两点的相对位置
2-2 点、线、面的投影特性
2-2 点、线、面的投影特性一、点的投影1、点的三面投影点是组成物体最基本的几何元素。
如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。
图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。
分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。
图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。
分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图：分别在三投影轴上取x1=5，y1=4，z1=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。
2、两点的相对位置空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。
两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。
X坐标确定两点的左右位置关系。
X坐标值大的点在左；Y坐标确定两点的前后位置关系。
Y坐标值大的点在前；Z坐标确定两点的上下位置关系。
Z坐标值大的点在上。
图2-13 两点的相对位置故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。
3、重影点及其可见性判断若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。
此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。
《机械制图》第二单元教案 课题1-3 理实一体
课题投影法概念一、教学目标1、知识目标：理解投影法的概念及分类，正投影法基本性质2、能力目标：培养学生理解能力、空间想象能力3、情感目标：培养学生严谨认真的态度二、教学重点：投影法的概念及分类三、教学难点：正投影法基本性质四、教学方法：讲授法五、教学课时：1课时六、授课类型：新授七、教学准备：尺规八、教学过程：【组织教学】检查学生出勤，作好学生考勤记录。
【导入新课】本单元属于理论基础部分，是本课程的重点单元，学好本篇的内容关系到整个机械制图课程学习的好坏。
空间想象能力的培养是学好本篇内容的关键所在，同学们在学习本篇内容的时候一定要多思多想，探讨三视图的形成原理，总结出三视图绘图的基本方法，一定要不断培养自己的空间想象能力，将空间分析贯穿于本篇的学习之中，贯穿于整个机械制图课程的学习之中。
【讲授要点】在我们的日常生活中，我们会经常看到影子的存在，比如说：物体的影子，我们的身影。
在制图上我们也用影子（制图上称为投影）来表达一个形体，但是我们有没有注意到影子的形成须具备哪些条件？影子的变化有什么特点呢？(一)、投影的概念1．投影：光线通过物体产生影子的现象。
（举例）2．投影法：就是一组射线通过物体蛇向指定平面上而得到图形的方法。
(二)、投影法的分类1．中心投影法：投射线汇交于一点的投影方法。
（图形展示）特点：投影比实物大，立体感强。
（教师板书）适用：外观图、美术图、照相等。
2．平行投影法：投射线相互平行的投影方法。
（图形展示）（1）斜投影法：在平行投影法中，投射线与投影面倾斜时的投影。
（2）正投影法：在平行投影法中，投射线与投影面垂直时的投影。
（着重举例说明)。
机械图样主要是用正投影法绘制。
(三)、正投影法基本性质1．真实性物体上平行于投影面的平面（P），其投影反映实形；平行于投影面的直线(AB)的投影反映实长。
2．积聚性物体上垂直于投影面的平面（Q），其投影积聚成一条直线；垂直于投影面的直线(CD)的投影积聚成一点。
中职《机械制图》第二章必背知识点
第二章正投影法与三视图第一节投影法的概念投影法：从物体和投影的对应关系中，总结出了用投影原理在平面上表达物体形状的方法。
投影法可分为两大类：中心投影法、平行投影法。
一、中心投影法1、定义：投影线互不平行的投影方法。
2、特点：投影比实物大，立体感强。
3、适用：外观图，美术图，照相等。
二、平行投影法1、定义：投影线互相平行的投影方法。
