sin B C A C B =+=， 因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠， 所以1cos 2C =， 由(0,)C π∈，可得3C π=．所以sin sin3C π== （2）由正弦定理得243c π==， 由余弦定理得22222cos()3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以2()163a b ab +-=，解得3ab =．于是得ABC ∆的面积为11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab C h c ===8．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且满足()2cos cos b a C c A -=． （1）求角C 的大小；（2）已知4c =，5a b +=，求ABC 的边AB 上的高h ．【答案】（1）3C π=；（2）h = 【分析】（1）由正弦定理将()2cos cos b a C c A -=化为()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，再利用三角函数恒等变换公式化简可求出角C ，（2）由余弦定理结合已知条件可得3ab =，再利用等面积法可求出ABC 的边AB 上的高h【详解】（1）因为()2cos cos b a C c A -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，即()2sin cos sin sin B C A C B =+=，因为()0,B π∈，所以1sin 0cos 2B C ≠⇒=，又()0,A π∈，所以3C π=．（2）由已知4c =，5a b +=，由余弦定理得()22222cos 316c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以()21633a b ab ab +-=⇒=．于是得ABC 的面积11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab C h c === 练习三 角平分线问题9．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 满足()cos cos sin cos 0b C c B B A +=. （1）求A ；（2）若2c =，a =B 的角平分线交边AC 于点D ，求BD 的长.【答案】（1）2π3；（2【分析】（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式以及三角形的内角和即可求得角A ； （2）利用余弦定理可得b 的值，进而可求出角,B C ，在ABD △中，求出ABD ∠、ADB ∠利用正弦定理即可求解.【详解】（1）由正弦定理化边为角可得： ()sin cos sin cos sin cos 0B C C B B B A +=，即()sin sin cos 0B C B B A +=所以sin sin cos 0A B B A =，因为sin 0B ≠，所以sin A A =0即tan A =因为0πA <<，所以2π3A =.（2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 代入数据可得：21124222b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭即21242b b =++. 解得：2b =或4b =-(舍).所以2b c ==，所以π6B C ==，在ABD △中，由BD 是ABC ∠的角平分线，得π12ABD ∠=， 则2ππππ3124ADB ∠=--=， 在ABD △中，由正弦定理得：sin sin AB BD ADB BAD =∠∠即2π2πsin sin 43BD =，可得：2π2sin23πsin4BD⨯===10．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin sin()sinc C a A b a B=+-，角C的角平分线交AB于点D，且CD=3a b=，（1）求角C；（2）求c的值【答案】（1）3π；（2【分析】（1）先用正弦定理把角化为边，再用余弦定理即可求解；（2）由ABC ACD BCDS S S=+△△△可得，ab a b=+，然后与已知条件联立求解，再用余弦定理即可求解【详解】（1）因为sin sin()sinc C a A b a B=+-，由正弦定理可得：222c a b ab=+-，即222ab a b c=+-由余弦定理可得：2221cos222a b c abCab ab+-===，因为0Cπ<<，所以3Cπ=；（2）由ABC ACD BCDS S S=+△△△，有111sin sin sin232626ab a CD b CDπππ=⨯⨯+⨯⨯，得ab a b=+，由3a bab a b=⎧⎨=+⎩，解得443ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理得：c===11．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+. （1）求角C ；（2）若角C 的角平分线交AB 于点D ，13ACD ABC S S=△△，3AB =，求AC 和CD 的长度. 【答案】（1）23C π=；（2）AC =CD . 【分析】（1）由正弦定理得1cos 2C =-，结合C 为三角形内角可得答案； （2）D 到CA ，CB 的距离相等，设为h ，由13ACD ABC S AD AB ==，得2BD AD =， 由角平分线性质得12b a=，由余弦定理得a ABC S ACD S =可得答案.【详解】（1）由2cos 2c B a b =+及正弦定理得2sin cos 2sin sin 2sin()sin C B A B B C B =+=++，2sin cos 2sin cos sin B C C B B =++，得2sin cos sin 0B C B +=，因为sin 0B >，所以1cos 2C =-，由C 为三角形内角得23C π=； （2）因为CD 平分C ，则D 到CA ，CB 的距离相等，设为h ， 因为13ACD ABC S AD AB ==， 所以2BD AD =，由角平分线性质得12b AD a DB ==，所以12b a =，因为3AB =，23C π=，由余弦定理得2219121222a a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭-=⨯，解得a所以AC b =，因为12ABC S=，1123ACD S ==解得CD =.12．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S，且满足222b c a +-=. （1）求角A 的大小；（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D，且512a B π==，求线段AD 的长. 