2020年七年级数学上册 3.1.2 等式的性质导学案(新版)新人教版-2.doc
新人教版初中数学七年级上册《3.1.2等式的性质》公开课导学案_2
等式的性质2：等式两边同乘以或除以一个不为0的数，结果仍相等。
用式子表示为：如果a=b，那么ac=bc；
如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c
【课堂学习】：
1、知识应用：
用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形（改变式子的形状）的。
①、如果2x = 5 - 3x，那么2x +（）= 5
②、如果0.2x = 10，那么x =（）
2、利用等式的性质解下列方程：
(1) (2) （3）
例x+7=26
解：方程两边同时_减7___，得___x+7-7=26-7___，
所以：___x=19_______________
反思学习：这道题你应用了_____等式性质1___来解决的。
3、牛刀小试
【拓展延伸】：你会检验方程的解吗？
【课堂小结】
等式的两边加(或减)同一个数或同一个式子，结果仍相等。
利用等式性质解方程。
学会验解。
【教师小结、反思】
【作业】
中学校初二数学
学科
课题
等式的性质
课型
新授
学习目标
1、会探索等式的两条基本性质
2、会利用等式的基本性质来解方程。
学习重点
等式的两条性质。
学习难点
用等式的性质解方程。
导ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学
过
程
【预习检测】：
1、什么是方程，什么是一元一次方程，什么是方程的解
2、等式的性质有：
等式的性质1：等式的两边加(或减)同一个数或同一个式子，结果仍相等。
3.1.2等式的性质(导学案)七年级数学上册(人教版)
3.1.2 等式的性质导学案1. 理解并掌握等式的性质.2. 能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.★知识点1：对等式两个性质得理解和把握理解等式性质是对等式进行变形的重要理论依据，应用时需要把握两点：①等式两边变形做到两个“同”，即同加、同减、同乘或同除以，这是第一个“同”，另一个是同一个数（或式子）；②等式性质2中，当两边除以某一个数时，次数不能为0，这一点容易忽略，需特别注意．★知识点2：依据等式性质解简单的方程要使方程逐渐化为“a=b”的形式，关键是判断，需使方程两边做怎样的变形，弄清这种变化依据的是等式的哪一个性质.1. 等式的性质1：；用式子表示： .2. 等式的性质2：；用式子表示： .问题1：回答下列问题：（1）什么是方程？（2）指出下列式子中，哪些是方程，哪些不是，并说明理由；①3+x=5；②3x+2y=7；③2+3=3+2；④a+b=b+a（a、b已知）；⑤5x+7= x–5.（3）上面的式子有哪些共同特点？问题2：用估算的方法可以求出简单的一元一次方程的解．你能用估算的方法求出下列方程的解吗？（1）3x－5=22；（2）－yy+1.问题3：方程是含有未知数的等式，那什么叫做等式呢？用等号表示相等关系的式子，叫做等式．可以用a = b 来表示一般的等式．问题4：探究、归纳等式的性质1（借助图1）.图1追问1：等式具有与上面的事实同样的性质．你能用文字叙述等式的这个性质吗？追问2：等式一般可以用a =b 来表示，等式的性质1怎样用式子的形式来表示呢？问题5：探究、归纳等式的性质2（借助图2）.图 21. 思考回答下列问题：（1）怎样从等式 x －5= y －5 得到等式 x = y ？（2）怎样从等式 3+x =1 得到等式 x =－2？ （3）怎样从等式 4x =12 得到等式 x =3？（4）怎样从等式100100a b =得到等式a =b ？ 2. 已知x =y ，则下列各式中，正确的有（ ）. ①x －3=y －3； ②3x =3y ； ③－2x =－2y ； ④1y x =. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 已知mx =my ，下列结论错误的是 （ ）A. x =yB. a +mx =a +myC. mx －y =my －yD. amx =amy例：利用等式的性质解下列方程：（1）x +7=26；（2）－5x =20；（3）1543x --=.问题6：怎样检验方程的解？问题7：用等式的性质对这个等式3a +b －2=7a +b －2进行变形，其过程如下：两边加2，得3a +b =7a +b ．两边减b ，得 3a =7a ．两边除以a ，得3=7．请同学们检查变形过程，找出错误来．1. 下列说法正确的是（）A. 等式都是方程B. 方程都是等式C. 不是方程的就不是等式D. 未知数的值就是方程的解2. 下列各式变形正确的是（）A. 由3x－1= 2x+1得3x－2x =1+1B. 由5+1= 6得5= 6+1C. 由2(x+1) = 2y+1得x +1= y +1D. 由2a + 3b = c－6 得2a = c－18b3. 下列变形，正确的是（）A. 若ac = bc，则a = bB. 若a bc c=，则a = bC. 若a2 = b2，则a = bD. 若163x-=，则x =－24. 填空：（1）将等式x－3=5的两边都_____得到x =8 ，这是根据等式的性质_____；（2）将等式112x=-的两边都乘以___或除以___得到x =－2，这是根据等式性质_____；（3）将等式x + y =0的两边都_____得到x = －y，这是根据等式的性质_____；（4）将等式xy =1的两边都______得到1yx=，这是根据等式的性质_____．5. 利用等式的性质解下列方程：（1）x+6= 17 ；（2）－3x = 15；（3）2x－1= －3 ；（4）1123x-+=-．1. 已知2a－3=2b+1，试用等式的性质判断a和b的大小.2. 已知关于x的方程17642mx+=和方程3x－10 =5的解相同，求m的值.1．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）A．若a bc c=，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝bC．若a2＝b2，则a＝b D．若163x-=，则x＝－22．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：UIR=，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（）A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质23.（4分）（2021•安徽7/23）设a，b，c为互不相等的实数，且4155b a c=+，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．a－b＝4(b－c) D．a－c＝5(a－b)（1）等式有哪两条性质，你能举例说明吗？（2）如何根据等式的性质解简单的方程？举出一个例子，并说明每一步变形的依据．【参考答案】1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么a bc c =．1.（1）依据等式的性质1两边同时加5；（2）依据等式的性质1两边同时减3；（3）依据等式的性质2两边同时除以4或同乘14；（4）依据等式的性质2两边同时除以1100或同乘100．2. C；3. A．例：解：（1）方程两边同时减去7，x+7－7= 26－7于是x =19.（2）解: 方程两边同时除以－5，－5x÷(－5)=20÷(－5)化简，得x=－4.（3）解：方程两边同时加上5，得化简，得19 3x-=方程两边同时乘－3，得x =－27.1. B；2. A；3. B；4.（1）加3；1；（2）2；12；2；（3）减y；1；（4）除以x；2．5. 解：（1）两边同时减去6，得x=11. （2）两边同时除以－3，得x=－5. （3）两边同时加上1，得2x=－2.两边同时除以2，得x=－1.（4）两边同时加上－1，得13 3x-=-两边同时乘以－3，得x=9.1. a＞b2. 解：方程3x－10 =5的解为x =5，将其代入方程176mx+=，得到57642m+=，解得m =2.1．【解答】解：A、若a bc c=，则a＝b，故A符合题意；B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；D、163x-=，则x＝－18，故D不符合题意；故选：A．2．【解答】解：将等式UIR=，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2．故选：B．3.【解答】解：∵4155b ac =+，∴5b＝4a+c，在等式的两边同时减去5a，得到5(b－a)＝c－a，在等式的两边同时乘－1，则5(a－b)＝a－c．故选：D．。
3.1.2等式的性质(导学案)
等式的性质 导学案[学习目标] 1、知道等式的性质；2、会用等式的性质解简单的一元一次方程。
[学习过程][练习一]已知b a =，请用等于号“=”或不等号“≠”填空：①3+a 3+b ； ②3-a 3-b ； ③)6(-+a )6(-+b ；④x a + x b +； ⑤y a - y b -； ⑥3+a 5+b ；⑦3-a 7-b ； ⑧x a + y b +。
⑨)32(++x a )32(++x b ；⑩)32(++x a )32(++x b 。
[等式的性质1]等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等。
[练习二]已知b a =，请用等于号“=”或不等号“≠”填空：①a 3 b 3； ②4a 4b ；③a 5- b 5-； ④2-a 2-b 。
[等式的性质2]等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
[练习三]利用等式的性质解下列方程：（1）267=+x ； （2）205=-x ；（3）451=--x ；（4）10)1(2=+-x 。
解：（1）方程两边同时减7，得72677-=-+x∴=x （3）方程两边同时 ，得 方程两边同时 ，得 ∴=x 。
请检验上面四小题中解出的x 是否为原方程的解。
[练习四] 利用等式的性质解下列方程并检验：（1）69=-x ； （2）102.0=-x ；（3）2313=-x ； （4）012=+-x ；[小结] 1、等式有哪些性质？2、在用等式的性质解方程时要注意什么？[练习五] 自主探究 巩固提高1.利用等式的性质解下列方程，并检验结果是否正确（1）85=+x ； （2）01=--x ； （3）026=-x ；2、下列结论正确的是A ）x +3=1的解是x= 4B ）3-x = 5的解是x=2C ）35=x 的解是35=xD ）2323=-x 的解是x = -1 2、方程12-=-x a x 的解是2=x ，那么a 等于（ ）A) －1 B) 1 C) 0 D) 23、已知04-2=x ，则=-13x 。
七年级上册(人教版)集体备课导学案：3.1.2 等式的性质2
第四课时 3.1.2 等式的性质（2）
班级 姓名＿＿ 小组＿＿评价＿＿
学习目标
1. 会用等式的性质解简单的一元一次方程。
2. 培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力。
重点：运用等式的性质。
难点：用等式的性质解简单的方程。
使用要求：独立完成学案，然后小组讨论交流。
一、 自主学习
1 、等式的基本性质有哪两条？
2、（1）从3x+2=3y-2中，能不能得到x=y,为什么？
（2）从ax=aby 中，能不能得到x=by,为什么？
3、利用等式的性质解下列方程：
（1）x-2=5 (2)x 3