a、斜投影：平行投影中，投影线与投影面倾斜。
b、正投影：平行投影中，投影线与投影面垂直。
第二节三视图的形成及投影规律物体是有长、宽、高三个尺度的立体。
我们要认识它，就应该从上、下、左、右、前、后各个方面去观察它，才能对其有一个完整的了解。
为了准确地表达物体的形状和大小，我们选取互相垂直的三个投影面。
一、、三投影面体系三面:正立投影面：简称正面用V表示水平投影面：简称水平面用H表示侧立投影面：简称侧面用W表示OX轴：V面与H面的交线。
OY轴：H面与W面的交线。
OZ轴：V面与W面的交线。
OX轴、OY轴、OZ轴的交点为原点（O）。
二、三视图的形成1.三视图主视图：正面投影（由物体的前方向后方投射所得到的视图）俯视图：水平面投影（由物体的上方向下投射所得到的视图）左视图：侧面投影（由物体的左方向右方投射所得到的视图）2.三视图的展开规定正面保持不动，水平面绕OX轴向下旋转900，侧面绕OZ轴向右旋转900。
三、三视图之间的对应关系1、位置关系:主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在左视图的正右方。
2、投影关系：主视图反映物体的长度和高度。
俯视图反映物体的长度和宽度。
左视图反映物体的高度和宽度。
主、俯视图反映了物体的同样长度（等长）。
主、左视图反映了物体的同样高度（等高）。
俯、左视图反映了物体的同样宽度（等宽）。
归纳：主视、俯视长对正．．．（等长）。
主视、左视高平齐．．．（等高）。
俯视、左视宽相等．．．（等宽）。
四、方位关系主视图反映了物体的上下左右方位。
俯视图反映了物体的前后左右方位。
2.6两点的相对位置及重影点
[例题安1徽]建筑已大知学点建A筑的与正规面划与学侧院面投影，求点A的水平投影。 a
安[例徽题建2]筑已大知学点建A在筑点与B规之划前学5毫院米，之上9毫米，之右8毫米，
求点A的投影。
a
a
9
8 a
5
a ●
b ● X
●
a (b)
Z
Z
V a●
A az
a
●
b ●
●
X ax
B
●
●
a
O
W ● b
O
● b YW
a●(b) H
ay Y
YH
A、B为水平投影面的重影点
a
d(c)
b
A
C
D
B
a(b)
cd
A、B为水平投影面的重影点 C、D为正面投影面的重影点
a
b
d(c)
c a(b) d
2.6两点的相对位置及重影点
1两.两点点的的相相对对位位置置指两点在
a● Z
● a
空间的上下、前后、左右
b ●
位置关系。 A点在B点之前、X
判断方法：之右、之上。
b● a●
x坐标大的在左
● b
o
YW
YH
y坐标大的在前
z坐标大的在上
安徽建筑大学建筑与规划学院
比较A、B两点的相对坐标△z△z△x△yO
△x
△y
A点在B点之右
A点在B点之后
A点在B点之上
安徽建筑大学建筑与规划学院
2. 重影点
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
A、C为H 面的重影点
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
点的三面投影规律
为表示点的各投影的对应关系用细线相连接。点的投影连线与投影轴的交点分别记做ax、ay、az。
05
如A—水平投影a，正面投影a'，侧面投影a''。
一、点的三面投影
设第一分角内有一A点，过A点分别向三投影面投射即得A点的三面投影。 将三投影面展开便得到 点的三面投影图点的三面投影图如下图所示。
二、点的三面投影与直角坐标的关系 为了研究问题方便，可将三投影面体系视为一空间直角坐标系。这样就可将H、V、W三投影面视为坐标平面，X、Y、Z三投影轴视为坐标轴，投影原点O视为坐标原点。
三、点的三面投影规律 例1.已知点A（30、15、25）求作A点的三面投影。
1.分别在X、Y、Z轴上量取 A点的坐标30、15和25， 得ax、ayh、ayw和az点
2.过ax、ayh、ayw和az 点作A点投影的连线
3.各连线的交点即为所求
作图步骤：
三、点的三面投影规律 例2: 已知B（40、30、0）作出B点的三面投影。 问题：根据B点的坐标分析B点的位置。 因B点的坐标（40、30、0）中Z坐标为0，故B点位于H面上。
引入坐标系的概念后，就可用坐标说明点的位置。
三个有序的坐标即X、Y、Z可确定惟一一个点的位置 点的坐标表示方法：A（X，Y，Z）例如：A（15，20，8）、B（5，30，25）