【答案】（1）3π；（2） 【分析】（1）由余弦定理以及三角形的面积公式即可求解； （2）在ABC 中求出角C ，再由正弦定理求出边AB 、AC ，再由ABC ACD ABD S S S =+△△△结合三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理可得222cos 2b c a A bc +-=，所以2222cos b c a bc A +-= 由三角形的面积公式可得1sin 2S bc A =，因为222b c a +-=，所以12cos sin 2bc A bc A =，整理可得：cos A A =，即tan A = 因为0A π<<，所以3A π=（2）由（1）知：3BAC π∠=，AD 为BAC ∠的角平分线，所以6CAD BAD π∠=∠=，由512B π=可得53124C A B πππππ=--=--= 在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin sin AC BC AB B A C ==，即5sin sin sin 1234AC AB ππ==，因为51sin sin 1264222πππ⎛⎫=+=⨯= ⎪⎝⎭，所以AC ==AB == 由ABC ACD ABD S S S =+△△△可得：111sin sin sin 232626AD AD πππ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯整理可得：((114AD =⨯⨯，解得：AD =所以线段AD的长为。
初中数学 三角形的中线,角平分线,高线,垂直平分线
三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线•三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。
•三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长：ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ；mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
•垂直平分线的尺规作法：方法一：1、取线段的中点。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
证明二---等腰、直角三角形及角平分线、中垂线的典型例题
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六、新课探究---<5>角平分线的应用 经典例题 （ 1 ） 如 图 ， AB // CD ， DE EA ， CE 平 分 DCB ， 求 证 ： CD AB BC ；
C 60 ， ABC 中， （2） 如图， 内角平分线 AD、BE 相交于点 P ，
求证： PD PE ；
举一反三 ① 如图，已知线段 AB // CD ，连接 AD、BC ，若 BP 平分 ABC ， 且 AP PD ，猜想线段 AB、BC、CD 三者之间有怎样的等量关系? 请写出你的结论并予以证明
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音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的 一切。 ——F.Klein
（2）如图， ABC 中， AB AC ， A 36 ， D 是 AC 上一点， 且 BD BC ，过点 D 分别作 DE AB 、 DF BC ，垂足分别是 E、F ．给出以下四个结论：① DE DF ；②点 D 是 AC 的中点； ③ DE 垂直平分 AB ；④ AB BC CD ．其中正确结论的序号是 _______________；
举一反三 ①如图， AD 是 ABC 的角平分线， EF 是 AD 的垂直平分线． 求证： （1） EAD EDA ； （2） DF // AC ； （3） EAC B ．
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音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的 一切。 ——F.Klein
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音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的 一切。 ——F.Klein
中考数学复习指导：利用角平分线+垂线→等腰三角形及底边的中点结论求解.doc
利用角平分线+垂线f等腰三角形及底边的中点结论求解结论角平分线+垂线一等腰三角形及底边的屮点.解析：如图1, OP是ZMON的平分线，AB丄OP,分别交OM, ON于点A , 3 .则有以下结论成立：®OA = OB:②点C是AB的中点.即\AOB是等腰三角形，垂足是等腰三角形底边的中占I 八证明比较简单，这里从略.下面我们用这一简单结论来解决几道数学题.一、直接用结论例1如图2, AG丄BD,AF丄CE,BD、CE分别是ZABC和ZACB的角平分线.若BF =2, ED=3, GC二4,则AABC的周长为 ___________ .简析由BD平分ZABC和AG丄BD可得B G二BA,点D是AG的中点，由CE平分ZA CB和A F丄CE可得CF = CA.点E是4F的中点，所以ED是AAFG的屮位线，从而有ED = -FG.2•：ED=3, ••・FG=b又v BF =2, GC=4, BG = 6 = BA,CF = ]0 = CA,BC = \2.所以\ABC的周长为12.二、补全图形后用结论例2 如图3,在\ABC中，ZBAC = 90°.AB = AC ,BE平分ZABC,CE 丄BE ,求证:CE-BD.简析题目中具备了角平分线条件，也具备了角平分线的垂线，但是垂线没有和角的另一边相交，所以首先延长CE交3A的延长线于点F.根据结论得点E是CF的屮点，即CE= 1 CF.所以欲证CE = -BD,只需证B D = CF ,而证明BD = CF观察图形容易发2 2现只需证4 CFA^ABDA.y.有条件AB = AC, ZBAD = ZCAF, ZADB = ZFAC ,从而问题得证.例3如图4,梯形ABCD中，ADHBC.CE是ZABC的平分线，且CE丄AB,E为垂足，BE = 2AE.若四边形AECD的面积为1,则梯形ABCD的面积为______________________________.又BE = 2AE,・・・EF = 2AE,即点A是EF的屮点,FA二AE =丄BE =丄FE ,2 2日仃FA 1即——二—■FB 4v AD // BC , /. \FAD s AFBC , /. = (―)2 = (-)2 =—,则W FB 4 16因为CE是ABCF的中线，所以區亠=丄，所以S M AECD=1S^FAD.S、FEC 8因为四边形的面积为1,所以s昨斗所以s梯形啊= 15S嘶二学，即梯形ABCD 的面积为匕.7三、分析出条件后用结论4.已知AABC中，ZACB = 90°, AB边上的高线CH与\ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、0V的中点分别为E、F ,求证：EF//AB .简析根据题意作出图形，如图5.由AM平分ZCAB,知ZCAM = ZBAM .又ZBAM + ZAPH = 90°, ZCAM+ZAMC = 90。
