专题训练：直角三角形
直角三角形专题训练SSS
直角三角形专题训练SSS什么是直角三角形？直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度是90度。
直角三角形的特点是其中两条边相互垂直，我们称这两条边为直角边，而第三条边则称为斜边。
直角三角形的边长关系直角三角形的边长关系可以通过SSS（Side-Side-Side）法则来描述。
SSS法则指出，如果我们知道直角三角形的三条边的长度，我们就可以确定这个三角形的形状。
直角三角形训练题以下是一些直角三角形训练题，让我们来测试一下你对SSS法则的理解：1.若一个直角三角形的直角边长分别为3cm、4cm，求其斜边长。
2.若一个直角三角形的直角边长分别为5cm、12cm，求其斜边长。
3.若一个直角三角形的斜边长为13cm，直角边长分别为5cm 和xcm，求x的值。
4.若一个直角三角形的斜边长为10cm，直角边长分别为xcm 和6cm，求x的值。
5.若一个直角三角形的斜边长为15cm，直角边长分别为xcm 和x+5cm，求x的值。
请你通过使用SSS法则，解答以上训练题。
加油！答案解析1.使用勾股定理计算斜边长：斜边长= √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
2.使用勾股定理计算斜边长：斜边长= √(5^2 + 12^2) = √(25 + 144) = √169 = 13cm。
3.使用勾股定理计算直角边长：x = √(13^2 - 5^2) = √(169 - 25) = √144 = 12cm。
4.使用勾股定理计算直角边长：x = √(10^2 - 6^2) = √(100 - 36) = √64 = 8cm。
5.使用勾股定理计算直角边长：x = √(15^2 - (x+5)^2)。
将直角边长代入方程，得到：225 = x^2 - (x+5)^2.化简方程：225 = x^2 - (x^2 + 10x + 25)。
移项并合并同类项：0 = -10x - x^2 - 200.移项并整理方程为标准形式：x^2 + 10x + 200 = 0.由于此方程无实数解，因此无法确定x的值。
中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类附答案解析
中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类附答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．【答案】解：（1）22．（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，∴．∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．∴∠C′AE=45°．又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=2．∴AP+BP的最小值是22（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．4．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°，条幅底端E 点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米，求条幅AE 的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】在Rt ACF V 中求AF 的长, 在Rt CEF V 中求EF 的长,即可求解. 【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF V 中，45ACF ∠=︒tan 1AFACF CF∴∠== 12AF ∴= 在Rt CEF V 中，30ECF ∠=︒tan EFECF CF∴∠= 312EF ∴=43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.5．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，C 在AB 的延长线上，AD ⊥CE 交CE 的延长线于点D ，且AE 平分∠DAC ．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．【答案】（1）详见解析；（2）9 2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°333在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°×AE=32×33=92.【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.6．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ＝72；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33【解析】【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3=∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB3'BCA C==∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M 为A 'B '的中点，即可得出∠A =∠A 'CM ，进而得到PB 32=BC 32=，依据tan ∠Q =tan ∠A 3=，即可得到BQ =BC 3⨯=2，进而得出PQ =PB +BQ 72=； （3）依据S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，即可得到S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ，利用几何法即可得到S △PCQ 的最小值=3，即可得到结论． 【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2． ∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=．∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 32=，∴PB 32=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为22．【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC ＝2x ， ∵BC ＝2+1，∴x+x ＝2+1，∴x ＝1，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC 22AB BC +2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC 22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH 2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22+．． ∴PE+PF 22+【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．9．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°．位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B 侧得潜艇C 的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 3≈1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD=tan AD ACD=tan30x= 3x在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，∴325+x=3x•tan68°解得：x≈100米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．视频10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，1），点C（1，0），正方形AOCD的两条对角线的交点为B，延长BD至点G，使DG=BD，延长BC至点E，使CE=BC，以BG，BE为邻边作正方形BEFG．（Ⅰ）如图①，求OD的长及ABBG的值；（Ⅱ）如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE′F′G′，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG′．①在旋转过程中，当∠BAG′=90°时，求α的大小；②在旋转过程中，求AF′的长取最大值时，点F′的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）①α=30°或150°时，∠BAG′=90°②当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为2+2，此时α=315°，F′（12+2，12﹣2）【解析】【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题,(2)①因为∠BAG′=90°,BG′=2AB,可知sin∠AG′B=12ABBG,推出∠AG′B=30°,推出旋转角α=30°,据对称性可知,当∠ABG″=60°时,∠BAG″=90°,也满足条件,此时旋转角α=150°,②当α=315°时,A、B、F′在一条直线上时,AF′的长最大.【详解】（Ⅰ）如图1中，∵A（0，1），∴OA=1，∵四边形OADC是正方形，∴∠OAD=90°，AD=OA=1，∴OD=AC==，∴AB=BC=BD=BO=，∵BD=DG，∴BG=，∴==．（Ⅱ）①如图2中，∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，∴sin∠AG′B==，∴∠AG′B=30°，∴∠ABG′=60°，∴∠DBG′=30°，∴旋转角α=30°，根据对称性可知，当∠ABG″=60°时，∠BAG″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°，综上所述，旋转角α=30°或150°时，∠BAG′=90°．②如图3中，连接OF，∵四边形BE′F′G′是正方形的边长为∴BF′=2，∴当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2，此时α=315°，F′（+，﹣）【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用．12．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）．（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时：①求∠AFC的度数；②求222AFFC BFAF FC+-⋅的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B 方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．【答案】（1）①120°；②1；（2）当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．【解析】【分析】（1）①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，易证△FAG 是等边三角形，结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC，则有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，从而可得∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中运用直角三角形的性质可得BH3，GH=12y，从而有FH=x﹣12y．在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2，代入所求代数式就可解决问题；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，从而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，进而可得DN=EC．由△DEM是等边三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，从而可得∠NDE=∠MEC，进而可证到△DNE≌△ECM，则有∠DNE=∠ECM=90°，故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题．【详解】（1）如图1，由题可得BD=CE=t．∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．在△BDC和△CEA中，BD CEB ECABC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDC≌△CEA，∴∠BCD=∠CAE，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2．∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA，∴△FAG是等边三角形，∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAB=∠FAC．在△AGB和△AFC中，AG AFGAB FACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGB≌△AFC，∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，∴∠BGF=60°，∴∠GBH=30°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，GH=12y，BH=y，∴FH=FG﹣GH=x﹣12y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=y）2+（x﹣12y）2=x2﹣xy+y2，∴222AF FC BFAF FC+-⋅=2222x y x xy yxy+--+（）=1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6，∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=12BE=6﹣t，∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，∵DN ECNDE CEMDE EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sin B=6×2当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C；∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形外角的性质等知识，综合性比较强，有一定的难度；构造旋转型全等三角形（由共顶点的两个等边三角形组成）是解决第1（2）小题的关键，证到∠ECM=90°是解决第（2）小题的关键．。
解直角三角形专题训练(二)
， ， ，， ，， ，，
，
６ ３
１． ０ 已知 ， Ｂ两点 ，若 点 Ａ 对点 Ｂ的仰 角 为 ０ 那么 Ｂ对 Ａ 的俯 角是 （ ，
Ａ． Ｃ． ２
不 锈 钢架 杆 Ａ 和 Ｂ （ 子 的底 端分 别 Ｄ Ｃ 杆
为 Ｄ， ， ／Ｄ ＝ ６ ５． Ｃ）且 ＡＢ ６ ． 。
的相 关部 分
２ ８ 【Ａ Ｏ ６ １ ｌ
ｌ ２ ３
１２４１２４ ３ Ｉ。． ５． ７ ２ ５ ６ ２５１２４． ５ ４． １ ６
９
（ ４图 ， Ｃ是 河 岸 边 两 点 ， 是 对 岸 边 一 ． Ｂ， Ａ 点， 测得 Ｂ ＝ ５ ， ＡＣ ＝ ５ ， Ｃ ６ Ｃ ４。 Ｂ ４ 。Ｂ ＝ ０ｍ， 则点 到岸边 Ｃ的距 离是 — — ｍ．
） ．
Ｂ． ０。 ９ 一 Ｄ． ８ 。 １ ０ －０
（） １ 求点 Ｄ与 点 Ｃ的高 度差 Ｄ Ｈ．
（） ２ 求所 用 不锈 钢材料 的 总长 度 ｌ 即 Ａ （ Ｄ＋
１ ． 午 ９时 ， 上 １ 一条 船从 Ａ 处 出发 ， 以每 小 时 ４ ０海 里 的 速 度 向正 东 方 向 航 行 ， ９时 ３ ０ 分 到达 处 ． 图 ， Ａ， 如 从 Ｂ两 处 分别 测得 小 岛 在北 偏 东 ４ 。 ５ 和北偏 东 １ 。 向 ， ５方 那 么 处船 与小 岛 的距离 为 （
ＰＤ＝ ＰＥ．
Ｃ Ｃ Ｓ ０ Ｃ Ｓ ｓ ０ ｓｎＢ ． Ｏ 。Ｏ ６ Ｂ＋ ｉ ６ 。 ｉ ｎ
Ｄ． Ｏ ０ Ｃ ＳＢ＋ ｉ ０。ｉ ￣ ８６ 。 Ｏ ｓｎ ３ ｓｎ Ｂ
１． 图． ３如 为测河 两 岸相对 两抽 水泵 Ａ， 的距 Ｂ
离， 在距 Ｂ 点 ３ 的 Ｃ处 （ Ｃｊ ０ｍ Ｂ ＿ ） 测 ， 得 ／Ｂ Ａ＝ ５ ， Ａ， 间的距 离为 （ ＿ Ｃ ５ 。则
【精编版】中考数学专题训练——解直角三角形
中考专题训练——解直角三角形1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．（1）求∠ABD的正弦值；（2）求BG的长．3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．（1）求sin A的值；（2）求EF的长．4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则：（1）求证：DE∥AB；（2）若cos B＝，求证：CE＝2AD．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；（2）连接BD，求BD的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求∠EBD的正弦值；（2）求AD的长．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．11．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．12．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠ACB的值．13．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：（1）线段DC的长；（2）sin∠EDC的值．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．16．如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，BC＝6．（1）求△ABC面积；（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记（x，y）为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为（60，120）．（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）（2）在图3中用直尺和圆规作出点P（x，y），其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．19．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．20．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．参考答案与试题解析1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标．【分析】根据已知可得OB＝1，OC＝，在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC＝2，利用锐角三角函数的定义求出∠OBC＝60°，然后在Rt△BAC中，利用含30度角的直角三角形求出AC＝4，再利用平角定义求出∠1＝30°，从而可得AC∥x轴，即可解答．【解答】解：如图：∵点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），∴OB＝1，OC＝，在Rt△OBC中，BC＝＝＝2，∴cos∠OBC＝＝，∴∠OBC＝60°，∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝4，∵∠1＝180°﹣∠OBC﹣∠ABC＝30°，∴∠A＝∠1＝30°，∴AC∥x轴，∴点A的坐标为（4，）．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．（1）求∠ABD的正弦值；（2）求BG的长．【分析】（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，利用勾股定理可求解AB，BD 的长，通过解直角三角形可求解AM的长，再由勾股定理可求解DM的长，利用解直角三角形可求解；（2）过F作FN⊥BD于N，通过△DCF≌△DNF可得DN＝3，CF＝NF，BN＝2，再由勾股定理可求解CF，DF的长，证明△DCF∽△DGB列比例式可求解．【解答】解：（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∴AB＝，∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝3，∴BD＝，∵∠C＝∠AMD＝90°，∴cos∠A＝，即，解得AM＝，∴DM＝，∴sin∠ABD＝；（2）过F作FN⊥BD于N，∵DG平分∠BDC，∠C＝90°，∴∠CDF＝∠BDF，∠C＝∠DNF＝90°，在△DCF和△DNF中，∴△DCF≌△DNF（AAS），∴DC＝DN＝3，CF＝NF，∴BN＝BD﹣DN＝5﹣3＝2，在Rt△BFN中，BN2+FN2＝BF2，即22+CF2＝（4﹣CF）2，解得CF＝，∴DF＝，∵BG⊥DG，∴∠C＝∠BGD＝90°，∴△DCF∽△DGB，∴，即，解得BG＝．3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．（1）求sin A的值；（2）求EF的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理先求出BF，再求出∠A的正弦；（2）过点E作EG⊥BD，在直角三角形ABF中先求出∠ABF的正弦，再利用角平分线的性质说明EF与EG、∠ABF与∠FBC的关系，利用直角三角形的边角间关系列方程求解得结论．【解答】解：（1）∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝AC＝5．在Rt△ABF中，BF＝＝12．∴sin A＝＝．（2）过点E作EG⊥BD，垂足为G．∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，∴EF＝EG．在Rt△ABF中，∵sin∠ABF＝＝，在Rt△EBG中，∵sin∠EBC＝sin∠ABF＝＝＝，∴13EF＝5×12+5EF．∴8EF＝60．∴EF＝．