二、点的三面投影与直角坐标的关系
二、点的三面投影与直角坐标的关系
点的坐标还表示了点到投影面的距离。
XA=a ayh=a ' az=A 点到W面的距离
作图步骤：
1.按点的投影规律作点的投影连线
2.投影连线的交点即为B点的水平投影
判断方法：
四、两点的相对位置
1
第四章点线面的投影 (1)
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab， 问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点， 则称这两点为对该投影面的重影点。
《机械制图》教案——第二章-2 点线面的投影
点、直线和平面的投影教学目的要求:1.点的投影及作图.2.各种位置直线的投影,及两直线的相对位置.3.直角三角形法求直线的实长和倾角,直角定理.4.各种位置平面的投影,平面上取点取线的作图.教学重点难点:1.各种位置直线的投影.2.各种位置平面的投影.3.平面上取点取线的作图.学时: 3§ 1点的投影1.1点的三面投影本节教学目标：点在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法。
重点：点在两投影面体系及三投影面体系中的投影，两点的相对位置及重影点的投影。
难点：重影点的投影。
引入：点是最基本的几何元素，以此来分析点在空间中的位置关系及规律。
1.1.1三面投影的规律点的三面投影：水平投影 a → H正面投影 a´→ V侧面投影 a″→ W点的三面投影规律：a′a ⊥ oxa′a″⊥ oza aх =a″az1.1.2点的投影与坐标的关系一、三投影面体系中点的投影A a = a′ax = a″ay = 高标（Z标）A a′= a ax = a″az = 纵标（Y标）A a″= a′az = aay = 横标（X标）V、H 投影反映XV、W 投影反映ZH、W 投影反映Y1.点在三投影面体系中的投影空间点 A的位置确定后，那么它的三面投影（ a、a′、 a″）投影就确定了，反之如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。
2.术语及规定习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示。
3.投影性质点的两投影的连线垂直于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离反映空间点到投影面的距离。
二、特殊位置点的投影1.其他分角内的点两投影面体系——四分角；三投影面体系——八分角。
2.其他情况投影面上的点的投影关系；投影轴上的点的投影关系1.2两点的相对位置和重影点1.2.1两点的相对位置根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。
XA<XB B点在A左方 YA>YB B点在A点后方 ZA>ZB B点在A点下方例：比较三棱锥四个顶点S、A、B、C的位置。
《园林制图--点的投影》教案
《点的投影》教案教学过程复习提问（5分钟）1、三视图的三等关系是如何叙述的？2、三投影面体系中各个平面的代号分别是什么？导入新课（2分钟）点、线、面是构成物体形状的基本几何元素。
学习和掌握它们的投影特性和规律，能够透彻理解园林图样所表达的内容。
讲授新课（35分钟）§3-1点的投影一、点在三面投影体系中的投影1．三面投影体系的建立在V、H两面的基础上再增加一个右侧立面，使之与V、H相互垂直，此面以W 表示，称W面。
这样V、H、W互相垂直，组成一个三投影面体系。
V、H面的交线称X轴；V、W面的交线称Z轴；H、W面的交线称Y轴。
X、Y、Z三轴的交点O称为投影原点。
2．点在三面投影体系中的投影设有一空间点A、分别向H、V、W进行投影的a，a′，a″。
a″称为A点的侧面投影。
摊平时，设V面不动，H向下转90°，W面向右后转90°，Y轴随H的以Y H表示，随W的以Y W表示。
省略投影面边界。
3．点在V、H、W中的投影规律(1)、点的正面投影和水平投影均反映空间点的X坐标，所以点的正面投影和水平投影的连线垂直X轴，即a′a⊥X轴；（2、点的正面投影和侧面投影均反映空间点的Z坐标，所以点的正面投影和侧面投影的连线垂直Z轴，即a′a″⊥Z轴；（3）、点的水平投影和侧面投影均反映空间点的Y坐标，所以点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，即aa X=a″a Z。