2-=6
(3)3x=x+6 (4)3
1-x-5=4
二、 合作探究
1、 利用等式的性质解下列方程并检验：
2、 某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班有女生多少人？
3、把1200克洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差75克外，其余
4瓶都装满了。
每个瓶子可以装多少洗衣粉？
4、甲乙二人同时由A地步行去B地.甲每小时走5千米，乙每小时走3千米.当甲
到达B地时，乙距B地还有6千米.甲走了几小时？A、B两地的距离是多少？
三、能力提升
已知2x2+3x=5,求代数式-4x2-6x+6的值
【提示】灵活运用等式的性质并将 2x2+3x整体变成-4x2-6x是解决问题的方法四、小组小结。
七年级数学上册 3.1.2 等式的性质导学案2(新版)新人教版(2)
等式的性质【学习重点】：理解和应用等式的性质。
【学习难点】：应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a ”的形式。
一、【自主学习】自学课本P81-83，完成以下问题：问题1、等式的性质1是什么？可以怎样用式子的形式来表示？问题2、等式的性质2是什么？可以怎样用式子的形式来表示？3、另外，还有：（1）如果a=b ，那么b= （等式的对称性）（2）如果a=b ，b=c ；那么 （等式的传递性）。
4、判断：已知等式a=b ，下列等式成立的是 （填番号） ①a ＋2=b ；②a ＋2=b －2 ；③a ＋2=b ＋3 ；④－2a=－2b ．5、①从x=y 得到x ＋5=y ＋5根据 ；在等式两边都 ，结果仍相等。
②从x=y 得到99x y =根据 ；在等式两边都 ，结果仍相等。
③从a ＋2=b ＋2得到a=b 根据 ；在等式两边都 ，结果仍相等。
④从－3a=－3b 得到a=b 根据 ；在等式两边都 ，结果仍相等。
二、【合作探究】1．探索等式性质．（1）观察课本82页图3．1-2，由它你能发现什么规律？从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还_________； 从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是___________； 等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质．等的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果________； 怎样用式子的形式表示这个性质？注： 运用性质1时，•应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系；（2）观察课本图3．1-3，由它你能发现什么规律？可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还________； 等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍_________； 怎样用式子的形式表示这个性质？注：运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，•才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数。
七年级数学上册 3.1.2《等式的性质》教案 (新版)新人教版
七年级数学上册 3.1.2《等式的性质》教案（新版）新人教版七年级数学上册-3.1.2《等式的性质》教案-（新版）新人教版3.1.2方程性质教学计划教学内容教科书第82至84页。
教学目标1．知识与技能能够利用方程的两个性质来解方程。
2.过程和方法利用天平，通过观察、分析得出等式的两条性质．3．情感态度与价值观培养学生在参与数学活动中的自信心和合作交流意识。
重点、难点和关键1．重点：了解等式的概念和等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程．2．难点：由具体实例抽象出等式的性质．3.关键：理解和掌握方程的两个性质是掌握一元方程解的关键。
教具、投影仪准备和教学过程一、引入新课我们可以估计某些方程的解，但仅凭估计很难求解复杂方程。
我们在上节课上意识到了这一点。
因此，我们需要讨论如何求解这些方程。
因为方程中含有未知数，为了讨论解的过程，让我们先研究方程的性质？2、新补助金1．什么是等式？用等号表示等式关系的等式称为等式例如：m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y这样的式子，都是等式，?我们可以用a=b表示一般的等式．2．探索等式性质．请看教科书中的图3.1-2。
你能从中找到什么规则？从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还保持平衡．从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是保持平衡．等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质．等的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果相等．例如，等式：1+3=4，在等式两边加5，结果仍然是一个等式，即1+3+5=4+5。
从等式两边减去5，结果仍然是一个等式，即1+3-5=4-5。
如何以公式的形式表达这个性质？如果a=B，则a±C=B±C运用性质1时，?应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保持一所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系，例如，对于等式3+4=7，?如果左边加上5，右边加上6，那么3+4+5≠7+6．请看教科书中的图3.1-3。
3.1.2等式的性质导学案
3.1.2 等式的性质学习目标：掌握等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程 学习重、难点：运用等式的两条性质解方程学法指导一、复习引入1、什么是方程？什么是一元一次方程？2、什么是方程的解？3、思考：1000=x 和2000-=x 中哪一个是方程()8052.0152.0=--x x 的解？二、新知探究1、运用小学知识逐步引出等式的性质（1）计算并填空：13- 2()313+- 32+()313-- 32-()313⨯- 32⨯()313÷- 32÷（2）观察上述结果，你有什么发现？问题：根据你的结论填空：如果b a =，那么c b c a ±± ； c b ⨯⨯c a ； cb c a （0≠c ） 2、阅读课本82页“例2”，然后利用等式的性质解下列方程并检验：（1）65=-x （2）65=+x（3）453.0=x （4）521=x 3、例题讲解：（1）045=+x （2）3241=-x 三、随堂检测1、下列变形错误的是（ ）A 、由b a =得55+=+b aB 、由b a =得33-=-b a C 、由22+=+y x 得y x = D 、由y x 33-=-得y x -=2、根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）A 、由x x 332=-得3=xB 、由753=-x 得573-=xC 、由2223+=-x x 得4=xD 、由y x 323=-得y x 2= 3、利用等式的性质解下列方程：（1）x x 655-=-； （2）930-=x ； （3）253+=-y四、小结通过本课的学习你有哪些收获？你对同伴有何建议？五、作业布置A 、课本83页 习题3.1 第4题B 、课本83页 习题3.1 第4、6题。
2019-2020学年七年级数学上册 3.1.2 等式的性质导学案2(新版)新人教版.doc
2019-2020学年七年级数学上册 3.1.2 等式的性质导学案2（新版）
新人教版
学习目标
1. 会用等式的性质解简单的一元一次方程。
2. 培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力。
重点：运用等式的性质。
难点：用等式的性质解简单的方程。
使用要求：独立完成学案，然后小组讨论交流。
一、 自主学习
1 、等式的基本性质有哪两条？
2、（1）从3x+2=3y-2中，能不能得到x=y,为什么？
（2）从ax=aby 中，能不能得到x=by,为什么？
3、利用等式的性质解下列方程：
（1）x-2=5 (2)x 32-
=6
(3)3x=x+6 (4)31-x-5=4
二、
合作探究 1、
练习P84 利用等式的性质解下列方程并检验：
2、
某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班有女生多少人？
3、
把1200克洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差75克外，其余4瓶都装满了。
每个瓶子可以装多少洗衣粉？
4、甲乙二人同时由A地步行去B地.甲每小时走5千米，乙每小时走3千米.当甲到达B地
时，乙距B地还有6千米.甲走了几小时？A、B两地的距离是多少？
三、能力提升
已知2x2+3x=5,求代数式-4x2-6x+6的值
【提示】灵活运用等式的性质并将 2x2+3x整体变成-4x2-6x是解决问题的方法
四、作业：习题3.1第4、10、11题.。
七年级初一数学上册3.1.2等式的性质1导学案新版新人教版2
3.1.2等式的性质（1）学习目标 1.我能积极讨论，参与群学，敢于展示，勇于质疑、补充。
2.我要掌握等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程。
学习重难点：运用等式的两条性质解方程。
一、自主学习知识点一：等式的性质等式的性质1：等式的两边同时加上（减去） 或 等式仍然成立。
符号语言：如果b a =,那么 = 。
等式的性质2：等式的两边同时乘以一个数，或除以同一个不为 的数，结果仍相等。
符号语言：如果b a =,那bc ac =或者 = （0≠c ）。
知识点二：对等式的性质的理解1.应用等式的性质1时必须是两边并且是同一个数，不能只在等式的一边进行变换。
2.应用等式的性质2时 ，特别的除数不能为 。
3.应用等式的性质解一元一次方程分两个步骤：（1）使方程有未知数的项在一边，常数项在另一边。
（2）使方程中含有未知数的项的系数为1。
