从一道数学习题引发的思考
精心架设探究路径 提升学生思维能力——对三年级教材习题“你发现了什么”的认识与思考
精心架设探究路径 提升学生思维能力——对三年级教材习题“你发现了什么”的认识与思考王 琼（浙江省嵊州市剡山小学浙江省嵊州市312400）摘要：人教版小学数学教材中有“你发现了什么？这样一类的习题，老师们在实际教学时由于解读教材不够，对此类习题的编写意图理解不清，往往忽略了它潜在的价值功能，从而影响了学生数学学习的真正发生。
文章以三年级教材习题为例，理清“你发现了什么”从哪里来，到哪里去，以“你发现了什么”这一类题为核心，引发学生深度思考和学习，剖析数学知识的本源，逐步培养学生的高阶思维能力。
关键词：深度学习；思维能力；探索规律中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1672-1578(2021)06-0117-02课后习题是学生数学学习反馈的载体之一，同时也是编者渗透新课标理念的具体体现，它们或是体现某种数学思想，或是渗透某些数学方法，或是蕴含某种数学规律。
在现行人教版小学数学教材中，常常会出现这样一类型的习题——“你发现了什么”。
老师们在实际教学时由于解读教材不够，对此类习题的编写意图理解不清，往往只追求计算结果，就题论题，而忽视学生过程的经历和思维能力的发展，没有让课后习题发挥其潜在的作用。
基于此，以“你发现了什么”这一类题为核心，引发学生思考，激发学生讨论，让学生在学习过程有更多的时机发现问题和提出问题，分析和解决问题，剖析出数学知识的本源，并通过课堂学习培养学生整体性、系统性、综合性的思维方式，从而让深度学习真正发生，达成对数学知识的深度理解。
1.从哪里来？——理清编排思路，把握编写意图纵观小学数学三年级教材内容，“你发现了什么”在课后习题中共出现了13次，其中涉及“数与代数”领域11次，“图形与几何”领域2次。
总体上看，不论属于哪一领域，虽然所属章节内容不尽相同，但主要都是以计算内容为主，都需要探索规律。
通过这样的编排，一方面对学生所学知识加以巩固提升，加深对数学知识的本质理解；另一方面让学生经历自主探究规律的过程，发展学生的思维能力。
数学学习心得感想5篇
数学学习心得感想5篇现代数学要求我们用数学的眼光来观察世界，用数学的语言来阐述世界。
从小学生数学学习心理来看，学生的学习过程不是被动的吸收过程，而是一个以已有知识和经验为基础的重新建构的过程。
这里给大家分享一些关于数学学习心得感想，供大家参考。
数学学习心得感想120_年3月24日，由省教科所组织的小学数学优质课评比活动在仙桃举行，我有幸参加了这次观摩活动。
看到参赛的每一位老师都以自己的特色诠释着数学课堂教学中生命的对话，真可谓“八仙过海，各显神通”。
置身于会场中，倾听着老师们一堂堂精心准备的课，在这里，我亲身领略着他们对教材的深刻解读，感受着他们对课堂的准确把握，体会着他们对学生的密切关注。
他们在开启学生智慧大门的同时，也让我学到了很多很多新的教学方法和新的教学理念，引发了我对课堂化的思考。
由于我校也曾经研讨过《千以内数的认识》，所以对东方红小学万睿杉老师所执教的这一课颇有感触。
1、重视数学与生活的联系教师作为学生学习的引导者为学生提供活动的舞台，调整学习的方向，是关键时刻予以适当点拔的学习过程的支持者。
在课堂学习中，学习的材料来源不再是单一的教材，更多的是从学生的生活经验中来。
万老师用动态的广州亚运会开幕式视频资料代替静态的单元主题图，通过学生猜测体育馆的人数，使学生深刻地感受到大数在生活上切实存在，这些数比以往学过的百以内的数多得多。
导入的设计既具实用性又具时效性。
在处理例2时，教师并没有拘泥于教材的编排运用计数器读数和写数，而是巧妙地将例1数正方体得到的两个数据398和406加以运用，再加上教师创造性的将数人民币融入此处，用生活中的数学，既调动学生学习的积极性，又巩固了例1刚学过的新的计数单位，而且还为后面读数、写数和数的组成埋下伏笔。
例1和例2两个例题在一个课时内完成，本身内容的量就不小，但在教学完例1，认识了新的计数单位后，教师舍得花时间放手让学生自己动手操作数小正方体，利用实物经历数数的过程。
一道教材习题引发的深度学习
教材点击２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀一道教材习题引发的深度学习◉湖北省武汉市杨园学校㊀熊㊀利１深度学习深度学习是课程改革以来对课程理解和课堂实践的深化,它既是一种理念也是一种实践指导策略．深度学习是指在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题,全身心积极参与,体验成功,获得发展的有意义的学习过程．数学学习过程是学生围绕学习内容展开的活动过程,初中数学深度学习的特点是学生能够全身心投入具有挑战性的富有思维含量的学习活动．笔者在一节习题课中设计了三个具有挑战性的学习活动:一是发现习题的多个不同的证明方法;二是通过不同证明方法的对比,发现并确认题中多余的条件;三是将多余条件结论化,进而探求习题的结构．三个学习活动衔接自然,过程流畅,思维含量一个比一个高,逐步将课堂学习活动推向高潮．整节课学生自主㊁自发地参与到课堂学习活动中来,不断体验到发现和证明出结论带来的快乐,这也正是深度学习理念指导下的课堂实践的最好展现．２教学纪实２．１展示习题,指明目标教师:很多时候我们只顾埋头做题,一题做完紧接下一题,很少停下脚步去深入研究一道题,今天老师带领大家对课本上一道习题进行深入探究,希望大家从中能有所收获．(展示习题)本节课我们只研究这一道题,请大家开动脑筋积极思考．图１题目㊀(人民教育出版社八年级数学上册第２５页习题第１０题)如图１,六边形A B C D E F 的内角都相等,øD A B ＝６０ʎ,A B 与D E有怎样的位置关系?B C 与E F 有这种位置关系吗?这些结论是怎样得出的?教师:做完的同学写一下过程,然后再看看整道题,你有没有什么发现?没做出来的同学,尽可能地算出图中所有的角,并给出证明．过程回顾:首先指明这节课的目标是对一道题进行深入研究．让学生用不同的方法解答,激发学生的探究欲,同时,希望学生通过各种不同方法的对比,发现 øD A B ＝６０ʎ是多余条件,让接下来的学习过程衔接更自然．２．２一题多解,拓宽思路教师:老师已经看到了不同的证明方法,大家开动脑筋,用尽可能多的方法来证明你的结论．教师:会做这道题的同学请举手．好,有超过一半的同学举手了．请一位同学说一下你的证明过程．学生１:A B ʊD E ,且B C ʊE F ．证明:由øD A B ＝６０ʎ,得øF A D ＝øD A B ＝６０ʎ．由øE ＋øF ＋øF A D ＋øE D A ＝３６０ʎ,且øE ＝øF ＝１２０ʎ,可知øE D A ＝６０ʎ,所以øE D A ＝øD A B ,故A B ʊD E ．又øF ＋øF A D ＝øB ＋øD A B ＝１８０ʎ,所以E F ʊA D ,B C ʊA D ,于是B C ʊE F ．