4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则：（1）求证：DE∥AB；（2）若cos B＝，求证：CE＝2AD．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝BD＝BC，从而可得∠B＝∠DAB，进而可得∠ADE＝∠BAD，即可解答；（2）过点E作EF⊥CD垂足为F，设DE与AC交于点G，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝CD＝BC，再利用（1）的结论可得∠BAC＝∠DGC＝90°，∠B＝∠EDC，从而可得DG是AC的垂直平分线，进而可得ED＝EC，然后利用等腰三角形的性质可证cos∠ECD＝＝＝，即可解答．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠BAD，∴DE∥AB；（2）过点E作EF⊥CD，垂足为F，设DE与AC交于点G，∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠DGC＝90°，∠B＝∠EDC，∴DG是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵EA＝ED，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵EF⊥CD，∴CF＝CD，∴∠ECD＝∠B，∵cos B＝，∴cos∠ECD＝，在Rt△EFC中，cos∠ECD＝＝＝，∴CE＝2CD，∴CD＝2AD．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．【分析】（1）由tan B＝＝设AC＝3x、BC＝4x，据此得DC＝4x﹣2，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，即3x＝4x﹣2，解之得出x的值，继而可得答案；（2）作DE⊥AB，设DE＝3a、BE＝4a，根据DE2+BE2＝BD2可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵tan B＝＝，∴设AC＝3x、BC＝4x，∵BD＝2，∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，∵∠ADC＝45°，∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，解得：x＝2，则AC＝6、BC＝8，∴AB＝＝10；（2）作DE⊥AB于点E，由tan B＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），∴DE＝3a＝，∵AD＝＝6，∴sin∠BAD＝＝．6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H．由等腰三角形三线合一的性质得出BH＝BC ＝2．在△ABH中，根据正弦函数的定义得出sin∠BAH＝＝，根据三角形内角和定理求出∠BAH＝∠D＝90°﹣∠B，则sin∠D＝sin∠BAH＝；（2）过点C作CM⊥DE于点M．解直角△BED，求出BD＝＝9，则CD＝BD ﹣BC＝5．再解直角△MCD，求出CM＝，即点C到DE的距离为．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．∵AB＝AC，BC＝4，∴BH＝BC＝2．∵在△ABH中，∠BHA＝90°，AB＝6，∴sin∠BAH＝＝＝，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BED＝90°，BE＝3，∴∠BED＝∠BHA，又∵∠B＝∠B，∴∠BAH＝∠D，∴sin∠D＝sin∠BAH＝，即∠D的正弦值为；（2）过点C作CM⊥DE于点M．∵在△BED中，∠BED＝90°，sin∠D＝，BE＝3，∴BD＝＝9，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5．∵在△MCD中，∠CMD＝90°，sin∠D＝＝，∴CM＝CD＝，即点C到DE的距离为．7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．【分析】（1）在直角△BED中，利用∠B的余弦函数求出BE；（2）利用等腰直角三角形的性质先求出DE，再在直角△AED中利用∠DAB的正弦函数和勾股定理求出AD、AE，最后求出△ABD的面积．利用三角形中线的性质可得结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°．在Rt△BED中，∵cos∠ABC＝，∴BE＝cos45°•3＝•3＝3．（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．∴∠EDB＝45°．∴BE＝DE＝3．∵sin∠DAB＝＝，∴AD＝5．∴AE＝＝4．∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．∴S△ABD＝AB•DE＝．∵AD是BC边上的中线，∴S△ADC＝S△ABD＝．8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；（2）连接BD，求BD的长．【分析】（1）延长CD，BA，它们相交于点E，得到直角三角形BCE，利用tan B＝，设CE＝4k，则BC＝3k，利用勾股定理求得BE；在Rt△BCE中，用正弦，余弦的定义，结论可求；（2）利用DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，得到∠ADE＝∠CBE，在Rt△ADE中求得线段DE，利用tan B＝，求得线段BC，在Rt△BCD中，用勾股定理，BD可求．【解答】解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，∵DC⊥BC于点C，∴∠BCE＝90°．∵tan B＝，tan B＝，∴．设CE＝4k，则BC＝3k．∴BE＝．∴cos B＝．sin B＝．（2）如下图：∵DA⊥BA于点A，∴∠E+∠ADE＝90°．∵DC⊥BC于点C，∴∠E+∠CBE＝90°．∴∠ADE＝∠CBE．∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．∵cos∠ADE＝，∴．∵AD＝3，∴DE＝5．∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，∴．∴BC＝9．∴BD＝．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求∠EBD的正弦值；（2）求AD的长．【分析】（1）通过已知条件推出∠EBD＝∠ABC，即可通过求∠ABC的正弦值求出∠EBD 的正弦值；（2）过点C作CF⊥AB于点F，利用cos∠CAF＝cos∠CAB求出AF的长，结合等腰三角形性质即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB，又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC＝90°，∴∠EBD＝∠ABC，∴sin∠EBD＝sin∠ABC＝；（2）过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝sin∠ABC＝，∴在Rt△AFC中，cos∠CAF＝＝＝，∴AF＝1，又∵△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，∴AD＝2AF＝2．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE；（2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝，∴＝，∴AB＝10，∴BC＝＝8，又∵D为AB中点，∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，∴∠DCB＝∠B，∴cos∠DCB＝，cos∠B＝，∴，∴CE＝；（2）作EF⊥AB交AB于F，由（1）知CE＝，则BE＝8﹣＝，DE＝＝，设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝，在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝，∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2，解得x＝，∴EF2＝（）2﹣（）2＝，EF＝，∴sin∠BDE＝＝．11．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．【分析】（1）过D作DF⊥AB于F，求出DF和BD即可得答案；（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，先求BE，再用相似三角形性质得到答案．【解答】解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，∴∠BAC＝30°，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝，∴BD＝＝，Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠BAC＝，Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，∴△BCD∽△AHD，∴，∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，∴，解得AH＝，HD＝，∵∠AEB＝∠BAC＝30°，∴HE＝＝，∴BE＝BD+DH+HE＝，∵EG∥AC，∴∠BDC＝∠BEG，而∠CBD＝∠GBE，∴△CBD∽△GBE，∴，即，∴EG＝．方法二：过E作EG⊥BC于G，∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，∴△ABD∽△ABE，∴＝，即，∴BE＝，∵DC⊥BC，EG⊥BG，∴DC∥BG，∴，即＝，∴EG＝，∴点E到直线BC的距离为．12．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠ACB的值．【分析】（1）根据sin B＝，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD；（2）再利用三角函数，求出tan∠ACB的值即可．【解答】解：（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵sin B＝，AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝，∵BC＝14，∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，∴tan∠ACB＝＝．13．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．【分析】（1）由三角函数定义求出CD＝5，由勾股定理得出AD＝12，AE：ED＝7：5，求出ED＝5，由三角函数定义即可得出答案；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，求出BD＝BC﹣CD＝3，由平行线分线段成比例定理得，＝，得出AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，∵AE：ED＝7：5，∴ED＝5，∴tan∠DCE＝＝1；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵DG∥CF，∴，＝，∴AF＝FG，设BG＝3x，则FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，∴＝．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：（1）线段DC的长；（2）sin∠EDC的值．【分析】（1）在直角三角形ABD中，利用边角间关系和勾股定理先求出AB、BD，再求出CD的长；（2）在直角三角形ADC中，利用斜边的中线与斜边的关系，说明∠C与∠EDC的关系，求出∠C的正弦值即得结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC．∴sin B＝＝．∵AD＝12，∴AB＝＝＝15．在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，∴AC＝13．∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C．∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；（2）过点E作EH⊥AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出∠ACE的余切值．【解答】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，∴BD＝3．∵AB＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°．∵DE⊥AB，∴在Rt△DEB中，．∴在Rt△ACB中，，∴（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．∴在Rt△AHE中，，AH＝AE•cos45°＝，∴，∴EH＝AH＝，∴在Rt△CHE中，cot∠ECH＝，即∠ACE的余切值是．16．如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，BC＝6．（1）求△ABC面积；（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据题意得到三角形ACH为等腰直角三角形，设AH＝BH＝x，根据tan C的值，表示出HC，由BC＝6求出x的值，确定出AH的长，即可求出三角形ABC面积；（2）由（1）得到AH与CH的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出CD的长，根据tan C的值，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠B＝45°，设AH＝x，则BH＝x，在Rt△AHC中，tan C＝＝，∴HC＝2x，∵BC＝6，∴x+2x＝6，解得：x＝2，∴AH＝2，∴S△ABC＝•BC•AH＝6；（2）由（1）得AH＝2，CH＝4，在Rt△AHC中，AC＝＝2，∵DE垂直平分AC，∴CD＝AC＝，∵ED⊥AC，∴在Rt△EDC中，tan C＝＝，∴DE＝．17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记（x，y）为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为（60，120）．（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）（2）在图3中用直尺和圆规作出点P（x，y），其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）【分析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，根据锐角三角函数即可求解；（2）如图3，用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．可得x＝30°，y＝60°即可．【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，∵tan58°＝，∴BC＝，在Rt△P AC中，∠P AC＝26.6°，∵tan26.6°＝，∴AC＝，∵AB＝AC﹣BC，∴﹣＝22，解得PC≈16（cm），∴S△P AB＝22×16＝176cm2；（2）如图3，点P即为所求．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．【分析】（1）根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，可以求得AB的长，然后根据点D为AB的中点，可以得到DC的长，再根据点G是△ABC中点的交点，可以得到CG＝CD，从而可以求得CG的长；（2）作EF⊥AB于点G，然后根据题意，可以求得EF和AF的长，从而可以得到tan∠BAE的值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，∴，∵D是斜边AB上的中点，∴，又∵点E是BC边上的中点，∴点G是△ABC的重心，∴；（2）∵点E是BC边上的中点，∴，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵在Rt△BEF中，cos B＝，BF＝BE•cos B＝，∴，∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，∴tan∠BAE＝．19．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD＝DT即可解决问题．（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴CD平分∠ACB．②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，∴DA＝DT，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∴BD＝DT＝AD，∴＝．（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．∵AE⊥BE，CT⊥AT，∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAT，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，BE＝AT，∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，∴ET＝CT＝AE，∴BE＝2AE，∴tan∠ABE＝＝20．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．【分析】（1）先判断出∠ABD＝∠BAD，进而得出△ABN≌△BAH，即可得出BN＝AH，代换即可得出结论；（2）设出EF＝a，先利用勾股定理求出FC，证明△ABD∽△AFE，得出比例式求出CF 即可建立方程，求出a，利用勾股定理即可求出CE；（3）如图3，作辅助线，构建相似三角形，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，证明△ABD∽△GCA，列比例式结合平行线分线段成比例定理可得结论．【解答】（1）证明：如图1，过点A作AN⊥BC于N，∵AB＝AC，∴BN＝BC，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，在△ABN和△BAH中，，∴△ABN≌△BAH（AAS），∴BN＝AH，∴BC＝AH，∴BC＝2AH；（2）解：如图2，在AC上取一点F，使EF＝EC，连接EF，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C＝∠CFE＝30°，∴∠ABD＝∠AFE＝150°，∴△ABD∽△AFE，∴，即，∴＝，设EF＝a，则AF＝a，∵EF＝CE＝a，∠C＝30°，∴CF＝a，∴6﹣a＝a，∴a＝，∴CE＝EF＝；（3）解：如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，∵tan∠ABC＝＝，∴＝，∴BP＝CP＝4m，BC＝8m，∵∠BAD＝∠BCE＝∠G，∠ABD＝∠GCA＝150°，∴△ABD∽△GCA，∴，即＝，∴CG＝5m2，∵AG∥CE，∴，∴，∴m＝，∴BC＝8m＝．故答案为：．。
专题21 解直角三角形专项训练(原卷版)
专题21 解直角三角形专项训练
1．（2020·上海九年级一模）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠BAB′＝7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处，测得∠CDA＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cos37＝0.8，tan37≈0.75）
2．（2020·上海大学附属学校九年级三模）已知：如图，楼顶有一根天线，为了测量楼的高度，在地面上取成一条直线的三点E、D、C，在点C处测得天线顶端A的仰角为60°，从点C走到点D，CD＝6米，从点D处测得天线下端B的仰角为45°．又知A、B、E在一条线上，AB＝25米，求楼高BE．
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专题训练7 直角三角形及等腰三角形中的角度计算
专题训练7 直角三角形及等腰三角形中的角度计算专题训练7: 直角三角形及等腰三角形中的角度计算本文档将介绍如何计算直角三角形中角度的方法，以及等腰三角形中角度的特点和计算方式。
直角三角形中的角度计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。
在直角三角形中，我们可以通过已知两个角度或两个边长来计算第三个角度。
1. 已知两个角度：- 如果已知一个角度为90度，另一个角度为30度，我们可以使用直角三角形的性质，将两个已知角度相加，再用90度减去相加后的结果，即可得到第三个角度。
- 示例计算：已知两个角度为90度和30度，第三个角度 = 90度 - 30度 = 60度2. 已知两个边长：- 如果已知两条边分别为3和4，我们可以使用三角形中的三角函数（如正弦、余弦、正切），推算出夹角的值。
- 示例计算：已知两条边长分别为3和4，我们可以通过计算正切值来求得夹角的大小。
夹角的正切值 = 对边长度 ÷临边长度 = 3 ÷ 4 = 0.75。
我们可以使用反正切函数（arctan）来求得夹角的大小。
夹角= arctan(0.75) ≈ 36.87度等腰三角形中的角度计算等腰三角形是指两个边相等的三角形。
在等腰三角形中，角度的特点是底角（两边所夹的角）相等，而顶角（底角的对角）可以通过底角的计算得到。
1. 底角的计算：- 在等腰三角形中，底角等于180度减去顶角的两倍。
- 示例计算：已知顶角为30度，底角 = 180度 - 30度 × 2 = 180度 - 60度 = 120度2. 顶角的计算：- 顶角可以通过底角的计算得到，即顶角 = 180度减去底角的一半。
- 示例计算：已知底角为90度，顶角 = 180度 - 90度 ÷ 2 = 180度 - 45度 = 135度注意：等腰三角形中的角度计算只适用于等腰三角形，其他类型的三角形需要使用其他方法进行计算。
解直角三角形的应用(专题训练)
12mm
l
200mm
B D C
3.某段公路,每前进100m,路面就上升4m,
则路面的坡度为( D )
1 A. 50
1 B. 25
C. 22°
39 D. 156
4.如图所示，是某市的一块三角形空地， 准备在上面种植某种草皮以美化环境， 已知这种草皮每平方米售价为a元，则购 买这种草皮至少需要( )C A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
5.如图所示, 水坝的横断面是等腰梯形， 斜坡AB的坡度i=1:3, 斜坡AB的水平宽度 BE=3 3 m, AD=2m, 求∠B, 坝高AE及坝 底宽BC.