根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。
XA<XB B点在A左方YA>YB B点在A点后方教学过程设计4．点的投影与直角坐标的关系把三面投影体系看作为空间直角坐标体系，则H、V、W面为坐标面，X、Y、Z 轴为坐标轴，原点O为坐标原点。
如上图，空间点A的三个直角坐标X A、Y A、Z A即为A点到三个坐标面的距离，它们与A点的投影a,a′,a″的关系如下：Aa″=aa y=a x o=a′a z=X A;Aa′=aa x=a Y o=a″a z=Y A;Aa=a′a X=a Z o=a″a Y=Z A。
点的投影
两点间的相对位置关系
一、两点间的相对位置判别
2、通过比较两点的坐标（坐标差）来判断它们的相 通过比较两点的坐标（坐标差） 对位置， 对位置，即：
例3：已知空间点A和空间点B的三面投影， 试判断A、B的#39;上方，即：zA>zB, 故点A在点B的上方； 因a在b前方，即：yA>yB, 故点A在点B的前方； 因a在b左方，即：xA>xB, 故点A在点B的左方； 结果： 结果：点A在点B的左、前、上方。
二、重影点及其投影的可见性 1、 重影点
当空间两点位于某一投影面的同一投射线上 时，它们在该投影面上的投影重合成一个点，此 两点称为对该投影面（对H、V、W面）的重影点。
2、重影点投影可见性判断
判断方法： 判断方法 ： 可见性判断与 投影方向有关，并且要比 较两点不相同的那个坐标， 其中坐标大的可见，坐标 小的不可见，不可见点的 投影加上圆括号。
上 左 左 右 下 右 后 前
两面体系的扩展
实际上投影面是可以扩展的，将H面向后、V面向下延 伸，无限空间便被分成四部分，分别记为：第I、 II、 III 、IV分角，但本门课程主要研究在H面上方、V面前方 的第一分角内的空间问题。
V
国家标准规定： 绘制技术图 样时，应以采用 正投影法为主， 并采用 第一角画法
作图方法二： 作图方法二：
五、点的投影与坐标的关系
例2：已知点A的坐标为(50, 30, 40)， 求其三面投影。
作图方法： 作图方法：
（3）过原点O作∠YHOYW的角平分线 （4）延长ayH与平分线相交，再过交点作垂 直于Ｙw轴的直线 （5）过a′作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交 于a″，即为A的W面投影。
2、投影图：
规定V面固定不动，将H面绕OX轴向下旋转900与V面重 合，同时去掉空间点A，即得到点A的两面投影图。 去掉投影面边框，得到简化投影图。
工程图学基础A教案-2点线面投影
【教学内容与过程设计】教学内容过程设计一、点在一个投影面上的投影图1 图2过空间点A向投影面H 引垂线，得到的垂足a即为空间点A在H面上的正投影，见图1。
在投影线任取一点B，，其在H面上的投影与A的投影重合。
结论：在一定的投影条件下，空间一点有其唯一确定的投影，投影a 有无数个空间与其对应。
二、点在两投影面体系中的投影引入：点在一个投影面上的投影能不能确定点的空间位置？（图2）如何解决？——增加投影面。
1、两投影面体系（图3）在图1的基础上再增加一个投影面，处于正面直立位置且与H面相互垂直，这样就建立两投影面体系。
水平投影面——H面；正面投影面——V面；OX投影轴。
图3 图4 ★黑板上画出空间示意图（由图1逐步演变为图3）。
点对一个投影面的投影（图1）点在两投影面体系中的投影（图3）点在三投影面体系中的投影（图5）2、空间点A在两个投影面上的投影（图3）过空间点A分别向H、V面引垂线，得到的垂足a、a'分别为空间点A在H-V两面投影体系中的投影。
A —空间点；a—点A的水平投影；a'—点A的正面投影；3、投影面的展开（图3）为了方便表达，需要将两个相互垂直的投影面展开到同一平面内。
规定：V面保持不动，H面向下旋转90°，使得H面和V面处于同一平面内，从而得到点的两面投影图。
注意：a、a'、a x三点共线，并且垂直OX轴。
4、点的两面投影规律①a'a⊥OX轴，点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴；②aa x =A a'，a'a x=A a，点的水平投影到X轴距离反映该点到V面距离，点的正面投影到X轴距离反映该点到H面距离。