教师:对于D E ʊA B ,同学们还有其他证明方法吗?学生２:如图２,过点F 作F H ʊE D ．由ø１＋øE ＝１８０ʎ,得ø１＝６０ʎ,则ø２＝１２０ʎ－ø１＝６０ʎ,所以ø２＋øF A B ＝１８０ʎ,所以F H ʊA B ．故D E ʊA B ．图２㊀㊀图３学生３:如图３,延长E F ,和B A 的延长线交于点H ．由ø１＝１８０ʎ－øE F A ＝６０ʎ,ø２＝１８０ʎ－øF A B ＝６０ʎ,又øH ＋ø１＋ø２＝１８０ʎ,得øH ＝６０ʎ,所以øE ＋øH ＝１８０ʎ,故D E ʊA B ．图４学生４:如图４,连接A E ．由ø１＋ø２＋øF ＋ø３＋ø４＝３６０ʎ,ø１＋øF ＋ø３＝１８０ʎ,可知ø２＋ø４＝１８０ʎ,所以D E ʊA B ．教师:对于D E ʊA B ,同学们给出了四种不同的证明方法,大家再观察一下,看你有没有什么发现?学生５:除了第一种方法,其余三种都作了辅助线．学生６:后三种方法都没有用到 øD A B ＝６０ʎ这个条件．８２０２３年１２月下半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀教师:这两个同学的证明方法都很好!请问条件 øD A B ＝６０ʎ能否去掉?过程回顾:让学生尽情展示,在一个个证明方法中逐渐打开思路,过程自然流畅,学生都沉浸在思维的海洋里．２．３导向深入,抓住关键学生７:从做题过程来看,条件 øD A B ＝６０ʎ可以去掉．D A 这条线段也可以去掉．教师:那为什么题目要多给条件呢?(学生７沉默不语,课堂陷入沉默．)教师:此题是 １１．３多边形及其内角和 的一道习题,主要考查灵活运用多边形内角和公式解决问题的能力．题目多给条件,一是为了让大家往计算角这个方向思考,二是给大家留出探索发现的空间,这也是此题放在 拓广探索 栏目中的原因．教师:经过大家的思考探索,可以把题目简化为 凸六边形A B C D E F 的内角都相等,求证:D E ʊA B ．学生８:老师,我又发现了新的证明方法．不用 øD A B ＝６０ʎ 这个条件,连D A 就可以证明．教师:好的,你先不说过程,让大家思考一下,这样可不可以证明?图５学生８:如图５,因为ø２＋ø３＋øE ＋øF ＝３６０ʎ,所以ø２＋ø３＝１２０ʎ．又ø１＋ø２＝１２０ʎ,所以ø１＝ø３．故D E ʊA B ．教师:非常好,过程清楚,思路明确．要证明平行,但没有截线,连D A 后就有了截线,产生内错角,证内错角相等．大家回顾一下,以上几种证明方法有没有共同点?解答这题的关键是什么?学生９:课本原题除学生１的证法外,其余证明方法都作了辅助线,作辅助线后才产生了截线,所以这道题的关键是要有截线．教师:学生９总结得很好．大家能否归纳一下作截线的方法学生１０:作截线有三种方式,即连接㊁延长和作平行线．过程回顾:通过教师的引导㊁学生的积极参与,证明思路越来越清晰,最后点出了证明平行的关键是找截线,并归纳了作截线的三种方法．２．４抛出问题,探索结构教师:既然条件 øD A B ＝６０ʎ是多余的,老师有一个想法,能否把它放到结论中,也就是由每个内角都相等能否得到øD A B ＝６０ʎ．题目改编如下:如图６,六边形A B C D E F 的内角都相等,øD A B是否等于６０ʎ给出你的判断并说明理由．教师:要解决上面这个问题,我们先解决另外一个问题,题中的六边形是否是正六边形?图６(课堂陷入沉默,一分钟后有学生举手．)学生１１:不一定是正六边形,可以将B C 边向上平移,如图７,如果原图是正六边形,则平移后的图形就不是．教师:学生１１举出的反例很图７好地解释了原图不一定是正六边形,通过平移边,在不改变角度大小的情况下,改变了边长．下面回到øD A B 是否等于６０ʎ这个问题上来,大家还同意øD A B ＝６０ʎ吗?学生１２:不一定是６０ʎ,将B A向上平移,øD A B 的度数会变小．教师:你是如何判断øD A B 变小的?学生１２沉默,学生１３举手．图８学生１３:如图８,由A B ʊG H ,得øD A B ＝ø２．又ø２＞ø１,所以øD A B ＞ø１．故向上平移øD A B 会变小．教师:非常好!通过两位同学的分析,我们可以看到øD A B 的度数不是一个确定的值,那 六个内角都相等 这个条件能确定什么?不能确定什么?学生１４:可以确定D E ʊA B ,不能确定øD A B ．学生１５:还可以确定E F ʊB C ,还有C D ʊA F ．教师:也就是可以确定六边形正对着的三组边平行,但不能确定六边形的边长,如果大家能够看到这一层,那这个图形在你眼里就是可以变化的,很多问题就可迎刃而解．过程回顾:通过将多余的条件结论化,来探索试题的结构,将此题的研究进一步推向深入．抛出问题 六个角相等的六边形是否为正六边形 ,为问题的解决指明了方向．３教学感悟课本的一道普通习题,如果不去深入研究,可能十分钟就讲完了,但沉下心来研究一番,结果发现它是一座思维的宝库．笔者并不想直接将这里的宝藏呈现给学生,而是一步步引领学生看到发现宝藏的过程,在这个过程中,让学生逐步体会到解完题后,我们还能怎样去思考,教会学生思考问题的方法,一同经历一堂思维的盛宴．教师能设计出具有挑战性㊁富有思维含量的学习活动是学生在课堂上开展深度学习的必要条件．这就需要教师多研究试题,而研究试题中最有意义的事情是研究教材习题．只有教师的深度学习和研究才有可能促成学生深度学习的产生．Z９。
深入数学教学重视习题探究——对一道课本习题“图形”的思考
探索 性 ，因此 ，深入 探究每一 道 习题 ，充分
挖掘其 内在 的数学思 想与方法 ，发挥典 型习 人 认为这是 小题大 做吹 毛求 疵 ，不 必大惊小 边 长计算 的一般 方法 ，体现从 特殊 到一般 的 题应有 的功 能与价值 ，对调动 学生 的学 习积 怪 ，对求解 也不会 产生多 大的影 响 ，不值得 数学思想 ，更能使 学生 明确 对于锐 角三角形
深入数学教 学
重视 习题 探究
对一道课本 习题 “ 图形 ＂的 思考
口浙江省宁波市余姚市 陆埠镇洪 山初级 中学 马调芳
课本 中的习题 ，具有典 型性 、示 范性和
相 矛 盾 ， 因 此 点 Ａ必 在 圆 外 ，所 以 Ｂ Ｃ是 一个 锐 角不 可能是 Ｒ 。也 许有 Ａ ｔ
做 到数据 图形两结合 。特别是追 加 的第 （ ２）个 问题 ，促使 学生 去 探求 内接正 方 形
容易发现 问 题所在 ，可能是 教材编写 者把注 意力集 中在 知识 点
／
Ｐ
则 四边 形 Ｐ ＭＮ是 Ａ Ａ Ｃ的 内 接 正 方 Ｑ Ｂ
形 ，如 图 ５ 。 简要说 明 ・ Ｎ ／Ｐ ． Ｍ／ ， ‘ Ｃ
‘ ． ．
相似 三 角形 性 质 的
巩 固 和运 用 上 ，忽 视 了
所 以 ａ ｈ或 ＋口Fra bibliotek ｈ思考 三 课 本 中给出 的三角 形余 料 Ａ Ｃ Ｂ 据 三角形余 料 Ａ Ｃ的不 同形状 ，怎样 使加工 Ｂ 成 的正 方形 零件 最大 。现 以正方形 的边 Ｑ Ｍ
