数值微积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值计算中的微积分算法
数值计算中的微积分算法在数值计算领域中，微积分算法是非常重要的一部分。
微积分是一个研究函数、极限、连续性、导数和积分等的数学分支。
它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
而在数值计算中，微积分算法的应用更是不可避免。
本文将介绍几种常见的微积分算法及其应用。
一、极限和连续性极限是微积分中最基本的概念之一。
在数值计算中，选择逼近某个固定点的函数值序列来计算极限，是一种常用的求解极限的方法。
例如，要求解 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}$，可以选取一系列 $x$ 的值，让它们逐渐靠近 0，然后计算相应的函数值，最后观察函数值的变化趋势来得到极限的值。
连续性是另一个微积分中重要的概念。
在数值计算中，要保证函数的连续性，可以采用数值微分的方法，例如数值逼近法和差商逼近法。
此外，如果要计算微分方程的解，也必须保证函数的连续性。
在微积分中，连续性和微分方程可以紧密结合，例如欧拉法、龙格-库塔法和梯形法等。
二、导数和积分导数和积分是微积分中最核心的内容之一。
在数值计算中，要计算函数的导数和积分，可以采用微积分的数值逼近方法，例如差商逼近法、辛普森法和梯形法等。
差商逼近法是微积分中一种常用的导数计算方法。
该方法的思路是：将函数的导数近似为两个函数值之比的差。
例如，对函数$f(x)$ 的导数可以表示为：$$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$当 $h$ 很小时，上式可以近似为 $f'(x)$ 的值。
在计算过程中，需要注意使用合适的 $h$ 值，以便得到精度较高的结果。
梯形法和辛普森法是微积分中常用的积分计算方法。
在梯形法中，通过将积分区间划分为若干小块，然后分别计算每一块的积分值，最后将它们相加即可得到总积分的值。
在辛普森法中，则是将积分区间划分为若干个小块，并在每个小块上采用二次多项式来逼近积分函数，最后将所有积分区间上的多项式积分相加得到整个积分区间的积分值。
数值计算方法实验报告
数值计算方法实验报告一、实验介绍本次实验是关于数值计算方法的实验，旨在通过计算机模拟的方法，实现对于数值计算方法的掌握。
本次实验主要涉及到的内容包括数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等。
二、实验内容1. 数值微积分数值微积分是通过计算机模拟的方法，实现对于微积分中的积分运算的近似求解。
本次实验中，我们将会使用梯形公式和辛普森公式对于一定区间上的函数进行积分求解，并比较不同公式的计算误差。
2. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算领域中的重要内容。
本次实验中，我们将会使用高斯消元法、LU分解法等方法对于给定的线性方程组进行求解，并通过比较不同方法的计算效率和精度，进一步了解不同方法的优缺点。
3. 插值与拟合插值与拟合是数值计算中的另一个重要内容。
本次实验中，我们将会使用拉格朗日插值法和牛顿插值法对于给定的数据进行插值求解，并使用最小二乘法对于给定的函数进行拟合求解。
4. 常微分方程的数值解常微分方程的数值解是数值计算中的难点之一。
本次实验中，我们将会使用欧拉法和龙格-库塔法等方法对于给定的常微分方程进行数值解的求解，并比较不同方法的计算精度和效率。
三、实验结果通过本次实验，我们进一步加深了对于数值计算方法的理解和掌握。
在数值微积分方面，我们发现梯形公式和辛普森公式都能够有效地求解积分，但是辛普森公式的计算精度更高。
在线性方程组求解方面，我们发现LU分解法相对于高斯消元法具有更高的计算效率和更好的数值精度。
在插值与拟合方面，我们发现拉格朗日插值法和牛顿插值法都能够有效地进行插值求解，而最小二乘法则可以更好地进行函数拟合求解。
在常微分方程的数值解方面，我们发现欧拉法和龙格-库塔法都能够有效地进行数值解的求解，但是龙格-库塔法的数值精度更高。
四、实验总结本次实验通过对于数值计算方法的模拟实现，进一步加深了我们对于数值计算方法的理解和掌握。
在实验过程中，我们了解了数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等多个方面的内容，在实践中进一步明确了不同方法的特点和优缺点，并可以通过比较不同方法的计算效率和数值精度来选择合适的数值计算方法。
第4节 数值微分
对于
f ( n1) ( ) R1 ( xk ) n 1 ( x k ) ( n 1)!