二、合作探究利用等式的性质解下列方程：合作探究一：267=+x ；合作探究二：205=-x ；合作探究三：4531=--x ．三、当堂检测（一）知识应用（必做题）1.从a+b=b+c ，能否得到a=c ，为什么？2.从ab=bc 能否得到a=c ，为什么？3.从ab =cb ，能否得到a=c ，为什么？（二）能力提升（选做题）4. 利用等式的性质解下列方程并检验（1）-3x=15； （2）23x-1=5；5.等式(a-2)x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程(即x未知),求这个方程的解.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知a 是有理数，下列结论正确的是( )A ．若a <0，则a 2>0B ．a 2>0C ．若a <1，则a 2<1D ．若a >0，则a 2>a 【答案】A【解析】根据不等式的基本性质对四个答案进行逐一分析即可．【详解】A 选项：正确；B 选项：当a=0时，不成立，故错误；C 选项：例如a=-2，a 2=4＞1，故错误；D 选项：例如a=0.1，a 2=0.01＜a=0.1，故错误；故选：A ．【点睛】考查的是不等式的基本性质，解题关键是举例法进行判断．2．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A ．0.25×10﹣5B ．0.25×10﹣6C ．2.5×10﹣5D ．2.5×10﹣6 【答案】D【解析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．【详解】解： 0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而60.0000025 2.510-=⨯． 故选D ．3．9的算术平方根是（ ）A ．3-B ．3C ．3±D ．13± 【答案】B【解析】根据算术平方根的意义求解即可.【详解】∵32=9，∴93.故选B.【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.正数a 有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.4．如图，直线AB ∥CD ，∠C ＝44°，∠E 为直角，则∠1等于（ ）A ．132°B ．134°C ．136°D ．138°【答案】B 【解析】过E 作EF ∥AB ，求出AB ∥CD ∥EF ，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC ，∠BAE=∠FEA ，求出∠BAE ，即可求出答案．解：过E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴∠C=∠FEC ，∠BAE=∠FEA ，∵∠C=44°，∠AEC 为直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，故选B ．“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．5．下列方程中：①221x y +=；②234x y+=；③230x y +=；④743x y +=，二元一次方程有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】根据二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程进行分析即可．【详解】①x 2+y 2=1，是二元二次方程； ②234x y+=，不是整式方程； ③2x+3y=0，是二元一次方程； ④743x y +=，是二元一次方程． 所以有③④是二元一次方程，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程，解题关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 6．下列命题：①对顶角相等；②内错角相等；③两条平行线之间的距离处处相等；④有且只有一条直线垂直于已知直线．其中是假命题的有( )A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④ 【答案】B【解析】利用对顶角的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】①对顶角相等，正确，是真命题；②两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；③两条平行线之间的距离处处相等，正确，是真命题；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故错误，是假命题，故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质等知识，难度不大． 7．不等式1()33x m m ->-的解集为1x >，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4- 【答案】C【解析】先根据一元一次不等式的解法求解不等式，然后根据不等式的解集为x ＞2，得出9-2m=2，求出m 的值．【详解】解：13(x－m)＞3－m，去分母得：x-m＞3（3-m），去括号得：x-m＞9-3m，移项，合并同类项得：x＞9-2m，∵此不等式的解集为x＞2，∴9-2m=2，解得：m=2．故选C.【点睛】本题考查了解一元一次不等式，关键是掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为2．8．假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案A．5种B．4种C．3种D．2种【答案】C【解析】试题分析：设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，则根据题意得，3x+2y=17，∵2y是偶数，17是奇数，∴3x只能是奇数，即x必须是奇数．当x=1时，y=7，当x=3时，y=4，当x=5时，y=1，当x＞5时，y＜1．∴她们有3种租住方案：第一种是：1间住3人的，7间住2人的，第二种是：3间住3人的，4间住2人的，第三种是：5间住3人的，1间住2人的．故选C．9．某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是（）A．1、2 B．2、1 C．2、2 D．2、3【答案】D【解析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．【详解】正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴需要正方形2块，正三角形3块．故选D ．【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．10．计算12+16+112+120+130+……+19900的值为（ ） A ．1100 B ．99100 C ．199 D ．10099【答案】B【解析】分析：直接利用分数的性质将原式变形进而得出答案． 详解：原式=111111223344599100++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯ =111111112233499100-+-+-+⋯+-， =1-1100=99100． 故选B ．点睛：此题主要考查了有理数的加法，正确分解分数将原式变形是解题关键．二、填空题题11．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．【答案】80°【解析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB ，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC 中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB ）=2×50°=100°，在△ABC 中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.12．写出一个解为12x y =-⎧⎨=⎩的二元一次方程组__________． 【答案】2024x y x y +=⎧⎨-=-⎩ （答案不唯一） 【解析】试题分析：最简单的方法就用，，即为，另外与是同解方程的都是答案.考点：二元一次议程组与解.13．我们用[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]3.24-=- ，[]33-=- ，[]0.80= ，[]2.42= ，则关于x 的方程4023[]07x x -+=的解为________. 【答案】1967714或 【解析】根据规定[]x 表示不大于x 的最大整数，可得答案. 【详解】由已知得4023[]7x x -=- ， 若0x ，则23[]0x x - ，不成立，所以0x >，且x 不为整数；解法一：设x m n =+，其中m 为正整数，01n << ，[]x m = ，402237m n m ∴+-=-得12027n m =- ，1200127m ∴<-< ，405477m << ，m 为正整数，6m ∴=或7， 当6m = 时，17n = ，当7m = 时，916147n x =∴= 或9714； 解法二：[]x t = （t 为正整数），32027x t =- ，由1[]x x x -<<得，3273202727t K t -<- 解得405477k < 6t ∴= 或7，167x = 或9714. 解法三：设[]x m n =+ ，其中m 为正整数，01n << ,40[],2237x m m n m =∴+-=- , 402,0227m n n ∴-=<< ，m 为正整数，4029267777m n -==-=- .16,7m n ∴==或97,14m n == ， 所以167x m n =+= 或9714. 【点睛】本题考查实数大小的比较，正确理解题意，熟练掌握相关计算法则是解题关键.14．在△ABC 中，已知∠BAC=80°，∠C=45°AD 是△ABC 的角平分线，那么ADB ∠=________.【答案】85°【解析】由AD 是∠BAC 的平分线易得∠BAD 的度数,由三角形的内角和定理可得答案【详解】∵AD 是∠BAC 的角平分线,∠BAC=80°∴∠BAD=40°∵∠BAC=80°，∠C=45°∴∠B=180°-∠BAC-∠C=55°∵∠B=55°∴∠ADB=180°-∠B -∠BAD=180°-55°-40°=85°故答案为∠ADB=85°．【点睛】此题考查三角形内角和定理，根据角平分线的性质来计算是解题关键15．若∠A 的一边与∠B 的一边互相平行，∠A 的另一边与∠B 的另一边互相垂直，且∠A=30°，则∠B 的度数是______．【答案】60°或120°【解析】∠A 、∠B 的一边互相平行，另一边互相垂直，借助平行线定理画出辅助图，根据题意画图可知，∠B 的度数存在两种情况，并且相互互补.【详解】∵∠A 的一边与∠B 的一边互相平行，∴∠1=∠A=30°，∵∠A 的另一边与∠B 的另一边互相垂直，∴∠B=90°-∠1=90°-30°=60°，或∠B=90°+∠1=90°+30°=120°，即∠B 的度数是60°或120°．故答案为：60°或120°．【点睛】此题考查平行线定理，解题关键在于对平行线定理的定义理解.16．一根长为1的绳子恰好围成一个三角形，则这个三角形的最长边x的取值范围是_________.【答案】11 32x≤<【解析】设其他两边的边长分别为y、z，然后根据三角形三边关系和x为最长边，列出不等式可得出结论. 【详解】设其他两边的边长分别为y、z，∵三角形周长为1，∴x+y+z=1，由三角形三边关系可得y+z＞x，即1-x＞x，解得12x<，又∵x为最长边，∴x≥y，x≥z，∴2x≥y+z，即2x≥1-x，解得13 x≥,综上可得11 32x≤<.【点睛】本题考查三角形的三边关系，掌握两较短边之和大于最长边是本题的关键.17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48，则该等腰三角形的底角的度数为______．