1, 2 3 2
6.(09吉林)小鹏学完解直角三角形知识后,给 同桌小艳出了一道题:“如图所示,把一张长 方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中,恰 好四个顶点都在横格线上,已知=360,求长方 形卡片的周长.”请你帮小艳解答这道题.(精 确到1mm)(参考数据:sin360≈0.60， cos360≈0.80, tan360≈0.75）
4.如图所示,某地下车库的入口处有斜 坡AB, 其坡度i=1:1.5, 且AB=
13 m.
5.如图所示, 一渔船上的渔民在A处看见 灯塔M在北偏东600方向, 这艘渔船以28 海里/时的速度向正东航行, 半小时至B处, 在B处看见灯塔M在北偏东150方向, 此时 灯塔M与渔船的距离是( A )海里 A. 72 B.142 C. 7 D. 14
6.如图所示，Rt△ABC是一防洪堤背水 坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它 的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能 力，现将背水坡改造坡比为1∶1.5的斜 坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
专题训练(八)解直角三角形常见的七种方法
专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．(1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3.2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长．图8－ZT－1►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)∠A＝60°，a＝6；(2)∠A＝30°，b＝10 3.4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号)图8－ZT －2► 方法三 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝34，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．图8－ZT －36．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．图8－ZT －4►方法四“化斜为直法”解三角形7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长．图8－ZT－58．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝22，tan A＝12，AC＝3 5.(1)求∠B的度数及AB的长；(2)求tan∠CDB的值．图8－ZT －6► 方法五 “参数法”解直角三角形9．2018·马鞍山一模如图8－ZT －7，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，E 是AB的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．图8－ZT －7► 方法六 “等角代换法”解直角三角形10．2018·当涂县六校联考如图8－ZT －8，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BD AC.图8－ZT －8► 方法七 “等比代换法”解直角三角形11．如图8－ZT －9所示，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的表达式；(2)求直线AB对应的函数表达式．图8－ZT－9教师详解详析1．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a ＝c 2－b 2＝8－6＝ 2. ∵tan B ＝b a ＝62＝3，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.(2)∵在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.∵sin A ＝a c ＝48＝12，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.2．解：∵AD ＝2，AC ＝3，∠C ＝90°， ∴cos ∠CAD ＝AC AD ＝32，∴∠CAD ＝30°.∵AD 为△BAC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠CAD ＝60°，∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝3×tan60°＝3×3＝3. ∵△ABC 是直角三角形，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝9＋3＝2 3.3．解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝6sin60°＝632＝4 3.∵sin B ＝bc，∴b ＝4 3×sin30°＝4 3×12＝2 3.(2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°. ∵tan A ＝ab，∴a ＝10 3×tan30°＝10 3×33＝10. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝10sin30°＝1012＝20.4．解：在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝ACAD ，∴AD ＝AC sin ∠ADC ＝3sin60°＝2，∴BD ＝2AD ＝4. ∵tan ∠ADC ＝ACDC ，∴DC ＝AC tan ∠ADC ＝3tan60°＝1，∴BC ＝BD ＋DC ＝5.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝2 7，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝2 7＋5＋ 3. 5．解：在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°， ∴CH ＝12BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2＝6 3.在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CHAH ，∴AH ＝8，∴AC ＝AH 2＋CH 2＝10，6．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝45.又∵BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6×82×5＝245.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425.7．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3，答：AB 的长是3＋ 3.8．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .设CE ＝x .在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3，∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22，∴∠B ＝45°， ∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝9. (2)∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5， ∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2. 9．解：∵AC ⊥BD ， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD＝2， ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝2 5x ＝2 5×25＝4 55.10．证明：如图，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，延长CB 与DA 交于点F .∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∠FBA ＝∠FDC ， ∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°， ∠EAB ＝∠BCD .∵∠F ＝∠F ，∠FBA ＝∠FDC ， ∴△FBA ∽△FDC ，∴FB FD ＝F AFC ，∴FB F A ＝FD FC. ∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△F AC ，∴∠FDB ＝∠BCA . ∵∠BED ＝∠ABC ＝90°， ∴△BED ∽△ABC ，∴BD AC ＝BEAB＝sin ∠EAB ＝sin ∠BCD ， 即sin ∠BCD ＝BDAC.11．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2， ∴EB ＝OB ＋OE ＝6. ∵tan ∠ABO ＝AO OB ＝12＝CEEB ，∴CE ＝3，AO ＝2，∴A (0，2)，B (4，0)，C (－2，3)． 设反比例函数的表达式为y ＝kx .∵点C 在反比例函数的图象上， ∴将点C (－2，3)代入，得k ＝－6， 即反比例函数的表达式为y ＝－6x.(2)设直线AB 对应的函数表达式为y ＝k 1x ＋b .将A (0，2)，B (4，0)代入y ＝k 1x ＋b ，可得b ＝2，k 1＝－12，∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝－12x ＋2.。
专题03 直角三角形(十大题型+跟踪训练)(解析版)
专题03直角三角形（十大题型+跟踪训练）题型一：直角三角形的两个锐角互余1．如图，在Rt ABC 中，C ∠＝90°，A ∠＝55°，则B ∠的度数为（）A ．25°B ．35°C ．45°D ．55°【答案】B 【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可．【解析】解：90C ∠=︒ ，90A B ∴∠+∠=︒，55A ∠=︒ ，35B ∴∠=︒．故选：B ．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键．2．直角三角形的一锐角是50°，那么另一锐角是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】A【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可求解．【解析】解：∵直角三角形的一锐角是50°，∴另一锐角是905040︒-︒=︒．故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键．3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，则与∠A 互余的角有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A 互余的角．【解析】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高线，∴∠A ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠ACD ＝90°，∴与∠A 互余的角有2个，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．题型二：勾股定理的逆定理4．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．三内角之比为1∶2∶3B ．三边长的平方之比为1∶2∶3C ．三边长之比为3∶4∶5D ．三内角之比为3∶4∶5【答案】D【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．【解析】A 、设三个内角的度数为n ，2n ，3n 根据三角形内角和公式23180n n n ++= ，求得30n = ，所以各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；B 、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；C 、设三条边为3n ，4n ，5n ，则有()()()222345n n n +=，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D 、设三个内角的度数为3n ，4n ，5n ，根据三角形内角和公式345180n n n ++= ，求得15n = ，所以各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5．在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，下列条件中，能判断ABC 是直角三角形的有（）个．①3a =，4b =，5c =；②()()2c b c b a +-=；③123A B C ∠∠∠=::::；④9a =，40b =，41c =．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理可以判断①④；根据()()2c b c b a +-=即可推出222+=a b c 即可判断②；利用三角形内角和等于180度，即可求出∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，即可判断③．【解析】解：∵在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，∴当3a =，4b =，5c =时，222+=a b c ，∴此时△ABC 是直角三角形，故①正确；∵()()2c b c b a +-=，∴222c b a -=即222+=a b c ，∴此时△ABC 是直角三角形，故②正确；∵123A B C ∠∠∠=::::，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，∴此时△ABC 是直角三角形，故③正确；∵9a =，40b =，41c =，∴222222940168141a b c +=+===，40b =，41c =，∴此时△ABC 是直角三角形，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．6．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（）A ．如果a 2=b 2−c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A =90°B ．如果∠A :∠B :∠C =1:2:3，那么△ABC 是直角三角形C ．如果222::9:16:25a b c =，那么△ABC 是直角三角形D ．如果A B C ∠-∠=∠，那么△ABC 是直角三角形【答案】A【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【解析】解：A 、如果a 2=b 2-c 2，即b 2=a 2+c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠B =90°，选项错误，符合题意；B 、如果∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，由∠A +∠B +∠C =180°，可得∠A =90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）A．5组B．4组C．3组D．2组【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2=c2时，它是直角三角形，由此可解出本题．【解析】①中有92+122=152，可以构成直角三角形；②中有72+242=252，可以构成直角三角形；③中(32)2+(42)2≠(52)2，不构成直角三角形；④中有(3a)2+(4a)2=(5a)2，可以构成直角三角形；m−n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，可以构成直角三角形；⑤中有(2所以可以构成4组直角三角形.故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可．8．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A．B．C ．D ．【答案】C 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解析】解：A 、22272425+=，222152024+≠，222222025+≠，故A 不正确，不符合题意；B 、22272425+=，222152024+≠，故B 不正确，不符合题意；C 、22272425+=，222152025+=，故C 正确，符合题意；D 、22272025+≠，222241525+≠，故D 不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．题型三：勾股定理的逆定理的应用9．已知某开发区有一块四边形空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A =90°，∠CBD =90°，DB =5m ，CD =13m ，DA =4m ，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入?【答案】需要投入资金为7200元【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，连接BD ，在直角三角形CBD 中由勾股定理可求BC 的长，在直角三角形ABD 中可求得BA 的长，由此看，四边形ABCD 由Rt △ABD 和Rt △DBC 构成，则容易求解．【解析】证明：连接BD题型四：勾股定理的折叠问题10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．11．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（）A．4cm B．6cm C．7cm D．8cm12．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC 的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）A．2B．103C．83D．4【答案】B【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到题型五：勾股定理的逆定理的网格问题13．如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD BC⊥于点D，则AD的长为（）A．1B．2C．32D．73【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．14．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型六：直角三角形全等的判定15．判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等【答案】D【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．【解析】解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．题型七：直角三角形全等的判定的条件或理由16．如图，已知AC ⊥BD ，垂足为O ，AO ＝CO ，AB ＝CD ，则可得到△AOB ≌△COD ，理由是（）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS 【答案】A 【分析】由AC ⊥BD ，可得∠AOB =∠COD =90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．【解析】解：由AC ⊥BD ，可得∠AOB =∠COD =90°，∴△AOB 和△COD 是直角三角形，AO ＝CO ，AB ＝CD ，直角边和斜边对应相等，所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB ≌△COD ，故选A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．17．如图，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，CD EF =．要根据“HL ”证明Rt ACD Rt BEF △≌△，则还需要添加的条件是（）A ．A B∠=∠B ．C D ∠=∠C ．AC BE =D ．AD BF=【答案】C 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．【解析】解：∵CD ⊥AB 于点D ，EF ⊥AB 于点F ，∴∠ADC ＝∠BFE ＝90°，∵CD ＝EF ，∴当添加AC ＝BE 时，根据“HL ”判断Rt △ACD ≌Rt △BEF ．故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．18．如图，AD 为ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且有,BF AC FD CD ==，则BFD ACD ≌△△的理由根据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．HL 【答案】D 【分析】根据AD 是三角形的高，得到∠BDF =∠ADC =90°，故可根据HL 可以判定．【解析】∵AD 是三角形的高，∴∠BDF =∠ADC =90°，∵BF =AC ，FD =CD ，∴BFD ACD ≌△△（HL ），故选D ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握高的意义和直角三角形全等的判定定理是解题的关键．19．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB ．做法中用到证明△OMP 与△ONP 全等的判定方法是（）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．HL【答案】D 【分析】根据直角三角形全等的判定HL 定理，可证△OPM ≌△OPN ．【解析】解：∵OM =ON ，OP =OP ，∠OMP =∠ONP =90°，∴△OPM ≌△OPN所用的判定定理是HL ．故选D.【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL 定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．20．