由 n1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
及
可知
f ( n 1 ) ( x ) M , x [a , b ]
M M n R1 ( xk ) ( x n x0 ) (b a ) n ( n 1)! ( n 1)! 0, ( n )
可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确
f ( xk ) Ln ( xk ),
k 0,1,, n
对于插值型数值微商公式
f ( xk ) Ln ( xk ),
得到一阶中心差商数值微分公式
f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) 2h R1 ( x0 ) O( h2 )
误差为
二阶中心差商数值微分公式为 f ( x0 h) 2 f ( x0 ) f ( x0 h) ( x0 ) f h2 误差为 R2 ( x0 ) O( h2 )
3! dx ( ) 1 2 df (4h 6hf ( )) O( h) 6 dx ( ) 1 2 df R2 ( x1 ) ( h ) O ( h2 ) R2 ( x2 ) O( h) 6 dx
总结一下，两点、三点数值微商公式：
一阶两点微商公式
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) h f ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 ) f h 一阶三点微商公式 1 f ( x0 ) L2 ( x0 ) [3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] 2h
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用数值分析是数学中的一个重要分支，它研究如何通过数值计算方法来求解各种数学问题。
数值分析的基本任务是通过近似方法，利用计算机或其他计算设备来对数学问题进行求解。
它广泛应用于科学计算、工程技术、金融投资、物理模拟等领域，对现代科学技术的发展起到了重要的推动作用。
数值分析主要包括数值逼近、数值微积分、数值代数和数值方程等几个方面。
数值逼近是指用函数逼近方法来接近所求函数值，主要包括插值多项式、最小二乘拟合、傅里叶级数等。
数值逼近可以用来对实际问题进行模拟和预测，比如天气预报、大气污染预测、经济增长预测等。
数值微积分是数值分析中的重要内容，主要包括数值积分和数值解微分方程。
数值积分是通过数值方法来计算函数积分值，可以应用于对函数面积、体积、积分方程求解等问题的求解。
数值解微分方程则是通过数值方法来求解各种微分方程，可以用来模拟各种实际问题，比如天体力学、流体力学、传热传质等。
数值代数是数值分析的另一个重要分支，主要研究线性代数和矩阵计算的数值方法。
线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算、最小二乘问题的求解等都是数值代数的研究内容。
数值代数广泛应用于科学计算、工程计算和金融计算等领域，为实际问题的求解提供了数值计算的手段。
数值方程是数值分析中的另一个重要领域，主要研究非线性方程、微分方程和偏微分方程的数值求解方法。
非线性方程的数值求解是一个非常重要的研究方向，广泛应用于各种实际问题。
微分方程和偏微分方程的数值求解则可以用来模拟各种科学和工程问题，包括天气预报、地震模拟、流体力学模拟等。
数值分析的应用非常广泛，几乎涵盖了所有科学和工程领域。
比如在物理学中，可以用数值方法求解各种物理方程，包括力学方程、热力学方程、电磁学方程等。
在工程学中，可以用数值方法求解各种工程问题，包括结构分析、流体力学、电磁场分布等。
在金融学中，可以用数值方法计算各种金融模型，包括期权定价、风险评估等。
在计算机科学中，可以用数值方法来进行图像处理、数据挖掘等。
数值计算微积分
张建瓴
§13.1 数值积分
一、数值积分方法
在工程教学和应用中，除了进行数据逼近外，还要求逼近 曲线下面的面积，这就是积分问题。
典型的数值积分方法有：用常数(0阶多项式)近似函 数矩形法；用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形 法；用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson 法，以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。
dblquad函数的参数
输入参数inmin，inmax是内变量的下限和上限； outmin、outmax是外变量的下限和上限； tol的含义与命令quad中的情况相同； method是积分方法选项，如“quad”和“quad8”等。 注意： 该命令不适用于内积分区间上、下限为函数的情况。
〖例13-6〗 example13_6.m
quad和quad8的参数
tol是一个二元向量，它的第一个元素用来控制相对误差， 第二个元素用来控制绝对误差，缺省时积分的相对精度为 0.001； trace如果取非零值时，将以动态图形的形式展现积分的 整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值是0； pl和p2是向被积函数传递的参数。 在上面的调用格式中，前三个输入参数是调用时必须的， 而后面的输入参数可缺省。
求积分上下限都为常数的二重积分，被积函数为 y*sin(x)+s*cos(y)，其中x的取值范围是π到2π，y的 取值范围是0到π。 （1）建立名为integrnd的M文件
fimction out=integrnd(x,y) out=y*sin(x)+x*cos(y) （2）用函数dblquad命令来求integrnd的二重积分 result=dblquad('integrnd',pi,2*pi,0,pi)3-2 较好的梯形逼近曲线下的面积示意图 从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了 函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。 如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准 确。例如，在图13-1中，如果我们大致增加一倍数目的梯 形，我们得到如下（如图13-2）所示的更好的近似结果。
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律。