【答案】69°或21°【解析】分两种情况讨论：①若∠A<90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°−48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12 (180°−42°)=69°； ②若∠A>90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°−48°=42°，∴∠BAC=180°−42°=138°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12(180°−138°)=21°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°.故答案为69°或21°.三、解答题18．如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动;同时动点Q 从点B 出发，沿线段BC 以每秒2cm 的速度向点C 运动.当点Q 到达C 点时，点P 同时停止，设运动时间为t 秒.(注：正方形的四边长都相等，四个角都是直角)(1)CQ 的长为______cm(用含t 的代数式表示);(2)连接DQ 并把DQ 沿DC 翻折，交BC 延长线于点F ，连接DP 、DQ 、PQ.①若ADP DFQ S S ∆∆=，求t 的值.②当DP DF ⊥时，求t 的值，并判断PDQ ∆与FDQ ∆是否全等，请说明理由.【答案】（1）62(03)t t -≤≤（2）① 2.4 ② 2，不是全等三角形.【解析】（1）根据题意动点Q 从点B 出发，沿线段BC 以每秒2cm 的速度向点C 运动.因此利用速度和时间的乘积等于路程，可得CQ 的长.（2）①根据题意分别计算ADP ∆和DFQ ∆的面积，列方程求出t 值即可.②首先根据题意计算PF 、DP 和DF 的长，再利用勾股定理列方程求解即可,确定了t 值再证明PDQ ∆与FDQ ∆是否全等.【详解】（1）根据题意可得点Q 移动的速度为2cm2(03)BQ t t ∴=≤≤62(03)CQ CB BQ t t ∴=-=-≤≤（2）①根据题意可得116322ADP S AD AP t t ∆==⨯⨯=1162(62)361222DFQ S CD FQ t t ∆==⨯⨯-=-ADP DFQ S S ∆∆=33612t t ∴=-即 2.4t =②根据题意可得DP DF ⊥∴ 222PD DF PF +=22222266(62)(6)(122)t t t t ∴+++-=-+- 解的2t =所以当2t =时，可得PD =CQ=2, BQ=PB=4,因此可得PQ = ,DQDF === ,4FQ = ,4FQ =而 PQ =所以可得PDQ ∆与FDQ ∆不是全等三角形.【点睛】本题主要考查正方形的动点问题，关键在于根据题意列出方程，根据方程求解即可.19．（1）解方程组：533+=⎧⎨-=⎩x y x y（2）解不等式组331213(1)8-⎧+≥+⎨⎪--⎩-⎪x x xx ＜并把解集在数轴上表示出来．【答案】（1）23=⎧⎨=⎩x y ；（2）-2＜x ≤1.【解析】试题分析：（1）运用加减法求解即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．试题解析：（1）533+=⎧⎨-=⎩x y x y ①② ①+②，得4x=8x=2把x=2代入①得，y=3∴方程组的解为：23=⎧⎨=⎩x y （2）()31131328+≥+---⎧⎪⎨⎪⎩-x x x x ①＜②，由①得：x ≤1；由②得：x ＞-2，∴不等式组的解集为：-2＜x ≤1，数轴表示为：考点：1.解二元一次方程组；2.解一元一次不等式组；3.在数轴上表示不等式组的解集.20．解不等式：(1)231162x x +--＞；(2)解不等式组：31251422x x x x +⎧⎪⎨+-≥⎪⎩＞ 【答案】（1）0x <；（2）13x -<≤【解析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集.【详解】解：（1）2363(1)x x +->-，23633x x +->-，23336x x ->--+，0x ->，0x <；（2）解不等式①得1x >-，解不等式②得3x ≤，∴这个不等式组的解集是13x -<≤.【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及一元一次不等式组的解法.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.21．如图，AB ∥CD ，△EFG 的顶点F ，G 分别落在直线AB ，CD 上，GE 交AB 于点H ，GE 平分∠FGD ，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB 的度数．【答案】20°【解析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE 平分∠FGD ，AB ∥CD ，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG 是△EFH 的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．【详解】∵∠EFG=90°，∠E=35°，∴∠FGH=55°，∵GE 平分∠FGD ，AB ∥CD ，∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，∵∠FHG 是△EFH 的外角，∴∠EFB=55°﹣35°=20°．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．22．某商场销售A 、B 两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需132万元，全部销售后可获毛利润18万元．（1）该商场计划购进A 、B 两种品牌的教学设备各多少套？（2）通过市场调查，该商场决定在原计划的基础上，减少A 种设备的购进数量，增加B 种设备的购进数量，已知B 种设备增加的数量是A 种设备减少数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过138万元，则A 种设备购进数量最多减少多少套？【答案】（1）购进A 、B 两种品牌的教学设备分别20，30套；（2）A 种设备购进数量最多减少10套【解析】（1）首先设该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备分别为x 套，y 套，根据题意即可列方程组3 2.41320.30.418x y x y +=⎧⎨+=⎩，解此方程组即可求得答案； （2）首先设A 种设备购进数量减少a 套，则B 种设备购进数量增加1.5a 套，根据题意即可列不等式3（20-a ）+2.4（30+1.5a ）≤138，解此不等式组即可求得答案．【详解】（1）设购进A 、B 两种品牌的教学设备分别,x y 套，列方程组得：3 2.41320.30.418x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得2030x y =⎧⎨=⎩答：购进A 、B 两种品牌的教学设备分别20，30套（2）设A 种设备购进数量减少a 套，由题意得：3(20) 2.4(30 1.5)138a a -++∴10a 又020a∴010a∴a 最多为10答：A 种设备购进数量最多减少10套【点睛】此题考查了一元一次不等式与二元一次方程组的应用．注意根据题意找到等量关系是关键．230=，求2x -的平方根，【答案】2x -平方根为2±.0=可得：2x-1+x+7=1，据此求出x 的值是多少，即可求出-2x 的平方根是多少．0= ∴2170x x -++=，∴2x =-，∴24x -=，∴4的平方根为：2±.【点睛】此题主要考查了立方根的性质和应用，以及平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，1的立方根是1．24．计算：求不等式215132x +≤<的整数解． 【答案】1，2，1【解析】将不等式变形成一个不等式组，解不等式组然后找到整数解即可． 【详解】原不等式可变形为：211321532x x +⎧≥⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩①② 解①得，1x ≥ , 解②得，134x < , ∴不等式组的解集为1314x ≤<, ∴不等式215132x +≤<的整数解为1，2，1． 故答案为 ：1，2，1．【点睛】本题主要考查不等式组的整数解，正确的解不等式是解题的关键．25．阅读材料：如图1，点A 是直线MN 上一点，MN 上方的四边形ABCD 中，140ABC ∠=︒，延长BC ，2DCE MAD ADC ∠=∠+∠，探究DCE ∠与MAB ∠的数量关系，并证明.小白的想法是：“作ECF ECD ∠=∠（如图2），通过推理可以得到CF MN ，从而得出结论”.请按照小白的想法．．．．．完成解答：拓展延伸：保留原题条件不变，CG 平分ECD ∠，反向延长CG ，交MAB ∠的平分线于点H （如图3），设MAB α∠=，请直接写出H ∠的度数（用含α的式子表示）.【答案】阅读材料：40∠=︒+∠ECD MAB ，见解析；拓展延伸：120CHA α=∠︒-.【解析】（1）作ECF ECD ∠=∠，DG MN ，BH MN ，由平行线性质可得180MAD ADG ∠+∠=︒，结合已知2DCE MAD ADC ∠=∠+∠，可证180CDG DCF ∠+∠=︒，进而得到DG CF ，从而CF BH ，140BCF MAB ABC ∠+∠=∠=︒，将180180BCF ECF ECD ∠=︒-∠=︒-∠代入可得40∠=︒+∠ECD MAB .（2）过H 点作HP ∥MN ，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC ，结合（1）的结论和CG 平分∠ECD 可得∠PHC =∠FCH =120°-3MAB 2∠，即可得120CHA α=∠︒-.【详解】解：【阅读材料】作ECF ECD ∠=∠，DG MN ，BH MN （如图1）.∵DG MN ，∴180MAD ADG ∠+∠=︒.∴()180CDG MAD ADC ∠+∠+∠=︒.∵2DCE MAD ADC ∠=∠+∠，∴2180CDG DCE ∠+∠=︒.∴180CDG DCF ∠+∠=︒.∴DG CF .∵DG MN ，∴MN CF .∵BH MN ，∴CF BH .∴BCF CBH ∠=∠，MAB ABH ∠=∠.∴140BCF MAB ABC ∠+∠=∠=︒.∵180180BCF ECF ECD ∠=︒-∠=︒-∠，∴40∠=︒+∠ECD MAB .【拓展延伸】结论：120CHA α=∠︒-.理由：如图，作ECF ECD ∠=∠，过H 点作HP ∥MN ，∴∠PHA=∠MAH=1BAM 2∠，由（1）得FC ∥MN ，∴FC ∥HP ，∴∠PHC=∠FCH ，∵40∠=︒+∠ECD MAB ,CG 平分∠ECD ，∴∠ECG=20°+1MAB 2∠，∴∠FCH=180ECG ECF ︒-∠-∠=180°-(40MAB ︒+∠)-(20°+1MAB 2∠)=120°-3MAB 2∠∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=1MAB 2∠∠+（120°-3MAB 2∠）=120°-MAB ∠ 即：120CHA α=∠︒-.【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，//,,56AB CD DE CE DCE ︒⊥∠=，则1∠的度数为（ ）A ．34︒B ．54︒C ．66︒D ．56︒【答案】A 【解析】由垂直的定义得到∠DEC ＝90°，根据三角形的内角和得∠CDE 的度数，最后根据平行线的性质得到∠CDE ＝∠1＝34°，即可得到结论．