为加 工成 的正方形零件 ， Ｑ 边 Ｍ在 Ｂ Ｃ上 ， 得到 的三角形余 料 Ａ Ｃ的形状 也不 同，因此 的内接正方形 Ｐ ＭＮ是怎样 加工 出来 的？根 Ｂ Ｑ
位似中心,究竟有几何？——从一道习题教学谈起
定义 在直角三角 形 Ａ Ｃ中求 出 Ａ Ｂ Ｃ和 Ｂ Ｃ的长 ， 再利用 三角函数定义和 Ｂ Ｃ的长求出 Ｂ Ｄ和 Ｃ Ｄ的长 ， 那么这个 题 目的答案就找到了．
２４ 归纳总结 。 ． 区分 异 同
一
数． 学习函数时都是从 特殊 到一般 ， 图象 到性质 ， 从 从 再
性 质到应用． ２ ６ 运用概念 ． ． 形成 系统 概念的形成是—个 由个别到一般的过程 ， 而概念 的运 用则是一个由一般到个别 的过程 ， 它们是学生掌握概念的
“ 比较才有鉴别 ” 数学 的各种 知识 要让学生在 比 有 ， 较 中去思考、 去认识 数学的一些概念和规律 ， 理论性较强 而且 比较抽象， 如果把它与学生熟悉 的（ 已知 的） 相关实
两个阶段． 通过运用概念解决实际问题 ， 可以加深 、 丰富和 体（ 事物 ） 进行 比较， 中理解概念 、 从 掌握规律 ， 学生就会 巩 固学生对数学概念的掌握 ， 并且在概念运用过程 中也有 对它产生极大兴趣 ， 就会主动思考． 如关于“ 轴对称图形 ” 利于培养学生思维的深刻性、 灵活性 、 敏捷性、 批判性和独
比” 得 Ｑ Ｑ １：． 口作 上 ， ｏ： ｃ＝ ２ 过 轴 ， 足为 且 则 垂 图１
；
题 ， 给出的答案为（一 ，） 对此答案 ， 者也没多想． 所 ２０ ． 笔
可学生却给出两个答案．
等 ÷ Ｂ ２ ＝￣ ＝，＝， ＝， ｃ ， ４ ＩＨ了鲫 ÷ 而 ＝∞ ，： ２ Ａ Ｑ
Ｐ， Ｐ就为位似 中心． 对应 点 由“
Ｄ
Ｃ
笔者思考是 “ 标准” 的缺失 ， 还是生： 有误 时 ， 面就有 同 下 学们议论 纷纷 ， 疑位似 中心 Ｑ的存在性． 的质疑 其 质 有 存在 ， 的说如何证明？ 有
分数除法应用题教学反思15篇
分数除法应用题教学反思15篇分数除法应用题教学反思1对于分数乘除法应用题，学生刚刚学完感到很乱，很难！其实不然，我们都知道这部分知识是有规律可循的，只是学生一一学完之后就乱了，混了，针对这种情况，我把分数乘除法的所有类型全部给出了一组对比练习，内容一样，只是单位“1”不同，经过这样6组的对比练习，学生就很容易发现以前讲的规律的实用性了，进而使他记住这个规律，这一节课下来，大多数的同学都能掌握方法，但在实际应用的过程中，总是不按照讲的方法去思考，特别是后进生，你讲的全能听懂，做题多数不会，你引导这问他就会了，这就说明学生没有良好的学习习惯，不把老师归纳的知识往心里记。
还有一个问题就是计算不准的现象特别严重。
列式正确，计算错误的同学不止一两个。
所以在今后的教学中，要不断的给他们总结方法，也让他们养成总结规律方法的好习惯，并把计算的训练常抓不懈。
分数除法应用题教学反思2分数除法应用题是在学生已经学习了运用分数乘法解决一些实际问题的基础上进行教学的。
分数除法应用题是本册教学中的难点，要突破这个难点，让学生透彻理解这类应用题，就要抓住乘、除法之间的内在联系，通过运用转化、对比等方法，使学生了解这类分数应用题的特征，再借助线段图分析题中的数量关系，找出解题规律。
这节课我首先复习了以前的知识，找出题中的单位“1”以及写出含x的代数式，这两道复习题为接下来的学习做了很好的铺垫，有利于接下来的教学，但在第二题中，缺少了线段图，赵老师给我提议可以给出线段图，让学生根据线段图列式，也可以让学生自己去画出线段图。
线段图是学生必须要会画会理解的重点内容，在这一问题上，我有欠考虑。
展示出例题：某学校开设了课外兴趣小组，其中有美术小组和航模小组，并且美术小组有25人，美术小组的人数比航模小组多，航模小组有多少人？一、我让学生大声读题并思考三个比较简单的问题，学生都表现得不错，但这里只有读题、理解题目要求及关系，并没有提出更高的有挑战的要求，是课前低估了学生的能力，把学生当成了没有良好阅读题目的习惯、解决问题的能力有限的学困生。
还学生还学生“会飞的翅膀”——由一道数学习题的误判引发的思考
助已有的长度测量经验和决定角的大小的三要素，初步形成角的测量方法，让学生“知其然”，又“知其所以然”。
之后，让学生测量开口方向向左的∠3，此时，学生在摆动中发现已有的0°刻度线在测量∠3时，就不太方便，通过交流，让学生体会到，需要有方向相反的另一条0°刻度线。
学生经历这样的过程，就会明白量角器上之所以有两个0°刻度线是为了便于量开口不同角而产生的，从而让学生体会到量角器制作方法的合理性。
片段三：在量角器图上描角，感知量角的方法和本质师：拿出你的作业纸，请在这些量角器图（图略）上分别描出20°、35°、90°和135°的角。
（教师请学生展示，说说描角的方法。
然后引导学生比较用不同方向的0°刻度线描角的方法）师：你还能在量角器上找出哪些角？（教师组织学生交流，突出描角的方法）师：你知道右边量角器上描出的角（图略）是多少度吗？生：90°减去20°是70°。
师：角的两条边都没有与0°刻度线对齐，怎么也能知道它的度数呢？生：就像用直尺量长度一样，可以不从刻度0开始，但要减一下。
师：也就是说，只要能反映出这个角中包含几个度量单位就可以了。
思考：常规教学，老师往往过于重视如何让学生掌握用量角器量角的方法，过于关注“二合一看”和“里外圈”的使用。
本节课，设置让学生在量角器图上描出指定大小的角，并通过交流描角的不同方法（如，使用不同的0°刻度线，描出角的位置也不同），使学生自觉沟通了角的测量与长度和面积测量的本质，即只看要度量的角中包含几个1°角即可，可以不关注内外刻度线。
这种生成的资源，更好地诠释了角的大小本质与长度和面积一样，就是相同计量单位累加的过程，也回应了课中让学生经历量角器的形成过程和量角器的结构原理。
（作者单位：安徽蚌埠市禹会区教育体育局教研室）L一、缘起在学习了“多边形的面积计算”后，我补充了这样一道练习题：画一画、算一算、比一比。
由三角形中A=2C引发的思考——对一道课本习题的再探究
作 出线段 ｂ 。 进而作 出符合条件 的三角形．
③ 当 手 ＜ ０ ＜ ｝ 时 ， 则 ７ ｒ 一 ３ ０ ＜ ２ ０ ， 故Ｃ ＜ Ｂ ＜ Ａ ， 此 时 ，
Ⅱ ２ ＝ ｃ （ ｃ ＋ ６ ） 解得 ｎ ＝ ４ ， 求出满足条件 的三边 分别为 ４ ， ５ 、
【 解答】
（ １ ） 先证 明： ｓ ｉ ｎ ３ ０ ＝ ４ ｓ ｉ ｎ Ｏ ｃ ｏ ｓ ２ ０ 一 ｓ ｉ ｎ Ｏ ．
知０ ＜ ＜ ， Ｂ ＝ 丌 一 ３ ． 可 由正 弦定理 、 余 弦定理及 三 角
Ｊ
结 合 ＜ Ｉ ＞ 得 ： ｃ ［ ４ （ ） 一 １ ］ ＝ ６ ， 即 ｃ ｔ ２ － ｃ ２ ＝ ｂ ｃ ， 故 ＝
（ ２ ） ①当 ０ ＜ ＜ 时， 则￣ ｒ － ３ ０ ＞ ２ ０ ， 故２ Ｃ ＝ Ａ ， 此