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（）A ．AB ＝2cm ，BC ＝6cm ，AC ＝3cmB ．BC ＝3cm ，AC ＝5cm ，∠B ＝90°C ．∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°D ．AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，∠C ＝30°【答案】B【分析】根据三角形三边的关系对A 进行判断；根据全等三角形的判定方法对B 、C 、D 进行判断．【解析】解：A 、因为AB +AC ＜BC ，三条线段不能组成三角形，所以A 选项不符合题意；B 、BC ＝3cm ，AC ＝5cm ，∠B ＝90°，根据直角三角形HL 可判断此三角形为唯一三角形，所以B 选项符合题意；C 、利用∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°根据AAA 不能确定三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以C 选项不符合题意；D 、利用AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，∠C ＝30°根据SSA ，不能判断两个三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法——SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．题型八：利用直角三角形全等的判定求三角形中的元素21．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点D ，BC BD =．如果3cm AC =，那么AE DE +=（）A ．2cmB ．4cmC ．3cmD ．5cm【答案】C 【分析】通过HL 判定定理可证Rt∆BDE ≅Rt∆BCE ，得到ED=EC ，即可求解．【解析】在Rt BCE 和Rt BDE △中，BC BD =，BE BE =，∴()Rt Rt HL BCE BDE ≌△△，∴ED EC =，∴3cm AE DE AE EC AC +=+==．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ，全等三角形的对应边相等.22．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ，下列结论中不一定成立的是（）A ．PA PB=B ．PO 平分APB ∠C ．=OA OB D ．AB 垂直平分OP 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．【解析】解：对A 、B 、C 选项，∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，∴PA PB =，∵在Rt PAO ∆和Rt PBO ∆中==PA PB OP OP ⎧⎨⎩，∴Rt Rt OPA OPB ∆∆≌，∴APO BPO ∠=∠，=OA OB ，∴PO 平分APB ∠，故A 、B 、C 正确，不符合题意；D ．∵PA PB =，=OA OB ，∴OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故D 错误，符合题意．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明Rt Rt OPA OPB ∆∆≌，是解题的关键．题型九：直角三角形全等的判定的综合23．如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A 、B ，下列四个结论正确的个数是（）①PA =PB ②PO 平分∠APB ③OA =OB ④OP 垂直平分A B ．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据角平分线的性质可得PA ＝PB ，然后依据HL 证明Rt △AOP ≌Rt △BOP ，则OA ＝OB ，∠OPA ＝∠OPB ，进而可得OP 是AB 的垂直平分线，则结论可一一判断．【解析】解：∵OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA 于A ，PB ⊥OB 于B ，∴PA ＝PB ，故①正确；在Rt △PAO 和Rt △PBO 中，PA PB OP OP =⎧⎨=⎩，∴Rt △PAO ≌Rt △PBO （HL ），∴OA ＝OB ，∠OPA ＝∠OPB ，故②③正确；∵OA ＝OB ，AP ＝BP ，∴OP 是AB 的垂直平分线，故④正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．24．如图，ABC 中，ACF ∠、EAC ∠的角平分线CP 、AP 交于点P ，延长BA 、BC ，PM BE ⊥，PN BF ⊥．则下列结论中正确的个数（）①BP 平分ABC ∠；②2180ABC APC ∠+∠=︒；③2CAB CPB ∠=∠；③PAC MAP NCP S S S +=△△△．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个25．如图，ABC 中，60BAC BAC ∠=︒∠，的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠;④2AB AC AE +=，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个在Rt BED △和Rt CFD 中DE DF BD DC =⎧⎨=⎩，Rt Rt BED CFD ∴≅△△．BE FC ∴=．AB AC AE BE AF FC∴+=-++又= AE AF ，BE FC =，2AB AC AE ∴+=．故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．题型十：直角三角形全等的判定的相关几何证明26．如图，90A D ∠=∠=︒，AE DF =，EC FB =，求证：AB CD =．【答案】证明见解析【分析】利用HL 证明RtΔRtΔEAC FDB ≌，即可得到结论．【解析】证明：∵90A D ∠=∠=︒，在RtΔEAC 和ΔRt FDB 中，∵EC FB =，AE DF =，∴RtΔΔEAC Rt FDB ≌(HL )，∴AC DB =，AC BC DB BC -=-，即AB CD =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．27．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD 的高．(1)请说明AE AF =的理由；(2)若2AB AC -=，1CF =，求线段BE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)3BE =【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到DE DF =，然后证明出Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△即可得到AE AF =；（2）由AE AF =得到AB BE AC CF -=-，然后代入求解即可．【解析】（1）解：∵DE 、DF 分别是ABD △和ACD 的高，∴DE AB ⊥，DF AC⊥∵AD 是ABC 的角平分线，∴DE DF =，在Rt ADE △和Rt ADF 中，∵AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，∴AE AF =；（2）解：∵AE AF =，即AB BE AC CF -=-，∴213BE AB AC CF =-+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．28．如图所示，点M 是线段AB 上一点，ED 是过点M 的一条直线，连接AE BD 、，过点B 作BF AE ∥交ED 于F ，且EM FM =．(1)若5AE =，求BF 的长；(2)若90AEC AC DB ∠=︒=，，求证：ACE D ∠=∠．【答案】(1)5BF =(2)见解析【分析】（1）根据题意证明(AAS)AEM BFM ≌ ，根据全等三角形的性质可得结果；（2）根据题意证明()Rt Rt HL AEC BFD ≌ ，根据全等三角形的性质可得结果．【解析】（1）解：∵BF AE ∥，∴MFB MEA MBF MAE ∠=∠∠=∠，，∵EM FM =，∴(AAS)AEM BFM ≌ ，∴AE BF =，∵5AE =，∴5BF =；（2）∵BF AE ∥，∴MFB MEA ∠=∠，∵90AEC ∠=︒，∴90MFB ∠=︒，∴90BFD ∠=︒，∴90BFD AEC ∠=∠=︒，在Rt AEC △和Rt BFD 中，∵AC BD AE BF ==，，∴()Rt Rt HL AEC BFD ≌ ，∴ACE D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．一、单选题1．如图，已知AC BD ⊥，垂足为O ，AO CO =，AB CD =，则可得到AOB COD ∆≅∆，理由是()A ．HLB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可．【解析】解:∵AC BD⊥∴∠AOB=∠COD=90°在Rt △AOB 和Rt △COD 中AO CO AB CD=⎧⎨=⎩∴AOB COD ∆≅∆（HL ）故选A ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用HL 判定两个三角形全等是解决此题的关键．2．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（）A ．斜边相等B ．面积相等C ．两对锐角对应相等D ．两对直角边对应相等【答案】D【解析】试题分析：当两直角边对应相等可以根据SAS 来进行判定三角形全等，或者也可以根据一条直角边和一条斜边对应相等，根据HL 进行判定.考点：直角三角形的全等3．如图，点C ，E 分别在BD ，AC 上，AC ⊥BD ，且AB ＝DE ，AC ＝CD ，则下列结论错误的是（）A ．AE ＝CEB ．∠A ＝∠DC ．∠EBC ＝45°D ．AB ⊥DE【答案】A 【分析】由“HL”可证Rt △ABC ≌Rt △DEC ，可得∠A=∠D ，BC=CE ，可得∠EBC=45°，由余角的性质可证AB ⊥DE ，利用排除法可求解．【解析】如图，延长DE 交AB 于点H ，∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ECD ＝90°，在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，AB DE AC CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △DEC （HL ），∴∠A ＝∠D ，BC ＝CE ，∴∠EBC ＝45°，∵∠A +∠ABC ＝90°，∴∠D +∠ABC ＝90°，∴AB ⊥DE ，∴B ，C ，D 正确；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明Rt △ABC ≌Rt △DEC 是本题的关键．A ．122+【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出22CD AD AD +=即可．【解析】解：如图所示，连接在Rt ABC △中，由勾股定理得∵4CD DA =，∴22CD AD +=∴ACD 是直角三角形，且∴ABCD S S =四边形故选B ．5．如图，在Rt 连接CF ，使CFA ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．无法计算【答案】B 【分析】证明Rt △ACB ≌Rt △FEC ，得到AC=10cm EF =，EC=4cm BC =，即可求出AE 的长度.【解析】∵EF AC ⊥，∴∠CEF=90ACB ∠=︒，在Rt △ACB 和Rt △FEC 中，AB FC BC CE =⎧⎨=⎩，∴Rt △ACB ≌Rt △FEC ，∴AC=10cm EF =，EC=4cm BC =，∴AE=AC-EC=6cm ，故选：B.【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理，根据题意准确确定对应相等的条件正确三角形全等是解题的关键.6．如图，在ABC 中，90BAC ∠= ，30C ∠= ，AD BC ⊥，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，EF AC ∥交BC 于点F ，下列结论不成立．．．的是（）A ．ABD DAC∠=∠B ．C BAD ∠=∠C ．2AC AD =D ．2AD DF=【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，直角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质等知识．分别求出60ABD DAC ∠=∠=︒，得到A 选项成立；30C BAD ∠=∠=︒，得到B 选项成立；根据角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，得到2AC AD =，得到C 选项成立；证明BE FE =，BD DF =，再证明2AB BD =，即可得到2AB DF =，即可证明2AD DF ≠，得到D 选项错误．A ．正南方向B ．正东方向【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据题意可求得【解析】解：由图可得：500,AC AB =∴222AC AB BC +=，∴CAB △是直角三角形，∴彬彬家C 在学校A 的正北方向，故选：D ．8．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形小正方形EFGH ．已知AM 为Rt △ABMA ．4个B ．3个【答案】B 【分析】首先过A 作AE ⊥BC ，当D 而可得BE 的长，利用勾股定理计算出【解析】解：如图：过A 作AE ⊥BC ∵在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，∴当AE ⊥BC ，EB =EC =4，∴AE =2222543AB BE -=+=，∵D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，∴3⩽AD <5，∴AD =3或AD =4，当AD =4时，在靠近点B 和点C 端各一个，故选B .【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.10．如图，在ABC 和ADE V 中，AB AC AD AE AD AB ==<，，，49BAC DAE ∠=∠=︒，连接CE BD ，，延长BD 交CE 于点F ，连接AF ．下列结论：①BD CE =；②AD BD =；③49BFC ∠=︒；④AF 平分BFE ∠．其中正确的结论个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】先证明BAD CAE ∠=∠，再证明BAD CAE ≌即可得到BD CE =，故①符合题意；记AC 、BF 的交点为O ，结合三角形全等的性质以及三角形内角和定理可得49OFC BAO ∠=∠=︒，故③符合题意；根据D 在BF 上可以是个动点，仍然满足ADE V 中，AD AE =，49DAE ∠=︒，可得AD 不一定等于BD ，故②不符合题意；作AK BD ⊥于K ，作AH CE ⊥于H ，由全等三角形的性质可得AK AH =，再证明Rt Rt AKF AHF ≌，即可得到④符合题意．【解析】解：49BAC DAE ∠=∠=︒ ，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BAD CAE ∴△≌△，BD CE ∴=，故①正确，符合题意；如图，记AC 、BF 的交点为O ，，BAD CAE △≌△，ABD ACE ∴∠=∠，AOB COF ∠∠= ，180ABO BAO AOB ∠+∠+∠=︒，180OCF CFO COF ∠+∠+∠=︒，49OFC BAO ∴∠=∠=︒，故③正确，符合题意；D 在BF 上可以是个动点，仍然满足ADE V 中，AD AE =，49DAE ∠=︒，AD ∴不一定等于BD ，故②错误，不符合题意；如图，作AK BD ⊥于K ，作AH CE ⊥于H ，，则90AKF AHF ∠=∠=︒，BAD CAE △≌△，∴由全等三角形的对应高相等可得：AK AH =，在Rt AKF △和Rt AHF △中，AK AH AF AF=⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL AKF AHF ∴ ≌，AFD AFH ∴∠=∠，FA ∴平分BFE ∠，故④正确，符合题意；综上所述，正确的为①③④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上性质，添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题=【答案】AB CD【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据条件即可得到答案．【解析】解：Rt△根据“HL”证明Rt故答案为：AB=13．如图，B∠=【答案】50°【解析】略14．如图，点D在则∠EDF＝．【答案】90【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据平方的三角形是直角三角形【解析】解：∵DE⊥【答案】5或10【分析】分两种情况：当【解析】分两种情况：当AQ=5时，∵5BC=，∴AQ=BC，∵AD⊥AC，∴∠QAP=∠ACB=90︒，∵AB=PQ，≌△PQA（HL）；∴ABC当AQ=10时，AC=，∵10∴AQ=AC，∵AD⊥AC，【答案】65°【答案】25 8【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接得DE AE EF==，根据四边形90BFE D A∠=∠=∠=︒，利用8CG DG DC x=-=-，BG222CG BC BG+=，进行计算即可得．【解析】解：如图所示，连接∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG=⎧⎨=⎩，∴(Rt Rt HL EFG EDG V V ≌∴8FG DG ==，三、解答题19．如图，A 、E 、F 、C 在一条直线上，AF ＝CE ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AB ＝CD ，求证：(1)△ABF ≌△CDE(2)BG ＝DG【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用HL 证明△ABF ≌△CDE ，即可；（2）根据Rt ABF Rt CDE ≌，可得BF DE =，利用AAS 证明DEG BFG ≌，即可求证．【解析】（1）证明：∵,DE AC BF AC ⊥⊥，∴90AFB DEC ∠=∠=︒，在Rt ABF 和Rt CDE △中，90AFB DEC ∠=∠=︒，AB CD AF CE =⎧⎨=⎩，∴()Rt ABF Rt CDE HL ≌；（2）证明：∵Rt ABF Rt CDE ≌，∴BF DE =，在DEG △和BFG 中，DGE BGF DEG BFG DE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEG BFG AAS △≌△，∴BG DG =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．如图，AB ＝AC ，直线l 过点A ，BM ⊥l ，CN ⊥l ，垂足分别为M ，N ，且BM ＝AN ．(1)求证：∠BAM =∠ACN ；(2)求证：∠BAC ＝90°．【答案】(1)见解析(2)∠BAC ＝90°【分析】（1）由题意知∠AMB ＝∠CNA ＝90°，证明()Rt AMB Rt CNA HL ≌即可；（2）由()Rt AMB Rt CNA HL ≌，可知∠BAM ＝∠ACN ，根据∠CAN +∠ACN ＝90°，可得∠CAN +∠BAM ＝90°，进而结论得证．【解析】（1）证明：∵BM ⊥直线l ，CN ⊥直线l ，∴∠AMB ＝∠CNA ＝90°，在Rt AMB 和Rt CNA △中，∵AB AC BM AN =⎧⎨=⎩，∴()Rt AMB Rt CNA HL ≌，∴∠BAM ＝∠ACN ；（2）证明：∵()Rt AMB Rt CNA HL ≌，∴∠BAM ＝∠ACN ，∵∠CAN +∠ACN ＝90°，∴∠CAN +∠BAM ＝90°，∴1809090BAC ∠=︒-︒=︒，得证．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．如图，在下面33⨯的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，在现有网格中，以格点为顶点画图．(1)在下图中，画一个正方形ABCD ，使它的面积为5；(2)在下图中，面一个直角三角形DEF ．使它的三边长都是无理数且面积为2．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】本题考查网格作图，勾股定理，勾股定理逆定理．（1）根据题意画出一个边长为（2）根据题意，画出一个边长均为无理数的直角三角形即可．掌握勾股定理，勾股定理逆定理，是解题的关键．【解析】（1）解：如图所示，正方形由图可知，正方形的边长为：∴正方形ABCD 的面积为（2）如图所示：直角三角形有勾股定理得：2,DE =∴222DE EF DF +=，∴DEF 为直角三角形．22．探究题：如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，其底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从点B 出发向点C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当点P 运动多长时间时，点P 与顶点A 的连线PA 与腰垂直．【答案】当点P 运动的时间为7s 或25s 时，点P 与顶点A 的连线与腰垂直．【分析】利用勾股定理求出AD 的长，再利用勾股定理逆定理即可证明垂直.【解析】（1）过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵AB ＝AC ，BC ＝8cm ，∴BD ＝CD ＝BC ＝4cm.由勾股定理，得AD ＝＝3(cm)．分两种情况：(1)如图，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC （P 在线段BD 上）时，∵AP 2＝PD 2＋AD 2＝PC 2－AC 2，∴PD 2＋32＝(PD ＋4)2－52，∴PD ＝2.25cm ，∴BP ＝4－2.25＝1.75，∴0.25t ＝1.75，解得t ＝7.(2)当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB （P 在线段CD 上）时，同理可得PD ＝2.25，∴BP ＝4＋2.25＝6.25，∴0.25t ＝6.25，解得t ＝25.综上所述，当点P 运动的时间为7s 或25s 时，点P 与顶点A 的连线与腰垂直．【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的应用，熟悉概念是解题关键.23．