【详解】解：∵DE ⊥CE ，∴∠CED ＝90°，∵∠DCE ＝56°，∴∠CDE ＝180°−90°−56°＝34°，∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠CDE ＝34°，故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义和三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 2．已知关于x 的不等式4x a 5-≥-的解集如图所示，则a 的值是( )A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】A【解析】先求出不等式的解集，根据数轴得出关于a 的方程，求出方程的解即可．【详解】解不等式45x a -≥-得： 54a x -≥， 根据数轴可知：524a -=-， 解得：3a =-，故选A．【点睛】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识.根据题意列出关于a 的方程是解此题的关键．3．甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是（）A．6070x2x=+B．6070x x2=+C．6070x2x=-D．6070x x2=-【答案】B【解析】甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，等量关系为：甲班植60棵树所用的天数=乙班植70棵树所用的天数，根据等量关系列式：【详解】设甲班每天植树x棵，乙班每天植树x＋2棵，则甲班植60棵树所用的天数为60x，乙班植70棵树所用的天数为70x2+，所以可列方程：6070x x2=+．故选B4．下列调查方式中，适合全面调查的是（）A．调査某批次日光灯的使用情况B．调查市场上某种奶粉的质量情况C．了解全国中学生的视力情况D．调査机场乘坐飞机的旅客是否携带违禁物【答案】D【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】A. 是具有破坏性的调查，因而不适用全面调查方式，此选项错误；B. 市场上某种奶粉数量太大，不适合全面调查，此选项错误；C. 人数太多，不适合全面调查，此选项错误；D. 违禁物品必须全面调查，此选项正确；故选D.【点睛】此题考查全面调查与抽样调查，解题关键在于掌握其定义.5．不等式组5234xx-≤-⎧⎨-+<⎩的解集表示在数轴上为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．【详解】解：解不等式52x -≤-，得x ≤3，解不等式34x -+<，得x ＞-1，∴原不等式组的解集是-1＜x ≤3.故选B ．【点睛】本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，注意掌握如果是表＞或＜号的点要用空心，如果是表示＞等于或＜等于号的点用实心．6．下列运算正确的是( )A 93=B 42=±C 2(4)4-=-D ．3273-=-【答案】A【解析】根据平方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】A 93=，故本选项正确；B 422=≠±，故本选项错误；C 2(4)44-=≠-，故本选项错误；D 、32733--=≠-，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题考查的是算术平方根的定义，熟知一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根是解答此题的关键．7．某住宅小区六月份1日至5日母天用水量变化情况如图4所示．那么这5天平均母天的用水量是( )A ．30吨B ．31吨C ．32吨D ．33吨【答案】C 【解析】从图中得到6天用水量的6个数据，然后根据平均数的概念计算这6个数据的平均数就可得到平均用水量．解：这6天的平均用水量：30343237286++++=32吨，故选C ． 要熟悉统计图，读懂统计图，熟练掌握平均数的计算方法．8．不等式39x <的解集是（ ） A ．9x <；B ．3x <；C ．9x >；D ．3x >. 【答案】B【解析】根据不等式的性质，不等式两边同时除以3即得答案.【详解】解：不等式两边同时除以3，得3x <.故选B.【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.9．关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】设x-1=m,-y=n ，把m,n 代入方程组，得,根据方程组1的解，可得m,n 的值，再代回x-1=m,-y=n 即可求出答案.【详解】解：设x-1=m,-y=n ，把m,n 代入方程组，得,∵的解是∴m=4,n=1把m=4,n=1代入x-1=m,-y=n 得解得x=5,y=-1.故选D.【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，和换元法解二元一次方程组，根据方程的特点设出合适的新元是解题的关键.10．如图，105ACD ∠=︒,70A ∠=︒，则B 的大小是（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°【答案】B 【解析】利用三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】∵∠ACD=∠B+∠A ，∠ACD=105°，∠A=70°，∴∠B=105°-70°=35°，故选：B ．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．二、填空题题11．不等式3x ＋2≥5的解集是__________．【答案】1x ≥【解析】解325x +≥得．12．长方形的周长为18，一边长x 由小到大变化，则长方形的面积y 与这个边长x 的关系式为_____．【答案】y=9x ﹣x 1．【解析】直接利用已知结合矩形面积求法进而得出答案．【详解】∵长方形的周长为18，一边长x ，∴另一边长为：9﹣x ，故长方形的面积y 与这个边长x 的关系式为：y=x （9﹣x ）=9x ﹣x 1．故答案为：y=9x ﹣x 1．【点睛】此题主要考查了函数关系式，正确表示出矩形的边长是解题关键．13．不等式组360{420x x +≥->的所有整数解的和为 _________.【答案】-2【解析】360420x x +≥⎧⎨->⎩①②，由①得：x ⩾−2，由②得：x<2，∴−2⩽x<2，∴不等式组的整数解为：−2，−1，0，1.所有整数解的和为−2−1+0+1=−2.故答案为−2.14．若关于x 的不等式组2{x x m >>的解集是2x >，则m 的取值范围是___________．【答案】36a -【解析】因为不等式组2{x x m ＞＞ 的解集是x>2根据同大取较大原则可知，m ＜2，当m=2时，不等式组2{x x m ＞＞的解集也是x ＞2,故m≤2;故答案是:m≤2.15．若关于x 的不等式组0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是___________. 【答案】56m <≤【解析】先解出不等式组的解集，由题意确定m 的取值范围【详解】解：0(1)721(2)x m x -<⎧⎨-≤⎩解不等式（1）得：x m <解不等式（2）得：3x ≥ 所以不等式组的解集为3x m ≤<，其3个整数解只能是3,4,5，所以m 的取值范围是56m <≤故答案为：56m <≤【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键.16．乐乐发现三个大小相同的球可以恰好放在一个圆柱形盒子里（底和盖的厚度均忽略不计），如图所示，则三个球的体积之和占整个盒子容积的__________．（球的体积计算公式为343V r π=）【答案】23【解析】根据题意表示出圆柱的体积进而得出三个球的体积之和与整个盒子容积的关系.【详解】设小球的半径为r ，由题意可得圆柱的半径为r ，高度为6r ，则圆柱的体积为2366r r r ππ⨯=，三个小球的体积和为334343r r ππ⨯=， 故三个球的体积之和占整个盒子容积的334263r r ππ=. 故答案为：23. 【点睛】此题考查圆柱体积公式，球体积计算公式，正确理解题意是解题的关键.17．某校开展“未成年人普法”知识竞赛，共有20道题，答对一题记10分，答错（或不答）一题记5-分.小明参加本次竞赛的得分超过100分，他至少答对了_____题；【答案】1【解析】根据竞赛得分=10×答对的题数-5×未答对（不答）的题数和本次竞赛得分要超过100分，列出不等式，再求解即可．【详解】设要答对x 道，根据题意得：10x-5×（20-x ）＞100，10x-100+5x ＞100，15x ＞200，解得x ＞403， 则他至少要答对1道；故答案为：1．【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语，找到所求得分的关系式是解决本题的关键．三、解答题18．已知：如图，ABC ∆中，90ACB ︒∠=，30A ︒∠=，CD AB ⊥于D ，点E 在AB 的延长线上，45E ︒∠=，若8AB =，求BE 的长．【答案】32【解析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC ，再根据同角的余角相等求出∠BCD ＝30°，然后求出BD ，根据勾股定理列式求出CD 的长，根据等角对等边求出DE ＝CD ，再根据BE ＝DE−BD 进行计算即可得解．【详解】解： 90ACB ︒∠=，30A ︒∠=，8AB =，118422BC AB ==⨯=∴， CD AB ⊥，90BCD ABC ︒∴∠+∠=，又90A ABC ︒∠+∠=，30BCD A ︒∴∠=∠=， 114222BD BC ∴==⨯=， 在Rt BCD ∆中，22224223CD BC BD =-=-=，45E ︒∠=，904545DCE ︒︒︒-∴∠==，DCE E ∴∠=∠，23DE CD ∴==，232BE DE BD ∴=-=-．【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，同角的余角相等的性质，等角对等边的性质，熟记各性质是解题的关键．19．我们知道每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，如图，在数轴上画出表示2的点A （要求保留作图痕迹，先用2B 铅笔画图，然后0.5毫米碳素笔描黑加粗），数轴上3表示的点B ，如果数轴上的线段BC 的中点是A ，求数轴上的点C 表示的数是多少？【答案】作图见解析，C 点233【解析】过数轴上表示12长，再截取A 点，根据A 点为BC 的中点确定出C 表示的数即可．【详解】解：如图所示，OA 2，∵点A 为BC 的中点，且点A 2，点B 表示的数为3，∴AB ＝AC ，设点C 表示的数为x ，则有22−x ，解得：x ＝233，则点C 表示的数233-．【点睛】此题考查了实数与数轴，以及无理数，解题关键是求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可． 20．如图，已知∠1＝∠2，∠MAE ＝45°，∠FEG ＝15°，∠NCE ＝75°。
七年级数学上册3.1.2等式的性质优秀导学设计(教学设计)
源准备
多媒体课件、导学设计、《同步解析与测评》
教学流程
环节
教学
程序
学习内容及学生学习活动
教师导
学活动
“一对一、兵教兵”在各教学环节的融入情况设置
激
情
导
入
创设
情境
3分钟
观察下面这些式子它们有什么相同点?