式， 利用 第 （ １ ） 问中的三边 关系 可求 出， （ ０ ） 的取 值范
围．
则由ａ ２ ＝ ｃ （ ｃ ＋ ｂ ） 解得 ｎ ＝ ｌ ， 此解不满足三角形三边关 系．
②当 ＝ 时， 则７ ｒ － ３ ０ ＝ ２ ０ ， 故２ Ｃ ＝ Ａ ＝ Ｂ ， 此时， ｃ ＜
针对第 （ ４ ） 问， 利 用第 （ １ ） 问 中找 出的三边关 系先
● 雷小 华 黄立 华 伦丽 珍
们还 能想 到哪些 呢？ 下面将对 普通 高 中课 程 标 准实验教科 书 《 数 学》 （ 人 教版） 必修 ５第 一章《 解三 角 形》 Ｐ Ｂ组第 ３ 题作进一步 的探究．
一
由三角形 中的正 弦定理得 ： ｃ
ｂ
、
提 出 问题
如 图一 ①， 三角 形 中 Ａ Ｂ Ｃ ， 角 Ａ、
习题寓意深厚解法奇妙精彩——一道习题教学片断引发教学取向的思考
的提高 ， 有利于开发学生 的智力． 好地 解决此类 问题的关键 要更
是找准人手点．
２ 凸显 对 学 生 自主 探 究 能 力 的提 升 ． ．
思路１ 观察图形特征 ， ： 第一个正 方形块 中着色正方形 的个
数是 １第二个正方形块中着色 正方形 的个数是第一个 正方形块 ，
中着色正方形 的个数的８ 倍加 １ ，第 三个正方形块中着 色正方形 的个数是第二个正方形块 中着 色正方形 的个数的８ 倍加 １ ，依次 类推 ，可以得出第ｎ 正方形块 中着 色正方形 的个数 的递推公 个
高 中数学课 程标准 实验教科 书《 学５ （ 数 》 人教Ａ ） 二章 版 第
“ 列 ”数 列 作 为 一 种 特 殊 的 函数 ， 反 映 自然规 律 的基 本 数 学 数 ， 是 模 型． 门课 就 是 “ 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法 ” 需 要 ２ 课 时 ， 入 数 ， 个 上
正当大家处于学生甲 、 乙的精彩 回答的兴奋中 ， 一位平时腼 腆 又性格孤独的男生站起来 ！教 师用眼神示 意他发表 自己的看 （
法）
生 丙 ： 也 从 同学 甲 归纳 ｆ 的 通项 公 式 ， 新 的 发 现 ， 我 ｌ ｊ 有 第 个 图 形 中 的 正 方 形 总 数 的 式 子 可 以 改 写 为 吼＝ ＋ ＋ ｚａ＋ ２ １ ８ ８＝ ２８＝
高版 ？ ？ 麓 中 十。 擞・
教
教
教案 点评
２ ２年 ６ ０１
是第二个正方形块 中着色正方形的个数加８， 依次类推 ， 可以得 第ｎ 个正 方形块中着色正方形 的个数的递推公式 ， 进而推导 ｍ
数 列 的 通项 公 式 ．
３学 情 分 析． ．
由一道习题引发的讨论——《欧拉不等式》的另解
是 激发 学生 强 烈 的求 知 欲 望 的 源 泉 ．它 能 够 激 发 学 生 思 维 的 积 极 性 ， 发 学 生 的求 知 欲 望 ， 培 养 学 生 的 分 析 问题 、 决 诱 对 解 问题 的 能力 起 着 非 常 重 要 的 作 用 师： 同学 们 ， 们 能 够 从 不 同 角 度 考 虑 问 题 ， 然 问题 没 你 虽 有 得 到解 决 ， 想 法 还 是 不 错 的 。 但 学 生 个 个 自信 地 微 笑 着 。 师： 你们 用 了几 种 常 规 的 数 学 思 想 方 法 解 决 此 问 题 时 ， 都 遇 到 了 困难 ， 明此 问题 比 较 困 难 ， 么你 们 不 会 将 此 问题 简 说 那 单化吗 ？ ！难 道 你 们 没 有 想 到 当 初 是 如 何 发 现 问题 的吗 ？ 听 我 这 么 一 讲 ， 生 的探 索 愿 望 重 新 被 点 燃 ， 个 跃 跃 欲 学 个 试 ， 上 开 始 自主 尝 试 ， 一 会 儿 ， 有 学 生 想 到 问题 的 最 特 马 不 便 殊 的情 况 （ 角 形 是 等 边 三 角形 ）命 题 成 立 ， 起 来 回答 出这 三 ， 站 种情况的答案。 生２当三角形是等边三角形时 ， ： 内心 、 心 、 心 、 心 四 外 重 垂 心合一 ， 由重 心 定 理 即 得 Ｒ ２ ， 题 成 立 。 ＝ ｒ命 师 ： ， 彩 ！这 你 也 能 发 现 ？ 你 真 是 太 聪 明 了 ！ 哇 精 生２ 脸 红 光 ， 动万 分 。 满 激 师 ： 么 当三 角 形 ＡＡ Ｃ 那 Ｂ 是等 腰 三 角 形 时 ． 题 成 立 吗 ？ 命 我 把 画有 图 （ ） 一 张 幻 灯 片 用 幻 灯 机 放 出来 。这 时 ， １第 学 生 个个 激情 昂扬 ， 不 时 地议 论 、 辩 。 生 议 论 纷 纷 ： 的 说 并 争 学 有 用 三 角形 相 似 证 明 ： 的说 用 射 影 定 理 证 明 ； 的 说 用 ｊ 角 函 有 有 数 知识 证 明等 。 生 踊跃 思 考 ， 述 己见 、 不 相 让 ； 个 课 堂 学 各 互 整 气 氛达 到高 潮 。最 后 大 家 经 过 热烈 的讨 论 、 真 分 析 、 算 之 认 演 后 得 出 当 三 角 形 ＡＡ Ｃ 等腰 三 角 形 的 证 明 情 况 ． 由学 生 代 Ｂ 是
由一道练习题引发的对学生数学思维品质的思考
由一道练习题引发的对学生数学思维品质的思考作者：代秀红来源：《速读·中旬》2018年第03期什么是数学思维品质？如何在小学数学教学中培养学生的数学思维品质？我想大部分数学教师在教学过程中会紧紧围绕如何解决问题来锻炼学生的思维能力，但对数学思维品质的培养就知之甚少了，下面我就结合人教版《小学数学五年级上》第三单元《小数除法》——《商的近似数》一课中的一道练习题来谈谈我对数学思维品质的理解和思考。
《小学数学五年级上》第41页11题：一种瓶装橙子粉重450g，，每冲一杯需要16g橙子粉和9g方糖。
冲完这瓶橙子粉，大约需要多少克方糖？这道题出现在学生已学习了用“四舍五入法”、“进一法”和“去尾法”解决问题后的练习九中，在求“可以冲多少杯？”这一问题时用450÷16=28.125（杯），计算出的结果是小数，而冲出的杯数必须是整数，因此要取计算结果的近似值。
在取近似值时，不能机械地使用“四舍五入法”，要根据具体情况确定“舍”还是“入”。
人教版《小学数学五年级上教师用书》中指出：一般方法是先求可以冲多少杯，450÷16≈28（杯），再求28杯需要多少克方糖，但也可能会有学生提出用“进一法”，450÷16≈29（杯），再求29杯需要多少克方糖，理由是可以将橙子粉冲淡一些，从解决实际问题的角度也是可以的。
对此，引发了我对培养学生数学思维品质的思考。
思维是人的理性认识过程。
所谓数学思维，是指人关于数学对象的理性认识过程。
思维能力的高低，直接影响到数学学习的效果，因此，培养学生的数学思维能力是提高数学教学效率的关键。
良好的数学思维品质主要包括思维的严谨性、广阔性、深刻性、灵活性和批判性，下面就结合本题对培养学生的数学思维品质进行讨论。
一、培养数学思维的严谨性思维的严谨性是指考虑问题的严密、有据。