如图，ABC 中，P 为AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，过点P 作PM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN AC ⊥交AC 的延长线于点N ，且PM QN =，连PQ 交AC 边于D ．求证：(1)APM CQN ≌△△；(2)12DM AC =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质（1）由“HL ”可证Rt APM （2）先由（1）可知AM =然后由线段的和差即可得证．【解析】（1）证明：PA Rt Rt APM CQN ∴ ≌(HL （2）由（1）已证：APM △AM CN∴=(1)猜想两支架AC 与BC 的位置关系并说明理由；(2)若FG 的长度为80cm,60EHG ∠=︒，求购物车把手F 到【答案】(1)垂直，见解析(2)112.5cm【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含（1）根据题意可得222AC BC AB +=，根据勾股定理的逆定理即可得出（2）过点F 作AB 的垂线，交,DG AB 的延长线分别于点Rt FGP △中，80FG =勾股定求得403FP =，根据等面积法，即可求解．【解析】（1）解：在ABC 中．∵72,54,90AC BC AB ===∵222725490+=，∴90ACB ∠=︒答：两支架AC 与BC 为垂直的位置关系（2）过点F 作AB 的垂线，交,DG AB 的延长线分别于点∵EH DG ∥60EHG ∠=︒∴60FGP ∠=︒求证：（1）111 +=2(1)求m 和b 的值；(2)求证：OAB 是直角三角形；(3)直线1l 上是否存在点D ，使得45ODB ∠=︒，若存在，请求出点【答案】(1)2m =，132b =(2)见解析，(3)存在，()15，或()51-，∴()22313322DB m m ⎛=-+-+- ⎝∴()()22133134m -=，解得，1m =或5m =，∴存在，D 点坐标为()15，或(5【点睛】本题考查了一次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，等角对等边，利用平方根解方程．熟练掌握一次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，等角对等边，利用平方根解方程是解题的关键．28．如图，已知在Rt ABC △中，发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点(1)当90BAP ∠=︒时，则BP =______；(2)当ABP 为以AP 为腰的等腰三角形时，求t 的值；(3)过点D 作DE AP ⊥于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使【答案】(1)20(2)t 的值16或5(3)5t =或11【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可．（2）分AP AB =，PA PB =两种情况进行讨论求解即可；（3）分点P 在C 点的左侧和点P 在C 点的右侧，两种情况，进行求解即可．【解析】（1）当90BAP ∠=︒时，如图：由题意，得：2BP t =，∴216CP t =-，在Rt ACB △中，222AB BC AC =+，在Rt PAB 中，222PB AP BA =+，在Rt PAC △中，222AP AC CP =+，∴22222BP BC AC AC CP =+++，即：()()2222221688216t t =+++-，解得：10t =，∴20BP =；故答案为：20．（2）①当AP AB =时，如图∵,AP AB AC BC=⊥∴232BP BC ==，∴32216t =÷=；②若PA PB =，则2,162BP AP t CP t ===-，在直角三角形ACP 中，222PA CP AC +=，∴()()22221628t t =-+解得：5t =；综上所述：t 的值16或5；（3）∵3835,DE CD AD AC CD DE AP ===-=-=⊥，，∴4AE =，①若P 在C 点的左侧，则2BP t =，∴162CP t =-．又DE DC =，PD PD =，且90DEP DCP ∠=∠=︒，∴PED PCD ≌，∴162PE PC t ==-，∴202AP PE AE t =+=-，则()()2222021628t t -=-+，解得：5t =；②若P 在C 点的右侧，则2BP t =，∴216CP t =-，同法可得：216PE PC t ==-，∴212AP PE AE t =+=-，∴()()2222022168t t -=-+，解得11t =，综上所述：5t =或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用。
专题2.15直角三角形全等的判定两大题型专项训练(30题)-2024-2025学年八年[含答案]
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（23-24 八年级·重庆渝北·期中）
16．如图，点 B 在线段 AC 上，点 E 在线段上， ÐABD = ÐDBC ， EB = BC ， AE = DC ，
点 M ， N 分别在线段 AE ，边上，且满足 ÐMBN = 90° ，猜测与 BN 的数量关系并说
并说明理由；
(3)若将图 1 中的 V DBE 按如图 3 所示位置摆放， DE ， DB 分别交 AC 的延长线于点 F ， P ，
连接 FB ，且 FB 平分 ÐCFE ．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过
程；若不成立，请直接写出 AF ， EF 与 DE 之间的数量关系．
证明你的结论．
(3)如图 3，当 A， E ， D 在同一直线上时（A， D 在点 E 的异侧）， CE 与 AB 交于点 G ，
Ð BAD = ÐACE ，请直接写出 BBiblioteka ， AB ， AC 之间的数量关系．
（23-24 八年级·江苏淮安·期中）
22．【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
专题 2.15 直角三角形全等的判定两大题型专项训练（30 题）
【浙教版】
【题型 1 用 HL 证全等】
（23-24 八年级·辽宁沈阳·期末）
1．如图， AB ^ BC ， AD ^ DC ，要根据“ HL ”证明 Rt△ ABC≌Rt△ ADC ，还应添加一个条
件是（
）
A． Ð1 = Ð2
B． Ð 2 = Ð 4
连接 FB ，且 FB 平分 ÐCFE ．
①求证 BC = BE ；
②猜想 DE ， EF 与 AF 之间的数量关系是__________；
专题1.3 含30°角的直角三角形性质专项训练(30道)(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.3 含30°角的直角三角形性质专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择题10道，填空题10道，解答题10道，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，综合性较强！一．选择题（共10小题）1．（2021秋•娄星区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°，则下列结论中正确的是（ ）A．AC＝2AD B．CD＝2BD C．BC＝2CD D．BC＝2BD【解题思路】根据直角三角形的性质可得在直角三角形ACB中AB＝2BC，在直角△CDB中BC＝2BD，在直角△ACD中AC＝2CD．【解答过程】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴△ACB是直角三角形，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CD是AB边上的高，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠ACD＝60°，∴∠DCB＝30°，∴BC＝2BD，AC＝2CD．故选：D．2．（2021春•丹东期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝4，则BC的长为（ ）A．8B．10C．11D．12【解题思路】依据等腰三角形的内角和，即可得到∠C＝∠B＝30°，依据AD⊥AB交BC于点D，即可得到BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，CD＝AD＝4，进而得出BC的长．【解答过程】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠B＝30°，∵AD⊥AB交BC于点D，∴BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，∴CD＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝8+4＝12．故选：D．3．如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（ ）A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm【解题思路】过点P作PE⊥OB于点E，根据△PCD为等腰三角形，则E为CD的中点，再由△POE为直角三角形，∠AOB＝60°，即可得出答案．【解答过程】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，则PE⊥CD，∵PC＝PD，∴△PCD为等腰三角形，∴点E为CD的中点，∵OC＝5cm，OD＝8cm，∴CD＝3cm，∴OE＝6.5cm，∵∠AOB＝60°，∴∠OPE＝90°﹣60°＝30°，∴OP＝2OE＝13cm，故选：A．4．（2021春•濮阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（ ）A．8B．4C．12D．6【解题思路】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠CAD＝90°，可得∠DAB＝∠B＝30°，即BD＝AD＝4．Rt△ACD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得CD＝2AD＝8，由此可求得BC的长．【解答过程】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，AD＝4，∴CD＝2AD＝2×4＝8，∵∠C+∠ADC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°，∵∠ADC＝∠DAB+∠B，∴∠DAB＝30°，∴∠DAB＝∠B，∴DB＝AD＝4，∴BC＝BD+DC＝4+8＝12，故选：C．5．（2021春•新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）A．5B．6C．8D．10【解题思路】先设BD＝x，则CD＝10﹣x，根据△ABC是等边三角形得出∠B＝∠C＝60°，求出∠BDE ＝30°，∠CDF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出CF和CF，再相加即可．【解答过程】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，∴BE=12BD=x2同理可得，CF=10x 2，∴BE+CF=x2+10x2=5，故选：A．6．（2021春•岳麓区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（ ）A．10B．8C．6D．4【解题思路】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答过程】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．7．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE 是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（ ）A．4.5B．5C．5.5D．6【解题思路】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．【解答过程】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．8．（2020秋•丛台区校级期末）如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（ ）A．3B．4C．5D．6【解题思路】根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，求出∠ACD＝60°，∠CAD＝90°，求出∠ADC＝30°，根据很30度角的直角三角形性质得出DC＝2AC，求出即可．【解答过程】解：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，AB＝3，∠BAD＝150°，∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°，∴∠ADC＝30°，∴DC＝2AC＝6，∴DE＝DC＝6，故选：D．9．（2021•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）A．4B．6C．8D．10【解题思路】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．【解答过程】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．10．（2021春•织金县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝3AD，其中正确的个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【解题思路】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可．【解答过程】解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝60°，∠C＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE=12∠ABC＝30°，∴∠EBC＝∠C，∴EB＝EC，∴AC﹣BE＝AC﹣EC＝AE，①正确；∵EB＝EC，∴点E在线段BC的垂直平分线上，②正确；∵∠BAC＝90°，∠ABE＝30°，∴AEB＝60°，∵AD⊥BE，∴∠DAE＝30°，∴∠DAE＝∠C，③正确；∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴BC＝2AB，同法AB＝2AD,∴BC＝4AD,④错误，故选：B．二．填空题（共10小题）11．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为 1.85m ．【解题思路】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答过程】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC=12AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE=12BC＝1.85m，故答案为：1.85m．12．（2020秋•沂水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝6，点D，E分别是边BC，AC上的点，且BD＝2CD，DE∥AB，则DE的长是 2 ．【解题思路】由∠ACB＝90°，∠ABC＝60°得∠A＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=12AB＝3，由BD＝2CD可得CD＝1，根据平行线的性质得∠DEC＝∠A＝30°，即可得DE＝2CD＝2．【解答过程】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC=12AB＝3，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴DE＝2CD＝2．故答案为：2．13．（2021春•普宁市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝2，则CF的长为 4 ．【解题思路】连接AF，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠B＝∠C＝30°，利用线段垂直平分线的性质可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求解CF的长．【解答过程】解：连接AF，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，∴CF＝2AF＝2BF，∵BF＝2，∴CF＝4．故答案为4．14．（2021春•垦利区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD．若AD＝2cm，则△ABC的周长为 12 cm．【解题思路】利用平行线的性质和CD⊥AD，先得到∠DCB的度数，再求出∠ACD的度数，再直角三角形中，利用30°角所对的边与斜边的关系求出AC，最后求出等边三角形的周长．【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°．∵AD∥BC，CD⊥AD，∴∠D+∠DCB＝180°，∠D＝90°．∴∠DCB＝90°．∴∠ACD＝∠∠DCB﹣∠ACB＝30°．在Rt△ACD中，∵AD＝2cm，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4（cm）．L＝AB+AC+BC＝12（cm）．△ABC故答案为：12．15．（2021春•九江期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF＝2DE＝2，连接CE、EB，若BE＝EC，则CF的长为 4 ．【解题思路】连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G，根据已知条件，可得等腰三角形AEC，利用等腰三角形的三线合一解题即可．【解答过程】解：如图，连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G．在△ABC 中，∠CAB ＝30°，FD 垂直平分AB ，EF ＝2DE ＝2，∴FD ＝3DE ＝3，AF ＝2FD ＝6，AE ＝BE ，∵BE ＝EC ，∴AE ＝EC ，∴GF =12EF ＝1，AG ＝GC ＝5，∴CF ＝GC ﹣GF ＝5﹣1＝4．故答案为：4．16．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠ABC ＝15°，则△ABC 的面积为 16 ．【解题思路】过B 点作BD ⊥AC ，交CA 的延长线于点D ，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求得∠BAD 的度数，由含30°角的直角三角形的性质可求解BD 的长，利用三角形的面积公式可求解△ABC 的面积．【解答过程】解：过B 点作BD ⊥AC ，交CA 的延长线于点D ，，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝15°，∴∠C ＝∠ABC ＝15°，∴∠DAB ＝∠ABC +∠C ＝30°，∵AB ＝AC ＝8，∴BD =12AB ＝4，∴△ABC 的面积为：12AC ⋅BD =12×8×4=16．故答案为16．17．（2021春•济宁期末）如图，△ABC 是等边三角形，点D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，EF ∥AB ，AD ＝6，则△EFC 的周长为 27 ．【解题思路】利用含30度角的直角三角形求出AE 的长，根据平行线的性质、等边三角形的性质和判定求出△EFC 各边长，周长即可求．【解答过程】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ．∵点D 为AB 的中点，AD ＝6，∴AB ＝2AD ＝12．∵DE ⊥AC 于点E ，AD ＝6，∴∠ADE ＝30°，∴AE =12AD ＝3，∴CE ＝AC ﹣AE ＝9．∵EF ∥AB ，∴∠FEC ＝∠A ＝60°，∵∠C ＝60°，∴△EFC 是等边三角形．∴△EFC 的周长＝9+9+9＝27．故答案为27．18．（2020秋•西城区期末）如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ．若AD ＝12，则DE ＝ 6 ；△EDC 与△ABC 的面积关系是：S △EDC S △ABC = 18 ．【解题思路】由等边三角形的性质得出∠C ＝∠BAC ＝60°，由直角三角形的性质得出DE ＝6，由直角三角形的性质得出BC ＝4EC ，根据三角形的面积公式可得出答案．【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠DAC=12∠BAC＝30°，∵AD＝12，∴DE=12AD＝6；∵DE⊥AC，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∴EC=12 DC，∴BC＝4EC，∵S△EDC =12ED⋅EC=12×6×EC＝3EC，S△ABC=12AD×BC=12×12×BC＝6BC＝24EC，∴S△EDCS△ABC=3EC24EC=18．故答案为：6，1 8．19．（2020秋•海珠区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为 6 ．【解题思路】根据三角形的内角和定理求出∠ACB，根据平行线的性质求出∠AMN＝30°，根据角平分线的定义求出∠NMC＝∠ACM＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出即可≤【解答过程】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝30°，∵∠A＝90°，AN＝1，∴MN＝2AN＝2，∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，∴∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝60°∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠ACM=12∠ACB＝30°，∴∠ACM＝∠NMC，∴MN＝CN＝2，∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝2×3＝6，故答案为：6．20．（2020秋•梁园区期末）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是 0＜t＜32或t＞6 ．【解题思路】过A作AP⊥BC和过A作P'A⊥AB两种情况，利用含30°的直角三角形的性质解答．