注意：给了点的水平投影和正面投影就可确定该点的空间位置，同样给了一个空间点就有唯一一组水平投影和正面投影与其对应。
A （a，a'）三、点在三投影面体系中的投影引入：点的两面投影已经能确定该点的空间位置，但为更清楚地表达某些几何体的形状和结构，需采用三面投影图。
画法几何 第三章 平面投影
直线由两个点确定，平面由不在一直线上的三个点确定，
求直线、平面的辅助投影和复辅助投影都可以归结为求点的 辅助投影或复辅助投影。因此应透彻理解求点的辅助投影和 复辅助投影的原理和熟练掌握其作图方法。
a a′⊥ OX。
由于投影面是无限大的，在投 影图中毋须画出其边界线 。
§1-1 点在两投影面体系中的投影
点的两面投影规律 ： (1)两投影的连线垂直于投影轴，即a a′⊥ OX 。 (2)空间点的某一投影到投影轴的距离，等于该点到另 投影面的距离,即 aaX = A a′= yA，a′aX = A a =
在投影图中需要判断并标 明重影的可见性，即标明沿投 射方向“看”去，哪个点的投 影是可见的，哪个点的投影是 被遮挡而不可见的。 重影a、b的可见性是从V 面（或W 面）上的投影判断出 来的：a'高于b'，所以a 可见， b不可见。通常在不可见的投 影标记上加上括号。
§1-3 两点的相对位置和无轴投影图 三、无轴投影图
§1-4 点的辅助投影 根据点的原有投影作出其辅助投影的方法，可以表述 如下：
自辅助投影面所垂直的原投影面 上的投影，向辅助投影轴作垂线，与 辅助投影轴交于一点，自交点起在垂 线上截量一段距离，使等于原有的另 一投影到原有投影轴的距离，即得点 的辅助投影。这个关系习惯上简单说 成是新投影到新轴的距离等于老投影 到老轴的距离。
同名坐标值的代数差Δx、Δy、Δz。
§1-3 两点的相对位置和无轴投影图 一、两点的相对位置
例1-4 已知两点的投影，试判断两点的相对位置。
解： 选定A (a, a′, a″)为 基准点，B 为比较点，则有： Δx为正值，点B 在点A 之左； Δy为负值，点B 在点A 之后； Δz为正值，点B 在点A 之上。
机械制图点、、面的投影
表示。 投影长分别是：
a b = AB cosα
ab = AB cosβ
ab=AB cosγ
回本章 回本讲
一般位置直线投影特性
各投影的长度均小于直线本身的实长。 直线的各投影均不平行于各投影轴。
回本章 回本讲
一般位置直线的实长
直角三角形法
求直线的实长与倾角.swf
第三节 两直线的相对位置 两直线平行
aYH
a0
H
YH
YH
YH
点的三面投影与坐标的关系：AAaa’=’=aa’a’ax=z=aa’’aayy==aaxzOO==XZAA
Aa’=aax=a’’az=ayO=YA
点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴，即a’a⊥OX
点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴，即a’a’’⊥OZ
点的水平投影到X轴的距离等于点的侧面投影到Z轴的距离，
即a’a⊥OX。
回本章 回本讲
例：已知C点的两面投影c’和c’’，求作第三投影c。
作法：
Z
（1）从原点O做YW、YH的45°分角线；
c’
（2）过c’作OX轴垂线c’c；
（3）过c’’作YW轴的垂线与45°分角线相 X
O
交；
（4）过交点作YH轴的垂线与cc’方向的连
线相交即得c。
c
YH
c’’
YW
回本章 回本讲
两直线平行
两直线平行
两直线相交
两直线相交
两直线相交
两直线交叉
第三章 平面的投影
第一节 平面投影的表示方法
不在同一 直线上的 三个点
直线及线 外一点
两相交 直线
两平行 直线
平面 图形
回本讲
工程图学4--点、直线、平面的三视图
1）已知点A的主、俯视图如图4-7a所示，求作点A的左视图；
2）已知直线AB的主、左视图如图4-8a所示，求作AB的俯视图；
3）已知△ABC的俯、左视图如图4-9a所示，求作△ABC的主视图；
工
4）已知正三棱锥的主、俯视图如图4-10a所示，求作正三棱锥的
左视图。
程
图
学
工 程 图 学
工 程 图 学
工
程 图
学
工 程 图 学
1.2 点的三视图规律及其作图方法（图4-3）
