数值微积分

18
抛物线法
设过以上三点的抛物线方程为： y = x2 + x + = p1(x)
则在区间 [x0, x2] 上，有

x2 x0
f ( x )dx p1 ( x )dx x ( x 2 x )dx
x2
0
x2
x0
x x 2 3 3 2 x ( x2 x0 ) ( x2 x0 ) ( x 2 x0 ) 3 2 3 2 x0 x2 x0 2 2 ( x x ) ( x 0 0 2 x2 ) 6 ( x2 x0 ) 2 2( x2 x0 ) 4
2
预备知识：微积分 1.极限和连续 数列极限: >0, N>0 ，使当n>N时 有xn -a<，则 lim xn a n 函数极限: 如果当xx0时有f(x) A， lim f(x ) A 则 x x 连续: 如果当xx0时，有f(x) f(x0) 则称 f(x)在x0连续。 闭区间上连续函数必有最大值和最小值。
yi 1 yi Si xi yi f ( xi ), i 1, 2, 2
整个曲边梯形的面积：
,n
S f ( x )dx
b
Si
i 1 n
a n
Si

i 1
yi 1 yi xi 2
15
梯形法
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令： b a x1 x2 xn h n 则 S
(i = 0, 1, 2, ..., 100)
12
矩形法举例
相对误差分析
1
dx arctan x 理论值：0 2 1 x
左点法相对误差：
1 0
π 4
0.78789399673078 / 4 0.003178 /4 0.78289399673078 / 4 右点法相对误差： 0.003188 /4 中点法相对误差： 0.78540024673078 / 4 2.653 10-6 /4
计算每个节点上的函数值：
yi f ( xi ), i 0,1,
, 2n
在区间 [x0, x2] 上，用过以下三点
P0 ( x0 , y0 ), P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )
的抛物线来近似原函数 f (x) 。 用抛物线代替该直线， 计算精度是否会更好？
0.78539816339745
相对误差：0.78539816339745 / 4
/4
2.827 10
-16
22
Matlab 函数
数值积分的常见算法
矩形法 梯形法 抛物线法
Matlab 求积分函数
数值积分函数：trapz、quad、dblquad
符号积分函数：int

b a
b
a
n yi 1 yi yi 1 yi f ( x )dx Si xi h 2 2 i 1 i 1 i 1 n n
==>

y0 f ( x )dx h y1 2
梯形公式
yn yn1 2
fuluB.m
梯形公式与中点公式有什么区别 ?
当n=0 得，微分中值定理 f(x) - f(x0) = f’() (x- x0) 其中是x0与x之间某个值
3.多元函数微分学
设f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义，当(x,y) 以任何方式趋向于(x0,y0)时，f(x,y)趋向于一 f(x ,f y( )x , A lim y) A 个确定的常数A，则 xlim x
23
总结
矩形法

b
a
f ( x )dx f ( xi -1 )xi h f ( xi 1 )
i 1 i 1
n
n

梯形法
b
a b
f ( x )dx f ( xi )xi h f ( xi )
i 1 n i 1 n xi 1 xi xi 1 xi f ( x )dx f ( )xi h f ( ) 2 2 i 1 i 1
i 1
n
左点法 右点法 中点法
fuluA.m 11
i 1


a
b
f ( x )dx f ( xi )xi h f ( xi )
i 1
n
n
i 1
a
n xi 1 xi xi 1 xi f ( x )dx f ( )xi h f ( ) 2 2 i 1 i 1
y y 0
若 A=f(x0,y0), 称f(x,y)在(x0,y0) 点连续 f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数分别定义为
f(x 0 x ,y 0 ) f(x 0 ,y 0 ) fx(x 0 ,y 0 ) lim x 0 x f(x 0 ,y 0 y ) f(x 0 ,y 0 ) ' fy(x 0 ,y 0 ) lim y 0 y
抛物线法公式 或
辛卜生 (Simpson) 公式
fuluC.m
21
抛物线法
例：用抛物线法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差
dx I 0 1 x2
1
解： a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) 1 dx ba [ y0 y2 n 4( y1 y3 y2 n1 ) ==> 0 2 1 x 6n 2( y2 y4 y2n2 )]
Taylor公式:当f(x)在含有x0某个开区间内 具有直到n+1阶的导数，
f(x ) f(x 0 ) f '(x 0 )(x x 0 ) f " (x 0 )
2 (x x 0 )2
( n 1) f (n )(x 0 ) f ( ) n (x x 0ห้องสมุดไป่ตู้) ( x 0 )n 1 n! (n 1)!
3 2
x2
x2 x0 ba (y0 4y1 y2 ) (y0 4 y1 y2 ) 6 6n
19
抛物线法
同理可得：