【解答过程】解：①过A作AP⊥BC时，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP=3 2，∴当0＜t＜32时，△ABP是钝角三角形；②过A作P'A⊥AB时，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∴当t＞6时，△ABP'是钝角三角形，故答案为：0＜t＜32或t＞6．三．解答题（共10小题）21．（2021春•渠县校级期末）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE＝3AE．【解题思路】连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，再根据等腰三角形两底角相等求出∠C＝30°，再求出∠ADE＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可．【解答过程】证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠C=12（180°﹣120°）＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝∠C＝30°，在Rt△ADE中，AD＝2AE，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝4AE，∴CE＝AC﹣AE＝4AE﹣AE＝3AE，即CE＝3AE．22．（2020秋•无棣县期末）如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．若CD＝3cm，求DF的长．【解题思路】由等边三角形性质和平行线的性质证得∠EDC＝60°，再根据利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝CD＝3（cm），∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°，∴DF＝2DE＝6（cm）．23．（2020秋•丰台区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，AE∥CB，∠AEB＝90°．求证：AE＝CD．【解题思路】由等边三角形的性质得出CD＝AD=12AB，由平行线的性质得出∠BAE＝∠ABC＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性质得出AE=12AB，则可得出答案．【解答过程】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，∵BD⊥AC，∴CD＝AD=12 AB，∵AE∥BC，∴∠BAE＝∠ABC＝60°，∵∠AEB＝90°，∴∠ABE＝30°，∴AE=12 AB，∴AE＝CD．24．（2020秋•温岭市期中）一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．【解题思路】作PD⊥AB，利用直角三角形性质求出PD长，和3.8海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．【解答过程】解：有触礁危险．理由如下：作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB＝15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB＝15°，∴AB＝PB＝7海里，∵∠PBD＝30°，∴PD=12PB＝3.5＜3.8，∴该船继续向东航行，有触礁的危险．25．（2020春•揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB 和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．【解题思路】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．【解答过程】（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．26．（2020秋•西华县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD ＝BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，MF的长为2．（1）求∠ADE的度数；（2）△ADF是正三角形吗？为什么？（3）求AB的长．【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B和∠C，求出∠BDE，即可求出答案；（2）求出DF＝CF，根据等腰三角形的性质求出∠FDC＝∠C，求出∠AFD和∠DAF，根据等边三角形的判定得出即可；（3）求出CF和DF，根据等边三角形的性质求出AF，求出AC，即可求出AB．【解答过程】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12×（180°﹣∠BAC）＝30°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED=12×（180°﹣∠B）＝75°，∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°；（2）△ADF是正三角形，理由是：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，∴DF＝CF，∵∠C＝30°，∴∠FDC＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠C+∠FDC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAF＝90°﹣∠C＝60°，∴∠ADF＝60°，即∠FAD＝∠ADF＝∠AFD＝60°，∴△ADF是正三角形；（3）∵CD的垂直平分线MF，∴∠FMC＝90°，∵∠C＝30°，MF＝2，∴FC＝2MF＝4，∵DF＝FC，∴DF＝4，∵△ADF是等边三角形，∴AF＝DF＝4，∴AC＝AF+CF＝4+4＝8，∵AB＝AC，∴AB＝8．27．（2021秋•官渡区期末）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．【解题思路】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，根据AD＝4，BC＝1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．【解答过程】解：延长AD、BC交于E，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，∵AD＝4，BC＝1，∴2（1+x）＝x+4，解得；x＝2，∴CD＝2．28．（2021春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【解题思路】用含t的代数式表示出BP、BQ．（1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；（2）分两种情况进行讨论：当∠BOP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．【解答过程】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴t=4 3．当t=43时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴t=8 5．即当t=85或t＝1时，△PBQ为直角三角形．29．（2021秋•禹州市期中）如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．【解题思路】（1）先根据△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，可知∠EBP＝30°，由PE⊥AB于点E，进而可得PE=12BP，然后由线段BP的垂直平分线交BC于点F，可得BP＝2BQ＝4，进而可求PE的长；（2）由等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，求出∠BPE＝60°，由线段垂直平分线的性质得出FB＝FP，由等腰三角形的性质得出∠FBQ＝∠FPQ＝30°，得出∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°即可．【解答过程】解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠PBC＝30°，∵PE⊥AB于点E，∴∠BEP＝90°，∴PE=12 BP，∵QF为线段BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2×2＝4，∴PE=12×4＝2；（2）△EFP是直角三角形．理由如下：连接PF、EF，如图所示：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠BPE＝60°，∵FQ垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，∴△EFP是直角三角形．30．（2021•沙坪坝区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE 交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．【解题思路】（1）根据角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD ＝∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明．【解答过程】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．。
【精编版】数学中考专题训练——解直角三角形的应用
中考专题训练——解直角三角形的应用1．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB ＝20cm，AB与墙壁AD的夹角∠α＝30°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝80°．现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（结果精确到1cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，≈1.41）．2．为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠P AB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732）3．如图1所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成．图2是其侧面结构示意图，支撑板CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB 可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（1）如图2，当∠CDE＝60°时，求点C到直线DE的距离；（2）如图3，当∠DCB＝90°时，再将CD绕点D转动，使点B落在DE上，求此时∠CDB的度数．4．火灾是生活中最常见、最突出的一种灾难，消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC（10m≤AC≤20m）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE＝3.5m．（1）当起重臂AC的长度为12m，张角∠CAE＝120°，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一居民家突发火灾，该居民家距离地面的高度为180m，该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）5．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB ＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离（线段AC）为10cm．求：（1）∠BAC＝°，OM＝；（2）此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.414）6．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）7．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝°，EF与AB的位置关系；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）8．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行．（1）若支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°，求两轮轮轴A，B之间的距离；（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）9．为应对新冠疫情，学校购进一批酒精消毒瓶（如图1），AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝8cm，BE＝6cm，当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan30°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）10．如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）11．住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m．已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°．（参考数据：sin35°≈0.57；cos35°≈0.81；tan35°≈0.70）（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1m）？（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？12．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC ＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．（1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；（2）若（1）中BC长度不变，当∠MAB＝30°时，求该挖掘机最远（即伸展臂伸展角∠ABC最大时）能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）14．激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？15．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）16．如图1是十五中行政楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）（1）求开门过程中B与C走过的路径之和；（2）此时B与C之间的距离为多少？（结果保留一位小数）17．为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？18．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）19．“荡秋千”一直以来都是人们喜闻乐见的休闲方式之一，某天，小鹏和小运两人玩荡秋千．左图为实际图，右图为侧面几何图．静止时秋千位于铅垂线AB上，转轴A到地面的距离AB为3m，荡秋千的起始位置为C，终点为D，点C距离地面为1.16米，安全链AC为2.3m．需要解决问题如下：（1）秋千位于起始位置点C时，安全链AC与铅垂线AB夹角（即∠CAB）的度数；（2）如果我们把荡秋千的最高点与起始点的铅直高度之差记作H，起始点至最高点的路径长记作L，H与L的比值记作P（愉悦度），据科学研究表明，当0.20＜P＜0.22时，可使人愉悦感最强．当小鹏用力将小运从点C推出后可达到最高点D处，此时∠CAD＝100°．请问这个过程能否实现愉悦感最强？说明理由．（结果精确到0.01，参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin27°＝0.452，π＝3）20．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．参考答案与试题解析1．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB ＝20cm，AB与墙壁AD的夹角∠α＝30°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝80°．现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（结果精确到1cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，≈1.41）．【分析】过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．在△GAB中先求出GB、GA，再在△F AB中求出CF，最后利用线段的和差关系求出AD．【解答】解：如图，过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．在Rt△ABG中，∠BAG＝∠a＝30°，AB＝20cm，∴GB＝AB＝10cm，．在Rt△BCF中，∠FBC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，BF＝DE﹣BG＝40（cm），∴CF＝BF•tan∠FBC＝40tan40°≈33.6（cm），∴AD＝CE+CF﹣AG＝150+33.6﹣17.3≈166（cm）．答：安装师傅应将支架固定在离地面166cm的位置．2．为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠P AB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】设PC＝x米，根据等腰直角三角形的性质用x表示出AC，根据正切的定义列出方程，解方程求出x，得到CD的长，结合图形计算，得到答案．【解答】解：设PC＝x米，在Rt△ACP中，∠P AC＝45°，∴AC＝PC＝x，∴BC＝200﹣x，在Rt△BCP中，∠PBA＝30°，∴tan∠PBA＝，∴＝，解得x＝100﹣100≈100×1.732﹣100＝73.2，即PC＝73.2米，答：风筝的高度PC约是73.2米．3．如图1所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成．图2是其侧面结构示意图，支撑板CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB 可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（1）如图2，当∠CDE＝60°时，求点C到直线DE的距离；（2）如图3，当∠DCB＝90°时，再将CD绕点D转动，使点B落在DE上，求此时∠CDB的度数．【分析】（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，即可解答；（2）在Rt△DCB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，在Rt△CDF中，∠CDE＝60°，CD＝40mm，∴CF＝CD•sin60°＝40×＝60（mm），∴点C到直线DE的距离为60mm；（2）在Rt△DCB中，CD＝40mm，CB＝40mm，∴tan∠CDB＝＝＝，∴∠CDB＝30°，∴此时∠CDB的度数为30°．4．火灾是生活中最常见、最突出的一种灾难，消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC（10m≤AC≤20m）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE＝3.5m．（1）当起重臂AC的长度为12m，张角∠CAE＝120°，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一居民家突发火灾，该居民家距离地面的高度为180m，该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）【分析】（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．先在Rt△AGC中求出CG，再利用直角三角形的边角间关系求出CF；（2）先计算当AC长20m、∠CAE＝150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．【解答】解：（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．由题意知：四边形AEFG是矩形．∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝∠AGC＝∠AGF＝90°．∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝30°．在Rt△AGC中，∵sin∠CAG＝，∴CG＝AC×sin30°＝12×＝6（m）．∴CF＝CG+GF＝3.5+6＝9.5（m）．答：云梯消防车最高点C距离地面的高度CF为9.5m．（2）过点C作CH⊥AE，交EA的延长线于点H．当AC＝20m，∠CAE＝150°时，∠HAC＝30°．在Rt△AHC中，∵cos∠HAC＝，∴AH＝cos∠HAC×AC＝cos30°×20＝×20＝10≈1.732×10＝17.32（m）．∴HE＝AH+AE＝3.5+17.32＝20.82（m）．由题意知，四边形HEFC是矩形，∴CF＝HE＝20.82m．∵20.82＜180，∴该消防车不能实施有效救援．5．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB ＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离（线段AC）为10cm．