几何概型经典练习题

几何概型题目选讲

1•在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC , CB 的长，则该矩形面积

4 — 0+ 12— 8 2

解析：设AC = x ,由题意知x(12 — x)v 32? 0v x v 4或8v x v 12,所求事件的概率 P =―0+—— =-.

12 3 小于32 cm 2

的概率为(

) A.1

6

C.f D'4

2 .已知圆 C : x 2 y 2

=12,l : 4x 3y =25在圆上任取一点 P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A)

的值。 解：P(A)=

3 •设不等式组 °

仝x

< 2

表示的平面区域为 D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 0< y w 2

2的概

率是

解析：坐标系中到原点距离不大于 2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上,

*

0W x < 2

， 表示的区域D

0W y < 2

nX 4

4

— 4 4— n

为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为 —=

4 4

4 •在区间［0,9］上随机取一实数x ,则该实数x 满足不等式 K log z x w 2的概率为

2 解析：由1W Iog 2x w 2,得2W x w 4，根据区间长度关系，得所求概率为

-.

5.在［—6,9］内任取一个实数 m ，设f(x) =— x 2 + mx + m,则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于 ______________ . 解析：函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足 △= m 2 + 4m > 0,解得m W — 4或m 》0，又m € ［ — 6,9］，故—6< m W

2 + 9 44

—4

或

W m w

9,因此所求概率P =石

6 •甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率； ⑵如果甲船的

2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为

x 、y ,贝U 0< x v 24,0< y v 24 且 y — x > 4 或 y — x < — 4.

0< x v 24,

作出区域 0W y v 24,

y — x > 4或 y — x v

—

“两船无需等待码头空出”为事件

1

2 X-X 20 X 20

2 _______ _ 25 24 X 24 — 36.

⑵当甲船的停泊时间为 4小时，乙船的停泊时间为 2小时，两船不需等待码头空出，贝U 满足x — y >2或y — x >4. 设在上

述条件时“两船不需等待码头空出”为事件

B ,画出区域

A ，贝U P(A)=

⑶因为 a , b € Z ,且 a € A , b € B ，所以，基本事件共

12 个：(一2, — 1), ( — 2,0), (— 2,1), (— 2,2), (— 1,—

1), ( — 1,0), (— 1,1), (— 1,2), (0 , — 1) , (0,0) , (0,1) , (0,2) •设事件 E 为 “ b — a € A U B ”，则事件 E 中包含 9

9 3

个基本事件，事件 E 的概率P(E) = — = 4.

10•袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的

小球n 个•已知从袋子中随机抽取 1个小球，取到标号是 2的小球的概率是 ；

(1)求n 的值；

(2)从袋子中不放回地随机抽取 2个小球，记第一次取出的小球标号为

a ,第二次取出的小球标

号为b.①记事件 A 表示“ a + b = 2”，求事件 A 的概率； ②在区间[0,2]内任取2个实数x , y ,求事件“ x 2

+ y 2>(a — b)2恒成立”的概率.

n 1

解:(1)由题意可知： ------- =1，解得n = 2.

(2)①不放回地随机抽取 2个小球的所有基本事件为：(0,1), (0,21),

1+ 1 + n 2

0 W x v 24 , 0 W y v 24,

y — x >4或x — y > 2.

1

1

X 20 X 20+4 22 X 22 2 2 _______ = 442_ 221

24 X 24 576 288.

2 2

7.知k € [— 2,2 ],贝U k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x + y + kx — 2y —错误！未找到引用源。 k = 0

相切的概率等于

【来【解析】• T 圆的方程化为错误！未找到引用源。，「・5k + k 2+ 4>0 ,•••« — 4或k> —

1.・.•过A(1,1)可以作两条直线与圆 错误！未找到引用源。 相切，• A(1,1)在圆外，得 错误！未找到引用源。 •••k<0，故k € (— 1,0)，其区间长度为1，因为k € [— 2,2L 其区间长度为4，所以P =错误！未找到引用源。 解

析：

2

•••圆的方程化为 x + k 2+ (y — 1)2= 5k + k +1, A 5k + k 2 + 4>0 , A kv — 4 或 k> —1「•过 A(1,1)可以作两条直

k 2 2 5k k 2

1 +

2 + (1 — 1) > 4 + 4 + 1，

1

•••kvO ，故k € (— 1,0)，其区间长度为1，因为k € [— 2,2]，其区间长度为 4,「.P =-.

9 .已知集合 A = {x|— 3vxv1} , B =

⑵在区间(一4,4)上任取一个实数 中任取的一个整数,

解: .(1)求 A n B , A U B ;

x ,求“ x € A n B ”的概率;

(3)设(a , b)为有序实数对，其中

a 是从集合A

b 是从集合B 中任取的一个整数，求“ b — a € A U B ”的概率.

(1)由已知 B = {x| — 2vxv3}, A n B = {x|— 2VXV1}, A U B = {x|— 3vxv3}. (2)设事件

x € A n B ”的概率为 8.已知k € [ — 2,2],贝U k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x 2+ y 2+ kx — 2y —；k = 0相切的概率等于 _____

线与圆x + 2 2+ (y — 1)2=乎+ 4 + 1相切，• A(1,1)在圆外，得

P 1,这是一个几何概型，则

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