首先要求学生要按步思维，思路清晰，就是要培养学生按照一定的逻辑顺序进行思考问题。
其次要求学生要全面、周密地思考问题，做到推理论证要有充分的理由作根据。
重视学生数学分析能力——由一道数学习题引发的教学思考
１
，
今 年 比 去 年 增加 了 六 分之
。
，
份 当 中 的 ６ 份 吗 ？ 不 就是 ２ 〇 ｘ这 样 的 理 解也 是可 以 的 我 们可 ７ 把 今年 以 继续探 究 去 年 是 单 位 平 均 分成 了 ６ 份 每 份 就 是 今 年比 去 年 就 是六 分之 五 顯 ？
一
会 儿 用 乘法
”
一
？
很多 学生
“
，
却 是 做的 步
，
塌糊 涂
，
多 步 计 算 的 应用 题
因此
，
，
甚至 草 草
自己的
，
有 时 候教 师 没 有 深 入讲 解 的 话
１
单 纯教 授
单位
１
胡 乱写 了
一
一
让人大跌眼镜
？
。
我 也 不 断 在怀疑
？
单位
，
未知 用 除法
，
但 是 学 生确 实没 有 真 正 体 会 其 中
￥ 写
，
―
我 钢 以 得出
”
甲 比 乙 多 完 成了 六 分之
，
一
乙 比甲 少
，
完成 了 六 分 之
一
这 样 的 结论 吗
，
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无 可厚 非 这样 的 表 达 是 不 正确 的
，
利 用 除 法求 出 去 年 的 户 数
｜
成 等 式 形式 就是
去年
＝ ｘ ＾ ６
今年
２１〇
，
，
，
把 去 年 这个 份
，
比 去 年增 加 了 六 分 之
。
充分挖掘教材例题的价值——一道圆锥曲线例题引发的思考
在例题教学过程中，教师不能仅局限于分析例题特点，教会例题解法，而应该充分挖掘例题的教学价值.在2021年人教版高中新教材网络培训会上章建跃老师提到：在圆锥曲线一章教科书中的例题与习题，其选编的原则是帮助学生深入理解圆锥曲线的几何特征，熟练运用坐标法研究圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，并能解决一定综合性的问题，通过解题感悟解析几何中蕴含的数学思想.具体的题目是研究圆锥曲线的性质，应注意这些题目的教学功能，使学生认识到认真解答这些题目的重要性，必要时可以对有关题目进行适当的变式拓展.在教学中引导学生思考例题的结论能否抽象得到一般性的命题，在对问题探究得出结论、应用结论的过程中，有效发展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养.1教材例题例1设A ,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0)，直线AM ,BM 相交于点M ，且他们的斜率之积是-49，求点M 的轨迹方程.（人教A 版高中《数学》选择性必修一，P108）分析：如图1，设点M 的坐标为(x ,y )，那么直线AM ,BM 的斜率就可以用含x ,y 的关系式分别表示.由直线AM ,BM的斜率之积是-49，可得出x ,y 之间的关系式，进而得到点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标为(x ,y )，因为点A 的坐标是(-5,0)，所以直线AM 的斜率k AM =y x +5(x ≠-5).同理，直线BM 的斜率k BM =y x -5(x ≠5).由已知有y x +5⋅y x -5=-49(x ≠±5).化简，得点M 的轨迹方程为充分挖掘教材例题的价值——一道圆锥曲线例题引发的思考河北省邯郸市第一中学王政敏056001摘要：在新教材选择性必修第一册中一道圆锥曲线例题及其解法的基础上，对例题的结论进行数学抽象得到定理，分析该定理在解题中的应用，有效发展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养.关键词：数学抽象；教学价值；核心素养yxBAM图1x2 25+y21009=1(x≠±5).2抽象结论例1给了我们生成椭圆的又一种方式，题中椭圆a2=25,b2=1009，而k AM⋅k BM=-49= -b2a2，这是偶然还是具有一般规律？我们尝试证明.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，A(x,y),B(-x,-y0),P(x,y)，则x02a2+y02b2=1，两式相减得x2-x02 a2+y2-y02b2=0，∴kPA⋅kPB=y-y0x-x0⋅y+y0 x+x0=y2-y02x2-x02=-b2a2.注意这里的a,b没有标注大小关系，所以这里的a,b不一定是椭圆的长半轴长和短半轴长，虽然我们习惯上用a表示长半轴长，用b表示短半轴长，为使这个结论不受此方面的混淆，我们将椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)来探究更一般化的结论.同上述证明过程可得k PA ⋅kPB=y-y0x-x0⋅y+y0x+x0=y2-y02x2-x02=-mn.定理：设椭圆mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)上关于原点对称的两点分别为A,B，点P在椭圆上且异于A,B两点，O为坐标原点，若直线PA,PB的斜率都存在，分别记为kPA ,kPB，则kPA⋅kPB=-mn，其中m为x2系数，n为y2系数. 3灵活应用例2已知椭圆C:y29+x2=1，过点P(12,12)的直线与椭圆C相交于A,B两点，且弦AB被点P平分，求直线AB的方程.分析：涉及到弦中点问题，我们常设线联立或用点差法.解法1：由题直线AB的斜率存在，设lAB:y=kx+t，代入椭圆方程得(k2+9)x2+2ktx+t2-9=0,∴x1+x2=-2ktk2+9=1又12=12k+t,联立可得k=-9, t=5，满足Δ>0，故直线AB的方程为9x+y-5=0.解法2：A(x1,y1),B(x2,y2)，y129+x12=1,y229+x22=1，两式相减得y12-y229+x12-x22=0整理得(y1+y2)(y1-y2)9+(x1+x2)(x1-x2)=0，这里x1+x2=2x P=1,y1+y2=2y P=1,所以y1-y2x1-x2= -9，所以直线AB的方程为y-12=-9(x-12)，即9x+y-5=0.解法3：作A关于原点的对称点A′，连接BA′,由上面定理知kBA′⋅kBA=-119=-9,又OP//BA′，∴kOP=kBA′=1,∴kAB=-9,∴lAB:y-12 =-9(x-12)即9x+y-5=0.解题反思：通过这个题，我们得到一个衍生结论——设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，P为弦AB的中点，则kOP⋅kAB=-mn.