求：（1）∠BAC＝45°，OM＝ 5.5cm；（2）此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.414）【分析】（1）延长MO交AC于点D，则∠ADO＝90°，先利用平角定义求出∠AOD＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DAO＝70°，再利用角的和差关系可求出∠BAC，最后根据题意利用支点O到水平桌面的距离减去台灯底座高度即可求出OM的长；（2）先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC，AB的长，从而求出AO的长，然后在Rt△ADO中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）延长MO交AC于点D，则∠ADO＝90°，∵∠AOM＝160°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝20°，∴∠DAO＝90°﹣∠AOD＝70°，∵∠OAB＝115°，∴∠BAC＝∠OAB﹣∠DAO＝45°，由题意得：OM＝7.5﹣2＝5.5（cm），故答案为：45；5.5cm；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，AC＝10cm，∴BC＝AC•tan45°＝10（cm），AB＝AC＝10≈14.14（cm），由题意得：AO＝31.64﹣AB﹣OM＝12（cm），在Rt△ADO中，∠AOD＝20°，∴OD＝AO•cos20°≈12×0.94＝11.28（cm），∴BC+OD+7.5＝28.78（cm），∴此时点B到桌面的距离约为28.78cm．6．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）【分析】（1）以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO 与⊙O交于点Q，根据题意可得PD＝145m，DQ＝55m，从而求出PQ的长，进而可得OA＝OP＝PQ，进行计算即可解答；（2）过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，从而得∠DOF＝90°，EF＝OD，进而求出∠BOF＝44.4°，然后在Rt△BOF中求出BF，进行计算即可解答．【解答】解：如图，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO与⊙O交于点Q，由题意得：PD＝145m，DQ＝55m，∴PQ＝PD﹣DQ＝145﹣55＝90（m），∴OA＝OP＝PQ＝45（m），∴风轮叶片OA的长度为45m；（2）如图，过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，则四边形ODEF是矩形，∴∠DOF＝90°，EF＝OD，由题意得：∠AOB＝120°，AOD＝14.4°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOD﹣∠DOF＝44.4°，∴BF＝OB sin44.4°≈45×0.70＝31.5（m），∵OD＝PD﹣OP＝145﹣45＝100（m），∴EF＝OD＝100m，∴BE＝BF+EF＝131.5（m），∴此时风叶OB的端点B距地面的高度为131.5m．7．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝147°，EF与AB的位置关系垂直；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）【分析】（1）①根据平行四边形的判定定理可知四边形GHMN是平行四边形，可得∠M ＝∠HGN＝147°；由AH⊥AB，EF∥AH，可知EF⊥AB；②过G作GP⊥EF，可求FP ＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，由四边形GDEP为平行四边形可得GD＝PE，即可求解；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P，由cos∠GNP＝＝＝0.55，可求∠GNP≈57°，可得∠NGP≈33°，∠NGD≈123°，即可求得∠PGD的值．【解答】解：（1）①∵GH＝MN，MH＝NG，∴四边形GHMN是平行四边形，∵∠NGD＝33°，∴∠M＝∠HGN＝147°，∵AH⊥AB，EF∥AH，∴EF⊥AB，故答案为：147，垂直；②过G作GP⊥EF，垂足为P，∵∠NGD＝33°，∴∠FGP＝57°，∴FP＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，∵GP⊥EF，EF⊥AB，∴GP∥AB，又∵DE∥AB，∴GP∥DE，∵EF∥AH，∴四边形GDEP为平行四边形，∴GD＝PE，∴EF＝DG+PF＝50+50+42≈142.0cm；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P．∴NP＝305﹣50﹣50﹣150＝55cm，∵NG＝GD＝100cm，∴cos∠GNP＝＝＝0.55，∴∠GNP≈57°，∴∠NGP≈33°，∴∠NGD≈123°，∴∠PGD≈123°﹣33°＝90°，故NF绕着G点顺时针旋转了90°．8．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行．（1）若支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°，求两轮轮轴A，B之间的距离；（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长度即可；（2）作辅助线，分别求出C点到AB的距离，F点到直线DO的距离，求和即可．【解答】解：（1）∵支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°，∴AB＝＝＝100（cm），即两轮轮轴A，B之间的距离为100cm；（2）过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG+CH，∵OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，∴∠FOG＝180°﹣120°＝60°，∵∠G＝90°，∴∠F＝30°，∴OG＝OF＝30，∴FG＝30，由（1）知AB＝100，AC＝80，BC＝60，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，即×100×CH＝×60×80，解得CH＝48，∴FG+CH＝48+30≈48+30×1.732≈100.0cm，即扶手F到AB所在直线的距离为100.0cm．9．为应对新冠疫情，学校购进一批酒精消毒瓶（如图1），AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝8cm，BE＝6cm，当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan30°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【分析】（1）由平行线的性质可求得∠D'BE＝72°，从而可求得∠DBD'＝36°，利用弧长公式即可求解；（2）过点D作DG⊥BD'于点G，过E作EH⊥BD'于点H，可求得DG＝4.72cm，HE＝5.7cm，利用平行线的性质可求解．【解答】解：（1）∵BD′∥EF，∠DBE＝∠BEF＝108°，∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝36°，∵BD＝8cm，∴点D转动到点D′的路径长为：（cm）；（2）过点D作DG⊥BD'于点G，过E作EH⊥BD'于点H，如图，Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈8×0.59＝4.72（cm），Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°＝6×0.95＝5.7（cm），∴DG+HE＝10.42cm，∵BD'∥EF，∴点D到直线EF的距离约为10.42cm．10．如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）【分析】（1）连接CD，延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，利用等腰三角形的三线合一性质可得∠CBE＝37°，CD＝2CE，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，最后进行计算即可解答；（2）在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出CD的长，进而求出正六边形的边长，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接CD，延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，∵BC＝BD＝56mm，∴∠CBE＝∠CBD＝37°，CD＝2CE，在Rt△BCE中，BE＝BC•cos37°≈56×0.8＝44.8（mm），∵AB＝8mm，∴AE＝AB+BE＝8+44.8＝52.8（mm），∴A离纸面CD的距离约为52.8mm；（2）在Rt△BCE中，∠CBE＝37°，BC＝56mm，∴CE＝BC•sin37°≈56×0.6＝33.6（mm），∴CD＝2CE＝67.2（mm），∴正六边形的边长为67.2mm，∴正六边形的周长＝6×67.2＝403.2（mm），∴正六边形的周长约为403.2mm．11．住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m．已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°．（参考数据：sin35°≈0.57；cos35°≈0.81；tan35°≈0.70）（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1m）？（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？【分析】（1）根据直角三角形的边角关系进行计算即可；（2）根据直角三角形的边角关系计算出AN即可．【解答】解：（1）如图1，由题意可知，AB＝CD＝16.8m，∠ADB＝35°∵tan∠ADB＝，∴≈0.7，∴BD≈24.0米，答：两楼间的距离应为24.0m；（2）如图2，过点M作MN∥BD，在Rt△AMN中，BD＝20m＝MN，∠AMN＝35°，∴AN＝tan35°×MN≈14.0（m），∴MD＝AB﹣AN＝16.8﹣14.0＝2.8（m），答：这时南楼的影子会影响北楼一楼的采光，且影子在CD的高度为2.8 m．12．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）在Rt△PDQ中，由∠PDQ＝30°得出DQ＝2，进而求出FP即可；（2）当∠ADC＝53°，PE＝3.2米时，求出PF，与2.1米比较即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，由题意可知，∠ADC＝60°，PE＝2.4米，QE＝0.4米，在Rt△PDQ中，∠PDQ＝30°，PQ＝2.4﹣0.4＝2（米），∴tan30°＝，∴DQ＝＝2（米），∴PF＝AB﹣DQ＝（6﹣2）（米），（2）当∠ADC＝53°，PE＝3.2米时，则∠DPQ＝53°，PQ＝3.2﹣0.4＝2.8（米），∴DQ＝PQ•tan53°≈2.8×1.33＝3.724（米），∴PF＝6﹣3.724≈2.276（米），∵2.276＞2.1，∴能通过．13．如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．（1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；（2）若（1）中BC长度不变，当∠MAB＝30°时，求该挖掘机最远（即伸展臂伸展角∠ABC最大时）能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）【分析】（1）根据题意可得：∠BCA＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；（2）过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意可得：∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，从而利用三角形内角和定理求出∠ACD＝45°，然后在RtABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）如图：由题意得：∠BCA＝90°，在Rt△ABC中，∠MAB＝45°，AB＝4米，∴BC＝AB•sin45°＝4×＝2（米），∴伸展臂BC的长为2米；（2）过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意得：∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠MAB＝45°，在RtABD中，AB＝4米，∴AD＝AB•cos30°＝4×＝2（米），在Rt△BCD中，BC＝2米，CD＝BC•cos45°＝2×＝2（米），∴AC＝AD+CD＝（2+2）米，∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2+2）米的土石．14．激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．15．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）【分析】（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，利用平行线的性质可得∠BMH＝66.4°，然后在Rt△BMH中，利用锐角三角函数的定义求出MH的长，从而求出HP的长，即可解答；（2）延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，利用平角定义先求出∠NMK 的度数，再在Rt△NMK中，利用锐角三角函数的定义求出KM的长，从而求出PQ的长，进行比较即可解答．【解答】解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣17.6＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，在Rt△MNK中，MN＝30cm，∴KM＝MN•cos45°＝30×＝15（cm），∵KQ＝50cm，∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），。
中考数学专题训练：解直角三角形及其应用(附参考答案)
中考数学专题训练：解直角三角形及其应用（附参考答案）1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )A．sin B＝ADAB B．sin B＝ACBCC．sin B＝ADAC D．sin B＝CDAC2.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin ∠AEC＝( )A．2√55B．√55C．12D．√1043.计算sin 30°·tan 45°的结果是( )A．12B．√32C．√36D．√244.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则tan B的值为( ) A．√33B．1C．√3D．25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则cos B的值为( )A．13B．12C．√22D．√326.如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为( )A．3√2B．3√5C．3√7D．6√27.已知α为锐角，且2sin (α－10°)＝√3，则α等于( )A．50°B．60°C．70°D．80°8.如图，在点F处看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为( )A．15sin 32°B．15tan 64°C．15sin 64°D．15tan 32°9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，使得AE ＝AC.若BE＝3ED，则sin ∠BAE＝( )A．12B．15C．35D．3410.如图，河对岸有铁塔AB，C，D，B三点共线，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向铁塔方向水平前进14 m到达D处，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为( )A．4(4√3－1)m B．7(√3＋1)mC．(16√3＋7)m D．(10√3＋7)m11.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的塔AB的高度，他从塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1∶√3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得塔AB的高度是( )A．(10√3＋20)m B．(10√3＋10)mC．20√3 m D．40 m12.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是______．13.在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4√2，BC＝5，则△ABC的面积为_________．14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C在x轴上，，则点C的坐标为______．且点C在点A右方，连接AB，BC.若tan ∠ABC＝1315.如图，在杭州西湖风景区游船处，在离水面高度为5 m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13 m，此人以0.5 m/s的速度收绳，10 s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了______________m.(假设绳子是直的，结果保留根号)16.某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东45°方向航行，那么“海天”号沿______________方向航行．17.湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C 接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离；(结果精确到1米，参考数据：√3≈1.732)(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．(接送游客上下船的时间忽略不计)18.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan ∠ABG＝1，正方形ABCD的边长为8，求BH的长．219.小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2.已知AD＝BE＝10 cm，CD＝CE＝5 cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)(1)连接DE，求线段DE的长；(2)求点A，B之间的距离．参考答案1．C 2．A 3．A 4．A 5．B 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B 11．A 12．12，0) 15.(12－√39) 16.北偏西45°13. 2或14 14.(9417.(1)湖岸A与码头C的距离约为1 559米(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船，理由略18.BH＝1019.(1)DE的长为3.4 cm (2)点A，B之间的距离为22.2 cm。
2021年中考数学 专题训练：直角三角形与勾股定理(含答案)
2021中考数学专题训练：直角三角形与勾股定理一、选择题1. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin△BAC的值为()A.B.C.D.2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A. 433B. 4 C. 8 3 D. 433. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. (2019•南通)小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间5. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.36. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则(sinθ-cosθ)2=()A.B.C.D.7. 如图，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝()A. 3B. 4C. 4.8D. 58. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB=3，AC=2，且α+β=∠B，则EF=.10. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=6，BP=8，CP=10，则S△ABP+S△BPC=.11. 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN.(1)根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系;(2)若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积.12. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．13. 如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE△BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．14. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为________．三、解答题15. 如图，已知:在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点E，F分别是边BC，AC的中点.求证:DF=BE.16. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.17. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三n2-12n B边勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3518. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．．2021中考数学专题训练：直角三角形与勾股定理-答案一、选择题1. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.2. 【答案】D【解析】∵Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，∴AC＝12AB＝4，∴BC＝AB2－AC2＝64－16＝4 3.