等腰三角形、角平分线
课 题 等腰三角形、角的平分线授课时间： 2013.备课时间：教学目标1. 熟练掌握等腰三角形、角的平分线的相关知识和性质。
教学内容（包括知识点、典型例题、课后作业）等腰三角形知识梳理一、等腰三角形的边角关系 1)判定定理 等角对等边 2)性质定理 等边对等角3)特殊角之间的关系 ∠B = ∠C=90°－21∠BAC∠BAC=180°－2∠B =180°－2∠C 4）底边BC 小于2倍的腰长AB 二、等腰三角形“三线”间的关系1）顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高（“三线合一”）2）等腰三角形两腰上的高相等、两腰上的中线相等、两底角的平分线相等； 三、等边三角形 1）概念2）性质 等边三角形具备所有等腰三角形的性质外还有： 三边都相等；三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
3）判定利用定义； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、含30°的直角三角形1）定理 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边的斜边的一半。
2）逆定理 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°五、等腰三角形的对称性等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（底边的垂直平分线） 等边三角形有三条对称轴，即三边的垂直平分线。
复习巩固1、（2009•山西）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长2线于点E，则CE 的长为 。
2、（2004•湖州）已知如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于 ．3、（2010•娄底）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，E 为CD 的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE 交BC 的延长线于点F．求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD ．典型例题 一.选择题1、已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为 （ ）．A、42 °B、69°C、69°或84°D、42°或69°2、如图，ABC △中，AB AC ，30A ，DE 垂直平分AC ，则BCD 的度数为（ ） Ａ．80 Ｂ．75Ｃ．65 Ｄ．453、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）A．40° B．50° C．60° D．30°4. 如图，15A ∠，AB BC CD DE EF ，则DEF ∠等于（ ）A ．90 B．75 C．70 D．60A B D EC5、如图，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）PQMNGA．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a二.选择题1. 在△ABC 中，AB=AC，若∠B=56º，则∠C=__________．2.等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．3.如图，在△ABC 中，AB=AC，CD 平分∠ACB 交AB 于点D，AE∥DC 交BC 的延长线于点E，已知∠E=36°，则∠B= ．4.如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD °，AB AD DC ，则C ．三.解答题1. 下午2时，一轮船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正南方向行驶，下午4时，到达B 处，在A 处测得灯塔C 在东南方向，在B 处测得灯塔C 在正东方向，在图中画出示意图 ，并求出B、C 之间的距离．2. 如图，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC.AC B D804DCAB加强巩固角的平分线DCAEB一、知识准备： 1)角的平分线的画法2)角的平分线的性质： 。
等腰三角形的三种画法
等腰三角形的三种画法
等腰三角形是指两边长度相等的三角形，它是几何学中最基本的图形之一。
在绘制等腰三角形时，有三种不同的画法，分别是直角边法、底边中垂线法和内角平分线法。
直角边法是指在一条直线上画出一条直角边，然后在这条直线的两侧分别画出两条相等的边，使它们与直角边相交，形成一个等腰三角形。
这种画法适用于需要绘制直角的等腰三角形，例如在勾股定理中，我们需要绘制一个直角边为斜边一半的等腰三角形。
底边中垂线法是指在一条直线上画出一条底边，然后在底边的中点处画出一条垂线，使它与直线相交，形成一个顶角为直角的等腰三角形。
这种画法适用于需要绘制顶角为直角的等腰三角形，例如在勾股定理中，我们需要绘制一个斜边为直角边的根号二倍的等腰三角形。
内角平分线法是指在一条直线上画出一条底边，然后在底边的两侧分别画出两条相等的边，使它们与底边相交，形成一个等腰三角形。
接着，从顶角处画出一条内角平分线，使它与底边相交于一点，这个点就是等腰三角形的顶点。
这种画法适用于需要绘制任意顶角的等腰三角形，例如在计算三角函数时，我们需要绘制不同角度的等腰三角形。
等腰三角形是几何学中最基本的图形之一，它有三种不同的画法，
分别是直角边法、底边中垂线法和内角平分线法。
在不同的情况下，我们可以选择不同的画法来绘制等腰三角形，以满足不同的需求。
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等腰三角形、角平分线、中垂线
一、角平分线、中垂线
例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ∆的周长为
28，BC=8，则BCE ∆的周长为 ．
例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF
例3 如图，在ABC ∆中，ο108=∠A ，AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD
例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的
垂直平分线．
例5 如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，
21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD
训练一下：
1．如图，在ABC Rt ∆中，ο90=∠C ，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1cm ，则AC= cm.