工 程 图 学
1.3 两点的相对位置
1.3.1 两点的相对位置（图4-4）
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1.3.2 重影点的概念 1）重影点（图4-5） 2）投影的可见性判断与标记（图4-5） 当两个（或多个）点为重影时，它们中的第三个坐标值较大
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2.6 应用举例
2.6.1 已知直线的两个视图，求作它的第三个视图，并判断和想 象它的空间位置
1）已知直线AB的主、俯视图，如图4-46a所示。求作AB的左 视图并判断和想象它的空间位置；
2）试判断和想象图4-17所示正三棱锥各条棱线的空间位置。
2.6.2 已知直线的三视图及其上一点的一个视图，求作该点的另
两个视图
1）已知直线AB的主、俯视图和其上一点K的主视图如图4-18a
工
所示，求作点K的俯、左视图。
程
图
学
工 程 图 学
工 程 图 学
工 程 图 学
3 平面的三视图
3.1 平面的表示法
3.1.1 用不在同一直线上的三个点表示一个平面（图4-19）
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3.1.2 用平面迹线表示一个平面 1）平面迹线的概念（图4-20） 2）特殊位置平面的迹线（图4-21、4-22）
机械制图机械工业出版社第二版03点、直线、平面的投影
第3章点、直线、平面的投影3.1 点的投影3.2 直线的投影3.3 平面的投影3.4 直线与平面、平面与平面的相对位置3.1 点的投影3.1.1 点在三面体系中的投影3.1.2 特殊位置点的投影3.1.3 两点的相对位置和重影点3.1.1 点在三面体系中的投影1．符号规定空间点：用大写字母投影点：用小写字母a 、b 、c●水平投影a′、b′、c′●正面投影a″、b″、c″等●侧面投影WHV oXa '点A 的正面投影a 点A 的水平投影a "点A 的侧面投影a "●a ●a '●A●ZYWVH三投影面的展开V 面不动，H 面朝下旋转90°，W 面朝右旋转90°。
向右翻向下翻不动a a Za a 'ya ya XY Y O"●●a z●x W(1) 建立三面投影体系V 面：正立投影面H 面：水平投影面W 面：侧立投影面2．点的投影特性a z●a y●a x●WVHa a Za a 'ya ya XY Y O"●●a z●x W（2）点的投影特性①a 'a ⊥OX 轴a 'a "⊥OZ 轴②Aa '=aa x =a "a z =y A （A 到V Aa =a 'a x =a "a y =z A （A 到H 面的距离）Aa "=aa y =a 'a z =x A （A 到W 面的距离）WHV oXa "●a ●a '●A ●ZYa z●a y●a x●x Ay A z A画图注意：投影线为细实线【例3-1 】已知点的两个投影，求第三投影。
a 'aa xa "a 'aa xa za z解法一:通过作45°斜线使a "a z =aa x解法二:用圆规直接量取a "a z =aa xa "a) 解法一b) 解法二XOXO3．点的坐标与投影的关系a) 直观图b) 投影图图3-3 点的坐标与投影关系(1) 空间点可用三个坐标表示，如A点坐标（X A，Y A，Z A）。
两点的相对位置(详细分析：空间)共6张PPT
一、两点的相对位置
a●
Z ●a
两点的相对位置指两点在
b●
● b
空间的上下、前后、左右位置关 X
系。
YW a●
判断方法：
●
b
YH
x 坐标大的在左
y 坐标大的在前
B点在A点之前、
之右、之下。
z 标大的在上
例1：已知点A的两面投影a’及a；又知点B在点A的右方 10mm、上方8mm和在点A的前方6mm,求点B的投影。
二、重影点
A、C为H面的重影点
a ●
●a
两点的某两个坐标相同时， c●
●c
在某一投影面上具有重合的投
影，则这两点称为对该投影面
的重影点。
●
a (c)
被挡住的投 影加( )