在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而数值微分则是一种通过数值计算来近似求解导数的方法。
本文将介绍一阶导数的五点数值微分公式及外推算法。
一、五点数值微分公式五点数值微分公式是一种通过函数在某一点及其周围四个点的函数值来近似求解导数的方法。
具体公式如下：$f'(x_0) \approx \frac{-25f(x_0)+48f(x_0+h)-36f(x_0+2h)+16f(x_0+3h)-3f(x_0+4h)}{12h}$其中，$h$为步长，$x_0$为求解导数的点。
这个公式的精度比较高，误差为$O(h^4)$，但是计算量比较大，需要计算五个点的函数值。
二、外推算法外推算法是一种通过不断增加步长来提高数值微分精度的方法。
具体步骤如下：1. 用五点数值微分公式计算出$f'(x_0)$的近似值。
2. 将步长缩小一半，再次用五点数值微分公式计算$f'(x_0)$的近似值。
3. 用第一步和第二步的结果计算外推值：$T_1=\frac{2^4f'(x_0,h/2)-f'(x_0,h)}{2^4-1}$其中，$f'(x_0,h/2)$为第二步计算的近似值。
4. 将步长再次缩小一半，用五点数值微分公式计算$f'(x_0)$的近似值。
5. 用第二步和第四步的结果计算外推值：$T_2=\frac{2^4T_1-T_0}{2^4-1}$其中，$T_0$为第一步计算的外推值。
6. 重复以上步骤，直到外推值的误差满足要求。
外推算法的优点是可以通过不断增加步长来提高精度，而且计算量比较小。
但是需要注意的是，步长不能太小，否则会出现截断误差。
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法是一种比较精确的数值微分方法，可以在实际计算中得到广泛应用。
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
数值微分计算方法
数值微分计算方法数值微分是微积分中的一个重要概念，用于近似计算函数的导数。
它在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值求解微分方程、优化问题以及实时数据处理等领域。
数值微分最基本的思想是通过两个离得很近的点，利用函数值的变化情况来估计导数的变化情况。
常见的数值微分方法包括有限差分法和插值法。
有限差分法是一种简单且直接的数值微分方法，常用的有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
前向差分法用于近似计算函数的导数，通过函数在特定点上和该点之后的一点的差值来估计导数的值。
设函数在点x处的导数为f'(x)，则前向差分法的计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h其中，h为一个小常数，表示两个点之间的距离。
后向差分法与前向差分法的思想类似，只是对应的计算公式稍有不同。
后向差分法通过函数在特定点上和该点之前的一点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h中心差分法是一种更加精确的数值微分方法，通过函数在特定点的前后两点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法来说，误差更小，计算结果更稳定。
除了有限差分法，插值法也是一种常用的数值微分方法。
它通过利用已知点的函数值来估计未知点上的函数值，从而近似计算函数的导数。
常见的插值法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法通过构造一个次数为n的多项式来逼近给定的函数，然后求该多项式的导数。
牛顿插值法则是通过利用已知点的函数值来构造一个插值多项式，然后求该多项式的导数。
插值法在实践中广泛应用，能够提供更精确的数值微分结果。
总的来说，数值微分是一种基于离散点求导数的近似计算方法，可以通过有限差分法和插值法来进行计算。
不同的方法在精度和稳定性上有所差异，具体的选择需根据实际情况进行考虑。
数值微分在科学计算和工程应用中具有重要的地位和作用，是了解和掌握的必备技巧之一。
第五章 数值积分与微分1
b−a T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
b−a a+b S( f ) = f (a ) + 4 f ( 2 ) + f (b) 6
b−a C( f ) = [ 7 f (a ) + 32 f (a + h) + 12 f (a + 2h) 90
+32 f (a + 3h) + 7 f (b )]
( f ( x)dx ≈ (b − a)∑Ckn) f (a + kh) = In ( f ) k=0
n
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
a k =0
n
求积公式的代数精度（/*Algebraic Precision */） 求积公式的代数精度（/* 代数精度
Def 1如果求积公式 I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
次的多项式都恒成立 对一切不高于m次的多项式都恒成立， 对一切不高于 次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 次多项式不能精确成立 次多项式不能精确成立， m次代数精度。 次代数精度。 次代数精度
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1− 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1− 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4
数值计算方法第07章数值微分与数值积分
h
2
f '( x) f ( x) f ( x h) f ''( x 2h) h O(h)
h
2
f '( x) f ( x h) f ( x h) 2h
f (3)( x 3h) f (3)( x 3h) h2 O(h2 )
12
心差商公式
sin x2 , cos x2 , sin x , 1 , 1 x3 , ex2 x ln x
17
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达 式相当复杂,计算极不方便.