2．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF
3．如图，在ABC ∆中，AB=AC ，ο36=∠A ，21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．求证：AB=CF
4．如图，ABC ∆中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．求证：AC ⊥CD
5．如图，在ABC ∆中，ο
90=∠ABC ，ο
60=∠ACB ，
BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF
二、等腰三角形、等边三角形
（1）求角的度数
例1、如图所示,已知AB=AC, D 、E 分别在AC 和AB 上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A 的度数.
（2）证明角相等
例、已知：如图，AB=AD ，∠B=∠D 。
求证：AC 平分∠BCD 。
（3）证明线段相等
例、如图所示,已知△ABC 和△CDE 是等边三角形 求证:BD=AE
（4）证明问题
例、如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC ，D 为DC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于
点F ．求证：AB 垂直平分DF ．
训练一下：
1、如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，分别以AB 、BC 为边，在直线AC 的同侧作等边△ABD 和等边△BCE 。
连结AE 交BD 于M ，连结CD 交BE 于N ，连结MN 得△BMN ，试判断△BMN 的形状？为什么？
2、如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，连接AF.试判断∠B 与∠CAF 的大小关系，并说明理由.
N
M
E
D
C
B
A
E
M
D
C
B
A
E
F
C
D B
A
3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在AB 上，点D 在AC 的延长线上，且CD ＝EB ，ED 交BC 于M.求证：EM ＝DM.
4、 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长
BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．
5、如图，已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）
的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．
在图（1）中， 点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321． 在图（2）--（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外．
（1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS 是等腰梯形，∠B =∠C =60o ， RS =n ，BC =m ，点P 在梯形内，且点P 到四边BR 、RS 、SC 、CB 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
作业：
1．如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B ，B ′分别在边AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB ′，那么该条件可以是 ． （1）B B ′⊥ （2）BC= B ′C （3）ACB ∠=AC ∠ B ′ （4）ABC ∠=∠A B ′C
2．在ABC ∆中，E 为BC 中点，BC DE ⊥交AB 于点D ，若ο25=∠B ，AD=CD ，则
ο25=∠B ，AD=CD ，则ADC ∠ ，ACB ∠= ．
3．在ABC ∆中，AB=AC ，DE 是AB 边的中垂线，垂足为E ，交AC 于D ．若BDC ∆的周长为24，AB=14，则BC= ；若ο40=∠A ，则DBC ∠= ．
4．在ABC ∆中，ο120=∠BAC ．PM 为AB 边的中垂线，垂足为M ，交BC 于P ；QN 为
AC 边的中垂线，垂足为N ，交BC 于Q ，则PAQ ∠= ，若BC=9cm ，则APQ ∆的周长为 cm.
5．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知ο100=∠BDC ．则A ∠的度数
为 ．
6．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ∆的周长为 ．
7.已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，A B ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AC ＝DF ，BF ＝CE 。
求证：GF ＝GC 。
培优一下：
等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．
1．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAE ＝30°，则∠DEC 等于（ ）．
A ．7．5°
B ．10°
C ．12.5°
D ．18°
2．如图，AA′、BB′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线，且AA′＝AB ＝B′B ，A′、B 、C 在一直线上，则∠ACB 的度数是多少？
3．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．D是AB边上的点，且AD＝BC，连结CD，则∠BDC＝________．
4. 如图，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，E是等边三角形ABC的AC边延长线上一点，且EB＝ED．那么CE与AD相等吗？试说明理由．
练习
1．已知如图，在△ABC中，AB＝CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？
2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC ＝∠DCA＝15°，则BD与BA的大小关系是（）
A．BD>BA B．BD<BA C．BD＝BA D．无法确定
3．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？
4．已知：如图，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，•使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN 是等边三角形吗？为什么？
5．已知：如图，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD＝AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？
7．已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．
8．已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，说明CE 与AC+CD相等的理由．。