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=2222+=+=，∴P点所表示的数就是132313OA AB，<<，<<34即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．5. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.6. 【答案】A[解析]∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，∴5cosθ-5sinθ=5，∴cosθ-sinθ=，∴(sinθ-cosθ)2=.故选A.7. 【答案】D【解析】∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝3.在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则BH ＝32，AH ＝AB 2－BH 2＝332.连接P A ，PB ，PC ，则S △P AB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH ，∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332.二、填空题9. 【答案】[解析]∵α+β=∠B ，∴∠EAF=∠BAC +∠B=90°， ∴△AEF 是直角三角形， ∵AE=AB=3，AF=AC=2， ∴EF==.10. 【答案】16+24 [解析]将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°到△CBP'，连接PP'，所以P'C=P A=6，BP=BP'，∠PBP'=60°，所以△BPP'是等边三角形，其边长BP 为8，所以PP'=8，S △BPP'=16，因为PC=10，所以PP'2+P'C 2=PC 2，所以△PP'C 是直角三角形，S △PP'C =24，所以S △ABP +S △BPC =S △BPP'+S △PP'C =16+24.11. 【答案】解:(1)由勾股定理得，a 2+b 2=c 2.(2)∵正方形EFMN 的面积为64，∴c 2=64，即c=8. ∵Rt△ABC 的周长为18，∴a +b +c=18， ∴a +b=10，∴Rt△ABC 的面积=ab=[(a +b )2-(a 2+b 2)]=9.12. 【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或13. 【答案】78【解析】如解图，过A 作AH△BC ，△AB ＝15，AC ＝20，△BAC＝90°，△由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，△AD ＝5，△DC ＝20－5＝15，△DE△BC ，△BAC ＝90°，△△CDE△△CBA ，△CE CA ＝CD CB ，△CE ＝1525×20＝12. 法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE△△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，△AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.14. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.三、解答题15. 【答案】证明:连接AE ，∵点E ，F 分别是边BC ，AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AB ，即EF ∥AD 且EF=AB. 又∵AD=AB ，∴AD=EF ，∴四边形ADFE 是平行四边形，∴DF=AE. ∵在Rt△ABC 中，点E 是BC 的中点， ∴AE=BC=BE ，∴BE=DF .16. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△CAD是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D作DE⊥BC于E，∵AC⊥BC，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt△CDE中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.17. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.[发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-12n B边勾股数组Ⅰ817勾股数组Ⅱ353718. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC ＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)。
专题1.3 含30°角的直角三角形性质专项训练(30道)(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.3 含30°角的直角三角形性质专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择题10道，填空题10道，解答题10道，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，综合性较强！1．（2021秋•娄星区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°，则下列结论中正确的是（ ）A．AC＝2AD B．CD＝2BD C．BC＝2CD D．BC＝2BD2．（2021春•丹东期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝4，则BC的长为（ ）A．8B．10C．11D．123．如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（ ）A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm4．（2021春•濮阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（ ）A．8B．4C．12D．65．（2021春•新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）A．5B．6C．8D．106．（2021春•岳麓区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（ ）A．10B．8C．6D．47．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE 是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（ ）A．4.5B．5C．5.5D．68．（2020秋•丛台区校级期末）如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（ ）A．3B．4C．5D．69．（2021•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）A．4B．6C．8D．1010．（2021春•织金县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝3AD，其中正确的个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共10小题）11．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为 ．12．（2020秋•沂水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝6，点D，E分别是边BC，AC上的点，且BD＝2CD，DE∥AB，则DE的长是 ．13．（2021春•普宁市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝2，则CF的长为 ．14．（2021春•垦利区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD．若AD＝2cm，则△ABC的周长为 cm．15．（2021春•九江期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF＝2DE＝2，连接CE、EB，若BE＝EC，则CF的长为 ．16．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 ．17．（2021春•济宁期末）如图，△ABC是等边三角形，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB，AD＝6，则△EFC的周长为 ．18．（2020秋•西城区期末）如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ．若AD ＝12，则DE ＝ ；△EDC 与△ABC 的面积关系是：S △EDC S △ABC= ．19．（2020秋•海珠区校级期末）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，CM 平分∠ACB 交AB 于点M ，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，且MN 平分∠AMC ，若AN ＝1，则BC 的长为 ．20．（2020秋•梁园区期末）如图，∠ABC ＝60°，AB ＝3，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当△ABP 是钝角三角形时，t 满足的条件是 ．三．解答题（共10小题）21．（2021春•渠县校级期末）如图，已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 边的中点，DE ⊥AC ．求证：CE ＝3AE ．22．（2020秋•无棣县期末）如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．若CD＝3cm，求DF的长．23．（2020秋•丰台区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，AE∥CB，∠AEB＝90°．求证：AE＝CD．24．（2020秋•温岭市期中）一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．25．（2020春•揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB 和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．26．（2020秋•西华县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD ＝BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，MF的长为2．（1）求∠ADE的度数；（2）△ADF是正三角形吗？为什么？（3）求AB的长．27．（2021秋•官渡区期末）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．28．（2021春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？29．（2021秋•禹州市期中）如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．30．（2021•沙坪坝区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE 交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．。
专题训练 直角三角形在圆中的应用
专题训练 直角三角形在圆中的应用圆中有两类重要的直角三角形：(1)斜边是圆的半径，直角边是弦的一半，另一条直角边是圆心到弦的垂线段，在这类直角三角形中，应用勾股定理可以很轻松地计算出半径、弦长、弦心距(圆心到弦的距离)和弓形高这四个量中的任意一个量．(2)两直角边是弦，斜边是直径，这类直角三角形对计算圆周角、圆心角和弦长有很重要的作用．► 类型之一 求半径1．如图4－ZT －1，⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰直角三角形ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( )图4－ZT －1A ．6B ．13 C.13 D ．2 32．如图4－ZT －2所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，AB ＝120 m ，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝20 m ，则这段弯路的半径为________m.图4－ZT －23．已知⊙O 中，弦AB 的长为8 cm ，圆心到弦AB 的距离为3 cm ，求⊙O 的半径． ► 类型之二 求弦心距4．如图4－ZT －3所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长为24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON 的长为( )图4－ZT －3A ．5B ．7C ．9D ．115．如图4－ZT －4，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为________m.图4－ZT －4► 类型之三 求弦长6．2019·襄阳如图4－ZT －5，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA ⊥BC ，∠CDA ＝30°，则弦BC 的长为( )图4－ZT －5A ．4B ．2 2 C. 3 D ．2 3► 类型之四 求直径7．如图4－ZT －6所示，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且AB ＝42，AC ＝5，AD ＝4，则⊙O 的直径AE ＝________．图4－ZT －6► 类型之五 求圆周角8．2019·菏泽如图4－ZT －7，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是( )图4－ZT －7A ．64°B ．58°C ．32°D ．26°► 类型之六 多法求证题9．如图4－ZT －8，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径．求证：AB ·AC ＝AE ·AD .图4－ZT －8教师详解详析1．[解析] C 如图，过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连结OB .∵BC 是⊙O 的一条弦，且BC ＝6，∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×6＝3， ∴OD 垂直平分BC .又∵AB ＝AC ，∴点A 在BC 的垂直平分线上，即A ，O ，D 三点共线．∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°，∴△ABD 也是等腰直角三角形，∴AD ＝BD ＝3.∵OA ＝1，∴OD ＝AD －OA ＝3－1＝2.在Rt △OBD 中，OB ＝BD 2＋OD 2＝32＋22＝13.故选C.2．[答案] 100[解析] ∵AB ＝120，OC ⊥AB ，∴BD ＝60.根据勾股定理，得OB 2＝BD 2＋OD 2，即OB 2＝602＋(OB －20)2.解得OB ＝100.3．解：如图所示．由题意知：在△ADO 中，∠ADO ＝90°，OD ＝3 cm ， AD ＝12AB ＝4 cm.由勾股定理，得 AO ＝OD 2＋AD 2＝32＋42＝5(cm)．∴⊙O 的半径为5 cm.4．[解析] A 因为ON ⊥AB ，所以AN ＝12AB ＝12×24＝12，∠ANO ＝90°.在Rt △AON 中，由勾股定理，得ON ＝AO 2－AN 2＝132－122＝5.故选A.5．[答案] 0.8[解析] 如图，设圆柱形排水管道的截面圆的圆心为O ，过点O 作OC ⊥AB ，C 为垂足，交⊙O 于点D ，E ，连结OA ，则OA ＝0.5 m.∵OC ⊥AB ，AB ＝0.8 m ，∴AC ＝BC ＝0.4 m.在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2，∴OC ＝0.3 m ，则CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)．故答案为0.8.6．[解析] D 设AO 与BC 交于点E .∵OA ⊥BC ，OA 为⊙O 的半径，∴AC ︵＝AB ︵，CE ＝BE ，∴∠AOB ＝2∠ADC ＝60°.在Rt △BOE 中，∵∠BOE ＝60°，∴BE ＝OB ·sin60°＝3，∴BC ＝2BE ＝2 3.故选D.7．[答案] 5 28．[解析] D ∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵.∵∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∠BOC 是BC ︵所对的圆心角，∴∠BOC ＝2∠ADC ＝64°，∴∠OBA ＝90°－∠BOC ＝90°－64°＝26°.故选D.9．证明：方法1：连结BE .∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ABE ＝∠ADC .又∵∠E ＝∠C ，∴△AEB ∽△ACD ，∴AB AD ＝AE AC，∴AB ·AC ＝AE ·AD .方法2和方法3的辅助线已经添加，请同学们自己完成.。
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课题：直角三角形
1．了解直角三角形两个锐角的关系．
2．掌握直角三角形的判定．
重点：直角三角形两个锐角的关系及直角三角形的判定．
一、情景导入，感受新知
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里往着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．
同学们，你们知道其中的道理吗？
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P13，完成下面的内容：
1．直角三角形的两个锐角有什么关系？
2．直角三角形如何表示？
如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE.
(二)阅读教材P14，完成下面的内容：
1．在一个三角形中，若有两个角互余，则这两个角之和为90°，由三角形内角和定理，第三个角的度数为：180°－90°＝90°，所以该三角形为直角三角形．
2．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形．证明：略．
师生活动
①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑．
②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨．
③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑．
三、典例剖析，运用新知 【合作探究】
例1：如图，将两个完全相同的直角三角形叠放，使一个三角形的锐角顶点与另一个三角形的直角顶点重合，另外B ，C ，D 三点在一条直线上．请问：重叠部分的三角形是直角三角形吗？为什么？
解：是直角三角形． 理由如下：
根据题意可知，∠A ＝∠EBD ，∠A ＋∠ACB ＝90°， ∴∠EBD ＋∠ACB ＝90°. ∴∠BFC ＝90°. ∴△BFC 是直角三角形．
例2：根据下列条件，判断△ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？ (1)∠A ＝∠B ，∠C ＝40°； (2)∠B ＝∠C ＝30°； (3)∠A ＝75°，∠B ＝15°.
解：(1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∠C ＝40°，∠A ＝∠B ，∴∠A ＝∠B ＝180°－∠C
2
＝
180°－40°
2
＝70°，∴△ABC 中的最大角为70°.∴△ABC 是锐角三角形． (2)在△ABC 中，∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－30°－30°＝120°，∴△ABC 中最大角是120°，∴△ABC 是钝角三角形．
(3)在△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－75°－15°＝90°，∴△ABC 中最大角为90°.∴△ABC 是直角三角形．
师生活动
①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑． ②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨． ③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑． 四、课堂小结，回顾新知
1．直角三角形两锐角的关系：__互余__．
2．直角三角形的判定方法：__证明有一个内角为90°__． 五、检测反馈，落实新知
1．如图，直线a ⊥直线c ，若∠1＝70°，则∠2＝( C ) A ．70° B ．110° C ．20° D ．30°
第1题图
第2题图
2．如图，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1＝40°，则∠2的度数是( B ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．140°
3．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝70°，∠C ＝30°. (1)求∠BAE 和∠DAE 的度数．
(2)若∠C －∠B ＝α(∠C ＞∠B)，求∠DAE 的度数．(用含α的代数式表示)
解：(1)如图，∵在△ABC 中，∠B ＝70°，∠C ＝30°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－70°－30°＝80°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝1
2×80°＝40°；∵AD ⊥BC ，∠B ＝70°，∴∠BAD ＝90°－
∠B ＝90°－70°＝20°，∵∠BAE ＝40°，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°.
(2)∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝1
2(180°－∠B －∠C)，∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝90°－∠B ，∴∠DAE ＝
∠BAD －∠BAE ＝(90°－∠B)－12(180°－∠B －∠C)＝12(∠C －∠B)＝1
2
α.
六、课后作业：巩固新知 (见学生用书)。