x x1 x0 x1
f
( x0 )
x x0 x1 x0
f
(
x1
)@
x
h
x1
f
( x0 )
x
x0 h
f ( x1 )
则
L1( x)
1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )]
(7.1)
L1( x0 )
1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )],
L1( x1 )
1 [ h
f
( x0 )
f
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
f
( x1)
(x (x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
f
(x2 )
(x
x1 )( x 2h2
x2 )
f
( x0 )
(x
x0 )( x h2
x2 )
f
(x ( x1 )
x0 )( x 2h2
x1 )
f (x2 )
数值分析中的微积分与矩阵分析
数值分析中的微积分与矩阵分析数值分析是数学中的一门重要学科，主要研究数值计算的方法和技术。
微积分和矩阵分析是数值分析的两个基础，它们在数值计算中扮演着重要的角色。
一、微积分微积分是数学中的一个分支，是研究变化量以及变化率的学科。
微积分的两个基本概念是导数和积分。
在数值计算中，微积分常常用于求函数的导数和积分。
在微积分中，求导数和积分是两个相对应的过程。
求导数的过程可以理解为对于一个函数f(x)求x的一个微小变化量dx，函数值的变化量df可表示为：df=f'(x)dx其中f'(x)是f(x)的导数。
求导数的过程在数值计算中的应用很广泛，比如在求解微分方程问题时，需要用到函数的导数。
另一方面，积分的过程可以理解为将一个曲线下的面积分成无数个微小的矩形，然后将各个小矩形的面积加起来，就可以得到整个曲线下的面积。
在数值计算中，积分常用于求解一些重要的物理和工程问题。
二、矩阵分析矩阵分析是数学中的一个分支，是研究矩阵性质和性质变换的学科。
在数值计算中，矩阵分析的应用也非常广泛，比如在线性代数中，矩阵乘法是基本的运算之一。
矩阵乘法是指将一个m行n列的矩阵A乘以一个n行k列的矩阵B，得到一个m行k列的矩阵C。
在实际应用中，矩阵乘法广泛应用于矩阵计算、工程计算和物理计算等领域。
除了矩阵乘法之外，矩阵分析还包括矩阵的特征值和特征向量、矩阵的逆和行列式、线性方程组和向量空间等概念。
三、微积分与矩阵分析在数值计算中的应用微积分和矩阵分析在数值计算中的应用非常广泛。
在数值计算中，微积分和矩阵分析往往被用来解决很多实际问题。
比如在求解微分方程问题时，需要用到函数的导数。
此时，可以通过微积分中的求导数方法求出函数导数，并用微分方程的数值方法来计算函数在各个点上的值。
另一方面，矩阵分析在工程计算中有着广泛应用。
比如在控制系统设计中，需要用到矩阵分析来计算系统的反馈和稳定性。
此时，可以通过矩阵分析中的特征值和特征向量来计算系统的特征和稳定性。
数值分析公式大全
数值分析公式大全数值分析（Numerical Analysis）是数学的一个分支，主要研究数学问题的计算方法和数值计算的理论基础。
数值分析具有广泛的应用领域，包括物理学、工程学、经济学、计算机科学等。
在数值分析中，有许多重要的公式和方法，下面是一些常用的数值分析公式：1.插值公式插值公式是通过已知函数在给定数据点上的取值来求出未知函数在其他数据点上的近似值的方法。
常见的插值公式包括拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值等。
2.数值微积分公式数值微积分公式主要用于计算函数的导数和积分的近似值。
常见的数值微积分公式包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
3.线性方程组解法线性方程组解法是求解形如Ax=b的线性方程组的方法，其中A是一个已知的矩阵，b是一个已知的向量。
常见的线性方程组解法包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
4.非线性方程求根非线性方程求根是求解形如f(x)=0的非线性方程的方法，其中f(x)是一个已知的函数。
常见的非线性方程求根方法包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。
5.数值积分公式数值积分公式主要用于计算函数在给定区间上的积分近似值。
常见的数值积分公式包括梯形公式、辛普森公式、高斯积分公式等。
6.数值微分公式数值微分公式用于计算函数的导数的近似值。
常见的数值微分公式包括中心差分公式、前向差分公式、后向差分公式等。
7.数值优化方法数值优化方法主要用于求解最优化问题，即求解函数的最大值或最小值。
常见的数值优化方法包括牛顿法、梯度下降法、拟牛顿法等。
8.常微分方程数值解法常微分方程数值解法用于求解形如dy/dx=f(x,y)的常微分方程的数值解。