例3已知P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点A,B的一点，则∠APB何时最大？A′BP OAxy图2A BP图3分析：设P (x 0,y 0)，k PA ⋅k PB =y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a=y 02x 02-a 2=b 2(1-x 02a 2)x 02-a 2=-b 2a2，tan ∠APB =-tan(∠PAB +∠PBA )=-k PA -k PB 1+k PA ⋅k PB=-k PA -kPB1-b 2a21-b a2-2ab c 2<0.当且仅当k PA =-k PB 时取等号.又y =tan x 在x ∈(π2,π)上单调递增，所以即P 在短轴端点处时∠APB最大.解题反思：注意到这个题目中有对称的两点，借助上面定理找到解题入口.例4（2019年全国卷II 第21题）已知点A (-2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM与BM 的斜率之积为-12.记M 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（II ）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：△PQG 是直角三角形；（ii ）求△PQG 面积的最大值.解析：本题是高考压轴题，总共3问，第（I ）问求轨迹及轨迹方程，同课本例题，第（II ）(i)是三角形形状的判断与证明，第（II ）（ii ）是求三角形面积最值.（I ）考察了求轨迹方程的基本方法与步骤：（1）设动点坐标为(x ,y )；（2）根据条件建立等式关系；（3）代入坐标运算；（4）化简整理；（5）检验.这里动点M (x ,y )已给出，结合题目中“AM 与BM 的斜率之积为-12”，即有k MA ⋅k MB =-12，代入坐标得k MA ⋅k MB =y x +2⋅yx -2=-12，化简整理得x 24+y 22=1.这问虽然简单但易错，在求轨迹方程时一定要注意检验，条件中提到“AM 与BM 的斜率”，即两直线的斜率是存在的，故x ≠±2，所求的轨迹方程为x 24+y 22=1（x ≠±2），轨迹是椭圆，不含左右两个顶点.（II ）分为两小问，均是在△PQG 下进行的设问，需要把握图形的构建过程，基于几何与函数的坐标联系来解析.（i ）设P (x 0,y 0)，则E (x 0,0)，Q (-x 0,-y 0),G (x 1,y 1)，且x 02+2y 02=x 12+2y 12=4，所以k GQ =k QE =0-(-y 0)x 0-(-x 0)=y02x 0=12k PQ ，再结合要证明的PG ⊥PQ 即k GP ⋅k PQ =-1，所以我们只需证明k GP ⋅k GQ =-12即可.这里P ,Q 关于原点对称，点G 在椭圆上，我们都熟悉一个知识点：椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线斜率积为-b 2a2.这个结论是通过课本上的经典例题得到的，但是作为解答题我们在使用时要给出证明.具体为：k GP ⋅k GQ =y 0-y 1x 0-x 1⋅y 1+y 0x 1+x 0=y 02-y 12x 02-x 12=y 02-y 124-2y 02-4+2y 12=-12，那么k GP ⋅12k PQ =-12，∴k GP ⋅k PQ =-1，故PG ⊥PQ ，得证.（ii ）因为△PQG 是直角三角形，三角形面积优先想到12⋅||PQ ⋅||PG ，设直线PQ 斜率为k ，则可以用k 表示线段PQ 的长度，又直线QG 斜率为k 2，利用夹角公式（本质就是两角差的正切公式）可以得到tan ∠PQG ，从而可以得到线段PG 关于k 的表达式，这样△PQG 的(下转第46页)内化吸收、第三个环节是讨论，在教师讲授和讨论之间增加内化吸收环节，这是“对分课堂”教学模式的一大创新点.作为讨论之前的内化吸收，不仅有助于学生主动积极地参与讨论，而且有助于讨论的深入进行.又因讨论式教学的主要优点是能充分发挥学生的主体作用，有利于提升学生学习的主动性和积极性.如在这节课上，学生能主动积极地参与生2和生3所提出问题的讨论，学生能在课堂上提出“从上述的证明1中发现，当α-β=2k π±θ时，公式①成立，但在图3和图4的情况下，α-β≠2k π±θ，此时，公式①是否也成立？”如此的好问题，让教师都感到十分意外，这问题有利于大幅度提升学生学习的主动性和积极性.因此，“对分课堂”教学模式的优点之二是有利于提升学生学习的主动性和积极性.参考文献[1]张学新.对分课堂：大学课堂教学改革的新探索[J].复旦教育论坛，2014,12（5）：5-10.[2]孔胜涛.基于“问题驱动”教学模式的教学设计与思考[J].中小学数学（高中），2018，（04）：18-19,42.面积就是关于k 的函数了.具体步骤如下：记k PQ =k (k >0),∴k QG =12k ，∴tan ∠PQE =||||||||k PQ -k QG 1+k PQ ⋅k QG =||||||||||k -12k 1+12k 2=k k 2+2,{y =kx x 2+2y 2=4得x 2=41+2k 2可知||OP 2=4(1+k 2)1+2k 2.∴S △PQG =12||PQ ⋅||PG =12||PQ 2⋅tan θ=2||OP 2⋅tan θ=8(1+k 2)1+2k 2⋅k k 2+2=8k (1+k 2)(1+2k 2)(k 2+2),∴S △PQG =8k (1+k 2)(1+2k 2)(k 2+2)=8k (1+k 2)2k 4+5k 2+2=8k (1+k 2)2(k 2+1)2+k 2=82k 2+1k +k k 2+1.设t =k 2+1k 2k k =2，则S ΔPQG =82t +1t，当t =2时2t +1t 的最小值为92，所以面积的最大值为169，此时k =1.解题反思：这个经典高考题的前两问都来源于课本例题，在日常教学中要充分挖掘课本题，重视课本例题和习题的练习.圆锥曲线丰富多彩的性质常作为例题和习题，不仅使题目的思想内涵得到增强，而且通过这些题目加强了知识间的相互联系，从而帮助学生建立对圆锥曲线的整体认识.例如椭圆的例题中，就包含了椭圆与圆的联系、定义椭圆的其他方式、椭圆的光学性质等，这些题目的“数学含金量”是非常高的，而且这些题目的可拓展性也很强，在教学中要充分挖掘.参考文献[1]张春杰.在高三解析几何教学中提升学生数学运算能力的研究[J].中学数学教学参考，2020（12）.[2]张辉，张留杰.多解引领习题教学延伸突出问题本质[J].中学数学教学参考，2020（08）.(上接第18页)。
【日记】一道数学实践题引发的思考_800字
【日记】一道数学实践题引发的思考_800字今天，我们在数学课上遇到了一道实践题。
