精品解析：【全国市级联考】重庆市2018届高三上学期期末考试(康德卷)数学理试题(解析版)

2017年秋高三（上）期末测试卷
理科数学
第I卷
一．选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分。

1.
B. 2
C. 10
D. 13
【答案】B
本题选择B选项.
2.
A. {1，2}
B. {5，6}
C. {1，2，5，6}
D. {3，4，5，6}
【答案】C
本题选择C选项.
3.
为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
综上可得：四个命题中真命题的个数为2.
本题选择B选项.
4.
【答案】D
【解析】利用排除法：
A错误，
B错误，
当C错误，
本题选择D选项.
5. 根据如下样本数据：
B.
C. 11 3
D.
【答案】D
回归方程过样本中心点，则：，
，
可知变量
11时，无法确定y的值；
.
本题选择A选项.
点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
6. 9，则输出的结果是
B. 0 D. 1
【答案】C
【解析】由题意可得，该流程图的功能计算的值为：
本题选择C选项.
7.
A. B.
C. D.
【答案】A
则函数图象关于坐标原点对称，选项C,D错误；
B错误；
本题选择A选项.
8. 甲、乙、丙、丁五位同学相约去学校图书室借阅四大名著（每种名著均有若干本），已知每人均只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为
A. 72
B. 60
C. 54
D. 48
【答案】C
【解析】分类讨论：
若乙丙丁戊中有人借阅《三国演义》，则满足题意的不同借阅方案种数为
若乙丙丁戊中没有人借阅《三国演义》，原问题等价于4个球放入三个盒子，每个盒子均不空，放置的方法
为：2+1+1，结合排列组合的结论可得：此时的不同借阅方案种数为
.
本题选择B选项.
点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；
③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
9. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。

其意思为“今有持金出五关，
第1234关收税金为剩余5关收税金为剩余金的5关所税金之和，恰好重1斤。

”则在此问题中，第5关收税金为
斤
【答案】B
第三关的税金为：，
同理，第四关的税金为，第五关的税金为
，第五关的税金为：斤.
本题选择C选项.
10. 已知函数
【答案】C
函数在区间内单调递减，则：，的不等式可得：
本题选择C选项.
11. 已知点
B. 0 D. －8
【答案】B
【解析】由题意可得：
故最小值为
本题选择C选项.
点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
12. 已知关于
【答案】A
上单增，，故
又直线
，所以
本题选择B选项.
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做。

第22题－第23题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 二项式___________。

【答案】15
，则展开式中的常数项为：.
14. 已知向量___________。

【答案】3
，
15. 当正实数0
____________。

【解析】设
成立，故
16. 已知为双曲线
，若，则双曲线___________。

，
，，
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知数列
（I）求证：
（II，求数列
【答案】（I）详见解析；（II
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由递推关系可得：，则数列
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得：，
试题解析：
（I
(Ⅱ)，故，
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
18. 在△ABC中，角A，B，C
（I）求A；
（II ABC的面积为
【答案】（I（II
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意结合辅助角公式可得：
(Ⅱ)由题意结合三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，则，有正弦定理边角互化可得.学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...
试题解析：
知，故，即
.
19. 某百货商场举行年终庆典，推出以下两种优惠方案：
方案一：单笔消费每满200元立减50元，可累计；
方案二：单笔消费满200元可参与一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球，若摸到2个红球则按原价的5折付款，若摸到1个红球则按原价的7折付款，若未摸到红球按原价的9折付款。

单笔消费不低于200元的顾客可从中任选一种优惠方案。

（I）某顾客购买一件300元的商品，若他选择优惠方案二，求该顾客最好终支付金额不超过250元的概率。

（II）若某顾客的购物金额为210元，请用所学概率知识分析他选择哪一种优惠方案更划算？
【答案】（I（II）方案二.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)
(Ⅱ)若选择方案一，则需付金额元，求得其分布列，计算方差可得
.
试题解析：
（Ⅰ）顾客最终支付金额不超过250
.
20. 已知椭圆C
且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M，N两点，
且｜MN｜＝1。

（I）求椭圆
（II C相交于P，Q两点，点，求直线
【答案】（I）（II
【解析】试题分析：
(Ⅰ)，，则椭圆
；
(Ⅱ)设直线方程为
，利用平面向量垂直的充要条件有
此可得关于实数k的方程
.
试题解析：
，整理可得
，整理可得
，
，即
，即
当时，直线经过点，不满足题意，舍去，故
点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21. 已知函数
（I
（II
【答案】（I（II）详见解析.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)
内有唯一极值点；
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，设在上单减，在上单增，
据此命题得证.
试题解析：
上单调递增，又时，
内有唯一实根，即
，故上单增，在
恒成立，此时无极值点，若，
时有两个极值点；
上单减，在上单增，的值域为
，又单增，所以要证即证
.
请从下面所给22．23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂．多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22. 选修4－4：坐标系与参数方程
（，
（I
（II）为极点，
与直线交于点
【答案】（I（II
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由几何关系可得，最小距离为圆心到直线的距离与半径之差，解方程有(Ⅱ)，分别代入
，求解三角方程可得
试题解析：
，直线，分别代入
故即
23. 选修4－5：不等式选讲。

（I）求实数
（II
【答案】（I（II）详见解析.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)
(Ⅱ)结合(Ⅰ)，由柯西不等式可得
试题解析：
.。