专题训练：直角三角形

课题：直角三角形

1．了解直角三角形两个锐角的关系．

2．掌握直角三角形的判定．

重点：直角三角形两个锐角的关系及直角三角形的判定．

一、情景导入，感受新知

内角三兄弟之争

在一个直角三角形里往着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．

同学们，你们知道其中的道理吗？

二、自学互研，生成新知

【自主探究】

(一)阅读教材P13，完成下面的内容：

1．直角三角形的两个锐角有什么关系？

2．直角三角形如何表示？

如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？

解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.

在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.

∵∠AEC＝∠BED，

∴∠CAE＝∠DBE.

(二)阅读教材P14，完成下面的内容：

1．在一个三角形中，若有两个角互余，则这两个角之和为90°，由三角形内角和定理，第三个角的度数为：180°－90°＝90°，所以该三角形为直角三角形．

2．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？

解：△ADE是直角三角形．证明：略．

师生活动

①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑．

②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨．

③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑．

三、典例剖析，运用新知 【合作探究】

例1：如图，将两个完全相同的直角三角形叠放，使一个三角形的锐角顶点与另一个三角形的直角顶点重合，另外B ，C ，D 三点在一条直线上．请问：重叠部分的三角形是直角三角形吗？为什么？

解：是直角三角形． 理由如下：

根据题意可知，∠A ＝∠EBD ，∠A ＋∠ACB ＝90°， ∴∠EBD ＋∠ACB ＝90°. ∴∠BFC ＝90°. ∴△BFC 是直角三角形．

例2：根据下列条件，判断△ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？ (1)∠A ＝∠B ，∠C ＝40°； (2)∠B ＝∠C ＝30°； (3)∠A ＝75°，∠B ＝15°.

解：(1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∠C ＝40°，∠A ＝∠B ，∴∠A ＝∠B ＝180°－∠C

2

＝

180°－40°

2

＝70°，∴△ABC 中的最大角为70°.∴△ABC 是锐角三角形． (2)在△ABC 中，∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－30°－30°＝120°，∴△ABC 中最大角是120°，∴△ABC 是钝角三角形．

(3)在△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－75°－15°＝90°，∴△ABC 中最大角为90°.∴△ABC 是直角三角形．

师生活动

①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑． ②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨． ③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑． 四、课堂小结，回顾新知

1．直角三角形两锐角的关系：__互余__．

2．直角三角形的判定方法：__证明有一个内角为90°__． 五、检测反馈，落实新知

1．如图，直线a ⊥直线c ，若∠1＝70°，则∠2＝( C ) A ．70° B ．110° C ．20° D ．30°

第1题图

第2题图

2．如图，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1＝40°，则∠2的度数是( B ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．140°

3．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝70°，∠C ＝30°. (1)求∠BAE 和∠DAE 的度数．

(2)若∠C －∠B ＝α(∠C ＞∠B)，求∠DAE 的度数．(用含α的代数式表示)

解：(1)如图，∵在△ABC 中，∠B ＝70°，∠C ＝30°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－70°－30°＝80°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝1

2×80°＝40°；∵AD ⊥BC ，∠B ＝70°，∴∠BAD ＝90°－

∠B ＝90°－70°＝20°，∵∠BAE ＝40°，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°.

(2)∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝1

2(180°－∠B －∠C)，∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝90°－∠B ，∴∠DAE ＝

∠BAD －∠BAE ＝(90°－∠B)－12(180°－∠B －∠C)＝12(∠C －∠B)＝1

2

α.

六、课后作业：巩固新知 (见学生用书)