题目是这样的：“一个水桶有两个进水口，一口进水速度是每分钟1升，另一口进水速度是每分钟3升。
现在打开两个进水口，请问多久才能将这个水桶装满？”这道题看似简单，但却引发了我对数学问题的一些思考。
我们可以用代数方法解决这个问题。
设打开两个进水口的时间为t分钟，那么每分钟从第一个进水口进水的量为1升，从第二个进水口进水的量为3升。
根据题目中的信息，我们可以得出水桶的容量为4t升。
由于两个进水口同时开启，所以每分钟进水的总量是4升。
我们可以得到一个方程：4t = 4解这个方程，可以得到t = 1，即打开两个进水口1分钟就可以将水桶装满。
这是一个简单的数学问题，但是我思考的不仅仅是这个问题本身，而是数学问题对我们的思维方式和思维习惯的影响。
数学问题需要我们运用逻辑思维。
在解题过程中，我们需要分析题目中的信息，找到问题的关键点，运用数学知识将问题转化为方程或不等式，最后解答问题。
这需要我们具备逻辑思维的能力，能够清晰地思考问题，找到问题的解决思路。
数学问题培养了我们的分析能力。
在解决数学问题时，我们常常需要将问题进行分解，将复杂的问题拆分为较简单的小问题，然后逐步解决。
这种分析能力可以帮助我们在日常生活中找到问题的关键点，从而解决问题。
数学问题锻炼了我们的问题解决能力。
解决数学问题需要我们反复思考，不断尝试，找到最优解答。
这种问题解决能力是我们日常生活和工作中必不可少的能力，通过解决数学问题，我们可以锻炼和提升这方面的能力。
数学问题的解决过程中还培养了我们的耐心和坚持。
有时候解决一个问题会遇到一些困难和挫折，可能需要花费较长的时间才能找到解题思路，这就需要我们有耐心和坚持不懈的精神。
这道数学实践题虽然简单，但引发了我对数学问题背后思维方式和思维习惯的思考。
数学问题不仅仅是为了考察我们的计算能力，更重要的是培养我们的逻辑思维、分析能力、问题解决能力以及耐心和坚持的精神。
一道数学习题引发的教学思考
定义拓展延伸不能仅在课堂上呈现。在课堂上，学 生是按照教师的教学设计一步一步地进行探究论证，他 们的创造力和想象力不能够得到充分的发挥，其潜能不 能够被充分挖掘。所以，教师更应该精挑细选课后练习 题，布置与定义相关的拓展延伸题，给学生更多的时间和 机会去感受定义的魅力，让学生在实践中感受数学定义 的强大生命力。
【关键词】定义；案例；拓展延伸 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）16-0066-02
有些学生在进行高中数学学习时通常会面对两种尴 尬的情形：一是进入高中后，科目增多、难度普遍提升， 根本没有多余的时间实施题海战术；二是遇到逻辑推理 要求高的试题时找不到解决问题的切入点，这与学生自 身忽略对定义、定理的理解及其拓展延伸有关。有时教 师即使把错题考查的原理重新讲一遍，这些学生还是似 懂非懂，因为概念教学时他们就没有认真学习，没有能够 很好地理解掌握。所以，引领学生重视定义的学习及其拓 展延伸十分重要[1]。 1 案例展示
∠AOB 的角平分线；
。反之，已知 与
不共线，
，由
可以得到四边形
OA D B 为菱形，进而推出
。同样，由OD 是∠AOB
的角平分线，依然可以推出
。因此在“ 与
不共线，
”前提下，
等价于
、等价于OD 是∠AOB 的角平分线。对于前者，
我们可以推广到一般情形， (a + b) ⊥ (a − b) 等价于
提高试题讲评的有效性——一道数学选择题教学引发的思考
的解 析 式 ．然 后 根 据 解 析式 判 断 ． 这 是 一 个 完 全 合理 的解 法 最 后 的 ｂ 一 １ 对 应 的 函 数 值 相 等 ． －ｘ 所 即 排 除法 也是我 们解 选 择题 的一 种 当 ｘ ４ ｙ ３ 所以 Ｃ也错 。 ＝ ，一 ， 因为 Ａ、 方 法 之 一 ． 么 我 们 能 不 能 论 证 一 Ｂ、 不 正 确 ， 以我 选 择 Ｄ。 那 Ｃ均 所 下 Ｄ的 正 确性 哪 ？ 师 ： 的解 法很 好 。 种方 法 你 这 生 １可 以。 ｙ０ 得方 程一２ ： 令 ＝， ｘ ＋ 我 们避免 了求二次 函数 解析式 ． 在 ３＋ ＝ ． 公式 法求 出方程 的两个 解 题过 程我 们运 用 了抛物 线 的重 ｘ ｌ０ 用 根， ＇ ｓ ４ ￣ ｘ － ：—－ ｉ ２： ｇ ｌ 要 性质—— 对称性 ． 同时也充 分说 ￣ ３３ ， ｌ 明了列表 法 也是 函数 表示 的一 种 ｘ ： 在 ３与 ４ 之 间 形式 。 为 了 让 学 生 跟 清 楚 ． 把 表 格 我 师： 你在刚才 的解题过程 中用 从 新设 计 了一 下 了 ．让 学 生 填 空 ，
表：
一
教 学 片 断 师： 同学们 ． 我们 一 起来 看一 个选择题 ． 们这样来解 这个题 日 我 哪？请 同学先 阅读 题 目题 日． 在理 解 的基 础 上来 解 这 个 题 目？然 后我 们交流 。 给出时间让学 生解答 ． 鼓励学 生 根 据 条 件 和选 项 解 题 师： 同学们我们 通过刚才 的解 答， 我们来展示一下你 的解法？ 生 １我是这样 做的 ． ： 我先把抛 物线解析式求 出来 ， ｘ １ｙ － ： 把 一 ．＝ ３ ｘ ０ ｙ １ｘ ｌｖ ３ ＝ ，＝ ；＝ 。＝ ；代 入 二 次 函数 解 析 式 ｙ ａ２ｂ ＋ 。・＝ ，＝ ． ＝ｘ＋ ｘ ｃ ・ ０ ｖ １ 先 ． ｘ 可以得 到 ｃ １ ＝ 把 Ｘ － ，： ３ｘ １ｙ ３代入 ＝ Ｉｙ一 ；＝ ，＝
加强习题研究 提升命题能力——一道习题的教学实践与思考
本期话题·习题研究加强习题研究提升命题能力——一道习题的教学实践与思考□王雪飞戴银杏【摘要】针对一线教师处理习题过于简单化、分析习题更多地注重结果而忽视对学习策略的指导以及命题能力日渐弱化的现状，教师在教学实践中应努力研读教材选“好题”、研磨析题寻策略、自主命题促发展。
通过深入研究每一道习题，不断“磨”出有思维价值的好题，使学生的思维在问题不断推进的过程中得到尽可能多的锻炼，也使教师的命题能力得到不断的提升。
【关键词】选题；析题；命题习题不仅承载着巩固与练习、拓展与应用的基本教学功能，还具有启迪思维、激励创新、发展素养等多重价值，它是学生有效学习的主要载体，是教师教学的根本，也是命题者命题的立足点。
综观现行的人教版小学数学教材，习题的编制体现了基础性、探究性、实践性和开放性，如果能用活这些习题，充分发挥习题的潜在功能，就能让学生在获得知识的同时发展思维能力，体会数学思想和方法。
加强对课本习题的研究，是每一位数学教师不容忽视的责任。
然而，一线教师在选择习题、分析习题以及自主命题方面都存在误区，导致数学教学效率低下，学生学业负担沉重。
误区主要有以下三点：一是处理习题过于简单化。
许多教师总是习惯照本宣科，先让学生独立做一做，然后核对一下答案进行简单讲评，忽视了习题本身所具有的拓展和延伸的功能；二是分析习题更多地关注结果，忽视对学生思维过程的剖析以及学习策略的指导；三是命题能力日渐弱化。