常见的常微分方程数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔方法等。
9.偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法用于求解形如u_t=f(u,x,y)+Φ(u,x,y)的偏微分方程的数值解。
常见的偏微分方程数值解法包括有限差分法、有限元法等。
上述公式和方法只是数值分析中的一部分，不同问题需要选择适合的公式和方法进行求解。
微积分的数值计算方法数值微分
将节点处的增长率作 三次样条插值
年份 增长率 1900 0.0283 1901 0.0255 1902 0.0230 1935 0.0082 1936 0.0081 1937 0.0083 1953 0.0172 1954 0.0172 1979 0.0100 1980 0.0100 1981 0.0109 1989 0.0111 1990 0.0113
f ( x 0 ) 21h(3f04f1f2) f ( x n ) 21h(fn24fn13fn)
--------(11)
称(11)式为分段三点公式
实际中下面的公式很有用
f
(
xk
xk1 2
)
1( h
f k 1
fk
)
例: 回到实例(美国人口)
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
E 2(x0)f(3 3 )!()(x0x1)x (0x2)
ห้องสมุดไป่ตู้h2 3
f (3)( )
E 2(x1)f(3 3 )!()(x1x0)x (1x2)
h2 6
f (3)()
E 2(x2)f(3 3 )!()(x2x0)x (2x1)
h2 3
f (3)( )
f ( x0 )
21h(3f04f1f2)
1( h
f1
f0 )
h f (2)( )
数值微积分第二讲(复化及龙格贝塔积分)
3 3
n2 >
10 0 .5 × = 394520 7.92101 4 n > 629
这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多
例3
使用复化辛普森公式和 复化梯形公式
计算积分 I =
解
∫
1
0
sin x dx x
η ∈ [a , b ]
f ( x) ∈C [a, b]时, 可以证明
2
limTn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
事实上
h n 1 Tn = ∑ [ f ( x k ) + f ( x k +1 )] 2 k =0
1 b a n 1 ba n = ∑ f ( x k ) + n ∑ f ( x k ) . 2 n k =0 k =1
这说明使用复化梯形公式比复化辛普森公式误差大得多
第四章
第三节
龙贝格（Romberg）求积公 （Romberg） 式
龙贝格算法： 龙贝格算法：
在求积公式的推倒中 , 如果采用序列 { hn }
h0 = b a ; h0 h1 = ; 2 h0 h2 h1 h3 = = = ;....... 2 4 8
n 1 n 1 h = [ f (a ) + 4∑ f ( x k +1 2 ) + 2∑ f ( x k ) + f (b )] 6 k =0 k =1
复化辛普森公式
f ( x) ∈C[a, b]时, 可以证明
lim Sn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
数值微分公式
数值微分公式数值微分公式是数值分析的一个重要分支，用于近似计算函数的导数和高阶导数。
数值微分法是许多科学和工程问题中的基本问题，解决这些问题需要计算导数。
但是，实际上，很少有函数的导数可以直接计算。
因此，必须使用数值微分公式。
本文将介绍数值微分公式的原理、分类和具体的计算方法。
一、数值微分公式的原理数值微分公式是由函数在某点附近的微分法则推导出来的近似式。
在微积分中，导数的定义是函数f在点x处的极限，即： $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$在实际应用中，相对于h的微小量可以忽略不计。
因此，可以将$h$写成$x$的一个小量$\Delta x$，即：$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$数值微分公式的目的是近似原函数在给定点处的导数。
根据微积分的定义，可以得出导函数在给定点处的某个近似值。
换句话说，通过在某个小范围内对函数进行采样，可以得到导数的近似值。
二、数值微分公式的分类根据计算导数的方法的复杂性和准确性，可以将数值微分公式分为三类：前向差分、后向差分和中心差分。
1. 前向差分前向差分是计算函数在$x$点处$f'(x)$的近似值的一种方式。