1+2=3， a+b=b+a,S=ab, 4+x=7
用等号表示相等关系的式子，叫等式。
通常用a=b表示一般的等式
（3）从a+2=b+2能不能得到a=b呢？为什么？
从-3a=-3b能不能得到a=b呢？为什么？方程是含有未知数的等式，我们可以运用等式的性质来解方程。
例2：利用等式的性质解下列方程
问题 1：怎样才能把方程x＋7=26转化为x=a的形式？ 学生回答，
小结：请你归纳一下解一元一次方程的依据和结果的形式．
如果a=b，那么a±c=b±c
字母a、b、c可以表示具体的数，也可以表示一个式子。
3、继续观察幻灯片，你又能发现什么规律？你能用实验加以验证吗？
如果a=b，那么ac=bc
然后让学生用两种语言表示等式的性质2.
如果a=b(c≠0)，那么
4、性质的应用：
（1）从x=y能不能得到x+5=y+5？为什么？
（2）从x=y 呢？为什么？
教师加于规范和整理
回答并和同伴说一说
互相检查知识记忆情况。
导学反思
本课教学，主要是通过天平的平衡特性自然过渡到等式，重在操作实验，如果条件具备，让各学习小组亲自动手操作实验，去体验感受等式的意义及性质是最好的，由于条件不能满足，所以只能借助课件图片让学生感受，可能等式性质的得出没有实际操作的效果好。
最新人教版初中数学七年级上册3.1.2 等式的性质优质课导学案
第三章一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.2 等式的性质
学习目标
1.会用等式的性质解简单的一元一次方程。
2.培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力。
重点：运用等式的性质。
难点：用等式的性质解简单的方程。
使用要求：独立完成学案，然后小组讨论交流。
一、自主学习
1 、等式的基本性质有哪两条？
2、（1）从3x+2=3y-2中，能不能得到x=y,为什么？（2）从ax=aby中，能不能得到x=by,为什么？
3、利用等式的性质解下列方程：
（1）x-2=5 (2)x 32-
=6
(3)3x=x+6 (4)31-
x-5=4
二、 合作探究
1、
练习P84 利用等式的性质解下列方程并检验：
2、
某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班有女生多少人？
3、 把1200克洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差75克外，其
余4瓶都装满了。
每个瓶子可以装多少洗衣粉？
4、甲乙二人同时由A地步行去B地.甲每小时走5千米，乙每小时走3千米.当甲
到达B地时，乙距B地还有6千米.甲走了几小时？A、B两地的距离是多少？
三、能力提升
已知2x2+3x=5,求代数式-4x2-6x+6的值
【提示】灵活运用等式的性质并将2x2+3x整体变成-4x2-6x是解决问题的方法
四、小组小结
作业：习题3.1第4、10、11题。
新人教版七年级数学上册导学案：3.1.2 等式性质
新人教版七年级数学上册导学案：3.1.2 等式性质【学习目标】1. 能根据等式性质进行等式变形、解简单的一元一次方程.2.等式的性质的理解, 并能利用等式的性质进行等式变形。
【自主学习】1. 自学教材P 81,82的内容，探究等式的性质，并填空、（1）观察课本82页图3．1-2，由它你能发现什么规律？从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还_________； 从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是___________； 等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质．等的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果________；（2）观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还________；0的数，结果仍_________；2.尝试运用1.如果a –4＝2，那么根据等式的性质，两边都________________，可得到：a =6.2.若x+3=4,则根据等式的性质，两边都______________________,可得x=1。
3.如果16x =，那么根据等式的性质，两边都 ，可得到x ＝ . 4.如果–2x ＝1，那么根据等式的性质，两边都 ，可得到x ＝ .【合作交流】1. 已知b a =，请用等于号“=”或不等号“≠”填空：①3+a ____3+b ； ②3-a ____3-b ；③x a +____x b +④y a -____y b -； ⑤)32(++x a ____)32(++x b ；⑥a 3____b 3；⑦4a ____4b ； ⑧a 5-______b 5-; ⑨2-a ____2-b 2. 利用等式的性质解下列方程，：（1）x+7=26； （2）-5x=20； （3）-13x-5=4． 解：（1）根据等式性质____，两边同______，得：（2） 解：根据等式性质____，两边都除以____，得（3）解：根据等式性质______，两边都加上_____，得小菜一碟3.利用等式的性质解下列方程(1) x －12=－4; （2）－3y=6 ; (3) 2313=-x ；【达标测试】一选择题1．已知x=y ，则下面变形错误的是（ ）A ．x+a=y+aB ．x –a=y –aC ．2x=2yD ．x y a a = 2.运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）A ．如果a=b ，那么a+c=b –cB ．如果a b c c =，那么a=bC ．如果a=b ，那么a b c c= D ．如果a 2=3a ，那么a=3 3．下列变形正确的是（ ）A ．若x+7=0，则x=7B ．若m –2= 1，则m =3C ．若2x=1，则x=2D ．若12y=–1，则y=–12二填空题4．在等式2x –1=4，两边同时________ ,得2x=5．5．在等式x –23=y –23，两边都_______ , 得x=y ． 6．在等式–5x=5y ，两边都_______ ,得x=–y ．7．在等式13x=4的两边都______， 得x=______． 8．如果2x –5=6，那么2x=________，x=______，其根据是________． 9. 用等式的性质解方程，并写出验根过程 1. –9x+3=6; 2. –13x –5=4.3. 2(x –3)=7. 4 .23x –1=5；。
七年级数学上册3.1.2等式的性质2导学案新版新人教版2
3.1.2等式的性质（2） 学习目标 1.我能积极讨论，参与群学，敢于展示，勇于质疑、补充。
2.我要掌握等式的两条性质，并能运用这两条性质解决实际问题中的方程。
学习重难点：找等量关系列方程用等式的性质解方程一、自主学习1.知识点回顾等式的性质1：等式的两边同时加上（减去） 或 等式仍然成立。
符号语言：如果b a =,那么 = 。
等式的性质2：等式的两边同时乘以一个数，或除以同一个不为 的数，结果仍相等。
符号语言：如果b a =,那bc ac =或者 = （0≠c ）。
2.知识应用(1)2610=-x (2) 204=x二、合作探究合作探究一：某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍. 前年这个学校购买了多少台计算机？合作探究二：建造一个周长为100米的篱笆要使篱笆的宽为15米，那么篱笆的长为多少米？合作探究三：一批书分给10个同学则还剩5本，分给12个同学则还差5本。
那么有几个同学分着批书？三、课堂检测（一）知识应用（必做题）1.甲、乙分别以4km/h和5km/h的速度人从相距36km的两地同时相向出发，则多久之后两人相遇？2.三个连续整数的和是24，那么这三个数分别是多少？3.把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少名学生？（二）能力提升（选做题）4.洗衣机厂今年计划生产洗衣机25 500台，其中I型、II型、III型三种洗衣机的数量比为1∶2∶14，这三种洗衣机计划各生产多少台？5.某校举行英语演讲比赛，准备用320元钱购买30本笔记本作为奖品. 已知A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元．设购买A种笔记本x本．（1）购买B种笔记本本（用含x的代数式表示）；（2）求A、B两种笔记本分别购买了多少本？七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∠l=15.5° 则下列结论不正确的是（ ）A ．∠2=45°B ．∠1=∠3C ．∠AOD 与∠1互为补角D ．∠l 的余角等于75.5° 【答案】D 【解析】考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义；垂线． 分析：根据垂线的性质，角平分线性质及对顶角、邻补角的性质，逐一判断．解：A 、∵OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∴∠2=12∠AOE=12×90°=45°，本选项正确； B 、∵AB 、CD 相交于O 点，∴∠1=∠3，本选项正确；C 、∵OD 过直线AB 上一点O ，∴∠AOD+∠1=180°，本选项正确；D 、∠1的余角=90°-∠1=90°-15.5°=74.5°，本选项错误；故选D ．2．下列等式或不等式变形不正确．．．的是（ ） A ．若a b =，则22a b -=-B ．若a b <，则ac bc <C ．若132x -≤，则D ．若23x y =，则32x y = 【答案】B【解析】根据等式的性质分析A 和D ，根据不等式的性质分析B 和C.【详解】A. 若a b =，则22a b -=-，正确；B. 若a b <，c>0，则ac bc <，故不正确；C. 若132x -≤，则，正确； D. 若23x y =，则32x y =，正确； 故选B.【点睛】本题考查了等式的性质，不等式的性质，熟练掌握等式的性质以及不等式的性质是解答本题的关键． 3．如图1，将一个边长为m 的正方形纸片剪掉两个小长方形，得到一个如图2所示的图形，再将剪下的两个小长方形排成如图3所示的一个新的长方形，则图3中的长方形的周长为（ ）A ．23m n -B ．48m n -C ．24m n -D ．410m n -【答案】B 【解析】通过观察图形，表示出新长方形的长与宽，再根据长方形周长公式即可确定其周长．【详解】解：∵观察图形可知，新长方形的长为：m n -，宽为：3m n -∴周长为()2348m n m n m n -+-=-．故选：B【点睛】本题考查的是列代数式和整式加减在几何图形中的应用，能够通过观察图形用含m 、n 的式子表示出长方形的长与宽是解题的关键．4．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省材料，其厚度约为0.000073米．