大量的教辅材料、简单的“拿来主义”，导致许多教师不愿研究命题，不会命题者比比皆是。
近几年来，高考数学中的一些试题“源于课本，而又高于课本”，小学数学学业评价的命题直接改编自教材的题目不少于60%，这对数学教师的命题能力提出了新的要求。
同时，对我们的教学也起到了良好的导向作用，那就是立足教材、深入研究教材，对教材中的例题和习题进行再加工、再创造，顺应教材的知识体系，既能有效训练学生的思维能力，提高数学课堂教学的效率，还能让一线教师在不断研究习题的过程中提高自身的命题能力。
多向引导 巧除数学“思维定势”的干扰——从一道数学操作题引发的思考
第5期NO.5福 建 教 育 学 院 学 报2018年5月May.2018JOURNAL OF FUJIAN INSTITUTE OF EDUCATION摘 要：小学生在学习数学知识时，经常会受到“思维定势”的干挠，从而影响对新知的理解与接受。
教师在平时的教学实践中除了要重视非智力品质的培养外，还要善于多向引导，激发学生的创新火花，使学生能独立思考、灵活运用所学的数学知识、方法和思想去创造性地提出问题、分析问题和解决问题，消除“思维定势”的干扰，提高学习效率。
关键词：引导；训练；消除；学习效率中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1673-9884（2018）-05-0087-02在人教版义务教育数学教科书六年级上册的期末练习卷中，有这样一道操作题：在长4厘米、宽3厘米的长方形中画出一个最大的半圆，剩余部分用阴影表示出来，并求出空白部分的周长是多少。
从试题的解答情况来看，有的学生以长方形的宽的长度为直径，画出了一个最大的圆或半圆；有的虽是以长为直径，画出了一个最大的半圆，但在计算周长时，又没有把直径的长度包括在内。
显然，这种情况的发生在很大程度上是受平时练习题的干扰：在长5厘米、宽4厘米的长方形中画一个最大的圆，剩余部分用阴影表示出来，并求出空白部分的周长。
这种现象在心理学上称为“思维定势”，在平时的学习过程中屡见不鲜。
［1］面对这样的思维障碍，教师在平时的教学实践中除了要重视非智力品质的培养外，还应善于多向引导，激发学生的创新火花，使学生能独立思考、灵活运用所学的数学知识、方法和思想去创造性地提出、分析和解决问题，消除“思维定势”的干扰。
一、注重非智力品质的引导长期以来，我们过分重视学生计算速度、技能技巧等智力品质的培养，而忽视了学生的行为、习惯、意志、心理等非智力品质的培养。
不少学生缺乏认真细致、一丝不苟的学习品质，并没有养成认真审题和自觉检验的学习习惯。
把要求画一个半圆却画成圆的行为就是没有养成认真审题的习惯而导致的。
一道习题引发的思考——小学数学中“等积变换”问题摭谈
作者： 彭龙龙[1]
作者机构： [1]厦门市华昌小学,福建厦门361000
出版物刊名： 福建基础教育研究
页码： 90-91页
年卷期： 2018年 第3期
主题词： 小学数学;等积变换;策略
摘要：等积变换在小学阶段一直贯彻始终,“等积”是解题的好帮手,其重要性不言而喻。
小学阶段中的“等积变换”问题,说是类型题,其实更像是一种解题思路与方法。
它可以直观地将一些抽象的数学问题具体化,化难为易,化繁为简。
笔者提出六大解题策略:化零为整;静中求动;以形补形;突破关键;借形换形;方程求解。
如果学生能熟练掌握并灵活运用这些策略,那么解决问题的能力将再上一个新台阶。
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从一道数学习题引发的思考
我曾听过某小学四年级的一节数学课，内容是讲乘、除法各部分间关系的应用。
新课前的教学效果较好，为了让学生将这一知识得以巩固、延伸，该任课教师呈现了56×(□-145)=3080，让学生填上方框里的数。
意图是让学生用乘、除法各部分间的关系来解答此题，但学生对这道题似乎没多大兴趣，有个同学用了3080÷56+145=200求出了方框里的数。
教师兴奋地追问算理，可这名学生一时答不上来。
接下来就是教师细致的讲解……从学生的表情上不难看出，少部分学生听懂了。
但许多小朋友脸上露出不解之情，可以归结为：一是实在难懂，二是不知道学了有什么用处。
学与用的结合没有找到切入点。
当我也要开始上这一知识时，以前的那一幕又出现在我眼前，有了前车之鉴，可不能重蹈覆辙，．怎样引领学生呢?我陷入了深思。
最终我在课前用课件创设了这样一个情景：老师在家里做一本四年级的数学资料，突然，淘气的小花猫跳上书桌，一只脚踩进墨水瓶里，又跳到了资料书上，把一道题中的一个数字踩着了，变成了墨黑的梅花印，看不清了，这下可糟糕了，我只能看见56×(?葚-45)=3080，同学们，你能帮助教师算出看不清的是什么数字吗?听了老师的讲解，学生先是哈哈大笑，接着便是“热心”的小朋友们几个一组讨论开来。
根据学生的回答，大致探索出了以下三种方法，并说明了理由。
从学生的讲解可以看出，他们运用了乘除法各部分间的关系，想出了这些可圈可点的解决方法。
他们非常自信，也真正学会了本节知识，并使学的知识得以拓展、延伸，得以整合。
更令我惊讶的是第三种解法，居然用上了初中的“换元法”。
从这节课的学习，我更加相信学生的能力，相信自己的教学能力，同时更引发了我对教学的思考。
思考之一：计算数学需要有价值的情景吗？在数学的计算教学中，对于是否需要创设情景，我们许多教师感到困惑，《新课程标准》关于计算教学明确指出：“计算应使学生经历从现实生活中抽象数和简单的数量关系，在具体的情景中理解，并应用到所学知识解决问题的过程，应该避免一味繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来。
”在教学中，我们应清楚地看到计算教学同样担负起数学教学所承担的所有任务。
要实现《数学新课程标准》的要求，无疑，创设有价值的情景是解决传统计算式题的好方法。
有了情景，计算式题就有了生命活力，有了情景学生就能“触景生情”、“触景生需”、“触景生思”，就有了解决问题的动力。
只有在比较现实的情景中学生才会感到计算的价值和现实意义，才会把计算当作解决问题的手段；只有在情景中，才能有效地引发学生的数学思考，提出数学问题，从而更加深刻地解决数学问题。
思考二：正确处理算法多样化和优化的关系。
在教学中，由于学生的生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然存在多样化。
我们要多关注学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法多样化。
但算法多样化，并不意味着只讲数量而不追求质量。
作为一名优秀教师，既是算法多样化的倡导者，也是优化算法的促进者，我们要鼓励学生采用自己觉得喜欢、容易接受的方法。
只有正确处理好
算法多样化和算法优化的关系，才能提高学习效率才是真正在课堂教学中体现新课程的新理念。