前向差分的定义式为：$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，$h>0$是一个小的参数，表示采样区间的长度。
这个公式可以被解释为在$x$处的切线的斜率，它利用了函数在$x$处的切线来逼近导数的值。
显然，$h$越小，这个近似值会更精确。
但与此同时，数值误差也会增加，因为数值计算的精度在计算越小的$h$时会下降。
2. 后向差分后向差分是计算函数在$x$点处$f'(x)$的近似值的另一种方式。
后向差分的计算公式为：$f'(x) \approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$与前向差分的计算公式相比，后向差分的参数$h$的符号相反。
数值计算方法实验报告
数值计算方法实验报告一、实验目的本实验旨在通过数值计算方法的实验操作，深入理解数值计算方法的原理与应用，掌握数值计算方法的相关技能，提高数值计算方法的实际应用能力。
二、实验内容1.数值微积分2.数值代数3.数值微分方程4.数值线性代数5.数值优化6.数值统计分析7.数值随机模拟8.数值傅立叶分析9.数值偏微分方程三、实验步骤1.数值微积分：通过不同的数值积分方法，计算给定函数的定积分值，并对不同数值积分方法的误差进行分析。
2.数值代数：通过使用线性代数方法，求解给定的线性方程组，并分析不同线性方程组求解方法的优劣。
3.数值微分方程：通过使用常微分方程数值解法，求解给定的微分方程，并比较不同求解方法的精度和稳定性。
4.数值线性代数：通过使用特征值分解方法，对给定的矩阵进行特征值分解，并分析不同特征值分解方法的优缺点。
5.数值优化：通过使用不同的优化方法，求解给定的优化问题，并比较不同的优化方法的效率和精度。
6.数值统计分析：通过使用不同的统计分析方法，对给定的数据进行统计分析，并分析不同的统计方法的优缺点。
7.数值随机模拟：通过使用随机模拟方法，模拟给定的概率分布，并分析不同随机模拟方法的效率和精度。
8.数值傅立叶分析：通过使用傅立叶分析方法，对给定的信号进行频谱分析，并分析不同的傅立叶分析方法的优缺点。
9.数值偏微分方程：通过使用偏微分方程数值解法，求解给定的偏微分方程，并比较不同求解方法的精度和稳定性。
四、实验结果与分析本实验中，通过对不同的数值计算方法的实验操作，我们可以更深入地理解数值计算方法的原理与应用，并掌握数值计算方法的相关技能，提高数值计算方法的实际应用能力。
同时，通过实验结果的分析，我们可以更好地比较不同数值计算方法的优缺点，为实际应用提供参考依据。
五、实验总结本实验旨在通过数值计算方法的实验操作，深入理解数值计算方法的原理与应用，掌握数值计算方法的相关技能，提高数值计算方法的实际应用能力。
数值方法在微积分中的应用论文素材
数值方法在微积分中的应用论文素材数值方法在微积分中的应用1. 引言微积分是数学的一个重要分支，研究物体的变化和积累。
数值方法是一种通过近似计算数学问题的方法，广泛应用于微积分中。
本文将讨论数值方法在微积分中的应用，并提供相关的论文素材。
2. 数值积分数值积分是微积分中重要的一部分，用于计算曲线下的面积或者函数的定积分。
其中常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
以下是一些相关的论文素材：- 矩形法在数值积分中的应用研究：该论文通过对矩形法的改进，提出了一种更加精确的数值积分方法，能够有效应用于各种函数的积分计算。
- 辛普森法与复化积分的比较研究：该论文通过对辛普森法和复化积分方法进行对比研究，分析了它们在数值积分中的优劣，并给出了相应的应用场景。
3. 数值微分数值微分是微积分另一个重要的应用领域，用于计算函数在某一点处的导数值。
常用的数值微分方法包括中心差分法、向前差分法、向后差分法等。
以下是一些相关的论文素材：- 数值微分方法的误差分析：该论文通过对常用的数值微分方法进行误差分析，讨论了它们的稳定性和收敛速度，并给出了相应的数值实验结果。
- 中心差分法在物理模拟中的应用研究：该论文以物理模拟为背景，探讨了中心差分法在计算速度和加速度等物理量时的应用，通过实验验证了该方法的准确性和可靠性。
4. 数值方程求解数值方程求解是微积分中重要的一个方面，用于寻找方程的根或者解析解不存在的情况。
常用的数值方程求解方法包括二分法、牛顿迭代法、弦截法等。
以下是一些相关的论文素材：- 数值迭代法的收敛性研究：该论文通过对不同数值迭代法的收敛速度进行研究，比较了它们的优缺点，并给出了在不同场景中的应用建议。
- 牛顿迭代法在金融计算中的应用：该论文以金融计算为背景，探讨了牛顿迭代法在计算利率、股票价格等金融问题中的应用，并通过实践案例验证了该方法的有效性。
5. 结论数值方法在微积分中具有广泛的应用，能够帮助解决各种复杂的数学问题。
c++ 微积分
在C++中实现微积分运算通常涉及到数值方法，因为解析解往往只对特定类型的函数存在。
以下是几种在C++中实现微积分的基本方法：1. 数值微分（Derivatives）：数值微分是通过函数在某点附近的值来估计导数。