将0.000073用科学记 数法表示为( )A ．40.7310-⨯B ．47.310-⨯C ．57.310-⨯D ．57.310⨯ 【答案】C【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】将0.000073用科学记数法表示为7.3×10-1． 故选C ．【点睛】考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．下列各数中，是无理数的为（ ）A ．2019B ．C ．D ．【答案】D【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】A. 2019是整数，是有理数，选项错误； B.=2，是整数，是有理数，选项错误； C. =−3，是整数，是有理数，选项错误；D. 正确.故选D.【点睛】此题考查无理数，解题关键在于掌握无理数的概念.6．若|321|20x y x y --++-=，则x ，y 的值为（ ）A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩ 【答案】D【解析】分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可． 详解：∵32120x y x y --+-，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝ 将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②，①+②×2得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩． 故选：D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．7．下列图形中，正确画出AC 边上的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据高的对应即可求解.【详解】根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得BE 是△ABC 中BC 边长的高，故选D.【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义.8．下列各数中的无理数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】A. 是有理数，故不符合题意； B. 是有理数，故不符合题意； C.=3是有理数，故不符合题意； D. 是无理数.故选D.【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．在平面直角坐标系中，点,,A B C 的坐标分别是()()()3,1,2,0,1,3---，将三角形ABC 沿一确定方向平移得三角形111,,A B C ，点B 的对应点1B 的坐标是()1,2-，则点11,A C 坐标分别是( )A ．()()110,12,2A CB ．()()110,12,1AC - C ．()()110,12,1A C --D ．()()111,03,1A C - 【答案】B【解析】先根据点B 平移的结果，判断出平移的方式，再由平移的方式确定点11A ,C 坐标.【详解】∵点()B 2,0-的对应点1B 的坐标是()1,2-，∴△ABC 向右平移了3个单位，向下平移了2个单位，∵点A,C 的坐标分别是()()3,1,1,3--，∴11A ,C 的坐标分别是()()11A 0,1C 2,1-.故选B.【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．10．不等式3x-2>-1的解集是（ ）A ．x>B ．x<C ．x>-1D ．x<-1 【答案】A【解析】由移项、合并同类项、系数化为1即可解答.【详解】移项得，3x ＞-1＋2，合并同类项得，3x ＞1，把x 的系数化为1得，x ＞．故选A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解决问题的关键.二、填空题题11．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为1m ）堆放一起，这堆油桶的高度为__________m ．【答案】231+ 【解析】仔细观察上图，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成一等边三角形，取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×1=4，这堆油桶的最高点距地面的高度是该三角形的高加一只油桶的高．此题关键是三个角处的三个油桶的圆心连线长为4个油桶的直径，考查学生分析题意的能力及勾股定理．【详解】解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×1=4m ，这个等边三角形的高是2244-=232⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，这堆油桶的最高点距地面的高度是：（231+）m ． 故答案为：231+.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．12．比较大小：23-223⎛⎫- ⎪⎝⎭“<”或“=”或“>”）． 【答案】<223⎛⎫- ⎪⎝⎭23-比较即可. 223⎛⎫- ⎪⎝⎭492=3，则：23-<223⎛⎫- ⎪⎝⎭<. 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根和实数的大小比较，其中算术平方根为非负数是解答本题的关键.13．如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB=3，则△DOC中CD边上的高是______.【答案】2【解析】根据中心对称的性质可得△DOC的面积等于6，CD=AB=1．根据三角形的面积公式即可求△DOC 中CD边上的高．【详解】根据中心对称的性质可得：△DOC的面积等于△AOB的面积是6，CD=AB=1．根据三角形的面积公式，则CD边上的高是6×2÷1=2．故答案为2.【点睛】本题考查了中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等．14．某次数学测验，共16个选择题，评分标准为：答对一题给6分，答错一题扣2分，不答得0分．某个学生只有1题未答，他想自己的分数不低于70分，他至少要答对________道题．【答案】13【解析】设他要对x题，则错（15-x）题，依题意分数不低于70分，表示出他得到分数大于等于70，解不等式，取最小整数即可．【详解】解：设他要对x题，依题意得：6x-2（15-x）≥70，解之得x≥12.5；因为题数应该是整数，所以至少要对13题．故答案为13.【点睛】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力．注意：根据题意，未知数应该是最小整数．15．已知关于x的不等式组1xx m>-⎧⎨<⎩的整数解共有4个，则m的取值范围是__________．【答案】3＜m≤4【解析】根据不等式组的整数解有4个可得m的取值范围．【详解】解：∵不等式组1xx m>-⎧⎨<⎩的整数解共有4个，∴不等式组的整数解为0、1、2、3，则3＜m≤4，故答案为：3＜m≤4【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据题意不等式组的整数解个数得出m的范围是解题的关键．16．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s，绿灯60s，黄灯3s．小明的爸爸随机地由南往北开车经过该路口，则他遇到红灯的概率是_____．【答案】40 103【解析】由红灯40s，绿灯60s，黄灯3s，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】：∵该路口红灯的时间为40s，绿灯时间为60s，黄灯时间为3s，∴小明的爸爸随机地由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是4040 40603103++=；故答案为：40 103.【点睛】本题主要考查等可能时间的概率，注意解决此题的关键是：测度比为时间长度比．17．如图，点D、E分别在纸片的边AB、AC上．将沿着DE折叠压平，使点A与点P重合.若，则_____°.【答案】【解析】根据三角形的内角和等于180°，求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠PDE=∠ADE，∠PED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵∠A=68°，∴∠ADE+∠AED=180°-68°=112°，∵△ABC沿着DE折叠压平，A与P重合，∴∠PDE=∠ADE，∠PED=∠AED，∴∠1+∠2=180°-（∠PED+∠AED）+180°-（∠PDE+∠ADE）=360°-2×112°=136°．故答案为：136°.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想的利用，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．三、解答题18．解不等式(组)（1）解不等式，并在数轴上表示解集：1251 64x x+-≥+（2）解不等式组251331148 x x x x⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩【答案】（1）x54≤，用数轴表示见解析；（2）125-<x72≤．【解析】（1）先去分母、去括号、移项合并，然后把系数化为1得到不等式的解集，然后用数轴表示其解集；（2）分别解出两不等式的解集，再求其公共解．【详解】（1）去分母得：2(x+1)≥3(2x﹣5)+12，去括号得：2x+2≥6x﹣15+12，移项得：2x﹣6x≥﹣15+12﹣2，合并同类项得：﹣4x≥﹣5，把x的系数化为1得：x54≤；用数轴表示为：；（2）251331148x xx x⎧+-⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩＞①②由①得x125-＞，由②得x72≤，∴不等式组的解集为125-＜x72≤．【点睛】本题考查了解一元一次方程（组），根据不等式的性质解一元一次不等式，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．解下列不等式或不等式组．（1）()10351x -+≤ （2）()6>03121x x x +⎧⎨-≤-⎩【答案】（1）x ≥-2 （2）6<2x -≤【解析】试题分析：（1）根据解不等式的方法可以解答本题；（2）根据解不等式的方法分别求出两个不等式的解集，再求公共部分即可；试题解析：（1）()10351x -+≤10－3x-15≤1，-3x≤1，x≥-2；(2)()6>0......312 1......x x x +⎧⎪⎨-≤-⎪⎩①② 解不等式①得：x>-1，解不等式②得：x≤1，所以不等式组的解集为-1．