x4 x2
ba f ( x )dx ( y2 4 y3 y4 ) 6n ba f ( x )dx ( y2 n 2 4 y2 n1 y2 n ) 6n
f(x ,y ) dxdy G

f(x ) dx a
b
F(b ) F(a )
max( xi y j )0
lim 2
2
f(i ,j )xi y j i j
主要内容
数值积分的常见算法
矩形法 梯形法 抛物线法
Matlab 求积分函数
数值积分函数：trapz、quad、dblquad
MATLAB数学建模与仿真
数值微积分
定积分的近似计算
问题背景和实验目的
定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相 关函数。
n
n
a


b
a
y f ( x )dx h 0 y1 2
符号积分函数：int
8
矩形法
矩形法

x0
b a
f ( x )dx nlim
x2 x1 x2
x 0 i 1
f ( )x ,
i i
n
i [ xi 1 , xi ]
xn
x1
xi x i 1 xi
xn1
xn
xi xi xi 1
x max xi
n x2 i x2 i 2
x2 n x2 n 2
相加即得：

b
a
f ( x )dx
i 1 n
f ( x )dx
ba ( y2 i 2 4 y2 i 1 y2 i ) i 1 6 n
20
抛物线法
整理后可得：
b a

ba f ( x )dx [ y0 y2 n 4( y1 y3 y2 n1 ) 6n 2( y2 y4 y2 n 2 )]
不同的算法有不同的计算精度
有没有更好的近似计算定积分的方法 ?
13
定积分几何意义
y
f ( x)
S1 S2
S )dx a f ( x
Si
b
Sn
S f ( x )dx Si
b a i 1
n
o a
xi 1 xi
b
x
14
梯形法
曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似
'
0x x 0 y y0
4 . 积分 函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为
f(x ) dx a
b

max( x i )0
lim
f(i )x i i
1
n
其中 a=x0<x1<…<xn=b, xi=xi-xi-1, i(xi-1,xi), i=1,2,…,n 若在[a,b]上, F’(x)=f(x), 则 二重积分定义为
16
梯形法举例
例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差
dx I 0 1 x2
1
解： a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 )
==> h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi)
y dx 0 ==> h y1 0 1 x 2 2
矩形法举例
例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )，
并比较这三种方法的相对误差。
dx I 0 1 x2
1
解：a=0, b=1, n=100
1 n
h =1/n=0.01, xi = i*h,
dx h f ( xi 1 ) 0.78789399673078 左点法： 0 2 1 x i 1 n 1 dx h f ( xi ) 0.78289399673078 右点法：0 2 1 x i 1 n 1 dx xi 1 xi 中点法： f( ) 0.78540024673078 0 1 x 2 h 2 i 1
1
0.78539399673078
yn yn1 2
相对误差： 0.78539399673078 / 4 5.305 10-6 /4
17
抛物线法
2n 等分区间 [a,b] ，得
ba h1 , xi ih1 , i 0,1, 2n , 2n

0
2. 微分与导数 函数f(x)在点x = x0的导数为
f(x 0 h ) f(x 0 ) f '(x 0 ) lim h 0 h
若f(x)在x0可导则在x0可微，dy = Adx 当f’(x0)>0,函数在x0点附近是上升的； 当f’(x0)<0,函数在x0点附近是下降的； 当f’(x0)=0, x0为驻点, 若x0为驻点且f”(x0)<0(或f”(x0)>0)，则 f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小）
左点法
右点法
中点法
10
矩形法
x1 x0
步长

xi x i 1 xi
b
a
f ( x )dx f ( i )xi
i 1
n
x2 x1 x2
xn
xn1
xn
节点
b a x a ih, i 1, 2, xi h i n
n n
n

b
a
b
f ( x )dx f ( xi -1 )xi h f ( xi 1 )
i
9
矩形法
定积分的近似：
b

a
f ( x )dx f ( i )xi
i 1
n
n 充分大，x 充分小
通常我们取
x1 x2
xn
ba h n
点 i [ xi 1 , xi ] 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 xi 1 , 右端点 xi 和中点 ( xi 1 xi ) / 2 。