最简单的方法是使用前向差分、后向差分或中心差分公式。
中心差分公式：```cppdouble derivative(double (*f)(double), double x, double h = 1e-5) {return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);}```2. 数值积分（Integrals）：数值积分是通过数值方法来估计一个函数的积分。
常见的数值积分方法包括梯形规则和辛普森规则。
梯形规则：```cppdouble trapezoidalRule(double (*f)(double), double a, double b, int n) {double h = (b - a) / n;double sum = 0.5 * (f(a) + f(b));for (int i = 1; i < n; ++i) {sum += f(a + i * h);}return sum * h;}```辛普森规则：```cppdouble simpsonRule(double (*f)(double), double a, double b, int n) { if (n % 2 != 0) n++; // n 必须为偶数double h = (b - a) / n;double sum = f(a) + f(b);for (int i = 1; i < n; i += 2) {sum += 4 * f(a + i * h);}for (int i = 2; i < n - 1; i += 2) {sum += 2 * f(a + i * h);}return sum * h / 3;}```请注意，这些方法都有一个参数 `h` 或 `n`，这是用来控制数值方法的精度的。
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f(x ) dx a
b
F(b ) F(a )
max( xi y j )0
lim 2
2
f(i ,j )xi y j i j
主要内容
数值积分的常见算法
矩形法 梯形法 抛物线法
Matlab 求积分函数
数值积分函数：trapz、quad、dblquad
18
抛物线法
设过以上三点的抛物线方程为： y = x2 + x + = p1(x)
则在区间 [x0, x2] 上，有
x2 x0
f ( x )dx p1 ( x )dx x ( x 2 x )dx
x2
0
x2
x0
x x 2 3 3 2 x ( x2 x0 ) ( x2 x0 ) ( x 2 x0 ) 3 2 3 2 x0 x2 x0 2 2 ( x x ) ( x 0 0 2 x2 ) 6 ( x2 x0 ) 2 2( x2 x0 ) 4
Taylor公式:当f(x)在含有x0某个开区间内 具有直到n+1阶的导数，
f(x ) f(x 0 ) f '(x 0 )(x x 0 ) f " (x 0 )
2 (x x 0 )2
( n 1) f (n )(x 0 ) f ( ) n (x x 0 ) ( x 0 )n 1 n! (n 1)!
3 2
x2
x2 x0 ba (y0 4y1 y2 ) (y0 4 y1 y2 ) 6 6n
19
抛物线法
同理可得：
x4 x2
ba f ( x )dx ( y2 4 y3 y4 ) 6n ba f ( x )dx ( y2 n 2 4 y2 n1 y2 n ) 6n
左点法
右点法
中点法
10
矩形法
x1 x0
步长
xi x i 1 xi
b
a
f ( x )dx f ( i )xi
i 1
n
x2 x1 x2
xn
xn1
xn
节点
b a x a ih, i 1, 2, xi h i n
n n
n
b
a
b
f ( x )dx f ( xi -1 )xi h f ( xi 1 )
抛物线法公式 或
辛卜生 (Simpson) 公式
fuluC.m
21
抛物线法
例：用抛物线法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差
dx I 0 1 x2
1
解： a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) 1 dx ba [ y0 y2 n 4( y1 y3 y2 n1 ) ==> 0 2 1 x 6n 2( y2 y4 y2n2 )]
'
0x x 0 y y0
4 . 积分 函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为
f(x ) dx a
b
max( x i )0
lim
f(i )x i i
1
n
其中 a=x0<x1<…<xn=b, xi=xi-xi-1, i(xi-1,xi), i=1,2,…,n 若在[a,b]上, F’(x)=f(x), 则 二重积分定义为
不同的算法有不同的计算精度
有没有更好的近似计算定积分的方法 ?