20．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图1，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转．当点D 恰好落在BC 边上时，填空：线段DE 与AC 的位置关系是 ；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 1．则S 1与S 1的数量关系是 ．（1）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 1的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE ∥AB 交BC 于点E （如图4），若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDC ,请直接写出相应的BF 的长【答案】解：（1）①DE ∥AC ．②12S S =．（1）12S S =仍然成立，证明见解析；（3）3或2．【解析】（1）①由旋转可知：AC=DC ，∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=20°．∴△ADC 是等边三角形．∴∠DCA=20°．∴∠DCA=∠CDE=20°．∴DE ∥AC ．②过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知：△ADC 是等边三角形, DE ∥AC ，∴DN=CF,DN=EM ．∴CF=EM ．∵∠C=90°，∠B =30°∴AB=1AC ．又∵AD=AC∴BD=AC ． ∵1211S CF BD S AC EM 22=⋅=⋅， ∴12S S =．（1）如图，过点D 作DM ⊥BC 于M ，过点A 作AN ⊥CE 交EC 的延长线于N ， ∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC=CE ，AC=CD ，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM ，∵在△ACN 和△DCM 中，ACN DCMCMD N AC CD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACN ≌△DCM （AAS ），∴AN=DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S 1=S 1；（3）如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，所以BE=DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时S △DCF1=S △BDE ；过点D 作DF 1⊥BD ，∵∠ABC=20°，F 1D ∥BE ，∴∠F 1F 1D=∠ABC=20°，∵BF 1=DF 1，∠F 1BD=12∠ABC=30°，∠F 1DB=90°，∴∠F 1DF 1=∠ABC=20°，∴△DF 1F 1是等边三角形，∴DF 1=DF 1，过点D 作DG ⊥BC 于G ，∵BD=CD ，∠ABC=20°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×20°=30°，BG=12BC=92，∴∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF 1=320°-150°-20°=150°，∴∠CDF 1=∠CDF 1，∵在△CDF 1和△CDF 1中，1212DF DF CDF CDF CD CD⎧⎪∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF 1≌△CDF 1（SAS ），∴点F 1也是所求的点，∵∠ABC=20°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×20°=30°， 又∵BD=33，∴BE=12×33÷cos30°=3， ∴BF 1=3，BF 1=BF 1+F 1F 1=3+3=2，故BF 的长为3或2．21．解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．（1）213436x x --；（2）512324x x x x ->+⎧⎨+>⎩①② 【答案】（1）2x -，见解析；（2）6x <-，见解析.【解析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：（1）2(21)34x x --，4234x x --，4342x x --+，2x -，（2）解不等式①，得：6x <-，解不等式②，得：2x <，则不等式组的解集为6x <-，【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.22．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。
2019-2020学年七年级数学上册 3.1.2 等式的性质学案新人教版.doc
2019-2020学年七年级数学上册 3.1.2 等式的性质学案新人教版学习目标：1、知道等式的性质；2、会用等式的性质解简单的一元一次方程。
学习重点：理解并掌握等式的性质。
学习难点：会用等式的性质解简单的一元一次方程。
一、自学指导：（自己完成）（一）复习回顾：. 列举几个等式：（二）自主探究：阅读P 81引例，二.合作探究，生成总结（先自己做，再小组讨论，仍解决不了的问题写在纸条上交给老师）探讨1. 已知b a =，请用等于号“=”或不等号“≠”填空：①3+a 3+b ； ②3-a 3-b ； ③)6(-+a )6(-+b ；④x a + x b +； ⑤y a - y b -； ⑥3+a 5+b ；⑦3-a 7-b ； ⑧x a + y b +。
⑨)32(++x a )32(++x b ；⑩)32(++x a )32(++x b 。
归纳：等式的性质1：探讨2，已知b a =，，请用等于号“=”或不等号“≠”填空：①a 3 b 3； ②4a 4b ； ③a 5- b 5-； ④2-a 2-b 。
归纳：等式的性质2：练一练1. ?（1）如果3x+8=26,那么3x=26-（2） 如果-5x=25, 那么x=（3） 如果x-43=y-0.75, 那么x= （4）如果3x =7，那么x= 2.在4x －2=1+2x 两边都减去_______，得2x －2=1，两边再同时加上________，得2x=3，变形依据是________．3.．在14x －1=2中两边乘以_______，得x －4=8，两边再同时加上4，得x=12，变形依据分别是________． 利用等式的性质解下列方程：（1）267=+x ； （2）205=-x ；（3）10)1(2=+-x 。
解：（1）两边减7，得72677-=-+x ∴=x（2）两边 ，得∴=x 。
（3）两边 ，得两边 ，得∴=x 。
请检验上面四小题中解出的x 是否为原方程的解。
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2020年七年级数学上册 3.1.2 等式的性质导学案（新版）新人教版-2
【学习目标】了解等式的两条性质，会用等式的性质解简单的方程；培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力.
【学习重点】理解和应用等式的性质. 【学习难点】应用等式的性质把简单的一元一次方程化为“x=a ”的形式.
【学习内容】教材第81～82页
学 习 过 程
【活动一】（观察并归纳，5分钟）
1、 像m n n m +=+、x x x 32=+、3×3+1=5×
2、y x 513=+这样的式子，都是________式.
可以用___________来表示一般的等式.
2、 观察下面试验结果，你能发现什么规律？如何用式子来表示这个规律？
※归纳：等式的性质1 ： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
如果a=b ，那么a ±c=__________. 等式的性质2 ： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b ，那么ac=_____________；
如果 a=b(c ≠0)，那么c
a =____________. 【活动二】（独立尝试完成，5分钟）
3、填空：
（1）由等式x －3＝2，可得等式x －3＋3＝2______，根据等式性质___.
（2）由等式x ＋3＝2，可得等式x ＋3－3＝2______，根据等式性质___.
（3）由等式3x ＝6，可得等式(___)
633x =，根据等式性质___. （4）由等式
31y ＝2，可得等式3
1y ×3＝2______，根据等式性质___. 4、填空：
【活动三】（认真阅读，独立思考，尝试完成，10分钟）
5、利用等式性质解下列方程：
(1) 267=+x
解：两边__________，得 _______26______7=+x （依据_______________）
于是 ________=x
(2) 205=-x
解：两边_________，得 )
(20) (5=-x （依据等式的性质______） 于是 _____=x
（3） 453
1=--x
6、利用等式的性质解下列方程：
（1）65=-x （2）453.0=x （3）
231-=y
（4）045=+x （5）6.0=-y （6）3412=-x
学后反思：________________________________________________________________________.
等式的性质课堂检测
（总分100分 时间10分钟）
一、选择题： （10分×4=40分）
1、下列变形正确的是（ ）
A.由5＝x －2，得x ＝－5－2
B.由5y ＝0，得y ＝
51 C.由3x ＝－2，得x ＝－2
3 D.由2x ＝3x ＋5，得－5＝3x －2x 2、根据等式性质235-=x 可变形为（ ）
A.523-=-x
B.523+-=-x
C.x 325=-
D.x 325=+
3、从44-=-y x 得到y x =，是因为（ ）
A.等式两边都加上4-
B.等式两边都加上4
C.等式两边都乘4
D.等式两边都乘4-
4、下列变形中用到等式性质．．．．1．
的是（ ） A.由b a =，得 22b a = B.由x ＝y ，得y x =
C.由x －3＝2，得x ＝5
D.由3x ＝3，则x ＝1
二、利用等式的性质解下列方程（10分×6=60分）
（1）294=-x （2）6221=+x
（3）413=+x
（4）224=-x
（5）4.35.0=-x
（6）4531=--x。