又知点B在点A的右方10mm、上方8mm和在点A的前方6mm,求点B的投影。 又知点B在点A的右方10mm、上方8mm和在点A的前方6mm,求点B的投影。 B点在A点之前、之右、之下。 B点在A点之前、之右、之下。 B点在A点之前、之右、之下。 第二节 两点的相对位置 第二节 两点的相对位置 x 坐标大的在左 x 坐标大的在左 例1：已知点A的两面投影a’及a； 又知点B在点A的右方10mm、上方8mm和在点A的前方6mm,求点B的投影。 B点在A点之前、之右、之下。 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 x 坐标大的在左
例2：已知空间点D的坐标(15,10,20),试作其投影图和直观图。
B点在A点之前、之右、之下。 B点在A点之前、之右、之下。 又知点B在点A的右方10mm、上方8mm和在点A的前方6mm,求点B的投影。 两点的某两个坐标相同时，在某一投影面上具有重合的投影，则这两点称为对该投影面的重影点。 x 坐标大的在左 B点在A点之前、之右、之下。 例1：已知点A的两面投影a’及a； x 坐标大的在左 两点的某两个坐标相同时，在某一投影面上具有重合的投影，则这两点称为对该投影面的重影点。 第二节 两点的相对位置 又知点B在点A的右方10mm、上方8mm和在点A的前方6mm,求点B的投影。 x 坐标大的在左 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 例1：已知点A的两面投影a’及a； 例1：已知点A的两面投影a’及a；
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空间两点在某一投影面上 a 的投影重合为一点时，则称此 c● 两点为该投影面的重影点。 注意:
●
●
●
1、重影点在空间并不重合；
2、会利用不重合的投影，判断 重合投影的可见性； 3、被挡住的投影加( )。
a (c )
被挡住的 投影加( )
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
称作：A点在C点的正上方
4、判别可见性：前遮后,左遮右,上遮下
a” （b” ）
X O YW
YH
例10：判断投影图中两点的可见性。
d’ Z
c’ X O YW
（c ） d
YH
§2-2 三投影面体系中点的投影
一、三投影面体系的建立
Z
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ H∩W ---- OY
后 左
上 右 下 前
三、 两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、左右位置关系。
V
后 a'
b左 '
Z A
上
a'' 右 W O
判断方法 左右看X， 大左； 上下看Z， 大上 ； 前后看Y， 大前。 B点在A点的 左、下、前方。
X
B a
下
前'' b
Y
上 下
Hb
左
a'
右 Z
a''
后
b''
前
b' O a
后
X
YW
§2-3 两点的相对位置
a
a
b B
A
b
b
a
两点中x值大的点 —— 在左 两点中y 值大的点 —— 在前 两点中z 值大的点 —— 在上
1、 点的三面投影
a a a
点A的正面投影 点A的水平投影 点A的侧面投影 X
Z V a●
●
A
●
a W
o a●
H
Y
两个点的相对位置，是以一个点为基准， 来判断另一个点在该点的左或右、前或后、 上或下。
a b A B
d(c)
a b C D
d(c)
c a(b) c a(b) d d
A、B为水平投影面的重影点
C、D为正面投影面的重影点
例4: 判断图上重影点的可见性
A、D 对正面的重影点 B、C 对水平面的重影点
A、B 对侧面的重影点
例8：判断投影图中两点的可见性。
Z a’ b’
复习：请大家思考以下问题： ⒈ 三面投影体系由哪些部分组成？ 如何展开在一个平面内？ ⒉ 点A的投影是什么？ V面投影用 ( )字母表示, H面投影用 ( )字母表示, W面投影用( )字母表示。 思考一下！ A.a B.a' C.a" D. A
引入
如果空间有两个点，那么我们怎么判断它们的相 对位置呢？ 什么是相对位置？ 三面投影图有哪些 YH
例1：试判定A、B两点的相对位置。
Z a” b” O YW
A在B点的上方、右方、 后方。
a’
b’
X
a b
YH
Z
a
练习
Z a′ a″ b″ O YW
a
b
A
b′ O
B b
X
b
X
a
Y
b a YH B点在A点之后、 之左、之下。
重影点 及其投影可见性的判断
●
A、C为H面的重影点
a c