13
定积分几何意义
y
f ( x)
S1 S2
S )dx a f ( x
Si
b
Sn
S f ( x )dx Si
b a i 1
n
o a
xi 1 xi
b
x
14
梯形法
曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似
1
0.78539399673078
yn yn1 2
相对误差： 0.78539399673078 / 4 5.305 10-6 /4
17
抛物线法
2n 等分区间 [a,b] ，得
ba h1 , xi ih1 , i 0,1, 2n , 2n
yi 1 yi Si xi yi f ( xi ), i 1, 2, 2
整个曲边梯形的面积：
,n
S f ( x )dx
b
Si
i 1 n
a n
Si
i 1
yi 1 yi xi 2
15
梯形法
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令： b a x1 x2 xn h n 则 S
16
梯形法举例
例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差
dx I 0 1 x2
1
解： a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 )
==> h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi)
y dx 0 ==> h y1 0 1 x 2 2
i
9
矩形法
定积分的近似：
b
a
f ( x )dx f ( i )xi
i 1
n
n 充分大，x 充分小
通常我们取
x1 x2
xn
ba h n
点 i [ xi 1 , xi ] 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 xi 1 , 右端点 xi 和中点 ( xi 1 xi ) / 2 。
2
预备知识：微积分 1.极限和连续 数列极限: >0, N>0 ，使当n>N时 有xn -a<，则 lim xn a n 函数极限: 如果当xx0时有f(x) A， lim f(x ) A 则 x x 连续: 如果当xx0时，有f(x) f(x0) 则称 f(x)在x0连续。 闭区间上连续函数必有最大值和最小值。
(i = 0, 1, 2, ..., 100)
12
矩形法举例
相对误差分析
1
dx arctan x 理论值：0 2 1 x
左点法相对误差：
1 0
π 4
0.78789399673078 / 4 0.003178 /4 0.78289399673078 / 4 右点法相对误差： 0.003188 /4 中点法相对误差： 0.78540024673078 / 4 2.653 10-6 /4
n
n
a
b
a
y f ( x )dx h 0 y1 2
矩形法举例
例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )，
并比较这三种方法的相对误差。
dx I 0 1 x2
1
解：a=0, b=1, n=100
1 nLeabharlann h =1/n=0.01, xi = i*h,
dx h f ( xi 1 ) 0.78789399673078 左点法： 0 2 1 x i 1 n 1 dx h f ( xi ) 0.78289399673078 右点法：0 2 1 x i 1 n 1 dx xi 1 xi 中点法： f( ) 0.78540024673078 0 1 x 2 h 2 i 1
0.78539816339745
相对误差：0.78539816339745 / 4
/4
2.827 10
-16
22
Matlab 函数
数值积分的常见算法
矩形法 梯形法 抛物线法
Matlab 求积分函数
数值积分函数：trapz、quad、dblquad
符号积分函数：int
y y 0
若 A=f(x0,y0), 称f(x,y)在(x0,y0) 点连续 f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数分别定义为
f(x 0 x ,y 0 ) f(x 0 ,y 0 ) fx(x 0 ,y 0 ) lim x 0 x f(x 0 ,y 0 y ) f(x 0 ,y 0 ) ' fy(x 0 ,y 0 ) lim y 0 y
n x2 i x2 i 2
x2 n x2 n 2
相加即得：
b
a
f ( x )dx
i 1 n
f ( x )dx
ba ( y2 i 2 4 y2 i 1 y2 i ) i 1 6 n
20
抛物线法
整理后可得：
b a
ba f ( x )dx [ y0 y2 n 4( y1 y3 y2 n1 ) 6n 2( y2 y4 y2 n 2 )]
0
2. 微分与导数 函数f(x)在点x = x0的导数为
f(x 0 h ) f(x 0 ) f '(x 0 ) lim h 0 h
若f(x)在x0可导则在x0可微，dy = Adx 当f’(x0)>0,函数在x0点附近是上升的； 当f’(x0)<0,函数在x0点附近是下降的； 当f’(x0)=0, x0为驻点, 若x0为驻点且f”(x0)<0(或f”(x0)>0)，则 f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小）
符号积分函数：int
8
矩形法
矩形法